3 Kreis- und Wegeprobleme Das K ¨onigsberger Br ¨uckenproblem

3. Kreis- und Wegeprobleme
Kapitelübersicht
3 Kreis- und Wegeprobleme
• Charakterisierung von eulerschen Graphen
• Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen
• Hamiltonsche Graphen
• Abstände in Graphen
• Berechnung kürzester Wege
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Eulerwege
Das Königsberger Brückenproblem
Norden
Insel
Osten
Süden
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Eulerwege
Eulerweg, Eulerkreis
Definition 3.1. Es sei G = (V, E) ein Graph.
• Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal
enthält, heißt eulerscher Weg von G.
• Ein Kreis, der jede Kante von G genau einmal
enthält, heißt eulerscher Kreis von G.
• G heißt eulersch gdw. G einen eulerschen Kreis
enthält.
Leonard Euler
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Eulerwege
Beispiel 3.1. Der Graph des Königsberger Brückenproblems scheint
nicht eulersch zu sein, er scheint auch keinen eulerschen Weg zu enthalten.
Das “Haus des Nikolaus” enthält einen eulerschen Weg.
c
b
d
a
e
f
g
Das “Haus des Nikolaus mit Keller” ist eulersch:
Weitere Graphen: ✎.
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Eulerwege
Charakterisierung von eulerschen Graphen
Satz 3.1. [Euler 1736] Es sei G = (V, E) ein Graph.
G hat einen eulerschen Weg gdw.
• G bis auf isolierte Knoten zusammenhängend ist und
• die Zahl u der Knoten mit ungeradem Grad 0 oder 2 ist.
Die Existenz eines Eulerkreises ist äquivalent mit u = 0.
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Eulerwege
Beweis. 1. “=⇒”: G habe einen eulerschen Kreis K = (v0, v1, . . . , vm−1 , v0).
• Dann ist G bis auf isolierte Knoten zusammenhängend und
• tritt der Knoten v in der Folge v0, v1, . . . , vm−1 genau t-mal auf, so gilt
deg(v) = 2t, d.h. v hat geraden Grad.
2. “⇐=”: Beweis durch vollständige Induktion über die Zahl der Knoten.
Induktionsanfang: Der Graph G = ({v0}, {}) ist eulersch, denn (v0) ist
ein eulerscher Kreis.
Induktionsannahme: Für Graphen mit höchsten n Knoten gelte die
Behauptung.
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Eulerwege
Induktionsschritt: Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph mit
n + 1 Knoten und und alle Knoten haben geraden Grad.
Wähle einen beliebigen Knoten
v0 ∈ V.
v0
v1
Wähle solange dies möglich
ist Knoten v1, v2, . . ., so daß
(v0, . . . , vi) jeweils ein Weg in G
ist.
v2
v0
v3
Unter den gegebenen Voraussetzungen entsteht so automatisch ein
Kreis K. Sei Ek die Menge der Kanten in K.
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Eulerwege
Wenn K alle Kanten aus E enthält, so ist K ein Eulerkreis.
Ansonsten bildet man den Restgraphen G 0 = (V, E \ EK).
v1 v5
v0
Für die Komponenten des Restgraphen gilt die Induktionsannahme.
v4
v7
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v2
v3
v6
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Eulerwege
Nun fügt man die Kreise an Knoten zusammen, die in K und einer Komponente des Restgraphen
enthalten sind.
v2 v6
v1 v9
Man läuft entlang K bis zu solch
einem Knoten, dann entlang des
Kreises des Restgraphen und anschließend wieder entlang K.
v3
v10 v5
v0
v8 v11
v4 v7
2
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Eulerwege
Berechnung eines Eulerweges
Algorithmus 3.1. [Hierholzer 1873] Es sei G = (V, E) ein bis auf isolierte Knoten zusammenhängender Graph, der nur Knoten mit geradem
Grad aufweist.
1. Wähle einen beliebigen Knoten v0 ∈ V.
Wähle solange dies möglich ist Knoten v1, v2, . . ., so daß (v0, . . . , vi)
jeweils ein Weg in G ist.
Unter den gegebenen Voraussetzungen entsteht so automatisch ein
Kreis K. Setze w 0 := v0.
2. Prüfe, ob K ein eulerscher Kreis ist. Wenn ja, dann STOP, ansonsten
gehe zu 3.
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Eulerwege
3. Setze K 0 := K.
Laufe ab w 0 entlang K 0 und wähle einen in K 0 enthaltenen Knoten w,
der mit einer nicht in K 0 enthaltenen Kante inzident ist.
Konstruiere wie unter 1. ausgehend von w einen Kreis K 00, der keine
Kanten von K 0 enthält.
Füge K 00 in den Kreis K 0 an der Stelle w ein. Setze w 0 := w.
Gehe zu 2.
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Eulerwege
Bemerkung 3.1. Übungsaufgabe: Algorithmus von Hierholzer in
Pseudo-Code.
Beispiel 3.2. Wir demonstrieren den Algorithmus von Hierholzer an
dem folgenden Graphen:
b
c
d
a
e
h
g
f
Tafel ✎.
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Eulerwege
Eigenschaften des Algorithmus von Hierholzer
Satz 3.2. Algorithmus 3.1 ist korrekt, d.h. bei erfüllten Voraussetzungen wird ein eulerscher Kreis konstruiert.
Beweis. Tafel ✎. 2
Satz 3.3. Die Zeitkomplexität von Algorithmus 3.1 beträgt O(|E|).
Beweis. Siehe Übungen. 2
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Eulerwege
Anwendung von Eulerwegen
• Dominospiel: Gegeben sind eine Menge S von Spielsteinen, die auf
jeder Seite mit einem Symbol markiert sind.
• Einen Spielstein [A : B] kann man sowohl in dieser Form als auch als
[B : A] verwenden.
• Man darf zwei Spielsteine aneinander legen, wenn die sich berührenden Hälften das gleiche Symbol aufweisen.
• Kann man die Steine der Menge S zu einer ununterbrochenen Kette
zusammenlegen?
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Eulerwege
Beispiel 3.3. Gegeben ist die folgende Menge an Spielsteinen:
[A : B]
[D : D]
[A : D]
[B : C]
[B : C]
[A : C]
[C : D]
[B : D]
[A : A]
Zugehöriger Graph:
B
C
• Jede Kante entspricht einem
Spielstein.
• Eulerweg entspricht einer
ununterbrochenen Dominokette.
A
D
Anwendungen in der Praxis: Berechnung von Prozessketten mit
möglichst wenigen Unterbrechungen.
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