Frühjahr 2016

TU Dortmund
Fakultät Maschinenbau
Institut für Mechanik
Prof. Dr.-Ing. A. Menzel
Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Frühjahr 2016
Frühjahr 2016
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Eine Punktmasse (Masse m) befindet sich
auf einer reibungsfreien schiefen Ebene
(Neigungswinkel α) im Schwerefeld der
Erde. Im Punkt A ist die Geschwindigkeit
vA der Punktmasse bekannt.
g
C
B
h y vA
m
A
α
µ
α
x
D
b
a)
Berechnen Sie die Geschwindigkeit v B der Punktmasse in Punkt B.
(1,0 Punkte)
vB =
Wie groß muss die Geschwindigkeit vA mindestens sein, damit Punkt B erreicht wird?
(1,0 Punkte)
vA ≥
b)
Die Punktmasse verlässt die schiefe Ebene in Punkt B mit der nun vorgegebenen Geschwindigkeit v B > 0 und überfliegt anschließend einen Spalt der Breite b. Geben sie
zunächst den Ortsvektor s(t) = x(t) ex + y(t) ey als Funktion der Zeit t in kartesischen
Koordinaten an.
(1,5 Punkte)
Hinweis: Verwenden Sie hier NICHT ihr Ergebnis für v B aus Aufgabenteil a)!
s(t) =
ex +
ey
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
Geben Sie den Winkel α an, für den die Punktmasse bei vorgegebener Geschwindigkeit
v B exakt Punkt C erreicht.
(1,5 Punkte)
Hinweis: sin(2 α) = 2 sin(α) cos(α)
α=
Wie groß ist die maximale Höhe ymax der Punktmasse beim Überfliegen des Spaltes?
(1,0 Punkte)
Hinweis: Das obige Ergebnis für α soll hier NICHT eingesetzt werden!
ymax =
c)
Es soll nun davon ausgegangen werden, dass die Punktmasse exakt in Punkt C landet und
dort die vorgegebene Geschwindigkeit vC entlang der reibungsbehafteten schiefen Ebene
(Neigungswinkel α) aufweist. Geben Sie den Gleitreibungskoeffizienten µ an, für den die
Masse genau in Punkt D zum Stillstand kommt.
(1,0 Punkte)
Hinweis: vC soll NICHT eingesetzt werden!
µ=
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
d)
Zwei Massen m1 und m2 = 2 m1 bewegen sich auf einer reibungsfreien Bahn mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 = v1 /2 in horizontaler Richtung.
m1
v1
l1
m2
2c
v2
l 2 > l1
Bestimmen Sie die kinetische Energie nach einem vollplastischen Stoß beider Punktmassen.
(1,0 Punkte)
Ekin =
Bestimmen Sie die bei diesem Stoß dissipierte Energie.
(1,0 Punkte)
∆ Ekin =
Die beiden Punktmassen treffen anschließend auf eine ungespannte Feder mit der Federsteifigkeit 2 c. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v der Punktmassen als Funktion der
Federstauchung ∆ l.
(1,0 Punkte)
v(∆ l) =
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte, im Schwerefeld der Erde befindliche System besteht aus einer abgesetzten
Rolle, einer masselosen Umlenkrolle sowie einem Masseklotz, welche alle eine homogene
Dichteverteilung aufweisen. Die Teilelemente sind über ein dehnstarres Seil in der gezeigten Weise miteinander verbunden. Des Weiteren besteht das System aus einer Feder
(Federsteifigkeit c) sowie aus einem Dämpfer (Dämpferkonstante d). Alle weiteren Informationen bezüglich des Systems und der jeweiligen Bestandteile sind der Zeichnung zu
entnehmen. Die Feder ist in der dargestellten Lage ungespannt.
ϕ
g
r2
x
l
r1
R1
m
c
h
α
M, Θ
ψ
y
d
N.N.
a)
Geben Sie die Schwerpunkts- und Winkelgeschwindigkeit, ẋ und ψ̇, der abgesetzten Rolle
sowie die Geschwindigkeit ẏ des Masseklotzes in Abhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit
ϕ̇ der masselosen Umlenkrolle an.
(1,5 Punkte)
ẋ(ϕ̇) =
ψ̇(ϕ̇) =
ẏ(ϕ̇) =
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
b)
Hinweis: Für die Lösung der Teilaufgabe b) sollen NICHT die Ergebnisse aus Aufgabenteil a) verwendet werden!
Bestimmen Sie die kinetische Energie des Systems Ekin in Abhängigkeit der vorgegebenen
Koordinaten.
(1,5 Punkte)
Ekin =
Bestimmen Sie die potentielle Energie des Systems Epot in Abhängigkeit der vorgegebenen
Koordinaten bezogen auf das dargestellte Nullniveau N.N.
(1,5 Punkte)
Epot =
Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δW der nichtkonservativen Kräfte in Abhängigkeit der
vorgegebenen Koordinaten.
(0,5 Punkte)
δW =
c)
Im Folgenden sind die potentielle und kinetische Energie sowie die virtuelle Arbeit der
nicht-konservativen Kräfte eines schwingfähigen Systems gegeben. Bei den einzelnen Größen handelt es sich um eine Masse m, ein Trägheitsmoment Θ, eine Länge l, die Erdbeschleunigung g sowie Federsteifigkeiten c und k. Der Winkel ϕ beschreibt den Freiheitsgrad
des Systems, welches einem eingeprägten Moment M0 cos(Ω t) ausgesetzt ist.
Ekin = 2 Θ ϕ̇2
Epot = 5 c l2 [1 − cos(ϕ)] + k ϕ3 + 7 m g l
δW = 2 M0 cos(ϕ) cos(Ω t) δϕ
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
Stellen Sie die Bewegungsgleichung bezüglich des Freiheitsgrades ϕ für beliebig große
Auslenkungen auf.
(2,0 Punkte)
Geben Sie die linearisierte Form der Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen um die
Ausgangslage (ϕ = 0) an.
(1,5 Punkte)
Bestimmen Sie anhand der zuvor aufgestellten linearisierten Bewegungsgleichung die Eigenkreisfrequenz ω und die Amplitude A der erregten Schwingung im eingeschwungenen
Zustand.
(1,5 Punkte)
ω =
A =
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
Dargestellt ist die Momentaufnahme eines kinematischen Systems zu einem bestimmten
Zeitpunkt, in dem die Winkelbeschleunigung ω3 bekannt sei. Die Teilkörper des Systems
weisen eine homogene Masseverteilung sowie einen konstanten Querschnitt auf.
l
l ey
O
ω1
1
ex
A
C
S
ω2
√
2
5l
ω3
3
l
B
a)
Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten v A (ω1 ) = vAx ex + vAy ey und v B (ω3 ) = vBx ex +
vBy ey , die Winkelgeschwindigkeiten ω1 (ω3 ) und ω2 (ω3 ) sowie die Geschwindigkeit v S (ω3 ) =
(6,0 Punkte)
vSx ex + vSy ey des Schwerpunktes S des Stabes 2.
Hinweis: Die unbekannten Winkelgeschwindigkeiten sind gemäß des durch das gegebene
Koordinatensystem definierten Drehsinns positiv anzunehmen.
v A (ω1 ) =
ex +
ey
v B (ω3 ) =
ex +
ey
ω1 (ω3 ) =
v S (ω3 ) =
ω2 (ω3 ) =
ex +
ey
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
b)
Für das nun gegebene System sind die Winkelgeschwindigkeiten ω1 , ω2 und ω3 sowie die
Winkelbeschleunigung ω̇3 in der dargestellten Konfiguration bekannt. Der Drehsinn dieser
Größen richtet sich nach dem vorgegebenen Koordinatensystem.
ey
ω1
C
A
O
1
ex
ω3 , ω̇3
2
ω2
l
l
3
l
B
Berechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ω̇1 und ω̇2 der Stäbe 1 und 2 für die abgebildete
Konfiguration des Systems in Abhängigkeit der gegebenen Größen.
(3,0 Punkte)
Hinweis: Die unbekannten Winkelbeschleunigungen sind gemäß des durch das gegebene
Koordinatensystem definierten Drehsinns positiv anzunehmen.
ω̇1 =
ω̇2 =
Geben Sie die Position r M = rMx ex + rMy ey des Momentanpols M für Körper 2 in der
gezeigten Konfiguration an.
(1,0 Punkt)
rM =
ex +
ey
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Herbst 2015
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte System besteht aus einem
starren Dreiecksträger sowie zwei starren
Kreisscheiben A und B. Der Dreiecksträger
setzt sich dabei aus drei homogenen, starren
Stäben zusammen und ist im Punkt O
frei drehbar gelagert. Beide Kreisscheiben
bewegen sich auf einer Kreisbahn und rollen
in den dargestellten Berührpunkten C und D
schlupffrei ab. Die jeweiligen Abmessungen
und Massen der Körper sind der nebenstehenden Zeichnung zu entnehmen.
β
m5 , r
B
m3
D
ϕ
m2
C
A
m4 , r
m1
eϕ
er
O
α
l
a)
Bestimmen Sie die Ortsvektoren der Stabschwerpunkte im (er , eϕ )-System. (1,5 Punkte)
r S1 =
r S2 =
r S3 =
Bestimmen Sie das Gesamtträgheitsmoment Θ△,O des aus den Stäben mit den Massen
m1 , m2 , m3 bestehenden Dreiecksträgers bezüglich des Punktes O.
(1,5 Punkte)
Θ△,O =
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Geben Sie die kinetische Energie Ekin (ϕ̇, α̇, β̇) des Systems an. Verwenden Sie in diesem
Aufgabenteil den allgemeinen Ausdruck ΘO für das Trägheitsmoment des Dreiecksträgers.
Die Winkelgeschwindigkeiten α̇ und β̇ sollen zunächst als unabhängig angesehen werden.
(2,5 Punkte)
Ekin (ϕ̇, α̇, β̇) =
c)
Spezifizieren Sie die Winkelgeschwindigkeiten α̇ und β̇ als Funktion von ϕ̇. (2,0 Punkte)
α̇(ϕ̇) =
β̇(ϕ̇) =
d)
Die kinetische Energie des Gesamtsystems lässt sich in der Form
Ekin =
1
Θsys ϕ̇2
2
mit einem hier als bekannt vorausgesetzten Systemträgheitsmoment Θsys darstellen. Zusätzlich greife ein konstantes Moment M0 in positiver Drehrichtung um das Drehzentrum
O an, welches das System antreibt. Geben Sie auf Basis dieser Größen die Bewegungsgleichung des Systems bezüglich ϕ an.
(1,0 Punkte)
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
Geben Sie die Lösung der Bewegungsgleichung für die Anfangsbedingungen
ϕ̇(t = 0) = 0 ,
an.
ϕ(t) =
ϕ(t = 0) = ϕ0
(1,5 Punkte)
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Eine starre Stange (Masse M, Länge l) wird aus der dargestellten Ruhelage (ωS = 0) im
Schwerefeld g losgelassen und stößt im Punkt A vollkommen elastisch auf eine zylindrische Scheibe (Masse m, Radius r), welche zunächst auf der glatten Ebene zwischen A und
B reibungsfrei gleitet. Zwischen den Punkten B und D ist die Bahn rauh (Reibkoeffizient
µ), sodass die starre Scheibe dort ideal abrollt (Rollreibung ist zu vernachlässigen). Im
Punkt D trifft die Scheibe vollkommen elastisch auf eine ideal glatte Platte, die von einer
Feder (Federkonstante c) gehalten wird.
l
y
M
ωS
µ=0
A′
m, r
h
A
x
µ 6= 0
g
µ 6= 0
B
C
c
N.N.
D
a)
Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ωS sowie die Geschwindigkeit des Berührpunktes A′
der Stange unmittelbar vor dem Stoß mit der Scheibe an.
(1,0 Punkte)
ωS =
vA′ =
Berechnen Sie die Geschwindigkeit v̄A der Scheibe unmittelbar nach dem Stoß. In welchem
Verhältnis müssen die Massen m und M stehen, sodass die Stange nach dem Stoß in Ruhe
verweilt?
(2,0 Punkte)
v̄A =
m
=
M
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
b)
Gehen Sie nun davon aus, dass die Geschwindigkeit der Scheibe unmittelbar nach dem
Stoß durch v̄A = v0 gegeben ist. Berechnen Sie die Geschwindigkeit sowie die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe in Punkt C.
(1,0 Punkte)
vC =
ωC =
c)
Gehen Sie nun davon aus, dass die Geschwindigkeit der Scheibe in Punkt C durch vC
gegeben ist. Berechnen Sie die maximale Stauchung ∆l der Feder während des Kontaktes
mit der Scheibe in Punkt D.
(2,0 Punkte)
∆l =
d)
Ein Gleitkörper (Masse m) weist in der dargestellten Lage die Geschwindigkeit v0 auf
und bewegt sich eine reibungsfreie Ebene hinauf. In Punkt A (vertikaler Abstand h0 ) geht
die Ebene in eine kreisförmige Bahn (Radius
R) über.
v0min
Welchen Wert
muss die Geschwindigkeit
des Körpers in der dargestellten Lage mindestens haben, damit dieser den Punkt A erreicht?
(1,0 Punkte)
v0min
g
R
A
ϕ
30◦
h0
v0
y
x
m
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
Berechnen Sie den maximalen Wert v0max des Körpers in der dargestellten Lage, sodass
dieser an keinem Punkt der kreisförmigen Bahn diese verlässt. Tragen Sie auch wesentlich
Zwischenschritte in das folgende Kästchen ein.
(3,0 Punkte)
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3)
a)
Für ein schwingfähiges System bestehend aus Massen m, einer Feder c und einem Dämpfer d sind die kinetische Energie, die potentielle Energie und die generalisierte Kraft Q
gegeben. Die Größen l und r sind systemspezifische Abmessungen und α ein Winkel.
Ekin (u) = m u̇2 , Epot (u) = m g [ (2 u + l) sin α + 2 r cos α ] +
Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems bezüglich u auf.
c 2
u , Q(u) = −d u̇ .
2
(2,0 Punkte)
Bestimmen Sie basierend auf obiger Bewegungsgleichung den Abklingkoeffizienten
δ, die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung ω, und die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung ωd .
(1,5 Punkte)
δ=
ω=
ωd =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3)
b)
Das dargestellte System besteht aus einer Masse m2 , zwei schlupffrei abrollenden Stufenrollen, einer reibungsfrei geführten starren Stange sowie einem Feder-Dämpfer-Element,
welches starr im Punkt A an das System angeschlossen ist. Ein auf der linken Stufenrolle
aufgewickeltes Seil ist über eine als masselos anzunehmende Umlenkrolle mit der Masse m2 verbunden. Die linke, massebehaftete Stufenrolle setzt sich aus zwei Vollzylindern
(kleine Stufung: Radius r1 , Masse 1/5 M; große Stufung: Radius R1 , Masse 4/5 M) zusammen. Die dargestellte Feder ist für den nicht näher spezifizierten Wert x = x0 entspannt.
Beachten Sie, dass x = 0 nicht die statische Ruhelage beschreibt!
ϕ
l
g
M
x
r2
R2
d
r1
A
R1
m2
m1
y
c
h
α
N.N.
Geben Sie die Geschwindigkeiten ẋ und ẏ als Funktion von ϕ̇ an.
ẋ(ϕ̇) =
ẏ(ϕ̇) =
(1,0 Punkte)
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
Bestimmen Sie die potentielle Energie Epot des Systems in Abhängigkeit von x, y sowie
den gegebenen Größen bezogen auf das dargestellte Nullniveau N.N.
(3,0 Punkte)
Epot =
Bestimmen Sie die kinetische Energie Ekin des Systems in Abhängigkeit von ẋ, ẏ, ϕ̇ und
den gegebenen Größen. Beachten Sie, dass die Massenträgheitsmomente nicht als gegeben
angesehen werden können und demnach konkret bestimmt werden sollen. (2,5 Punkte)
Ekin =
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 2)
Die dargestellte Punktmasse (Punkt C, Masse m) gleitet reibungsfrei in einer kreisförmigen Führung (Radius r). Die Punktmasse ist über zwei gelenkig in Punkt B miteinander
gekoppelten, masselosen Stäben 1 und 2 mit dem Lager in Punkt A verbunden. Stab 1
weist eine zeitlich konstante Winkelgeschwindigkeit ω1 auf. Für den gezeigten Zustand des
Systems gilt ϕ3 = π/4. Das System steht nicht unter dem Einfluss des Erd-Schwerefelds.
ω2 , ω̇2
C
B
2
~et
m
r
~er
ϕ3
ω1 = const.
ω3 , ω̇3
2a
1
~ey
A
b
~ex
a
Hinweis: Sämtliche Lösungen zu dieser Aufgabe sind bezüglich der in obiger Skizze vorgegebenen Koordinaten-Basisvektoren ex , ey oder er , et anzugeben.
a)
Berechnen Sie in Abhängigkeit von ω1 die Winkelgeschwindigkeiten ω2 des Stabs 2 und ω3
der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahnführung sowie die Komponenten der
Geschwindigkeit ~vC = vCr er + vCt et in Punkt C bezüglich des ~er ,~et -Koordinatensystems
oder ~vC = vCx ex + vCy ey bezüglich des ~ex ,~ey -Koordinatensystems für die dargestellte
Lage.
(4,0 Punkte)
Lösung in Kästchen auf der nächsten Seite eintragen!
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 2)
ω2 (ω1 ) =
ω3 (ω1 ) =
vCr =
vCt =
oder
vCx =
vCy =
b)
Berechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ω̇2 des Stabs 2 und ω̇3 der Punktmasse um den
Mittelpunkt der Kreisbahnführung. ω2 und ω3 sind nun in allgemeiner Form vorgegeben.
Verwenden Sie NICHT die in Aufgabenteil a) berechneten Werte.
(3,0 Punkte)
ω̇2 (ω1 , ω2 , ω3 ) =
ω̇3 (ω1 , ω2 , ω3 ) =
c)
√
2 ω1 und
Für andere geometrische
Abmessungen
des
Systems
gilt
ω
=
4
3
√
ω̇3 = −4 [8 + 2] ω12 . Berechnen Sie basierend auf diesen Vorgaben den Betrag der Auflagerreaktion in Punkt C sowie die Stabkraft S2 in Stab 2 für den dargestellten Zustand
des Systems.
(3,0 Punkte)
C=
S2 =
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Der Boden und die Wände des dargestellten Flipperautomaten“ sind als reibungsfrei
”
anzunehmen. Der Boden ist um den Winkel α geneigt. Eine dünne Zylinderscheibe der
Masse m, welche als Punktmasse angenommen werden soll, soll mit Hilfe einer Feder (Federsteifigkeit c) aus dem dargestellten Schacht bewegt werden. Zwischen den Punkten A
und B weist die Außenwand eine Kreisform auf (Radius r).
D
B
r
ϕ
Schnitt D-D
A
~g
a
y
a
z
y
x
m
α
x
C
D
b
a)
Berechnen Sie die Bedingung für die initiale, gesamte Federstauchung ∆l, sodass die
Punktmasse den Punkt A erreicht und damit den Schacht verlässt. Es gilt dabei die
Annahme ∆l ≪ a.
(2,0 Punkte)
∆l
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
b)
Die Geschwindigkeit der Punktmasse in Punkt A ist nun durch v̄A > 0 vorgegeben. Stellen
Sie zunächst die Kräftesätze (Impulssätze) für die Punktmasse in radialer und tangentialer
Richtung für beliebige Winkel ϕ unter der Annahme auf, dass die Punktmasse stets Kontakt zur Wand hat. Spezifizieren Sie die auftretenden Beschleunigungen in Abhängigkeit
der Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ̇ der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahn
sowie deren Winkelbeschleunigung ω̇.
(2,0 Punkte)
Geben Sie die konkreten Zusammenhänge der Winkelgeschwindigkeit ω und der Winkelbeschleunigung ω̇ der Punktmasse entlang der Kreisbahn in Abhängigkeit der gegebenen
Größen g, r, α, v̄A sowie des Winkels ϕ an.
(3,0 Punkte)
ω=
ω̇ =
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
c)
Die als Punktmasse anzusehende Scheibe
(Masse m) trifft nun mit der Geschwindigkeit
v = vx ex + vy ey
im Abstand d auf den linken Flipper“ (Mas”
senträgheitsmoment Θ bezogen auf den
Drehpunkt E) auf, dessen Winkelgeschwindigkeit in diesem Moment ω beträgt und
dessen Oberkante exakt parallel zur x-Achse
verläuft. Der nachfolgende Stoß ist als
vollkommen elastisch und die Oberfläche des
Flippers“ als perfekt glatt anzusehen.
”
y
d
m
x
f
ω
Θ
E
Berechnen Sie die Komponenten der Geschwindigkeit der Punktmasse v̄ = v̄x ex + v̄y ey
unmittelbar nach dem Stoßvorgang unter der Voraussetzung, dass die Abmessung f vernachlässigt und somit der Flipper“ als horizontaler Stab angenähert werden kann.
”
(3,0 Punkte)
v̄x =
v̄y =
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
Das dargestellte System besteht aus einer
starren Kreisscheibe (Masse M, Radius R)
welche über zwei starre Stangen (Masse m,
Länge l) mit einem Festlager verbunden ist
und schlupffrei auf dem Untergrund abrollt.
Die wie dargestellt angebundene Feder (Federsteifigkeit c) ist bei einer nicht näher spezifizierten Länge l0 entspannt.
B
ψ
m, l
y
m, l
c
A
x
ξ
ϕ
g
C
R
NN
M
a)
Geben Sie die Geschwindigkeiten ξ˙ sowie ϕ̇ als Funktion der Geschwindigkeit ψ̇ sowie den
gegebenen Größen an.
(1,0 Punkte)
˙ ψ̇) =
ξ(
ϕ̇(ψ̇) =
b)
Berechnen Sie die Funktion der kinetischen Energie Ekin in Abhängigkeit der Koordinaten
ψ̇, ϕ̇ und ξ˙ sowie den gegebenen Größen. Verwenden Sie hier NICHT die in Aufgabenteil
a) berechneten kinematischen Zusammenhänge.
(3,0 Punkte)
Ekin (ψ̇, ϕ̇, ξ̇) =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
c)
Bestimmen Sie die Funktion der potentiellen Energie Epot in Abhängigkeit von ψ und ξ
sowie den gegebenen Größen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN. (1,0 Punkte)
Epot (ψ, ξ) =
d)
Für ein anderes konservatives System mit einem Freiheitsgrad ϕ sind die Masse m, ein
Radius r sowie die potentielle und kinetische Energie zu
2
2
2 2
Epot (ϕ) = m g r [1 − cos(ϕ)]
sowie
Ekin (ϕ) = m r ϕ̇ 1 − cos(ϕ)
π
π
gegeben. Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung des Systems
bezüglich ϕ für große Auslenkungen auf.
(3,0 Punkte)
Geben Sie die linearisierte Form der obigen Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen
um ϕ = 0 an.
(1,0 Punkte)
Bestimmen Sie die Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems basierend auf der
linearisierten Bewegungsgleichung.
(1,0 Punkte)
T =
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Herbst 2014
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, welche durch dehnstarre Seile miteinander verbunden sind. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind der
Zeichnung zu entnehmen, wobei das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzten
Rolle 4 bezüglich des zugehörigen Schwerpunktes D durch θ4 gegeben ist und die Rolle
2 als masselos angesehen werden soll. Der Kreisring 1 rollt dabei zu jedem Zeitpunkt
schlupffrei ab und die Seile sind stets gespannt.
ϕ3
m3
C r3
3
m4 , θ4
ϕ4
4
β
g
D
2
B
M0
r4
R4
ϕ2
2 r2
1
α
x1
ϕ1
m1
y
A
r1
x
µ0
Erweitern Sie die folgenden Skizzen der Teilkörper 1, 3 und 4 zu vollständigen Freikörperbildern (inklusive etwaiger Auflagerreaktionen). (2,0 Punkte)
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
a)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) des Kreisrings 1 bezüglich der x1 -Koordinate an.
(1,0 Punkte)
b)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des Kreisrings 1 bezüglich des Schwerpunkts
und der ϕ1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massenträgheitsmoment
mittels der gegebenen Größen. (1,0 Punkte)
c)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der y-Koordinate an. (1,0
Punkte)
d)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 4 bezüglich des Schwerpunkts und
der ϕ4 -Koordinate an. (1,0 Punkte)
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
f)
Geben Sie die folgenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten der
einzelnen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x1 an. (2,0 Punkte)
ϕ̇1 (ẋ1 ) =
ϕ̇2 (ẋ1 ) =
ϕ̇3 (ẋ1 ) =
ϕ̇4 (ẋ1 ) =
Berechnen Sie die von dem Moment M0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t =
t1 verrichtete Arbeit WM0 . Das System befindet sich anfänglich in Ruhe (x1 (t = 0) =
0, ẋ1 (t = 0) = 0) und es gilt x1 (t1 ) = a. (2,0 Punkte)
WM0 =
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Die unten gezeigte Bahn besteht aus zwei reibungsbehafteten Ebenen (Gleitreibungskoeffizient µ, Länge l) sowie zwei als reibungsfrei anzunehmenden Kreisbögen (Öffnungswinkel
α). Im Punkt D befindet sich das Ende einer elastischen Feder (Federsteifigkeit c), welche in der dargestellten Lage entspannt ist. Bis zu einem Zeitpunkt t ≤ t0 wird ein als
Punktmasse anzusehender Körper (Masse m) im Punkt O in Ruhe gehalten. Dann wird
dieser los gelassen, wobei vorausgesetzt werden soll, dass sich der Körper anschließend
tatsächlich in Bewegung setzt (Hangabtriebskraft größer als Haftreibungskraft).
m
O
µ
l
α
g
r
A
µ
NN
B
y
C
l
ϕ
r
x
D
c
α
a)
O
Geben Sie die potenzielle Energie (Lageenergie) Epot
des Körpers im Punkt O bezüglich
des angegebenen Nullniveaus NN an. (1,0 Punkte)
O
Epot
=
Geben Sie die verrichtete Reibarbeit WROA auf der Strecke zwischen den Punkten O und
A an. (1,0 Punkte)
WROA =
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB der Masse im Punkt B. (1,5 Punkte)
vB =
b)
Die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt B ist nun durch v̄B > 0 vorgegeben. Berechnen
Sie die Geschwindigkeit im Punkt C. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert
für vB . (1,0 Punkte)
vC =
c)
Die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt C ist nun durch v̄C > 0 vorgegeben. Geben Sie
zunächst die Funktion der Geschwindigkeit v(ϕ) des Körpers in Abhängigkeit des Winkels
ϕ an. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert für vC . (1,5 Punkte)
v(ϕ) =
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
Geben Sie des Weiteren die Funktion der Normalkraft N(ϕ) zwischen Körper und Bahn
in Abhängigkeit des Winkels ϕ an. (1,5 Punkte)
N(ϕ) =
Geben Sie die Bedingung für den Öffnungswinkel α an, so dass der Körper an keiner Stelle
der kreisförmigen Bahn zwischen den Punkten C und D den Kontakt zu dieser verliert.
(1,0 Punkte)
α
d)
Die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt D ist nun durch vD > 0 vorgegeben. Geben
Sie die Gleichung zur Bestimmung der Stauchung ∆l der Feder an. Ein Auflösen dieser
Gleichung nach ∆l ist nicht erforderlich. (1,5 Punkte)
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
Das dargestellte System besteht aus zwei
starren Kreisscheiben (Masse M1 bzw. M2 ,
Radius jeweils R), welche über eine starre
Stange (Masse m, Länge l) verbunden
sind und schlupffrei auf dem Untergrund
abrollen. Die Bewegung findet auf einer
schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und
unter Einfluss der Erdbeschleunigung g
statt. Die wie dargestellt angeknüpfte Feder
ist für den nicht näher spezifizierten Wert
ξ = ξ0 entspannt. Beachten Sie, dass ξ = 0
nicht die statische Ruhelage beschreibt.
g
ξ
M2 , R
c
M1 , R
m, l
α
NN
x
a)
Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten ξ˙ und ẋ an. (1,0 Punkte)
˙ ẋ) =
ξ(
b)
Bestimmen Sie die potentielle Energie Epot in Abhängigkeit der Koordinate ξ und den
gegebenen Größen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN. (3,0 Punkte)
Epot (ξ) =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
c)
Bestimmen Sie die kinetische Energie Ekin in Abhängigkeit der Koordinate ξ und den
gegebenen Größen. Beachten Sie, dass insbesondere die Massenträgheitsmomente nicht
als gegeben angesehen werden können. (2,0 Punkte)
˙ =
Ekin (ξ)
d)
Für einen nicht näher spezifizierten Sonderfall und unter Verwendung einer abweichenden
Koordinate η ergeben sich im Folgenden die Energien des Systems zu
Epot (η) = 3 m g η sin(α) + 1/2 c η 2
,
Ekin (η) = 2 m η̇ 2
.
Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung dieses Sonderfalls bezüglich η auf. (2,0 Punkte)
Bestimmen Sie, basierend auf obiger Bewegungsgleichung, die Eigenkreisfrequenz ω0 sowie
die Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems. (2,0 Punkte)
ω0 =
T =
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Frühjahr 2014
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre
Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung
g) befinden. Die jeweiligen Massen, Massenträgheitsmomente und Abmessungen sind der
Zeichnung zu entnehmen. Rolle 2 wird von dem konstanten Drehmoment M0 angetrieben.
Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Rolle 1 — welche zu allen Zeitpunkten schlupffrei
abrollt — und der schiefen Ebene (Neigungswinkel α) beträgt µ0 . Das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzen Rolle 3 ist durch θ3 gegeben.
x1
ϕ2
ϕ1
g
1
2
r2
m2
m1
r1
m3 , θ3
M0
µ0
3
r3
α
ϕ3
R3
x3
4
m4
x4
a)
Tragen Sie im nachfolgenden Bild sämtliche fehlenden Kräfte bzw. Momente ein. Die Auflagersymbole sollen in der Zeichnung beibehalten und nicht freigeschnitten werden. (1,5
Punkte)
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 1 bezüglich der der x1 -Koordinate an.
(1,0 Punkte)
c)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezüglich des zugehörigen Momentanpols und der ϕ1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ1 mittels der gegebenen Größen.
(1,0 Punkte)
d)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes und
der ϕ2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ2 mittels der gegebenen Größen. (1,0 Punkte)
e)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x3 -Koordinate an. (1,0
Punkte)
f)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich ihres Schwerpunktes
und der ϕ3 -Koordinate an. (1,0 Punkte)
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
g)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 4 bezüglich der x4 -Koordinate an. (1,0
Punkte)
h)
Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten ẋ1 , ϕ̇1 , ẋ3 , ϕ̇3 , ẋ4 in Abhängigkeit von ϕ̇2 an.
(2,5 Punkte)
ẋ1 =
ϕ̇1 =
ẋ3 =
ϕ̇3 =
ẋ4 =
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 2)
Eine Punktmasse m befindet sich auf der dargestellten Bahn und wird aus der Ruhe durch
eine vorgespannte Feder (Federsteifigkeit c) auf reibungsfreiem Untergrund bis zum Punkt
A beschleunigt. An dieser Stelle (Punkt A) löst sich die Masse von der Feder. Die geraden
Abschnitte der Bahn sind reibungsbehaftet (Reibkoeffizienten µ1 bzw. µ2 ) während die
kreisförmigen Abschnitte (Radien R1 bzw. R2 ) reibungsfrei sind.
µ=0
E
y
µ2
α
g
R2
D
x
l2
∆x
µ1
R1
c
C
ϕ
m
N.N.
µ=0
l1
µ=0
A
B
a)
Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A in Abhängigkeit der
aufgebrachten Federstauchung ∆x. (1,0 Punkte)
vA =
Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt B in Abhängigkeit
von ∆x an, nachdem diese über den rauhen (Reibkoeffizient µ1 ) Bahnabschnitt AB der
Länge l1 geglitten ist. (1,0 Punkte)
vB =
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 2)
b)
Berechnen Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit |v(ϕ)| der Punktmasse im Verlauf
des ersten reibungsfreien Kreisbogens BC in Abhängigkeit des Winkels ϕ und einer als
bekannt anzunehmenden Geschwindigkeit vB im Punkt B. (2,0 Punkte)
Setzen Sie nicht die Geschwindigkeit vB aus dem vorigen Aufgabenteil ein!
|v(ϕ)| =
Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D in Abhängigkeit
von vB an, nachdem diese über den rauhen (Reibkoeffizient µ1 ) Bahnabschnitt CD der
Länge l2 geglitten ist. (2,0 Punkte)
vB =
c)
Die beiden Bahnabschnitte AB und CD sind nun als reibungsfrei (µ1 = µ2 = 0) anzunehmen, die Punktmasse wird erneut durch Stauchung der Feder am Anfang der Bahn
beschleunigt. Berechnen Sie die maximale Vorspannkraft der Feder F0 so, dass die Punktmasse im oberen Kreisbogen DE (Radius R2 ) nicht von der Bahn abhebt. Tragen Sie
dazu in dem folgenden Kästchen auch das Zwischenergebnis für die Geschwindigkeit vD
im Punkt D ein. (4,0 Punkte)
vD =
F0 =
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 3)
Im dargestellten System wird ein Körper der Masse m reibungsfrei in einer Nut geführt
und ist durch eine Feder (Federsteifigkeit c) und einen Dämpfer (Dämpfungskonstante
d) innerhalb der Nut gestützt. Über eine starre, masselose Stange der Länge l ist der
Körper mit einer drehbaren Scheibe (Radius R, Masse M) exzentrisch (Exzentrizität e)
verbunden. Die Feder ist in der Lage ϕ = 0 ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu
vernachlässigen.
c
ϕ
m
x
l
d
R
e
M
a)
Bestimmen Sie mittels der gegebenen Größen die kinetische und potentielle Energie des
Gesamtsystems. Verwenden Sie dazu die Koordinaten ϕ und x. (2,0 Punkte)
Ekin =
Epot =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 3)
b)
Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δW der nichtkonservativen Lasten in Abhängigkeit der
Koordinate x. (1,0 Punkte)
δW =
c)
Geben Sie die kinematische Beziehung der Koordinate x als Funktion von ϕ für große
Auslenkungen an. (2,5 Punkte)
x(ϕ) =
d)
In dem unten dargestellten System rollt eine Scheibe (Masse M, Radius R) schlupffrei auf
dem Untergrund ab. Eine Feder (Federsteifigkeit c) ist exzentrisch (Exzentrizität e) an
der Scheibe angebracht. An ihrem äußeren Rand ist die Scheibe des Weiteren mit einem
Dämpfer (Dämpfungskonstante d) verbunden. In der dargestellten Ruhelage der Scheibe
(ϕ̇ = 0) ist die Feder ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu vernachlässigen.
ϕ
d
e y
x
R
c
M
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Aufgabe 3 (Seite 3 von 3)
Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems bezüglich der Koordinate
ϕ unter der Annahme kleiner Auslenkungen. Geben Sie unbedingt wesentliche Zwischenschritte an, welche zur Lösung der Aufgabe notwendig sind. (3,5 Punkte)
Wie lauten die Eigenkreisfrequenz ω0 und der Abklingkoeffizient δ des Systems? (1,0
Punkte)
ω0 =
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Herbst 2013
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre,
schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde
(Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der Körper
sind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Massen 1 und 6
auf rauhen schiefen Ebenen gleiten.
ϕ2
R2
g
m
x1
1
r2
m2
r5
ϕ5
m5
x6
m
6
β
α
R3
x3
C
m3
ϕ3
x4
m4
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
a)
Zeichnen Sie ein vollständiges Freikörperbild (2 Punkte)
b)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 1 bezüglich der x1 -Koordinate an.
(1 Punkt)
c)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes und
der ϕ2 -Koordinate an. Das Massenträgheitsmoment der Rolle 2 ist dabei als θ2 vorgegeben.
(1 Punkt)
d)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x3 -Koordinate an.
(1 Punkt)
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
e)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich des Punktes C und der
ϕ3 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ3 mittels der gegebenen Größen. (1 Punkt)
f)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 6 bezüglich der x6 -Koordinate an.
(1 Punkt)
g)
Es sei nun das folgende modifizierte System gegeben. Geben Sie ϕ˙2 , ϕ˙3 und x˙3 in Abhängigkeit von x˙1 für das modifizierte System an. (3 Punkte)
ϕ2
R2
g
r2
ϕ˙2 =
x1
m1
m2
x˙3 =
ϕ˙3 =
β
R3
x3
m3
ϕ3
x4
m4
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 2)
Ein punktförmiger Körper der Masse m gleitet von einer Kraft F angetrieben auf einer
reibungsbehafteten schiefen Ebene vom Punkt O zum Punkt A. Auf dem reibungsbehafteten Abschnitt beträgt der Gleitreibungskoeffizient µ. Die Kraft F wirkt ausschließlich
im Abschnitt O − A auf das System ein. Sämtliche Kreisbögen weisen den Radius r auf.
B
A
ϕ0
C
r
r
ϕ0
D
∆l
c
µ
g
α
α
m
N.N.
O
l1
F
a)
Berechnen Sie die Größe der richtungstreuen, zeitlich konstanten Kraft F , derart dass der
Massenpunkt im Punkt A die Geschwindigkeit vA erreicht. Der Massenpunkt befindet sich
im Punkt O in Ruhe.
F=
3,0 P.
b)
Wie groß muss der Betrag der Geschwindigkeit vA mindestens sein, damit der Massenpunkt den Punkt B erreicht? Hinweis: Es soll hier davon ausgegangen werden, dass die
Kraft F nicht mehr auf die Masse einwirkt und diese ständigen Kontakt zur Bahn haben
soll.
vA ≥
1,0 P.
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 2)
c)
Wie groß darf die Geschwindigkeit vA des Massenpunkts maximal sein, damit der Massenpunkt die Bahn auf seinem Weg vom Punkt A zum Punkt B nicht verlässt?
vA ≤
3,0 P.
d)
Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A ist nun durch vA so vorgegeben, dass beide Kriterien aus den vorherigen Teilaufgaben erfüllt sind. Geben Sie die
Geschwindigkeit des Massenpunktes in Abhängigkeit der Geschwindigkeit vA im Punkt D
an.
vD =
1,0 P.
e)
Im Punkt D stößt der Massenpunkt gegen eine starre Kontaktplatte, die mit einer Feder
der Steifigkeit c verbunden ist. Legen Sie die Steifigkeit der Feder c so aus, dass sich
eine maximale Stauchung der Feder von ∆l einstellt. Der Betrag der Geschwindigkeit der
Punktmasse im Punkt D ist durch vD gegeben.
c=
2,0 P.
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
Ein System aus starren, homogenen Stäben (Länge 2 l und Länge l) und einer starren,
homogenen Kreisscheibe (Radius l/2) ist im Punkt A drehbar gelagert. Die Komponenten
sind starr aneinander befestigt und das System ist darüber hinaus mit den dargestellten
Federn und Dämpfern (Materialkonstanten sind der Zeichnung zu entnehmen) verbunden.
Im Punkt B wird das System durch eine zeitabhängige Kraft F (t) belastet, wobei in der
gezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der Einfluss der Schwerkraft ist zu vernachlässigen.
l
d
l
D
C
l/2
F (t)
2m
8m
B
m
y
ϕ
c
l
l
cT
x
A
a)
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment θ(A) des Systems bezüglich des Punktes A.
(1 Punkt)
θ(A) =
b)
Geben Sie die horizontale Verschiebung xB des Punkte B sowie die horizontale Geschwindigkeit ẋD des Punktes D in Abhängigkeit von ϕ und ϕ̇ für große Auslenkungen des
Systems an. (2 Punkte)
xB =
ẋD =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
c)
Geben Sie die potentielle Energie Epot bezüglich des Drehwinkels ϕ für große Auslenkungen des Systems an. (1 Punkt)
Epot =
Das Massenträgheitsmoment des Systems ist nun als θ gegeben. Geben Sie die BewegungsDifferentialgleichung bezüglich des Drehwinkels ϕ für große Auslenkungen des Systems an.
(3 Punkte)
d)
Es ist nun folgende Bewegungs-Differentialgleichung für große Auslenkungen in φ gegeben:
4 θ φ̈ + 3 d l2 cos(φ) φ̇ + c l2 7 sin(φ) cos(φ) + sin(φ) + 2 sin(φ)2 = l cos(φ) F (t)
Geben Sie die linearisierte Form der gegebenen Bewegungs-Differentialgleichung für kleine
Auslenkungen (φ ≪ 1) an. (1 Punkt)
Geben Sie für F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion φ(t) für den eingeschwungenen
Zustand an. Spezifizieren Sie dazu die Konstanten der allgemeinen Lösung:
φ(t) = C cos(Ω t − φ0 )
(2 Punkte)
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre,
schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde
(Erdbeschleunigung g) befinden. Die beiden den Freiheitsgraden ϑ1 und ϑ2 zugeordneten Planetenrollen (je Radius r3 , Masse m3 ) sind an einen ortsfest drehbar gelagerten
Planetenträger (Gesamtmasse M2 ) angeknüpft und rollen in einem rauhen Hohlzylinder
schlupffrei ab. Das Seil wird über eine in Punkt A gelagerte Stufenrolle (Masse M1 ) gelenkt und von einem Masseklotz (Masse M0 ) gezogen.
R1
ls
r1
α
ϑ2
µ
r3 , m3
ψ
eϕ
r2
R2
A
ϕ
r3 , m3
er
M2
g
M0
x0
ϑ1
µ
a)
Zeichnen Sie ein vollständiges Freikörperbild, wobei Trägheitsterme vernachlässigt werden
können.
g
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 3)
b)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) des Klotzes (Masse M0 ) bzgl. der x0 -Koordinate
an.
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der in Punkt A gelagerten Stufenrolle bezüglich ihres Schwerpunktes und der ψ-Koordinate an. Die schwerpunktsbezogene Massenträgheit sei als θ1 gegeben und soll hier nicht spezifiziert werden.
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des ortsfest drehbar gelagerten Planetenträgers (Gesamtmasse M2 ) bezüglich seines Schwerpunktes und der ϕ-Koordinate an. Die
schwerpunktsbezogene Massenträgheit sei als θ2 gegeben und soll hier nicht spezifiziert
werden.
c)
Spezifizieren Sie nun das schwerpunktbezogene Massenträgheitsmoment θ2 des Planetenträgers. Der Planetenträger besteht aus einer Stufenrolle (kleine Stufung: Radius r2 , Masse
1/3 M2, große Stufung: Radius R2 , Masse 2/3 M2) und zwei angeschweißten Stäben (je
Länge ls , Masse ms ).
θ2 =
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Aufgabe 1 (Seite 3 von 3)
d)
Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ϑ̇1 in Abhängigkeit von ϕ̇ an.
ϑ̇1 (ϕ̇) =
e)
Geben Sie nun die Winkelgeschwindigkeiten ψ̇, ϕ̇, ϑ̇1 und ϑ̇2 in Abhängigkeit von ẋ0 an.
ψ̇(ẋ0 ) =
ϕ̇(ẋ0 ) =
ϑ̇1 (ẋ0 ) =
ϑ̇2 (ẋ0 ) =
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 2)
Ein punktförmiger Körper der Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage heraus
eine glatte, schiefe Ebene (Länge L, µ = 0) herunterzugleiten. Im Punkt 1 geht die schiefe Ebene tangential in eine rauhe Kreisbahn über (Gleitreibungskoeffizient µ, Radius r,
Winkel θ). Die Geschwindigkeit zwischen Punkt 1 und 2 ist mittels eines äußeren Antriebs
konstant gehalten, so dass in diesem Bereich v = const. und insbesondere |v 1 | = |v 2 | = v
gilt.
Die rauhe Kreisbahn mündet im Punkt 2 tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel β, Länge L, µ=0). Im Punkt 3 befindet sich ein punktförmiger Körper der
Masse 2 m, welcher dort in Ruhe gehalten wird. Im Punkt 3 geht die glatte, schiefe Ebene
tangential in eine glatte Kreisbahn über (µ=0). Im Punkt 4 befindet sich das Ende einer
elastischen Feder (Steifigkeit/Federkonstante c). Das System befindet sich im Schwerfeld
der Erde (Erdbeschleunigung g).
L
m
g
O
1 µ
r θ
H
ψ
2
L
L/4
α
β
`
2m
3
ϕ
r C
β
4
x
N.N.
a)
O
Geben Sie die potentielle Energie Epot
im Punkt O bezüglich des vorgegebenen Nullniveaus
N.N. in Abhängigkeit der Größen m, g, H, r und ϕ an.
O
Epot
=
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Fakultät Maschinenbau
Institut für Mechanik
Prof. Dr.-Ing. A. Menzel
Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 2 von 2)
b)
Geben Sie die Reibkraft R(ψ) als Funktion von ψ unter Berücksichtigung der Vorgabe
|v1 | = v bzgl. des Punktes 1 an.
Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!
R(ψ) =
Berechnen Sie die auf der Strecke von Punkt 1 zu Punkt 2 verrichtete Reibarbeit WR .
WR =
c)
Nehmen Sie an, dass nun |v3 | = v am Punkt 3 vorgegeben ist. Geben Sie den Betrag
der Geschwindigkeit beider Massen v̄1 (für Masse m) und v̄2 (für Masse 2 m) unmittelbar
nach dem vollplastischen Stoß an.
Hinweis: Mit Ausnahme des Kraftstoßes sind alle etwaigen Kräfte während des Stoßvorgangs zu vernachlässigen!
|v̄1 | =
|v̄2 | =
d)
Bestimmen Sie die Federsteifigkeit/Federkonstante c derart, dass die maximale Stauchung
der Feder l/5 betragen soll. Nehmen Sie hier an, dass nur ein Körper der Masse 3 m
Kontakt mit der Feder hat. Die Geschwindigkeit dieser Masse ist im Punkt 4 zu v4 =
|v4 | = 6 v vorgegeben.
c=
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
Das dargestellte System befindet sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g).
Das masselose Seil rollt schlupffrei über zwei homogene Kreisscheiben (Massen M, m und
Radien R, r). Dessen Ende ist mit einer Parallelschaltung einer Feder (Federsteifigkeit c)
und eines Dämpfers (Dämpfungskonstante d) verbunden. Das Seil soll als stets gespannt
angenommen werden. Die Feder ist in der Ausgangslage ungespannt.
c
d
M, R
g
h
y
N.N.
m, r
Geg.: m, M, r, R, c, d, g.
a)
Geben Sie die gesamte kinetische Energie Ekin sowie die gesamte potenzielle Energie Epot
des Systems in Abhängigkeit des Freiheitsgrades y an.
Ekin =
Epot =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
b)
Geben Sie die zugehörige Bewegungs-Differentialgleichung an.
c)
Bei vernachlässigter Schwerkraft und Federsteifigkeit (g = c = 0) sowie einem bestimmten, nicht näher aufgeführten Verhältnis zwischen den Massen hat die Bewegungsdifferentialgleichung die Form
5 m ÿ + d ẏ = 0.
Geben Sie y(t) für die Anfangsbedingungen y(t = 0) = 0, ẏ(t = 0) =
y(t) =
d
m
an.
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Herbst 2012
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 2)
Ein System aus starren, homogenen Stäben ist im Punkt A drehbar gelagert und des Weiteren mit den dargestellten Federn und Dämpfern (Materialkonstanten sind der Zeichnung
zu entnehmen) verbunden. Im Punkt D ist zusätzlich eine Punktmasse (Masse m) angebracht. Im Punkt E wird das System durch eine zeitabhängige Kraft F (t) belastet, wobei
in der gezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der
Einfluss der Schwerkraft ist zu vernachlässigen.
y
d
D
l
m
ϕ
F (t)
m
cT
B
C
x
E
c
l
A
l
4m
d
2l
a)
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment θ(A) des Systems bezüglich des Punktes A.
θ(A) =
b)
Geben Sie die vertikale Verschiebung yB des Punktes B sowie die Geschwindigkeitskoordinate ẋD des Punktes D in Abhängigkeit von ϕ und ϕ̇ für große Auslenkungen des Systems
an.
yB =
ẋD =
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 2)
c)
Das Massenträgheitsmoment des Systems sei nun als θ gegeben. Geben Sie für die Annahme kleiner Auslenkungen (ϕ ≪ 1) die Bewegungs-Differentialgleichung bezüglich des
Drehwinkels ϕ an.
Nennen Sie die Bedingung für die Federkonstante c, so dass sich für das gegebene System
eine schwach gedämpfte Schwingung ergeben würde.
Spezifizieren Sie für F (t) = F0 cos(Ω t) die Konstanten C und ϕ0 der allgemeinen Lösung
ϕ(t) = C cos(Ω t − ϕ0 )
für den eingeschwungenen Zustand.
C=
ϕ0 =
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der
Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind der
Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Rollen 1 und 3 auf rauhen
Ebenen schlupffrei abrollen. Dabei wird Rolle 1 von dem konstanten Drehmoment M0 die
schiefe Ebene hinauf angetrieben. Die Umlenkrolle in Punkt A ist als masselos anzusehen.
1 2
ϕ1
R1
x1
g
ϕ2
M0
r1
m1
m2
3
x3
r2
A
r3
α
ϕ3
m3
x4
4
a)
Zeichnen Sie ein vollständiges Freikörperbild
m4
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
b)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 1 bezüglich der x1 -Koordinate an.
c)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezüglich ihres Schwerpunktes und
der ϕ1 -Koordinate an. Das Massenträgheitsmoment dieser Rolle bezüglich ihres Schwerpunktes (identisch mit Mittelpunkt) ist als θ1 vorgegeben.
d)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes und
der ϕ2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das benötigte Massenträgheitsmoment mittels der
gegebenen Größen.
e)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x3 -Koordinate an.
f)
Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich ihres Schwerpunktes und
der ϕ3 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das benötigte Massenträgheitsmoment mittels der
gegebenen Größen.
g)
Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 4 bezüglich der x4 -Koordinate an.
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
h)
Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten ẋ1 , ϕ̇2 , ẋ3 , ϕ̇3 und ẋ4 in Abhängigkeit von ϕ̇1
an.
ẋ1 (ϕ̇1 ) =
ϕ̇2 (ϕ̇1 ) =
ẋ3 (ϕ̇1 ) =
ϕ̇3 (ϕ̇1 ) =
ẋ4 (ϕ̇1 ) =
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
Eine punktförmiger Körper der Masse m rutscht aus seiner Ruhelage (Höhe h bezüglich
N.N.) im Punkt O eine reibungslose Ebene hinab. Auf seinem Weg über die Punkte A
bis H passiert er 2 reibungsbehaftete Teilabschnitte mit den Gleitreibungskoeffizienten µ1
und µ2 . Sämtliche Kreisbögen weisen den Radius r auf.
y
m
O
~g
I
x
D
µ1
α r
C
l2
E
r α
F
h
l1
α
rθ
N.N.
B
l3
α γ
G φ
µ2
γ
r H
A
a)
Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten A
und B als Funktion des Winkels θ.
v(θ)A→B =
b)
Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C.
vC =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
c)
Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C ist nun durch vC vorgegeben,
wobei diese als groß genug vorausgesetzt ist, um Punkt D zu erreichen. Geben Sie die
Geschwindigkeit der Punktmasse in Abhängigkeit der Größe vC in den Punkten F und G
an.
vF =
vG =
d)
Im Punkt G stößt die Punktmasse mit dem gegebenen Geschwindigkeitsbetrag vG gegen
einen masselosen Stab, welcher mit einer Drehfeder (Federkonstante cT ) verbunden ist.
Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten G und
H.
φ̇=
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Frühjahr 2012
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Aufgabe 1 (Seite 1 von 2)
Ein starrer Stab (Länge 2 l, Masse m) ist
wie dargestellt gelagert. Die im Punkt A befindliche Drehfeder weist die Federsteifigkeit
(Federkonstante) cT , der im Punkt B angeschlossene viskose Dämpfer die Dämpferkonstante d auf. Im Punkt C ist ein System aus
parallel und seriell geschalteten Federn (Federsteifigkeiten bzw. /-konstanten c1 bis c4 )
angebracht. Zudem wird das unter dem Einfluss des Schwerefelds (Erdbeschleunigung g)
stehende System im Punkt C durch eine zeitabhängige Kraft F (t) belastet. Für den Zeitpunkt t = t0 = 0 gelte F (t0 ) = 0 sowie, dass
sämtliche Federn ungespannt sind.
c1
C
F (t)
l
c3
c2
c4
g
B
d
m
l
ϕ
y
cT
x
A
a)
Geben Sie die effektive Steifigkeit (Federkonstante) ceff des Federsystems in Abhängigkeit
der Werte c1 , c2 , c3 und c4 an.
ceff =
b)
Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment θ(A) des Stabes bezüglich des Punktes A.
θ(A) =
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Aufgabe 1 (Seite 2 von 2)
c)
Geben Sie die den Betrag der Geschwindigkeit vB des Punktes B sowie die horizontale
Verschiebung xC des Punktes C in Abhängigkeit von ϕ und ϕ̇ für große Auslenkungen
des Systems an.
vB =
xC =
Die effektive Steifigkeit (Konstante) des Federsystems ist nun durch den Wert c vorgegeben, ebenso ist der Wert für das Massenträgheitsmoment des Stabes bezüglich des Punktes
A als θ festgelegt. Für die Federkonstante der Drehfeder gilt des Weiteren cT = m g l.
Leiten Sie für die Annahme kleiner Auslenkungen ϕ ≪ 1 die Bewegungs-Differentialgleichung
des Systems bezüglich des Drehwinkels ϕ her.
Nennen Sie die systemspezifische Bedingung für die Dämpferkonstante d, so dass sich für
F (t) ≡ 0 und ϕ(t0 ) 6= 0 eine schwach gedämpfte Schwingung ergeben würde.
d
Geben Sie für die Vorgaben F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion ϕ(t) für den eingeschwungenen Zustand an. Nennen Sie zunächst die allgemeine Lösung und spezifizieren
Sie dann die darin enthaltenen Konstanten.
ϕ(t) =
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Aufgabe 2 (Seite 1 von 3)
Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre,
schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der Körper sind der Zeichnung zu entnehmen. Die
abgesetze Rolle 3 weist eine Unwucht (Exzentrizität e, Masse me ) auf, deren Lage im
Ausgangszustand durch ϕ3 = 0 gegeben ist.
Die Walze 4 rollt schlupffrei auf einer rauhen
Ebene ab und wird dabei von dem konstanten Drehmoment M0 angetrieben.
e
me
g
R3
r3
m3
ϕ3
x2
2
m2
ϕ4
r4
M0
4
m4
x4
3
ϕ2
r2
x1
1
r1 m1
a)
Ergänzen Sie die hier dargestellten Teilkörper des Systems zu vollständigen Freikörperbildern.
S2
S3
m4
S4
M
H
S1m
S1
N
S4
m1
S3
me
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Aufgabe 2 (Seite 2 von 3)
b)
Geben Sie den Impulssatz (Kräftesatz) der Rolle 1 bezüglich der x1 -Koordinate an.
Geben Sie den Impulssatz (Kräftesatz) der Rolle 2 bezüglich der x2 -Koordinate an.
Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes und
der ϕ2 -Koordinate an.
Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich des Drehzentrums und
der ϕ3 -Koordinate an.
Geben Sie den Impulssatz (Kräftesatz) der Walze 4 bezüglich der x4 -Koordinate an.
Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Walze 4 bezüglich ihres Schwerpunktes und
der ϕ4 -Koordinate an.
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Aufgabe 2 (Seite 3 von 3)
c)
Geben Sie ϕ̇2 , ẋ2 , ϕ̇3 , ϕ̇4 und ẋ4 in Abhängigkeit von ẋ1 an.
ϕ̇2 (ẋ1 ) =
ẋ2 (ẋ1 ) =
ϕ̇3 (ẋ1 ) =
ϕ̇4 (ẋ1 ) =
ẋ4 (ẋ1 ) =
d)
Betrachten Sie nun die rechts dargestellte
Walze (Masse m, Radius r) auf einer um den
Winkel α geneigten Ebene. Sie befindet sich
im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung
g), wird von dem konstanten Drehmoment
M0 angetrieben und rollt schlupffrei auf der
rauhen Ebene ab.
g
x
ϕ
r
M0
m
α
√
Die Walze bewege sich mit ẋ(t = 0) = 2 r g fort und es gelte x(t = 0) = − r. Wie groß
muss M0 sein, so dass zum Zeitpunkt t∗ die Zusammenhänge ẋ(t∗ ) = 0 und x4 (t∗ ) = 3 r
gelten?
M0 =
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Aufgabe 3 (Seite 1 von 2)
Eine punktförmige Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage heraus eine rauhe,
schiefe Ebene (Neigungswinkel α, Länge l, Gleitreibungskoeffizient µ) herunterzugleiten.
Im Punkt A geht die schiefe Ebene tangential in eine glatte Kreisbahn über (µ = 0).
Diese mündet im Punkt B tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel β,
Länge l, Gleitreibungskoeffizient µ). Im Punkt C geht die schiefe Ebene in eine glatte
Bahn über, die im Punkt D tangential in eine glatte, schiefe Ebene (Neigungswinkel γ,
Länge a, µ = 0) übergeht. Am Ende dieser schiefen Ebene ist eine Feder (Federkonstante
c, ungespannte Länge a/6) befestigt. Das System befindet sich im Schwerefeld der Erde
(Erdbeschleunigung g).
O
x1
m
l
g
α
µ=0
A
µ
ϕ r
B
h
x2
l
µ
a
c
x3
β
C
D
γ
a/6
N.N.
µ=0
a)
O
Geben Sie die potentielle Energie Epot
im Punkt O bezüglich des vorgegebenen Nullniveaus
N.N. an.
O
Epot
=
Berechnen Sie den Betrag |v A | der Geschwindigkeit im Punkt A.
|vA | =
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Aufgabe 3 (Seite 2 von 2)
b)
Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt A sei nun als |v A | = vA gegeben. (Hinweis:
Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!)
Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse auf der Bahn zwischen den
Punkten A und B in Abhängigkeit von ϕ an.
|v|(ϕ) =
Wie groß darf vA maximal sein, so dass die Punktmasse nicht von der Kreisbahn abhebt?
vA ≤
c)
Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt B sei nun als |v B | = vB gegeben. (Hinweis:
Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!)
Bestimmen Sie die Gesamtenergie des Massepunktes bei x2 = l/2.
Eges (x2 = l/2) =
Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D.
|vD | =
d)
p
Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D sei nun als |vD | = vD = 5/3 g a sin(γ)
vorgegeben. (Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen! Die gegebene Geschwindigkeit ergibt sich nicht aus dem System!)
Um welchen Betrag ∆a wird die Feder gestaucht?
∆a =

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