wahrheitswert axiome

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AL
PL
klassische Aussagenlogik Prädikatenlogik 1. Stufe+=
2
Konsistenzprinzip und Bivalenzprinzip
Ebenso wie AL sind auch in PL die Prinzipien der Konsistenz und
Bivalenz eingebaut:
- Jede wff erhält bezüglich eines Modells und einer Belegung nie mehr
als einen Wahrheitswert;
- Jede wff erhält bezüglich eines Modells und einer Belegung einen
Wahrheitswert, keine wff bleibt wahrheitswertlos;
- Es stehen nur zwei Wahrheitswerte zu Auswahl: wahr und falsch.
1. Grundsyntax
wffs von AL
wffs von PL
2. Semantik
Wahrheit von wffs
„Farb“-regeln
Modelltheorie
Wahrheitsbedingungen
Einzelfallmethode
Turbo-Methode
Kutschera-Axiome
AL-Hybrid
Def. der Allgemeingültigkeit
Standard-Axiomatik
PL-Hybrid
PL ist eine Logik, in der sich über Begriffe etwas nur anhand ihrer
Extensionen ausdrücken lässt.
Descartes Med. VI 10
Russell/Quine: sg. Terme
Th. v. Aquin: prima via
In PL kann man noch nicht über Prädikate quantifizieren (das geht dann
in der Prädikatenlogik 2. Stufe)
3. Theorie des Spiels
Allgemeingültigkeit
Herleitungsspiele
4. Phil. Anwendung
Definition PL-Theorie 4
Eine wff α von PL ist genau dann PL-allgemeingültig, wenn gilt:
α ist bezüglich jedes PL-Modells M und jeder PL-Belegung µ dazu
wahr.
Beispiele für offensichtlich PL-allgemeingültige Formeln
~ ( ∀ x [F‘x] ∧ ~ ∀ x [F‘x] ) eine Gestalt des NWS in PL
∀ x [F‘x] → F’x
Wenn alles F ist, dann auch x
F’x → ∃ x [ F’x ]
Wenn x F ist, dann gibt es etwas, das F ist.
Subalternation (nicht PL-allgemeingültig)
∀ x [F’x → G’x ] → ∃ x [F’x ∧ G‘x]
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Warum die klassische Subalternation nicht PL-allgemeingültig ist:
Gegenbeispiel
M = { { a }, { ⟨F‘, { }⟩, ⟨G‘, {a}⟩
µ = { ⟨x, a⟩, ... }
Begründung:
VM,µ( F’x ) = 0
µ(x) ∉ I (F‘)
VM,µ( G’x ) = 1,
µ(x) ∈ I (F‘)
VM,µ( F’x → G’x ) = 1
Antezedens falsch => Konditional wahr
VM,µ( F’x ∧ G’x ) = 0
„F’x“ falsch => ganze Konjunktion falsch
VM,µ( ~ (F’x ∧ G’x) ) = 1 Konjunktion falsch => Negation davon wahr
Einzige x-Alternative zu µ ist µ, da U = {a} und x irgendwo hin muss,
also
VM,µ( ∀ x [F’x → G’x ] ) = 1
VM,µ( ∀ x [ ~ (F’x ∧ G’x)] ) = 1
∀x [~(F’x ∧ G’x)] ⇔ ~ ∃x[ ~ ~ (F’x ∧ G’x)] ⇔ ~ ∃ x [ (F’x ∧ G’x)],
also
also
also
VM,µ( ~ ∃ x [ (F’x ∧ G’x)] ) = 1,
VM,µ( ~ ∃ x [ (F’x ∧ G’x)] ) = 0,
VM,µ( ∀ x [F’x → G’x ] → ∃ x [F’x ∧ G‘x] ) = 0
QED.
4
Definition „PL-Einsetzungsfall in eine AL-Formel“ (substitutioninstance)
Ein PL-Einsetzungsfall in eine AL-Formel ist eine PL-Formel, die
dadurch ensteht, dass man in einer AL-Formel α jede atomare ALFormel (also jeden Satzbuchstaben p, q etc.) durch eine (beliebig
komplexe) wff von PL ersetzt, und zwar konsequent gleiche
Satzbuchstaben durch gleiche Formeln.
Beispiel: „~ ( ∀ x [Fx] ∧ ~ ∀ x [Fx] )“ ist ein PL-Einsetzungsfall in
„~ (
p
∧~
p
)“
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Notations-Konventionen
(1) Alle Stellenzähler fallen ab sofort weg! Beispiel: Statt „ F’x “ heißt
es jetzt „Fx“.
(2) „Φ[χ]“ heißt: „Formel, in der die Variable χ irgendwo vorkommt
(einmal oder beliebig oft)“.
(3) „Φ[χ2/χ1]“ heißt: „Formel, in der die Variable χ1 überall dort, wo sie
vorkommt, durch die Variable χ2 ersetzt ist“. Beispiel: Ist Φ[x] = „ F’x “,
so ist Φ[y/x] = „ F’y “
(4) „
α “ heißt: „Die Formel α ist (im gerade diskutierten
Herleitungsspiel) herleitbar“
(5) „ β
α “ heißt: „Die Formel α ist unter der Voraussetzung der
Formel β herleitbar“
(6) „
α “ heißt: „Die Formel α ist allgemeingültig.
(7) „⇒“ ist eine metasprachliche Abkürzung für „wenn..., dann...“
Bitte beachten:
a) Auch „ “ und „ “ sind wirklich metasprachliche Abkürzungen und nicht Teil
irgendeiner Formel der Objektsprache!
b) „ “ und „ “ verschlucken Anführungsstriche: Man schreibt „ ~ (p ∧ ~ p )“
für „Die Formel ‚~ (p ∧ ~ p )‘ ist (in der Kutschera-Axiomatik oder in AL-Hybrid)
herleitbar“.
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Standard-Axiomatik für PL
1. Die Grundaxiome
(1) Aussagenlogische Axiome
Jeder PL-Einsetzungsfall in eine AL-herleitbare AL-Formel ist ein
Axiom von PL.
Beispiel: ∀ x [Fx] ∨ ~ ∀ x [Fx] Begründung: AL p ∨ ~ p , ∀ x [Fx] / p
Anmerkung: wegen der Widerspruchsfreiheit und Vollständgkeit der StandardHerleitungsspiele für AL hätte man statt „AL-herleitbare Formel“ auch „ALallgemeingültige Formel“ sagen können. Tipp: Zweifel an der Herleitbarkeit lassen
sich deshalb durch Wahrheitswertanalyse beseitigen.
(2) Axiome wegen universeller Spezialisierung
Jede Formel der Gestalt
∀ χ1 [Φ [χ 1] ) → Φ [χ2/χ1] ]
ist ein Axiom von PL.
Beispiel: Die folgenden Formeln sind Axiome von PL
∀ x [Fx] → F x
(natürlich kann man „x“ durch „x“ ersetzen!)
∀ x [Fx] → F y
∀ x [Fx] → F z usw.
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2. Die Axiome für das Identitätszeichen
(1) Axiome wegen „A = A“
Jede Formel der Gestalt
∀χ[χ=χ]
ist ein Axiom von PL (wobei χ, wie üblich, eine Variable ist).
(2) Axiome wegen des Leibnizschen Substitutionsgesetzes
Jede Formel der Gestalt
∀χ1 [∀χ2 [ χ1 = χ2 → (Φ [χ1] → Φ [χ2] ) ]]
ist ein Axiom von PL.
Beispiel 1: ∀ x [ ∀ y [x = y → ( F x → F y ) ]]
oder kurz: ∀ x y [x = y → ( F x → F y ) ],
Beispiel 2: ∀ x [x = x → ( F x → F x ) ]
(!)
Anmerkung: Durch diese Regel wird im wesentlichen folgende Intuition
eingefangen
Wenn derselbe Gegenstand sowohl Träger des Namens „x“ als auch Träger des
Namens „y“ ist, so kann man, wenn man sagt, dass irgendetwas auf x zutrifft,
auch sagen, dass ebendies auf y zutrifft, ohne dass sich der Wahrheitswert
ändert.
Eadem sunt quorum unum potest substitui alteri salva veritate
Leibniz, Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis, Def. 1, GerhardtAusg. Bd.VII, S.228
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3. Herleitungsregeln
(1) modus (ponendo) ponens: wenn (α → β) und α herleitbar sind, dann
ist es auch β, kurz:
(α → β), α ⇒ β
(2) Universelle Generalisierung:
α ⇒ ∀ χ [α],
wobei χ eine Variable und α eine wff von PL ist, in der χ nicht frei
vorkommt.
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Warnung:
Die Regel der universellen Generalisierung ist auf keinen Fall zu
verwechseln mit einer wff wie:
Fx → ∀ x [Fx]
(nicht allgemeingültig!)
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Die Standard-Axiomatik von PL auf einen Blick
Axiomenschemata
(1) α, wenn α ein PL-Einsetzungsfall in β ist
und AL β bzw. AL β AL
(2) ∀ χ 1 [Φ [χ1] ) → Φ [χ2/χ1] ]
(3) ∀ χ [ χ = χ ]
(4) ∀χ1 [∀χ2 [ χ1 = χ2 → (Φ [χ1] → Φ [χ2 ] ) ]]
US
a=a
Leibniz
Ein Spezialfall der Regel der universellen Generalisierung ist zwar:
Fx ⇒
∀ x [Fx].
Aber das heißt etwas ganz anderes. Es heißt:
„Wenn ich ‚Fx‘ bewiesen habe, dann kann ich auch ‚∀ x [Fx]‘ als
bewiesen ansehen.“
Und das ist etwas anderes als die wff, weil man sagen wird:
Um „Fx“ allgemein zu beweisen, muss ich für einen beliebig
gewählten Gegenstand, den ich dann „x“ nenne, zeigen können, dass
er F ist. Kann ich etwas für den beliebig gewählten Einzelfall zeigen,
sehe also von allen individuellen Eigenschaften meines x ab, dann
habe ich für jedes beliebige x aus dem Redebereich, dass es F ist. Da
ich dann für j edes beliebige x gezeigt habe, dass es F ist, habe ich für
alle Gegenstände aus dem Redebereich gezeigt, dass sie F sind.
Herleitungsregeln
(1) (α → β), α ⇒ β
(2) α ⇒ ∀ χ [α], wenn χ nicht frei in α vorkommt.
m.p.
UG
Benutzt man eine Prädikatenlogik 1. Stufe ohne Identitätszeichen, so
lässt man bei den Axiomenschemata die Klauseln (3) und (4) weg.
Ein erfreuliches Ergebnis (Kurt Gödel 1930, Leon Henkin 1949)
Die Standard-Axiomatik ist bezüglich
widerspruchsfrei und vollständig,
kurz:
gdw
PL α
PL α
der
Semantik
von
PL
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Ein nicht so erfreuliches Ergebnis (Alonzo Church, 1936)
Es gibt kein Verfahren, um von einer PL-Formel sagen zu können, ob sie
herleitbar ist, bevor ich nicht glücklicherweise auf einen konkreten
Beweis gekommen bin – es gibt kein Entscheidungsverfahren für die
Frage nach der Herleitbarkeit einer konkreten gegebenen PL-Formel
(vgl. Kutschera 107, GAMUT 154).
Fazit
Die Beherrschung eines praktikablen Herleitungsspiels ist für die
Einschätzung von PL-Formeln viel, viel wichtiger als für die
Einschätzung von AL-Formeln.
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PL-Hybrid
(1) Alle Regeln von AL-Hybrid gelten weiter, nur dass mit α, β usw. jetzt nicht mehr wffs von
AL, sondern wffs von PL gemeint sind.
(2) Mit der Regel DEF darf jetzt auch auf die Definition des Existenzquantors Bezug genommen
werden.
(3) Der Aufbau der Beweiszeilen wird um eine Spalte ergänzt: den Flaggenmast hinter der
Bezugszeilenspalte
(4) Es gibt sechs neue Schlussregeln:
Regel
(1) Universelle Spezialisierung
US: Wenn du in einer Zeile eine Formel der
Gestalt ∀ χ [Φ [ χ ] ] hast (so, dass χ ohne
den Quantor davor in Φ frei wäre), dann darfst
du darunter Φ [χ/χ0 ] ] legen.
Um sie später wiedererkennen
zu können, sollten auf diese Art
eingeführte Variablen mit dem
Index „0“ versehen sein.
(2) Existenzielle Generalisierung
EG: Wenn du in einer Zeile eine Formel der
Gestalt Φ [ χ 1 ] hast, in der χ1 frei vorkommt,
dann darfst du darunter ∃χ2 [Φ [χ2/χ1] ] legen.
Auf diese Art eingeführte Variablen sollten
keinen 0-Index haben.
Motivation
Wenn man irgendetwas von allen
Gegenständen aus dem Redebereich
behaupten kann, dann kann man einen
beliebigen Gegenstand aus dem
Redebereich herausgreifen, ihm ein
Namensschild „umhängen“ und ebendies
von dem so neu benannten Gegenstand
behaupten.
Wenn etwas auf einen bestimmten
Gegenstand aus dem Redebereich
zutrifft, dann kann man sagen, dass
es im Redebereich mindestens einen
Gegenstand gibt, auf den ebendies
zutrifft.
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(3) Existenzielle Spezialisierung
ES: Wenn du in einer Zeile eine Formel der Gestalt
∃χ [Φ [χ] ] hast (so, dass χ ohne Quantor davor
in Φ frei wäre), dann darfst du darunter
Φ [χ/χ0] ] legen.
(4) Universelle Generalisierung
UG: Wenn du in einer Zeile eine Formel der
Gestalt Φ [ χ1 ] hast, in der χ1 frei vorkommt,
dann darfst du darunter ∀χ2 [Φ [χ2/χ1] ] legen.
Auf diese Art eingeführte Variablen sollten
keinen 0-Index haben.
Wenn es mindestens einen Gegenstand
im Redebereich gibt, von dem man
etwas behaupten kann, dann kann man
einen solchen Gegenstand herausgreifen,
ihm ein neues Namensschild (mit 0Index) „umhängen“ und ebendies von
dem so neu benannten Gegenstand
behaupten.
Wenn etwas auf einen beliebigen
Gegenstand aus dem Redebereich
zutrifft, dann kann man sagen, dass
es auf jeden Gegenstand im Redebereich zutrifft.
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(5) Die Einführung einer Variablen mit 0-Index durch die Regel ES und ihre Eliminierung
durch die Regel UG muss deutlich signalisiert werden. Deshalb gilt:
a) Jede Variable, die durch ES eingeführt wird, muss dabei am Flaggenmast eingeflaggt werden.
b) Jede Variable, die durch UG eliminiert wird, muss dabei am Flaggenmast ausgeflaggt werden.
(6) Eine Ableitung mit PL-Hybrid muss leider am Ende immer noch daraufhin geprüft werden,
ob sie wirklich eine fertige Ableitung ist. Dazu fragen wir uns:
Test A: Kommt eine irgendwo geflaggte Variable in der letzten Zeile vor? Falls ja, verwerfen wir
die Ableitung; falls nein, fragen wir uns: Kommen in der letzten Zeile Sterne vor?
Falls nein, machen wir Test B. Falls ja, falls wir also etwas aus gewissen Prämissen herleiten
wollen, ohne diese fallen zu lassen, suchen wir nacheinander jede Hyp-Zeile auf, aus der ein
Stern zur letzten Zeile mitgeschleppt wurde, und fragen uns: Kommt in dieser Zeile eine
irgendwo geflaggte Variable vor? Falls irgendwann ja, verwerfen wir die Ableitung, falls
jedesmal nein, machen wir Test B.
Test B: Ist eine der geflaggten Variablen mehrmals geflaggt (z.B. durch ES eingeführt und durch
UG eliminiert)? Falls ja, verwerfen wir die Ableitung. Falls nein, machen wir Test C.
(5) Identitätssatz
= 1: Du darfst eine Formel der Gestalt (χ = χ)
jederzeit ohne weiteres hinlegen.
a=a
(6) Leibnizscher Substitutionssatz
= 2: Wenn du in einer Zeile eine Formel der Gestalt
eadem sunt, quorum unum potest
(χ1 = χ2 ) hast, und du in einer weiteren Zeile eine substitui alteri salva veritate
Formel der Gestalt Φ [χ1] hast, dann darfst du
darunter Φ [χ2] legen.
Test C:
Offizielle Version
Können die freien Variablen in der Ableitung in eine solche Reihenfolge χ1, ...,χn gebracht werden, dass keine
Variable χi mit 1 ≤ i ≤ n in auch nur einer derjenigen Zeilen frei ist, in der eine der Variablen χj mit i+1 ≤ j ≤ n
geflaggt ist?
Die praktische Durchführung dieses von Quine stammenden Tests ist für normale Menschen
völlig unzumutbar. Man kann das Verfahren aber vereinfachen, wenn in der ganzen Ableitung
nicht mehr als zwei Variablen frei vorkommen. Zum Glück ist das in den meisten praktischen
Fällen so. Und dann gilt:
a) Kommt überhaupt nur eine Variable frei vor, kann nichts schiefgehen, und wir haben fertig.
b) Kommen zwei Variablen, χ 1 und χ2 frei darin vor, dann können sie in zwei verschiedenen
Reihenfolgen, R1 und R2, vorkommen: R1= χ1 , χ2
R2= χ2 , χ1
Wir fragen uns nun zu (R1): Kommt χ1 frei in einer Zeile vor, in der χ2 geflaggt ist? Falls nein,
haben wir fertig. Falls ja, fragen wir uns zu (R2): Kommt χ2 frei in einer Zeile vor, in der χ1
geflaggt ist? Falls ja, verwerfen wir die Ableitung; falls nein, haben wir fertig.
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Gelungene Herleitungen
(in diesem Kurs: „Ableitung“ = „Herleitung“)
(1) rein „aussagenlogische“ Ableitung ohne Verwendung der neuen
Regeln
* 1. ~ ~ ∀x [Fx]
Hyp
* 2. ∀x [Fx]
1.
AL (doppelte Negation)
3. ~ ~ ∀x [Fx] → ∀x [Fx]
1,2. I →
(3) US und EG
* 1. ∀x [Fx]
Hyp
* 2.
Fx0
1.
US
* 3. ∃x [Fx]
2.
EG
4. ∀x [Fx] → ∃x [Fx] 3. I →
wenn alles F ist
dann auch x0
dann gibt es auch ein F
wenn also alles F ist, ist etwas F
(2) Ableitung mit US, UG und Def. ∃
* 1. ∀x [Fx → Gx ]
Hyp Alles ist, wenn es F ist, auch G
* 2. Fx0 → Gx0
1. US also ist x0, wen n es F ist, G
* 3. ~ (Fx0 ∧ ~ Gx0 )
2. AL dann ist es nicht F-und-nicht-G
* 4. ∀x [~ (Fx ∧ ~ Gx )] 3. x0 UG was man verallgemeinern darf
* 5. ~ ~ ∀x [~ (Fx ∧ ~ Gx )] 4. AL woraus man mit DN bekommt:
* 6. ~ ∃x [ Fx ∧ ~ Gx ]
5. DEF Dann ist nichts F und nicht G
7. ∀x [Fx → Gx ] → ~ ∃x [ Fx ∧ ~ Gx ] 1., 6. I→ Wenn also 1., dann 6.
(4) ES und EG
* 1. ∃x [Fx ∧ Gx]
Hyp
* 2. Fx0 ∧ Gx0 1. x0 ES
* 3. Gx0 ∧ Fx0 2. AL
* 4. ∃x [Gx ∧ Fx] 3. EG
es gebe etwas, das F und G ist
sagen wir: x0 . Dann ist x0 F und G
Dann ist x 0 auch G und F
und dann gibt es auch etwas, das G und F ist
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Misslungene Herleitungen
(5) geflaggte Variable in der letzten Zeile (scheitert an Test A)
* 1. ∃x [Fx]
Hyp es gibt etwas, das F ist
* 2.
Fx0
1. x0 ES nennen wir dieses Ding „x0 “, so ist x0 F
3. ∃x [Fx] → Fx0 3. I → wenn es also irgendetwas gibt, das F ist,
dann x0.
(6) Doppelflaggung (scheitert an Test B)
* 1. ∃x [Fx]
Hyp es gebe etwas, das F ist
* 2.
Fx0
1. x0 ES nennen wir dieses Ding „x0 “, so ist x0 F
* 3. ∀x [Fx]
2. x0 UG dann ist aber auch alles F
4. ∃x [Fx] → ∀x [Fx] 3. I → wenn also etwas F ist, ist alles F