Mathematik I für E-Techniker gehalten von Prof. Opolka

Mathematik I für E-Techniker
gehalten von Prof. Opolka
Stefan Schmidt
Stefan Schwieger
Moritz Neukirchner
28. Januar 2004
Bei dem folgenden Skript handelt es sich um eine Mitschrift der Vorlesung.
Wir übernehmen keine Verantwortung für eventuelle Fehler.
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1
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundbegriffe (MG)
1.1 §1 Grundbegriffe der Logik . . . . . . . . . . .
1.2 §2 Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . .
1.2.1 Spezielle Mengen . . . . . . . . . . . . .
1.3 §3 Relationen und Abbildungen . . . . . . . . .
1.4 §4 Grundbegriffe der Kombinatorik . . . . . . .
1.5 §5 Algebraische Körper und Ringe . . . . . . .
1.6 §6 Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen
1.7 §7 Quadratwurzeln und Ungleichungen . . . . .
1.8 §8 Arithmetische und Geometrische Mittel . . .
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4
5
6
7
15
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2 Reelle Analysis I (RA I)
28
2.1 §1 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 §2 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 §3 Stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 §4 Exponentialfunktionen, Logarithmen und allgemeine Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 §5 Exponentialfunktion im Komplexen und die trigonometrischen
Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 §6 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.7 §7 Der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung) . . . . . . . . . 51
2.8 §8 Methoden zur Untersuchung von Funktionen . . . . . . . . . . 53
2.9 §9 Das unbestimmte Integral (Stammfunktionen) . . . . . . . . . 56
2.10 §10 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.11 §11 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.12 §12 Gleichmäßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.13 §13 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe . . . . . . . . . . . . 75
2.14 §14 Interpolationen und numerische Interpolation . . . . . . . . . 79
2.15 §15 Fourier-Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Lineare Algebra und analytisch Geometrie (LA)
3.1 §1 Vektorräume und lineare Abbildungen . . . . .
3.2 §2 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . .
3.3 §3 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 §4 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . .
3.5 §5 Reelle symmetrische Matritzen . . . . . . . . . .
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. 114
4 Hausaufgaben
4.1 Blatt 1 . . . . . . . . . . .
4.2 Blatt 2 . . . . . . . . . . .
4.2.1 Ansätze und Hilfen
4.3 Blatt 3 . . . . . . . . . . .
4.4 Blatt 4 . . . . . . . . . . .
4.5 Blatt 5 . . . . . . . . . . .
4.6 Blatt 6 . . . . . . . . . . .
4.7 Blatt 7 . . . . . . . . . . .
4.8 Blatt 8 . . . . . . . . . . .
4.9 Blatt 9 . . . . . . . . . . .
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Blatt 2
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2
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119
119
4.10 Blatt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5 Lösungen
5.1 Blatt 1 .
5.2 Blatt 2 .
5.3 Blatt 3 .
5.4 Blatt 4 .
5.5 Blatt 5 .
5.6 Blatt 6 .
5.7 Blatt 7 .
5.8 Blatt 8 .
5.9 Blatt 9 .
5.10 Blatt 10
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138
139
1
Mathematische Grundbegriffe (MG)
1.1
§1 Grundbegriffe der Logik
∧ ”und”
∨ ”oder”
¬ ”nicht”
∀ ”Für alle”
∃ ”Es existiert”
A ⇒ B ”Aus A folgt B”
A ⇔ B ”A gilt genau dann, wenn B gilt”
A := B ”A wird definiert durch B”
A = B ”A ist gleich B”
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
A⇒B
w
f
w
w
4
¬A ∨ B
w
f
w
w
1.2
§2 Grundbegriffe der Mengenlehre
a ∈ M ”a ist Element der Menge M”
a∈
/ M ”a ist nicht Element der Menge M”
N ⊂ M ”N ist Teilmenge von M” d.h. a ∈ N ⇒ a ∈ M
M = {a, b, c, · · ·} Beschreibung einer Menge durch Aufzählung der
Elemente
M := {x : x hat die Eigenschaft E} Beschreibung von M durch
Angabe einer Eigenschaft
M ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N } ”Vereinigung von M mit N”
M ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N } ”Durchschnitt von M mit N”
M \ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈
/ N } ”Differenzmenge von M und N”
∅ ”leere Menge”
P1 (M ) := {x : x ⊂ M }
∅ ∈ P(M )
x ∈ P(M )
M × N := {(x, y) : x ∈ M, y ∈ N } Es gilt: (x, y) = (u, v) ⇔ x =
u, y = v
M × N ”cartesisches Produkt von M mit N”
L × M × N = (L × M ) × N = L × (M × N )
Veranschaulichung: R × R = R2
6
6
6
6
6
6
M × M = M2
R × R
× R = R3
falls M ∩ N = ∅
˙ := M ∪ N
M ∪N
”Disjunkte Vereinigung”
M × {0} ∪ N × {1} falls M ∩ N ∈
/∅
1 Potenzmenge
5
1.2.1
Spezielle Mengen
N := {1, 2, 3, · · ·}
N0 := {0} ∪ N
natürliche Zahlen
natürliche Zahlen mit 0
Z := {0, ±1, ±2, · · ·}
ganze Zahlen
Q := { ab : a, b ∈ Z, b 6= 0}
rationale Zahlen
R := Menge aller endlichen oder unendlichen Dezimalbrüche
Zahlen
C := {a + bi : a, b ∈ R, i2 = −1}
kompelxe Zahlen
6
reelle
1.3
§3 Relationen und Abbildungen
Eine Abbildung oder Funktion von einer Menge M in eine Menge N ist eine
Zuordnung, die jedem Element m ∈ M genau ein Element n ∈ N zuordnet.
Schreibweise: f : M → N
m∈M
n∈N
m 7→ n = f (m)
m1 = m2 ⇒ f (m1 ) = f (m2 )
∀ m1 , m 2 ∈ M
Der Graph einer Abbildung f : M → N ist die Menge G(f ) := {(m, f (m)): m ∈ M }
Es gilt G(f ) ⊂ M × N und
(m1 , f (m1 )), (m2 , f (m2 )) ∈ G(f )
m1 = m2 ⇒ f (m1 ) = f (m2 )
∀m1 , m2 ∈ M
Eine Relation von einer Menge M zu einer Menge N ist eine Teilmenge
R⊂M ×N
z.B.
R := {(x, y) ∈ R2 :x2 + y 2 = 1}
M = R =2 N, 2
S := (x, y) ∈ R : x + y 2 = 1, x ≥ 0, y ≥ 0
Die Kreislinie des Einheitskreises ist eine Relation.
G(f )
f :R→R
1
0
-1
0
x∈R
1
√
x 7→ f (x) = + 1 − x2
7
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Relation von R ⊂ M ×M :
∀x ∈ M : (x, x) ∈ R
∀x, y ∈ M : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
∀x, y, z ∈ M : (x, y) ∈ R ⇒ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
Menge M 6= ∅
Eine Äquivalenzrelation ist eine Teilmenge R ⊂ M × M
(i) ∀x ∈ M : (x, x) ∈ R
”Reflexivität”
(ii) ∀x, y ∈ M : (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R
”Symmetrie”
(iii) ∀x, y, z ∈ M : (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R
vität”
”Transiti-
Schreibweise: (x, y) ∈ R
x∼y
”Äquivalent”
Für x ∈ M heißt Kx := {y ∈ M : y ∼ x} ”Äquivalenzklasse von x”
Jedes y ∈ Kx heißt Repräsentant von Kx .
M̃ sei eine minimale Menge von Repräsentanten, d.h. M̃ enthält aus jeder
Äquivalenzklasse ein Element.
Satz:
Sei R ⊂ M × M eine Äquivalenzrelation. Dann gilt:
(a) ∀x, y ∈ M : Kx ∩ Ky 6= ∅ ⇒ Kx = Ky
(b) M = ∪Kx
2
= (Kx ∪ Ky ∪ Kz ∪ . . .)
x ∈ M̃
Beweis:
(ii)
(iii)
(a) Sei a ∈ Kx ∩ Ky ⇒ a ∼ x ∧ a ∼ y =⇒ x ∼ a ∧ a ∼ y =⇒ x ∼ y
(b) ”⊃” klar
(i)
”⊂” : Sei a ∈ M =⇒ a ∈ Ka ⇒ a ∈ ∪[x ∈ M ](Kx ) //
2 Vereinigung
8
Beispiele:
(a) M = N × N
3
6
2
1
6 6 6 6
6 6 6 6
6 6 6 6
-1 0 0 1 2 3 4
-1
−1 := [(1, 2)] = K(1,2)
−1 := [(2, 3)] = K(2,3)
(a, b) ∨ (c, d) ⇔ a + b = c + d
(a, b) ∨ (c, d) ⇔ a + d = b + c
(i) (a, a) ∼ (a, a) ⇔ a + a = a + a
(ii) ((a, b) ∼ (c, d) ⇒ (c, d) ∼ (a, b)) ⇔ (a + d = b + c) ⇔
c+b=d+a⇔d+a=c+b⇔a+d=b+c
Auf diese Weise erhält man eine Äquivalenzrelation
R ⊂ (N × N) × (N × N), M = N × N
Die Menge der Äquivalenzklassen ist Z := {0, ±1, ±2, . . .}
(b) M := Z × (Z \ {0}) : (a, b ∼ (c, d)) ⇔ ad − bc = 0
Dadurch wird auf M eine Äquivalenzrelation definiert. Die Menge
der Äquivalenzklassen ist Q := { ab : a, b ∈ Z; b 6= 0}
z.B.:
1
1 2 3
2 = K(1,2) = { 2 , 4 , 6 , . . .}
Q = ∪K(a,b)
(a, b) ∈ M̃
Eine nicht leere Menge M heißt (teilweise) geordnet, falls auf M eine Relation
R ⊂ M × M existiert, so dass:
(i) ∀a ∈ M : (a, a) ∈ R
(ii) ∀a, b ∈ M : (a, b) ∈ R ∧ (b, a) ∈ R ⇒ a = b ”Antisymmetrie”
(iii) ∀a, b, c ∈ M : (a, b) ∈ R ∧ (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R
M heißt total geordnet, falls M geordnet ist (bezüglich R) und wenn außerdem
gilt:
∀(a, b) ∈ M × M ⇒ (a, b) ∈ R ∨ (b, a) ∈ R
9
Beispiel:
(a) M = R,
R := {(a, b) ∈ M × M : a ≤ b}
M ist bezüglich R total geordnet.
(b) M = N,
R := {(a, b) ∈ M × M : a teilt b}
M ist bezüglich R zwar geordnet, aber nicht total geordnet.
(c) X 6= ∅,
M := P(X) : R := {(A, B) ∈ P(X) × P(X) : A ⊂ B}
R ist eine Ordnung, aber keine totale Ordnung auf P(X).
z.B. X := {1, 2, 3},
P(X) hat 8 Elemente:
{1} ⊂ {1, 2, 3},
{1} {2, 3} . . .
Axiom vom kleinsten Element: Jede nicht leere Menge von natürlichen
Zahlen enthält ein kleinstes Element bezüglich der Ordnungsrelation ≤
⇒
Das Prinzip der vollständigen Induktion Angenommen für jede natürliche Zahl n ist eine Aussage A(n) gegeben und angenommen die folgenden Aussagen sind wahr:
(1) A(1) ist wahr
(2) ∀n ∈ N : A(n) wahr ⇒ A(n + 1) wahr
⇒ A(m) ist wahr für alle m ∈ N
Beispiel:
A(n) sei die Aussage: n < 2n
Frage: Ist A(m) für alle m ∈ N ?
Antwort: Ja! Beweis durch Nachweis (1) & (2) aus dem Prinzip der vollständigen Induktion.
A(1) : 1 < 21 wahr
Sei A(n) wahr d.h gelte n < 2n
2n+1 = 2n · 2 > n · 2 = n + n ≥ n + 1
⇒ 2n+1 > n + 1
Beweis des Prinzips der vollständigen Induktion
M := {n ∈ N : A(n) ist falsch }
Zu Zeigen: M = ∅
Annahme M 6= ∅
Nach dem Axiom vom kleinsten Element enthält M ein
kleinstes Element n0 . ⇒ n0 − 1 ∈
/ M ⇒ A(n0 ) ist wahr
⇒ A((n0 − 1) + 1) ist wahr ⇒ n0 ∈
/M
Widerspruch
10
Definition durch Rekursion Angenommen A(1) ist eine Zahl, eine Aussage, eine Eigenschaft oder . . . und für alle n ∈ N gilt: Wenn A(n) definiert ist, so
auch A(n + 1). Dann ist A(m) für alle m ∈ N definiert.
Eine Abbildung f : M → N heißt
injektiv ⇔ ∀x, y ∈ M : f (x) = f (y) ⇒ x = y
surrjektiv ⇔ ∀z ∈ N
∃x ∈ M : z = f (x)
bijektiv ⇔ f ist injektiv und surjektiv.
f (M ) := {f (x) : x ∈ M } heißt das Bild von f
L→M →N
g◦f :L→M →N
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
∀x ∈ L heißt Verknüpfung von f mit g
Beispiel:
L = M = N = R,
f (x) = x + 1, g(y) = 2y
(g ◦ f )(x) = 2x+1
(f ◦ g)(x) = 2y + 1
(g ◦ f ) 6= (f ◦ g)
Sei f : L → M eine Abbildung.
Eine Abbildung g : M → L heißt linksinversiv zu f falls g ◦ f = idL = identische
Abbildung auf L(idL (x) = x
∀x ∈ L)
Eine Abbildung h : M → L heißt rechtsinversiv zu f falls f ◦ h = idM
Satz:
f ist injektiv ⇔ Es existiert eine linksinversive Abbildung zu f .
f ist surjektiv ⇔ Es existiert eine rechsinversive Abbildung zu f .
Beweisskizze:
”⇐” Angenommen: g : M → L ist linksinversiv zu f
Seien x, y ∈ L so, dass f (x) = f (y) ⇒ g(f (x)) = (g ◦
f )(x) = idL (x) = x = g(f (y)) = (g ◦ f )(y) = y
”⇒” Sei f injektiv
x falls z = f (x)
g(z) =
x0 falls z ∈
/ f (M )
⇒ (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x = idL (x)
(g ◦ f ) = idL
11
∀x ∈ L
Hinweis:
Zwei Abbildungen f1 , f2 sind gleich ⇔ f1 (x) = f2 (x)
∀x ∈ Df
”⇒” Angenommen: f ist rechtsinversiv zu g
⇒ f ◦ g = idM
⇒ ∀z ∈ M
∃x ∈ L : z = f (x), nämlich x = g(z)
⇒ f ist surjektiv
denn: f (x) = f (g(z)) = (f ◦ g)(z) = idM (z) = z
Eine f : L → M heißt invertierbar ⇔ Es existiert eine Abbildung g : M → L,
so dass g sowohl links- als auch rechsinvers zu f ist.
Satz:
f : L → M ist bijektiv ⇔ ist invertierbar.
Wenn f invertierbar ist, dann ist die linksinverse Abbildung eindeutig durch f
bestimmt und ist gleich der rechtsinversen Abbildung. In diesem Fall bezeichnet
man die links- oder rechtsinverse Abbildung mit f −1 .
Anwendungsfall:
f : L → M sei bijektiv, also invertierbar.
Gegeben: Gleichung in x
f (x) = y, d.h. y ∈ M
Vorgegeben wird x ∈ L ist gesucht. Wie findet man x?
x = (f −1 ◦ f ) = f −1 (y)
X nicht leere Menge S(X) = {f : X → X bijektive Abbildung }
(S(X), ·) ist eine Gruppe.
Eine Gruppe ist ein Paar (G, ·), wobei G 6= ∅ und · : G×G → G : (a, b) → a·b
So dass (a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c ∈ G
∃e ∈ G 3
a·e=a=e·a
∀a ∈ G
∀a ∈ G∃b ∈ G : ab = ba
man schreibt für b
a−1
(b = a−1 )
Beispiel:
X := {1, 2, 3} : f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}
bijektiv
1
2
3
Alle Möglichkeiten für f sind:
f (1) f (2) f (3)
3e
: Neutrales Element
12
1 2
1 2
3
3
1 2 3
3 1 2
1 2
1 3
3
2
1 2 3
2 3 1
g ◦ f =?
g◦f =
1
3
1
g(1)
1
f ◦g =
1
1
2
2
1
3
3
1
3
2
2
3
1
2
1
3
2
1
3
2
2
1 2 3
1
f↔
,g ↔
1 3 2
3
2 3
1 2 3
◦
=
1 2
1 3 2
2
3
1
2
◦
g(2) g(3)
f (1) f (2)
2 3
1 2 3
◦
=
3 2
3 1 2
3
f (3)
1
2
2
1
3
1
=
3
3
1
2
3
g ◦ f (1) g ◦ f (2) g ◦ f (3)
Also g ◦ f 6= f ◦ g
Fakultät
n ∈ N sei n! = 1; 2; 3; . . . , n
Satz:
Für x = {1, 2, . . . , n} hat S(X) n! Elemente
Beweis:
√
n=1


1 2 ... n n + 1
 1 .|. . . . . . . {z
. . . . . . . . .}. 
n! Möglichkeiten


1
2 3 ... n n + 1
 |{z} 1 .|. . . . . . . {z
. . . . . . . . .}. 
n! Möglichkeiten
Also insgesamt (n + 1)n! Möglichkeiten
= (n + 1)! Möglichkeiten
Eine Menge M heißt abzählbar ⇔ Es existiert eine bijektive Abbildung
f :N→M
Satz:
Die Menge Q aller rationalen Zahlen ist abzählbar.
13
1
0
0
1
1
→
1
2
2
Beweis:
-1
-1
→
.
↓
2
2
→
.
%
− 12
%
3
1
3
4
1
4
− 14
f :N→Q
1→0
2→1
2
2
.
− 13
.
-2
-2
3
− 22
2
3
3 → −1
4→
1
2
Satz:
Die Menge R aller reelen Zahlen ist nicht abzählbar.
Beweis:
Es reicht zu zeigen [0; 1) = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1} ist nicht
abzählbar.
Annahme: Das Intervall ist doch abzählbar. Dann lassen sich
die Elemente [0; 1)
r1
r2
r3
..
.
=
=
=
0,
0,
0,
..
.
z̃ii = zii
z11 ,
z21 ,
z31 ,
..
.
z12 ,
z22 ,
z32 ,
..
.
z13 ,
z23 ,
z33 ,
..
.
...
...
...
..
.
i = 1, 2, . . .
0, z̃11 , z̃12 , z̃13 , . . . gehört nicht zu der Liste r1 , r2 , . . .
Was ist eine Zahl? Zwei Mengen M und N heißen äquivalent :⇔ Es existiert
eine bijektive Abbildung f : M → N
M ∼ M : f = idM : M → M
L∼M ⇒M ∼L
f :L→M
f
g
⇒
◦
L∼M ∼N ⇒L→M →N ⇒g=f
f −1 : M → L
bijektiv
|M | = Äquivalenzklasse von M heißt Cardinalität von M
|{, 4}| = |{?, ]}| = 2
14
1.4
§4 Grundbegriffe der Kombinatorik
Es seien n Elemente gegeben, die nicht alle voneinander verschieden sind, sondern unter denen ν1 , ν2 , . . . , νp gleiche sind (n = ν1 + ν2 + . . . + νp ). Die Anzahl
der Vertauschungen dieser Elemente ist:
n!
ν1 !ν2 ! . . . νp !
Beispiel: n = 10
, aabbbccccc
10!
= 2520 Möglichkeiten
2!3!5!
n ∈ N, k ∈ N
k≤n
Wie groß ist die Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung ohne Wiederholung
von n paarweise vereinigten Elementen (Objekten)
(A) mit Berücksichtigung der Anordnung
(B) ohne Berücksichtigung der Anordnung
(A)
Die Kombinationen 1-ter Ordnung von n Objekten 1, 2, . . . , n
stimmen mit diesen Objekten überein.
Die Kombinationen 2-ter Ordnung sind:

12 13 14 . . .
1n




21 23 24 . . .
2n
Ihre Anzahl ist n(n − 1)
..
..

.
.



n1 n2
. . . n(n − 1)
z.B. n = 3, k = 2
abc
ab ba ac ca bc cb
Die Kombinationen 3-ter Ordnung sind:

123
124
...
12n




132
134
...
13n




..
..
..


.
.
.

1n2
1n3
...
1n(n − 1)


213
214
...
21n




..
..
..



.
.
.


n(n − 1)1 n(n − 1)2 . . . n(n − 1)(n − 2)
n(n − 1) Zeilen. Jede Zeile enthält (n − 2) Kombinationen
⇒ Anzahl = n(n − 1)(n − 2)
Allgemein ist die Anzahl gleich n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k +
n!
1) =
(n − k)!
(B) Wird auf die Anordnung keine Rücksicht genommen ist die Anzahl
gleich
n!
n
n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1)
=
=
Binominalkoeffizient
k!
k!(n − k)!
k
15
k ist die länge der Kombination
Beispiel:
32
= 64512240 Möglichkeiten aus einem Kar10
tenspiel, mit 32 paarweise Verschiedenen Karten, 10 Karten auszuwählen.
Es gibt
Anzahl der Kombinationen k-ter Ordnung mit Wiederholungen von n paarweise
verschiedenen Objekten.
(A) mit Berücksichtigung der Anordnung
(B) ohne Berücksichtigung der Anordnung
(A)
k = 1 Die Objekte 1, 2, . . . , n selbst
k=2
11
21
..
.
12
22
..
.
13
23
..
.
...
...
..
.
1n
2n
..
.
n2 Möglichkeiten
n1 n2 n3 . . . nn
Beispiel: Es lassen sich 266 = 308915776 Zusammenstellungen
von je 6 Buchstaben eines Alphabeths bilden
(B) z.B. k = 2
11 12 . . .
22 . . .
..
.
1n
2n
..
.
Allgemein: n+k−1
k
n
Es gilt: ν+1
+ nν
n+1
2
nn
Möglichkeiten
= n+1
ν+1
16
Möglichkeiten
1.5
§5 Algebraische Körper und Ringe
Ein Körper (algebraischer Körper) ist eine nichtleere Menge M zusammen mit
2 Verknüpfungen (Abbildungen)
+:M ×M →M
(a, b) ∈ M × M
·:M ×M →M
(a, b) → (a + b)
(a, b) ∈ M × M
(a, b) → (ab)
so dass die folgenden Regeln gelten:
(i) (a + b) + c = a + (b + c),
(a · b) · c = a · (b · c)
(ii) a · (b + c) = ab + ac
(iii) a + b = b + a,
∃0 ∈ M :
Addition”
ab = ba
∀a, b, c ∈ M
a+0 = a
∀a ∈ M
”neutrales Element für
∃1 ∈ M :
1·a = a
Multiplikation”
∀a ∈ M
”neutrales Element für
∀a ∈ M
∃b ∈ M :
Element für Addition”
a+b = 0
∀a ∈ M \ {0}
∃b ∈ M
Element für Multiplikation”
a·b = 1
(b = −a)
”inverses
1
a)
”inverses
(b =
Beispiele:
(Q, +, ·) ist ein Körper (also M = Q)
a
b
a
b
·
c
d
+
ac
bd
c
ad+bc
=
d
bd
=
∀a, b, c, d ∈ Z
b 6= 0 6= d
∀a, b, c, d ∈ Z
0 ist wie gewohnt
3
b 6= 0 6= d
1 ist auch wie gewohnt
6
2
1
6 6 6 6
6 6 6 6
6 6 6 6
-1 0 0 1 2 3 4
-1
(R, +, ·) ist ein Körper
17
M = {0, 1} =: F2
+
0
1
0
0
1
+
0
1
2
M = {0, 1, 2} =: F3
1
1
0
0
0
1
2
·
0
1
1
1
2
0
0
0
0
2
2
0
1
1
0
1
·
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
Genauer: F2 ({0, 1}, +, ·)
Satz:
Sei (M, +, ·) ein Körper und sei n ∈ M . Dann gilt ∀a, b ∈ M
(a + b)n =
n X
n
ν=0
ν
aν bn−ν
Satz:
Sei (M, +, ·) ein Körper, sei n ∈ N und sei q ∈ M Dann gilt:
(1 + q + q 2 + . . . + q n )(1 − q) = 1 − q n+1
1 − q n+1
1−q
Beweis: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit q 6= 1
Also: Wenn q 6= 1 ⇒ (1 + q + . . . + q n ) =
(1 + q + . . . + q n ) + q n+1 =
=
1 − q n+1
+ q n+1
1−q
1 − q n+1 + q n+1 (1 − q)
1 − q n+1
=
1−q
1−q
//
Der Körper der komplexen Zahlen C
C = (R2 , +, ·)
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)
∀a, b, c, d ∈ R
C 3 0 = (0, 0)
C 3 i = (0, 1),
C 3 1 = (1, 0)
i2 = (0, 1)(0, 1) = −1
Schreibweise:
(a, b) = a + bi
(a+bi)(c+di) = ac+adi+bci−bd = (ac−bd)+(ad+bc)i = (a, b)(c, d)
18
Merke: (a, b) = (c, d) ⇔ a = c und b = d
C := {z : z = a + bi mit a, b ∈ R}
z̄ = a − bi
√
|z| = + z z̄
z = a + bi,
z · z̄ = a2 + b2 = |z|2
Abstand von Nullpunkt.
z −1 =
Beweis: z · z −1 = 1
z·
1
z
=
a
a2 +b2
−
b
a2 −b2 i
= α + βi
Nachrechnen!
z̄
=1
z
z̄
|{z}
z̄
a − bi
a
b
= 2
= 2
− 2
i
z z̄
a − (bi)2
a + b2
a + b2
z −1
C 3 z = a + bi
= a = Re(z) = Realteil von z
= b = Im(z) = Imaginärteil von z
= (a, b) cartesische Darstellung von z
z = a + bi
a = r · cos ϕ
0◦ ≤ ϕ < 360◦
b = r · sin ϕ
0◦ ≤ ϕ < 360◦
z = r · (cos ϕ + i sin ϕ) = [r, ϕ] ”Polarkoordinatendarstellung”
von z = a + bi
Satz:
[r, ϕ] · [r0 , ϕ0 ] = [rr0 , ϕ + ϕ0 ]
Beweis:
[r, ϕ] · [r0 , ϕ0 ] = r(cos ϕ + i sin ϕ) · r0 (cos ϕ0 + i sin ϕ0 )
= rr0 (cos ϕ cos ϕ0 +i cos ϕ sin ϕ0 +i sin ϕ cos ϕ0 −sin ϕ sin ϕ0 )
Additionstheoreme =⇒
rr0 (cos ϕ cos ϕ0 − sin ϕ sin ϕ0 )+i(cos ϕ sin ϕ0 + sin ϕ cos ϕ0 )
{z
} |
|
{z
}
cos(ϕ+ϕ0 )
i sin(ϕ+ϕ0 )
= rr0 (cos(ϕ + ϕ0 ) + i sin(ϕ + ϕ0 )) = [rr0 , ϕ + ϕ0 ]
19
Ein Ring (algebraischer Ring) ist eine nicht leere Menge R zusammen mit zwei
Verknüpfungen (Abbildungen)
+:R×R→R
(a, b) → a + b
(a, b) ∈ R × R
a+b∈R
·:R×R→R
(a, b) → a · b = ab
(a, b) ∈ R × R
ab ∈ R
so ,dass
(a + b) + c = a + (b + c),
a+b=b+a
∃0 ∈ R ::
a+0=a=0+a
∀a ∈ R
∃b : a + b = 0 = b + a
(−a = b)
(a · b) · c = a · (b · c)
a · (b + c) = ab + ac;
(b + c) · a = ba + ca
Ein Ring (R, +, ·) heißt kommutativ ⇔ a · b = b · a
Ein Einselement ist ein Element 1 ∈ R : 1 6= 0
1·a=a·1=a
Beispiele:
(a) (Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit 1. Man darf durch 1 dividieren, aber nicht durch jedes Element.
(b) K Körper, x Unbestimmte, K[x] := {p(x) : p(x) Polynom mit Koeffizienten in K}
p(x) ist ein Polynom in x mit Koeffizienten in K ⇔ ∃n ∈ N
K
∃a0 , a1 , . . . , an ∈
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn
p(x) Nullpolynom ⇔ a0 = a1 = . . . = an = 0
Unterbeispiel: K = F2
x2 + x ist nicht das Nullpolynom
p(x)+̇q(x) wie üblich
⇒ (K[x], +, ·) ist ein kommutativer Ring mit 1.
−∞ falls p(x) = Nullpolynom
K[x] 3 p(x)
Grad(p(x)) :=
n
falls an 6= 0
n o
(c) K Körper, M at(2 × 2, K) = M (2, K) ∼ a,b
c,d : a, b, c, d ∈ K
R = (M (2, K), +, ·) ist ein Ring, wobei
a b
α β
a+α b+β
+
=
c d
γ δ
c+γ d+δ
a b
α β
aα + bγ aβ + bδ
·
=
c d
γ δ
cα + dγ cβ + dδ
20
12 =
1 0
0 1
Eins in R
Satz:
Seien m, n ∈ Z mit n ≥ m > 0, dann existieren q, r ∈ N0 =
{0, 1, 2, . . .}, so dass n = q · m + r mit 0 ≤ r < m
Folgerung: (g-adische Ziffernentwicklung)
Sei g ∈ N, g > 1, dann besitzt jede natürliche Zahl a eine
eindeutige Darstellung in der Form:
a = c0 + c1 g + c2 g 2 + . . . + cn g n mit 0 ≤ ci < g
0, 1, . . . , n
ci ∈ N0
Bezeichnung: (a)g = cn
cn−1
...
i=
c0
Begründung: Wie findet man n?
n ist so zu bestimmen, dass g n ≤ a < g n+1
q · g n + r, 0 ≤ r < g n
division mit Rest
=⇒
a=
dann mit r weitermachen.
Beispiel: g = 2, a = 93
26 ≤ 93 < 26+1
93 = 1 · 64 + 29,
29 = 0 · 32 + 29,
1 · 4 + 1 ⇒ (93)2 = 1011101
Also n = 6
29 = 1 · 16 + 13,
13 = 1 · 8 + 5
Satz: Division mit Rest für Polynome
K Körper, p(x), s(x) ∈ K[x] − K
Grad(s(x)) ≤ Grad(p(x)) ⇒ Es existieren q(x), r(x) ∈ K[x], so dass
p(x) = q(x) · s(x) + r(x), Grad (r(x)) < Grad (s(x))
Beispiel:
(x4
− (x4
−
+2x2
− 12 x3
( 12 x3
( 12 x3
−
+3x
+2x2 )
+3x
− 14 x2
( 14 x2
( 14 x2
+1)
: (2x2 − x + 4)
+1)
+x)
+2x +1)
− 18 x + 21 )
1
( 17
8 x +2)
q(x)
= 12 x2 + 41 x +
Rest:
17
8 x
r(x)
p(x)
s(x)
}|
{
z
}|
{ z1
{ z17 }| 1{
1 z 2 }|
1
4
2
2
Also: x + 2x + 3x + 1 = x + x + · 2x − x + 4 + x +
2
4
8
8
2
Folgerung: Sei p(x) ∈ K[x] \ K
Sei a ∈ K eine Nullstelle
von p(x), d.h. p(a) = 0 ⇒ p(x) = q(x)(x − a)ν mit p(x) ∈
K[x], q(a) 6= 0
21
+
1
2
1
8
5=
ν ∈ N heißt die (algebraische) Vielfachheit der Nullstelle
a von p(x)
Folgerung: K = C, p(x) ∈ C[x] \ C ⇒ p(x) = c(x1 −
a1 )ν1 . . . (xn − an )νn mit c ∈ C und a1 , . . . , an die paarweise verschiedenen Nullstellen p(x) mit der jeweiligen Vielfachheit von ν1 , . . . , νn
22
1.6
§6 Anordnungseigenschaften der reellen Zahlen
Für jedes a ∈ R tritt genau eine der folgenden Möglichkeiten auf:
0 ; a=0 ; a>0
Intervalle: a, b ∈ R,
a≤b
a <
d.h. a − b ≤ 0
[a, b] : {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}
[a, ∞) = {x ∈ R : a ≤ x}
(−∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}
Absolutbetrag:
n
a
falls a ≥ 0
|a| :=
−a falls a < 0
Es gilt:
(1) Wenn a, b ∈ R positiv sind, so auch a + b und a · b
(2) |a · b| = |a| · |b|
(3) |a + b| ≤ |a| + |b|
Dreiecksungleichung
(3’) |a| − |b| ≤ |a − b|
(4) Unter endlich vielen reelen Zahlen a1 , . . . , an existiert stets
eine kleinste u := M in(a1 , . . . , an ) und eine größte v :=
M ax(a1 , . . . , an )
Eine nichtleere Teilmenge M ⊂ R heißt nach unten Beschränkt, falls s1 ∈ R
existiert, so dass s1 ≤ x ∀x ∈ M ;
s1 heißt untere Schrankevon M .
M heißt nach oben beschränkt, falls s2 ∈ R existiert, so dass x ≤ s2 ∀x ∈ M ;
s2 heißt obere Schranke von M .
M heißt beschränkt, falls s ∈ R existiert, so dass |x| ≤ s ∀x ∈ M
Beispiel: M := { n1 : n ∈ N} = {1, 12 , 13 , . . .} hat die obere Schranke 1 und
keine untere Schranke, die in N liegt.
Definition: M ⊂ R, M 6= ∅ Eine reele Zahl heißt untere Grenze von
M , wenn sie untere Schranke von M ist und größer als jede andere
untere Schranke von M .
M ⊂ R, M 6= ∅ Eine reele Zahl heißt obere Grenze von M , wenn
sie obere Schranke von M ist und kleiner als jede andere obere
Schranke von M .
23
Also: t untere Grenze von M ⇔
(i) t ≤ x ∀x ∈ M
(ii) s ≤ x ∀x ∈ M ⇒ s ≤ t
Satz: Jede nach unten bzw. oben beschränkte nichtleere Teilmenge M ⊂ R
besitzt eine untere bzw. obere Grenze.
Beweis für den Fall der unteren Grenze:
Da M eine untere Schranke hat, gibt es auch eine ganze
Zahl (die nächst kleinere Zahl) die untere Schranke von M
ist. Also gibt es eine größere ganze Zahl, die keine untere
Schranke mehr ist. Dazwischen gibt es eine ganze Zahl
a0 die noch untere Schranke von M ist, die nachfolgende
a0 + 1 aber nicht mehr. Wir teilen das Intervall [a0 , a0 + 1]
in 10 gleiche Teile. Sei a1 der letzte dieser Teilpunkte, der
1
noch untere Schranke von M ist, a1 + 10
aber keine untere
1
Schranke. Jetzt teilen wir [a1 , a1 + 10 ] in 10 gleiche Teile
usw.
Durch wiederholte 10-Teilung erhält man eine Folge von
unteren Schranken a0 , a1 , a2 , a3 , . . . von M . Dabei ist an
ein abbrechender Dezimalbruch mit n Stellen, nach dem
Komma, der aus an−1 durch Hinzunahme einer weitern
Stelle entsteht. Sei t der unendliche Dezimalbruch, der mit
an bis zur n-ten Stelle nach dem Komma übereinstimmt.
Bedingung: t ist untere Schranke für M
Beweis:
Annahme: s > t ⇒ ∃n ∈ N0
: s > an +
10−n ⇒ an + 10−n ist eine untere Schranke
für M .
Widerspruch zur Konstruktion der Folge.
Also: t ist untere Grenze wie behauptet.
Satz: Die untere Grenze von M ist eindeutig bestimmt.
Beweis: t1 ≤ t2 ,
t 2 ≤ t1
⇒
t1 = t2
Definition:
M ⊂ R,
M 6= ∅,
M nach unten Beschränkt.
inf (M ) = die untere Grenze von M
M ⊂ R,
M 6= ∅,
M nach oben Beschränkt.
sup(M ) = die obere Grenze von M
24
Beispiel: inf ({1, 12 , 13 , . . .}) = 0
Folgerung: (Archimedische Eigenschaft der reelen Zahlen)
Zu jeder reelen Zahl gibt es eine größere natürliche Zahl
Definition: Eine Folge von Intervallen [a0 , b0 ], [a1 , b1 ], [a2 , b2 ], . . . heißt
Intervallschachtelung ⇔ [an , bn ] ⊃ [an+1 , bn+1 ] ∀n = 0, 1, 2, . . .
und ∀ > 0 ∃n ∈ N0 : bn − an ≤ Satz: Zu jeder Intervallschachtellung [a0 , b0 ], [a1 , b1 ], . . .
eine reele Zahl c mit c ∈ [an , bn ] ∀n ∈ N0
gibt es genau
Beweis: Es gibt höchsten ein c mit c ∈ [an , bn ] ∀n
Annahme: Es gibt 2 verschiedene etwa c, c0 mit dieser Eigenschaft
Sei dann :=
1 0
22 |c
0
− c| > 0
⇒
∃n : |bn − an | ≤ .
0
Dann gilt nicht: c, c ∈ [an , bn ], weil |c − c| = 2
Sei M : {b0 , b1 , b2 , . . .}, M ist nach unten beschränkt. Nach ”Satz” hat M eine
untere Grenze c mit c ≤ bn , an ≤ c ∀n ⇒ c ∈ [an , bn ] ∀n
25
1.7
§7 Quadratwurzeln und Ungleichungen
Satz: (Ungleichungen von Cauchy-Schwarz)
v
 v

n
u n
u n
X
X
X
u
u
ai · bi ≤ +t
a2i · +t
b2i 
i=1
i=1
i=1
für alle reelen Zahlen a1 , . . . , an
;
b1 , . . . , bn
Satz: (Dreiecksungleichung)
v
v
v
u n
u n
u n
uX
uX
uX
2
2
t
t
+
(ai + bi ) ≤ +
ai + t
b2i
i=1
i=1
i=1
Dreiecksungleichung für n = 1
q
q
p
(a1 + b1 )2 ≤ + a21 + b21
= |a1 + b1 | ≤ |a1 | + |b1 |
Für n = 2
q
q
p
(a1 + b1 )2 + (a2 + b2 )2 ≤ a21 + a22 + b21 + b22
26
1.8
§8 Arithmetische und Geometrische Mittel
√
c, c ⊂ R c > 0.
Es geht um näherungsweise Bestimmung von Quadratwurzeln
√
Angenommen a > 0 ist ein √
Näherungswert für c. Setze b = ac , dann gilt:
ab = c ⇒ (OE)
a≤ c≤b
a−b 2
a+b 2
Es gilt 2
≤ 2
+ ab ≥ ab
Satz: (Ungleichung zwischen geometrischen und arithmetischen Mitteln)
√
geometrisch→ ab ≤ a+b
← arithmetisch
2
√
√ 2
2
a+b
Es gilt weiter: a+b
−
ab
+
ab = a+b
− ab = b−a
2
2
2
2
Für
a<b
also
a+b
2
Ergebnis: b0 :=
b0 −
√
c<
−
a+b
2
,
√
ab <
a+b
2
1
2a
b0 =
⇒
140
99
a+b
2
<
¯
a0 = 1.4141
√
√
,
ab > a
c
b0
a0 <
⇒
a +b
2
0
b0 −a0
2
b−a 2
2
> 2a
√
c < b0
b−a 2
2
a = 1.4 = 75 ,
=
99
70
2<
a0 =
b=
10
7
140
99
99
70
b0 = 1.414 285
Wieder angewendet auf a0 und b0
0
⇒
b−a 2
2
1
2a
a0 :=
,
Zahlenbeispiel: c = 2,
⇒
>a
⇒
= 1.414 213 564 213 . . .
0 0 2
< 0.000 073 , 2a1 0 b −a
< 0.000 000 002
2
√
⇒ 1.414213564213 < 2 < 1.414213565
√
n
Satz: n a1 a2 . . . an ≤ a1 +a2 +...+a
∀n ∈ N ∀a1 , a2 , . . . , an ∈ R≥0
n
27
a+b
2
−
√ ab
2
Reelle Analysis I (RA I)
2.1
§1 Zahlenfolgen
Eine Zahlenfolge a1 , a2 , . . . von reellen oder kompleyen Zahlen ai , i = 1, 2, . . .
heißt konvergent gegen die reelle oder komplexe Zahl a :⇔ ∀ > 0 ∃N =
N () ∈ R : |an − a| ≤ ∀n ≥ N
Beispiele:
(1) 1, 12 , 13 , . . . , an
(2) an =
(3) an =
(4) an =
=
1
n
(−1)n+1
√
n
n+1
n
√
n+1
(−1)
n
Wenn (an ) gegen a konvergiert dann schreibt man a = lim an
n→∞
Beispiel:
1
(1) Sei > 0 N = N () =
1
Also: lim
=0
n→∞ n
1
1
1
⇒ − 0 = ≤
=
n
n
N
(2) Sei > 0
Sei N := 12
(−1)n+1
1
1
⇒ √
− 0 = √ ≤ √ = ∀n ≥ N
n
n
N
Satz: Wenn (an ) gegen a konvergiert und auch gegen b ⇒ a = b
Beweis:
Annahme: a 6= b ⇒ |b − a| > 0
:=
N1 ,
1
3
|b − a| > 0 Es gilt N1 , N2 mit |an − a| ≤ ∀n ≥
|an − b| ≤ ∀n ≥ N2
⇒ 3 = |b − a| = |b − an + an − a| ≤ |b − an | + |a − an | ≤
2
∀n ≥ max (N1 , N2 )
Satz: (an ), (bn ) seien zwei konvergente Folgen reeller Zahlen. Es sei an ≤
bn ∀n
⇒ lim an ≤ lim bn
n→∞
n→∞
Satz: (an ) sei eine gegen a konvergente Folge von reellen oder komplexen
Zahlen, (bn ) sei eine gegen b konvergente Folge von reellen Zahlen
und es gelte: |an | ≤ bn ⇒ |a| ≤ b
Rechenregeln:
28
(an i), (bn ) konvergent;
c, d ∈ C
⇒ lim (can + dbn ) = c lim an + d lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
Außerdem: konvergent (an , bn ) und es gilt
lim (an · bn ) = lim an · lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
Satz: Jede konvergente Folge (an ) ist beschränkt d.h. es existiert c ∈ R>0 :
|an | ≤ c ∀n ∈ N
Beweis: lim (an ) = a : Sei := 1 ⇒ ∃N |an − a| ≤ 1
n→∞
∀n ≥ N
|an | − |a| ≤ |an − a| ⇒ |an | ≤ |an − a| + |a| ≤ 1 + |a|
∀n ≥ N
Die endlich vielen an mit n < N sind durch max{|an | : n < N } = b
beschränkt. Insgesamt ⇒ |an | < max{|a| + 1, b} =: C
∀n
√
Also z.B. ( n) nicht konvergent, da nicht beschränkt
an
=
n→∞ bn
Satz: lim
lim an
n→∞
lim bn
, falls lim bn 6= 0
n→∞
n→∞
3 + n12
3n2 + 1
n→∞ 3
=
−→
1
1
2
2n − n − 1
2
2 − n − n2
1
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k − 1) 1
n −k
n =
∀k ∈ N denn
· k
Beispiel: lim
n→∞ k
k!
k!
n
1 n n−1 n−2
n − (k − 1)
1
1
2
= · ·
·
·. . .·
= 1(1 − )(1 − ) . . . (1 −
k! n
n
n
n
k!
n
n
k − 1 n→∞ 1
) −→
n
k!
n
Beispiel: a ∈ R ⇒ lim an = 0 falls |a| < 1
n→∞
1 falls a = 1
Beispiel:
(an ) divergiert für |a| ≥ 1 a 6= 1
denn: Sei |a| < 1 ⇒ |a| =
1
1+b
mit b =
1
|a|
−1>0
Nach der binomischen Formel gilt (1 + b)n = 1 + nb + . . . > nb ⇒
1
1
|a|n = (1+b)
n < nb
1
1
1
1
lim
=
lim
= 0 = 0 ⇒ lim an = 0
n→∞ nb
n→∞
b n→∞ n
b
Satz: ∀k ∈ Z ∀a ∈ R mit |a| < 1 gilt lim nk · an = 0
n→∞
Beispiele:
(1) k ≤ 0 ⇒ |nk · an | ≤ |a|n ⇒ limn→∞ nk · an = 0
29
1
1
(2) k > 0 : Sei n > k + 1 und sei |a| =
, b=
−1 > 0
1+b
|a|
n
X
n m
n
⇒ (1+b)n =
b >
bn+1 , also |nk an | =
m
k
+
1
m=0
1
1 n→∞
k
n
−→ 0
|n | · |a | = nk · |an | <
·
n
n
bk+1
n−(k+1) |{z}
0
k+1
{z
}
|
1
(k+1)!
Definition Eine reelle Zahlenfolge an heißt ”monoton steigend” :⇔ an ≥
am ∀n ≥ m
Analog ”monoton fallend”
”monoton” bedeuted entweder monoton steigend oder monoton fallend.
Satz: Jede beschränkte, monotone Folge reeller
 Zahlen (an ) ist konvergent,
 lim an = sup{an : n ∈ N}
o
monoton steigend
ist sie monoton fallend dann gilt n→∞
 lim an = inf{an : n ∈ N}
n→∞
f
(Eine reelle Zahlenfolge (an ) läßt sich auch als Abbildung N → R auffassen, d.h.
a1 = f (1) , a2 = f (2) , a3 = f (3) , . . .)
Definition: Sei (an ) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Eine Folge
von (an ) ist eine Folge, die aus (an ) durch Wegnahme von Gliedern
von (an ) entsteht.
n+1
n+1
Beispiel: (an ) =
(−1)
n
2n + 1
2n + 1
1
2n+1
a2n =
(−1)
=−
= −(1 +
)
2n
2n
2n
n→∞
−→ −1
(a2n ) ist eine Teilfolge von (an ) mit dem Grenzwert -1
2n − 1 + 1
1
2n−1+1
a2n−1 =
(−1)
= +(1 +
)
2n − 1
2n − 1
n→∞
−→ +1
(a2n−1 ) ist eine Teilfolge von (an ) mit dem Grenzwert +1
Satz: Jede Teilfolge einer gegen den Grenzwert akonvergierenden
Folge
n+1
konvergiert ebenfalls gegen a. Also : (an ) =
(−1)n+1 diverb
giert, d.h. konvergiert nicht.
Definition: Sei (an ) eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Eine reelle
oder komplexe Zahl a heißt Häufungswert (-punkt) von (an ), falls
(an ) eine Teilfolge besitzt, die gegen a konvergiert.
30
Beispiel: +1 und −1 sind Häufungswerte der Folge
n+1
(−1)n+1
n
ZEICH-
NUNG
Kriterium: a ist Häufungswert von (an )
|an − a| ≤ :⇔
∀ > 0 ∃∞ viele n :
Satz: (von Bolzano und Weierstraß)
Jede beschränkte Folge von reellen oder komplexen Zahlen (an ) besitzt mindestens einen Häufungswert
Beweis: die zunächst nur für die reellen Zahlenfolgen. Weil {an :
n ∈ N beschränkt ist ⇒ ∃c0 , d0 ∈ R an ∈ [a0 , d0 ] ∀n
Man halbiert dieses Intervall [c0 , d0 ]. Die eine hälfte bezeichnet man mit [c1 , d1 ]. OE enthält [c1 , d1 ] ∞ viele Glieder der Fogle. Durch fortgesetztes Halbieren erhält man
so eine Folge von Intervallen [ck , dk ], k = 0, 1, 2, 3, . . .
von denen jedes Intervall ∞-viele Folgenglieder enthält.
Diese Folge von Intervallen ist eine Intervallschatellungm
d0 − c0 k→∞
−→
denn für die Länge dk − ck gilt: dk − ck =
2k
1
1
0 2k > k,
< → 0 ist der gemeinsame Punkt all die2k
k
ser Intervalle (Es gibt genau einen, s.o.)
Sei a : Sei > 0 und sei dk − ck ≤ ⇒ [a − , a + ] ⊃ [ck , dk ] ⇒
[a − , a + ] enthält ∞-viele Folgeglieder ⇒ (nach den Kriterien) a
ist Häufungspunkt
C ∈ an = αn + βn i, αn + βn ∈ R
Satz und Definition: Die obere bzw. untere Grenze der Menge aller Häufungspunkte einer beschränkten Folge reeller Zahlen (an ) existiert und ist
selbst Häufungspunkt. Sie heißt limes superior bzw. limes inferior
der Folge.
Bezeichnung: lim sup(an ) bzw. lim inf(an )
n→∞
n→∞
Satz: (Kriterium von Cauchy)
(an ) konvergent :⇔ > 0 ∃N = N () ∈ R
|an − am | ≤ ∀n, m ≥ N
n→∞
Beweis: Angenommen (an ) −→ a ⇒ ∀ > 0 ∃N : |an − a| ≤ 2 ∀n ≥
N ⇒ |an − am | = |(an − a) + (a − am )| ≤ |an − a| + |am − a| ≤
2 + 2 = ∀n, m ≥ N
Umgekehrt sei das Kriterium erfüllt
Sei := 1 ⇒ ∃N : |an − am ≤ 1 ∀m, n ≥ N
|an | − |am | ≤ |an − am | ≤ 1, |an | ≤ 1 + |am | ∀n, m ≥ N
31
⇒ (an ) beschränkt ⇒ (Satz von Bolzano und W...)
(an ) besitzt einen Häufungswert a
Sei > 0 wird N so, dass |an − am | ≤ 2 ∀n, m ≥ N ⇒ (für
hinreichend kleines ) ∃m ≥ N : |(an − am ) + (am − a)| ≤ |an −
am | + |am − a| ≤ 2 + 2 = ∀n ≥ N
32
2.2
§2 Unendliche Reihen
(an ) sei Folge von reellen oder komplexen Zahlen. Der Ausdruck
∞
X
an heißt die mit der Filge (an ) gebildete unendliche Reihe.
n=1
sm =
m
X
an = a1 + a2 + . . . + am
n=1
(Sm ) ist eine neue Folge ??? m-te Partialsumme.
Definition:
∞
X
Man sagt, dass die unendliche Reige
an existiert oder konver-
n=1
giert, wenn die Folge (Sm ) konvergier.
Beispiel:
∞
X
an−1 =:
n=1
∞
X
an
”geometrische Reihe”
n=0
1 − am
, falls a 6= 1
1−a
↓n→∞
1
, falls |a| < 1
1−a
a0 + a1 + . . . + am−1 =
Sm
↓m→∞
∞
X
an
=
n=0
Speziell:
∞ n
X
1
n=0
2
m2 ≥ m1
=2
:
Sm2 − Sm1 =
m2
X
m1
X
an −
an =
an
n=m1 +1
n=1
n=1
m2
X
Satz: (Cauchy - Kriterium für unendliche Reihen)
n
∞
X X
ai konvergiert :⇔ ∀ > 0 ∃N : ai ≤ ∀m, n ≥ N
i=1
i=m
Folgerung: Wenn
∞
X
ai konvergiert ⇒ an
=
i=1
i=m
Beispiel:
∞
X
1
i=1
i
Aber
n
X
konvergiert nicht!
1
konvergiert gegen 0.
i i=1,2,...
33
!
ai
ist eine Nullfolge.
Satz: Alle ai seien reell und ≥ 0 ; i = 1, 2, . . . .
Dann gilt:
∞
X
ai konvergiert :⇔ Die Folge (Sm )m=1,2,... ist beschränkt.
i=1
Beweis: Sm ist monoton steigend.
Beispiel:
∞
X
1
konvergiert =
2
n
n=1
π2
6
m
m
m X
X
X
1
1
1
1
Beweis: Sm =
≤ 1+
= 1+
+
=
n2
(n − 1)n
n−1 n
n=1
n=2
n=2
1
1 1
1
1+ 1−
+
−
+ ... = 2 −
<z
2
2 3
m
Also: Sm < 2 ∀m ⇒ (Sm ) beschränkt ⇒ (nach letztem Satz)
konvergiert.
∞
X
1
n2
n=1
Beispiel:
∞
X
1
divergiert.
n
n=1
2k
X
1
1
1 1
1 1 1 1
1
1
+
+
= S2k = 1+ +. . .+ k = 1+ +
+
+ + +
Beweis:
n
2
2
2
3 4
5 6 7 8
n=1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
. . . ≥ 1+ + 2 + 2 +
+
+
+
+
.
.
.+
+
+
.
.
.
+
2
2
2
23
23
23
23
2k
2k
2k
{z
} |
{z
}
{z
}
|
|
1
2
S2 k ≥ 1 +
k
2
1
2
⇒ (Sm ) ist nicht beschränkt ⇒
1
2
∞
X
1
divergiert!
n
n=1
Satz: (Konvergenzkriterium von Leibniz)
Sei (an ) eine Folge reeller Zahlen mit a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ . . . mit
∞
X
lim an = 0, dann konvergiert
(−1)n an .
n→∞
n=1
∞
X
(−1)n
Beispiel:
konvergiert.
n
n=1
Satz: (Majoranten- oder Vergleichskriterium)
Sei (an ) eine reelle Zahlenfolge mit an ≥ 0 ∀n. Außerdem sei
∞
X
n=1
an
konvergent. Sei (bn ) eine Folge von reellen oder komplexer Zahlen
∞
X
mit folgenden Eigenschaften: ∃N : |bn | ≤ an ∀n ≥ N ⇒
bn
n=1
konvergiert.
34
Beweisidee: Mit Cauchy-Kriterium
n
n
n
X X
X
Sei > 0 ⇒ bk ≤
|bk | ≤
an ≤ ∀m, n ≥ N
k=m
Beispiel:
Beispiel:
km
k=m
∞
X
∞
X
1
1
1
1
konvergiert,
den
≤
und
konvergiert.
3
3
2
2
n
n
n
n
n=1
n=1
X
1
√ divergiert
+ m
Annahme: Sie konvergiert.
Es ist
1
1
≤ √
n
n
SPRUCH, den
M ajorantenkriterium
=⇒
∞
X
1
divergiert.
n
n=1
∞
X
1
konvergiert WIDERn
n=1
Satz: (Quotientenkriterium)
(an ) sei eine Folge reeller oder
Zahlen. Angenommen es
komplexer
an−1 ≤ q ∀n ≥ N , dann konvergiert
gibt q ∈ R, q < 1 und ein N : an ∞
X
an
n=1
Beispiel: x ∈ R
Bedingung:
∞
X
xn
konvergiert.
n!
n=1 |{z}
=an
xn+1 an+1 (n+1)!
≤ n = |x| < 1 =: q
Beweis: x
an
2
n! n + 1
Definition: x ∈ R, ex :=
∞
X
xn
n!
n=0
∀n ≥ 2 · |x|
(0! = 1)
Satz: (Quotientenkriterium)
Angenommen
es gibt eine reelle Zahl q < 1 und eine natürliche Zahl
∞
X
an+1 ≤ q ∀n ≥ N ⇒
N : an konvergiert.
an n=1
Beweis: n ≥ N
an+1 an+2 an ≤ |an | · q (n−N ) =
|an | = |an | ...
an an an−1 |
{z
}
(n−N ) Faktoren
|an | n
·q
qN
35
∞
X
1
, weil q < 1 also Folgt die Behauptung aus dem
1−q
n=0
Majorantenkriterium.
X X
X |aN |
X
|aN |
Ausführlich: an ≤
|an | ≤
qn =
qn
N
N
|{z}
q
q
| {z }
existiert
dann
qn =
f ester W ert
Die Bedingung
des Quotientenkriteriums ist gleichbedeutend mit
an+1 <1
lim sup n→∞
an ∞
X
xn
n!
n=0
| {z }
Beispiel:
=ex =:exp(x)
konvergiert ∀x ∈ R
(0! = 1, x0 = 1)
Exponentialfunktion
Vorsicht beim ”Rechnen” mit unendlichen Reihen
0 = (1 − 1) + (1 − 1) + . . . 6= 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) . . . = 1
Man erhält also aus einer konvergenten durch Umklammern einen
Widerspruch!
Frage: Wann darf man den umklammern oder bessser gesagt umordnen?
Definition:
∞
∞
X
X
(−1)n
|an | konvergiert.
heißt absolut konvergent :⇔
n
n=1
n=1
∞ X
(−1)n X 1
Beispiel:
konvergiert.
n =
n
n=1
Satz: Konvergiert eine unendliche Reihe absolut, so konvergiert auch jede
durch Umordnung der Glieder entstehende Reihe absolut mit dem
selben Grenzwert.
Anwendung: Doppelreihen
Gegeben sei
a11 , a12 ,
a21 , a22 ,
a31 , a32 ,
..
..
.
.
eine unendliche Matrix von reellen Zahlen
a13 , . . .
a23 , . . .
a33 , . . .
..
..
.
.
Aus dem Satz folgt: Wenn die aus diesen Zahlen in irgendeiner Anordnung gebildete Reihe absolut konvergiert, so gilt das auch für
∞
X
jede andere Anordnung. Der gemeinsame Grenzwert sei
amn
n,m=1
Satz: Wenn
∞
X
∞
X
m,n=1
∞
X
n=1
m=1
amn absolut konvergiert ⇒
∞
X
m,n=1
!
amn
36
amn =
∞
X
∞
X
m=1
n=1
!
amn
=
Folgerung: Wenn
∞
X
ai = a und
i=1
dann konvergiert auch
∞
X
∞
X
bk = b beide absolut konvergieren,
k=1
ai · bi absolut und hat den Wert a · b.
i,k=1
Beispiel: Sei |x| < 1
1
1−x
2
1
1
=
·
=
1−x 1−x
1)xn
Mann nennt
∞
X
∞
X
!2
n
x
=
∞
X
(n+
n=0
n=0
an xn , wobei an reelle oder komplexe Zahlen sind
n=0
und x eine Unbestimmte, Potenzreihe (unendliche Linearkombinationen von Potenzen von x).
Satz: Cauchy-Produkt
∞
∞
X
X
Für alle x, für die die Potenzreihe
an xn
bn xn absolut konn=0 !
n=0
!
∞
∞
∞
X
X
X
cn xn mit cn = a0 ·
vergieren gilt:
an xn ·
bn xn =
n=0
bn + a1 · bn−1 + . . . + an · b0 =
n=0
n
X
n=0
ak · bn−k
k=0
1
1
1
1
1
|x|<1
Idee:
=
·
=
·
=
2
1−x
1−x x+1
1 − x 1 − (−x)
∞
X
cn xn
n=0
37
∞
X
n=0
!
n
x
∞
X
n=0
!
n n
(−1) x
=
2.3
§3 Stetige Funktionen
Definition: Sei D ⊂ C und sei f : D → C eine Abbildung (Funktion). f
heißt stetig in x0 ∈ D :⇔ ∀ > 0 ∃δ > 0 : |f (x) − f (x0 )| ≤ :
∀x ∈ D |x − x0 | ≤ δ
Definition: Sei D ⊂ C : f : D → C
Sei a ∈ D
Vorraussetzung: ∀ > 0 ∃x ∈ D : |x − a| ≤ Dann gilt per Definition lim f (x) = b ⇔ ∀ > 0 ∃δ > 0 |f (x) −
x→a
b| ≤ ∀x ∈ D : |x − a| ≤ δ
Andere Formulierung der Stetigkeit:
f stetig in a ∈ D ⇔ lim f (x) = f (a) = f
x→a
”Suggestiv”: lim f (x) = f
x→a
lim x
x→a
lim x
x→a
Definition: lim f (x) = b wird für D ⊂ R folgendermaßen definiert. ∀ >
x→a+
0 ∃δ > 0 : |f (x) − b| ≤ ∀x ∈ D mit x > a und |x − a| ≤ δ
Analog lim f (x) = b
x→a−
Definition: a ∈ D ⊂ C : f : D → C
Voraaussetzung: Man sagt, dass lim f (a) = b :⇔ ∀ > 0 ∃δ > 0 :
x→a
|f (x) − b| ≤ ∀x ∈ D : |x − a| ≤ δ
Ist D ⊂ R und beschränkt man sich auf Werte x > a bzw. x < a, so
schreibt man lim f (x) = b bzw. lim f (x) = b.
x→a+
x→a−
Ist D ⊂ R und ist D oben bzw. unten unbeschränkt, so schreibt man
lim f (x) = b bzw. lim f (x) = b ∀ > 0 ∃y : |f (x) − b| ≤ ∀x ∈ D
x→∞
x→−∞
mit x > y bzw. x < y.
f (x) → f (a) = b ⇔ f stetig in a
Satz: lim(f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x), wenn die Grenzwerte rechts
existieren, dabei sind unter allen Limeszeichen ein und dieselben
Vorschriften x → a ; x → a+ ; x → a− ; x → ∞ ; x → −∞ zu
setzen.
Ist außerdem g(x) 6= 0, dann gilt auch lim
lim f (x)
f (x)
=
, dabei
g(x)
lim g(x)
f (x)
nicht notwendig für alle x definiert sein, für die f (x) und
g(x)
g(x) definiert sind, wohl aber für alle x, die genügend nah bei a sind
bzw. genügend groß bzw. klein sind.
muss
Folgerung: Sind f, g stetig in x0 , so auch f ± g und auch
38
f
falls g(x0 ) 6= 0
g
Idee: Anwendung der ”Limesbildung für die Stetigkeit”:
F stetig in x0 ⇔ lim F (x) = F (x0 )
x→x0
Folgerung: Polynomfuntionen sind stetig
Begründung: f (x) := x ist stetig, denn lim f (x) = f (x0 ) ⇒ x2 stetig
x→x0
n
X
⇒ xn stetig ⇒ αxn stetig ∀α ∈ C ⇒
αi xi stetig
i=1
Folgerung: Rationale Funktionen sind in allen Punkten in denen der Nenner nicht verschwindet stetig.
Begründing: Seien p(x), q(x) Polynome in x : r(x) :=
p(x)
q(x)
D := {z :
q(z) 6= 0}
r̃ : D → C ; r̃(z) =
f
p(z)
∈C
q(z)
g
Satz: D ⊂ C → f (D ⊂ C → C) = g ◦ f : D → C Wenn in dieser Situation
lim f (x) = b, lim g(y) = c ⇒ lim (g ◦ f ) = c
x→a
y→b
x→a
Analog gilt im Fall D ⊂ R, f (D) ⊂ R, g(f (D)) ⊂ R diese Aussage
auch für x → ±a, x → ±∞
Folgerung: Ist f bei a und g bei f (a) stetig ⇒ g ◦ f stetig bei a
{f : D → Cstetig} = V ist ein C-Vektorraum
Definition: Sei D = I ⊂ R ein Intervall und f : I → C sei eine Funktion. Ist f in einem Punkt a ∈ I nicht stetig, dann heißt a eine
Unstetigkeitsstelle von f .
Angenommen lim f (x) und lim f (x) existieren, aber beide sind
x→a+
x→a−
nicht gleich f (a). a heißt dann eine hebbare Unstetigkeitsstelle, wenn
lim = lim f (x). a heißt eine Sprungstelle, wenn lim f (x) 6=
x→a+
x→a−
x→a+
lim f (x)
x→a−
Beispiele:
√
√
(1) f : (− 2, + 2) → R, f (x) = lim (1−x2 )n =
n→∞
0 ist eine hebbare Unstetigkeitsstelle
f (x) , falls x 6= 0
˜
Definition: f (x) =
0
, falls x = 0
(2) f : R → R
(
+1 , falls x > 0
f (x) = 0
, falls x = 0
−1 , falls x < 0
0 ist eine Sprungstelle von f
39
1 , falls x = 0
0 , falls x =
6 0
Satz: (Zwischenwertsatz)
f : [a, b] → R sei stetig. Sei f (a) ≤ c ≤ f (b), dann existiert x ∈
[a, b] c = f (x)
Beweis: Wir Konstruieren eine Intervallschachtellung [an , bn ] mit f (an ) ≤
c ≤ f (bn ) und zwar rekursiv wie folgt: Das erste Intervall sei [a1 , b1 ] :=
[an , bn ]. Sei das n-te Intervall [an , bn ] schon konstruiert. Setze:

an + bn

an +bn

falls f
≤c
 2
2
an+1 =
an + bn


 an
falls f
>c
2

an + bn

 bn
falls f
≤c

2
bn+1 =
an + bn

n

falls f
>c
 an +b
2
2
z.B.: bn+1 − an+1 = bn −
2bn − an − bn
bn − an
an + bn
=
=
2
2
2
Nach einem Satz existiert genau ein x das in all den Intervallen entn→+∞
n→−∞
halten ist und es gilt: an −→ x ←− bn ⇒ lim f (an )f ( lim an ) =
n→∞
f (x) ⇒ f (x) ≤ c analog c ≤ f (x) ⇒ f (x) = 0
f
n→∞
g
Erinnerung: Gegeben seien die Funktionen D → E → C mit f (D) = E. E
heißt umkehrfunktion von f , falls g◦f = id. d.h. g(f (x)) = x ∀x ∈ D
Speziallfall: D, E ⊂ R, g(E) ⊂ R
GRAPH
Definition: Sei D ⊃ R : f : D → R heißt monoton steigend :⇔ ∀x1 , x2 ∈
D : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ). f heißt streng monoton steigend
:⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )
Analog: ”monoton fallend”, ”stren monoton fallend”
f injektiv ⇔ ∀x1 , x2 ∈ D : x1 = x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2 )
Satz: Sei f : D → R stetig sind streng monoton steigend bzw. fallend,
dann besitzt f eine stetig, streng monoton steigende bzw. fallende
Umkehrfunktion g.
Beweis: für die Stetigkeit von g.
g : [f (a), f (b)] → R
Angenommen: ∃yn → y : c = lim g(yn ) = lim g(f (xn )) = lim xn =
x 6= g(y)0
n→∞
f (a) ≤ yn = f (xn ) ≤ f (b)
Anwendung: (Wurzelfunktion)
40
n→∞
n→∞
f : R≥0 → R,
f (x) = xn
n∈N
f ist stetig und streng monoton ⇒ f besitzt eine Umkehrfunktion
√
g : f (R≥0 ) → R≥0 g(y) = n y
g ist stetig !
Beispiel: f : [−1, +1] → R
f (x) =
√
1 − x2
Behauptung: f ist stetig
Beweis: f setzt sich aus stetigen Funktionen zusammen.
Satz: f : [a, b] → R sei stetig. Dann ist f beschränkt und nimmt Maximum
und Minumum an, d.h. es gibt x1 , x2 ∈ [a, b] : f (x1 ) ≤ f (x) ≤
f (x2 ) ∀x ∈ [a, b]
Bemerkung: Stetige Funktionen auf einem offenen Intervall müssen nicht
unbedingt beschränkt sein, dazu ein
Beispiel: f : (0, 1) → R, f (x) =
1
x
ZEICHNUNG f ist nicht beschränkt
Es gibt Funktionen, die nur in einem Punkt nicht stetig sind, aber
beschränkt sind nud dennoch kein Maximum annehmen.
(
x − 1 für 0 < x ≤ 1
Beispiel: f (x) = 0
f : [−1, 1] → R GRAPH(f )
für x = 0
x + 1 für −1 ≤ x < 0
einfügen f ist in 0 nicht stetig. Die obere Grenze der Werte von f
ist 1, aber es gibt kein x ∈ [−1, 1] : f (x) = 1
Beweis: des Satzes
Angenommen f ist nicht beschränkt. Dann gibt es eine Folge (cn )
mit cn ∈ [a, b] und mit |f (cn )| ≥ n. In der Beschränkte Folge (cn )
existiert nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente
Teilfolge (dn ), lim dn = d
f stetig ⇒ lim f (dn ) = f (d) Also
n→∞
n→∞
ist (f (dn )) eine konvergente Folge und als ??? ist (f (dn )) beschränkt.
Das widerspricht |f (cn )| ≥ n ⇒ f ist beschränkt
Sei M die obere Grenze der Werte f (x) für x ∈ [a, b]. M − n1
M − n1 ≤
obere Grenze. Also existiert eine Folge (cn ) mit ↓n→∞
M
≤
lim f (cn ) = M
a ≤ cn ≤ b
ist keine

f (cn )
≤ M

↓n→∞
↓n→∞
⇒

lim f (cn ) ≤ M
x→∞
Sei (dn ) → d eine konvergente Teilfolge von (cn ) → f (d) = f ( lim dn ) =
n→∞
lim f (dn ) = lim f (cn ) = M ⇒ f (d) = M , d.h. x = d ∈ [a, b]
n→∞
n→∞
41
2.4
§4 Exponentialfunktionen, Logarithmen und allgemeine Potenzfunktionen
Satz und Definition: Es gibt genau eine Funktion f : R → R mit f (x +
f (t) − 1
y) = f (x) · f (y) ∀x, y ∈ R, lim
=1
t→0
t
Außerdem gilt: f (x) = lim (1 +
n→∞
e0 = 1,
e−x =
1
,
ex
∞
X
xm
x n
) =
= ex = exp(x)
n
n!
m=0
ecx − 1
= c ∀c, x ∈ R
x→0
x
lim
f (t) − 1
= 1. Mit f beschreibt man häufig Wachstumst
oder Zerfallsprozesse. f (t) ist die Menge, die aus einer Einheitsmenge
nach Ablauf der Zeit t entsteht. Häufig ist f (t) proportional zu t,
f (t) − f (0)
f (t) − 1
etwa f (t) ≈ ct, genauer lim
=c
lim
=1
t→0
t→0
t−0
t
Motivation für lim
t→0
Zur Konstruktion von f :
yn n
) ∀x ∈ R, wobei yn irgendeine Folge mit
Definition f (x) := lim (1 +
n→∞
n
yn → x
∞
yn n n→∞ X y m
x→∞
Hilfssatz: yn −→ y ⇒ 1 +
−→
n
m!
n=0
n n X
X
y n n
n
yn m
n −m m
Beweisidee: 1 +
=
=
n yn
n
m
n
m
m=0
m=0
∞
X
1 m
n→∞
y = ey
nem früheren Beispiel wurde gezeigt: −→
m!
m=0
In ei-
Beweis: von xx ey = ex+y
y n
x
y x n
ex ey = lim 1 +
lim 1 +
= lim
1+
1+
⇒
n→∞
n n→∞n
n
n
n
n→∞ xy
1
n→∞
lim 1 +
x+y+
−→ x + y = ex+y
n→∞
n
n
f (x + y) = f (x)f (y)
f (t) − 1
=1
t
yn n
f (y) := lim 1 +
n→∞
n
lim
t→0
⇒ f (y) =
∞
X
ym
m!
m=0
(0! = 1) f (y) := ey
f (x + y) = f (x)f (y) ⇒ f (0) = 1, f (−x) =
42
1
f (x)
f (x − x) = f (0) = 1 = f (x) · f (−x) ⇒ f (−x) =
1
f (x)
ecx − 1
=c
x→0
x
cx
(cx)2
c
e − 1
1 + cx
+
+
.
.
.
c2 x
1!
2!
Beweis: − c = − c = +
+ . . . − c =
x
x
1!
2!
∞
∞
X xm xm−1 X
1
m−1 für|cx|<1
−
1
= |c| ·
≤
|c|
·
|cx|
=
|c|
·
m! 1 − |cx|
m=2
m=2
cx
e − 1
x→0
1 − 1 + |cx|
|c2 x|
1
x→0
−→ 0 ⇒ =
= |c|· 1
− c −→
1 − |cx|
1 − |cx|
x
|cx| − 1
c
e x − 1 x→0
−→ 0 //
0⇒
x
Behauptung: lim
Satz: f (x) = ex für alle x stetig, streng monoton wachsend und nimmt
alle positiven Werte an
Beweis:
x→0
(1) ex ist stetig in x = 0. Zu Zeigen: ex −→ 1 = e0
x
e −1
lim ex = lim 1 +
x→0
x→0
x
|
{z
}
x→0
−→=1
(2) e stetig für alle x. Sei a ∈ R. Zu Zeigen: lim ex = ea
x
x→a
lim ea+(x−a) = lim ea · ex−a = ea lim ex−a = ea
x→a
x→a
x→a
| {z }
=1
x
e ist streng monoton wachsend.
x1
x2
x3
Dazu benutzen wir: Für x ≥ 0 gilt ex ≥ 1+x das gilt, weil ex = 1 +
+
+
+ ...
1!
2!
3!
1
Also gilt: Für x ≥ 0 ist ex > 0 Für x < 0 : e−x = x > 0 ⇒ ex >
e
0 ∀x ∈ R
Für y > x :⇒ ey = e(y−x)+x = ey−x ex ≥ (1 + y − x)ex > ex ⇒ Die
e-Funktion ist streng monoton
Behauptung: Die e-Funktion nimmt jeden positiven Wert an.
1
1
a
=
<a<
1 <
a+1
1 + a1
ea
1 + a < ea ⇒ (Nach dem Zwischenwertsatz und weil die e-Funktion
1
stetig ist.) Es gibt ein x ∈ [− , a] : a = ex //.
a
1
Beweis: Sei dazu a > 0 vorgegeben ⇒ e− a =
exp : R → R>0 surrjektiv, streng monoton und stetig
43
Zur Erläuterung: f (1) = d, f (2) = 2 = f (1+1) = f (1)f (1) = d2 , f (m) =
√
m
n
n
dm für alle m ∈ Z f ( ) = dm , weil f ( m
n ) = f (m) ⇒ Eideutigkeit
n
mit HA Blatt 5 Nr. 2
Satz und Definition: Die e-Funktion besitzt eine Umkehrfunktion g : R>0 →
R, diese wird mit log bzw. ln bezeichnet. log ist streng monoton
wachsend, stetig und nimmt alle reellen Werte an. Es gilt log(1) =
0 log(xy) = log(x) + log(y)
Satz und Definition: Sei a ∈ R, a > 0. Dann existiert genau eine Funktion
f : R → R, die stetig ist und die folgende Eigenschaft hat: f (x+y) =
x
f (x)f (y), f (1) = a, nämlich : f (x) := e|x log(a)
{z } Für a > 1 ist a stren
=ax
monoton wachsend. Die Umkehrfunktion heißt (für a > 1) log zur
Basis a.
Bezeichnung: loga (x) Es gilt log = loge . Es gelten auch die Umrechnungsformeln: (loga : R>0 → R).
loga (x) =
log(x)
,
log(a)
log(x) =
loga (x)
loga (e)
44
2.5
§5 Exponentialfunktion im Komplexen und die trigonometrischen Funktionen
∞
X
zm
(Diese Reihe konvergiert nach
m!
m=0
dem Quotientenkriterium für alle z ∈ C)
Definition: Für z ∈ C sei ez :=
Für a ∈ R>0 , z ∈ C : az := ez log(a)
Satz: ez1 +z2 = ez1 ez2 , e0 = 1, e−z =
ecz − 1
= c ∀c ∈ C
z→0
z
1
ez
lim
f : D → C, D ⊂ C : f (z) = a(z) + ib(z),
C, a = Re(f ), b = Im(f )
a : D → R, b : D →
Speziell für f (z) = ez .
Noch spezieller: z = i · t,
eit = cos(t) + i sin(t), also:
t∈R
Definition: Für alle t ∈ R ist cos(t) := Re(eit ),
Satz: cos(t) =
∞
X
(−1)n 2n
t ;
(2n)!
n=0
∞
X
sin(t) =
sin(t) := Im(eit )
∞
X
(−1)n 2n+1
t
(2n + 1)!
n=0
m
2
Beweisskizze: eit =
(it)
it (it)
= 1+ +
+. . . =
m!
1!
2!
m=0
Folgerung: sin(t) =
1 it
(e − e−it ),
2i
cos(t) =
z
cos(t)
sin(t)
}|
}|
{ z
{
t
t4
t3
t5
1 − + + . . . +i t − + − . . .
2! 4!
3! 5!
2
1 it
(e + e−it )
2
Folgerung: sin(x + y) = sin(x) cos(x) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
Begründung: ei(x+y) = eix eiy = (cos(x) + i sin(x))(cos(y) + i sin(y)) =
cos(x+y)+i sin(x+y) = (cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y))+i(sin(x) cos(y)+
cos(x) sin(y)) //
sin(0) = 0, cos(0) = 1, sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x), (cos(x))2 +
(sin(x))2 = 1
(cos(x))2 +(sin(x))2 = 41 (e2it +2+e−2it )− 41 (e2it −2+e−2it ) =
4
4
=1
Also: ZEICHNUNG cos / sin am Einheitskries
eit = cos(t) + i sin(t), t ∈ R cos2 (t) + sin2 (t) = 1
auf dem Einheitskreis ∀t ∈ R
⇒ eit läßt sich
Satz: Im Intervall von [0, 2π) durchläuft eit den Einheitskreis genau 1Mal. Die Funktion ei , sin(t), cos(t) sind periodisch mit der Periode
2π
f : R → R periodisch mit der Periode p :⇔ f (x + p) = f (x) ∀x ∈ R
45
ZEICHNUNG cos sin Einheitskreis
Definition: tan(x) =
cot(x) =
sin(x)
π 3
∀x 6= ± , ± π, . . .
cos(x)
2
2
cos(x)
∀x 6= 0, ±π, ±2π, . . .
sin(x)
Satz: tan(x) ist für − π2 < x < π2 stetig monoton wachsend. cot(x) ist für
0 < x < π stetig monoton fallend. Beide Funktionen sind dort stetig,
nehmen alle positiven und negativen Werte an und sind periodisch
mit der Periode π
sin hat in [− π2 , π2 ] eine Umkehrfunktion arcsin [−1, 1] → R
cos hat in [0, π] eine Umkehrfunktion arccos [−1, 1] → R
tan hat in (− π2 , π2 ) eine Umkehrfunktion arctan R → R
cot hat in (0, π) eine Umkehrfuntion arctan R → R
cos und sin ”parametrisieren” den Einheitskreis x2 + y 2 = 1
(cos(t))2 + (sin(t))2 = 1
t ”Parameter”
cos und sin heißen auch ”Kreisfunktionen”
Definition: Die Hyperbelfunktionen sind
sh(x) = sinh(x) =
ex − e−x
2
ch(x) = cosh(x) =
ex +e−x
2
X 2 − Y 2 = 1 ”Hyperbelgleichung”
(cosh(x))2 − (sinh(x))2 = 1
Die Umkehrfunktion bezeichnet man als: arsinh(x) bzw. arcosh(x)
”Area-Funktionen”
46
2.6
§6 Die Ableitung
Definition: D = I ⊂ R, I Intervall f : D → C heißt differenzierbar in
f (x) − f (x0 )
exisitert.
einem inneren Punkt x0 ∈ D ⇔ lim
x→x0
x − x0
|
{z
}
df
= dx
(x0 )=f 0 (x0 )
Spezialfall: f (D) ⊂ R
ZEICHNUNG
Satz: Ist f in x0 differenzierbar ⇒ ∃ stetige funktion q : I → C : f (x) =
f (x0 ) + q(x)(x − x0 ) ⇒ f ist stetig in x0
Nicht jede stetige Funktion ist differenzierbar: f (x) = |x| ist nicht
differenzirbar in x0 = 0
Begründung:
f (x) − f (x0 )
|x|
=
x − x0
x
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
,
lim
heißen im Fall
x→x0 −
x − x0
x − x0
der Existenz die rechtseitige bzw. linksseitige Ableitung von f bei
x0
Definition:
lim
x→x0 +
0
(x0 ) linksseitige Ableitung
f−
0
(x0 ) rechtsseitige Ableitung
f+
Beispiel: n ∈ N
xn − xn0
= xn−1
x − x0
Satz: I ⊂ R, x0 ∈ I innerer Punkt, dann gilt: f : I → C ist der differenzierbar in x0 ⇔ Es existiert eine stetige Funktion q : I → C :
(∗) f (x) = f (x0 ) + q(x)(x − x0 )
f (x)−f (x
0)
für x 6= 0 ⇒
für x = x0
lim q(x) = q(x0 ) = f 0 (x0 ) ⇒ q ist stetig in x0 und f (x) = f (x0 ) +
Beweis: Sei f differenzierbar in x0 . Setze dann g(x) :=
x−x0
f (x0 )
x→x0
q(x)(x − x0 )
Umgekehrt folgt aus (∗) und der Stetigkeit von q in x0 , dass f in x0
differenzierbar ist mit f 0 (x0 ) = q(x0 )
Folgerung: Wenn f differenziebar in x0 ⇒ f stetig in x0
Beispiel: n ∈ N, f (x) = xn ⇒ f 0 (x) = nxn−1
Beispiel: f (x) = c Konstant ⇒ f 0 (x) = 0 Begründung
c−c
x→x
= 0 −→0 0
x − x0
47
f (x) − f (x0 )
>
x − x0
Satz: Sind f, g in x0 differenzierbar, so auch af + bg für alle a, b ∈ C und
auch f · g
f
in x0 differenzierbar, falls g(x0 ) 6= 0. Es gelten die folg
genden Ableitungsregeln:
Außerdem: ist
(af + bg)0 (x0 ) = af 0 (x0 ) + bg 0 (x0 )
(f · g)0 (x) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
( )0 (x0 ) =
g
(g(x0 ))2
Beweis:
af (x) + bg(x0 ) − af (x0 ) + bg(x0 )
x − x0
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
+b
x − x0
x − x0
= a
↓ x → x0
↓ x → x0
(af (x0 ) + bg(x0 ))0
af 0 (x0 ) + bg 0 (x0 )
=
Produktregel
f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 )
x − x0
=
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
g(x) + f (x0 )
x − x0
x − x0
↓ x → x0
↓ x → x0
(f · g)0 (x0 )
Quotientenregel
1 f (x) f (x0 )
−
x0 g(x)
g(x0 )
f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
=
=
f (x) − f (x0 )
g(x) − g(x0 )
g(x0 ) − f (x0 )
x − x0
x − x0
↓ x → x0
0
f
(x0 )
g
↓ x → x0
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
(g(x0 ))2
=
//
Satz: f (x) = xn , n ∈ Z ⇒ f 0 (x) = nxn−1
Beweis: −m = n, m ∈ N
⇒ f (x) =
1
xm
:
f 0 (x) =
−mxm−1
=
(xm )2
−mxm−1
= −mxm−1−2m = −mx−m+1 = nxn−1
x2m
Satz: Jede Polynomfunktion ist überall differenzierbar und jede rationale
Funktion überall dort, wo der Nenner nicht verschwindet.
Satz:
d
d x
(cecx ∀c ∈ C, insbesondere gilt
(e ) = ex
dx
dx
48
1
g(x)g(x0 )
1 cx+h cx
ech − 1
(e
−e ) = ec x lim
=
h→0 h
h→0
|
{z h }
Beweis: Mit x statt x0 und x+h statt x ist lim
=c
cecx //
Folgerung: a ∈ R, a > 0, f (x) = ax ⇒ f 0 (x) = ax · log(a)
Beweis: c = log(a)
Satz:
d
(cos(x)) = − sin(x)
dx
d
(sin(x)) = cos(x),
dx
Beweis: x ∈ R, eix = cos(x)+i sin(x), (xix )0 = ieix = cos(x)0 +i sin(x)0 =
i cos(x) + i2 sin(x) = − sin(x) + i cos(x) //
Folgerung: tan(x)0 :=
π 3
1
∀x 6= ± , ± π, . . .
cos2 (x)
2
2
1
∀x 6= ±0, ±π, ±2π, . . .
sin2 (x)
0
sin(x)
sin(x)
cos2 (x) + sin2 (x)
1
Beweis: für tan(x) =
:
=
=
cos(x)
cos(x)
cos2 (x)
cos2 (x)
cot(x)0 := −
Satz: f sei in y0 differenzierbar mit f 0 (y0 ) 6= 0. f habe in einem Intervall,
das y0 als inneren Punkt besitzt, eine Umkerhfunktion in g. Dann
gilt: Dann ist g bei x0 := f (y0 ) differenzierbar, und es gilt: g 0 (x0 ) =
1
0
f (y0 )
Beweis: g ist stetig in x0 , d.h. lim g(x) = g(x0 ). Setze y := g(x), y0 =
x→x0
f (y) − f (y0 )
f (g(x)) − f (g(x0 ))
= lim
=
y→y0
y→y0
y − y0
g(x) − g(x0 )
x − x0
1
1
lim
= lim g(x)−g(x ) = 0
= f 0 (y0 )
0
x→x0 g(x) − g(x0 )
x→x0
g (x0 )
g(x0 ) in die Folgende Formel ein: lim
x−x0
Beispiele:
(1) f (y) = ey , g(x) = log(x) g 0 (x) =
x>0
Also: (log(x))0 =
1
f 0 (y)
1
1 − sin2 (y)
1
1
=
für
y
e
x
1
∀x > 0
x
(2) f (y) = sin(y), g(x) = arcsin(x) : g 0 (x) =
q
=
=√
1
1 − x2
1
f 0 (y)
=
1
=
cos(y)
∀x : |x| < 1
(3) f (y) = cos(y), g(x) = arccos(x) ⇒ g 0 (x) = − √
|x| < 1
(4) f (y) = tan(y), g(x) = arctan(x) ⇒ g 0 (x) =
49
1
∀x :
1 − x2
1
1 + x2
(5) f (y) = cot(y), g(x) = arccot(x) ⇒ g 0 (x) = −
1
1 + x2
Satz: f sei differenzierbar in x0 , g sei differenzierbar bei y0 := f (x0 ) ⇒
h := g ◦ f ist differenzierbar in x0 und es gilt: h0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) ·
f 0 (x0 )
Beweis:
f (x) − f (x0 ) = q(x)(x − x0 )
g(y) − g(y0 ) = r(y)(y − y0 )
q, r stetig in x0 bzw. y0
Es gilt: f 0 (x0 ) = q(x0 ), g 0 (x0 ) = r(y0 ) ⇒ h(x) − h(x0 ) = g(f (x)) −
g(f (x0 ))
y=f (x),y0 =f (x0 )
=
r(f (x))(f (x)−f (x0 )) = r(f (x)·q(x)(x−x0 )
Also: h(x) = h(x0 ) + r(f (x))q(x)(x − x0 ) ⇒ h differenzierbar in x0
{z
}
|
ist nicht stetig
h0 (x0 ) = r(f (x0 ))q(x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
//
Beispiele:
(1) f (x) = a · log(x) mit a ∈ R, x > 0 : g(y) := ey ⇒
h(x) = g(f (x)) = ef (x) = ea log(x) = xa ⇒ h0 (x) =
1
1
1
g 0 (f (x))f 0 (x) = ef (x) · a = ea log x · a · = xa · a · a · xa−1
x
x
x
Also: (xa )0 = axa−1
(2) f (x) = sin(x), g(y) = log(y), h(x) = log(sin(x)), wobei x
1
so, dass sin(x) > 0 ⇒ h0 (x) =
· cos(x) = cot(x)
sin(x)
50
f:
2.7
§7 Der Mittelwertsatz (der Differentialrechnung)
Definition: D ⊂ R Intervall. Man sagt, dass f : d → R bei x0 ∈ D ein
absolutes Maximum hat, falls f (x) ≤ f (x0 ) ∀x ∈ D.
Man sagt, dass f : D → R bei x0 ∈ D ein elatives Maximum hat,
falls ein δ > 0 f (x) ≤ f (x0 ) ∀x ∈ D : |x − x0 | ≤ δ
Analog definiert man absolute und relaive Minima. Man faßt absolute bzw. relative Maxima bzw. Minima zusammen zum Begriff
absolute bzw. relative Extrema.
Satz: Wenn f : D → R in c differenzierbar ist und dort ein relativen
Extremwert hat ⇒ f 0 (c) = 0
Existieren nur einseitige Ableitungen, dann ist bei einem relativen
0
0
Maximum f+
(c) ≤ 0, f−
(c) ≥ 0
Beweis: für Maxima
f (x) ≤ f (c) ∀x : |x − c| ≤ δ ⇒
f (x) − f (c)
≤0
x−c
, falls x > c
↓ x → c+
0
f+
(c) ≤ 0
0
0
⇒ f differenzierbar in c ⇒ f 0 (c) existiert = f+
(c) = f−
(c) //
| {z }
≤0/≥0
Satz: (Rolle)
Ist f : [a, b] → R stetig und f : (a, b) → R differenzierbar und gilt
f (a) = f (b) ⇒ ∃c ∈ (a, b) : f 0 (c) = 0 ZEICHNUNG
Beweis: OE f nicht konstant. Weil f stetig und Maximum und Minimum
angenommen, ist aber nicht gleich f (a) oder f (b) Also existiert c ∈
(a, b), so dass f bei c ein relatives Extremum hat ⇒ f 0 (c) = 0 //
Satz: (Mittelwertsatz)
f : [a, b] → R sei stetig, f : (a, b) → R sei differenzierbar ⇒ ∃c ∈
f (b) − f (a)
(a, b) : f 0 (c) =
ZEICHNUNG
b−a
f (b) − f (a)
(x − a) ⇒
b−a
f (b) − f (a)
F (a) = f (a) = F (b) ⇒ ∃c ∈ (a, b) : F 0 (c) = f 0 (c) −
=
b−a
f (b) − f (a)
0 ⇒ f 0 (c) =
//
b−a
Beweis: Anwendung des Satzes von Rolle auf F (x) := f (x) −
Satz: Wenn f : (a, b) → R differenzierbar und wenn f 0 (x) ≥ 0 bzw. > 0,
≤ 0, < 0, = 0 ∀x ∈ (a, b), dann ist f in (a, b) monoton wachsend
bzw. streng monoton wachsend, monoton fallend, streng monoton
fallend, konstant
51
Beweis: folgt aus dem Mittelwertsatz : a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b ⇒ ∃c : x1 < c < x2
f (x2 ) − f (x1 )
und
= f 0 (c) = 0 ⇒ f (x2 ) ≥ f (x1 )
x2 − x1
Satz: (Verallgemeinerter Mittelwertsatz)
f, g : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒
f 0 (c)
f (b) − f (a)
= 0
∃c ∈ (a, b) :
g(b) − g(a)
g (c)
Beweis: F (x) = (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x)
F (a) = f (b)g(a)−f (a)g(a)−g(b)f (a)+g(a)f (a) = f (b)g(a) − g(b)f (a)
F (b) = f (b)g(b)−f (a)g(b)−g(b)f (b)+g(a)f (b) = −f (a)g(b) + g(a)f (b)
⇒ F (a) = F (b)
Anwendung des Satzes von Rolle auf F ergibt c ∈ (a, b)
F 0 (c)
F 0 (x) = (f (b)−f (a))g 0 (x)−(g(b)−g(a))f 0 (x) ⇒ (f (b)−
f (b) − f (a)
f 0 (c)
f (a))g 0 (c) = g(b) − g(a))f 0 (c) ⇒
= 0
//
g(b) − g(a)
g (c)
lim
:
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
g(x)
g (x)
Satz: (Bernulli, L’Hospital)
Wenn die reellwertigen Funktionen f, g für x ≥ a differenzierbar,
wenn lim f (x) = lim g(x) = 0, wenn g 0 (x) 6= 0 für x ≥ b und
x→∞
x→∞
f 0 (x)
f (x)
lim 0
= c existier, dann exisiert auch lim
, und es gilt:
x→∞ g (x)
x→∞ g(x)
f 0 (x)
f (x)
= lim 0
=c
lim
x→∞ g (x)
x→∞ g(X)
Das gleiche gilt auch, wenn man unter sonst gleichen Voraussetzungen, lim f (x) = lim g(x) = ∞ oder wenn man überall x → ∞
x→∞
x→∞
durch einen der folgenden Grenzübergänge ersetzt : x → −∞, x →
a− x→a
Beispile:
1
log(x)
= lim x = 0
x→∞
x→∞ 1
x
lim
cos(x) − 1
− sin(x)
sin(x) − x
= lim
= lim x → 0
=
x→0 cos(x) − 1 − x sin(x)
x→0 x(cos(x) − 1)
−2 sin(x) − x cos(x)
− cos(x)
1
lim
=
x→0 −3 cos(x) + x sin(x)
3
lim
52
2.8
§8 Methoden zur Untersuchung von Funktionen
Partialzerlegung rationaler Funktionen
f (x)
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + am xm
=
g(x)
b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn xn
Division von f (x) durch g(x) mit Rest ⇒
f (x)
r(x)
= q(x) +
, q, r
g(x)
g(x)
polynome Grad(r) <Grad(g)
Also Annahme: Grad(r) <Grad(g)
Satz:
r(x)
=
g(x)
mi
l X
X
(
i=1
|
l
Y
cik
)
,
wobei
g(x)
=
(x−ai )mi mit paar(x − ai )k
i=1
k=1
{z
}
Partialbruchzerlegung von
r(x)
g(x)
weise verschiedenen komplexen Zahlen ai und mit cik ∈ C
(1) Man bestimmt die Nullstellen von g(x) einschließlich der
Vieldachheit (x2 −4x+4 = (x−2)2 , 2 ist 2 fache Nullstelle.)
((x − 2)2 (x + 1)3 , 2 ist 2-fache Nullstelle, -1 ist 3-fache
Nullstelle)
(2) Man bestimmt die cik , und zwar wie folgt:
X
cik
r(x)
Schreibe
=
Multipliziere diese Gleig(x)
(x − ai )k
i,k
chung mit g(x).
X
r(x) = g(x)
i,k
cik
Daraus erhält man n lineare
(x − ai )k
Gleichungen, aus denen man die cik berechnen kann.
Beispiel: r(x) = x4 + 1 ,
g(x) = x2 (x − 1)3
r(x)
a
b
c
d
e
= 2+ +
+
+
g(x)
x
x (x − 1)3
(x − 1)2
x−1
a1 = 0, m1 = 2
a2 = 1, m2 = 3
r(x) = a(x − 1)3 + bx(x − 1)3 + cx2 + dx2 (x − 1) + ex2 (x − 1)2
x4 + 1 = a(x3 − 3x2 + 3x − 1) + b(x4 − 3x3 + 3x2 − x) + cx2 + d(x3 −
x2 ) + e(x4 − 2x3 + x2 )
Koeffizientenvergleich
x4 : 1 = b + e
x3 : 0 = a − 3b + d − 2e
x2 : 0 = −3a + 3b + c − d + e
53
x1 : 0 = 3a − b
x0 : 1 = −a
⇒ a = −1, b = −3, c = 2, d = 0, e = 4
Also Ergebnis:
x4 + 1
2
1
3
4
− 2− −
+
2
3
3
x (x − 1)
x
x (x − 1)
x−1
Näherungweise Bestimmung von Nullstellen: Das Verfahren von Newton
ZEICHNUNG
B ⊂ R sei ein abgeschlossenes Intervall, f : B → R sei stetig differenzierbar, d.h. f 0 (x) existiert und ist stetig. Wähle eine (grobe)
Näherung x0 für die gesuchte Nullstelle.
k)
0
xk+1 := xk − ff0(x
(xk ) , f (xk ) 6= 0
Anngenommen(xk ) konvergiert ↓
↓
x = x − ff0(x)
(x) ⇒ f (x) = 0
(k = 0, 1, 2, . . .)
Beispiel:
f (x) = x − e−x
xk+1 = xk −
f 0 (x) = 1 + e−x
xk − e−xk
1 + e−xk
Wähle x0 = 0.4
x3 ≈ 0.567143
Also Abbruch bei k = 3
x4 ≈ 0.567143
x3 − e−x3 ≈ 0.000000
Satz: Extremwerte
f : D → R sei 2-mal differenziebar, D Intervall ⊂ R. Es sei f 0 (a) =
0, f 00 (a) > 0 bzw. < 0. DAnn hat f bei a ein relatives Minimum
bzw. ein relatives Maximum.
Beweis: Nicht jede Nullstelle von f 0 liefert im allgemeinen einen Extremwert. f (x) = x3
f 0 (x) = 3x2
f 0 (0) = 0, aber 0 ist kein Extremwert. ZEICHNUNG
Beweis des Satzes:
Sei f 0 (a) = 0
f 0 (x) − f 0 (a)
f 0 (x)
= lim
>0 ⇒
x→a
x→a x − a
x−a
f 00 (a) = lim
f 0 (x)
> 0 für |x − a| < , x 6= a, für genügend kleines . d.h.
x−a
f 0 (x) < 0 für a − < x < a
f 0 (x) > 0 für a < x < a + Nach Mittelwertsatz existiert c: f 0 (c): f 0 (c) =
54
f (x)−f (a)
x−a
Es folgt: f (x) > f (a) für
a−<x<a
a<x<a+
⇒ a relatives Minimum von f . //
Bemerkung Ist f 00 (a) = 0, so kann bei a ein Extremwert vorliegen oder
auch nicht.
Satz: Sei n ∈ N so, dass f 0 (a) = f 00 (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0 und
f (n) (a) 6= 0. Dann gilt:
relatives Minimum
f hat bei a ein
⇔
relatives Maximum
f (n) (a) > 0
n gerade und (n)
f hat kein relatives Extremum ⇔ n ungerade
f (a) < 0
Definition I ⊂ R Intervall. f : I → R konvex bzw. konkav ⇔ ∀x1 , x2 ∈ I
verläuft die Sekante zwischen x1 und x2 oberhalb bzw. unterhalb der
Kureve Graph(f )
ZEICHNUNGEN
Formel: ∀x1 < x < x2 im I gilt:
f (x1 ) +
|
f (x2 ) − f (x1 )
≥ f (x) (konvex)
(x − x1 )
≤ f (x) (konkav)
x2 − x1
{z
}
Sekante
oder
f (x) − f (x1 ) ≤ f (x2 ) − f (x1 ) (konvex)
≥
(konkav)
x − x1
x2 − x1
Satz:
konvex
f 0 monoton steigend
⇔ 0
konkav
f monoton fallend
konvex
f 00 ≥ 0
f sei 2× differenzierbar ⇒ f
⇔ 00
konkav
f ≤0
f sei differenziebar ⇒
f
Definition: f sei 2× differenzierbar. Die Stelle, an denen f 00 das Vorzeichen
wechselt, heißen Wendepunkte von f .
55
2.9
§9 Das unbestimmte Integral (Stammfunktionen)
Definition: I = (a, b) , f : I → C. Eine Funktion F : I → C heißt Stammfunktion von f , falls F auf I diffenrenziebar ist und falls F 0 = f .
Satz: Seien F1 , F2 : I → C differenziebar und gelte F10 = F20 ⇒ Es existiert
C ∈ C: F2 = F1 + C. Umgekehrt folgt aus F2 = F1 + C mit c ∈ C,
dass F10 = F20 .
Beweis:
Sei F2 = F1 + C ⇒ F20 = (F1 + C)0 = F10 + C 0 = F10 .
Sei F10 = F20 . Seien zunächst F1 , F2 reellwertig. ⇒ (F2 − F1 )0 = 0.
Nach dem Mittelwertsatz existiert ã ∈ I, so dass für alle x, y mit
x ≤ ã ≤ y:
(F2 − F1 )0 (ã) =
|
{z
}
(F2 − F1 )(y) − (F2 − F1 )(x)
=0
y−x
=0
⇒ (F1 − F2 )(y) = (F2 − F1 )(x) ∀x, y ∈ I,
x 6= y.
⇒ F2 − F1 ist konstant = C ⇒ F2 = F1 + C
Wenn F1 , F2 nicht nur reelle Werte haben, dann behandelt man den
Realteil und Imaginärteil von F1 , F2 getrennt! //
Bezeichnung:
F (x) =
R
f (x)dx, wenn F 0 = f .
Nicht jede Funktion besitzt eine Stammfunktion.
+1 für x > 0
f besitzt keine Stammf : (−1, 1) → R, f (x) :=
−1 für x ≤ 0
funktion. Eine solche Stammfunktion müsste auf (−1, 1) differenzierbar sein.
Auf (0, 1)
F (x) = x + C1
= 2 F (x) = |x| + C ∀x ∈ (−1, 1)
Auf (−1, 0) F (x) = −x + C1
nicht differenzierbar in 0.
Satz: Haben f und g Steammfunktionen, so auch af + bg ∀a, b ∈ C, und
so gilt:
Z
Z
Z
(af + bg)(x)dx = a · f (x)dx + b · g(x)dx
Beispiel:
Z

 x>0
a+1
x
x bel.
xa dx =
für

a+1
x 6= 0
a ∈ R \ {−1}
a = 0, 1, 2, . . .
a = −2, −3, . . .
56
Z
dx
= log(|x|) für jedes Intervall, das den Nullpunkt nicht enthält.
x
Z
Z
1
ex dx = ex ,
ecx dx = ecx ∀c ∈ C \ {0}
c
Z
Z
sin(x)dx = − cos(x),
cos(x)dx = sin(x)
Z
√
Z
dx
= arcsin(x) für |x| < 1
1 − x2
dx
= − arccos(x) für |x| < 1
1 − x2
π
arcsin(x) = − arccos(x)
2
Z
dx
= arctan(x)
1 + x2
Z
dx
√
= arcsinh(x),
1 + x2
Z
dx
√
= arccosh(x) für x > 1, x < −1.
x2 − 1
√
Satz: Partielle Integration
Z
Z
0
f (x)g (x)dx = f (x) · g(x) − f 0 (x)g(x)dx
Beweis:
0
(f (x)g(x)) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)
Z
Z
0
f (x)g(x) = f (x)g(x)dx + f (x)g 0 (x)dx //
Beispiele:
f (x) = x g 0 (x) = ex
Z
Z
Z
xex dx = f (x)g 0 (x)dx = f (x)g(x)− f 0 (x)g(x)dx =
Z
xex − 1 · ex dx = xex − ex = ex (x − 1)
Probe: ex + xex − ex = xex
(xex − ex )0 = (xex )0 − (ex )0 = ex + xex − ex = xex
Z
Z
log(x)dx =
1 · log(x)dx =
Z
1
x dx = x log(x) − x
x
57
x0 log(x)dx = x log(x) −
Z
Z
Z
arcsin(x)dx =
1 · arcsin(x)dx =
x0 arcsin(x)dx =
Z
Z
x
dx =
x arcsin(x)− x arcsin(x)0 dx = x arcsin(x)− √
1 − x2
p
x arcsin(x) + 1 − x2
Satz: Substitution
Z
Z
f (g(x))g 0 (x)dx = f (y)dy
y = g(x)
Z
Beweis:
f (g(x))dy
Z
dy
= g 0 (x) = f (g(x))g 0 (x)dx
dx
Beispiel:
Z
1
dx
=
(x − a)2 + b2
b
Z
1
b
x−a 2
b
+1
dy
1
x−a
,
=
b
dx
b
Z
Z
1
1
1
1
1
x−a
dy
b
=
=
arctan(y)
=
arctan
x−a 2
b
b
y2 + 1
b
b
b
+1
b
für b 6= 0, a, b ∈ R
Substitiontien: y :=
g 0 (x)
dx = log(|g(x)|) ∀x: g(x) 6= 0
g(x)
Z
0
Z
dx
1
mit c ∈ C = log (x − a)2 + b2 +i arctan
x−c
2
Z
dx
= arccot(x)
1 + x2
R, b 6= 0
x−a
b
b 6=
1
x−a
dx = log (x − a)2 + b2 ∀a, b ∈
2
2
(x − a) + b
2
Unbestimmte Integration rationaler Funktionen
f (x)
r(x)
≤ q(x) +
, mit Grad(r(x)) < Grad(g(x))
g(x)
g(x)
Z
f (x)
dx =
g(x)
Z
q(x)dx +
Z
Z
q(x)dx+
l X
m
X
i=1 k=1
Z
cik
mi
l
r(x)
r(x) X X
cik
dx ,
=
g(x)
g(x)
(x
−
ai )k
i=1
k=1
dx
(x − ai )k
Hauptproblem:
58
!
=
Z
dx
mit c ∈ C und n ∈ N
(x − c)n
Z
dx
−1
=
n
(x − c)
(n − 1)(x − c)n−1
Z
dx
2. Fall n = 1, c ∈ R :
= log(|x − c|) ∀x 6= c
x−c
3. Fall n = 1, c ∈ C \ R, also c = a + bi, mit a, b ∈ R, b 6= 0
Z
Z
x − a + bi
(x − a + bi)
dx
x − a + bi
1
=
=
=
dx
=
x−c
(x − a)2 + b2
a)2 + b2
(x − a + bi)(x − a − bi)
x−c
(x − 1
x−a
2
log (x − a) + b2 + i arccot
2
b
1. Fall n ≥ 2
1 1b
1 2(x − a)
x−a
b
+i
+i
=
=
2 (x − a)2 + b2 1 + x−a 2
(x − a)2 + b2 b2 + (x − a)2
b
1
x−a+b
=
2
2
(x − a) + b
x−c
Probe:
Weitere Stammfunktionen, die sich mittels der Substitutionsregel
aus den unbestimmten Integrationen rationaler Fuktionenergeben:
Im Folgenden sei R(y) eine rationale Funktion von y.
Beispiel: f (x) = R(eax ), a ∈ R \ {0}
dy
= aeax = ay ⇒
Substitution: y = e ,
dx
Z
1
R(y)
dy
a
y
| {z }
Z
ax
rationale Funktion von
Z
f (x)dx =
R(eax )dx =
y
Jetzt : R(y1 , y2 ) rationale Funktion von y1 , y2 , also R(y1 , y2 ) ∈ (R(y1 )(y2 ) =
R(y1 , y2 )
z. B. R(y1 , y2 ) =
y1 + y2
1 + y22 + y12
Beispiel: f (x) = R (sin(x), cos(x)) , −π < x < +π
x
1
2y
1 − y2
,
,
⇒ sin(x) =
2
2
2
cos (t)
1+y
1 + y2
2 tan( x2 )
2y
sin(2t) = 2 cos(t) sin(t)
denn
also
=
=
2
2
2
cos(2t) = cos (t) − sin (t)
1+y
1 + tan2 ( x2 )
Substitution: y = tan
sin( x )
2 cos( 2x )
1+
2
sin2 ( x
2)
cos2 ( x
2)
=
, tan(t)0 =
2 sin( x2 ) cos( x2 )
= sin(x)
1
dy
1 + y2
1
1 − y2
= cos(x)
=
x =
2
2
1+y
dx
2 cos ( 2 )
2
Z
Z
Z
1 − y2
2y
,
dx
f (x)dx = R (sin(x), cos(x)) dx = R
1 + y2 1 + y2
ähnlich
59
Also: dx =
2dy
, also
1 + y2
Z
Z
R
f (x)dx = 2
|
2y
1−y 2
1+y 2 , 1+y 2
1 + y2
{z
dy
}
rationale Funktion von
Beispiel:
f (x) = R(x,
√
n
ax + b, a 6= 0
Substitution: y =
Z
√
k
ax + b,
Z
k
f (x)dx =
a
R(
|
x=
yk − b
,
a
yk − b
, y)y k−1 dy
a {z
}
rationale Funktion von
y
Beispiel:
f (x) = R(x,
p
ax2 + bx + c)y = x +
60
b
2a
dy
a
= k−1
dx
ky
y
2.10
§10 Das bestimmte Integral
Satz A: Existenz und Eindeutigkeitssatz
Sei D ⊂ R ein Interval. Die Funktionen f erfülle gewisse Voraussetzungen (Die genaue Angabe dieser Voraussetzungen erfolgt später;
z.B. erfüllt f diese Vorraussetung, wenn f stetig ist.) Dann existiert
zu je zwei Zahlen a, b ∈ D und a < b genau eine reelle Zahl ∈ba f (x)dx
mit:
Z
(1) a < b < c(inD) ⇒
Z
b
f (x)dx +
a
Z
c
c
f (x)dx =
f (x)d
b
a
(2) Ist u ≤ f (x) ≤ v ∀x ∈ [a, b], dann gilt u(a−b) ≤
v(b − a)
ZEICHNUNG
Z
Bemerkung: Ist f (x) ≥ 0 ∀x ∈ D, dann ist
Rb
a
f (x)dx ≤
b
f (x)dx ein
a
Flächeninhalt
Satz B: Hauptsatz der Differential- und Intgralrechnung
Z b
Ist f : D → R stetig, dann gilt
f (x)dx = F (b) − F (a), dabei ist
F eine Stammfunktion von f .
a
Ausdehnung von Satz A auf komplexwertige Funktionen f : D → C
durch Umformulierung der Eigenschaft (2).
(2)’ Sei t ∈ R>0 . Wenn
Z z ∈ C so ist, dass |f (x)
− z| ≤ t ∀x: a ≤
b
x ≤ b, dann gilt f (x)dx − z(b − a) ≤ t(b − a)
a
v−u
v+u
Erläuterung: t =
: z =
: f: D → R :
2
2
Z b
v−u
−t(b − a) ≤
f (x)dx − z(b − a) ≤ t(b − a) ⇔ −
(b −
2
a
Z b
v−u
v−u
−v u
v u
f (x)dx−
a) ≤
(b−
(b−a) ≤
(b−a) ⇔
+
+
+
2
2
2
2
2
2
Zab
v u v u a) ≤
f (x)dx ≤
+
(b−a) ⇔ u(b−
−
+
2
2
2
2
a
Z b
f (x)dx ≤ v(b − a)
a) ≤
a
Satz A’: f : D → C erfülle die Zusatzvoraussetzungen. Dann existiert zu je
Z b
zwei Zahlen a, b ∈ D mit a < b genau eine komplexe Zahl
f (x)dx
mit den Eigenschaften (1) und (2)’
61
a
Z
b
Konstruktion von
f (x)dx:
a
Man zerlegt [a, b] durch Teilungspunkte x0 = a < x1 < x2 < . . . <
xn−1 < xn = b in n Teilintervalle [xν−a , xν ] ν = 1, . . . , n. In jedem Teilintervall wählt man einen sogenannten Stützpunkt ξν ∈
[xν−1 , xν ]. Eine solche Intervallteilung zusammen mit den Stützpunkten ξν bezeichnet man mit Z = Z(x0 , . . . , xn ; ξ1 , . . . , ξn ) =
Z(x0 , . . . , xn ).
Z b
Angenommen
f (x)dx ist schon konstruiert, dann erhält man aus
a
n
X
(1) und (2)’ folgende Näherung: R(f, Z) =
Z
b
denn es gilt:
(1)
f (x)dx =
a
Z
xν
n Z
X
ν=1
mit |δν ||xν −xν−1 | = |
xν
f (x)dx =
xν−1
ν=1
n
X
f (ξν )(xν − xn−1 ),
(f (ξν ) − δν )(xν − xν−1 ))
ν=1
(2)0
f (x)dx−f (ξν )(xν −xν−1 ) ≤ sup |f (x)−
xν−1
f (ξν )|(xν −xν−1 ) ≤ sup |(f (x)−f (x0 )|(xν −xν−1 ) x, x0 ∈ [xν−a , xν ]
R(f, Z) :=
n
X
f (ξν )(xν − xν−1 ) x, x0 ∈ [a, b] heißt Riemansche
nu=1
Summe bzgl. Z
S(f ; c, d) := sup |f (x) − f (x0 )| (a ≤ c < d ≤ b) heißt Schwankung
von f auf [c, d]
Z
b
Es gilt: |δν | ≤ s(f ; xν−1 , xν ) : Und: f (x)dx − R(f, Z) ≤
a
n
X
s(f ; xν−1 , xν )(xν − xν−1 )
ν=1
|
{z
}
Schwankungssumme von f bzgl. Z.
Definition: Eine beschränkte Funktion f : D → C heißt über [a, b] integrierbar, wenn zu jedem > 0 eine Zerlegung Z von [a, b] existiert,
so dass S(f, Z) ≤ Also: Wenn f integriebar ist, gibt es also eine Folge von Zerlegungen
Z1 , Z2 , . . . von [a, b]
lim S(f, Zn ) = 0
n→∞
Z
Wenn das der Fall ist, dann definiert man:
b
f (x)dx := lim R(f, Zn )
a
n→∞
Diese Definition ist sinnvoll, denn man kann beweisen: lim R(f, Zn ),
n→∞
(wobei (Zn ) so dass lim S(f, Zn ) = 0) ist unabhängig von der Ausn→∞
wahl der Folge (Zn ).
62
Zusammenfassung
Satz und Definition:
Die beschränkte Funktion f : D → C sei integrierbar. DAnn gibt
es Folgen (Zl )l=1,2,... von Zerlegungen von [a, b] mit lim S(f, Zl ) =
l→∞
0. Für jede solche Folge existiert der Grenzwert lim R(f, Zl ) und
l→∞
ist unabhängig von der Auswahl der Folge (Zl ). Der gemeinsame
Z b
Grenzwert wird mit
f (x)dx bezeichnet und heißt das bestimmte
a
Integral von f über [a, b]. Ist f : D → R und gilt f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],
Rb
dann heißt a f (x)dx der Flächeninhalt der Menge B := {(x, y) ∈
R2 |x ∈ [a, b], y = f (x)}
Z b
Z b
Z b
Satz:
(αf + βg)(x)dx = α
f (x)dx + β
g(x)dx (V sei der Ca
a
a
Ψ
Vektorraum aller auf [a, b] integrierbaren Funktionen ⇒ V −→ C, f 7→
Z b
f (x)dx ist C-linear, also Ψ ∈ V ∗ )
a
Z
Satz: a < b < c ⇒
Z
c
Z
b
f (x)dx =
c
f (x)dx +
a
f (x)dx
a
Z
b
Z
b
Satz: f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] ⇒
f (x)dx ≤
a
b
g(x)dx
a
Z
Z
b
b
Satz: Ist f integrierbar, so auch |f |, und es gilt f (x)dx ≤
|f (x)|dx
a
a
Z
Satz: f : [a, b] → C konstant = c ⇒
b
f (x)dx = c · (b − a)
a
R(f, Z) =
X
f (ξν )(xν − xν−1 ) = c
n
X
(xν − xν−1 = c · (b − a)
ν=1
Hilfssatz: Gegeben: f : [a, b] → C Für jedes c mit a ≤ c < b existiere
lim f (x); entsprechend existiere lim f (x) für jedes d mit a < d ≤
x→c+
x→d−
b. Dann gibt es zu jedem > 0 eine Zerlegung a = x0 < x1 < x2 <
. . . < xn = b, so dass die Schwankung von f in jedem (xν−1 , xν )
höchstens beträgt.
Satz: Wenn f diese Voraussetzung erfüllt, dann ist f integrierbar. Insbesondere sind stetige Funktionen integrierbar.
Z b
f (x)dx nicht,
Satz: Wenn f : [a, b] → C integriebar ist, dann ändert sich
a
wenn man die Werte von f an endlich vielen Stellen abändert.
63
Satz: Sei f : [a, b]
Z → C integrierbar und sei c ∈ [a, b]. Dann wird durch
y
F (y) :=
f (x)dx eine stetige Fnktion F : [a, b] → C definiert.
c
Wenn f stetig auf (a, b), dann ist F eine Stammfunktion, von f
auf (a, b). Ist G irgendeine weitere Stammfunktion von f , dann gilt:
Z b̃
f (x)dx = G(b̃) − G(ã) ∀a < ã ≤ b̃ < b.
ã
Schreibweise: F (b) − F (a) = [F (x)]ba
Satz:
f, g : [a, b] → C seinen auf (a, b) diffbar. Außerdem seien f 0 , g 0 stetig.
Dann gilt
Z
a
b
Z
f (x)g 0 (x)dx = [f (x)g(x)]ba −
b
f 0 (x)g(x)dx
a
Satz:
f, g : [a, b] → C stetig. Dann gilt
Z
b
Z
f (x)g 0 (x)dx =
a
g(b)
f (y)dy
g(a)
Definition:
f, g : [a, b] → R seien integrierbar. Es gelte f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b]
Sei B := {(x, y) ∈ R × R : a ≤ x ≤ b, f (x) ≤ y ≤ g(x)}
Z b
F (B) =
(g(x) − f (x))dx heißt der ”Flächeninhalt von B”
a
ZEICHNUNG
Beispiele: Flächeninhalt der Ellipsenfläche
x2
y2
Gesucht ist der Flächeninhalt von {(x, y) ∈ R × R : 2 + 2 ≤
a
b
r
x2
1} g(x) = b 1 − 2 , f (x) = −g(x).
a
Z +a r
x2
Also F (B) = 2b ·
1 − 2 dx
a
−a
Substitution: x = ua, dx = adu, −1 ≤ u ≤ +1
Z +1 p
Also: F (B) = 2b ·
1 − u2 du
−1
Substitution: u = sin(v), du = cos(v)dv −
64
π
π
≤v≤
2
2
Z
Also: F (B) = 2ab
π
2
cos2 (v)dv
(cos(2α) = 2 cos2 (α) − 1)
−π
2
Z
= ab
π
2
(1 + cos(2v))dv
(Substitution v =
−π
2
ab
2
Z
π
2
(1 + cos(t))dt =
−π
2
t
1
, dv = dt)
2
2
ab
π
[t + sin(t)]−π = abπ
2
ZEICHNUNG
{(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}
Läßt man B um die x-Achse rotieren, dann erhält man einen RotaZ b
b
tionskörper mit dem Rauminhalt Va (f ) = π ·
f (x)2 dx denn es
a
gilt: Vab (f ) + Vbc (f ) = Vac (f ) b < c
πc2 (b − a) ≤ Vab (f ) ≤ πd2 (b − a)∀c ≤ f (x) ≤ d
Z b
Eindeutigkeitdes Integrals ⇒ Vab (f ) = π
f (x)2 dx
a
Beispiel:
Volumen (Rauminhalt) der Einheitskugel
ZEICHNUNG
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 + z 2 ≤ 1}
Z +1
x3
4
Volumen = π
(1 − x2 )dx = π[x − ]+1
−1 = π
3
3
−1
Bemerkungen:
(1) Nicht jede integrierbare Funktion besitzt eine Stammfunktion.
(2) Hat f eine Stammfunktion,
so muß f nicht unbedingt integrierbar
1
2x
sin(
)
− x2 cos( x12 ) für x 6= 0
2
x
sein. z.B. f (x) =
0
für x = 0
Stammfunktion:
1
2
F (x) = x · sin( x2
0
für x 6= 0 Nachrechnen!
für x = 0
Aber f ist nicht integrierbar, weil f nicht beschränkt ist.
65
2.11
§11 Uneigentliche Integrale
Beispiele:
Z
∞
(1)
Z
t→∞
0
1
Z
(2)
t
xe dx = lim
Z
1
dx
√ =
x
√0
u) = 2
ex dx = lim [−e−x ]t0 = lim (1−e−t =
t→∞
0
1
lim
u→0+
u
dx
√ =
x
t→∞
√
lim [2 x]1u =
lim 2(1 −
u→0+
u→0+
Definition: (a, b) sei ein offenes Intervall, wobei a = −∞ oder b = +∞
zugelassen sind f : (a, b) → R sei eine Funktion, die über Z(a, c] bzw.
c
[c, b) für alle c ∈ (a, b) integrierbar ist. Wenn dann lim
f (x)dx
c→- a
Z b
¯
bzw. lim
f (x)dx existiert, dann ei0t f über (a, b) uneigentlich
c→a+
c
integrierbar und
Z
Z
b
c→b−
a
Z
c
f (x)dx = lim
f (x)dx bzw. lim
c→a+
a
b
f (x)dx
c
heißt das uneigentliche Integral von f über (a, b).
Z b
Ein Integral
f (x)dx, das sowohl bis a, als auch bis b integrierbar
a
ist, wird wie folgt definiert: Man wählt λ0 ∈ (a, b) und definiert
Z
Z
b
f (x)dx =
a
Z
Z
λ0
b
f (x)dx +
a
f (x)dx
λ0
+1
dx
dx
√
=
lim
intvu √
=
lim
(arcsin(v) − arcsin(u)) =
2
u→−1;v→+1
u→−1;v→+1
1−x
1 − x2
−1
π
π
− −
=π
2
2
Z ∞
dx
Beispiel:
existiert nicht oder = ∞
x
1
u
Z ∞
dx
1
Rotation um die x-Achse V = π
=
π
lim
−
=π
u→∞
x2
x 1
1
Z t
Z ∞
a −bt
a
−bx
ae−bx dx = lim
ae dx = lim
(e
− 1) =
für
Beispiel:
t→∞
t→∞
−b
b
0
0
b>0
Z t
Z ∞
1
dx
1
x−a dx = lim
=
lim
(t1−a − 1) =
für a > 1
t→∞ 1 − a
t→∞ 1
xa
a−1
1
Z 1
Z 1
1
dx
1
x−a dx = lim
= lim
(1 − u1−a ) =
für a < 1
a
u→0
u→0
x
1
−
a
1
−
a
u
0
Beispiel:
66
Majorantenkriterium für uneigentlich Integrale
Z
Z
b
f (x)dx bei b bzw. a uneigentlich ist. Dann gilt:
Sei
a
b
f (x)dx
a
existiert, wenn es eine Funktion g: (a, b) → R≥0 gilt mit |f (x)| ≤
Z b
g(x) ∀x ∈ (a, b), so dass
g(x)dx existiert.
a
Eine solche Funktion g heißt Majorante von f
Beispiele von Majoranten:
1
und ã > 1 für Integrale mit oberer Grenze ∞
xã
1
mit b̃ > 1 für Integrale mit endlicher unterer
(x − ã)ã
Grenze ã
ãe−b̃x mit b̃ > 0 für Integrale mit oberer Grenze ∞
Satz: Ist p(x) ein Polynom oder allgemeiner eine Funktion, die durch
ein
Z Polynom nach oben abgeschätzt werden kann, dann existiert
∞
p(x)e−bx dx mit b > 0.
0
Beweis: lim xn e−x = 0
x→∞
∀n ∈ N (
nach Bernulli L’Hospital)
xn
nxn+1
konvergiert für x → ∞ wie
x
e
ex
c
⇒ lim x2 p(x)e−bx = 0 ⇒ x2 p(x)e−bx ≤ c ⇒ |p(x)e−bx ≤ 2 ⇒
x→∞
x
Z ∞
Z ∞
dx
−bx
≤c
existiert
//
p(x)e
dx
x2
0
Z
Definition: Γ(x) :=
0
∞
tx−1 e−t dt für x > 0
Γ(x) heißt die Gamme-
0
Funktion
Eigenschaften der Gammafunktion: Γ(x + 1) = x · Γ(x),
Γ(n + 1) = n!
Γ(1) = 1 ⇒
Satz: (Integralfunktionen für unednliche Reihen)
f : R → R sei für x ≥ a (a ∈ Z) positiv und monoton fallen. Dann
Z ∞
∞
X
gilt:
f (x)dx existiert ⇔
f (n) konvergiert.
a
n=A
Z
n+1
f (x)dx ≤ (n + 1 − n) · f (n + 1) = f (n + 1)
Begründung:
n
Z
∞
∞
∞
X
X
X
n+1
inf f (x)dx ≤
f (n + 1) Also, wenn
f (n)
n
a
n=a
n=a
Zn=a
∞
f (x)dx existiert.
konvergiert ⇒
∞
f (x)dx =
a
67
Ähnlich umgekehrt: n + 1 ≥ x ≥ n ⇒ f (n + 1) ≤ f (x) ≤ f (n) ⇒
Z ∞
Z ∞
X
f (x)dx ⇒ Wenn
f (x)sx existiert, dann
∞f (n + 1) ≤
a
n=a
konvergiert
∞
X
a
f (n + 1) //
n=a
Anwendung:
∞
X
1
, s∈R
ns
n=1
Z
Für s = 1 divergiert diese unendliche Reihe, weil
1
nicht existiert.
Z
Für s = 2 konvergiert sie, weil
1
Satz:
∞
dx
existiert.
x2
∞
X
1
konvergiert für s > 1 und divergiert für s = 1
ns
n=1
Z n
n
X
dx
1
−
k
x
1
!
n→∞
−→ C < ∞ ZEICHNUNG
k=1
C = Eulersche Konstante ≈ 0.5772
68
∞
dx
x
2.12
§12 Gleichmäßige Konvergenz
Definition: D ⊂ R, h : D → C sei eine Funktion. ||h||D := sup{|h(x)|: c ∈
D} Wenn h beschränkt ist, dann existiert ||h||D und heißt die Norm
(oder Sup-Norm) von h. Wenn f, g: D → C beschränkte Funktionen
sind, dann heißt ||f − g||D der Abstand von f zu g oder auch von g
zu f . Man sagt: g approximiert f auf D mit einem Fehler ≤ , wenn
Pm
k
||f −g||D ≤ . (z.B. f (x) = ex auf D, gm (x) = k=1 xk! ; ||f −gm ||D ≤
?)
Definition: Eine Folge von Funktionen (fn : D → C)n=1,2,... heißt gleichmäßig
konvergent gegen f : D → C :⇔ lim ||f − fn ||D = 0
(z.B.
n→∞
lim ||ex − gn (x)||D = 0)
n→∞
Cauchy-Kriterium (fn ) konvergiert gleichmäßig gegen f ⇔ ∀ > 0 ∃N () =
N : ||fn − fm ||D ≤ ∀n, m ≥ N
Bemerkung: Die gleichmäßige Konvergenz einer Funktionsfolge (fn )n=1,2,...
unterscheidet sich grundsätzlich von der punktweisen Konvergenz
(Punktweise Konvergenz von (fn )n=1,2,... bedeutet lim fn (x) exin→∞
stiert ∀x ∈ D)
Beispiel: D = (0, 1), fn (x) := xn , lim fn (x) = lim xn = 0, ∀x ∈ D
n→∞
n→∞
f (x) := 0 ∀x ∈ D. d.h. (fn ) konvergiert punktweise gegen f .
||fn −f ||D = ||fn ||D = sup{|f (x)|: x ∈ D} := sup{xn : x ∈ (0, 1)} = 1
n→∞
1 9 Also (fn ) konvergiert nicht gleichmaßig gegen f .
Geometrische Bedeutung der gleichmäßigen Konvergenz:ZEICHNUNG
Der Graph von fn verläuft für n ≥ N () = N innerhalb eines Schlauches um den Graphen von f
Satz: Die Grenzfuktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von stetigen
Funktionen ist stetig.
z.B. gm (x) =
m
X
xk
stetig, weil Polynom. Man kann zeigen: (gm )
k!
konvergiert gleichmäßig ⇒ exp
Z b
n→∞
fn (t)dt existiert? Und wenn ja,
Frage: (fn ) −→ f gleichmäßig: lim
n→∞ a
Z b
Z b
fn (t)dt =
ist er dann =
f (t)dt, d.h. in Kurzform (unpräzise) gilt lim
n→∞ a
a
Z b
lim fn (t)dt ? Antwort: Ja.
k=1
a n→∞
oder Gilt lim fn0 (t) =
n→∞
Voraussetzungen.
0
lim fn (t) ? Antwort: nur unter gewissen
n→∞
69
Satz: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge von stetigen Funktionen ist ebenfalls stetig.
Satz: fn : [a, b] → C seien integrierbar Funktionen, n = 1, 2, . . .. Die Fogle
(fn )n=1,2,... konvergiert gleichmäßig gegen f : [a, b] → C. Damit ist
auch f integrierbar und es gilt:
Z
Z x
Z x
Z 00 00
∀x ∈ [a, b] :
f (t)dt = lim
fn (t)dt
lim = lim
n→∞
a
a
nxn−1
0
lim fn (0) = 0
für 0 ≤ x < 1 n = 1, 2, . . . ⇒ lim f (x) = 0
n
n→∞
für x = 1
Beispiel: I = [0, 1]: fn (x) =
∀x ∈ [0, 1),
n→∞
fn nicht gleichmäßig konvergent.
Z 1
Z 1
fn (x)dx =
nxn−1 dx = 1
0
Z
0
Z
1
1
lim fn (x)dx =
0
0dx
0
Beispiel: fn (x) =
1
n
sin(n2 x): |fn (x)| ≤
1
n
∀x
Also: (fn )n=1,2,... konvergiert gegen die Nullfunktion
fn0 (x) =
n2
n
cos(n2 x) divergiert.
0
Also gilt nicht lim fn (x) = lim fn0 (x).
n→∞
n→∞
Satz: Seien fn : [a, b] → C stetig differenzierbar, d.h. alle fn0 existieren und
sind stetig. Die Folge der Ableitungen (fn0 ) konvergiert gleichmäßig
gegen g. Es existiert mindestens ein x = c ∈ (a, b): (fn (c)) konvergiert. Dann gilt: (fn ) konvergiert gleichmäßig gegen f , f ist differenzierbar und es gilt: f 0 = g
0
(Kurzform: lim fn0 = lim fn )
n→∞
n→∞
Standpunkt in diesem Abschnitt: Zahlen werden ersetzt durch Funktionen, Zahlenfolgen durch Funktionenfolgen, unendliche Reihen aus Zahlenfolgen
durch unendliche Reihen aus Funktionenfolgen.
∞
X
Definition: (fn : D → C)n=1,2,... sei eine Funktionenfolge.
fn konvern=1
!
m
X
giert gleichmäßig :⇔
fn
konvergiert gleichmäßig.
|
n=1
{z
m=1,2,...
}
=(Sn )m=1,2,...
70
z.B. s1 = f1 ,
s2 = f1 + f2 ,
s3 = f1 + f2 + f3
P∞
n=k fn konvergiert gleichmäßig :⇔
Allgmeiner: (fn : D → C)n)0,1,2,...
!
m
X
fn
konvergiert gleichmäßig.
n=k
m=k,k+1,...
Beispiel: f0 (x) = 1,
∞
X
f1 (x) =
x1
1!
= x,
f2 (x) =
x2
2! , . . .
fn ) konvergiert gleichmäßig gegen exp.
n=0
Beweis folgt später.
exp(x) = ex =
ex =
∞
X
∞
X
xn
,
n!
n=0
fn (x) =
xn
, n = 0, 1, 2, . . .
n!
an ∈ C
fn (x) = an xn
fn (x)
n=0
Potenzreihe:
∞
X
an xn ,
n=0
Die Partialsumme Sm (x) =
m
X
an xn = a0 +a1 x+a2 x2 +. . .+am xm
n=0
Polynome.
Frage: Welche Funktionen lassen sich durch Potenzreihen darstellen? d.h.
welche Funktionen sind Grenzwerte von gleichmäßig konvergente
Folgen von Polynomen.
Beispiele: für solche Funktionen exp
sin
cos
Satz: (Majorantenkriterium für unendliche Funktionsreihen)
Die unendliche Reihe
∞
X
an mit positiven reellen Zahlen an sei
n=1
konvergent. (fn : D → C)n=1,2,... sei eine Funktionenfolge. Es sei
∞
X
|fn (x)| ≤ an ∀x ∈ D. Dann konvergiert
fn gleichmäßig auf
n=1
D.
Beispiel:
∞
X
sin(nx)
n2
n=1
Satz: Wenn die Potenzreihe
∞
X
an xn für einen Wert x = y ∈ C \ {0}
n=0
konvergiert und wenn 0 < r < |y|, dann konvergiert
∞
X
∞
X
n=0
an nxn−1 ) für |y| ≤ r absolut und gleichmäßig.
n=1
71
an xn (und
ZEICHNUNG
Frage: Wie kann man den maximalen Konvergenzkreis bzw. Konvergenz∞
X
radius von
an xn aus den Koeffizienten an berechnen?
n=0
z.B.
∞
X
1 n
x
n!
n=0
Satz: Wenn die Potenzreihe
∞
X
an xn (an ∈ C für ein x = y ∈ C \ {0} kon-
n=0
vergiert und wenn 0 < r < |y|, dann konvergieren sowohl
∞
X
alsauch
n=0
für alle c ∈ C mit |x| ≤ r absolut und gleichmäßig.
X
Beweis: Aus der Konvergenz von
an y n folgt, dass (an y n )n=0,1,2,... eine
n=0
Folge ⇒
∈ R≥0 |an y n | ≤ c für alle n = 0, 1, 2, . . .
∃c
n
|an y n | yr für alle x mit |x| ≤ r
n
≤ c yr = c · q n mit q = yr < 1
∞
∞
X
X
1
n
⇒ an x ≤ c ·
= c·
∀x: |x| ≤ r
1
−
q
n=0
n=0
!2
∞
X
X
X
n
nq n − 1
nan xn−1 ≤ c q
∞
X
|an xn | ≤
nq n−1 =
n=1
n=0
Satz und Definition: Wenn
∞
X
an xn für mindestens ein x = y ∈ C \ {0}
n=0
konvergiert aber nicht für alle x 6= 0, dann existiert eine positive
∞
X
reele Zahl R, so dass gilt:
an xn konvergiert für alle x ∈ C mit
n=0
|x| < R absolut und divergiert für alle x ∈ C mit |x| > R.
∞
X
R heißt der Konvergenzradius von
an xn (Über das Konvergenz-
n=0
verhalten für |x| = R läßt sich keine allgemeine Aussage machen).
Eine Potenzreihe, die nur für x = 0 konvergiert, hat per Definition
den Konvergenzradius 0; eine Potenzreihe, die für alle x konvergiert,
hat per Definition den Konvergenzradius ∞.
Beispiele: (a)
∞
X
xn
n=0
(b)
∞
X
xn
n
n=1
zur Untersuchung benutzen wir:
mit |a| < 1 (s.o)
(c)
∞
X
xn
n2
n=1
lim nk an = 0
n→∞
72
∀k ∈ Z ∀a ∈ R
∞
X
n=1
an nxn−1
Für |x| > 1 sind die Glieder in (a), (b) und (c) nicht beschränkt ⇒
Für |x| > 1 divergiert die Potenzreihe.
FürX
|x| < 1 ⇒ (a) konvergiert geometrische Reihe und in (b) und (c)
ist
xn eine Majorante in (a), (b) und (c) ⇒ Konvergenzradius
R = 1 in (a), (b) und (c)
Für |x| = 1 : Die Reihe in (a) divergiert, die Reihe in (b) konvergiert
für x = −1 (Leibnizkriterium) und divergiert für x = 1 (harmonische
Reihe) (Man kann zeigen: (b) konvergiert für alle x ∈ C und |x| = 1
und x 6= 1
Die Reihe in (c) konvergiert
für alle x ∈ C mit |x| ≤ 1 absolut und
X xn X 1
≤
gleichmäßig:
konvergiert.
n2 n2
Satz: Jede Potenzreihe
∞
X
an xn stellt in |x| < R eine stetig Funktion
n=0
dar. Außerdem gilt dür alle x mit −R < x < +R:
∞
X
(an xn )0 =
n=0
Z b
∞
X
a
n=0
∞
X
an x
!0
an xn
=
n=0
nan xn−1
n=1
!
n
∞
X
dx =
Z
∞
X
n=0
!
b
n
an x dx
für −R < a < b < +R
a
Beispiele von Darstellungen von Funktionen durch Potenzreihen
(1)
Z t
X
1
dx
=
xn für |x| < 1
= − log(1 − t) =
1 − x n=0
0 1−x
∞ Z t
∞
X
X
tn+1
xn dx =
für |t| < 1
n+1
n=0 0
n=0
∞
X
xn+1
für |x| < 1. Ersetze x durch
n+1
n=0
∞
X
(−1)n n+q
−x: log(1 + x) =
x
für |x| < 1
n+1
n=0
Also: − log(1−x) =
(2)
∞
∞
X
X
1
1
2 n
=
=
(−x
)
=
(−1)n x2n für
1 + x2
1 − (−x2 )
n=0
n=0
|x| < 1
Z x
∞ Z x
∞
X
X
(−1)n 2n+1
dx
n 2n
=
arctan(x)
=
(−1)
x
dx
=
x
2
2n + 1
0 1+x
n=0 0
n=0
für |x| < 1.
Satz (Abelscher Grenzwertsatz)
73
Wenn
∞
X
∞
X
an konvergiert, dann konvergiert die Potenzreihe f (x) :=
n=0
an xn für alle x ∈ R mit 0 ≤ x ≤ 1 gleichmaßig. Also ist f in
n=0
[0, 1] stetig. Instbesondere gilt: lim f (x) = f (1) =
x→1−
Es folgt: log(2) = 1 − 21 + 13 − 14 + − . . . ;
∞
X
an
n=0
π
4
= 1 − 31 + 15 − 71 + − . . .
Man kann nicht erwarten, dass sich jede Funktion (auch wenn sie beliebig oft differenzierbar ist) durch eine Potenzreihe darstellen läßt.
74
2.13
§13 Taylorsche Formel und Taylorsche Reihe
Satz: I ⊂ R sei ein offenes Intervall, f : I → R sei (n + 1)-mal differenzierbar. Sei a ∈ I. Es gelte f (a) = f 0 (a) = . . . = f (n) (a) = 0 und
(n+1) K
f
(x) ≤ K ∀x ∈ I mit K ∈ R>0 :⇒ |f (x)| ≤
|x −
(n + 1)0
a|n+1 ∀x ∈ I
Beweis durch Induktion nach n:
n=0
1
K f (x) − f (a) ≤K
Behauptung: |f (x) − f (a)| ≤ , also 1!
x−a Das folgt aus dem Mittelwertsatz. Induktionsschluß : (n − 1) −→ n
f 0 erfüllt die gleichen Voraussetzungen mit n − 1 an der Stelle von n
K
Also gilt nach Indunktionsvoraussetzung |f 0 (x)| ≤ |x − a|n , ander
n!
K
K
dormuliert gilt: − |x − a|n ≤ f 0 (x) ≤ |x − a|n
n!
n!
K
K
Also: f (x)+
|x−a|n+1 ist monoton, weil f 0 (x)+ |x−a|n =
(n + 1)!
n!
0
K
f (x) +
|x − a|n+1 ≥ 0 bzw. ≤ 0
(n + 1)!
Wir suchen ein Polynom g(x) =
n
X
ck (x − a)k , das bei a dieselben
k=0
(l)
Ableitungen besitzt wie f . g (a) = l!cl = f (l) (a) ⇒ cl =
Wende den Satz an auf f − g
(f − g)(n) (a) = 0
f (l) (a)
l!
(f − g)(a) = (f − g)0 (a) = . . . =
Satz (Taylorsche Formel)
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
|
k!
(x − a)k +Rn (x) mit |Rn (x)| ≤
{z
K
(n+1)! |x
− a|n+1
}
g(x)
falls |f (n+1) ](x)| ≤ K
Satz: (Taylorsche Reihe)
I ⊂ R offenes Intervall, f : I → R sei (n + 1)-mal differenzierbar.
Es gelte: |f (n+1) (x)| ≤ K ∀x ∈ I, wobei K ∈ R>0 . Sei a ∈ I,
n
X
f (k) (a)
dann gilt für alle x ∈ I: f (x) =
(x − a)k + Rn (x) mit
k!
k=0
k
n−1
|Rn (x)| ≤
|x − a|
(n + 1)!
75
Satz: (Integraldarstellung für Rn )
f seiZzusätzlich (n+1)-mal stetig differenzierbar. Dann gilt: Rm (x) =
x
1
·
(x − t)n f (n+q) (t)dt
n! a
Beweis: durch vollständige Induktion über n:
Z x
!
n=0
f (x) − f (a) = R0 (x) =
f 0 (t)dt
a
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
(n + 1) → n: nach Indunktionsvoraussetzung gilt:
x
Z x
1
1
Rn−1 (x) =
·
(x−t)n−1 f (n) (t)dt =
(x − t)n f (n) (t) +
(n − 1)! a
n!
a
Z
(n)
f
(a)
1
n (n+1)
n
· (x − t) f
(t)dt =
(x − a) + Rn (x) //
n!
n!
Definition: Sei f ∞-oft differenzierbar und sei a ∈ I
Tf (x) :=
∞
X
f (k) (n)
k=0
k!
(x − a)k =
∞
X
ak z k
(z = x − a)
k=0
Also: Wenn lim Rn (x) = 0
∀x ∈ I ⇐ f (x) = Tf (x) ∀x ∈ I
n→∞
n→∞
Wenn Rn −→ 0 gleichmäßig ⇒ Tf → f gleichmäßig.
Frage: Welche ∞-oft differenzierbaren Funktionen sind durch ihre Taylorreihe darstellbar, punktweise oder gleichmäßig?
Beispiel:
n
f (x) =
0
1
e− x
für x ≤ 0
für x > 0
Behauptung: f ist ∞ oft differenzierbar, aber nicht überall
durch ihre Tylorreihe darstellbar.
ZEICHNUNG
Beweis: Induktion ⇒ f
(n)
1
(x) = Pn
Polynom im 1x
x
f (n) (x) = 0 für x < 0
=0
z }| {
(n)
1
f
(x)
−
f
(0)
1
1
(n+1)
= lim Pn
e− x =
f
(0) = lim
x→0+
x→0+
x−0
x
x
0 = lim yPn (y)e−y = 0
(n)
y→∞
Tf,0 (x) =
∞
X
f k (0)
k=0
k!
xk = 0 ∀x
alle x gleich 0.
76
Aber f (x) ist nicht für
Beispiele von Funktionen, die durch ihre Taylorreihe dargestellt werden:
ex
∀x ∈ R
cos(x), sin(x), log(1 + x) für |x| < 1
arctan(x), . . .
und f (x) = (1 + x)a für gewisse a ∈ R und gewisse x
n X
a k
f (n) (x) = a(a−1) . . . (a−(n−1))(1+x)a−n ⇒ (1+x) =
x +
k
k=0
a
a(a − 1) . . . (a − (k − 1))
a
Rn (x) mit
:=
,
:= 1
Rn (x) =
k
k!
0
n
Z x a−1
x−t
dt
a
(1 + t)a−1
n
1+t
0
BEWEIS FOLGT
Ergebnis: Für |x| < 1 gilt lim Rn (x) = 0 (mit Intervalldarstellung)
n→∞
a n
1
x für |x| < 1 speziell für a = −
n
2
n=0
1
∞
X
1
n −2
2
=
(−1)
x2n ⇒ arcsin(x) =
und −x statt x : √
n
1 − x2
n=0
1 2n+1
∞
X
x
n −2
(−1)
, |x| < 1
n 2n + 1
n=0
Also: (1 + x)a =
∞ X
f (x) = (1+x)a mit a ∈ R: f (n) (x) = a(a−1) . . . (a−(n−1))(1+x)a−n
n X
a k
a
a(a − 1) . . . (a − (k − a))
(1 + x)a =
x + Rn (x),
=
k
k
k!
k=0
Z
1 x
Rn (x) =
(x − t)n f (n+1) (t)dt
n!
0
Z x a−1
=
a
(1 + t)a−n−1 (x − t)n dt
n
n
Z0 x a−1
x−t
a−1
=
a
(1 + t)
dt
n
1+t
0
Sei |x| < 1 und t = ux
mit 0 ≤ u ≤ 1 ⇒ |1 + t| = |1 + ux| ≥
x − t
= |x| · 1 − u ≤ |x| ⇒ |Rn (x)| ≤
1 − |ux| ≥ 1 − u ⇒ 1+t
Z 1x + t
a−1 ·
(n − t)a−1 dt
|a| · |x|n · n
0
n a−1 Also: |Rn (x)| ≤ c |x| , wobei c unabhängig ist von n.
n
|
{z
}
=cn
77
⇒
cn
cn−1
a − n
= |x| · a − 1 n→∞
= |x| · −→ |x| < 1
n
n
⇒ ∀q mit |x| < q < 1 ∃N :
⇒ cn ≤
cN n
q
qn
cn
cn−1
<q
∀n ≥ N
∀n ≥ N ⇒ cn → 0 für n → ∞
n→∞
n→∞
Also: |Rn (x)| ≤ c · cn −→ 0
⇒ |Rn (x)| −→ 0
∞ X
a n
x
Satz: Für |x| < 1 gilt (1 + x)a =
n
n=0
1
Folgerung: (Speziallfall a = − , −x2 statt x)
2
1 2n+1
∞
∞
1
X
X
q
x
2n
n −2
n −2
√
=
(−1)
x und arcsin(x) =
(−1)
2
n
n
2x
+1
1−x
n=0
n=0
für |x| < 1
78
2.14
§14 Interpolationen und numerische Interpolation
Problem: ”Gegeben” f : [a, b] → R: f (x), . . . , f (xn ) seinen bekannt. Aus
dieser Kenntnis möchte man Informationen über den Verlauf von f
Z b
im ganz [a, b] genommen, evtl. auch über
f (x)dx
a
Idee: Finde ein Polynom g mit f (x1 ) = g(x1 ), . . . , f (xn ) = g(xn ).
Satz: Zu n paarweise verschiedene reelle Zahlen x1 , . . . , xn und zu n beliebigen reellen Zahlen y1 , . . . , yn gibt es genau ein Polynom g vom
Grad ≤ n − 1 mit g(x1 ) = yi , i = 1, . . . , n
ZEICHNUNGEN
n=2
2-Punktform der Geraden durch (x1 , y1 ), (x2 , y2 )
Beweis Eindeutigkeit von g:
Sei h ein weiters Polynom mit denselben Eigenschaften wie g ⇒
h − g hat die paarweise verschiedenen Nullstellen x1 , . . . , xn : h(x1 ) −
g(x1 ) = y1 − y1 = 0 für i = 1, . . . n.
h − g gat den Grad ≤ n − 1, also höchstens n − 1 paarweise verschiedene Nullstellen oder es ist das Nullpolynom. Weil h − g aber
paarweise verschieden Nullstellen hat, muss es das 0-Polynom sein.
Also h = g
Konstruktion von g: Zunächst Konstruktion nur für yi =
n
Y
Setze: gi (x) =
j=1; i6=j
x − xj
⇒ gi (xi ) = 1 = yi ;
xi − xj
Allgemein, d.h. für beliebige yi : g(x) :=
n
X
1
0
, für i 6=
, für i = j
g(xj ) = 0 = yj
yi gi (x)
i=1
⇒ g(xi )yi gi (xi )
Also Zusammenfassend: g(x) =
n
X
i=1
n
Y
yi
j=1; j6=i
x − xj
xi − xj
Beispiel: n = 2 ⇒ Grad(g) = 1 (2-Punkt-Form der Geradengleichung)
n = 3 ⇒ Grad(g) = 2,
speziell: x1 = −1, x2 = 0, x3 = 3
g(x) = y1
=7
3
Y
x − xj
+ y2
x
− xj
j=2 1
x−0
−1 − 0
3
Y
j=1; j6=i
x−3
+2
1−3
y1 = 7, y2 = 2, y3 = −1
2
Y
x − xj
x − xj
+ y3
x2 − xj
x
− xj
j=1 3
x − (−1)
0 − (−1)
79
x−3
x − (−1)
x−0
+(−1)
0−3
3 − (−1)
3−0
=7
x2 − 3x
x2 − 2x − 3 x2 + x
+2
−
1+3
−3
12
=
7x2 − 21x 2x2 − 4x − 6 x2 + x
21x2 − 63x − 8x2 + 16x + 24 − x2 − x
−
−
=
4
6
12
12
=
12x2 − 48x + 12
= x2 − 4x + 2
12
Definition: Sei f : [a, b] → R gegeben und sei yi := f (xi ), wobei xi , . . . , xn
paarweise verschieden. Dann heißt das eben konstruierte Polynom g
der Interpolationspolynom zu f und den Interpolationsstellen x1 , . . . xn .
Um aus der kenntnis von g Interpolationen über f zu gewinnen,
brauchen wir eine Abschtzung für f − g.
Satz: Sei f : [a, b] → R in (a, b) n-mal differenzierbar und in [a, b] stetig.
Sei g das Interpolationspolynom zu f und den Interpolationsstellen x1 , . . . xn ∈ [a, b]. Dann gibt es zu jedem x ∈ [a, b] ein z ∈
n
f (n) (z) Y
(a, b): f (x) − g(x) =
(x − xi )
n! i=1
Also: Eine Abschätzung für |f (n) (z)| ergibt eine Abschätzung für
|f (x) − g(x)|
Beweis: Für x = xi verschwinden beide Seiten.
Sei also x ∈ [a, b] verschieden von allen x1 , . . . , xn .
Definiere: h(t) := (f (x)−g(x))
n
Y
(t−xi )−(f (t)−g(t))
i=1
h(n) (t) = n0 (f (x) − g(x)) − (f (n) (t) − g (n) (t))
| {z }
=0
n
Y
n
Y
(x−xi ) ⇒
i=1
(x − xi )
i=1
h hat in [a, b] die n + 1 verschiedenen Nullstellen x1 , . . . , xn , x. Zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen liegt nach dem Satz
von Rolle ein Nullstelle von h0
h0 hat n Nullstellen, usw. ⇒ h(n) hat eine Nullstelle.
0 = h(n) (z) ⇒ f (x) − g(x) =
Z
n
Y
1 (n)
f (z) (x − xi ) //
n!
i=1
Z
b
b
f (x)dx ≤=
Anwendungsbeispiel:
a
a
|f (n) (z)| ≤ K
z = z(x)
80
1
g(x)dx + K̃
n!
Z
n
bY
a i=1
(x − xi )dx
Z
n
f (x) = g(x)+
f (n) (x) Y
(x−xi ),
n! i=1
z = z(x),
|f (n) (x)| ≤ K
∀y
[a, b]
Z
Z
Z b
Z n
b
b
K b Y
f (x)dx ≤
|f (x)|dx ≤
|g(x)|dx +
(x − xi ) dx
a
n!
a
a
a i=1
Aus diesem Prinzip ergibt sich die:
(I) Trapezformel
Idee ZEICHNUNG
Genauer: f : [a, b] → R sei 2x stetig differenzierbar. Bilde equidistante Unterteilung von [a, b] mit der konstanten
Schrittweite h: x0 = a, x1 = a + h, x2 = a + 2h, . . . xn =
b−a
a + nh = b also h =
n
Z
xi
Auf dem Teilintervall betrachte man die Näherung
h
f (x)dx ≈
xi−1
Ii−1 + Ii
,
Z 2
Ii−1 = f (xi−1 ), Ii = f (xi )
n Z xi
X
⇒
f (x)dx =
f (x)dx
a
i=1 xi−1
x
I0
In i−1
=h
+ I1 + I2 + . . . In−1 +
+δ
2
2
b−a
· C2 · h2 , wobei |f 00 (x)| ≤
Man kann zeigen: |δ| ≤
12
C2 ∀x ∈ [a, b]
(II) Simpsionformel
f : [a, b] → R sei 4-mal stetig diffbar
Zerlege [a, b] in eine gerade Anzahl von Teilintervallen
[xi−1 , xi ] mit xi = a + ih, i = 0, 1, 2, . . . , n n gerade
b−a
h=
n
ZEICHNUNG
Durch die 3 Punkte (x0 , y0 ), (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) (mit yi =
f (xi )) verläuft das Interpolationspolynom vom Grad ≤ 2.
(x − x1 )(x − x2 )
Dieses Polynom ist gegeben durch P1 (x) = y0
+
Z(xx02 − x1 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
y1
P1 (x)dx =
+y2
⇒
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
x1
h
(y0 + 4y1 + I2 )
3
Z x2i
h
Allgemein:
Pi (x)dx = (y2i−2 + 4y2i−1 + I2i )
3
x2i−2
Z b
h
f (x)dx = (y0 +
Aufaddieren durch Integrale ergibt:
3
a
4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + . . . + 4In−1 + Im ) + δ mit |δ| ≤
b−a
· C4 · h4 , wobei |f 0000 (x)| ≤ C4 ∀x ∈ [a, b]
180
b
81
Z
1
Beispiel:
Z
0
1
e−
e−
⇒
x2
2
x2
2
dx,
xi =
i
,
6
i = 0, 1, . . . , 6
dx = 0.85563 + δ,
0
82
|δ| < 1, 3 · 10−5
2.15
§15 Fourier-Reihe
Ausgangspunkt: f : R → R heißt periodisch mit der Periode ω 6= 0 :⇔
f (x + ω) = f (x), ∀x ∈ R
Beispiel: sin(x), cos(x) sind periodische Funktionen mit der Periode 2π
Frage: Unter welchen Voraussetzungen läßt sich f in der folgenden Form
∞
X
R
darstellen: f (x) =
an cos(nx) + bn sin(nx) mit an , bn R? (⇒ f
n=1
hat Periode 2π) Was heißt dabei ”darstellen’ ?
D.h: Entweder ”punktweise” oder ”gleichmäßig”
Die zugrunde liegende Funktionenreihe ist
m
X
fn = (sm )m=1,2,... mit
n=1
fn (x) = an cos(nx) + bn sin(nx)
Man geht so vor: Angenommen f ist punktweise gleichmäßig in der genannten Form darstellbar. Dann berechnet man zunächst die Koeffizienten an , bn aus f
∞
a0 X
+
(an cos(nx)+bn sin(nx)) konvergiert auf [−π, π] gleichmäßig
2 n=1
gegen f
Z
Z
1 π
1 π
⇒ Satz: an =
f (x) cos(nx)dx; n = 0, 1, 2 . . . ; bn =
f (x) sin(nx)dx; n =
π −π
π −π
1, 2, . . .
Um das einzusehen, benötigen wir:
Hilfssatz: (Orthogonalitätsrelationen)
Z
(
0
1
−π
2
(
Z π
0
1
(b)
sin(nx) sin(mx)dx = 1
π −π
0
Z
1 π
sin(nx) cos(mx)dx = 0
(c)
π −π
1
(a)
π
π
cos(nx) cos(mx)dx =
Beweis:
(a)
Für n = m = 0 trivial
Für n = m > 0
83
für n 6= m
für n = m > 0
für n = m = 0
für n 6= m
für n = m > 0
für n = m = 0
cos(2nx) = cos2 (nx) − sin2 (nx) = 2 cos2 (nx) − 1
1
⇒ cos2 (nx) = (1 + cos(2nx))
2
π
Z
Z π
1
1
sin(2nx)
1 π
2
⇒
cos (nx)dx =
(1 + cos(2nx)) dx =
x+
π −π
2π −π
2π
2n
−π
2π
=
=1
2π
Für n 6= m
cos((n+m)x)+cos((n−m)x) = cos(nx) cos(mx)−sin(nx) sin(mx)+
cos(mx) cos(nx) + sin(nx)
Z πsin(mx)
= 2 cos(nx) cos(mx) ⇒
cos(nx) cos(mx)dx
−π
Z π
1
=
cos((n + m)x) cos((n − m)x)dx
2 −π
π
1 sin((n + m)x) sin((n − m)x)
+
=0
=
2
n+m
n−m
−π
(b) analog
84
3
3.1
Lineare Algebra und analytisch Geometrie (LA)
§1 Vektorräume und lineare Abbildungen
Definition:
Sei K ein Körper. Ein Vektorraum über K oder ein K-Vektorraum
ist eine nichtleere Menge V zusammen mit 2 Abbildungen.
“Adition“ V × V → V (u, v) 7→? + w
“Skalarmultiplikation“ K × V → V (α, v) 7→ αv
, so daß gilt:
(u + v) + w = u + (v + w) ∀u, v, w ∈ V
u + v = v + u ∀u, v ∈ V
∃ 0 ∈ V u + 0 = u ∀u ∈ V
∀ u ∈ V ∃v ∈ V u + v = 0 (Schreibweise v = −u)
α(u + v) = αu + αv ∀α ∈ K, ∀u, v ∈ V
(α + β)u = αu + βu ∀α, β ∈ K ∀ u ∈ V
1·u=u ∀ u∈V
⇒ a(bu) = (ab)u ∀a, b ∈ K ∀u ∈ V
Beispiele:
(1) K = R , V = Menge Aller Vektoren in der Ebene mit festen Fußpunkt.
(2) K Körper, n ∈ N, V = K n = {(u1 , u2 , . . . , un )ui ⊂ K, i = 1, 2, . . . , n}
u = (u1 , u2 , . . . , un ), v = (v1 , v2 , . . . , un ), u + v = (u1 + v1 , u2 +
v2 , . . . , un + vn ), αu = (αu1 , αu2 , . . . , αun ) α ∈ K
Für K = R und u = 2“ist“K 2 Der Vektorraum aus (1)
(3) C ist ein R−Vektorraum (u1 + iu2 ) ∈ C, u1 , u2 ∈ R
(4) M Menge6= ∅, K Körper V =?? (M, K) := (f : M → KAbbildung)
V 3 f, g : (f + g)(m) := f (m) + g(m) ∀ m ∈ M
K 3 α (αf )(m) := αf (m) ∀ m ∈ M “Punkweisedefinition“ Addition
und Skalarmultiplikation.
(5) V := {p(x) ∈ K[x] Grad(p(x)) ≤ n}
(a0 + a1 x + a2 x2 + . . .) + (bo + b1 x + b2 x2 , . . .) := (a0 + b0 ) + (a1 +
b1 )x + . . . + (an + bn )xn
K 3 α, α(a0 + a1 x + . . . + an xn ) := αa0 + αa1 x + . . . + αan xn
85
Definition:
V sei ein K-Vektorraum und W ⊂ V sei eine nichtleere Teilmenge.
v ∈ V heißt linear abhängig von W, falls endlich viele w1 , w2 , . . . , wn ∈
W und a1 , a2 , . . . , an a ∈ K existieren, so daß V = a1 w1 + a2 w2 +
. . . + an wn andernfalls heißt V linear unabhängig von W. Eine Teilmenge W ⊂ V, W 6= ∅, heißt linear unabhängig ⇔ Für je endlich
viele w1 , w2 , . . . , wn ∈ W und a1 , a2 , . . . , an ∈ K gilt. Wenn
n
X
ai wi = 0 ⇒ a1 = 0, a2 = 0, . . . , an = 0
i=1
andernfalls heißt W linear abhängig.
Satz:
W ⊂ V, W 6= ∅, ist linear abhängig ⇔ ∃w ∈ W w ist linear abhängig
von W − {w}.
Erläuterung:
w ist linear abhängig von W = {w1 , w2 , . . . , wn } ⇔ es existiert
a1 , a2 , . . . , an ∈ K : w = a1 w1 , a2 w2 , . . . , an wn
W = {w1 , w2 , . . . , wn } linear unabhängig ⇔ Es gilt a1 w1 + a2 w2 +
. . . + an wn = 0 ⇒ a1 = 0, a2 = 0, . . . , an = 0
a1 6= 0 : w1 = − aa21 w2 − . . . −
an
a1 wn
Definition:
V sei ein K-Vektorraum. Eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V heißt Basis von V. W ⊂ V heißt maximal :⇔ wenn
W ⊂U ⊂V ⇒W =U ∨U =V
Satz:
Jeder Vektorraum V hat mindestens eine Basis. Die Cardinalität einer Basis ist eindeutig bestimmt. Diese Cardinalität heißt die Dimension
von V.
Definition:
Sei V ein K-Vektorraum und sei B ⊂ V eine nichtleere Teilmenge.
Dann heißt
n
X
< B >:= {
ai wi : n ∈ N, a1 , a2 , . . . , an ∈ K, w1 , w2 , . . . , wn ∈ B}
i=1
Die lineare Hülle von B. B heißt Erzeugendensystem von V, wenn
V =< B >
Satz:
B ⊂ V (B 6= ∅) ist Basis von V ⇔
86
(I) B ist Erzeugendensystem
(II) B ist linear unabhängig
Beispiele:
(a) V = K n dann ist die folgende Menge eine Basis von V : B =
{e1 , e2 , . . . , en }, wobei e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), en =
(0, 0, . . . , 1)
Beweis:
V 3 v = (v1 , v2 , . . . , vn )
= (v1 , 0, . . . , 0) + (0, v2 , . . . , 0) + . . . + (0, 0, . . . , vn )
= v1 (1, 0, . . . , 0) + v2 (0, 1, . . . , 0) + . . . + vn (0, 0, . . . , 1)
= v1 e1 + v2 e2 + . . . + vn en
Also ist B ein Erzeugendensystem.
Seien α1 , α2 , . . . , α1 ∈ K so, daß α1 e1 , α2 e2 , . . . , αn en = 0 = (0, 0, . . . , 0)
⇒ (α1 , α2 , . . . , αn ) = (0, 0, . . . , 0)
Also ist B linear unabhängig.
Bemerkungen zur linearen Unabhängigkeit.
Sei {w1 , w2 , . . . , wn } linear unabhängig
v = α1 w1 + α2 w2 + . . . + αn wn
−(v = β1 w1 + β2 w2 + . . . + βn wn )
0 = (α1 − β1 )w1 + (α2 − β2 )w2 + . . . + (αn − βn )wn
⇒ α1 − β1 = 0, . . . , αn − βn = 0
Satz:
B ⊂ V ist Basis ⇔ ∀v ∈ V ∃w1 , w2 , . . . , wn ∈ B ∃ eindeutig
bestimmte Elemente α1 , α2 , . . . , αn ∈ K
v = α1 w1 + α2 w2 + . . . + αn wn
Beispiele von Basen in Vektorräumen.
(a) K Körper, V = K n B := {e1 , e2 , . . . , en }, ei = (0, . . . , 1, . . . , 0)
Mit der 1 an der i-ten Stelle. B ist eine Basis von V |B| = n also ist
die Dimension von V gleich n.
87
Notation: Die Dimension eines K-Vektorraums V wird mit dimk V bezeichnet.
(b) K = R, V = C C ist ein R-Vektorraum B := {1, i} ist eine
Basis dieses Vektorraums. Also dimR C = 2
V := =(R, R) := {f : R → R Abbildung} ist ein R-Vektorraum. Dieser Vektorraum hat eine Basis, die nur aus endlich vielen Elementen
besteht.
Begründung: Seien α, β ∈ R; α 6= β
Sei fα : R → R, fα (x) := eαx ; fβ : R → R, fβ (x) := eβx
Behauptung: fα , fβ sind linear unabhängig.
Beweis: Seien a, b ∈ R so, daß afα + bfβ = 0 -Abbildung.
⇒ afα (x) + bfβ (x) = aeαx + beβx = 0
Division durch eβx ⇒ aeαx e−βx + b = 0
∀x ∈ R
∀x ∈ R
aeα−β x + b = 0
Sei β > α für x → ∞ gilt eα−β x gegen 0. Also aeα−β x + b = 0 Da
x→∞
⇒ 0 + b = 0 ⇒ b = 0 ⇒ aeαx = 0 ⇒ a = 0
(d) V := {p(x) ∈ K[x] : Grad(p(x)) ≤ n} p(x) = a0 1+a1 x1 +a2 x2 +
. . . + an xn
Also : B := {1, x, x2 , . . . , xn } ist eine Basis von V.
Definition:
V sei ein K-Vektorraum. Eine nichtleere Teilmenge f ⊂ U ⇒ u−v ∈
f
Wenn α ∈ K, u ∈ U ⇒ αu ∈ f
Beispiel:
Pn
M ⊂ V, M 6= ∅, f :=< M >:= { i=1 ai ui : n ∈ N, ai ∈ K, ui ∈
N} ist ein Unterraum von V.
Definition:
K Körper, V sei ein K-Vektorraum U1 , U2 seien Unterräume von V.
Definiere U1 , U2 := {u1 + u2 : u1 ∈ U1 , u2 ∈ U2 } ⊂ V
Es gilt U1 + U2 ist ein Unterraum von V denn: (u1 + u2 ) − (v1 + v2 ) =
(u1 − u2 ) + (v1 − v2 ) ∈ U1 + U2 ∀ u1 , v1 ∈ U1 u2 , v2 ∈ U2
α(u1 + u2 ) = αu1 + αu2 ∈ U1 + U2 ∀α ∈K u1 ∈ U1 u2 ∈ U2
Es gilt mit U1 , U2 ist auch U1 ∩ U2 ein Unterraum von V.
88
Definition:
U1 , U2 2 seien Unterräume von V mit U1 ∩ U2 = {0}. Dann schreibt
man U1 ⊕U2 := U1 +U2 und nennt dann U1 ⊕U2 die direkte Summe
von U1 und U2 .
Staz: (Basisergänzungssatz)
Sei V ein K-Vektorraum endlicher Dimension. Sei V =< b1 , . . . , bn >.
Dann läßt sich jede lineare unabhängige Teilmenge {c1 , . . . , cn } ⊂
V durch Hinzufügen von Elementen aus {b1 , . . . , bn } zu einer Basis
ergänzen.
Beweis:
Es gilt V =< b1 , . . . , bn >=< c1 , . . . , ck , b1 , . . . , bn > Nun lassen
wir alle b0i s weg, die nicht zur Bildung der linearen Hülle benötigt
werden. Das sind entweder alle b0i s - und dann ist {c1 , . . . , ck } schon
eine Basis von V - oder es gilt, wenn wir die verbliebenen b0i s mit
u1 , . . . , ul bezeichnen - V =< c1 , . . . , ck , u1 , . . . , ul >
Behauptung:
{c1 , . . . , cn , u1 , . . . , ul } ist eine Basis von V.
Beweis:
Reicht zu zeigen {c1 , . . . , cn , u1 , . . . , ul } ist linear abhängig.
Sei dazu α1 c1 +. . .+αn cn +β1 u1 +. . .+βl ul = 0. Angenommen nicht
alle α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βl sind 0. Dann ist mindestens ein βj 6= 0;
andernfalls wären, wegen der linearen Unabhängigkeit der c1 , . . . , cn ,
alle α1 , . . . , αn = 0
Also βj 6= 0. Dann können wir nach uj auflösen, d.h. auch uj wird
nicht gebraucht. Widerspruch zur Konstruktion. //
Satz: (Über die Definition von Unterräumen)
Sei V ein K-Vektorraum mit dimK V = n. Sei U ⊂ V ein Vektorraum. Dann gilt dimK U ≤ dimK V .
Sind U, W ⊂ V zwei Unterräume, so gilt dimK (U + W ) = dimK U +
dimK W − dimK (U ∩ W ).
∀α ∈ K : α0 = 0
Insbesondere gilt: Wenn U ∩W = {0} ⇒ dimK {U ⊕W } = dimK U +
dimK W
Folgerung:
Wenn U ⊂ V Unterräume sind, und wenn dimK U = dimK V ⇒
U =V
Beispile:
89
V = R2 dimR R2 = 2
U sein Unterraum von V = R2 mit dimmathbbR = 1. Es gibt also
eine Basis mit einem Element u. Und jedes Element w ∈ U ist von
der Form αu mit α ∈ R
Explizit u = (u1 , u2 ), αu = (αu1 , αu2 )
V = R U ⊂ V Vektorräume
dimR U = 2, U Ebene
U := {(x, y, z) ∈ R3 : 3x + y + z = 0} ist Unterraum.
{(−1, 3, 0), (−1, 0, 3)} ⊂ U
(x1 , y1 , z1 ) − (x2 , y2 , z2 ) = (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z2 ) = 3(x1 − x2 ) +
(y1 − y2 ) + (z1 − z2 ) = (3x1 + y1 + z1 ) − (3x2 + y2 + z2 ) = 0
|
{z
} |
{z
}
0
0
Behauptung:
Diese Teilmemge ist linear unabhängig.
Beweis:
Sei α(−1, 3, 0) + β(−1, 0, 3) = (0, 0, 0)
−α + 3α + 0 + β + 0 + 3β = (0, 0, 0) ⇔ (−α − β, 3α, 3β) = (0, 0, 0)
⇒ −α − β = 0; 3α = 0; 3β = 0
Es folgt, {(−1, 3, 0), (−1, 0, 3)} ist eine Basis von U dimR U = 2
Definition:
K Körper, V ein V-Vektorraum mit dimK V = n
Sei B := {b1 , . . . , bn } eine Basis von V. Zu jedem v ∈ V existieren
α1 , . . . , αn , so daß v = α1 b1 , . . . , αn bn ; dabei sind α1 , . . . , αn durch B
un v eindeutig bestimmt und heißen die Koordinaten von v bezüglich
B.
Beispiel:
K = R, V = R3 B1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
v ∈ (6, 2, 1) ∈ V hat bezüglich B1 die Koordinaten 6,2,1
B2 := {(1, 1, 1), (1, −1, 0), (1, 1, 0)}
| {z } | {z } | {z }
b1
b2
b3
Behauptung:
B2 ist Basis.
Beweis:
90
Sei αb1 + βb2 + γb3 = (0, 0, 0) = ((α + β + γ), (α − β − γ), α) ⇒ α =
0 ⇒ γ = β 2β = 0 ⇒ β = 0 ⇒ γ = 0 //
Es gilt: v = (6, 2, 1) = 1(1, 1, 1) + 2(1, −1, 0) + 3(1, 1, 0) = 1b1 + 2b2 +
3b3
Die Koordinaten von v bezüglich b2 sind 1,2,3.
V K-Vektorraum, U, W Unterräume ⇒ dimK (U + W ) = dimK W −
dimK (U ∩ W )
Begründung:
1. Fall:
U ∩W = {0} Sei {u1 , u2 , . . . , uk } eine Basis von U und {w1 , w2 , . . . , wl }
eine Basis von W.
Behauptung:
{u1 , u2 , . . . , uk , w1 , w2 , . . . , wl } ist eine Basis von U +W daraus folgt:
dimk (U + W ) = k + l = dimk W − dimk (U ∩ W ) Wobei dimk (U ∩ W )
0 ist.
Beweis:
1. < {u1 , u2 , . . . , uk , w1 , w2 , . . . , wl } >= U + W//
X
2. {u1 , u2 , . . . , uk , w1 , w2 , . . . , wl } ist linear unabhängig. Sei dazu
αi ui +
X
X
X
X
X
βj wj = 0 ⇒
αi wi = −
βj wj ⇒
αi ui = 0,
βj wj =
0 ⇒ αi = 0 und βj = 0 ∀i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , l ∈ W ∩ U = {0}
2. Fall:
U ∩ W 6= {0} Sei {z1 , z2 , . . . , zk } eine Basis von U ∩ W . nNach dem
Basisergänzungssatz ergäzen wir diese Basis zu einer Basis {z1 , z2 , . . . , zk , u1 , u2 , . . . , um }
von U und {z1 , z2 , . . . , zk , w1 , w2 , . . . , wl } von W.
Behauptung:
{z1 , z2 , . . . , zk , u1 , u2 , . . . , um , w1 , w2 , . . . , wl } ist eine Basis von U +
W
Beweis:
1. Diese Menge ist ein Erzeugendensystem. //
2. {z1 , z2 , . . . , zk , u1 , u2 , . . . , um , w1 , w2 , . . . , wl } ist linear unabhängig.
k
m
l
l
k
X
X
X
X
X
Sei dazu
αi zi +
βj uj +
γk wk = 0 ⇒ −
γk wk =
αi zi +
i=1
m
X
j=1
j=1
βj uj ∈ U ∩W ⇒
l
X
k=0
k=0
γk wk =
k=0
k
X
i=1
i=1
αi zi weil {z1 , z2 , . . . , w1 , w2 , . . . , wl }
Pk
Pm
linear unabhängig ist ⇒ γk = 0 ⇒
i=1 αi zi +
j=1 βj uj =
0 ⇒ (weil {z1 , z2 , . . . , u1 , u2 , . . . , um } linear unabhängig) αi = βj =
91
0 ∀i = 1, . . . , k; j01, . . . , m Es folgt dim U +dim W = k+m+k+l =
k + (m + k + l) = dim(U ∩ W ) + dim(U + W ) //
Definition:
Sei V ein K-Vektorraum und Sei U ⊂ V ein Unterraum. Für a ∈ V
heißt die Menge a + U := {a + u : u ∈ U } der ducrh a und u
definierte affine Raum.
Beweis:
Für a 6= 0 ist a+u im allgemeinen kein Unterraum.
Beispiel:
V = R2 sei U ⊂ V ein Unterraum der Dimension 1. Geometrisch
ist U eine Gerade durch (0,0). a + U ist die Gerade durch a parallel
zu U. Sei VU := {a + U : a ∈ V }. VU wird durch die folgenden
Festsetzungen zu einem K-Vektorraum.
(a + U ) + (b + U ) = (a + b) + U ∀a, b ∈ V
α(a + U ) := αa + U ∀α ∈ K
Dieser Vektorraum
V
U
heißt Faktorraum von V nach U.
Definition:
Sei U ⊂ V ein Unterraum. Zwei Elemente V, W heißen äquivalent
, falls V − W ∈ U . Auf diese Weise ist auf V eine Äquivalenzrelation definiert. Die Äquivalenzklasse zu a ∈ V ist a + U , denn sei b
äquivalent zu a ⇒ b − a ∈ U ⇒ b + U = a + U
Also V =
·
[
(a + U ), a durchläuft ein Repräsentantensystem der
a
Äquivalenzklassen.
Beispiel:
V = R2 , dim U = 1 ⇒ R2 =
·
[
a
Satz:
U ⊂ V Unterraum sei {u1 , . . . , ur } eine Basis von U sei {u1 , . . . , ur , ar+1 , . . . , an }
eine Basis von V (Basisergänzungssatz). Dann ist {ar+1 +U, . . . , an +
U } eine Basis von VU .
Beweis:
(1) Erzeugendensystem: Sei dazu a + U ∈
V
U
mit a ∈ V
⇒ a = α1 u1 + . . . + αr ur + αr+1 ar+1 + . . . + αn an
⇒ a + U = (αr+1 ar+1 + . . . + αn an ) + U
92
a + U = αr+1 (ar+1 + U ) + . . . + αn (an + U )
(2) Linear Unabhängigkeit: Sei dazu (αr+1 ar+1 +U )+. . .+(αn an +U ) =
U
U 3 (αr+1 ar+1 + . . . + αn an ) +U = 0
|
{z
}
α1 u1 +...+αr ur
⇒ α1 u1 + . . . + αr ur + (−αr+1 )ar+1 + . . . + (−αn an ) = 0
α1 = 0, α2 = 0, . . . , αr = 0, . . . , αn = 0
Folgerung:
Wenn V endlichdimensional und wenn U ⊂ V ein Unterraum ist,
dann gilt:
V
dimK V = dimK U + dimK ( W
n = r + (n − r)
Definition:
Seien V,W zwei Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W heißt Klinear oder K-Homorphismus, falls f (u + v) = f (u) + f (v) ∀u, v ∈ V
f (αu) = αf (u) ∀α ∈ K
Definition
f : V → W K-linear ⇒ Bild(f ) := {f (u) : u ∈ V } ⊂ W
Kern(f ) := {u ∈ V : f (u) = 0} ⊂ V Sind Unterräume.
Beispiel:
V := {(an )n∈N : an ∈ R
(an ) + (bn ) = (an + bn ); α(an ) := (αan ) ∀α ∈ R
|
{z
}
V ist ein R-Vektorraum
W = R1 = R, f = lim
V
→ R} , V = (an ) : an konvergiert
| {z
(an )→ lim an
n→∞
Behauptung:
limn→∞ ist R-linear
Beweis:
lim(an + bn ) = lim an + lim bn //
lim(αan ) = α lim(an ) //
Bild (lim) = R Kern (lim) = {(an ) : an → 0}
Satz:
93
V,W endlichdimensional. f : V → W K-linear. Dann gilt dim V =
dimK (Kern(f )) + dimK (Bild(f ))
Beweisidee:
Es gibt eine bijektive Abbildung F:
V / Kern (f) → Bild (f)
ist Kern (f) → f(u)
Definition:
Eine K-lineare Abbildung f V → W heißt Isomorphismus, falls f
bijektiv.
Beispiel:
Sei V ein K-Vektorraum mit dimK V = n. Dann existiert ein Isomorphismus f : V → K n
Beweis:
Sei B = {v1 , . . . , vn } eine Basis von V, sei v ∈ V , sei f (v) :=
(α1 , . . . , αn )
, v = α1 v1 , . . . , αn vn
|
{z
}
Koordinatenvektor von V bezüglich B
Matrixbeschreibung einer linearen Abbildung f : V → W m =
dimK V, n = dimK W (m, n < ∞)
Sei {v1 , . . . , vn } eine Basis von V, sei {w1 , . . . , wn } eine Basis von
W. Daraus folgt:
f (v1 ) =
f (v2 ) =
..
.
a11 w1 +
a21 w1 +
..
.
a12 w2 +
a22 w2 +
..
.
···+
···+
..
.
a1n wn
a2n wn
..
.
f (vm ) =
am1 w1 + am2 w2 + · · · + amn wn
Auf diese Weise erhalten wir auf f und {v1 , . . . , vm }, {w1 , . . . , wn }
die (m x n) Matrix: m Zeilen, n Spalten


a11 a12 · · · a1n
 a21 a22 · · · a2n 


 ..
..
.. 
..
 .
.
.
. 
am1
am2
· · · amn

A = (aij )i=1,...,m
j=1,...,n
a11
 ..
= .
am1
a12
..
.
am2

· · · a1n
.. 
..
.
. 
· · · amn
A = (aij ), B = (bij ) A = B ⇔ aij = bij ∀i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n
A + B = (aij + bij )i=1,...,m
j=1,...,n
94
; αA = (αaij )i=1,...,m
j=1,...,n
mat(m×n, K) = M (m×n, K) := {A : A ist (m×n)-Matrix mit Koeffizienten aus K}
ist bezüglich der oben
und Skalarmultiplikation
 definierten Addition

0 0 ··· 0
 0 0 ··· 0 


ein K-Vektorraum  . . .
= Nullmatrix
. . ... 
 .. ..

0 0 ··· 0
A = (aij ), B = (bij ), i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n, k = 1, . . . , l
A · B = (cik ) mit cik
n
X
aij bjk i = 1, . . . , m, k = 1, . . . , l
j=1
Beispiel:




1 7
3 0
2
5


4 0
1·4+7·1+2·1 1·0+7·1+2·6
 1 1 =
=
3·4+0·1+5·1 3·0+0·1+5·6
1
6
13 19
17 30

4 0
1 7
1 1 
3 0
1 6

4
28 8
4
7 7 
19 7 32
2
5


4·1+0·3 4·7+0·0 4·2+0·5
 1·1+1·3 1·7+1·0 1·2+1·5 =
1·1+3·6 1·7+6·0 1·2+6·5
A = (aij ) mit i = 1, . . . , m j = 1, . . . , m heißt auch quadratische
(m × m)-Matrix
Beispiel:
1 0
0 1
1
1
0
1
=
2 1
1 1
;
1
1
0
1
1 0
0 1
=
1
1
1
2
mat(m × m, K) ist ein Ring mit Einselement Einheitsmatrix vom
Grad m.


1 0 0
A ∈ M (3 × 3, K) ⇒ E3 · A = A = A · E3
z.B. E3 =  0 1 0 
0 0 1
Ein Vektor (x1 , . . . , xm ) ist auch eine Matrix!



a11
x1
 ..
 .. 
A ∈ mat(m×n, K), x =  .  Ax =  .

a11 x1 + · · ·
 ..
..
 .
.
am1 x1 + · · ·
xn
 
+a1n xn
 
..
=
.
+amn xn
95

b1
.. 
. 
bm
am1
...
..
.
...


x1
a1n
  .. 
..
 .  =
.
xn
amn


b1


A = (aij )
b =  ...  : Ax = b ist ein System von linearen
bm
Gleichungen; ausführlich:
a11 x1 +
..
.
a12 x2 +
..
.
···
..
.
+a1n xn
..
.
= b1
..
.
am1 x1 + am2 x2 + · · · +amn xn
= bm
Spezialfall: m = n
Angenommen es existiert B ∈ M (n × m, K) : BA = En = AB
(Schreibweise B = A−1 ) BAx = Em x x = Bb
Definition:
A ∈ mat(m×m, K) heißt invertierbar, falls ein B ∈ mat(m×m, K) :
A · B = Em = B · A
B ist durch A eindeutig bestimmt und heißt die zu A inverse Matrix
Schreibweise: B =: A−1
Beispiel:
A=
A−1
1
1
−1
Ax = b
0
1
, A
=A ,
−1
=
1
0
−1 1
(A · B)−1 = B −1 · A−1
BA = En , En x = x
B(Ax) = Bb
(BA)x = Bb
x = Bb
x1
b1
x=
,b =
x2
b2
1 0
x1
x1
b1
x1
=
=
⇒x=
=
1 1
x
x +x2
b2
x2
2 1
1
0
b1
b1
=
−1 1
b2
b2 −b1
t
A = (a
ij ), A = (aji Heißt die zu A transponierte Matrix z.B. A =

a1
 ..  t
 .  , A = (a1 , . . . , an )
an
Seien V,W K-Vektorräume. Dann definiert man HomK (V, W ) :=
{f : f ist K-lineare Abbildung von V nach W} Das ist auch ein
K-Vektorraum.
(f + g)(ν) := f (ν) + g(ν) (α · f )(ν) := α · f (ν)
∀f, g ∈ Homν (V, W ) ∀ν ∈ V, ∀α ∈ K
96
Satz:
Sei {v1 , . . . , vm } eine Basis von V. Und sei {w1 , . . . , wn } eine Basis
von W. Dann ist die folgende Abbildung ein Isomorphismus:
HomK (V, W ) −→ M at(m × n, K)
f −→ Af ({v1 , . . . , vm }, {w1 , . . . , wn })
Erinnerung:
f (v1 ) = a11 · w1 + . . . + a1n · wn
..
.
f (vm ) = am1 · w1 + . . . + amn · wn
Af ({v1 , . . . , vm }, {w1 , . . . , wn })


a11 · · · a1n
 ..

. . ..
 .

. .
am1
· · · aamn
Satz:
Seien U, V, W drei endlichdimensionale Vektorräume und seien
f
g
U → V → W K-lineare Abbildungen. Dann gilt bezüglich geeigneter Basen:
Ag◦f = Af · Ag
97
3.2
§2 Lineare Gleichungssysteme
Sei K ein Körper : A ∈ mat(m × n, K), y ∈ mat(m × 1, K)
Gesucht x ∈
Ax =y. Ausführlicher
sieht
mat(m × 1, K), sodaß
 (∗) 

a11 · · · a1n
x1
y1

  ..   .. 
. . ..
(∗) so aus:  ...
  .  =  .  , ausgeschrie. .
am1 · · · amn
a11 x1 +a12 x2
a21 x1 +a22 x2
ben also so: .
..
..
.
a11 x1 +a12 x2
xn
+...+
+...+
..
.
a1n xn
a2n xn
..
.
yn
= y1
= y2
..
.
+ . . . + a1n xn
= y1
Das ist ein Syszem von m linearen Gleichungen in n Unbestimmten
x1 , . . . , xn
Fragen:
Ist (∗) lösbar? Genauer: Wie hängt die Lösbarkeit von (∗) von A und
y ab? Wenn (∗) lösbar ist, wie bestimmt man dann die Lösungsmenge?
 
0
 .. 
(∗)0 Ax = 0 =Nullvektor .  Zugehörige homogene System“
”
0
Sprechweise:
A heißt Koeffizientenmatrix: (A,y) die erweiterte Koeffizientenmatrix.
` := {x ∈ mat(n × 1, K) : Ax = y} Heißt Lösungsmenge von (∗).
`0 := {x ∈ mat(n × 1, K) : Ax = y} Heißt Lösungsmenge von (∗)0 .
Zusammenhang mit linearen Abbildungen.
A : mat(n × 1, K) → mat(m × 1, K)
x → Ax
A ist lineare Abbildlung; Kern(f ) = `0
Konsequent:
`0 gilt als bestimmt, wenn eine Basis bekannt ist, sofern `0 6= {0}
Satz:
Falls (∗) lösbar ist, d.h. falls `0 6= {0}, und falls x0 ∈ `o ⇒ ` = x0 +`0
Also bietet sich folgender Weg zur Behandlung von (∗) an.
98
(1) Man findet ein Kriterium in Abhängigkeit von A und y, ob (∗) überhaupt lösbar ist.
(2) Wenn (∗) lösbar ist, bestimme man 1. Lösung x0
(3) Dann bestimme eine Basis von `0
(4) Dann bilde man ` = x0 + `0 ( affine Raum “)
”
Beweis der Aussage wenn ` 6= 0 ⇒ ` = x0 + `0 . Angenommen
”
”
x0 , x1 sind zwei Lösungen von Ax = y, d.h. Ax0 = y = Ax1 ⇒
Ax0 − Ax1 = A · · · (x0 − x1 ) = 0 → x0 − x1 ∈ `0 Oder x1 ∈ x0 + `0 ,
| {z }
y−y
d.h. x1 = x0 + z mit z ∈ `0 //
Sei A ⊂ M (m × n, K)
Definition:
Rg(A) := Rang(A) := maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten.
Satz:
Rg(A) = Dimension der linearen Hülle der Spalten von A = Dimension des Bildes von A
Begründung:
Amat(n × 1, K) = K n → mat(m × 1, K) = K m



e1 , . . . , en kanonische Basis von K n A · · · et i = 

a1i
a2i
..
.





ani
⇒ Bild von A = lineare Hülle der Spalten von A //
Satz:
` 6= 0 ⇔ Rg(A) = Rg(A, y)
Begründung:
Sei ` 6= 0 ⇒ y ∈ Bild (A) = lineare Hülle der Spalten von A
⇒ Rg(A) = Rg(A, y). Umgekehrt Rg(f ) = Rg(A, y) ⇒ y ist lineare
abhängig von den Spalten von A, also in der linearen Hülle, also y ∈
Bild (A), d.h. ∃x0 : Ax0 = y //
Gaußer Algorithmus zur Bestimmung von Rg(A) beziehungsweise
Rg(A, y)
Elementare Umformungen für A oder (A,y):
(I) Vertauschen von 2 Zeilen.
99
(II) Multiplikation einer Zeile mit einem Element α ∈ k, α 6= 0.
(III) Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile.
(S) Vertauschen von 2 Spalten.
Bei den Umformungen (I), (II) und (III) bleibt Rg(A, y) unverändert.
Beispiel:

1
 2
3
3
3
4
 
  

4
x1
7
1 3
1  ,  x2   4  (A, y) =  2 3
2
x3
1
3 4
4
1
2

7
4 
1
Durch
 Anwendung der
 obigen Umformungen wird (A, y) überführt
1 0 0 −9
in  0 1 0 8 
0 0 1 −2
(∗) A · x = y
(∗0 )A · x = 0
Angenommen (∗) ist lösbar, dann läßt sich die Matrix (A, y) durch
elementare Umformungen von Typ (I), (II), (III) oder (S) in eine
Matrix der folgenden Form überführen.


1 0 ... 0 x
.. .. 
 ..
 . 1
. . 


 ..
.. 
 . 0
. 


 .

.
..
 ..

x


 0 ... 0 1 ∗ 
0
0
Es gilt r = Rg(A, y), weil die ersten r Spalten linear unabhängig
sind und die letzten Linearkombinationen der ersten r Spalten sind.
Das zugehörige lineare Gleichungssystem ist (mit einer evtl. Umnummerrierung der ursprünglichen Unbestimmten, je nach Anwendung
der Umformung vom Typ(S))
x1 + . . . + d1,r+1 xr+1 + . . . + d1,n xn = y1
x2 + . . . + d2,r+1 xr+1 + . . . + d2,n xn = y2
xr + dr,r+1 xr+1 + . . . + dr,n xn = yr
Daraus läßt sich im Falle der Lösbarkeit von (∗) durch auflösen nach
xr bis x1 eine Lösung von (∗) ermitteln. Ist y = 0, so auch y 0 = 0



y1
 . . .  = y 0 
yn
Rechenbeispiel:
100
x1 + 3x2 + 4x3 = 7
2x1 + 3x2 + x3 = 4
3x1 + 4x2 + 2x3 = 1


1 3 4
A =  2 3 1 ,
3 4 2

1 3 4
(A, y) =  2 3 1
3 4 2


 
x1
7
x =  x2  , y =  4 
x3
1

7
4 
1
Subtraktion geeigneter von 0 verschiedener Vielfacher der ersten Teile von den übrigen ergibt




1 3
4
1 3
4
7
7
1
4 
z2 −2z1  0 −3 −7 −10 
z3 −3z1  2 3
0 −5 −10 −20
0 −5 −10 −20




1 3
4
7
7
1 3
4
4
0 
z3 −2z2  0 −3 −7 −10 
z2 ↔ z 3  0 1
0 1
4
0
0 −3 −7 −10




1 3 4 7
1 3 4
7
1
 0 1 4 0 
0 
z3 + 3z2  0 1 4
5 · z3
0 0 5 −10
0 0 1 −2
Lösungsmenge von (∗) = Lösungsmenge von:


x1 + 3x2 + 4x3 = 7

x2
+ 4x3 = 0  ⇒ x1 = −9, x2 = 8, x3 = −2
x3
= −2
Man kann auch

1
z1 − 3z2  0
0

1
z2 − 4z3  0
0
weitermachen:



0 −8 7
1 0 0 −9
1 4
0 
z1 + 8z3  0 1 4 0 
0 1 −2
0 0 1 −2

0 0 −9
1 0 8  ⇒ x1 = −9, x2 = 8, x3 = −2
0 1 −2
Ax = y, L = x0 + L0 , L0 = Lösungsmenge von (∗)0 : Ax = 0. L0
ist ein Vektorraum und als solcher durch eine Basis bestimmt. Das
homogene System (∗)0 läßt sich durch elementare Umformungen auf
die folgende Form bringen:
x1 + . . . + b11 xr+1 + . . . + b1,n−r xn = 0
x2 + . . . + b21 xr+1 + . . . + b2,n−r xn = 0
xn + br1 xr+1 + . . . + br,n−r xn = 0
101
1. Fall: n = r, dann ist die 0-Lösung die einzige Lösung von (∗)0
2. Fall: n > r, wählt
 manxr+1 , . . . , xn beliebig und löst nach x1 , . . . , xr
x1
 ..

 .



 xr


auf ⇒ x = 
 xr+1  ist eine Lösung.


 .

 ..

xn







Also gilt: Definiert man l1 = 







−b11
−b21
..
.

−b1,n−r
−b2,n−r
..
.












 , . . . , ln−r =  −br,n−r

 0



 0



 .

 ..
1
−br1
1
0
..
.
0














⇒ l1 , . . . , ln−r ist eine Basis von L0
Rechenbeispiel:
x1
−x1
2x1
x1
+2x2
−2x2
+4x2
+2x2
+x3
−2x3
+3x3
+2x3
+x4
+2x4
−x4
−2x4
+x5
x5
−x5
=0
=0
=0
=0
→
1
−1
2
1
2
−2
4
2
1
1
1
−2 2
1
3
−1 0
2
−2 −1
EINFÜGEN
⇒ Also r = 2
 

−4
−2
 0   3

 
 1 , 0

 
 0   1
0
0
 
 
 
,
 
 
−3
2
0
0
1






Ist Basis des Lösungsraums von:
x1

+2x3
x2

+4x4
−3x4

+3x5
−2x5

=0
=0


 
 
x3
α1
1
0
0
 x4  =  α2  = α1 ·  0  + α2 ·  1  + α3 ·  0 
x5
α3
0
0
1
Vertauschung der 2-ten und 3-ten Spalte rückgängig machen, ergibt
für das System, von dem wir ausgegangen sind, die folgende Basis
für den Lösungsraum.
102
0
0
0
0



l1 = 


−2
1
0
0
0






 , l2 = 




−4
0
3
1
0






 , l3 = 




−3
0
2
0
1






Zusammenfassung:
Satz:
Sei K ein Körper und seien A ∈ mat(m × n, K), y ∈ mat(m × 1, K)
(∗)
gegeben. Sei ` := {x ∈ mat(n × 1, K) : Ax = y} und sei `0 := {x ∈
(∗)0
mat(n × 1, K) : Ax = 0}, dann gilt:
a) ` 6= ∅ ⇔ Rg(A, y) = Rg(A)
b) Sei Rg(A, y) = Rg(A). Dann gilt :` = z + `0 , wobei z ∈ `.
Außerdem gilt: `0 ist ein Untervektorraum von mat(n × 1, K) = K n .
Man findet ein z ∈ `0 wie folgt. Durch elementare Umformungen
vom Typ (I), (II), (III) und (S) läßt sich (∗) in ein lineares Gleichungssystem überführen.
x1 + . . . + d1,r+1 xr+1 + . . . + d1,n xn = y1
x2 + . . . + d2,r+1 xr+1 + . . . + d2,n xn = y2
xr + dr,r+1 xr+1 + . . . + dr,n xn = yr
Mit 0 ≤ r ≤ n
Sodann wählt man für xr+1 , . . . , xn Elemente aus K und löst dann
nach xr , xr−1 , . . . , x1 auf. Nachdem man die durch Umformungen
vom Typ (S) bewirkten Variablenvertauschungen rückgängig gemacht
hat, erhält man auf diese Weise ein z ∈ `.
c) Durch elementare Umformungen vom Typ (I), (II), (III) und (S)
läßt sich (∗)0 in ein lineares Gleichungssystem der folgenden Form
überführen. (∗)00 =
x1 + . . . + b11 xr+1 + . . . + b1,n−r xn = 0
x2 + . . . + b21 xr+1 + . . . + b2,n−r xn = 0
xn + br1 xr+1 + . . . + br,n−r xn = 0
Für n = r ist der Nullvektor offenbar die einzige Lösung von (∗)00 .
Sei r < n. Dann wählt man für xr+1 , . . . , xn Elemente aus K und
löst nach xr−1 , . . . , x1 auf und erhält auf diese Weise eine Lösung
von (∗)00 . Daraus erhält man eine Lösung von (∗)0 , indem man die
durch Umformungen vom Typ (S) bewirkten Variablenvertauschungen rückgängig. Es folgt:
103



−b1,1
−b1,n−r
 ..

 ..
 .

 .



 −br,1 
 −br,n−r






l1 :=  1
 , . . . , ln−r :=  0
 0

 .


 ..
 .


.
 .

 0
0
1












Ist eine Basis des Lösungsraums von (∗)00 .
Daraus erhält man eine Basis von `0 , indem man die durch Umformungen vom Typ (S) bewirkten Variablenvertauschungen rückgängig
macht.
Ergänzung zu §1:
Sei V ein R-Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung: ( , ) : V × V → R, so daß gilt:
(v, v) ≥ 0 ∀v ∈ V, (v, v) = 0 ⇔ v = 0
(v, w) = (w, v) ∀v, w ∈ V
(αv + βw, u) = α(v, u) + β(w, u) ∀α, β ∈ R ∀u, v, w ∈ V
Beispiel:
V = Rn v = (v1 , . . . , vn ), w = (w1 , . . . , wn ) ∈ Rn
(v, w) := v1 w1 + v2 w2 + . . . + vn wn
(v, v) := v11 + v22 + . . . + vnn ≥ 0
(v, v) = 0 ⇔ v1 = 0, v2 = 0, . . . , vn = 0 0-Vektor
Sei V ein R-Vektorraum. Eine Abbildung | | V → R heißt Norm auf
V ⇔ |v| ≥ 0 ∀v ∈ V, |v| = 0 ⇔ v = 0, |α · v| = |α| · |v|, |v + w| ≤
|v| + |w| ∀α ∈ K ∀v, w ∈ V
Sei ( , ) : V × V → R ein Skalarproduktpauf V. Dann erhält man
eine Norm | | : V → R wie folgt: |v| := + (v, w)
Beispiel:
( , ) : Rn × Rn , (v, w) :=
n
X
v
u n
uX 2
vi
vi wi ⇒ |v| = +t
i=1
i=1
p
Speziell Für n = 2 |v| = v12 + v22
Sei V ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt ( , ) : V × V → R für
u, v ∈ V \{0}. Definiert man den Cosinus des Winkels < (u, v) wie
(u,v)
folgt: cos(< (u, v)) := |u|·|v|
Cosinussatz:
104
∀u, v ∈ V \{0} gilt:
|u − v|2 = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos(< (u, v))
Folgerung:
Wenn (u, v) = 0 ⇒ Satz des Pythagoras
|u − v|2 = |u|2 + |v|2
Beweis des Cosinussatzes:
|u − v|2 = (u − v, u − v) = (u, u − v) − (v, u − v)
= (u, u) − (u, v) − (v, u) + (v, v)
= (u, u) − 2(u, v) + (v, v)
= |u|2 + |v|2 − 2|u||v|cos(< (u, v))
(u,v)
cos(< (u, v)) = |u||v|
∀u, v ∈ V \ {0} , ( , ) : V × V → R Im Fall
V = R2 stimmt diese Definition von cos mit der bekannten überein:
u
v
, |v|
Behauptung: Für V = R2 gilt cos(< (u, v)) = |u|
u
Beweis: Wegen |u|
=
1
|u| |u|
v
= 1, |v|
= 1 OE |u| = 1 = |v|
Beweis: ZEICHNUNG am Einheitskreis
u = x = (x1 , x2 ), v = y = (y1 , y2 )
cos(ϕ + ψ) = y1 , cos(ψ) = x1
sin(ϕ + ψ) = y2 , sin(ψ) = x2
y1 = cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ = cos ϕx1 − sin ϕx2
y2 = sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ = sin ϕx1 + cos ϕx2
⇒ sin ϕ =
⇒ y2 +
cos ϕx1 −y1
,
x2
y1 x1
x2
y2 =
cos ϕx21 −y1 x1
x1
+ cos ϕx2
x2
= cos ϕ( x12 + x2 ) ⇒ y2 x2 + y1 x1 = cos ϕ (x21 + x22 )
| {z }
1
Cosinunssatz: ∀u, v ∈ V \ {0} gilt :
|u − v|2 = |u|2 + |v|2 − 2|u||v| cos(< (u, v)) (u, v) = 0 ⇒ cos(<
(u, v)) = 0 ⇒ |u − v|2 = |u|2 + |v|2
Satz: (Ungleichung von Cauchy - Schwarz)
|(u, v)| ≤ |u||v| ∀u, v ∈ V
Satz: (Dreiecksungleichung)
|u + v| ≤ |u| + |v| ∀u, v ∈ V
105
3.3
§3 Determinanten
Definition:
Sei K ein kommutativer Ring mit Einselement 1. Sei n ∈ N. Eine
Abbildung d : mat(ntimesn, K) → K heißt Determinante, falls gilt:
(1) d ist multilinear, d.h. d(. . . , αxk + βyk , . . .) = α · d(. . . , xk , . . .) +
β · · · d(. . . , yk , . . .) für alle α, β ∈ K und für alle xk , yk ∈ mat(n ×
1, K). Dabei stehen die Punkte . . . für unveränderte xi ∈ mat(n ×
1, K).
(2) Ist k 6= l und xk = xl ⇒ d(. . . , xk , xl , . . .) = 0
(3) d(En) = 1 Sn = {σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n}bijektiv} Schreibweise:
1
2
3
... n
σ=
darstellbar als Verknüpfung
σ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)
(Produkt) von Transpositionen (i,j).
(σ) := (−1) Anzahl der Transpositionen für σ ∈ {±1}
(σ) heißt das Vorzeichen von σ
Es folgt: d(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) = (σ)d(x1 , . . . , xn ) A = (aij ) ⇒ d(A) =
X
(σ)a1σ(1) · a2σ(2) . . . anσ(n)
σ∈Sn
Satz:
Es gibt genau eine Determinante d mat(n
X × n, K) → K; diese ist
durch die Formel von Leibniz d(A) =
(σ)a1σ(1) ·a2σ(2) . . . anσ(n)
σ∈Sn
gegeben.
Es Folgt:
n = 1 A = (a): det(A) = a
a11 a12
n = 2 det A =
= a11 a22 − a12 a21
a21 a22



a11 a12 a13
a22 a23




a21 a22 a23
= a11 · det
−
n = 3 det A =
a32 a33
a
a
a
31
23
33
a21 a23
a21 a22
a12 ·det
+a13 ·det
= a11 a22 a33 −a11 a32 a23 −
a31 a33
a31 a32
a12 a21 a33 + a12 a31 a23 + a13 a21 a32 − a13 a31 a22
Satz:
∀A = (aij ) ∈ mat(n × n, K) gilt d(A) =
n
X
akj mit Ad(akj ) =
j=1
(−1)k+j d(Akj ) wobei Ahj ∈ mat((n − 1) × (n − 1), K) aus A durch
streichen der k-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.
106
Die Formel für d(A) in dem letzen Satz heißt die Entwicklung nach
der k-ten Zeile
Man schreibt für d(A) auch det(A) (Manchmal auch —A—)
Definition:
A = (aij ).At := (bij ) mit bij = aij At heißt die zu A transponierte
Matrix.
Formel von Leibniz ⇒ det(A) = det(At )
Satz:
∀A = (aij ) ∈ mat(n×n, K) ∀l ∈ {1, 2, . . . , n} gilt det(A) =
n
X
ail Ad(ail )
i=1
Entwicklung nach der l-ten Spalte.
Beispiele:



En = 


1
..
.
..
.
0

0 ··· 0
1 ···
.. . .
.
.
0 0
a1
 ..
 .
A=D=
 .
 ..
0
0 + 0 − ... = 1
0
..
.



 ⇒ det(En ) = 1 det(En−1 ) − 0 + 0 . . .


1
0
··· 0
a2
..
.
···
..
.
0
0
0
..
.




 , det(D) = d1 ·det 



an
a2
..
.
0
···
..
.
···
0
..
.


−
an
Durch Induktion über n zeigt man.
Satz: (Multiplikationssatz für det)
det(A · B) = det(A) · det(B) für alle A, B ∈ mat(n × n, K).
Satz:
A ∈ mat(n × n, K) ist invertierbar ⇔ det(A) ist invertierbar. Wenn
A invertierbar ist, dann gilt A−1 = (det(A))−1 · (Ad(aij ))t
Anwendungsbereich LG Systeme Ax = y A−1 Ax = En x = x =
A−1 y
Beispiel:
A=
a b
c d
, det(A) = ad − bc
Sei ad − bc 6= 0 ⇒ A−1 existiert. a11 = a, a12 = b, a21 = c, a22 = d
Ad(a11 ) = (−1)1+1 det(A11 = +1 · d = +d
107
Ad(a12 ) = (−1)1+2 det(A12 = −1 · c = −c
Ad(a21 ) = (−1)2+1 det(A21 = +1 · b = −b
Ad(a22 ) = (−1)2+2 det(A22 = −1 · a = +a
T d
−c
d
−b
d
−b
1
=
⇒ A−1 = ad−bc
−b a
−c a
−c a
a
−b
ad −bc
d
−b
1
1
−1
AA = ad−bc
= ad−bc
−c d
ca −dc
−c a
E2
ba −ab
bc ca
Beispiel:


−1 1
1
−1 1  Existiert A−1 , und wenn ja, was ist A−1 ?
A= 1
1
1
−1
−1 1
1 1
1 −1
det(A) = (−1)
(−1)
+1
=
1
−1
1 −1
1 1
(−1) · 0 + (−1) · (−2) + 1 · 2 = 4
Invertierbar z.B. in R (nicht in Z).
Abkürzung Ãij = λi+j det(Aij )
Ã11 = 0 Ã12 = 2 Ã13 = 2
Ã21 = 2 Ã22 = 0 Ã23 = 2
Ã31 = 0 Ã32 = 2 Ã33 = 0

0
⇒ A−1 = 1 (Ãij )t =  1
4
2
1
2
1
2
0
1
2
1
2
1
2


0
Beispiel:


cos(α) sin(α) 0
A =  sin(α) cos(α) 0 
0
0
1
cos(α) sin(α)
det(A) =
= 1 Also A−1 ∈ mat(n × n, R) exisin(α) cos(α)
stiert.
Ã11 = cos(α) Ã12 = − sin(α) Ã13 = 0
Ã21 = sin(α) Ã22 = cos(α) Ã23 = 0
Ã31 = 0 Ã32 = 0 Ã33 = 1


cos(α) sin(α) 0
A−1 = 11  sin(α) cos(α) 0 
0
0
1
108
=

−1 

cos(α) − sin(α) 0
cos(α)
sin(α) 0
 sin(α) cos(α) 0  =  − sin(α) cos(α) 0 
0
0
1
0
0
1
Definition: K ein Körper, V endlicher K-Vektorraum, f : V → V K-lineare
Abbildung.
det(f ) = det(A), wobei A Matrix zu f .
Ist diese Definition sinnvoll?
Dazu: B = {v1 , . . . , vn }, B 0 = {v10 , . . . , vn0 } seien Basen von V, t: V →
V sei die K-lineare Abbildung V → V mit t(vi ) = vi0 , i = 1, . . . , n
⇒ At (B, B 0 )−1 Af (B, B)At (B, B 0 ) = Af (B 0 , B 0 )
⇒ det(At (B, B 0 )−1 Af (B, B)) = det(Af (B, B))
|
{z
}
det(Af (B 0 ,B 0 )
Definition: A, B ∈ mat(n × n, K) heißen ähnlich ⇔ Es existiert eine invertierbare Matrix T ∈ mat(n × n, K): B = T AT −1
⇒ det(B) = det(T AT −1 ) = det(T ) det(A) det(T −1 ) = det(A)
Bemerkung: ”Ähnlichkeit” von Matritzen ist eine Äquivalenzrelation.
109
3.4
§4 Eigenwerte und Eigenvektoren
K Körper, n ∈ N. Jede Matrix A ∈ mat(n × n, K) definiert die
lineare Abbildung:
A K n → k n , x → Ax (x Spaltenvektor)
Definition:
λ ∈ K heißt Eigenvektor von A, falls x ∈ K n {0} existiert, so daß
Ax = λx Jedes x ∈ Kn {0} mit Ax = λx heißt Eigenvektor zu λ.
Also:
x ist nichttriviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems
(A − λEn )x = 0. t sei eine Unbestimmte über K.
Definition:
χ(A, t) = det(A − λEn ) ∈ K[t] heißt charakteristisches Polynom von
A.
Satz:
λ ist Eingenwert von A ⇔ λ ist Nullstelle von λ(A, t)
Beweis:
λ ist Eigenwert von A ⇔ Kern (A − λEn ) 6= 0 ⇔ A − λEn ist nicht
injektiv ⇔ A − λEn ist nicht invertierbar ⇔ λ(A, λ) = det(A −
λEn ) = 0 //
Definition:
Sei λ ∈ K E(λ) = Kern(A − λEn ) heißt Eigenraum zu λ.
Beispiel:

1 0
A= 0 1
1 1

1
1 
0
Gesucht: Die Eigenwerte von A und

1
χ(A, t) = det(A − tEn ) = det  0
1


1−t 0
1
1−t 1 
det  0
1
1
−t
die zugehörigen Eigenräume.
 

0 1
t 0 0
1 1  −  0 t 0  =
1 0
0 0 t
= (1−t)((1−t)(−t)−1)−0·(. . .)+1(t−1) = (1−t)(t2 −t−1)+(t−1) ⇒
t1 = 1, t2 = −1, t3 = 2 ⇒ λ1 = 1, λ2 = −1, λ3 = 2 Sind die
Eigenwerte von A.
110
Eigenraum von Eigenwert λ1 = 1 (A − 1En )x = 0



 


0 0 1
x1
1
 0 0 1   x2  = 0 ⇒ E(1) = α  −1  α ∈ R
1 1 −1
x3
0
  1 

  

−2
1
Ähnlich: E(−1) = α  − 12  α ∈ R E(2) = α  1  α ∈ R
1
1
Satz:
Für K = C existieren immer Eigenwerte.
A ∈ mat(n × n, K) λ ∈ K Eingenwert von A ⇔ χ(A, λ) = 0
K[t] 3 χ(a, t) := det(A − tEn ) = χA (t)
Bemerkung:
χ(A, t) = χ(At , t), χ(SAS −1 , t) = χ(A, t)
Begründung:
det(At − t · En ) = det(A − t · En )t ) = det(A − t · En )
det(SAS −1 − tEn ) = det(S(A − tEn )S −1 ) = det(A − tEn )
Definition:
V sei ein K-Vektorraum f : V → V sei K-linear λ ∈ K heißt Eigenwert von f :⇔ Es existiert v ∈ V, v 6= 0 : f (v) = λ · v
Beispiel:
V = K N = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ K}
f : V → V, f ((x1 , x2 , . . .)) = (0, x1 , x2 , . . .) K-lineare Abbildung
f hat keinen Eigenwert. Annahme doch: Sei dann λ ein Eigenwert
und v = (x1 , x2 , . . .) ein Eingenvektor. Dann gilt (0, x1 , x2 . . .) =
(λx1 , λx2 , . . .) ⇒ λx1 = 0, λx2 = 0 . . .
OEλ 6= 0 ⇒ x1 = 0, x2 = 0 Widerspruch
Satz:
dim V < ∞, f : V → V K-linear ⇒ (λ Eigenwert zu f ⇔ λ ist
Eigenwert zu irgendeiner Matrix, die f beschreibt.
Begründung:
Sei A eine Matrix zu f. Dann ist jede andere Matrix zu f von der
Form: SAS −1 χ(A, t) = χ(SAS −1 , t)
Satz:
Sei A ∈ mat(n × n, K). Dann gilt : Eigenvektoren zu paarweise
verschiedenen Eingenwerten sind linear unabhängig.
111
Beweis:
Seien λ1 , . . . , λm paarweise verschiedene Eigenwerte von A und seien
x1 , . . . , xm zugehörige Eigenvektoren. Sein α1 , . . . , αm ∈ K
α1 x1 + α2 x2 + . . . + αm xm = 0
Es gilt: (A − λi E)xi = 0, (A − λi E)xi = (λj − λi )xj
| {z }
6=0
(A − λ2 E) · (A − λ3 E) = . . . = (A − λm E)(α1 x1 + . . . + αm xm ) = 0
α1 (λ1 −λm )(λ1 −λm−1 ) . . . (λ1 −λ2 )x1 +α2 (λ2 −λm ) . . . (λ2 − λ2 ) x2 +
| {z }
=0
...
α1 (λ1 − λm ) (λ1 − λm−1 ) . . . (λ1 − λ2 ) x1 = 0
| {z } |
{z
}
| {z }
6=0
6=0
6=0
⇒ α1 = 0 weil x1 als Eigenvektor 6= 0
Definition:
A ∈ mat(n × n, K) heißt diagonalisierbar ⇔ Es existiert eine invertierbare Matrix T ∈ mat(n×n, K) T AT −1 = D = Diagonalmatrix


λ1
0


..
d.h. D = 

.
0
λ


χ(A, t) = χ(D, t) = det 
λ1 − t
0
..
0
.

 Qn
 = i=1 (λi , −t) ⇒
λn − t
λ1 , . . . , λn Eigenwerte von A
Definition:
A ∈ mat(n × n, K) Angenommen λ ist ein Eigenwert von A. Die
algebraische Vielfachheit a(λ) von λ ist die Vielfachheit von λ als
Nullstelle von χ(A, t). Die geometrische Vielfachheit g(λ) ist die Dimension des Eigenraumes E(λ) von λ.
Man kann zeigen: g(λ) ≤ a(λ).
Satz:
Sei A ∈ mat(n × n, K). Die folgenden Aussagen sind äquivalent
(a) A ist diagonalisierbar.
(b) χ(A, t) zerfällt vollständig in lineare Faktoren über K, d.h.
es gilt χ(A, t) = (λ1 , −t)(λ2 , t) . . . (λn , t)a mit λi ∈ K, a ∈
K, und es gilt a(λi ) = g(λi ) für i = 1, . . . , n.
112
Beispiel:
K = R, A =
0
1
−1 0
, χ(A, t) = det
−t 1
−1 −t
= t2 + 1
√
t1,2 = ± −1 ∈
/R
Also hat A keinen reellen Eigenwert, insbesondere zerfällt χ(A, t)
nicht in Linearfaktoren über R
1 1
1−t 1
K = C, A =
, χ(A, t) = det
= (1 − t)2 , 1
0 1
0
1
−
t
0 1
x1
ist Eigenwert a(1) = 2
= 0, x2 = 0, x1 beliebig,
0 0
x2
1
{α
: α ∈ C}, g(1) = dim E(λ) = 1
0
⇒ A nicht diagonalisierbar.
113
E(1) =
3.5
§5 Reelle symmetrische Matritzen
114
4
Hausaufgaben
4.1
Blatt 1
1. Zählen sie für M = {1} und N = {a, b} alle Elemente der Menge
P((M × N ) ∪ (N × N )) auf. (3P)
2. Seien M und N nichtleere Mengen und sei f : M → N eine Abbildung.
Zeigen Sie {(a, b) ∈ M × M : f (a = f (b))} ist eine Äquivalenzrelation auf
M.
Gegeben sei in diesem Falle (M = R×R, N = R, f (x, y) = x2 +y 2 ) eine geometrische Beschreibung der entsprechenden Äquivalenzklassen. (3P)
3. Sei u1 = 1,
u2 = 2,
un = un−1 + un−2 für n = 3, 4, . . .
Zeigen sie, dass hierdurch
rekursiv eine Zahlenfolge (un )n=1,2,... definiert
n
ist, so dass un ≤ 47 für alle n ∈ N
4.2
Blatt 2
1. Bestimmen sie die Elemente f, g ∈ S3 so, dass jedes Element aus S3 als
Verknüpfung von Elementen aus der Menge {f, g} dargestellt werden kann.
(2P)
2. Sei a eine reele Zahl. Bestimmen sie in den folgenden Fällen jeweils – in
Abhängigkeit von a – das Bild der Abbildung f : M → N und jedes b aus
dem Bild von f – in Abhängigkeit von a und b – die Urbildmenge von b
unter f .
a) M = R = N,
b) M = C = N,
3.
f (x) := x2 + ax
2
f (z) := z + az
(1P)
(1P)
a) Bestimmen sie x, y ∈ R so, dass
(2 + 5i)−1 = x + yi
(1P)
b) Bestimmen sie alle (r, ϕ) ∈ R≥0 × [0, 2π) so, dass
[r, ϕ]3 = −2 + 2i
(1P)
c) Bestimmen sie alle (x, y) ∈ R × R so, dass
(x + yi)3 = −2 + 2i
(2P)
4.2.1
Ansätze und Hilfen Blatt 2
1. x = {1, 2, . . . , n},
Sn := {f : f : x → x ist bijektive Abbildung}
|S3 | = 6 Elemente, alle hinschreiben
2. f : M → N Abbildung
Bild (f ) = {f (m) : m ∈ M }
n ∈ N , Urbild von n unter f := {m ∈ M : f (m) = n}
mit pq-Formel
115
4.3
Blatt 3
1. Bestimmen Sie für das Ploynom p(x) = x6 + x5 + x4 − x3 + x2 − x + 2 und
das Polynom s(x) = x2 + 1 aus q[x] Polynome q(x), r(x) ∈ Q[x] so, dass
p(x) = q(x)s(x) + r(x) und Grad(r(x)) ≤ 1. (2P)
2. Bestimmen Sie für die nachfolgend definieten Teilmengen M ⊂ R jeweils,
falls vorhanden, das kleinste und das größte in M enthaltene Element,
sowie das Infimum und das Supremum von M .
n
(a) M := { 2n : n ∈ N}
(b) M :=
(c) M :=
n
{ (−1)
n
{1 + n1
(1P)
: n ∈ N}
: n ∈ N}
(1P)
(1P)
a2 +x
n
3. Sei a0 und x reelle Zahlen > 0. Sei an+1 = 2a
für n = 0, 1, 2, . . .. Zein
gen sie, dass die Folge an konvergiert und berechnen sie ihren Grenzwert.
(3P)
4.4
Blatt 4
1. Sei (an )n∈N eine Folge von reellen Zahlen mit folgenden Eigenschaften. Es
existiert eine reelle Zahl k mit 0 < k < 1 und |am+2 − an+1 | ≤ k · |am+1 − an |
für alle m, n ∈ N. Beweisen sie, dass (an ) konvergiert und, dass für a := lim an
n→∞
kn
|a2 − a1 |
(3P)
und alle n ∈ N gilt: |an+1 − a| ≤
1−k
2. Überprüfen sie jeweils, welche der folgenden Mengen von Vektoren im
R-Vektorraum R3 linear abhängig bzw. linear unabhängig sind. Welche
bilden ein Erzeugendensystem bzw. eine Basis.
a) {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ⊂ R3
b) {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)} ⊂ R3
c) {(1, 1, 0), (0, 1, 0)} ⊂ R3
(3P)
3. Welche der folgenden Teilmengen des R-Vektorraums Rn ist ein Unterraum, welche nicht?
a) {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn
b) {(x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn
:
:
n
X
i=1
n
X
i=1
(2P)
116
xi = 0}
xi = 1}
4.5
Blatt 5
1. Sei a ∈ R, a 6= 0 Bestimmen sie die Menge aller x ∈ R so, dass die
nachstehende unendliche Reihe konvergiert und berechnen sie im Fall der
Konvergenz ihren Wert in Abhängigkeit von a und x.
∞
X
xn
(−1)n (n + 1) n
a
n=0
(3P)
2. Seien f, g : R → R stetige Abbildungen (Funktionen) mit f (x) = g(x) ∀x ∈
Q. Zeigen sie, dass dann f = g ist.
(2P)
3. Sei K ein Körper und sei V ein K-Vektorraum endlicher Dimension. Sei
U ⊂ V ein Unterraum von V . Zeigen sie, dass dann ein Unterraum W ⊂ V
existiert, so dass V = U ⊕ W ist.
Geben sie im Fall K = R, V = R3 , U = h{(1, 1, 0)}i einen Unterraum
an, so dass V = U ⊕ W
(3P)
4.6
Blatt 6
1. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit und bestimmen
Sie gegebenenfalls die Unstetigkeitsstellen einschließlich ihres Typs (hebbare Unstetigkeitsstelle oder Sprungstelle?)
(
(a) f : (−3, 1) → R,
f (x) =
(b) f : R → R,
f (x) =
(c) f : R → R,
f (x) =
ex −1
x
0
x + 2 für −3 < x < −2
x − 2 für −2 ≤ x < 0
x + 2 für 0 ≤ x < 1
für x 6= 0
für x = 0
sin(x)
x
1
für x 6= 0
für x = 0
(3P)
2. Berechnen Sie für die Matritzen A :=
3
2
2
1
1
1

,

7 8
B :=  4 −1 
6 5
die Produkte A · B und B · A
(2P)
3. Sei K ein Körper und sei V ein K-Verktorraum endlicher Dimension n.
Sei V ∗ = HomK (V, K) der zu V duale Vektorraum. Geben Sie einen Isomorphismus V → V ∗ an und bestimmen Sie eine Matrix die diesen Isomorphismus beschreibt.
(3P)
117
4.7
Blatt 7
1. Untersuchen sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie die entsprechenden Ableitungen an den Stellen, an denen die
Funktionen differenzierbar sind:
a) f : R → R, f (x) =
b) f : R → R, f (x) =
x2 ∗ cos( x1 ) , falls x 6= 0
0
, falls x = 0
x ∗ cos( x1 ) , falls x 6= 0
0
, falls x = 0
(2 Punkte)
2. Zeigen Sie, dass die nachstehend aufgeführten Funktionen
f, g: (0,
π
)→R
2
differenzierbar sind und berechnen Sie deren Ableitungen.
p
g(x) := + x2 ∗ e4x ∗ cos(x)
f (x) := log(g(x))
(3 Punkte)
3. Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme auf Lösbarkeit
und bestimmen Sie im Falle der Lösbarkeit die entsprechende Lösungsmenge.
x1 + 2x2 + 3x3
a) 2x1 + 6x2 + 14x3
x1 + x2 − x3
= 6
= 32
= −3
x1 + 2x2 + 3x3
b) 2x1 + 6x2 + 14x3
x1 + x2 − x3
= 6
= 32
= −4
(3 Punkte)
118
4.8
Blatt 8
1. Berechnen Sie die folgenden Grenzwert:
ctg(x)
a) limπ
x→ 2
x − π2
1
1
b) lim
−
x→1+ x − 1
log(x)
(2P)
2. Zeigen Sie, dass jede konvexe Funktion f : R → R stetig ist.
(2P)
3. Sei K ein Körper uns sei A ∈ M at(m × n, K). Zeigen Sie, dass die Menge
aller y ∈ M at(m × 1, K), so dass das lineare Gleichungssystem Ax = y
lösbar ist, ein Untervektorraum UA von M at(m × 1, K) ist. Bestimmen
Sie imFall K = R, 
1 −2 1
1 
A :=  2 1
0 5 −1
eine Basis von UA .
(4P)
4.9
Blatt 9
1. Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f : R → R, f (x) =
x−1
(x2 + x + 1)2
(2 Punkte)
2
2. Für jedes
von dem Hyperbelast
p t ∈ R>0 Sei Bt ⊂ R der ebene Bereich, der
xp
1 + t2 eingschlossen
y = 1 + x2 , der y-Achse und der Geraden y =
t
1
wird. Zeigen Sie: F (Bt ) = · arsinh(t)
2
(3 Punkte)
ZEICHNUNG
3. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume der Matrix
√
√ 

1
3 −2
√ · 2
√
 ∈ mat(3 × 3, R)
A =  3√
−3
6
√
−2 2
6 −1
(3 Punkte)
Hilfen
Z
t p
xp
1 + t2 )dx
F (Bt ) =
( 1 + x2 −
t
0
Z tp
1 + x2 dx
0
119
sinh(x) =
1
ex − e−x
,
2
cosh(x) =
120
ex − e−x
,
2
cosh2 (x)−sinh2 (x) =
4.10
Blatt 10
1. Berechnen Sie die folgenden eigentlichen oder uneigentlichen Integrale:
Z 1
dx
√
a)
(1P)
3
1 + 5x
0
Z ∞
dx
b)
(1P)
1
+
x2
−∞
Z ∞
dx
√
c)
(1P)
2
x x2 − 1
1
Z 1
d)
log(x)dx
(1P)
0
2. Zeigen, dass durch
f (x) =
∞
X
cos(n2 x)
n2
n=1
∀x ∈ R
eine stetige Funktion f : R → R definiert ist. (1P)
3. Sei

1 0
A :=  0 0
−2 0

−2
0  ∈ M at(3 × 3, R)
1
Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix S ∈ M at(3 × 3, R), so dass
S t AS =: D eine Diagonalmatrix ist.
Bestimmen Sie außerdem den geometrischen Typ der quadratischen
Fläche, die durch die Gleichung
qD (x1 , x2 , x3 ) = 1
bestimmt wird.
(3P)
121
5
5.1
Lösungen
Blatt 1
122
5.2
Blatt 2
zu 1:
S3 = {f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3}bijektiveAbbildung} Somit sind die Elemente von
S3 allgemein darstellbar in der Form:
1
2
3
f (1) f (2) f (3)
Es ergeben sich somit 6 verschiedene Elemente von S3 :
1 2
1 2
3
3
1 2
2 1
3
3
1 2
3 1
3
2
1 2
1 3
3
2
1 2
2 3
3
1
1 2
3 2
3
1
Als beliebige f, g werden gewählt:
f :=
1 2
3 1
3
2
g :=
1 2 3
3 2 1
Nun lassen sich die restlichen Elemente von S3 als Verknüpfung von f und g
darstellen:
allgemeine
Form:
1
2
3
f ◦g =
f (g(1)) f (g(2)) f (g(3))
f ◦g =
g◦f =
f ◦f =
g◦g =
1 2
2 1
3
3
1 2
1 3
3
2
1
2
2
3
3
1
1 2
1 2
3
3
123
zu 3:
a)
Mit z = a + bi,
⇒
z −1 =
1
a
b
= 2
− 2
∗i
z
a + b2
a + b2
2
5
5
2
−
∗i=x+y∗i
− 2
∗i=
22 + 52
2 + 52
4 + 25 4 + 25
⇒x=
2
29
y=−
5
29
b)
[r, ϕ]3 = −2 + 2i
p
p
√
mit r = x2 + y 2 ergibt sich r = (−2)2 + 22 = 8
−2
3
a
= π
da tan(ϕ) = ⇒ ϕ = arctan
b
2
4
nach Moivre gilt für z n :
√ ϕ + k ∗ 2π
zk = n r,
mit k = 0, ..., n − 1
n
somit folgt für die Aufgabe:
q
3
π + 2π ∗ k
3 √
8, 4
mit k = 0, 1, 2
[r, ϕ] =
3
h√ π i
[r, ϕ]0 =
2,
4
√ 11π
[r, ϕ]1 =
2,
12
√ 19π
[r, ϕ]2 =
2,
12
c)
(x + iy)3 = z 3 = −2 + 2i
Aus Aufgabe 3b wissen wir, dass bei z 3 = −2 + 2i die Ergebnisse für
z wie folgt aussehen:
h√ π i
2,
[r, ϕ]0 =
4
124
[r, ϕ]0 =
[r, ϕ]0 =
√
√
11
∗π
2,
12
19
2,
∗π
12
mit x = r ∗ cosϕ und y = r ∗ sinϕ ergibt sich für die Punkte:
[r, ϕ]0 = 1 + 1 ∗ i
√
11
11
∗ π + 2 ∗ sin
∗ π ∗ i ≈ −1.36 + 0.366i
[r, ϕ]1 = 2 ∗ cos
12
12
√
√
19
19
[r, ϕ]2 = 2 ∗ cos
∗ π + 2 ∗ sin
∗ π ∗ i ≈ 0, 366 − 1, 36i
12
12
√
125
5.3
Blatt 3
126
5.4
Blatt 4
zu 1:
Der Fall m=n beschreibt den Abstand zweier aueinanderfolgender Glieder:
|an+2 − an+1 | ≤ k ∗ |an+1 − an |
Genauso gilt daher auch:
|an+1 − an | ≤ k 2 ∗ |an − an−1 |
Führt man diese Umformaung (n-1)-mal durch, so erhält man als Abschätzung
für den Abstand zweier aufeinanderfolgender Glieder:
(i) |an+2 − an + 1| ≤ k n ∗ |a2 − a1 |
Es wird die Cauchy-Bedingung mit m > n und m := n + p geprüft. n ∈ N
Es folgt:
|an+p+2 − an+1 | = |an+p+2 − an+p+1 + an+p+1 − ... − an+2 + an+2 −
an+1 |
Nach der Dreiecksungleichung ist dies
≤ |an+p+2 − an+p+1 | + |an+p+1 − an+p | + ... + |an+2 − an+1 |
mit (i) läßt sich dies abschätzen:
≤ k n+p ∗ |a2 − a1 | + k n+p−1 ∗ |a2 − a1 | + ... + k n ∗ |a2 − a1 |
= |a2 − a1 | ∗ k n ∗
∞
X
kp
p=0
Da 0 < k < 1 gilt
∞
X
kp =
p=0
= |a2 − a1 | ∗
1
1−k
kn
1−k
(ii) |an+p+2 − an+1 | = |am+2 − an+1 | ≤ |a2 − a1 | ∗
kn
1−k
Zu gegebenem > 0 wird die Zahl n0 so gewählt, dass |a2 − a1 | ∗
Dadurch gilt
127
k n0
< ist.
1−k
|am+2 − an+1 | < für alle m, n > n0 und der Satz von Cauchy sichert somit die Konvergenz.
Des weiteren soll bewiesen werden, dass:
|an+1 − a| ≤
kn
∗ |a2 − a1 | für lim an =: a
n→∞
1−k
Wenn lim an = a dann gilt auch:
n→∞
(iii) lim an+1 = a und auch lim an+p+1 = a
n→∞
p→∞
Somit folgt:
lim |an+n+2 − an+1 | = lim |an+1 − an+p+2 |
p→∞
p→∞
n
= |an+1 − a| =
k
∗ |a2 − a1 |
1−k
zu 2:
a)
Vektoren sind linear unabhängig, wenn gilt:
~0 = x1 ∗ a~1 + ... + xn ∗ a~n ⇒ x1 = ... = xn = 0
Für den gegebenen Fall ergibt sich:


 
   
1
0
0
0
x1  1  + x2  1  + x3  0  =  0 
0
0
1
0
Man erhält so die drei Gleichungen:
x1 = 0
x1 + x2 = 0
mit x1 = 0 ⇒ x2 = 0
x3 = 0
⇒ Die Vektoren sind linear unabhängig
Die Vektoren v~1 , ..., v~n ∈ V bilden ein Erzeugendensystem des K-Vektorraumes
V, wenn sich jeder Vektor ~v ∈ V als Linearkombination aus v~1 , ..., v~n darstellen
lässt.
128
~v = x1 ∗ v~1 + ... + xn ∗ v~n
∀~v , v~i ∈ V
∀xi ∈ K
In diesem Fall bedeutet dies:

 
  


1
0
0
w1
x1  1  + x2  1  + x3  0  =  w2 
0
0
1
w3
Daraus folgt
x1 = w1
x1 + x2 = w2
x3 = w3
Da dieses System für alle w
~ ∈ R3 lösbar ist bilden die Vektoren ein Erzeugendensystem. Sind alle Vektoren eines Erzeugendensystems linear unabhängig, so
bilden sie eine Basis.
⇒ Die gegebenen Vektoren bilden eine Basis.
b)
Da mehr als drei Vektoren im R3 stets linear abhängig sind, sind die gegebenen
Vektoren linear abhängig.
Da die ersten drei Vektoren der Menge ein Erzeugendensystem bilden (siehe Aufgabenteil a)), bildet die gesamte Menge ein Erzeugendensystem (Jedoch keine
Basis, da sie linear abhängig sind.).
c)


   
1
0
0
x1  1  + x2  1  =  0 
0
0
0
x1 = 0
x1 + x2 = 0
⇒ x2 = 0
⇒ Die Vektoren sind linear unabhängig.


  

1
0
w1
x1  1  + x2  1  =  w2 
0
0
w3
x1 = w1
x1 + x2 = w2
0 = w3
129
Dieses Gleichungssystem kann für bestimmte w
~ in der dritten Zeile einen Widerspruch hervorrufen.
⇒ Die Vektoren bilden weder eine Basis noch ein Erzeugendensystem.
zu 3:
a)
Eine nichtleere Teilmenge U ⊂ V heißt Unterraum von V (V ist K-Vektorraum),
falls gilt:
wenn u, v ∈ U ⇒ u − v ∈ U
wenn α ∈ k, u ∈ U ⇒ α ∗ u ∈ U
U ist nicht ´die leere Menge
In diesem Fall ergibt sich:
{(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn :
n
X
xi = 0} =: U
i=1
Seien u, v ∈ U
So gilt:
n
X
ui = 0 und
i=1
n
X
v1 = 0
i=1
u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 , ..., un − vn )
⇒
n
X
ui − vi = u1 − v1 + u2 − v2 + ... + un − vn
i=1
= (u1 + u2 + ... + un ) − (v1 + v2 + ... + vn )
=
n
X
ui −
n
X
vi = 0 − 0 = 0
i=1
i=1
α + u = (α ∗ u1 + α ∗ u2 + ... + α ∗ un )
⇒
n
X
α + ui = α + u1 + α + u2 + ... + α ∗ un
i=1
= α ∗ (u1 + u2 + ... + un )
=α∗
n
X
ui = α ∗ 0 = 0
i=1
130
~0 ∈ U
⇒ U ist Unterraum des Rn
b)
{(x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn :
n
X
xi = 1} =: U
i=1
Seien u.v ∈ U
So gilt:
n
X
ui = 1 und
i=1
n
X
vi = 1
i=1
u − v = (u1 − v1 , u2 − v2 , ..., un − vn )
⇒
n
X
ui − vi = u1 − v1 + u2 − v2 + ... + un − vn
i=1
= (u1 + u2 + ... + un ) − (v1 + v2 + ... + vn )
=
n
X
i=1
n
X
ui −
n
X
vi = 1 − 1 = 0
i=1
ui − vi 6= 1
i=1
⇒u−v ∈
/U
⇒ U ist kein Unterraum des Rn
131
5.5
Blatt 5
zu 1:
∞
X
(−1)n ∗
n=0
∞
x n
X
xn
∗
(n
+
1)
=
(n + 1) ∗ −
n
a
a
n=0
In der Vorlesung wurde bewiesen, dass für |z| < 1 gilt:
2 X
∞
1
=
(n + 1) ∗ z n
1−z
n=0
in unserem Fall
z := − xa
so ergibt sich:
x |x|
<1
− =
a
|a|
⇔ |x| < |a|
Somit gilt:
x n
1
(n + 1) ∗ −
=
x 2
a
(1
+
a)
n=0
∞
X
Somit konvergiert die unendliche Riehe im Fall |x| < |a| und zwar
gegen
1
(1 + xa )2
zu 2:
Jede reelle Zahl x0 kann durch eine rationale Zahl x der folgenden
Form angenähert werden:
a
x = n0 +
X nk
n1
nk
n2
+ 2 + ... + k =
10 10
10
10k
k=0
Für a → ∞ nähert sich x unendlich nah an x0 an, so dass gesagt
werden kann:
a
X
nk
= lim x = x0
a→∞
a→∞
10k
lim
k=0
Für stetige Funktionen gilt:
132
lim f (x) = f ( lim x) = f (x0 )
x→x0
x→x0
f (x) = g(x)
∀x ∈ Q
⇔ lim f (x) = lim g(x)
a→∞
a→∞
⇔ f ( lim x) = g( lim x)
a→∞
a→∞
f (x0 ) = g(x0 )
⇒ Da x0 ∈ R wird jedem Element aus der Urbildmenge der Funktionen f, g das selbe Element aus der Bildmenge zugeordnet.
⇒f =g
zu 3:
v1 , ..., vb seien ein Erzeugendensystem von v
V :=< v1 , ..., vb >
des weiteren seien u1 , ..., un eine Basis von U
U :=< u1 , ..., un >
Nach dem Basisergänzungssatz existiert W ⊂ V , so dass
V =< u1 , ..., un , w1 , ..., wm >
mit w1 , ..., wm ∈ W
wobei u1 , ..., un , w1 , ..., wm linear unabhängig sind.
Da w1 , ..., wm linear unabhängig sind, spannen sie einen Raum auf.
⇒ w1 , ..., wm spannen den Raum W auf
da w ⊂ V ⇒ W ist Unterraum von V
Da u1 , ..., un , w1 , ..., wm linear unabhängig sind, ist
n
X
i=1
βi ui 6=
m
X
αj wj für alle αj , βi 6== 0
j=1
⇒U ∩W =0
⇒V =U ⊕W
Im gegebenen Fall:
U =< {(1, 1, 0)} >
k = R, V = R3
ist
W =< {(0, 1, 0), (0, 0, 1)} >
133
Denn U und W spannen zusammen den R3 auf (wurde in letzter
Hausaufgabe bewiesen). Sie bilden eine Basis des R3 .
 
 
 
1
0
0
α 1  = β 1  + γ  0 
0
0
1
⇒ α, β, γ = 0
⇒U ∩W =0
⇒V =U ⊕W
134
5.6
Blatt 6
135
5.7
Blatt 7
136
5.8
Blatt 8
137
5.9
Blatt 9
138
5.10
Blatt 10
zu 1:
Z
√
3
a)
dx
1 + 5x
Substitution: z := 1 + 5x
Z
1
dx =
=
1
5
=
2
1 3
3 p
∗ ∗ z3 =
∗ 3 (1 + 5x)2
5 2
10
1
z3
dz
5
dz
Setzt man die Grenzen ein, so erhält man:
Z 1
√ 2
3
3 √
3
dx
3
2 − 3 12 =
√
6
=
∗ 63 −
3
10
10
10
1 + 5x
0
Z 0
Z ∞
Z ∞
dx
dx
dx
=
+
b)
2
2
1
+
x
1
+
x
1
+
x2
−∞
0
−∞
0
b
= lim [arctan(x)]a + lim [arctan(x)]0
a→−∞
b→∞
= lim −arctan(a) + lim arctan(b) =
a→−∞
Z
c)
x2
b→∞
π π
+ =π
2
2
dx
√
+ x2 − 1
Substitution: x := cosh(t)
dx = sinh(t)dt
Z
sinh(t) ∗ dt
p
=
2
cosh (t) ∗ cosh2 (t) − 1
mit cosh2 (t) − sinh2 (t) = 1 ergibt sich:
Z
Z
dt
sinh(t) ∗ dt
=
=
cosh2 (t) ∗ sinh(t)
cosh2 (t)
Z
cosh2 (t) − sinh2 (t)
=
∗ dt
cosh2 (t)
Man sieht, dass die Stammfunktion durch die Qutientenregel abgeleitet wird. So ergibt sich:
=
sinh(t)
= tanh(t)
cosh(t)
= tanh(arcosh(x))
139
sinh(x)
ex − e−x
= x
ergibt sich:
cosh(x)
e + e−x
p
= tanh(ln(x + x2 − 1))
√
√
x2 +2x x2√−1+x2 −1−1
x + x2 − 1 − x+√1x2 −1
x+ x2 −1
√
√
=
= 2
1
2
x
+2x
x2√−1+x2 −1+1
√
x + x − 1 + x+ x2 −1
2
mit tanh(x) =
x+ x −1
√
√
√
√
√
2x2 + 2x x2 − 1 − 2
x2 − 1 ∗ x2 − 1 + x ∗ x2 − 1
x2 − 1 + x x2 − 1
√
√
√
=
=
=
2x2 + 2x x2 − 1
x2 + x x2 − 1
x ∗ (x + x2 − 1)
√
x2 − 1
=
x
Das Integral ist an beiden Grenzen uneigentlich (durch den Definitionsbereich der Funktion). Somit ergibt sich mit den Grenzen:
Z ∞
Z 2
Z ∞
dx
dx
dx
√
√
√
=
+
2
2
2
2
2
x x −1
x −1
x x2 − 1
1 x
2
1
"√
#2
"√
#b
x2 − 1
x2 − 1
= lim
+ lim
a→1
b→∞
x
x
a
√
√
√
2
22 − 1
22 − 1
b2 − 1
−0−
+ lim
b→∞
2
2
b
v
!2
u √
r
r
u
b2 − 1
b2 − 1
1
t
= lim
= lim 1 − 2
= lim
2
b→∞
b→∞
b→∞
b
b
b
=
=1
Z 1
d)
Z
1
log(x)dx =
1 ∗ log(x)dx
0
0
Z
= [x ∗
1
log(x)]0
1
−
= [x ∗ log(x) −
x∗
0
1
dx
x
x]10
= lim [x ∗ log(x) − x]1a
a→0
= 1 ∗ log(1) − 1 − lim (a ∗ log(a)) + lim a
a→0
= −1 − lim
a→0
a→0
log(a)
a−1
Da der Grenzwert die Form
angewendet werden.
1
a
a→0 −a−2 ∗
= −1 − lim
0, 5
∞
∞
hat, kann die Regel von L’Hospital
= −1 − lim (−2) ∗ a
a→0
= −1
140
zu 2:
(i)
cos(n2 x)
ist stetig,
n2
da cos(n2 x) und
1
n2
stetig sind.
Da cos(n2 x) ≤ 1 gilt:
cos(n2 x)
1
≤ 2
2
n
n
∞
X
1
konvergiert, folgt aus dem Majorantenkriterium für unn2
n=1
endliche Funktionenreihen:
Da
∞
X
cos(n2 x)
ist gleichmäßig konvergent.
(ii)
n2
n=1
Aus (i) und (ii) folgt
f (x) =
∞
X
cos(n2 x)
ist stetig
n2
n=1
zu 3:
χ(A, t) = (1 − t) ∗ det
−1
0
0 1−t
− 2 ∗ det
= (1 − t)(−t + t2 ) − 2(−2t) = −t3 + 2t2 + 3t
= −t ∗ (t2 − 2t − 3)
t1 = λ 1 = 0
t2 = λ2 = −1
t3 = λ 3 = 3
E(0):



1 0
1 0 −2
 −2 0 1  →  0 0
0 0 0
0 0
 

 0

E(0) =  1  α : α ∈ R


0

−2
−3 
0
141
0 −t
−2 0
E(−1):



2 0 −2
1 0
 0 1 0 → 0 1
−2 0 2
0 0
 

 1

E(0) =  0  α : α ∈ R


1

−1
0 
0
E(3):



−2 0 −2
1 0
 0 −3 0  →  0 1
−2 0 −2
0 0



1


E(0) =  0  α : α ∈ R


−1
 √1

√1
0
2
2
0 1 
⇒S= 0
− √12 √12 0


3 0 0
S t AS = D =  0 −1 0 
0 0 0

1
0 
0


x1
qD (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 , x3 ) ∗ D ∗  x2  = 3x21 − x22 = 1
x3
Somit ist qD von der Form
x21
a21
−
x22
a22
=1
⇒ qD ist vom Typ eines hyperbolischen Paraboloids.
142