Blatt 2 - Leibniz Universität Hannover

Leibniz Universität Hannover
Fakultät für Mathematik und Physik
Prof. Dr. M. Erné
R. Haustein
18. April 2011
Übungen zur Diskreten Mathematik
Sommersemester 2011
Blatt 2
Abgabe: Dienstag, 3. 5. 2011, vor Beginn der Übungen im Raum B 302 (14.15)
4. Zeigen Sie für die fallenden Faktoriellen (x)n = x(x − 1) · ... · (x − n + 1) =
n−1
Y
(x − k):
k=0
1
−2
2n
x
(wobei
=
= (− 41 )n
n
n
n
Beweisen Sie durch Induktion nach n ∈ N :
X
n
m n n
X
X
X
1
n
(−1)k−1
n (−1)k−1
n
=
, (d)
=
(c)
m−k
k
k
k
k
m
(a) 22n (x)n (x− 21 )n = (2x)2n ,
k=1
k=1
(b)
k=1
(x)n
; setze x = − 12 ).
n!
k=n−m+1
1
k
(m ∈ n).
5. Zu Ostern sollen rote, gelbe und blaue Eier versteckt werden. Dabei soll in jedes Versteck genau ein
Ei gelegt werden. Wieviele Möglichkeiten gibt es, nacheinander n = 7 Eier zu verstecken, und zwar
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
genau r = 3 rote Eier
genau r = 3 rote und genau g = 2 gelbe Eier
genau r = 3 rote und mindestens g = 2 gelbe Eier
eine ungerade Anzahl roter Eier
so, dass auf ein rotes stets ein blaues Ei folgt.
Finden Sie zu den Teilaufgaben allgemeine Anzahlformeln für beliebige natürliche Zahlen r, g und n.
6. (a) Es seien a, b, c ∈ N teilerfremd und n ∈ N. Es sei bekannt, dass n genau 142 Vielfache von a,
90 Vielfache von b und 76 Vielfache von c enthält. Ausserdem gibt es in n 12 durch ab teilbare,
10 durch ac teilbare und 6 durch bc teilbare Zahlen, aber keine, die durch abc teilbar sind.
Wieviele Zahlen in n sind Vielfache von a oder b oder c? Welche Zahlen a, b, c, n erfüllen diese
Bedingungen?
(b) Verallgemeinern Sie die Situation in (a), indem Sie k paarweise teilerfremde Zahlen a1 , . . . , ak
betrachten. Finden und beweisen Sie eine Formel zur Berechnung der Anzahl der durch mindestens ein ai teilbaren Zahlen in n.
Knacky 2: Eierschachteln
Firma Mümmelmann setzt die gesamte Belegschaft
ein, um einen Riesenhaufen von n Ostereiern für den
Versand in Viererpackungen unterzubringen. Bei wievielen Teilmengen des Eierhaufens bleiben nach weitestgehender Verpackung r Eier aus diesen Teilmengen übrig (r = 0, 1, 2, 3)?
Ihre Formel sollte nach Bereinigung letztendlich
keine Binomialkoeffizienten enthalten
und die Gestalt
√
2n−2 + f (n, r) mit |f (n, r)| ≤ 2n−2 haben.
Frohe Ostertage!