Die neuen Zahlen

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Die neuen Zahlen
von Hartwig Göpfert, 2004.
Die Abbildung der Exponentialfuntionen,
der Logarithmusfunktionen und der
Potenzfunktionen an der Stelle Unendlich
auf die Menge der Ordnungsmaßzahlen
Die folgende Arbeit stellt sich nicht als Aufgabe die genannten Funktionen
an der Stelle Unendlich miteinander zu vergleichen. Dieser Vergleich wurde
bereits von PAUL DU BOIS REYMOND (um 1869) durchgeführt und von
G. HARDY(1924) vollendet.
Durch diese Arbeit ist es möglich geworden, dass man die genannten
Funktionen an der Stelle Unendlich auf Ordnungsmaßzahlen abbilden
kann. Mit diesen Ordnungsmaßzahlen wurde ein algebraischer
Halbkörper erzeugt, welcher es uns ermöglicht die Kompliziertheit der
Funktionen an der Stelle Unendlich zu vernachlässigen. Wir können
mit dem neuen Zahlenbereich jedes Unendlich, welches durch die
Funktionen an der Stelle Unendlich erreicht wird, darstellen. Darüber
hinaus können wir mit den Ordnungsmaßzahlen uneingeschränkt nach
den Axiomen eines Halbkörpers operieren. Das Archimedische Prinzip
ist für die neuen Zahlen gültig und musste für die Einheiten der
Unendlichkeit verallgemeinert werden.
Zwischen den Ordnungen der genannten Funktionen an der Stelle
Unendlich und den Ordnungsmaßzahlen besteht Homomorphie.
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Inhaltsverzeichnis
Thema………….………………………………………………….Seite 1
Inhaltsverzeichnis…………………………………………………….....2
Fakten……………………………………………...…………………….3
Der Einfluß von k und α auf die Ordnung der Unendlichkeit……..5
Die Abbildung der Funktionskeime an der Stelle Unendlich
auf Ordnungsmaßzahlen……………………………………………….5
Das kleinste Unendlich………………………………………………….6
Die Axiomatisierung…………………………………………………….8
Operationen in der Menge(M) der Ordnungsmaßzahlen
und die geltenden Gesetze……………………………………..9
Das Archimedische Prinzip…………………………………...10
Die Monotoniegesetze in der Menge(M) …………………….11
Das Problem der Multiplikation in der Menge(M)………….12
Das Einselement………………………………………………..13
Zusammenfassung……………………………………………………….14
Abschließende Bemerkungen und Quellen………….…………………15
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Fakten
xα
= ∞ , wenn α , µ ∈ ℜ ( + ) , x ∈ ℜ, α φ µ .
x →∞ x µ
1. lim
xα
= ∞ , wenn α ∈ ℜ ( + ) , x ∈ ℜ .
x → ∞ ln x
2. lim
ex
= ∞ , wenn α ∈ ℜ ( + ) , x ∈ ℜ .
α
x →∞ x
3. lim
ln x
= ∞ oder allgemein
x →∞ ln ln x
4. lim
ln ( k ) x
= ∞ , wenn k ∈ Ν , k ≠ 0 und
x → ∞ ln ( k +1) x
lim
ln (1) x = ln x, ln ( 2) x = ln ln x, ln ( 3) x = ln ln ln x,...usw.
(ln x)α
5. lim
= ∞ , wenn α , µ ∈ ℜ ( + ) , α φ µ .
x → ∞ (ln x ) µ
(ln ( k ) x) α
= ∞ , wenn α , µ ∈ ℜ ( + ) , k ∈ Ν , k ≠ 0 .
x → ∞ (ln ( k +1) x ) µ
6. lim
7. Da die Exponentialfunktion invers zur Logarhitmusfunktion ist, vereinbaren wir folgende Schreibweise:
x
a) e x = ln ( −1) x; e e = ln ( −2 ) x;..., usw.
b) lim x α = lim(ln ( 0 ) x α ) , wenn x ∈ ℜ, α ∈ ℜ ( + ) .
x→∞
x →∞
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Die Äquivalenzklassenbildung
1.Gegeben seien die verallgemeinerten Polynomfunktionen f und g mit
f ( x) = aα x α + a β x β + .... + a0 x 0 und
g ( x) = bα x α + bδ x δ + ... + b0 x 0 .
Dabei sei α der größte vorkommende Exponent mit α ∈ ℜ (+ ) bei den
Funktionen f und g .
aα und bα seien die postiven reellen Koeffizienten jeweils zu x α . Alle
anderen Koeffizienten und Exponenten (mit der genannten Einschränkung)
seien im Bereich der reellen Zahlen ( ℜ ) frei wählbar.
Jetzt gelte folgende Äquivalenzrelation:
lim f ( x) = lim g ( x).
x →∞
x →∞
2.Gegeben seien Logarhitmusfunktionen f und g mit
f ( x) = aα (ln x)α + a β (ln x) β + ... + a0 (ln x) 0 und
g ( x) = bα (ln x) α + bδ (ln x) δ + ... + b0 (ln x) 0 .
Dabei sei α der größte vorkommende Exponent mit α ∈ ℜ ( + ) bei den
Funktionen f und g .
aα und bα seien die positiven reellen Koeffizienten jeweils zu (ln x) α . Alle
anderen Koeffizienten und Exponenten (mit der genannten Einschränkung)
seien im Bereich der reellen Zahlen ( ℜ ) frei wählbar.
Jetzt gelte folgende Äquivalenzrelation:
lim f ( x) = lim g ( x) .
x →∞
x →∞
Durch die genannten Vereinbarungen können wir jede Exponential-,
Potenz- und Logarithmusfunktion in der Form schreiben
y = f ( x) = (ln ( k ) x) α mit k ∈ Ζ, α ∈ ℜ ( + ) .
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Der Einfluß von
Unenendlichkeit
k
und
α
auf die Ordnung der
Gegeben sei die Funktion
y = f ( x) = (ln ( k ) x) α mit k ∈ Ζ, α ∈ ℜ ( + ) .
Wir nennen diese Funktion:
1.Eine Funktion vom Grade k oder eine Funktion k-ten Grades und
2.eine Funktion von der Ordnung α oder eine Funktion α − ter Ordnung.
Dabei kann ich innerhalb eines bestimmten Grades k durch α jede Funktion
dieser Art an der Stelle Unendlich ordnen. Durch eine beliebige
Vergrößerung von α erreiche ich aber den (k-1).-Grad der Unendlichleit an
der Stelle Unendlich nicht.
Genau aus diesem Grund ergibt sich die Konsequenz den Grad k als
„Einheit“ der Unenendlichkeit und α
als „Maßzahl“ dieser Einheit
festzulegen.
Wir betrachten nun alle Grade und Ordnungen, die als Komposition einer
solchen
Funktion
an
der
Stelle
Unendlich
auftreten
können:
y = lim f ( x) = lim((ln ( − m ) x) M ⋅ ... ⋅ (ln ( −1) x) A ⋅ (ln ( 0) x)α ⋅ (ln (1) x) β ⋅ ... ⋅ (ln ( n ) x) N ),
x→∞
x→∞
m, n ∈ Ν, A...M ∈ ℜ ( + ) , α ...N ∈ ℜ ( + ) .
Die Abbildung der Funktionskeime an der
Stelle Unendlich auf Ordnungsmaßzahlen
Durch den Grad und die Ordnung sind die Funktionen eindeutig
bezüglich der Größe ihres Unendlichwerdens unterscheidbar. Aus
diesem Grund ist eine Abbildung dieser Funktionen auf
Ordnungsmaßzahlen nur zwingend.
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Definition:
Gegeben sei durch
y = lim f ( x) = lim ((ln ( − m ) x) M ⋅ ... ⋅ (ln ( −1) x) A ⋅ (ln ( 0 ) x) α ⋅ (ln (1) x) β ⋅ ... ⋅ (ln ( n ) x) N
x→∞
x →∞
die Menge aller möglichen Unendlichkeiten der e-, ln- und
Potenzfunktionen mit den beschriebenen Eigenschaften.
Die Abbildung
z = g ( y ) = Md − m + ... + Ad −1 + αd 0 + β d 1 + ... + Nd n
erzeugt die Menge aller eindeutig zugeordneten Ordnungsmaßzahlen,
m, n ∈ Ν; A...M ∈ ℜ ( + ) ; α ...Ν ∈ ℜ ( + ) .
d i :=" Einheit" der Unendlichkeit (mit i ∈ Ν, i läuft von − m bis n ).
Somit sind die Ordnungsmaßzahlen eine Art „komplexe Zahlen“ mit
endlich vielen Einheiten, die man ordnen kann.
RIEMANN formulierte zur Möglichkeit des Ordnens von Zahlen in:
„Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“, §2:
„…geht man bei einem Begriffe, dessen Bestimmungsweisen eine stetige
Mannigfaltigkeit bilden, von einer Bestimmungsweise auf eine
bestimmte Art zu einer anderen über, so bilden die Bestimmungsweisen
eine einfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit, deren wesentliches
Kennzeichen ist, dass in ihr von einem Puncte nur nach zwei Seiten,
vorwärts oder rückwärts, ein stetiger Fortgang möglich ist.“
Das kleinste Unendlich
Da
ln ln x
mit wachsendem x schwächer als
ln x ,
ln ( n +1) x
schwächer als
ln ( n) x
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unendlich wird, so kommt man bei diesem Verfahren niemals zu einem
kleinsten Unendlich. Bildet man dieses Unendlich auf die Ordnungen
ab, so erhalten wir Ordnungsmaßzahlen, die mit wachsendem n immer
kleiner werden und doch verschieden von Null sind. Diese Zahlen sind
unendlich mal unendlich dichter als die reellen Zahlen.
In der Tat gibt es aber noch Funktionen, die stetig und streng monoton
wachsend sind und schwächer wachsen als jedes
ln ( n) x ,
unabhängig wie groß auch n sein mag.
Wir erzeugen eine Funktion Ψ ( x) in folgenden Schritten :
1.Man ordnet ihr den Wert 1 für das x zu, für welches
ln x = 1 wird (in diesem Fall x = e ).
2. Man ordnet ihr den Wert 2 für das x zu, für welches
ln ln x = 2 wird (in diesem Fall e e ). Fährt man so fort, erhält man
schließlich den Wert n (n ∈ N ; n ≠ 0) für das x , für welches
ln ( n ) x = n wird.
Dieser Ansatz bildet den Ausgangspunkt für die Erzeugung der neuen
Funktion. Man kann leicht für andere Werte von x die Funktion Ψ ( x)
so einrichten, dass Ψ ( x) streng monoton wachsend und stetig ist. Das
geschieht, in dem man zwischen
x n und x n +1 , wenn
Ψ ( x n ) = n und Ψ ( x n +1 ) = (n + 1) ist,
Ψ ( x) =
n ⋅ x n +1 − (n + 1) ⋅ x n
x
+
x n +1 − x n
x n+1 − x n
setzt.
Die Funktion Ψ ( x) ist dabei stetig und streng monoton wachsend. Es
gilt hier zusätzlich die wichtige Eigenschaft:
Ψ ( x)
ln ( n ) x
wird mit wachsendem x verschwinden (unabhängig von n ), weil
Ψ ( x) von x = x n+1
an immer kleiner als
ln ( n +1) x
bleibt.
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Damit ist bewiesen, dass die Funktion Ψ ( x) ein kleineres Unendlich
erzeugt als jede Funktion der Form
ln ( n ) x .
Naturgemäß kann man auf die Funktion Ψ ( x) wieder ln anwenden:
ln(Ψ ( x)) .
Die Fortführung dieser Konstruktion erzeugt wiederum Funktionen,
die noch geringer wachsen als die Funktion Ψ ( x) . Aus diesem Grund
reichen die Ordnungsmaßzahlen nicht aus, jeder möglichen Ordnung
eine solche „komplexe Zahl“ zuzuweisen.
Die Axiomatisierung
Definition:
Gegeben sei die Menge
ℜ ( + ) × d − n +..+ ℜ ( + ) × d − 2 + ℜ ( + ) × d −1 + ℜ ( + ) × d 0 + ℜ ( + ) × d 1 + ℜ ( + ) × d 2 + …
+ ℜ (+) × d n ,
ℜ sei die Menge der nicht negativen reellen Zahlen;
d n sei die Einheit des Unendlichwerdens (mit n ∈ Ν ).
Dann heißen alle (2n+1)-Tupel dieser Menge die Ordnungsmaßzahlen.
Definition:
1.Zwei Zahlen
α + β d1 + χd 2 + δd 3 + ... und α `+ β ´d1 + χ´d 2 + δ ´+...
sind gleich, wenn
α = α ´; β = β ´; χ = χ `;... ist.
2.Bilden wir von diesen Zahlen die Differenz, so ist die erste Zahl die
größere, wenn die erste der Differenzen
α − α ´; β − β ´; χ − χ ´;... ,
die nich Null wird, positiv ist.
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Die Operationen in der Menge (M) der
Ordnungsmaßzahlen und die geltenden Gesetze
(„ OZ “ wird aus praktischen Gründen manchmal für „Ordnungsmaßzahl“ verwendet).
Die Operationen und Gesetze sind auch für Ordnungsmaßzahlen mit
negativen Einheiten gültig.
1.Addition
(αd 0 + ...Nd n ) + (α ´d 0 + ...N `d n ) = (α + α ´)d 0 + ... + ( N + N `) d n
2.Multiplikation
(αd 0 + β d 1 ) ο(α ´d 0 + β ´d 1 ) = αα ´d 0 + αβ ´d 1 + βα ´d1 + ββ ´d 2 =
αα ´d 0 + (αβ ´+ βα ´)d1 + ββ ´d 2
3.Division
1
1
β
N
= (1d 0 + d 1 + ... + d n ) −1 .
αd 0 + β d1 + ... + Nd n α
α
α
l.Kommutativgesetz der Addition in M
(αd 0 + ... + Nd n ) + (α ´d 0 + ... + N `d n ) = (α ´d 0 + ... + N `d n ) + (αd 0 + ... + Nd n )
2.Kommutativgesetz der Multiplikation in M
(αd 0 + ... + Nd n ) ο(α ´d 0 + ... + N `d n ) = (α ´d 0 + ... + N `d n ) ο (αd 0 + ... + Nd n )
3.Assoziativgesetz der Addition in M
(OZ 1 + OZ 2 ) + OZ 3 = OZ 1 + (OZ 2 + OZ 3 )
4.Assoziativgesetz der Multiplikation in M
(OZ 1 οOZ 2 ) οOZ 3 = OZ 1 ο (OZ 2 οOZ 3 )
5.Distributivgesetz in M
Wenn
OZ 1 ; OZ 2 ; OZ 3 ∈ Μ ,
dann gilt:
OZ 1 ο (OZ 2 + OZ 3 ) = OZ 1 οOZ 2 + OZ 1 οOZ 3 .
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Das Archimedische Prinzip in M
Die Frage nach der Ordnungsrelation in M muß unter zwei
Gesichtspunkten untersucht werden:
1. ad 1 π bd1 (a, b ∈ ℜ ( + ) ) , wenn a π b (analog zur Relation in ℜ ).
2. d1 φ d 2 , weil ein d n existiert, so dass gilt
d n ο d 2 = d1 .
Das Archimedische Prinzip muß hier auf die Einheiten angewendet,
weil Einheiten verglichen werden.
Diese Erweiterung des Prinzips macht Sinn, weil es auf der Hand
liegt, dass es keine reelle Zahl gibt,
so dass gilt:
k ο d 2 = d 1 ( k ∈ ℜ)
und doch eine Unterscheidung von zwei Ordnungsmaßzahlen eindeutig existiert.
Satz:
Die Menge M ist geordnet.
Beweis:
1.Die Relation R ist irreflexiv, weil gilt: Für alle
oz ∈ M ist
(¬(ozRoz )) .
2.Die Relation R ist asymmetrisch, weil gilt: Für alle
oz1 ; oz 2 ∈ Μ ist
(oz1 Roz 2 ⇒ ¬(oz 2 Roz1 ) .
3.Die Relation R ist transitiv, weil gilt: Für alle
oz1 ; oz 2 ; oz 3 ∈ Μ ist
((oz1 Roz 2 ∧ oz 2 Roz 3 ) ⇒ oz1 Roz 3 ) .
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Analog existiert im Bereich der Menge (M) der Ordnungsmaßzahlen
auch die Äquivalenzrelation. Es gelten die Eigenschaften:
1.reflexiv
2.symmetrisch
3.transitiv.
Die Monotoniegesetze in der Menge (M) der
Ordnungsmaßzahlen
1.Bezüglich der Addition
Wenn
oz1 π oz 2 ,
dann existiert eindeutig ein
x∈M ,
so dass gilt:
oz1 + x = oz 2 .
Diese Eigenschaft führt nicht zum Widerspruch, weil die formelle
Differenz immer positiv ist und damit die zugehörige Division bei den
Funktionen an der Stelle ∞ niemals 0 wird.
2.Bezüglich der Multiplikation
Wenn
oz1 π oz 2 ,
dann existiert eindeutig ein
x ∈ Μ; x ≠ 0 ,
so dass gilt:
oz1 ο x = oz 2 .
Die Ordnungsmaßzahlen können niemals Null werden, da die
betrachteten Funktionen als „streng monoton“ vorausgesetzt sind. Die
Einführung der Zahl Null als neutrales Element für die Addition hat
nur formalen Charakter, weil die Subtraktion nicht uneingeschränkt
durchführbar ist.
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d 2 − d1
ist nicht definiert, weil die Subtraktion der Ordnungsmaßzahlen bei
den Funktionen der Division entspricht. Beim angeführten Beispiel
führt die Division der Funktionen auf Null und wir verlassen damit die
Menge. Nur aus diesem Grund ist die Subtraktion nicht
uneingeschränkt zugelassen.
Das Problem der Multiplikation in der Menge
(M) der Ordnungsmaßzahlen
Wenn man die Multiplikation der Ordnungsmaßzahlen definiert als
ad 1 οbd 2 = abd 1+ 2 = abd 3 ,
so tritt die Frage nach deren Bedeutung bei den Funktionen auf.
Es macht keinen Sinn die Multiplikation im Bereich der
Ordnunsmaßzahlen auf das Potenzieren im Bereich der Funktionen zu
übertragen. Wir haben hier das Problem der Nichkommutativität von
Potenzen. Außerdem tritt die Frage nach dem Sinn von
x
(ln x) ln x oder (ln x) e auf.
Auch bei noch so großen Bemühungen in dieser Richtung kommt man
zu keinem vernünftigen Ergebnis. Die innere Verwandtschaft der lnund e-Funktion bietet allerdings brauchbare Alternativen:
1.Wenn
f ( x) = y = ln x = ln (1) x ,
so ist
z = g ( y ) = d1 .
Wenn
f ( x) = y = (ln x) β = (ln (1) x) β ,
so ist
z = g ( y ) = β d1 .
2.Wenn
f ( x) = y = e x ,
so kann man auf Grund der inversen Verwandtschaft zwischen ln- und
e-Funktion auch schreiben:
f ( x) = y = e x = ln ( −1) x ,
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dann ist
z = f ( y ) = d −1 .
Wenn
f ( x) = y = (ln ( −1) x) A ,
so ist
z = g ( y ) = Ad −1 .
Das Einselement
Die innere Verwandtschaft zwischen ln- und e-Funktionen birgt in
ihrem Kern die Erzeugung des Einselementes.
Da
d 1 ο d −1 = d 0
oder allgemein
d n ο d −n = d 0
gilt,
folgt als Einselemt die Ordnungsmaßzahl
1d 0 .
Wenn mann die Operationen im Bereich der Ordnungsmaßzahlen so
definiert, dann muß man die Bedeutung dieser Aussagen auf den
Bereich der Funktionen so übertragen, dass sie in keinem Widerspruch
zu diesen stehen dürfen. Aus diesem Grund ergibt sich die
Notwendigkeit der Definition einer neuen Operation. In diesem Sinne
legen wir fest:
Definition:
(ln (1) x) β ⊗ (ln ( 2 ) x) χ = (ln (1+ 2) x) β οχ = (ln (3) x) β οχ
oder allgemein
(ln ( n ) x) A ⊗ (ln ( m ) x) B = (ln ( n+ m ) x) AοB , (n, m ∈ Z ; A, B ∈ ℜ ( + ) ) .
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Folgerung:
Mit dieser Definition haben wir die Problematik der Koeffizienten und
der Kommutativität gelöst.
Somit entspricht:
Ad n ο Bd m = ABd n + m
bei den Ordnungsmaßzahlen
(ln ( n ) x) A ⊗ (ln ( m ) x) B = (ln ( n+ m ) x) AοB
bei den Funktionen.
Zusammenfassung
Gegeben seien die Potenz-, ln- und e-Funktionen (Menge F), die an der
Stelle x gleich Unendlich den Funktionswert Unendlich haben. Sie kann
man bezüglich ihres Verhaltens im Unendlichen der Größe nach
unterscheiden und in der allgemeinen Form schreiben:
y = lim f ( x) = (ln ( − m ) x) M ⋅ ... ⋅ (ln ( −1) x) A ⋅ (ln ( 0) x) α ⋅ (ln (1) x) β ⋅ ... ⋅ (ln ( n ) x) N .
x→∞
Die Abbildung dieser Komposition von Funktionskeimen führt auf die
Ordnungsmaßzahlen (Menge M) der Form:
z = g ( y ) = Md − m + ... + Ad −1 + αd 0 + βd 1 + ... + Nd n . .
Für diese Ordnungsmaßzahlen gelten die folgenden Axiome
1.Zu je zwei Elementen z1 , z 2 ∈ M gibt es genau ein Element
( z1 + z 2 ) ∈ M , dass die Summe von z1 , z 2 genannt wird.
2.Für alle z1 , z 2 , z 3 ∈ M gilt: z1 + ( z 2 + z 3 ) = ( z1 + z 2 ) + z 3 .
3.Für alle z1 , z 2 ∈ M gilt: z1 + z 2 = z 2 + z1 .
4.Zu je zwei Elementen z1 , z 2 ∈ M gibt es genau ein Element
( z1 ο z 2 ) ∈ M , dass das Produkt von z1 , z 2 genannt wird.
5.Für alle z1 , z 2 , z 3 ∈ M gilt: z1 ο ( z 2 ο z 3 ) = ( z1 ο z 2 ) ο z 3 .
6.Für alle z1 , z 2 ∈ M gilt: z1 ο z 2 = z 2 ο z1 .
7.Für alle z1 , z 2 ∈ M gibt es ein x ∈ M , so dass z1 ο x = z 2 ( z1 ≠ 0) .
8.Für alle z1 , z 2 , z 3 ∈ M gilt: z1 ο ( z 2 + z 3 ) = z1 ο z 2 + z1 ο z 3 und
( z1 + z 2 ) ο z 3 = z1 ο z 3 + z 2 ο z 3 .
Damit bildet die Menge M der Ordnungsmaßzahlen als
algebraische Struktur einen Halbkörper.
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Die Beziehungen zwischen der Menge der
Funktionskeime (F) und der Menge der
Ordnungsmaßzahlen (M), ( x → ∞ )
1.Wenn f ( x) φ g ( x) , dann gilt z ( f + g ) = z ( f ) .
2.Wenn y = g ο f , dann gilt z ( y ) = z ( f ) + z ( g ) .
3.Wenn y = m ο f ( x); m ∈ ℜ; m φ 0 , dann gilt z = f ( y ) .
4.Wenn y = f ( x) ⊗ g ( x) , dann gilt z ( y ) = z ( f ) ο z ( g ) .
5.Wenn y = ( f ( x)) λ , dann gilt z ( y ) = λ ο z ( f ) , ( f ( x) = (ln ( n ) x), n ∈ Ζ ).
Durch die Punkte 1. und 3. verschwinden die endlichen Zahlen beim
Grenzübergang an der Stelle x = ∞ . Dieser Vorgang ist natürlich, weil
die Zahlen den Verlauf der Funktionen nur im endlichen Bereich
beeinflussen. Geht man von dieser Tatsache aus, so kann man zwischen
den Ordnungen der Funktionen im Unendlichen und den
Ordnungsmaßzahlen von Homomorphie sprechen.
Abschließende Bemerkungen
Paul DU BOIS REYMOND (1831-1889) und G.H.HARDY (1877-1947)
beschäftigten sich mit dem Vergleich von unendlichen Reihen an der
Stelle Unendlich. DU BOIS REYMOND untersuchte um 1869/70 die
Stetigkeit von reellen und komplexen Funktionen. Er stieß bei dieser
Arbeit auf das Problem der Messbarkeit des Grades von Stetigkeiten.
HARDY beschränkte sich bei seiner Arbeit auf den Vergleich der
Ordnungen der Funktionen an der Stelle Unendlich. Im Mittelpunkt
seiner Arbeit stand die Entscheidung der Konvergenz und Divergenz
von unendlichen Reihen. DU BOIS REYMOND zeigte, dass es
Funktionen gibt, die an der Stelle Unendlich geringer wachsen als jeder
beliebige Grad einer ln-Funktion. Die neuen Zahlen sind unendlich mal
unendlich dichter als die reellen Zahlen.
Was kann man mit diesen Zahlen tun? Worin besteht das
Ziel?
1. Wir können mit diesen Zahlen wiederum Funktionen bilden.
2. Die Bedeutung dieser Zahlen für die Geometrie gibt Anlaß für
für die Schaffung einer neuen Theorie.
Quellen:
1.DU BOIS REYMOND:“Eine neue Theorie der Convergenz und Divergenz von Reihen mit positiven
Gliedern“; Crelles Journal, BD.76, pag.88, 1872.
2.HARDY:“Orders of infinity“; Cambridge at the university press, 1924.
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