Lineare Algebra Formelsammlung

4
2.6 Lineares Gleichungssystem LGS
ei
*
m×n
Lineare Algebra
Das LGS Ax = b kurz (A|b) mit A ∈ K
m Gleichungen und n Unbekannte.
n
,x∈K ,b∈K
m
hat
Lösbarkeitskriterium:
Ein LGS (A|b) ist genau dann lösbar, wenn: rg(A) = rg(A|b)
Die Lösung des LGS (A|b) hat dim(ker A) = n − rg(A) frei wählbare
Parameter.
* kann Spuren von Katzen enthalten
nicht für Humorallergiker geeignet
alle Angaben ohne Gewehr
1 Allgemeines
|x + y| ≤ |x| + |y|
|hx, yi| ≤ kxk · kyk
Dreiecksungleichung
Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
K steht für R und C
Das LGS hat eine Lsg. wenn det A 6= 0 → ∃A−1
Das homogene LGS: (A|0) hat stets die triviale Lösung 0
Summen und Vielfache der Lösungen von (A|0) sind wieder Lösungen.
2.7 Determinante von A ∈ Kn×n : det(A) = |A|
2 Matrizen
Die Matrix A = (aij ) ∈ Km×n hat m Zeilen mit Index i und n
Spalten mit Index j.
• |A| =
n
P
(−1)i+j ·aij ·|Aij |
Entwicklung n. j-ter Spalte
i=1
n
P
• |A| =
2.1 Allgemeine Rechenregeln
(−1)i+j · aij · |Aij |
Entwicklung n. i-ter Zeile
j=1
Merke: Zeile vor Spalte! (Multiplikation, Indexreihenfolge, etc.)
2) 1 · A = A
4) A · B 6= B · A (im Allg.)
6) λ(A + B) = λA + λB
1) A + 0 = A
3) A + B = B + A
5) (A + B) + C = A + (B + C)
Multiplikation von A ∈ Km×r und B ∈ Kr×n : AB ∈ Km×n
• det
A
C
λ1
• 0
.
0
D
.
.
A
B
= det
= det(A) · det(D)
0
D
λ1
0 ∗ .
= λ1 · . . . · λn = .
.
∗
λ λ n
n
2.2 Elementare Zeilenumformungen (EZF) (gilt äquiv. für Spalten)
• A=B·C
⇒
|A| = |B| · |C|
A ∈ Km×n hat m Zeilen zi ∈ Kn
• det(A) = det(A> )
• Hat A zwei gleiche Zeilen/Spalten ⇒ |A| = 0
• Vertauschen von Zeilen
• Multiplikation einer Zeile mit λ 6= 0
• Addition des λ-fachen der Zeile zi zur Zeile zj
2.3 Transponieren
´1
Skalarprodukt Polynome hp(x), q(x)i = p(x)q(x) dx
0
q
p
2
2
Norm von Vektoren kak = ha, ai = a2
1 + a2 + . . . + an
Orthogonalität ha, bi = 0 ⇔ a ⊥ b
Orthogonale Zerlegung eine Vektors v längs a:
hv,ai
v = va + va⊥ mit va = ha,ai · a und va⊥ = v − va
ha,bi
ha,bi
Winkel cos φ = kakkbk
φ = arccos kakkbk
a × b ⊥ a, b
(falls a × b = 0 ⇔ a, b linear abhängig)
a × b = −b × a
ka × bk = kak · kbk · sin (](a, b)) =
b Fläche des Parallelogramms
Graßmann-Identität: a × (b × c) ≡ b · (a · c) − c · (a · b)
Spatprodukt
[a, b, c] := ha × b, ci = det(a, b, c) =
b Volumen des Spates.
[a, b, c] > 0 ⇔ a, b, c bilden Rechtssystem
[a, b, c] = 0 ⇔ {a, b, c} linear abhängig
4 Vektorräume (VR)
Eine nichtleere Menge V mit zwei Verknüpfungen + und · heißt KVektorraum über dem Körper K.
Bedingung (u, v, w ∈ V λ, µ ∈ R)
• det(λA) = λn det(A)
1. v + w ∈ V
• Ist A invertierbar, so gilt: det(A−1 ) = (det(A))−1
2. u + (v + w) = (u + v) + w
• det(AB) = det(A) det(B) = det(B) det(A) = det(BA)
3. 0 ∈ V : v + 0 = v
>
n×n
A∈K
ist symmetrisch, falls A = A
(⇒ diagbar)
A ∈ Kn×n ist schiefsymmetrisch, falls A = −A>
n×n
A∈K
ist orthogonal (Spalten-/Zeilenvektoren=ONB), falls:
AA> = En
⇔ A> = A−1
⇔ det A = ±1
>
n×n
A∈C
ist hermitesch, falls A = A
(kmplx. konj. u. transp.)
−1
gilt: A−1 A
−1 −1
Für die inverse Matrix A
von A
(A−1 )−1 = A
(AB)−1 = B
> −1
−1 >
(A )
= (A
)
7. (λ + µ)v = λv + µv
• Addition des λ-fachen der Zeile X zur Zeile Y ändert |A| nicht
8. (λµ)v = λ(µv)
a12
a22
= En
2.8 Äquivalente Aussagen für A ∈ Kn×n
A
A ∈ Kn×n ist invertierbar, falls: det(A) 6= 0
(Wenn eine der Aussagen gilt, gelten alle anderen)
∨
rg(A) = n
−1
Berechnen von A
nach Gauß:
EZF
AA−1 = En
⇒ (A|En ) −→ (En |A−1 )
−1
d
−b
a
b
1
2x2-Matrix:
= ad−bc
−c
a
c
d
2.5 Rang einer Matrix A ∈ Km×n
(N0-Zeilen = Nicht-Null-Zeilen)
Bringe A auf ZSF
Rang (Zeilrang) rg(A): Anzahl N0-Zeilen
Zeilenraum ZA : Erzeugnis der Zeilen, Basis(ZA ) = { N0-Zeilen }
Kern: ker(A) = {x ∈ Kn | Ax = 0}
Dimensionsformel: rg(A) + dim(ker(A)) = n
Bringe A auf Spaltenstufenform (transponieren, ZSF)
Spaltenrang: Anzahl der N0-Spalten
Spaltenraum SA : Erzeugnis der Spalten, Basis(SA ) = { N0-Spalten }
Bild = Spaltenraum: Erzeugnis der Spalten
1) A ist invertierbar
3) Kern(A) = 0
5) det(A) 6= 0
2) rg(A) = n
4) dim(SA ) = dim(ZA ) = n
6) Zeilen/Spalten von A linear unabhängig
4.1 Untervektorraum (UVR) U ⊂ V (u, v ∈ U
1. U 6= ∅
Orthonormalisierungsvefahren einer Basis {v1 , . . . , vn } nach GramSchmidt
v
1. b1 = kv1 k
1
(Vektor mit vielen 0en oder 1en)
c
2. b2 = kc2 k mit
2
c
3. b3 = kc3 k mit
3
c2 = v2 − hv2 , b1 i · b1
c3 = v3 − hv3 , b1 i · b1 − hv3 , b2 i · b2
Orthogonale Projektion auf UVR
Gegeben: Vektorraum V ∈ Rn , v ∈ V , Untervektorraum U ⊂ V
1.
2.
3.
4.
Basis von U bestimmen
Normiere Basis {b1 , b2 , b3 , . . .} von U
vU = hv, b1 i b1 + hv, b2 i b2 + . . .
vU ⊥ = v − vU
5. Abstand von v zu U = vU ⊥ 5 Norm
> 0 ∧ . . . ∧ det(A) > 0
2×2
Vereinfachung
für Spezialfall A ∈ K
a
b
⇒ det(A) = |A| = ad − bc
c
d
A−1 = A>
det A = ±1
Spalten bilden ONB
Zeilen bilden ONB
kAvk = kvk
3. Löse das LGS A> Ax = A> v und erhalte den Lösungsvektor
x = (λ1 , . . . , λr )>
4. vU = λ1 b1 + · · · + λr br
9. 1v = v
•
•
•
•
•
1. Basis {b1 , . . . , br } von U bestimmen
2. Setze A = b1 b2 . . . br ∈ Rn×r
6. λ(v + w) = λv + λw
• Zeile/Spalte mit λ multiplizieren, |A| um Faktor λ größer
Positiv definite Matrix
a11
det(a11 ) > 0 ∧ det
a21
• Orthogonalsystem, wenn ∀v, w ∈ B : v ⊥ w
• Orthogonalbasis, wenn B Orthogonalsystem und Basis von V
• Orthonormalsystem, wenn B Orthogonalssystem u. ∀v ∈ B :
kvk = 1
• Orthonormalbasis(ONB), wenn B Orthonormalsystem u. Basis von
V ist
Alternative Methode
0
5. v + w = w + v
• Vertauschen von Zeilen/Spalten ändert Vorzeichen von |A|
A=
2.4 Inverse Matrix von A ∈ Kn×n
λv ∈ V
4. v ∈ V : v + v = 0
Umformung Determinante
B ⊂ V heißt
Matrix A heißt orthogonal, wenn A> A = En
3.2 Kreuzprodukt (Vektorprodukt)


a2 b3 − a3 b2
a × b = a3 b1 − a1 b3 
a, b ∈ R3
a1 b2 − a2 b1
0
A = (aij ) ∈ Km×n gilt: A> = (aji ) ∈ Kn×m
Regeln:
(A + B)> = A> + B >
(A · B)> = B > · A>
(λA)> = λA>
(A> )> = A
4.5 Orthogonalität
λ ∈ R)
(0 ∈ U )
2. u + v ∈ U
Eine Abbildung N : V → R eines reellen oder komplexen Vektorraums
V heißt Norm auf V , falls ∀v, w ∈ V und ∀λ ∈ R gilt:
1. N (v) ≥ 0 und N (v) = 0 ⇔ v = 0
2. N (λv) = |λ| N (v)
3. N (v + w) ≤ N (v) + N (w) (Dreiecksungleichung)
3. λu ∈ U
5.1 Vektornorm
4.2 Basis (Jeder VR und jeder UVR besitzt eine Basis!)
Eine Teilmenge B ⊂ V heißt Basis von V , wenn gilt:
• span(B) = V , B erzeugt V
Allgemeine l-Norm Nl eines Vektors v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn
!1
n
X
l
l
Nl (v) =
|vi |
i=1
• N1 (v) =
Pn
4.3 Dimension
• N2 (v) =
qP
vi2
euklidische Norm (l2 -Norm)
n = dim(V ) = |B| = Mächtigkeit von B
Mehr als n Vektoren aus V sind stets linear abhängig.
Für jeden UVR U ⊂ V gilt: dim(U ) ≤ dim(V )
• N∞ (v) = max{|vi |}
Maximumsnorm (l∞ -Norm)
• B ist linear unabhängig
i=1
|vi |
1-Norm (l1 -Norm)
3 Vektoren
Ein Vektor ist ein n-Tupel reeller oder komplexer Zahlen, also ein Element
aus dem Kn .
3.1 Skalarprodukt hv, wi : V × V → R
1. Linear: hu, v + wi = hu, vi + hu, wi ∧ hu, λvi = λhu, vi
2. Symmetrisch: hv, wi = hw, vi
3. Positiv definit: hv, vi ≥ 0
hv, vi = 0 ⇔ v = 0
Kanonisches Skalarprodukt
hv, wi = v > w = v1 w1 + · · · + vn wn
Skalarprodukt bzgl. sym., quadr. und positiv definiter Matrix A ∈ Kn×n
hv, wiA = v > Aw
n
i=1
4.4 Linearkombination
Jeder Vektor v ∈ Kn kann als Linearkombination einer Basis B =
{b1 , . . . , bn } ⊂ Kn dargestellt werden
v = λ1 b1 + · · · + λn bn ⇒ Gauß
b1 b2 b3 | v
Linear Unabhängig: Vektoren heißen linear unabhängig, wenn aus:
λ1 v1 + · · · + λn vn = 0 folgt, dass λ1 = · · · = λn = 0
Vektoren aus Rn mit der Länge 1 bzgl. der Normen N1 , N2 und N∞
Frobeniusnorm der Matrix V = Rm×n
v
uX
n
u m X
m×n
N :R
→ R mit N (A) = t
a2
ij
i=1 j=1
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Lineare Algebra von Lukas Kompatscher ([email protected])
Stand: 11. Juli 2016
1
5.2 Induzierte Matrixnorm auf Rn×n
8 Schurzerlegung
6.3 Transformationsmatrix
0
Eigenschaften:
• verträglich mit Vektornorm: kAvkV = kAk kvkV
• submultiplikativ: kABk ≤ kAk kBk

λ1

Q AQ = R = 

Definition: Jede Vektornorm k•kV des Rn definiert eine Matrixnorm k•k
auf Rn×n
kAk =
sup kAvkV
kvkV =1
Wichtige induzierte Matrixnormen auf A = (aij ) ∈ Rn×n
• Die Spaltensummennorm induziert durch die l1 -Norm
max
i=1,...,n
{|a1i | + · · · + |ani |}
ist die betragsmäßig maximale Spaltensumme.
• Die Zeilensummennorm induziert durch die l∞ -Norm
max
i=1,...,n
{|ai1 | + · · · + |ain |}
• Die Spektralnorm induziert durch die l2 -Norm
√
>
kAk2 = max{ λ|λ ist Eigenwert von A A}
ist die Wurzel aus dem größten Eigenwert von A> A.
E
0
• Falls B Standardbasis ⇒ Matrix B = E und TB
0 = B
B −1
B0
0
B
• TB 0
= TB
B = BTB0
R ist eine obere Dreiecksmatrix.
• Vektor v bzgl. Basis En soll bzgl. Basis B0 dargestellt werden:
Gegeben: A ∈ Rn×n
Teil I
0
B
vB0 = TE
v
• Abbildungsmatrix bzgl. Basis B
B
B
E
M (f )B = TE
· M (f )E
E · TB
7 Diagonalisierung (Eigenwerte und Eigenvektoren)
Gegeben: Quadratische Matrix A ∈ Rn×n .
Gilt Av = λv mit v 6= 0, so nennt man
Ist λ ein Eigenwert von A, so nennt man den Untervektorraum
• EigA (λ) = {v ∈ Rn |Av = λv} den Eigenraum von A zum
Eigenwert λ und
• dim(EigA (λ)) die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ
• geo(λ) = dim(EigA (λ))
Diagonalisieren von Matrizen
A ist diag.bar falls eine invertierbar Matrix B existiert, sodass
6 Lineare Abbildungen
Abbildung f : V → W ist linear, wenn
D=B
1. f (0) = 0
−1
AB ⇔ A = BDB
−1
3. f (λa) = λf (a)
⇒ Abbildung als Matrix darstellbar
Injektiv, wenn aus f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Surjektiv: ∀y ∈ W ∃x ∈ V : f (x) = y
(Alle Werte aus W werden angenommen.)
Bijektiv(Eineindeutig): f ist injektiv und surjektiv ⇒ f umkehrbar.
6.1 Koordinatenvektor bezüglich einer Basis B
7.1 Rezept: Diagonalisieren
B = (b1 , . . . , bn ) geordnete Basis des Vektorraums V , so kann jeder
Vektor v ∈ V als Linearkombination bzgl. B dargestellt werden:
v = λ1 b1 + · · · + λn bn , wobei λ1 , . . . , λn ∈ R (⇒ Gauß)
⇒ vB = (λ1 , . . . , λn )> ist der Koordinatenvektor bzgl. Basis B
Gegeben: A ∈ Rn×n
1. Bestimme das charakteristische Polynom von A
pA (λ) = det(A − λEn )
6.2 Darstellungsmatrix
Lineare Abbildung f : Rn → Rm
Darstellungsmatrix spaltenweise: A = f (e1 )
pA (λ) = (λ1 − λ)
...
f (en )
Allgemein f : V → W mit V, W Vektorräume
B = (b1 , . . . , bn ) ist eine Basis von V
C = (c1 , . . . , cm ) 
ist eine Basis von W

|
|
|
f (b1 )C
f
(b
)
·
·
·
f
(b
)
⇒ A = M (f )C
=
n C
2 C
B
|
|
|
ist die Darstellungsmatrix von f bzgl. B und C.
”In der j-ten Spalte der Abbildungsmatrix stehen die Koordinaten des
Bildes f (bj ) bzgl. der Basis C = (c1 , . . . , cm )”
Eigenschaften von f mit Hilfe von A
• f injektiv, wenn ker(A) = {0}
• f surjektiv, wenn Bild(A) = Rm
• f bijektiv, wenn A invertierbar
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νr
. . . (λr − λ)
Es gilt ν1 + · · · + νr = n
λ1 , . . . , λr sind die Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit
alg(λi ) = νi
Ist pA nicht vollständig in Linearfaktoren zerlegbar ⇒ A nicht diagonalisierbar!
3. Bestimme zu jeden Eigenwert λi den Eigenraum Vi
Vi = ker(A − λi En ) = span(Bi )
D=B
−1
AB ⇔ A = BDB
−1

0
.
m×n
∈R
.
.
0
...
m<n

1
.





S =
0

 .

 .
.
0





σn 
m×n
∈R
0 


. 
. 
.
0
..
...
...
m>n
2. Bestimme einen Eigenvektor v mit Norm kvk = 1 zum Eigenwert
λ1 von A1
5. Falls r < m ergänze u1 , . . . , ur zu einer ONB, bzw. zu
...
um orthogonal.
U = u1
n
3. Ergänze v zu einer ONB
des R ⇒ orthogonale Matrix B1 =
v
v2
...
vn
6. A = U SV >
10 Lineare Differentialgleichungen
4. Berechne
>
B 1 A1 B 1 =
∗
A2
λ1
0
(n−1)×(n−1)
mit A2 ∈ R
Gegeben: ẋ = Ax mit x = x(t) ∈ Rn und A ∈ Rn×n
A ist diagonal, diagonalisierbar oder ein Jordanblock.
Allgemeine Lösung
5. Setze Q1 = B1
x(t) = e
tA
x0 mit x0 = x(0)
Teil II (wiederhole (n − 1) mal)
10.1 Exponentialfunktion von Matrizen
1. A2 ist gegeben
2. Bestimme einen Eigenvektor v zum Eigenwert λ2 von A2
e
A
=
⇒ orthogonale Matrix B2 =
∞
X
Ak
k=0
k!
>
B2 A2 B2 =
5. Setze Q2 = Q1
λ2
0
1
0
∗
A3
0
B2
=I+A+
A2
2!
AB = BA ⇒ e
4. Berechne
mit A3 ∈ R
(n−2)(n−2)
+
A3
3!
A+B
+ ...
A B
=e e
Diagonalmatrix A ∈ Rn×n
 a t

e 1
...
0


. 
 .
tA
a t
a t
.
e
= .
.
.  = diag e 1 , . . . , e n
.
 .
. 
0
...
ean t
Setze Q = Qn−1 . Es gilt Q−1 = Q> und die Schurzerlegung von A
lautet


λ1
...
∗


.
>
.
Q AQ = R = 
.
. 

.
. 
0
λn
Diagonalisierbare Matrix A ∈ Rn×n
mit den Eigenwerten λ1 , . . . , λn und den Eigenvektoren v1 , . . . , vn
...
vn : A = V DV −1
mit V = v1
9 Singulärwertzerlegung
Jordanblock A =
Bei der Singulärwertzerlegung wird eine beliebige Matrix A ∈ Rm×n als
Produkt dreier Matrizen U , S und V geschrieben
A = U SV
>
mit U ∈ Rm×m , S ∈ Rm×n und V ∈ Rn×n .
U und V sind orthogonal, S ist eine Diagonalmatrix.
9.1 Rezept: Singulärwertzerlegung
dim(Vi ) = geo(λi ) geometr. Vielfachheit des Eigenwerts λi .
Gilt geo(λi ) 6= alg(λi ) für ein i, ist A nicht diagonalisierbar!
4. B = (v1 . . . vn ) setzt sich aus den Eigenvektoren zusammen.
D = diag(λ1 , . . . , λn ) ist die Diagonalmatrix der Eigenwerte.
.
j = 1, . . . , min{m, n}
...
1. A1 = A
Die Vektoren der Basis Bi sind die Eigenvektoren von λi .
Einfacher: Der Eigenvektor vi ist Lösung des homogenen LGS
(A − λi En )vi = 0
σ
λj
0
.
.
.
0
σm

∗
. 
. 
. 
λn
2. Charakteristische Polynom pA in Linearfaktoren zerlegen.
ν1
..
p
4. Bestimme u1 , . . . , ur aus ui = σ1 Avj für alle j = 1, . . . , r
j
(alle σj 6= 0)
3. Ergänze v zu einer ONB des R
v
v2
...
vn−1
• Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar wenn alg(λ) = geo(λ)
für jeden Eigenwert λ von A gilt.
• Jede Matrix A ∈ Rn×n mit n verschiedenen Eigenwerten ist
diagonalisierbar.
• Eine symmetrische Matrix hat nur reelle Eigenwerte und ist diagonalisierbar.
• Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte: det(A) = λ1 . . . λn
.

σ1

S =

8.1 Rezept: Schurzerlegung
n−1
und D eine Diagonalmatrix ist.
2. f (a + b) = f (a) + f (b)
..
0
B
−1 0
• TB
B
0 = B
• v ∈ V einen Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ∈ R und
• λ ∈ R einen Eigenwert von A zum Eigenvektor v ∈ V
ist die betragsmäßig maximale Zeilensumme.
...
>
Regeln und Berechnung (B ist Matrix der Basis B)
• kAk = 0 ⇔ A = 0
3. Die Singulärwerte sind σj =
Zu jeder quadratische Matrix A ∈ Rn×n mit einem in Linearfaktoren
zerfallendem charakteristischem Polynom pA (λ) gibt es eine orthogonale
Matrix Q ∈ Rn×n , Q−1 = Q> , mit
B
⇒ Transformationsmatix TB
0 = (aij )
• |λ| ≤ kAk für jeden Eigenwert λ von A
kAk∞ =
Gegeben: Basen B = (v1 , . . . , vn ) und B =
∈V
Darstellung der Elemente aus B0 in der Basis B:
0
vj = a1j v1 + a2j v2 + · · · + anj vn mit aij als Koeffizienten des
Vektors vj0 bzgl. der Basis B
• kEn k = 1
kAk1 =
0
0
(v1
, . . . , vn
)
e
tA
= Ve
tD
V
−1
λ t
λ t
−1
= V diag e 1 , . . . , e n
V


a1
1
0
a2
1
A=0
0
0
a
3
a1
0
0
1
Aufteilen von A in A = D + N =
+
0
a2
0
0
⇒e
At
=e
a1
0
Dt+N t
= diag
1
a2
=e
oder
Dt N t
e
a t
a t
e 1 ,...,e n
Nt
Die Potenzreihe von e
2
En + tN + t
N2
2
!
+ ...
ist auf endliche Summanden begrenzt.
Gegeben: A ∈ Rm×n
1. Bestimme alle Eigenwerte λj und Eigenvektoren vj der Matrix
A> A ∈ Rn×n und ordne sie
λ1 ≥ λ2 ≥ · · · ≥ λr > λr+1 = · · · = λn = 0 mit r ≤ n
2. Bestimme eine ONB des Rn aus den Eigenvektoren vj und erhalte
...
vn ∈ Rn×n
V = v1
Lineare Algebra von Lukas Kompatscher ([email protected])
Stand: 11. Juli 2016
2