Blatt 2

Prof. Dr. T. Guhr, Dr. S. Krause
24. Oktober 2016
Theoretische Physik 5: Statistische Physik — Hausübung 2
Abgabe: 31. Oktober 2016 bis 10:15 Uhr, entweder vor der Vorlesung oder in MG 324
Präsenzübung: Dirac’sche δ–Distribution als Grenzfall der Gaußverteilung
Zeigen Sie, dass die Gaußverteilung
1
(x − µ)2
√
pσ (x) =
exp −
2σ 2
2πσ 2
im Limes σ → 0 gegen die Dirac’sche δ–Distribution δ(x − µ) konvergiert. Es soll also die
Gleichung
+∞
Z
pσ (x)f (x)dx = f (µ)
lim
σ→0
−∞
für eine beliebige Funktion f bewiesen werden. Betrachten Sie dazu die Fouriertransformierte
dieses Integrals, welches ein Faltungsintegral ist, und führen Sie dann den Grenzwert aus.
H3. Würfelspiele
a) Wir werfen gleichzeitig zwei Spielwürfel. Ein Gewinn wird immer dann ausgezahlt, wenn
die Summe der Augen größer gleich 10 ist. Den zwei Würfeln entsprechend gibt es 36
unabhängige Ereignisse. (2 P)
• Geben Sie die kombinierten Ereignisse an, die zu einem Gewinn führen.
• Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Gewinn eintritt.
b) Wir modifizieren die obige Situation so, dass ein Gewinn nur noch dann ausgeschüttet
wird, wenn die Summe der Augen zusätzlich noch gerade ist. (2 P)
• Wie viele kombinierte Ereignisse gerader Augensumme gibt es?
• Wie viele dieser kombinierten Ereignisse führen zu einem Gewinn?
• Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, mit der ein Gewinn eintritt.
c) Wir werfen einen Würfel zehnmal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (3 P)
• genau einmal eine sechs zu werfen?
• mindestens einmal eine sechs zu werfen?
H4. Wahrscheinlichkeitsbegriffe
Betrachtet werden zwei Teilchen 1 und 2 mit Massen m1 und m2 , welche durch den dreidimensionalen Impulsvektor p~n , den dreidimensionalen Ortsvektor ~rn und den Spin sn = −1/2, +1/2
beschrieben werden (n = 1, 2). Beide Teilchen befinden sich in einem Kreiszylinder mit Radius
R, dessen Symmetrieachse die z-Achse ist und dessen Deckflächen bei z = −a und z = +a
~ = (~
liegen. Sein Volumen sei V . Der Zustand der Teilchen Z
p1 , ~r1 , s1 , p~2 , ~r2 , s2 ) wird durch die
Wahrscheinlichkeitsverteilung
!
~
H(Z)
~
p(Z) = c exp −
kB T
> 1/2
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24. Oktober 2016
beschrieben. Hier ist c die Normierungskonstante, kB T die thermische Energie und
~ =
H(Z)
p~2
p~21
+ 2 − Js1 s2
2m1 2m2
ist eine klassische Hamiltonfunktion (nicht quantenmechanisch, d.h. alle Größen kommutieren!). Wir betrachten die Ereignisse
A
B
C
D
:
:
:
:
Teilchen
Teilchen
Teilchen
Teilchen
1
2
1
2
befindet sich im oberen Teil des Zylinders (z1 > 0),
befindet sich im oberen Teil des Zylinders (z2 > 0),
besitzt den Spin + 1/2,
besitzt den Spin − 1/2.
a) Berechnen Sie die Normierungskonstante c mittels (3 P)
Z
3
d p1
Z
3
Z
d p2
3
Z
d x1
V
+1/2
3
d x2
V
X
~ =1.
p(Z)
s1 ,s2 =−1/2
b) Berechnen und interpretieren Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
(i.α) Sowohl das Ereignis A, als auch das Ereignis B tritt ein. (1 P)
(i.β) Sowohl das Ereignis C, als auch das Ereignis D tritt ein. (1 P)
(ii.α) Das Ereignis A, aber nicht das Ereignis B tritt ein. (1 P)
(ii.β) Das Ereignis C, aber nicht das Ereignis D tritt ein. (1 P)
(iii.α) Entweder das Ereignis A oder das Ereignis B tritt ein. (1 P)
(iii.β) Entweder das Ereignis C oder das Ereignis D tritt ein. (1 P)
(iv.α) Das Ereignis A tritt unter der Bedingung B ein. Sind die Ereignisse A und B
unabhängig? (2 P)
(iv.β) Das Ereignis C tritt unter der Bedingung D ein. Sind die Ereignisse C und D
unabhängig? Unterscheiden Sie die Fälle J = 0 und J 6= 0 und begründen sie die
Abhnängigkeit/Unabhängigkeit anschaulich. (2 P)
Hilfestellung: Interpretation für das oben nicht aufgeführte Ereignis Weder das Ereignis A
”
noch das Ereignis B tritt ein“: Das ist ein sowohl-als-auch Ereignis, bei dem sich beide Teilchen
im unteren Teil des Zylinders befinden.
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