Two Dimensional Wigner Seitz Cell

Two Dimensional Wigner Seitz Cell
Robert Meszaros 1130698
12.02.2014
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Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
2 Grundlagen
2.1 Konstruktion der Wigner Seitz Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Translationsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Berechnung der Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
4
3 Zweidimensionale Bravis Gitter
3.1 Schiefwinkliges Gitter (Oblique Lattice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Rechtwinkliges Gitter (Rectangular Lattice) . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Rechtwinklig zentriertes Gitter (Face centred Lattice) . . . . . . . . . . .
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5
6
8
2
1 Einführung
In diesem Projekt geht es um die Konstruktion der Wigner Seitz Zelle für drei verschiedene zweidimensionale Bravis Gitter. Im zweidimensionalen Raum gibt es fünf unterschiedliche Bravis Gitter. Die Konstruktion der Wigner Seitz Zelle ist eine einfache
Möglichkeit um die elementare (primitive) Einheitszelle eines Bravis Gitters zu finden.
Ein Bravis Gitter kann durch die Translations Vektoren aufgespannt werden. Das bedeutet, dass jeder Punkt des Bravis Gitters durch eine Linearkombination der Translationsvektoren erreicht werden kann.
Man unterscheidet zwischen der Konventionelle und der Primitiven Einheitszelle. Die
Primitive Einheitszelle ist jene Einheitszelle mit dem kleinsten möglichen Volumen. Im
zweidimensionalen Raum ist es die kleinstmögliche Fläche.
2 Grundlagen
2.1 Konstruktion der Wigner Seitz Zelle
Für die Konstruktion der Wigner Seitz Zelle zeichnet man eine Verbindung zwischen
einem beliebigen Punkt des Bravis Gitters und der nächsten Nachbarn ein. Anschließend
zeichnet man die Streckensymmetrale jeder Linie ein. Die kleinste Fläche welche durch
die Streckensymmetrale eingeschlossen wird ist die Wigner Seitz Zelle.
Abbildung 1: Konstruktion der Wigner Seitz Zelle in einem zweidimensionalen Gitter.
(Quelle: Skript/Prof.Hadley/2013)
3
2.2 Translationsvektoren
Das gesamte Kristallgitter kann durch eine Linarkombination der Translationsvektoren
aufgebaut werden. Im zweidimensionalen Fall gibt es zwei Translationsvektoren a1 und
a2 . Die Lage jedes Gitterpunktes kann durch die folgende Formel beschrieben werden.
R = n1 ∗ a1 + n2 ∗ a2
Hierbei sind n1 und n2 ganze Zahlen.
2.3 Berechnung der Fläche
Um die Fläche einer Einheitszelle zu berechnen braucht es die Translationsvektoren. Der
Betrag des Kreuzproduktes zwischen zwei Vektoren ergibt die Fläche des Parallelogrammes welches durch die beiden Vektoren gebildet werden kann.
|a × b| = |a| ∗ |b| ∗ sin(γ)
Abbildung 2: Darstellung der Fläche die von zwei Vektoren aufgespannt wird. (Quelle:
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt)
3 Zweidimensionale Bravis Gitter
Bei dieser Aufgabe wurden drei Bravis Gitter mit den Vektoren ihrer konventionellen
Einheitszelle vorgegeben. Weiters wurde der Winkel zwischen diesen beiden Vektoren
angegeben.
In dieser Aufgabe mussten die folgenden Eigenschaften ermittelt werden:
• die Form der Wigner Seitz Zelle
• die Fläche der konventionellen Einheitszelle
• die Translationsvektoren der Wigner Seitz Zelle
• die Fläche der Wigner Seitz Zelle
Die folgenden Abbildungen der unterschiedlichen Bravis Gitter wurden mit dem Programm GeoGebra (Version 4.2) selbstständig erstellt.
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3.1 Schiefwinkliges Gitter (Oblique Lattice)
Dieses Gitter zeichnet sich dadurch aus, dass die Vektoren der konventionellen Einheitszelle nicht gleich lang sind. Weiters ist der Winkel zwischen den Vektoren ungleich 90◦ .
Abbildung 3: Schiefwinkliges Bravis Gitter mit der dazugehörigen Wigner Seitz Zelle
Die Fläche der Konventionellen Einheitszelle lautet
Akonv = |a × b| = 5 ∗ 4, 4 ∗ sin(63◦ )
Akonv = 19, 60Å2
Die Translationsvektoren der Wigner Seitz Zelle wurden in Abbildung 3 rot eingezeichnet. Die Koordinaten dieser Vektoren konnten aus dem Zeichenprogramm Geogebra
abgelesen werden.






2, 49
−0, 49
−2, 49






c =  2, 73  , d =  1, 2  , e =  1, 2 
0
0
0
AW ig = 2 ∗ |c × d| + |d × e|
AW ig = 19, 60Å2
5
3.2 Rechtwinkliges Gitter (Rectangular Lattice)
Hier sind die Vektoren der konventionellen Einheitszelle nicht gleich lang, jedoch beträgt
der Winkel 90◦ .
Abbildung 4: Rechtwinkliges Bravis Gitter mit der dazugehörigen Wigner Seitz Zelle
Die Fläche der Konventionellen Einheitszelle lautet
Akonv = |a × b| = 6, 0 ∗ 8, 0 ∗ sin(90◦ )
Akonv = 24, 00Å2
6
Die Fläche der Wigner Seitz Zelle wird durch die entsprechenden Translationsvektoren
berechnet. Diese sind in Abbildung 4 rot eingezeichnet.






3
3
−3






c =  4  , d =  4  , e =  −4  ,
0
0
0
Hierbei ist der Vektor e der negative Vektor c.
AW ig = |c × d| + |d × e|
AW ig = 24, 00Å2
Die konventionelle Einheitszelle ist bei diesem Gitter auch die primitive Einheitszelle.
7
3.3 Rechtwinklig zentriertes Gitter (Face centred Lattice)
Hier gelten dieselben Eigenschaften wie beim rechtwinkeligen Gitter, jedoch ist im Zentrum der konventionellen Einheiszelle ein weiterer Gitterpunkt vorhanden.
Abbildung 5: Rechtwinklig zentriertes Bravis Gitter mit der dazugehörigen Wigner Seitz
Zelle
Die Fläche der Konventionellen Einheitszelle lautet
Akonv = |a × b| = 4, 0 ∗ 8, 0 ∗ sin(90◦ )
Akonv = 32, 00Å2
8
Für die Berechnung der Fläche
benötigt.

0

c =  2, 5
0
der Wigner Seitz Zelle wurden die folgenden Vektoren





2
2





−1,
5 ,
1,
5
,
e
=
,
d
=




0
0
Hierbei ist der Vektor e der Normalvektor von d.
AW ig = 2 ∗ |c × d| + |d × e|
AW ig = 16, 00Å2
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