Skript (aufgeschrieben von H.Soller)

Mesoskopische Physik
Prof. Dr. Andreas Komnik
Vorlesung an der Universität Heidelberg während des Wintersemesters 2009/2010
Inhaltsverzeichnis
1
Motivation und Einführung
1
2
Elektronischer Transport als Streuung
3
2.1
Elektronen in Metallen und Halbleitern . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1.1
Realistische Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.2
Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1.3
Typische Längen- bzw. Zeitskalen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Quantenpunktkontakte und Leitwertquantisierung . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.1
Experimenteller Nachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2.2
0.7 Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Streumatrix und Operatorformulierung des Transports . . . . . . . . . . .
14
2.3.1
Strom mit Hilfe von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3.2
Systeme mit mehreren Zuleitungen . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.4
2- und 4-Kontaktmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5
Quanteninterferenzeffekte und Aharonov-Bohm Effekt . . . . . . . . . .
23
2.5.1
Was passiert im Magnetfeld? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.5.2
Resonantes Tunnelln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.5.3
Aharonov-Bohm Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2
2.3
3
Elektronischer Transport als Tunneln
33
3.1
Tunnelkontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.1.1
Stromoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3.1.2
Bewegungsgleichungsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Resonantes Tunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3.2
3
4
5
6
7
Coulomb-Blockade
45
4.1
Einzelelektronenbox (SEB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
4.1.1
Kriterien der Beobachtbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.2
Einzelelektronentransistor (SET) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
4.3
Strom-Spannungs-Charakteristik des SETs - Master-Gleichung Methode .
52
4.4
Kotunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.4.1
Spannung/Temperatur-Abhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.4.2
Elastisches Kotunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.4.3
Quantifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.4.4
Kotunneln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.4.5
Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.5
Anderson-Modell und Kondo-Effekt in Quantenpunkten . . . . . . . . .
64
4.6
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Quantendrähte
71
5.1
Was ist ein Quantendraht? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5.2
Wechselwirkungseffekte in 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
5.2.1
Fundamentaler Unterschied zwischen 1D und 2D/3D . . . . . . .
72
5.2.2
Besondere Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Quanten-Hall-Effekt
79
6.1
Klassisches Bild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
6.2
2DEG im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
6.3
Transport in QHE-Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.3.1
Fraktionierter QHE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.4
Topologische Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.5
Spin-Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Transport in ungeordneten Systemen
91
7.1
Wie reproduziert man das Ohmsche Gesetz? . . . . . . . . . . . . . . . .
91
7.2
Interferenzeffekte und Lokalisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Kapitel 1
Motivation und Einführung
Warum betrachten wir mesoskopische Systeme? Betrachten wir zunächst die relevanten Längenskalen (siehe Abbildung 1.1).
Quantenphysik
0, 01nm − 10nm
meso
Klassische Physik
>> 1µm
Abbildung 1.1: Längenskalen der mesoskopischen Physik
Wir haben z.B. ein quantenmechanisches System in Form eines Benzolrings mit der Abmessung 0,7nm.
Als nächstes können wir nach typisches Zeichen für quantenmechanisches Verhalten fragen. Hierbei sind
zu nennen:
• Energieniveauquantisierung
• Quanteninterferenz/Kohärenzeffekte
Wir suchen nun ein Experiment, um auf allen Längenskalen das Verhalten zu vergleichen. Es besteht in
der Messung des elektrischen Leitwerts bzw. des elektrischen Widerstands. Man kann es von einer Länge
von 100km bis zu einer Länge von 1nm ausführen. Die erste Frage ist hierbei das Schicksal des Ohmschen
Gesetz. Dieses kann man für einen Leiter wie in Abbildung 1.2 notieren als:
G=σ
w
L
1
(1.1)
L
σ
w
Abbildung 1.2: Leiter der Länge L
Seite 2
Kapitel 2
Elektronischer Transport als Streuung
2.1
Elektronen in Metallen und Halbleitern
Wir betrachten zunächst Elektronen in einem Metall (Abbildung 2.1). Aufgrund der Energieniveauabsto-
Abbildung 2.1: Elektronen im Metall
ßung bilden sich im Metall Bänder (siehe Abbildung 2.2).
Aufgrung der geringen Größe der Atomrümpfe kann man als erste Näherung im sogenannten JelliumModell die Potentiale durch einen Potentialtopf ersetzen (siehe Abbildung 2.3). Hierbei beschreibt WA die
Austrittsarbeit
Wir können dann die Wellenfunktion eines Elektrons direkt notieren:
1 ~ iE(~k)t
Ψ~k = √ eik~r− h̄
V
3
(2.1)
2.1. ELEKTRONEN IN METALLEN UND HALBLEITERN
EF
Abbildung 2.2: Ausbildung von Bändern im Metall
WA
EF
Abbildung 2.3: Jellium Modell
2 2
mit der Energie E(~k) = h̄2mke und dem Kristallvolumen V .
Die Zustandsdichte können wir mit einem zusätzlichen Faktor 2 für den Spin notieren als:
2s ·V ·
dkx dky dkz
(2π)3
(2.2)
Mit dieser können wir sofort die Größen Teilchenzahl n, Energie E und Stromdichte ~j berechnen:



1
n
Z
d3k  ~  ~


=
2
·
 E(k)  f (k)
 E 
s
(2π)3
~j
ev(~k)

(2.3)
Hierbei ist f (~k) der Füll-Faktor oder die Fermi-Verteilung. Für diese gilt (mit GG für Gleichgewicht):
1
f (~k) = fGG (E(~k) − µ) =
e
E(~k)−µ
kB T
(2.4)
+1
Skizziert ist die Verteilung auch in Abbildung 2.4.
~
Hierbei gilt v(~k) = mh̄ke .
Für beliebige Leitergeometrien kann man Einschnürungspotentiale U(~r) benutzen, um den Leiter zu moSeite 4
2.1. ELEKTRONEN IN METALLEN UND HALBLEITERN
f (E)
T 6= 0
EF
Abbildung 2.4: Fermi-Verteilung bei Temperatur 0 und endlichen Temperaturen
dellieren und anschließend die Schrödingergleichung lösen:
ih̄
∂ Ψ(~r,t)
= HΨ(~r,t)
∂t
h̄2 2
H = −
∇ +U(~r)
2me
(2.5)
(2.6)
Im statischen Fall erhalten wir:
Et
Ψ(~r,t) = e−i h̄ Ψ~k (~r)
(2.7)
Das erste Beispiel, was wir betrachten wollen, ist der Wellenleiter wie er in Abbildung 2.5 gezeigt ist.
b
L
a
Abbildung 2.5: Wellenleiter
Das Potential ist in diesem Fall bei nach oben gerichteter z-Achse:
(
U(~r) =
0 für |y| < a2 und |z| <
∞
sonst
b
2
(2.8)
Die Bewegung in x-Richtung ist frei, sodass wir notieren können:
Ψ(x, y, z) = eikx x
∑
csy ,sz eisy ky y+isz kz z
(2.9)
sy ,sz =±
Man findet die Konstanten csy ,sz aus den Ranbedingungen und erhält Lösungen wie sie in Abbildung 2.6
dargestellt sind.
Seite 5
2.1. ELEKTRONEN IN METALLEN UND HALBLEITERN
Abbildung 2.6: Lösungen für den Wellenleiter
Die Randbedingungen sind:
b
a
Ψ(x, y = ± , z) = Ψ(x, y, z = ± ) = 0
2
2
πny n πnz
n
⇒ ky =
, kz =
, ny , nz ∈ Z
a
b
(2.10)
(2.11)
Es gilt also:
Ψkx ,n=(ny ,nz ) (x, y, z) = Ψkx (x)Φ(y, z)
b
a
2
Ψkx = eikx x , Φn (y, z) = √ sin(kyn (y − )) sin(kzn (z − ))
2
2
ab
!
h̄2 kx2
h̄2 kx2 π 2 h̄2 n2y n2z
En (kx ) =
+ En =
+
+
2me
2me
2me a2 b2
(2.12)
(2.13)
(2.14)
Als nächstes können wir uns fragen, was in Anwesenheit einer Potentialbarriere geschieht wie:
(
U(x) =
U0 für 0 < x < d
0
sonst
(2.15)
Wir haben nun nur eine Veränderung der x-Bewegung aufgrund des endlichen Transmissionskoeffizientens:
4h2 κ 2
(h2 − κ 2 ) sin(κa) + 4h2 κ 2
s
s
2m(E −U0 )
2m(E −U0 )
h =
,
κ
=
h̄2
h̄2
T (E) =
Die Situation ist in Abbildung 2.7 zu sehen.
Wir können diesen Transmissionskoeffizienten auch plotten (Abbildung 2.8).
Seite 6
(2.16)
(2.17)
2.1. ELEKTRONEN IN METALLEN UND HALBLEITERN
f (E)
U0
0
d
Abbildung 2.7: Situation bei Potentialbarriere
T (E)
U0
Abbildung 2.8: Transmissionskoeffizient
2.1.1
Realistische Metalle
Wir sollten uns nun fragen, welche Fehler wir gemacht haben, indem wir keine realistischen Metalle angenommen haben. In einem Metall wird 2.1 ersetzt durch eine Blochwelle:
~
Ψ~k,p (~r) = eik~r u~k,p (~r)
(2.18)
Hierbei ist p der Bandindex und u ist quasiperiodisch. Die Energie E(~k, p) ist eine periodische Funktion
des Quasiimpulses ~k. Die Geschwindigkeit lässt sich ebenfalls berechnen:
1 ∂ E p (~k)
~v p (~k) =
h̄ ∂~k
(2.19)
Die Gleichung 2.3 bleibt in diesem Fall bestehen bis auf die Ersetzung d 3 k durch ∑ p d 3 k. Hierbei wird
das Integral nur über die erste Brillouin Zone ausgeführt.
R
2.1.2
R
Halbleiter
Nun müssen noch Halbleiter betrachtet werden. Betrachten wir zunächst Metalle und undotierte Halbleiter
(Abb. 2.9). Die Bandlücke ist dabei etwa 0.1 bis 1eV .
Seite 7
2.1. ELEKTRONEN IN METALLEN UND HALBLEITERN
Leitungsband
Leitungsband
EF
Bandlücke
Valenzband
EF
Valenzband
Abbildung 2.9: Metalle und undotierte Halbleiter
Betrachten wir nun auch dotierte Halbleiter (p und n-dotiert) in Abbildung 2.10.
Leitungsband
Leitungsband
EF
Bandlücke
EF
Valenzband
Abbildung 2.10: n- und p-dotierte Halbleiter
Die große Frage ist nun, ob 2.18 überall im Kristall gilt und der Widerstand nicht 0 ist. Die Antwort ist,
dass nicht nur reine Wellenleitung stattfindet, sondern zusätzlich Streuung stattfindet. Mit dieser Streuung
existiert auch eine Impulsrelaxation. Wir müssen uns daher fragen, wann diese wichtig ist.
2.1.3
Typische Längen- bzw. Zeitskalen
In einem quantenmechanischen stromleitenden System gibt es verschiedene Längen- bzw. Zeitskalen. Hierzu gehören:
• de Broglie Wellenlänge des Elektrons λF = 2π
kF , wobei kF den Fermi Wellenvektor bezeichnet
Für Metalle gilt λF ≈ 0, 1nm − 1nm und für Halbleiter gilt λF ≈ 30 − 100nm.
• mittlere freie Weglänge Lm = vF τm , wobei τm die Impulsrelaxationszeit bezeichnet
Die Impulsrelaxationszeit hängt hierbei von der mittleren Stoßzeit (siehe Abbildung 2.11) über τm−1 =
αm τc−1 mit der Effizienz der Impulsrelaxation αm , 0 < αm < 1 zusammen. Die beiden Zeiten sind
nicht identisch, da z.B. Vorwärtsstreuung den Impuls nicht ändert.
Seite 8
2.1. ELEKTRONEN IN METALLEN UND HALBLEITERN
τc
Abbildung 2.11: Illustration der mittleren Stoßzeit
• Phasenrelaxationszeit Lφ = vF τφ mit τφ−1 = αφ τc−1
Eine solche Phasenrelaxation ist nur bei inelastischen Prozessen möglich. Sie ist auch messbar z.B.
in Experimenten als Analogon zum Doppelspalt (siehe Abbildung 2.12).
eiφ
R
Abbildung 2.12: Analogon zum Doppelspalt
Das Interferenzbild ist hierbei verschwommen für R Lφ und perfekt R Lφ .
Man kann die verschiedenen Längenskalen der Elektronik in folgendem Bild zusammenfassen (Abbildung
2.13).
0, 1nm 1nm
λF in Metallen
Abmessung
von C6 H6
10nm
30nm
100nm 10µm 100µm 1mm
10mm
kommerzielle
Lm in
Lm in Quanten
Mikroelektronik (09) Lφ , Lm in
C-Nanoröhrchen Hall-Effekt
high mobility
Strukturen
λF in Halbleitern
Halbleitern (T < 1K)
Lm in polykristallinen
metallischen Filmen
Abbildung 2.13: Längenskalen der Mikroelektronik
Gehen wir nun zu 1.1 zurück: G = σ wL . Wir sehen aus unserer vorherigen Überlegung, dass wir klassisch
eine Sättigung des Leitwerts bei L = Lm erwarten sollten. Für L Lm erwarten wir diffusive Leitung und
Seite 9
2.2. QUANTENPUNKTKONTAKTE UND LEITWERTQUANTISIERUNG
die Drude Formel sollte gelten:
σ=
en2 τm
me
(2.20)
Für L Lm ist der Transport ballistisch, d.h. Teilchen sollten ungestört transportiert werden können.
2.2
Quantenpunktkontakte und Leitwertquantisierung
Betrachten wir das System in Abbildung 2.14.
a(x), b(x)
x=0
R
L
Abbildung 2.14: Quantenpunktkontakt
Wir haben in diesem System zwei Einschnürungsparameter a(x), b(x) und die Abmessungen a∞ , b∞ seien
weit entfernt von der Einschnürung genommen, makroskopisch und konstant. Wir sind nun an der Natur
und dem Verhalten bei einer solchen Einschnürung bei x = 0 interessiert. Diese Einschnürung sei bis auf
mikroskopische Größen genommen, sodass Quanteneffekte beobachtet werden. Man spricht daher von einem Quantenpunktkontakt.
Das Potential der Einschnürung habe folgende Form:
(
U(~r) =
∞ für |y| >
0 sonst
a(x)
2
und |z| >
b(x)
2
(2.21)
Die Wände der Einschnürung seien immer parallel und sollen sich nur langsam verändern (adiabatische
Einschnürung). Mathematisch kann man dies fassen als:
|a0 (x)|, |b0 (x)| 1
(2.22)
a(x)|a00 (x)| 1; b(x)|b00 (x)| 1
(2.23)
Die zusätzlichen Faktoren hat man hierbei eingeführt, um alles dimensionslos zu machen.
Man kann nun sagen, dass die Wände flach“ und parallel“ zueinander sind.
”
”
Seite 10
2.2. QUANTENPUNKTKONTAKTE UND LEITWERTQUANTISIERUNG
Aus 2.12-2.14 folgt nun:
Ψn (x, y, z) = Ψ(x)Φn (a(x), b(x), y, z)
(2.24)
Die Energie erhält man aus der Schrödinger-Gleichhung:
h̄2 2
−
∂ + En (x) Ψ(x) = Eψ(x)
2me x
!
n2y
n2z
π 2 h̄2
En (x) =
+
2me a2 (x) b2 (x)
(2.25)
(2.26)
Hierbei bezeichnet En die potentielle Energie der Elektronen im Potential. Graphisch hat man folgendes
Bild (Abbildung 2.15).
E
x=0
x
Abbildung 2.15: Offene und geschlossene Kanäle im Quantenpunktkontakt
Kanäle mit einer potentiellen Energie unterhalb der Energie E heißen offene Kanäle und Kanäle mit einer
potentiellen Energie oberhalb von E heißen klassisch verbotene Kanäle.
Wir haben auch hier wieder einen Wellenleiter mit variablem Durchmesser und damit einen idealen Wellenleiter mit Potentialstreuung, wie wir ihn im ersten Abschnitt besprochen haben. Wir können damit den
Strom aus 2.3 direkt übernehmen:
Z
I = jx a∞ b∞ = 2s a∞ b∞
Z
= 2s e
d3k
ev(~k) f (~k)
(2π)3
dkx
vx (kx ) ∑ fn (kx )
2π
n
Seite 11
(2.27)
(2.28)
2.2. QUANTENPUNKTKONTAKTE UND LEITWERTQUANTISIERUNG
2
3
(2π)
d k
Hierbei kann man (2π)
3 umschreiben in dkx dky dkz → dkx a∞ b∞ und erhält so das eindimensionale Integral.
Die Summe geht dann über die verschiedenen Kanäle.
Bei adiabatischer Ankopplung sind die klassisch verbotenen Kanäle auch quantenmechanisch verboten.
Man kann sie sich als unendlich breite Energiestufen vorstellen. Dies bedeutet:
• geschlossene Kanäle: T (E) = 0 → fn (kx ) = fn (−kx ) (vollständige Rückstreuung)
Die Kanäle heben sich im Strom auf.
• offene Kanäle: von links kommt fL (E) = f (E − µL ) und von rechts fR (E) = f (E − µR )
Die Situation ist auch in Abbildung 2.16 gezeigt.
L, µL
R, µR
Abbildung 2.16: Transportkanäle durch einen Quantenpunktkontakt
Für die Spannung gilt V = µL − µR . Zwischen den Reservoirs ist das chemische Potential nicht definiert, da
dort kein thermisches Gleichgewicht herrscht.
Beachten wir nun noch, dass wir die Geschwindigkeit schreiben können als vx (kx ) = h̄1 ∂∂ kEx , so sehen wir,
dass wir den Strom schreiben können:
2s e
I=
2π h̄
Z
∑
dE [ fL (E) − fR (E)]
(2.29)
n offen
Das Integral kann man sich in Abbildung 2.17 veranschaulichen. In der Rechnung zeigt sich, dass das
Integral tatsächlich temperaturunabhängig ist.
Wir erhalten damit für den Strom:
I =
2s e
No f f en (µL − µR )
| {z }
2π h̄
(2.30)
eV
= GQ No f f enV
Seite 12
(2.31)
2.2. QUANTENPUNKTKONTAKTE UND LEITWERTQUANTISIERUNG
f (E)
µR
µL
Abbildung 2.17: Integral über die Fermiverteilungen
Wir können damit das Leitwertquantum definieren als:
GQ =
2s e2 2s e2
=
2π h̄
h
(2.32)
Hierbei bezeichnet man 2.31 als die Landauer Formel (1970).
Erweiternd kann man zeigen, dass das Einschnürungspotential beliebig sein kann (z.B. für Ux (y, z) beliebig).
Ferner kann man zeigen, dass nur No f f en eine Rolle spielt. Die Abmessungen a∞ , b∞ können beliebig sein
und 2.31 gilt immer noch.
2.2.1
Experimenteller Nachweis
Experimentell gelang der Nachweis der Quantisierung des Leitwerts in einem QPC auf der Basis des 2D
Elektronengas (2DEG) wie in Abbildung 2.18 zu sehen.
AlGaAs
GaAs
EF
Abbildung 2.18: Experimenteller Nachweis der Leitwertsquantisierung
Die Dotierung von GaAs wurde hierbei aufgrund der besseren Reinheit mit Ionenimplantation vorgenommen. Die Struktur der Bandlücken hat dann die Form in Abbildung 2.19, wobei sich in GaAs das 2D
Elektronengas ausbildet.
Die Elektronen können hierbei über aufgedampfte Gates (Plunger Gates) kontrolliert werden, um einen
QPC zu erzeugen. Man sieht quasi den Schatten des Systems über die negative Ladung im 2DEG. Weitere
Seite 13
2.3. STREUMATRIX UND OPERATORFORMULIERUNG DES TRANSPORTS
AlGaAs
GaAs
2DEG
Abbildung 2.19: Ausbildung des 2DEG
Informationen findet man unter http://www.technion.ac.il/laboratories oder im Physical Review Letter 60 ,
848 (’88).
2.2.2
0.7 Anomalie
Man beobachtet zusätzlich zur Leitwertquantisierung eine Stufe bei 0.7 des Leitwerts. Diese Stufe ist
abhängig vom angelegten Magnetfeldfeld und der Länge der Einschnürung. Vermutlich hängt sie mit den
Spins zusammen, ist aber bisher unverstanden (Possible Spin Polarization in a One-dimensional Electron
Gas PRL 1996).
2.3
Streumatrix und Operatorformulierung des Transports
Wir betrachten ein System aus zwei Reservoirs und einem Streuer (Abbildung 2.20).
In den Reservoiren sind die Elektronen ebene Wellen, die wir schreiben können als:


(n)
(n)
1
x xL
ΨL (xL , yL , zL ) = ∑ √
φn (yL , zL ) aLn e|ik{z
+bLn |e−ik{zx x}L 
}
2π h̄vn
n
einlaufend
auslaufend
(2.33)
Die Normierung ist hierbei natürlich beliebig, aber wir wollen es hier so halten. Diskutiert wird dies z.B. in
Landau-Lifshitz Band 3. Analog können wir auch die rechte Seite notieren:


(m)
(m)
1
x xR
x xR

ΨR (xR , yR , zR ) = ∑ √
φm (yR , zR ) aRn e|−ik{z
+bRm e|ik{z
}
}
2π
h̄v
m
m
einlaufend
auslaufend
(2.34)
√
(n)
kx
2m (E−E )
e
n
Es gilt hierbei
=
.
h̄
Aufgrund der Stromerhaltung sind die a’s und b’s aber nicht unabhängig. Vielmehr lassen sich die b’s
Seite 14
2.3. STREUMATRIX UND OPERATORFORMULIERUNG DES TRANSPORTS
Reservoir L
Streuer
Reservoir R
ideale Wellenleiter
xR > 0, yR , zR
xL < 0, yL , zL
Abbildung 2.20: Wellenleiter mit Streuer in der Mitte
schreiben als:
bαl =
(2.35)
∑ ∑0 Ŝαl,β l0 aβ l0
β =R/L l
Ŝ bezeichnet hierbei die Streumatrix, α = R/L und l bezeichnet ein bestimmtes n aus der Summe. Die
Streumatrix ist hierbei spezifisch für den jeweiligen Streuer. Man kann sich z.B. die quantenmechanische
Potentialschwelle vorstellen (Abbildung 2.21). Die Streumatrix lässt sich hierbei schreiben als:
Ŝ =
ŜLL ŜLR
ŜRL ŜRR
!
=
r̂ tˆ0
tˆ r̂0
!
(2.36)
Hierbei bezeichnen r̂ Reflektionsmatrizen und lˆ Transmissionsmatrizen.
Die Streumatrix hat folgende Eigenschaften:
• Zeitumkehrinvarianz ⇒ Ŝ = ŜT
Ferner muss dann auch gelten, dass r̂ und r̂0 symmetrisch sind und tˆ0 = tˆT gilt. Etwas involvierter ist
ein angelegtes Magnetfeld, da dieses die Richtung bei der Zeitumkehr ändert. Dies bedeutet, dass in
diesem Fall die Relationen gelten:
0
0
rnn0 (B) = rn0 n (−B), rnn
0 (B) = rn0 n (−B), tmn (−B) = tnm (−B)
Seite 15
(2.37)
2.3. STREUMATRIX UND OPERATORFORMULIERUNG DES TRANSPORTS
• Teilchenzahlerhaltung ⇒ Unitarität
Wir haben also die Relation:
Ŝ+ Ŝ = 1
(2.38)
Dies stellt die Verallgemeinerung von R + T = 1 bei der Potentialschwelle dar. Für diagonale Einträge
bedeutet diese Eigenschaft:
(Ŝ+ Ŝ)nn = ∑ |rnn0 |2 + ∑ |tmn |2 = 1
n0
(2.39)
m
Man kann nun den Strom mit Hilfe von Formel 2.29 berechnen und erhält:
Z
I = 2s e
dkx
vx (kx ) ∑ fn (kx )
2π
n
(2.40)
Hierbei müssen wir zwischen den rückgestreuten Elektronen und aus der Elektrode getunnelten Elektronen
unterscheiden. Dies lässt sich durch Unterscheidung nach den Wellenvektoren einfach erreichen, wie es in
Abbildung 2.14 angedeutet ist. Damit gilt für den Strom:
Z
 ∞ dkx
I = 2s e 



2π
0
vx (kx ) fL (E) +
Z 0
dkx
−∞


vx (kx )  fL (E) ∑ |rnn0 |2 +(1 − Rn (E)) fR (E) (2.41)
|
{z
}
2π
n0
=Rn (E)
= 2s e ∑
n
Z ∞
dkx
0
2π
vx (kx )(1 − Rn (E)) [ fL (E) − fR (E)]
(2.42)
Hierbei gilt 1 − Rn = ∑m |tmn |2 = (tˆ+tˆ)nn wegen 2.38 und 2.39. Zusätzlich kann man noch vx (kx ) =
benutzen und erhält:
2s e
I=
2π h̄
Z ∞
0
dE Tr(tˆ+tˆ) [ fL (E) − fR (E)]
| {z }
1 ∂E
h̄ ∂ kx
(2.43)
∑ p Tp
Mit den Eigenwerten der Matrix Tp .
Wir können nun für kleine Spannungen entwickeln, um den Leitwert zu erhalten:
I G= = GQ ∑ Tp (µ)
V V →0
p
(2.44)
Dies ist wieder die Landauer Formel (1970).
In realistischen Systemen beobachtet man eine Verteilung der Eigenwerte, sodass man die Formel schreiben
Seite 16
2.3. STREUMATRIX UND OPERATORFORMULIERUNG DES TRANSPORTS
kann als:
P(T ) = h∑ δ (T − TP )i ⇒ G = GQ
Z
dT T P(T )
(2.45)
p
Hier seien zwei Spezialfälle betrachtet:
• QPC Verteilungen:
P(T ) ≈ No f f en δ (1 − T ) + ∞δ (T )
(2.46)
• diffusiver Leiter
PD (T ) =
hGi
1
√
2GQ T 1 − T
(2.47)
Bemerkung:
In zweiter Quantisierung kann man dieses System wieder genauso behandeln wie die Potentialschwelle (Abbildung 2.21).
ikx
a+
ke
ikx
b+
ke
Abbildung 2.21: Potentialschwelle
Man hat hierbei z.B. einen Hamiltonian wie H =
schreiben kann als:
H =∑
k
2.3.1
p2
2me
+ δ (x)V0 , den man in zweiter Quantisierung
h̄2 k2 +
a ak + a+
k bk
2me k
(2.48)
Strom mit Hilfe von Operatoren
+
Wir definieren Operatoren a+
α=R/L, nσ (E) für einlaufende Wellen und bα=L/R, nσ (E) für auslaufende Wellen.
Aus 2.35 erhalten wir:
bαlσ (E) =
∑
Sαl,β l 0 (E)aβ l 0 σ (E)
β =R/L
b+
αlσ (E) =
∑0 Sβ l0,αl (E)a+β l0σ (E)
βl
Seite 17
(2.49)
2.3. STREUMATRIX UND OPERATORFORMULIERUNG DES TRANSPORTS
Hierbei sind a und b jeweils fermionische Operatoren. D.h. es gilt:
+
0
a+
αlσ (E)aβ l 0 σ 0 (E) + aβ l 0 σ 0 (E)aαlσ (E) = δαβ δll 0 δσ σ 0 δ (E − E )
aαlσ (E)aβ l 0 σ 0 (E) + aβ l 0 σ 0 (E 0 )aαlσ (E) = 0
(2.50)
2 2
Der Hamiltonian ist hierbei gegeben durch H = ∑k h̄2mk a+
k ak − µN, sodass wir den Erwartungswert berechnen können:
0
ha+
αlσ (E)aα 0 l 0 σ 0 (E)i = δαα 0 δll 0 δσ σ 0 δ (E − E ) f α (E)
(2.51)
Damit können wir auch die Wellenfunktion wieder notieren, die hierbei im Gegensatz zu 2.34 ein Integral
über die Energien beinhaltet:
Z
ΨL,σ (~r,t) =
i Et
h̄
dEe
(n)
(n)
φn (yn , zn )
ikx x
−ikx x
∑ p2π h̄v (E) aLkσ e + bLkσ e
n
n
(2.52)
Ähnlich sind auch die Wellenfunktionen für die rechte Zuleitung.
Ferner benötigen wir nun für den Strom noch den Stromoperator, wie man ihn aus der Quantenmechanik
kennt:
ˆ L ,t) = −i h̄e ∑
I(x
2me σ
Z
+
dyL dzL Ψ+
Lσ (∂xL ΨLσ ) − (∂xL ΨLσ )ΨLσ
(2.53)
Um den Strom zu berechnen muss man nun zwei mal mitteln. Zunächst erfolgt eine Mittelung über die Zeit
und dann eine quantenmechanische Mittelung. Für die erste Mittelung kann man sich des Tricks bedienen,
anzunehmen, alle Größen seien periodisch mit der Periode τ und diese Periode nach unendlich zu schieben.
Man hat dann nur die erlaubten Energien: E = 2πτh̄q , q ∈ Z. Damit kann man das Integral über die Energien
in den Wellenfunktionen umschreiben:
2π h̄
τ ∑
n
(2.54)
hei(E−E )t it = δqq0
(2.55)
Z
dE →
Die zeitliche Mittelung ergibt dann:
0
Seite 18
2.3. STREUMATRIX UND OPERATORFORMULIERUNG DES TRANSPORTS
Damit erhalten wir den zeitlich und quantenmechanisch gemittelten Strom:
ˆ t = GQ
hIi
e
GQ
=
e
2π h̄
τ
2
2π h̄
τ
2
∑∑
+
aLnσ (E)aLnσ (E) − b+
(E)b
(E)
Lnσ
Lnσ
(2.56)
nσ E
∑ ∑ 0 ∑ a+αlσ (E)aβ l0σ 0 (E)
∗
δαl δβ l δnl δnl 0 − Ŝαl,Ln
ŜLn,β l 0 (E)
(2.57)
nσ αβ ,ll E
Hierbei haben wir von der zweiten zur ersten Zeile die Formel 2.49 benutzt und benutzt, dass δ (E − E 0 ) =
τ
2π h̄ δqq0 . Führt man die Rechnung nun zu Ende, so erhält man die Landauer Formel zurück.
2.3.2
Systeme mit mehreren Zuleitungen
Wir wollen nun Systeme mit mehreren Zuleitungen wie in Abbildung 2.22 betrachten.
2, R früher
1, L früher
3
4, ...
1
Abbildung 2.22: System mit mehreren Zuleitungen
Es sind nun mehrere Änderungen an der vorherigen Rechnung vorzunehmen:
• In 2.52 müssen die Argumente in xα , yα , zα , α = 1, · · · , N geändert werden statt α = R, L.
• Die Streumatrix 2.49 erhält Indizes α, β = 1, · · · , N statt R, L.
• Die Landauer Formel transformiert sich zu:
GQ
Iα = −
e
Z ∞
0
+
dE ∑ Tr δαβ − Ŝαβ
Ŝαβ fβ (E)
(2.58)
β
Die Formel ist auch bekannt als Landauer-Büttiker Formel. Der Teil mit δαβ beschreibt aus der Elektrode kommende Elektronen, während der Teil mit den Streumatrizen Reflektion und Transmission
am Streuer bezeichnet.
Seite 19
2.3. STREUMATRIX UND OPERATORFORMULIERUNG DES TRANSPORTS
• Die Formel 2.44 mutiert zu:
Iα =
h
i
+
G
V
,
G
=
−G
Tr
δ
−
Ŝ
Ŝ
αγ
Q
∑ αγ γ αγ
αγ αγ
(2.59)
γ
Hierbei werden die Streumatrizen bei E = µ betrachtet und die Leitfähigkeiten können bei kleinen
Spannungen als energieunabhängig angenommen werden. Man kann sich die Situation in Abbildung
2.23 verdeutlichen.
µL
µR
µL → µR = µ
Abbildung 2.23: Situation am Quantenpunktkontakt bei kleiner Spannung
• Als letzte Veränderung wird ein Analogon zu GRL = GLR im Quantenpunktkontakt benötigt. Hierbei
kann man sich aus der Kirchhoffschen Regel ∑α Iα = 0 sofort ableiten:
∑ Gαβ = 0
(2.60)
α
Die letzte Regel ist dabei tatsächlich identisch zu GLR = GRL , denn es gilt für den Strom aus der linken
Elektrode:
IL = GLLVL + GLRVR = GLR (VR −VL )
(2.61)
IR = GRRVR + GRLVL = GRL (VL −VR )
(2.62)
Hierbei haben wir jeweils GLL + GLR = 0 und GRR + GRL = 0 ausgenutzt. Mit IL = −IR folgt damit GRL =
GLR .
Seite 20
2.4. 2- UND 4-KONTAKTMESSUNGEN
2.4
2- und 4-Kontaktmessungen
Wir betrachten zunächst ein System mit Quelle, Senke und einem Spannungsmesser (3) mit hohem Widerstand, sodass I3 = 0 gilt (Abbildung 2.24).
I1
I2
1
3
I3 = 0
2
Abbildung 2.24: Spannungsmesser zwischen Quelle und Senke
Es gilt dann für den Strom:
I3 = G31V1 + G32V2 + G33V3
⇒ V3
(2.63)
= G31 (V1 −V3 ) + G32 (V2 −V3 ) = 0
G31V1 + G32V2
=
G31 + G32
(2.64)
(2.65)
Hierbei entspricht V3 b(also das quantenmechanische Messergebnis) gerade dem klassischen Ergebnis. Das
gleiche erhält bei der Anordung in Abbildung 2.25.
G1A
GA2
1
3
2
Abbildung 2.25: Klassisches System mit 3 Zuleitungen
Hier kann man ebenfalls angeben:
V1 −V2
V1 −V3
V2 −V1
= G12
V2 −V3
G1A = G12
GA2
(2.66)
Betrachten wir nun 4-Kontaktmessungen wie in Abbildung 2.26. Wir suchen nun die Spannungen bzw.
Leitwerte in A und B.
Seite 21
2.4. 2- UND 4-KONTAKTMESSUNGEN
direktes Tunneln
Streuer
1
2
B
A
Abbildung 2.26: 4 Punktmessung mit 2 Spannungsmessern A und B
Nehmen wir nun an w sei die (sehr kleine) Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron in die Spitze A hineintunnelt. Es gibt nun zwei Möglichkeiten für ein solches Tunneln von 1 aus:
• direktes Tunneln von 1 in A mit Wahrscheinlichkeit w
• indirektes Tunneln nach Reflektion am Streuer mit der Wahrscheinlichkeit (1 − T )w
Wir haben damit einen Leitwert:
GA1 = GQ w(2 − T )
(2.67)
Für den Prozess aus der Elektrode 2 aus gibt es nur eine Möglichkeit:
GA2 = GQ wT
(2.68)
Wir können damit nun die Spannung Vα berechnen, indem wir 2.66 benutzen:
T
T
+V2
VA = V1 1 −
2
2
(2.69)
Wir haben hierbei also VA 6= V1 obwohl kein Streuer zwischen 1 und A vorhanden ist. Wir beobachten also
schon hier ein nicht-klassisches Verhalten. Hierbei ist VA das Ergebnis der krummen“ Energieverteilung
”
der Elektronen. Diese können wir folgendermaßen erhalten:


1

f1 (E)
+ (1 − T ) f1 (E) + T f2 (E) 

| {z }
|
{z
}
| {z }
2
einlaufende Elektronen
reflektierte
transmittierte
T
T
=
1−
f1 (E) + f2 (E)
2
2
fA (E) =
Seite 22
(2.70)
(2.71)
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
Aus 2.66 und G12 = GQ T erhalten wir:
V1 −V2
= 2GQ
V1 −VA
V1 −V2
= G12
= 2GQ
VB −V2
V1 −V2
T
= GQ
6 G12
=
= G12
VA −VB
1−T
G1A = G12
GB2
GAB
(2.72)
Es zeigt sich damit, dass der Leitwert nicht lokal ist. Die Inversen von G1A und GB2 bezeichnet man auch
als die Kontaktwiderstände. Diese entstehen an den Tunnelkontakten. In der Tat gilt:
1
1
1
1
+
+
=
G1A GB2 GAB GQ
1 1 1−T
+ +
2 2
T
=
1
GQ T
=
1
G12
(2.73)
Wir können uns die Situation der chemischen Potentiale auch in Abbildung 2.27 veranschaulichen.
µL
µR
Hier entstehen die Widerstände
Abbildung 2.27: Kontaktwiderstände
Wir haben damit in dem System sowohl die 2-Kontaktspannung V12 als auch die 4-Kontaktspannung VAB .
Die Diskussion der Kontaktwiderstände findet sich z.B. auch im Buch von Datta.
2.5
Quanteninterferenzeffekte und Aharonov-Bohm Effekt
Betrachten wir ein Teilchen in einem äußeren Feld 2.28.
e−
x1
e−
x2
Abbildung 2.28: Teilchen in einem äußeren Feld
Seite 23
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
Quantenmechanisch ist hierbei nicht nur die Bewegung des Teilchens, sondern auch die Phase bedeutend.
Am Punkt x1 haben wir Ψ(x1 ) ∝ eikx1 , Ψ(x2 ) ∝ eikx2 .
Für eine freie Bewegung können wir die Phasendifferenz ausdrücken durch ∆φ = k(x1 − x2 ) = kL. Im Feld
müssen wir die Entwicklung der Phase im Feld betrachten: Ψ(x) ∝ eiφ (x) . Es gilt mit dem Profil E0 (x) des
Potentials:
p
2m(E − E0 (x))
dφ (x)
= k(x)
(2.74)
dx
h̄2
Die Phase ist also energieabhängig. Schreiben wir die Energie als E = h̄v(x)k(x) und damit
1
dk(x)
=
,
dE
h̄v(x)
(2.75)
so kann man die Phasenentwicklung notieren als:
dφ
=
dE
Z x2
dx
x1
h̄v(x)
=
τ
h̄
(2.76)
Hierbei bezeichnet τ die Flugzeit des Teilchens. Auf einem festgelegten Pfad x(t) des Teilchens beobachten
wir daher die Phasendifferenz:
Z x2
∆φ =
dx
x1
eV τ
1
E0 (x) ≈
h̄v(x) | {z }
h̄
(2.77)
eV (x)
Z
=
dt
eV (x(t))
h̄
(2.78)
Man bezeichnet diese Phase auch als die dynamische Phase. Sie ist zeitumkehrinvariant.
2.5.1
Was passiert im Magnetfeld?
Betrachten wir nun die Schrödingergleichung im Magnetfeld:
ie ~ 2
1
−
h̄∇ + A ΨB (~r) = EΨB (~r)
2me
h̄
(2.79)
Z
e ~r ~~
dlA
ΨB (~r) = Ψ0 (~r) exp −i
h̄c
(2.80)
Die Lösung hat die Form:
Seite 24
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
Hierbei bezeichnet Ψ0 die Lösung der Schrödingergleichung ohne Feld. Wir haben damit die magnetische
oder Aharonov-Bohm Phase:
e
∆φmag =
h̄c
Z t2
t1
e
dt~A~v(t) =
h̄c
Z x2
d~l~A
(2.81)
x1
Diese Phase ändert das Vorzeichen bei Zeitumkehr.
Der Wert von ∆φmag ist allerdings unphysikalisch, da er weggeeicht werden kann, durch Wahl einer entsprechenden Eichung ~A → ∇~χ .
Entlang eines geschlossenen Pfades (also z.B. einem Interferenzexperiment) ist dies nicht möglich, da die
Phasendifferenz zwischen zwei Pfaden eichinvariant ist. Sie beträgt:
∆φmag
e
=
h̄c
I
πφ
d~S~B =
φ0
(2.82)
Hierbei bezeichnet
φ0 =
hc
2e
(2.83)
das Flussquantum.
Im Gegensatz zur Aharonov-Bohm Phase bezeichnet man als Aharonov-Bohm Effekt alle Effekte, die zu
einer periodischen Abhängigkeit der Observablen von ~B bzw. φφ0 führen. Wir betrachten nun einige dieser
Effekte.
2.5.2
Resonantes Tunnelln
Wir betrachten ein Potential mit einer rechten und einer linken Störstelle wie in Abbildung 2.29 mit den
Tunnel- bzw. Reflektionsamplituden tL ,tL0 , rL , rL0 ,tR ,tR0 , rR , rR0 .
ŜL
ŜR
eiχ
L
Abbildung 2.29: 2 Störstellen System
Man beobachtet hierbei verschiedene Prozesse wie sie in Abbildung 2.30 gezeigt sind.
Der mte Term in dieser Entwicklung wäre die Amplitude Am = tL eiχ tR (rR rL0 e2iχ )m−1 mit einer TransmissiSeite 25
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
L
R
A1 = tL eiχ tR
L
R
A2 = tL eiχ rR eiχ rL0 eiχ tR
L
R
A3 = tL eiχ tR (rR rL0 e2iχ )2
Abbildung 2.30: Tunnelprozesse höherer Ordnung
onsamplitude:
"
∞
t =
∑ Am = ∑ (rL0 rRe2iχ )m
m=1
=
∞
#
tLtR eiχ
(2.84)
m=0
tLtR eiχ
1 − rL0 rR e2iχ
(2.85)
Wir haben damit die Transmission:
T = |t|2 =
TL TR
√
,
1 + RL RR − 2 RL RR cos(2χ̃)
(2.86)
mit 2χ̃ = 2χ + arg(rL0 rR ).
Wir sehen somit, dass T (χ̃) periodisch in χ und χ̃ ist. χ̃ ist die Phase, die nach zwei Reflexionen von
den beiden Wänden aufgesammelt wird. Wir erhalten nun konstruktive Interferenz für 3χ̃ − χ̃ = 2χ̃ =
2πn und destruktive Interferenz für 2χ̃ = (2n + 1)π. Wir haben damit für den minimalen und maximalen
Transmissionskoeffizienten:
• Tmin =
TL TR
√
(1+ RL RR )2
≤ T (χ̃) ≤ Tmax =
• für TL,R 1 haben wir Tmin ≈
Tmax =
(1 −
p
TL TR
4
TL TR
√
(1− RL RR )2
und für den maximalen Transmissionskoeffizienten gilt:
TL TR
TL TR
4TL TR
≈
=
1
(1 − (1 − 2 (TL + TR ) + · · · ))2 (TL + TR )2
(1 − TL )(1 − TR ))2
Seite 26
(2.87)
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
Wenn TL = TR = T gilt, haben wir Tmax = 1. Das Phänomen auch bei endlichen Tunnelbarrieren perfekte Transmission zu erreichen bezeichnet man als resonantes Tunneln, wobei man die Resonanzen
auch als Fabry-Perrot Resonanzen verstehen kann. Die Tunnelrate ist in Abbildung 2.31 für verschiedene TL bei TL = TR aufgetragen.
T
1
χ = kL = χ(k) = χ(E)
E0
Abbildung 2.31: Transmissionskoeffizient bei verschiedenen TL und TL = TR
• Man kann nun χ um die Resonanz E0 herum entwickeln und erhält:
χ(E) = χ(E0 ) + const.(E − E0 ) + O((E − E0 )2 )
(2.88)
1
(E − E0 ), wobei w die Dimension Energie
Setzt man die Phase bei E0 auf Null, so erhält man χ ≈ 2w
besitzt. Damit können wir die Transmissionbei der Resonanz um E0 für TL , TR 1 notieren als:
T (E) ≈ TL TR
2 2
E−E0
TL +TR
+
2
w
(2.89)
Dies ist eine Lorentzverteilung bzw. eine Breit-Wigner-artige Resonanz. Wir können hierbei h̄ΓL,R =
wTL,R als Zerfallsraten eines gebundenen Zustands bei der Energie E0 auffassen. Wir können damit
die Transmission schreiben als:
T (E) = ΓL ΓR
2 2
E−E0
ΓL ΓR
+
2
h̄
(2.90)
Ebenso können wir die Zustandsdichte für die Quasiteilchen direkt zeichnen, die eine Breite von
ΓL + ΓR haben muss (siehe Abbildung 2.32).
Unser quantenmechanisches Resultat können wir nun mit dem klassischen Ergebnis vergleichen. Hierbei
müssen wir die möglichen Transmissionwahrscheinlichkeiten nur aufsummieren:
∞
Tkl =
∑
m=0
|Am |2 = TL TR
∞
TL TR
∑ (RL RR)2 = 1 − RL RR
m=0
Seite 27
(2.91)
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
ΓL + ΓR
E0
Amplitude
Abbildung 2.32: Zustandsdichte der Quasiteilchen zwischen den Barrieren
Wir haben hier keine Phase χ und damit auch keine Energieabhängigkeit des Transmissionkoeffizienten.
Für TL,R 1 können wir notieren:
Tkl =
TL TR
,
TL + TR
(2.92)
und damit folgen die Transmissionkoeffizienten dem Ohmschen Gesetz für Leitwerte:
1
1
1
=
+
Tkl
TL TR
(2.93)
Für die Widerstände gilt dann: Rkl = RL + RR .
2.5.3
Aharonov-Bohm Ring
Betrachten wir ein typisches Aharonov-Bohm Experiment (Abbildung 2.33).
Es gilt hierbei für die Phasen:
φ1 + φ2 = φAB =
πΦ
Φ0
(2.94)
Für die Realisierung des Beamsplitters (Strahlteilers) gibt verschiedene Optionen:
• symmetrisch


−1 2
2
1

Ŝ =  2 −1 2 
3
2
2 −1
(2.95)
Hierbei steht die 2 für Transmission und −1 für Reflexion. Das Vorzeichen kommt hierbei aus dem
Seite 28
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
ei(χ1 −φ1 )
ei(χ1 +φ1 )
Beamsplitter
1
Φ
2
L
ei(χ2 +φ2 )
3
R
ei(χ2 −φ2 )
Abbildung 2.33: Aharonov-Bohm-Ring mit Beamsplitter
Phasenshift einer Wellenfunktion an einer harten Wand. Der Wellenvektor ändert hierbei das Vorzeichen, was einem Phasenshift von π bzw. einem Vorzeichen −1 entspricht.
• idealer Strahlteiler
Ein idealer Strahlteileer zeichnet sich dadurch aus, dass es in einem Kanal keine Reflexion der Elektronen gibt, also:

− 21
1
2

Ŝ = 

1
2
√1
2
− 12
√1
2
√1
2
√1
2
0




(2.96)
Die einfachste Bewegung mit einem idealen Strahlteiler, die Elektronen durch das System machen können,
ist durch den oberen bzw. den unteren Arm zu tunneln (siehe Abbildung 2.34).
Abbildung 2.34: Einfachste Bewegung durch das Aharonov-Bohm Interferometer
Seite 29
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
Hierbei gilt für die Amplitude des Prozesses:
1
1
1
1
A = √ ei(χ1 +φ1 ) √ + √ ei(χ2 −φ2 ) √
2
2
2
2
1 i(χ1 +φ1 )
=
e
+ ei(χ2 −φ2 )
2
Hierbei steht der Faktor
Betragsquadrat:
√1
2
(2.97)
(2.98)
jeweils für das Hineintunneln und Hinaustunneln aus dem Arm. Folglich ist das
1
|A|2 ≈ (1 + cos(χ1 − χ2 + φAB ))
2
(2.99)
Man bezeichnet die so induzierten Fluktuationen auch als universal conductance fluctuations (UCF). Diese
Fluktuationenn sind 2Φ0 periodisch. Die fallen allerdings bei einer Mittelung über die externen elektrischen
Felder (also χ1 − χ2 ) fort. Um Effekte des Magnetfelds zu sehen, betrachten wir die nächste kompliziertere
Bewegung in Abbildung 2.35.
Abbildung 2.35: Komplizierteres Tunneln durch das Aharonov-Bohm Interferometer
Betrachten wir den ersten Prozess in der Abbildung, so gilt:
A1
1 i(χ2 −φ2 )
1 i(χ2 +φ2 ) 1 i(χ1 +φ1 ) 1
√
∝ √ e
−
e
e
2
2
2
2
1 i(2χ2 +χ1 ) iφ1
= − e
e
8
(2.100)
(2.101)
Betrachten wir den zweiten Prozess in Abbildung 2.35, so gilt:
1
1
1
1
A2 ∝ √ ei(χ2 −φ2 ) ei(χ1 −φ1 ) ei(χ2 −φ2 ) √
2
2
2
2
1 i(χ1 +2χ2 ) −i(φ1 +2φ2 )
=
e
e
8
2
iφ1
2
2
−i(φ1 +2φ2 ) |A| = |A1 + A2 | = e + e
2
= 1 − e−2i(φ1 +φ2 ) ≈ cos(2ΦAB )
Seite 30
(2.102)
(2.103)
(2.104)
(2.105)
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
Die χ’s fallen hierbei heraus, weil die Pfade jeweils zeitinvertierte Versionen voneinander sind. Die magnetische Phase überlebt aber. Die Fluktuationen sind Φ0 periodisch. Man bezeichnet diese Korrektur auch als
die weak localisation correction (Korrektur der schwachen Lokalisierung).
Betrachten wir nun die Amplituden mit allen Prozessen. Hierbei seien to,u die Amplituden für die Pfade,
die in der oberen bzw. unteren Hälfte des Interferometers starten. Es gilt:
1
1
t = √ (t0 + tu ) √
2
2 1 i2χ1
1
1
i(χ1 +φ1 )
t0 = e
+ −
e
−
to + tu
2
2
2
1
1
1
+ ei(χ1 +χ2 )+iΦAB
t0 + −
tu
2
2
2
(2.106)
(2.107)
Der erste Prozess besteht hierbei in der Reflexion an R und dann eines erneuten Durchlaufes durch das
Interferometer und der zweite Prozess besteht in der Transmission in R in der oberen Pfad, so dass eine Schleife durchlaufen wird und erneut das Interferometer durchlaufen werden kann. Damit ergibt sich
folgendes Gleichungssystem:
i
1 h 2iχ1
e
+ ei(χ1 +χ2 +ΦAB ) (to − tu )
4
h
i
1
= ei(χ2 −φ2 ) + e2iχ2 + ei(χ1 +χ2 −ΦAB ) (tu − t0 )
4
t0 = ei(φ1 +χ1 ) +
(2.108)
tu
(2.109)
Damit gilt:
t=
ei(χ1 +φ1 ) + ei(χ2 −φ2 ) + ei(χ1 +2χ2 +φ1 ) + ei(2χ1 +χ2 −φ2 )
1 − 41 e2iχ1 + e2iχ2 + 2ei(χ1 +χ2 ) cos ΦAB
Der Transmissionkoeffizient für χ1,2 =
T=
χ
2
(2.110)
hat dann die Form:
(1 − cos χ)(1 + cos2 ΦAB )
sin2 χ cos χ − 12 (1 + cos ΦAB )
(2.111)
Hierbei kann man cos2 ΦAB = 1+cos2 ΦAB schreiben, sodass man zwei überlagerte Schwingungen erhält. Der
Transmissionkoeffizient ist in Abbildung 2.36 vor und nach der Mittelung über χ gezeigt.
Diese Fluktuationen wurden auch experimentell beobachtet. Die Korrektur der schwachen Lokalisierung
wurde von Sharvin und Sharvin beobachtet (JETP Letters 34 1981). Ebenso wurden die universal conductance fluctuations von Webb et al. beobachtet (Physical Review Letters 54 1985) und der elektrostatische
Aharonov-Bohm Effekt wurde von Washburn et al. 1987 beobachtet (Physical Review Letters 59 1987).
Seite 31
2.5. QUANTENINTERFERENZEFFEKTE UND AHARONOV-BOHM EFFEKT
T
1
nach der χ Mittelung
1
2
3
φ
φ0
Abbildung 2.36: Transmissionkoeffizient vor und nach der Mittelung über die dynamische Phase
Seite 32
Kapitel 3
Elektronischer Transport als Tunneln
3.1
Tunnelkontakt
Wir betrachten zunächst einen typischen Tunnelkontakt aus linker und rechter Elektrode mit einem Abstand
von etwa 1 − 10nm. Die beiden Elektroden können als eindimensional angenommen werden (Abbildung
3.1).
Überlapp ∝ γ
WA
1D
EF = µL
EF = µR
Lk
1D
Rk
L
Abbildung 3.1: Tunnelkontakt mit 2 Elektroden
Für ein solches System können wir uns sofort den Hamiltonian notieren:
H = H0 [L, R] +
1
+
∗ +
0 + γ R Lk0
γL
R
k
∑
k
k
L2 k,k0
(3.1)
Hierbei werden mit H0 die getrennten Systeme bezeichnet. Sie lassen sich notieren wie:
H0 [L] =
1 h̄2 k2 +
L Lk
L∑
2me k
k |{z}
(3.2)
εk
Arbeiten wir im großkanonischen Ensemble muss man von der Energie noch das Potential µL subtrahieren.
Als nächsten Vereinfachungsschritt kann man die Dispersionsrelation der Elektronen an der Fermikante
33
3.1. TUNNELKONTAKT
linearisieren, da alle Prozesse nur Elektronen nah der Fermikante involvieren (Abbildung 3.2).
E
Dispersionsrelation
linearisierte Dispersionsrelation
Abbildung 3.2: Linearisierte Dispersionsrelation an der Fermikante
Die Dispersionsrelation wird dann linear in k:
εk =
h̄2 k2
h̄2
h̄2 kF2 h̄2 kF
k + O(k2 )
=
(k + kF )2 ≈
+
2me
2me
2me
me
| {z } | {z }
EF
(3.3)
h̄vF
≈ h̄vF k + · · ·
(3.4)
Der Operator Lk+ erzeugt ebene Wellen. Wir wollen dies nun zu in einer feldtheoretischen Darstellungsweise
formulieren und schreiben:
1
Lk eikx =
L∑
k
L(x) =
1
V
∑
Z
→
~k
Z
dk ikx
e Lk
2π
(3.5)
dd k
(2π)d
(3.6)
Das Umschreiben von einer Summe in ein Integral geschieht dabei über die Proportionalität k ∝
können damit den Hamiltonian für die linke Seite schreiben:
1
dk +
h̄vF kLk+ Lk = h̄vF
kL Lk
∑
L k
2π k
Z
Z
Z
h̄vF
ikx +
0 −ikx0
0
dk
dxe L (x)
dx e
L(x )
=
2π
|
{z
}|
{z
}
2π
L n.
Wir
Z
H0 [L] =
Lk+
=
h̄vF
2π
Z
Z
dk
dxeikx L+ (x)
Seite 34
(3.7)
(3.8)
Lk
Z
0
dx0 (i∂x0 e−ikx )L(x0 )
(3.9)
3.1. TUNNELKONTAKT
Das Integral können wir nun umschreiben wie dx(∂x0 f (x0 ))g(x0 ) = − dx0 f (x0 )∂x0 g(x0 ). Hierbei haben wir
angenommen, dass die Randterme im Unendlichen verschwinden. Dann können wir schreiben:
R
=
=
h̄vF
2π
Z
Z
R
Z
0
dx0 e−ikx ∂x0 L(x0 )
Z
ik(x−x0 )
0
dke
= 2πδ (x − x )
= −ih̄vF
dk
Z
dxeikx L+ (x)
dxL+ (x)∂x L(x)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Für den Tunnelhamiltonian haben wir:
1
γLk+ Rk0 + γ ∗ R+
0 Lk
∑
k
2
L k,k0
Z
Z
Z
dkdk0
ikx +
0 −ik0 x0
0
γ dxe L (x) dx e
R(x ) + h.c.
=
(2π)2
Z
=
dxdx0 δ (x)δ (x0 )γL+ (x)R(x0 ) + h.c.
(3.15)
= γL+ (0)R(0) + γ ∗ R+ (0)L(0)
(3.16)
HT =
(3.13)
(3.14)
Hierbei haben wir zwar einen Abstand zwischen den beiden Tunnelelektroden, aber das Tunneln wird als
instantan angenommen, sodass wir die Koordinatensysteme in beiden Elektroden so legen können, dass die
Tunnelkontakte bei x = 0 liegen (Abbildung 3.3).
x = 0 x = a, x̃ = 0
Abbildung 3.3: Koordinatensystem im Tunnelkontakt
Ferner betrachten wir hier nicht den zweiten Zweig in Abbildung 3.2, da Linksläufer vor der Reflexion
einmal Rechtsläufer waren. Es reicht daher nur Rechtsläufer zu betrachten, diese muss man dann aber für
x > 0 und x < 0 separat behandeln (chirale Darstellung).
Die Einheiten der Operatoren sind [L, R] = √1m ⇒ [γ] = J · m.
Seite 35
3.1. TUNNELKONTAKT
3.1.1
Stromoperator
Als nächstes benötigen wir den Stromoperator unseres Systems. Hierbei haben wir:
IL = e
d N̂L
e
1
= i H, N̂L , N̂L = ∑ Lk+ Lk
h̄
dt
L k
(3.17)
Z
dxL+ (x)L(x)
e +
γR (0)L(0) − γ ∗ L+ (0)R(0)
=
h̄
NL =
⇒ IˆL
(3.18)
(3.19)
Durch das unterschiedliche Vorzeichen von γ werden hierbei die beiden Seiten unterschieden.
3.1.2
Bewegungsgleichungsmethode
Wir wollen nun den Strom mit Hilfe der equations of motion (EOMs) lösen. Hierzu benutzen wir die
Heisenberggleichung:
iȦ =
1
[A, H]
h̄
(3.20)
Damit haben wir die folgenden Bewegungsgleichungen:
i(∂t + h̄vF ∂x )R(x) = γL(x)δ (x)
(3.21)
i(∂t + h̄vF ∂x )L(x) = γ ∗ R(x)δ (x)
(3.22)
Wir können nun in der chiralen Darstellung für einlaufende bzw. auslaufende Teilchen von rechts bzw. links
Operatoren gemäß (Abbildung 3.4) einführen.
auslaufend
x > 0, dk
ak , x > 0
L
R
x < 0, ck
bk , x < 0
einlaufend
Abbildung 3.4: Chirale Darstellung der Teilchen und zugehörige Operatoren
Hierbei gilt:
Z
L(x) =
Z
R(x) =
dk ikx−iεk t
e
2π
(
dk ikx−iεk t
e
2π
(
Seite 36
ak , x < 0
bk , x > 0
(3.23)
dk , x < 0
ck , x > 0
(3.24)
3.1. TUNNELKONTAKT
Wir haben hierbei eine Zeitabhängigkeit aus der Dispersion mit εk = h̄vF k, die aber nicht weiter von Bedeutung ist.
Wir integrieren nun (3.21) und (3.22) um x = 0 herum und erhalten:
ih̄vF R(x = 0+ ) − R(x = 0− ) = γL(0)
ih̄vF L(x = 0+ ) − L(x = 0− ) = γ ∗ R(0)
Wir benutzen nun Λ =
γ
h̄vF
(3.25)
(3.26)
und die Regularisierung L, R(0) = 12 [L, R(x = 0+ ) + L, R(x = 0− )] und erhalten:
Λ
(ck + dk )
2
Λ∗
i(ck − dk ) =
(ak + bk )
2
i(bk − ak ) =
(3.27)
(3.28)
Wir haben damit:
bk
2
1 − Λ2 Λ
= ak
Λ 2 − i
2 dk = rak + tdk
1+ 1 + Λ
2
(3.29)
2
ck = tak + rdk
(3.30)
Wir haben damit für den Strom:
e
hIˆL i = i hγR+ (0)L(0) − γ ∗ L+ (0)R(0)i
h̄
0
0
ik 0 1 (c+ + d + ) und L(0) =
Wir können nun wieder ersetzen durch R+ (0) = dk
k
2π e
2 k
müssen dann die Erwartungswerte berechnen wie:
R
+
(3.31)
R dk00 1
ik00 0 . Wir
2π 2 (ak + bk ) e
dkdk0 +
h(a + b+
k )(ck0 + dk0 )i
(2π)2 k
Z
dkdk0 1 +
=
h(a (1 + r∗ ) + t ∗ dk+ )(tak0 + (1 + r)dk0 )i
(2π)2 4 k
Z
hL (0)R(0)i =
(3.32)
(3.33)
+
Hierbei gilt ha+
k ak0 i = 2πδkk0 f L (k) (siehe auch 2.51). Genauso gilt h(dk dk0 )i = 2πδkk0 f R (k). Ferner haben
wir hdk+ ak0 i = 0 = ha+
k dk0 i. Damit können wir die obige Formel schreiben als:
Z
=
dk 1 ∗
[t (1 + r) fL + t(1 + r∗ ) fR ]
2π 4
Seite 37
(3.34)
3.2. RESONANTES TUNNELN
Hierbei muss hR+ (0)L(0)i das konjugiert komplexe sein, damit der Strom reell wird und wir erhalten:
1
dk ( fL − fR ) [γt(1 + r∗ ) − γ ∗ (1 + r)]
4
"
2 !#
Z
1 − Λ2 e
Λ∗ Λ
dk
= i h̄vF
( fL − fR ) −i
2 1 +
2
h
2
1 + Λ
1 + Λ
e
hIˆL i = i
2π h̄
Z
2
(3.35)
(3.36)
2
Da die Dispersionsrelation linear ist, ist Λ hier energieunabhängig. Wir können das Integral als Energieintegral schreiben mit h̄vF dk = dE und erhalten:
e
|Λ|2
=
2 2
h̄
1 + Λ2 =
Z
dE( fL − fR )
2s e2
|Λ|2
V
Λ 2 2 = GQV
h
1+2
(3.37)
|Λ|2
Λ 2 2
1+2
|
{z
}
Transmissionmskoeffizient
(3.38)
Hierbei kommt der Faktor 2s aus der Spinentartung.
Es gilt andererseits die Landauer Formel (2.43):
2s e
h
Z
dETr(t +t)( fL − fR )
2
2s e −iΛ Λ2
Λ = GQV
=
V
2
h 1 + 2 1 + Λ2 | {z }
I =
(3.39)
(3.40)
T
Der Transmissionskoeffizient ist hierbei energieunabhängig und hat die in Abbildung 3.5 gezeigte Form.
3.2
Resonantes Tunneln
Wir betrachten das Tunnelsystem in Abbildung 3.6.
Der Hamiltonian ist hierbei:
H = H0 [R, L] + E0 d + d + δ (x) γR R+ (x)d + d + R(x) + γL L+ (x)d + d + L(x)
(3.41)
Wir betrachten hierbei den Spinfreiheitsgrad nicht, da wir keine Magnetfeldeffekte haben. Der ungestörte
Hamiltonian ist hierbei gegeben als:
Z
H0 = ih̄vF
√
[γL,R ] = J m
dx R+ (x)∂x R(x) + L+ (x)∂x L(x)
(3.42)
(3.43)
Seite 38
3.2. RESONANTES TUNNELN
T
1
2
Λ
Abbildung 3.5: Transmissionkoeffizient im Tunnelkontakt
L
R
Tunneln
Abbildung 3.6: System für resonantes Tunneln
Wir erhalten nun die Bewegungsgleichungen wieder aus der Heisenberggleichung:
ih̄(∂t − vF ∂x )R(x) = γR δ (x)d
(3.44)
ih̄(∂t − vF ∂x )L(x) = γL δ (x)d
(3.45)
(ih̄∂t − E0 )d = γR R(0) + γL L(0)
⇒ ih̄vF R(0+ ) − R(0− ) = γR d
ih̄vF L(0+ ) − L(0− ) = γL d
Seite 39
(3.46)
(3.47)
(3.48)
3.2. RESONANTES TUNNELN
Man kann nun mit (ih̄∂t −E0 ) auf beide Gleichungen von links wirken und 3.46 für die rechte Seite benutzen
und erhält:
γR2
γL γR
R(0) +
L(0)
h̄vF
h̄vF
γL γR
γ2
−(h̄∂t + iE0 ) L(0+ ) − L(0− ) =
R(0) + L L(0)
h̄vF
h̄vF
− (h̄∂t + iE0 ) R(0+ ) − R(0− ) =
(3.49)
(3.50)
Wir definieren nun:
ΓR,L =
2
γL,R
2h̄vF
, [ΓL,R ] =
J2m
=J
Js ms
(3.51)
Jm
Man kann dies mit Λ = h̄vγF für den Tunnelkontakt vergleichen, wobei [Λ] = J·s·
m = 1. Man bezeichnet
s
hierbei Λ auch als die dimensionslose Kontakttransparenz und Γ als Kontakttransparenz.
Wir benutzen nun die Entwicklung der Operatoren in ebenen wellen für (3.23, 3.24):
Z
L(x,t) =
dk ikx−iωt
e
2π
(
ak , x < 0
bk , x > 0
(3.52)
Hierbei gilt ω = h̄vF k und wir benutzen die Regularisierung L(0,t) = 12 [L(0+ ,t) + L(0− ,t)]. Man erhält
dann die Gleichungen:
p
ΓL ΓR (ck + dk )
p
i(h̄vF k − E0 )(ck − dk ) = ΓR (ck + dk ) + ΓL ΓR (ak + bk )
i(h̄vF k − E0 )(bk − ak ) = ΓL (ak + bk ) +
(3.53)
(3.54)
Wir eliminieren nun ck und erhalten:
bk
√
(h̄vF k − E0 ) + i(ΓR + ΓL )
2 ΓR ΓL
= ak
− idk
(h̄vF k − E0 ) + i(ΓR + ΓL )
(h̄v k − E0 ) + i(ΓL + ΓR )
| F
{z
}
Transmissionsamplitude
T (k) = |t|2
T (ω) =
(3.55)
(3.56)
4ΓL ΓR
(ω − E0 )2 + (ΓL + ΓR )2
(3.57)
Man kann dieses Resultat nun mit 2.90 vergleichen, wo wir erhielten:
T (E) = ΓL ΓR
2 2
E−E0
ΓL +ΓR
+
2
h̄
(3.58)
Die Kontakttransparenz kann hierbei identifiziert werden mit dem inversen der Lebensdauer des Zustands
h̄
eines Elektrons auf dem Quantendot, die gegeben ist durch τ = ΓL +Γ
. Hierbei wirken die linke und die
R
Seite 40
3.2. RESONANTES TUNNELN
rechte Elektrode beim Zerfallen des Zustands gemeinsam. Folglich muss die Kontakttransparenz dimensionsbehaftet sein, um die Lebensdauer zu charakterisieren. Die zugehörige Energieverteilung der Zustände
ist in Abbildung 3.7 gezeigt.
E0
Abbildung 3.7: Energieverteilung des Zustands auf dem Quantendot
Der Strom durch den Quantendot ist gegeben durch:
2s e
I(V ) =
2π h̄
eV
2s 2
4ΓL ΓR
dωT (ω)( fL − fR ) =
dω
eV
h −2
(ω − E0 )2 + (ΓL + ΓR )2
!
!#
"
eV
eV
−
E
+
E
2s e 4ΓL ΓR
0
0
+ arctan 2
=
arctan 2
h (ΓL + ΓR )2
ΓL + ΓR
ΓL + ΓR
Z
T =0
Z
(3.59)
(3.60)
Das Verhalten ist folglich nichtlinear in V und damit nicht Ohmsch. Die Fermikante auf der rechten Seite
eV
wurde hierbei bei − eV
2 und auf der linken Seite bei 2 gewählt. Wir können die Abhängigkeit des Stromes
von der Spannung auch in Abbildung 3.8 betrachten. Hierbei sehen wir, dass wir zunächst nur eine schwache
Steigung haben, wenn da das Dotniveau und damit die Zustandsdichte auf dem Quantenpunkt weit entfernt
ist von dem Bereich, der von den beiden Fermikante umschlossen wird. Erst wenn das Dotniveau bei E0
erreicht wird, ergibt sich eine starke Steigung, die in eine Sättigung bei großen Spannungen übergeht, da
die gesamte Zustandsdichte abgedeckt wird.
Bei der maximalen Steigung gilt:
2s e 4ΓL ΓR
eV
h ΓL + ΓR ΓL + ΓR
4ΓL ΓR
= GQV
(ΓL + ΓR )2
I ≈
(3.61)
(3.62)
Für endliche Temperaturen können wir die Strom-Spannungscharakteristik mit der Ψ-Funktion notieren:
2GQ
1
Γ
eV
I(V ) =
ℑΨ +
1+i
e
2 2πΓ
2Γ
Seite 41
(3.63)
3.2. RESONANTES TUNNELN
I(V )
Sättigung
Imax =
4ΓL ΓR
2s e
h π (ΓL +ΓR )2
starke Steigung
−E0
E0
Abbildung 3.8: Strom-Spannungscharakteristik im Quantenpunktsystem
Wir können uns die Form auch in Abbildung 3.9 verdeutlichen, in der auch die Approximationen für große
und kleine TΓ angegeben sind.
Die Transistoreffizienz bei diesem nichtlinearen Verhalten ist hierbei am größten, falls T viel bis viel viel
kleiner als Γ ist.
Seite 42
3.2. RESONANTES TUNNELN
e GGQ
1
2
1 − π3
T 2
+···
Γ
π
4( TΓ )
3
T
Γ
Abbildung 3.9: Temperaturabhängige Strom-Spannungscharakteristik
Seite 43
3.2. RESONANTES TUNNELN
Seite 44
Kapitel 4
Coulomb-Blockade
Bei Quantenpunktkontakten haben wir meist ausgedehnte Kontakte, die wie eine Kapazität wirken können.
Man kann diese Kapazität im Experiment auch sehen. In (3.38) hatten wir das Ohmsche Verhalten von
Quantenpunktkontakten untersucht:
|Λ|2
I = IL = GQV 2 2
1 + Λ2 (4.1)
Im Experiment beobachtet man das Verhalten in Abbildung 4.1. Die Schwellenenergien zum Einsetzen des
e2
e
Stromes sind hierbei für T 2C
beobachtbar bei ± 2C
.
I(V )
e
− 2C
e
2C
V
Abbildung 4.1: Verhalten des Tunnelkontakts mit ausgedehnten Kontakten
Man sieht somit, dass man die Kapazität des Kontakts erst mit einem Elektron laden muss, bevor Strom
fließt.
45
4.1. EINZELELEKTRONENBOX (SEB)
4.1
Einzelelektronenbox (SEB)
Betrachten wir als nächstes Setup die sogenannte Einzelelektronenbox (Abbildung 4.2).
CG
RT
Elektrode
Insel
Metall
Insel
VG
−q1
C
q1
−q2 q2
CG
VG
=
Abbildung 4.2: Einzelektronenbox
Die Energie des Systems lässt sich einfach bestimmen:
1
Eel =
2
q21 q22
+
C CG
− q2VG
(4.2)
Wir können dies auch mit Spannungen ausdrücken mit CV1 = q1 , CGV2 = q2 und erhalten:
1
Eel = (CV12 +CGV22 ) −CGV2VG
2
(4.3)
Wir kennen nun verschiedene Beziehungen:
• V1 +V2 =
q1
C
+ CqG2 = VG
• −q2 + q1 = eN mit der quantisierten Inselladung eN
• Es gilt für die (als nicht quantisiert angenommene) induzierte Inselladung ferner: q = −CGVG , womit
Seite 46
4.1. EINZELELEKTRONENBOX (SEB)
folgt:
C
C +CG
CG
−q
= −(eN − q)
C +CG
q1 = (eN − q)
(4.4)
q2
(4.5)
Wir können damit die Energie schreiben als:
q 2
Eel = EC N −
−
e
e2
q2
, EC =
2CG
2(C +C )
|{z}
| {z G }
N−unabhängig
Ladungsenergie
(4.6)
Wir können uns das Verhalten auch in Abbildung 4.3 veranschaulichen. Für jedes N sieht man hierbei das
Energieprofil in Abhängigkeit der induzierten Ladung auf der Insel. Im zweiten Teil der Abbildung sieht
man die Besetzung der Insel, die sich in Abhängigkeit von der induzierten Ladung ändert.
Die sich ergebende Strompulse bei dem Transfer eines Elektrons sind hierbei experimentell beobachtbar.
4.1.1
Kriterien der Beobachtbarkeit
Es gibt zwei wichtige Kriterien an die Beobachtbarkeit:
2
• EC ≈ eC > Temperatur
Für die Kapazität gilt hierbei C ≈ 0, 01µm2 × 1nm ≈ 10−15 F ⇒ Ec ≈ 1K. Die Fläche ist hierbei z.B.
typisch für Pentium Prozessoren, während die Dicke von 1nm typisch ist für Aluminiumoxidschichten.
• Energieunschärfe wegen der endlichen Lebensdauer < EC
Man kann die Lebensdauer durch die RC-Dauer abschätzen:
δt ≈ RT C
C
=
GT
h̄
h̄GT
e2
=
EC =
δE ≈
δt
C
2C
⇒ GT e2
⇒ GT GQ
h̄
Man kann also sagen, dass man es wirklich mit einem Tunnelkontakt zu tun haben muss.
Seite 47
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
4.1. EINZELELEKTRONENBOX (SEB)
E
Ec
N = −1
N=0
−1
− 12
N=1
0
1
2
N=2
1
3
2
2
q
e
N
N=2
N=1
−1
0
1
2
q
e
Abbildung 4.3: Verhalten der Einzelelektronenbox
Seite 48
4.2. EINZELELEKTRONENTRANSISTOR (SET)
4.2
Einzelelektronentransistor (SET)
Das Setup eines Einzelelektronentransistors sieht man in Abbildung 4.4.
CL
CR
Insel
Metall
L
R
CG
VG
FL
TR
N
VG
VG
FR
TL
CG
VG
Abbildung 4.4: Einzelelektronentransistor
Die Energie ist hierbei gegeben durch:
e2
q 2
Eel = EC N −
, EC =
e
2C
C = CL +CR +CG
Seite 49
(4.11)
(4.12)
4.2. EINZELELEKTRONENTRANSISTOR (SET)
Wir haben hierbei vier verschiedene Transportprozesse (FromLeft, ToLeft, FromRight, ToRight):
• FL: ∆EFL (N) = Eel (N + 1) − Eel (N) − eVL
• TL: ∆ET L (N) = Eel (N − 1) − Eel (N) + eVL
• FR: ∆EFR (N) = Eel (N + 1) − Eel (N) − eVR
• TR: ∆ET R (N) = Eel (N − 1) − Eel (N) + eVR
Es gilt hierbei:
1 q
Eel (N ± 1) − Eel (N) = 2Ec ±N + ∓
2 e
(4.13)
Da gilt:
q 2
q 2
Eel (N + 1) − Eel (N) = Ec N + 1 −
− Ec N −
e
e
q2
q
q q2
2
2
= Ec (N + 1) − 2 (N + 1) + 2 − N − 2N + 2
e
e
e e
q
= Ec N 2 + 2N + 1 − 2 − N 2
e
(4.14)
(4.15)
(4.16)
Wir beobachten hierbei keinen Transport für ∆E > 0, da dann Energie nur dissipiert werden kann. Für
keinen Transport haben wir also die Bedingung:
∆ET L,T R,FL,FR > 0
(4.17)
Um nun die Bedingungen etwas angenehmer zu notieren machen wir die Annahme, dass die Spannung
symmetrisch anliegt, also VL = −VR = V2 und CR = CL gilt und wir im Gleichgewicht bei N = 0 sind. Dann
gilt aufgrund der obigen Gleichungen für die 4 Transportprozesse:
∆EFL (N = 0) =
∆ET L (N = 0) =
∆EFR (N = 0) =
∆ET R (N = 0) =
1 q
eV
−
2Ec
−
2 e
2
1 q
eV
2Ec
+
+
2 e
2
1 q
eV
2Ec
−
+
2 e
2
1 q
eV
2Ec
+
−
2 e
2
>0
(4.18)
>0
(4.19)
>0
(4.20)
>0
(4.21)
Man kann nun die entsprechenden Ungleichungen graphisch darstellen. Hierbei sehen wir, dass durch die
vier Ungleichungen eine Raute um q = 0 beschrieben wird, in der kein Transport erlaubt ist. Sie ist in Abbildung 4.5 durch N = 0 gekennzeichnet und durch die 4 Ungleichungen (Rand jeweils in blau) verdeutlicht.
Seite 50
4.2. EINZELELEKTRONENTRANSISTOR (SET)
Ebenso ergeben sich für andere N weitere Coulombrauten (coulomb diamonds). Ausserhalb der Coulombrauten ist Transport zwischen zwei oder mehr Zuständen der Insel erlaubt. Für asymmetrische Systeme
(CL 6= CR ) ergeben sich asymmetrische Rauten. Diese sind ebenfalls eingezeichnet.
eV
1
2Ec
2
N = −1
−e
0↔1
N=1
N=0
e
− 2e
q
e
2
4
−2Ec
Entartungspunkt
0↔1
asymmetrische Systeme (CL 6= CR )
3
Abbildung 4.5: Coulomb-Rauten für N = 0, N = −1 und N = 1
Die Tatsache, dass innerhalb der Coulombraute kein Transport stattfindet, bezeichnet man als Coulombblockade. Man darf hierbei nicht N als absolute Zahl der Elektronen auf der Insel verstehen, sondern als
gemessen relativ zu einem bestimmten Elektroneninhalt.
Die Relation zur Einzelelektronenbox sehen wir, wenn wir eV = 0 betrachten. Wir betrachten dazu nur die
q-Achse wie in Abbildung 4.6. Man sieht hierbei wieder jeweils die Peaks in der IV-Charakteristik.
I
q
− 2e
e
2
3
2e
Abbildung 4.6: Relation zum Einzelelektronentransistor durch Projektion auf eV = 0
Seite 51
4.3. STROM-SPANNUNGS-CHARAKTERISTIK DES SETS - MASTER-GLEICHUNG METHODE
Die Relation zum Tunnelkontakt kann man auch herstellen für VG = 0, also wenn man nur die eV -Achse
betrachtet. Hierbei sieht die Strom-Spannungscharakteristik wie in 4.7.
I
e
− 2C
e
2C
eV
Abbildung 4.7: Verbindung zum Tunnelkontakt durch Projektion auf die eV -Achse
Aus unserer Betrachtung des Tunnelkontakts sehen wir damit auch, dass oberhalb von Ec ein linearer Spannungsanstieg vorliegen muss.
Wir können uns nun fragen, wann wir I 6= 0 erhalten. Hierfür müssen mindestens zwei Energien positiv
sein, also z.B.:
eV
1 q
−
−
<0
2Ec
2 e
2
eV
1 q
−
<0
2Ec −1 + +
2 e
2
1 q
eV
2Ec 1 + −
−
>0
2 e
2
1 q
eV
2Ec
−
+
>0
2 e
2
∆EFL (N) < 0 ⇒
∆ET R (N + 1) < 0 ⇒
∆ET L (N + 1) > 0 ⇒
∆EFR (N) > 0 ⇒
(4.22)
(4.23)
(4.24)
(4.25)
Genauso kann man sich die übrigen Rauten konstruieren.
4.3
Strom-Spannungs-Charakteristik des SETs - Master-Gleichung
Methode
Sei pN (t) die Wahrscheinlichkeit N Elektronen auf der Insel zu haben, dann können wir unter Annahme
sequentiellen Tunnelns die zeitliche Änderung der Wahrscheinlichkeit berechnen:
d pN (t)
= − [ΓF (N) + ΓT (N)] pN (t) + ΓF (N − 1)pN−1 (t) + ΓT (N + 1)pN+1 (t)
dt
Seite 52
(4.26)
4.3. STROM-SPANNUNGS-CHARAKTERISTIK DES SETS - MASTER-GLEICHUNG METHODE
Hierbei ist Γ die Rate für den jeweiligen Übergang bzw. die Wahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit. Es gilt:
ΓF = ΓFR + ΓFL , ΓT = ΓT L + ΓT R
(4.27)
Wir können auch den Strom im stationären Zustand berechnen über:
IL,R = e ∑ ΓF,(L,R) (N) − ΓT (L,R) (N) pN
(4.28)
N
Wir erhalten einen stationären Zustand, indem wir setzen:
d pN (t)
= 0,
dt
∑ pN = 1
(4.29)
N
Man erwartet ebenfalls IL = IR aufgrund der Ladungserhaltung. Die Rate entspricht den Tunnelereignissen
pro Zeiteinheit, d.h. für einen Tunnelkontakt ohne Coulombblockade gilt:
Γ=
I
GV
GeV
=
= 2
e
e
e
(4.30)
Die Rate ist hierbei eine positive Größe. D.h. um die verschiedenen Tunnelrichtungen zu beachten haben
wir für Vorwärts (f) und rückwärts (b) gestreute Teilchen die Raten (bei T = 0):
Γ f = eV θ (eV )
G
G
, Γb = −eV θ (−eV ) 2
2
e
e
(4.31)
Betrachten wir zusätzlich die Coulombblockade so ergibt sich die Situation in Abbildung 4.8.
eV
L
∆Eel
eV
R
L
R
Abbildung 4.8: Tunneln ohne und mit Coulombblockade
Wir sehen hierbei, dass zusätzlich die Energie ∆Eel überwunden werden muss und damit für die Rate mit
Coulombblockade (mit den ∆E’s aus den obigen Transportgleichungen) gilt:
G
Γ = (eV − ∆Eel ) θ (eV − ∆Eel ) 2
{z
}
|
e
(4.32)
∆E
=
G
(−∆E)θ (−∆E)
e2
Seite 53
(4.33)
4.3. STROM-SPANNUNGS-CHARAKTERISTIK DES SETS - MASTER-GLEICHUNG METHODE
Wir sehen hierbei sofort einige Eigenschaften der Rate:
• ∆E > 0 ⇒ Γ = 0
• für endliche Temperaturen müssen wir die Theta-Funktionen durch Fermi-Verteilungen ersetzen:
G
Γ = 2
e
Z
dE f (E)(1 − f ( |{z}
E 0 ))
(4.34)
=E−∆E
G ∆E
= 2 ∆E
e e T −1
(4.35)
Hierbei ist E die Energie vor dem Tunneln und E 0 die Energie nach dem Tunneln.
• Man beobachtet somit ein sogenanntes thermal rate enhancement:
Γ(T 6= 0) > Γ(T = 0)
(4.36)
• Für die Raten gilt die detaillierte Balance:
∆E
Γ(∆E)
= e kB T
Γ(−∆E)
(4.37)
Diese liefert die Boltzmanngewichte für eV = 0. Wir sehen damit, dass unsere Näherung bei endlichen
Temperaturen nur eine gute Näherung ist, wenn die Tunnelrate gemessen an den Temperaturen klein
ist. Bei niedrigen Temperaturen ist die Master-Gleichung oft keine geeignete Beschreibung.
Wir gehen nun zurück zu 4.26 und 4.28 und zur Raute 0 ↔ 1. Für diese gilt:
d p0
= −ΓT (0)p0 + ΓF (1)p1 = 0
dt
d p1
= −ΓF (1)p1 + ΓT (0)p0 = 0
dt
(4.38)
(4.39)
Damit gilt für den stationären Zustand:
(0)
p0 =
ΓT (0)
ΓF (1)
(0)
, p1 =
ΓT (0) + ΓF (1)
ΓT (0) + ΓF (1)
(4.40)
Für den Strom gilt dann:
IL
ΓT L (0)ΓFR (1) − ΓFL (1)ΓT R (0)
(0)
(0)
= ΓT L (0)p0 − ΓFL (1)p1 =
e
ΓT (0) + ΓF (1)
Seite 54
(4.41)
4.3. STROM-SPANNUNGS-CHARAKTERISTIK DES SETS - MASTER-GLEICHUNG METHODE
Für die Energiedifferenzen gilt:
eV
2
eV
∆ET R (0) = −∆EFR (1) = w +
2
1 q
w = 2Ec
−
2 e
∆ET L (0) = −∆EFL (1) = w −
(4.42)
(4.43)
(4.44)
Wir haben damit in der betrachteten Coulombraute |w| + eV
2 < Ec . Für die Raten können wir für V > 0
und T → 0 notieren:
eV
−
w
ΓT L (0) = GL 2 2
(4.45)
e eV
+w
(4.46)
ΓFR (0) = GR 2 2
e
Damit haben wir für den Strom mit G∞ =
GR GL
GR +GL :
2
1 − 2w
G∞V
eV
I∞ =
2 1 − 2w GL −GR
eV
GL GR
(4.47)
Wir können uns die Abhängigkeit auch in Abbildung 4.9 verdeutlichen. Man sieht hierbei, dass der Strom
an den Rändern der Coulombraute verschwindet und in der Mitte sein Maximum erreicht.
2I
G∞ V
w
− 2eV
0
w
2eV
Abbildung 4.9: Strom durch den Einzelelektronentransistor in der Coulombraute 0 ↔ 1
Wir können nun in 4.5 auch den Entartungspunkt betrachten. Hierbei erwarten wir in der Regel einen
verschwindenden Strom, aber eV kann kleiner als die thermische Energie kB T sein. Wir benutzen für die
Strom-Spannungscharakteristik wieder:
I = e
ΓT L (0)ΓFR (1) − ΓFL (1)ΓT R (0)
ΓT (0) + ΓF (1)
Seite 55
(4.48)
4.3. STROM-SPANNUNGS-CHARAKTERISTIK DES SETS - MASTER-GLEICHUNG METHODE
Aber wir benutzen statt Γ =
G
(−∆E)θ (−∆E)
e2
G
Γ= 2
e
Z
für T = 0 den Ausdruck in 4.35:
dE f (E) [1 − f (E − ∆E)] =
G ∆E
e2 e k∆E
BT − 1
(4.49)
Wir entwickeln nun für eV → 0 bzw. für kleine Spannungen im Vergleich zu kB T :
w
G
kB T
=
G∞ 2 sinh w
kB T
(4.50)
GL
gilt G1∞ = G1R + G1L bzw. R∞ = RR + RL . Dieses Verhalten ist das typische Verhalten OhmFür G∞ = GGRR+G
L
scher Widerstände. Der Faktor bezeichnet also die Abweichung von G vom Ohmschen Verhalten. Maximal
gilt hierbei: Gmax = G2∞ .
Wir wollen damit die Diskussion der Theorie beenden und einige Vorhersagen für Experimente betrachten.
• Für V → 0 beobachtet man Coulomboszillationen im Leitwert, je nachdem wie die Insel geladen ist.
Hierbei geht das Verhalten für hohe Spannungen langsam in Ohmsches Verhalten über, wie es in
Abbildung 4.10 gezeigt ist.
G
G∞
− 32
− 21
1
2
3
2
q
e
Abbildung 4.10: Coulomboszillationen und Übergang zu Ohmschem Verhalten bei großen Spannungen
• Für feste Gatespannung VG beobachtet man, wie nach und nach mehr Niveaus auf der Insel zum
Transport beitragen, wenn die Spannung erhöht wird. man beobachtet die sogenannte Coulombleiter
(siehe Abbildung 4.11).
Als nächsten Effekt betrachten wir das mögliche Kotunneln.
Seite 56
4.4. KOTUNNELN
I
q
2C
V
Abbildung 4.11: Coulombleiter
4.4
Kotunneln
Wir kennen die Wahrscheinlichkeit bzw. die Rate für ein Elektron auf der linken Seite auf die Insel zu tunneln (ΓL ). Die Lebensdauer dieses Zustands beträgt dann tD ≈ Eh̄c . Die Wahrscheinlichkeit während dieser
Zeitdauer auch gleich nach rechts weiterzutunneln beträgt ≈ ΓRtD 1. Man bezeichnet diesen Prozess als
Kotunneln. Damit können wir die Kotunnelrate sofort abschätzen:
Γcot ≈ ΓFL ΓT R
h̄
Ec
(4.51)
Die einzelnen Raten können wir hierbei über die RC-Zeit abschätzen, wobei wir annehmen wollen, dass
1
c
= CG = GE
. Damit haben wir für
das System symmetrisch ist. ΓFL ≈ ΓT R ≈
Γse
≈ RC
e2
|{z}
single electron process
die Kotunnelrate:
Γcot
e2
G
= Γse
, GQ =
GQ
h̄
Wir erhalten also eine starke Unterdrückung des Kotunneln, da
4.4.1
(4.52)
G
GQ
1.
Spannung/Temperatur-Abhängigkeit
Betrachten wir den Prozess des Kotunnelns noch einmal in Abbildung 4.12. Hierbei sehen wir, dass auf der
Insel ein Elektronen-Loch-Paar gebildet wird.
Nach dem Tunneln haben wir damit zwei Elektronen und zwei Löcher. Die zugehörigen Energien ε1,··· ,4
sind hierbei alle etwa von der Größe Ec . Für eV < Ec gilt dann ∑i εi ≤ eV und damit eine Abschwächung
Seite 57
4.4. KOTUNNELN
ε2
ε4
ε1
Elektrode
ε3
Insel
Abbildung 4.12: Kotunnelprozess mit zugehörigen Energien
bzw. Eingrenzung des verfügbaren Phasenraums. Dieser ist proportional zu
die anderen fixiert ist.
Wir müssen dies in der Tunnelrate berücksichtigen und erhalten damit:
Γse → Γse
eV
Ec
3
eV
Ec
Ec eV 3 G eV 2
= G 2
= 2
eV
e
Ec
e
Ec
2
1 G
eV
=
eV
h̄ GQ
Ec
3
, da eine Energie durch
(4.53)
(4.54)
Wir können dies nun wieder in 4.52 einsetzen und erhalten:
G
1 GR GL
≈ Γse
=
GQ h̄ G2Q
Γcot
eV
Ec
2
eV
(4.55)
Falls allerdings die thermische Energie kB T ≥ eV , dann haben wir eher ∑i εi ≤ max(eV, kB T ) und die zur
Verfügung stehenden Zustände werden durch kB T und nicht durch eV begrenzt. Für das Tunneln auf die
Insel haben wir den ersten Fall kB T < eV vorliegen und für das Tunneln von der Insel haben wir den zweiten
Fall vorliegen. Damit haben wir für die Kotunnelraten:
ΓLR
cot
ΓRL
cot
1 GR GL
≈
h̄ GLQ
eV
≈ ΓLR
cot
kB T
kB T
Ec
2
kB T
(4.56)
(4.57)
Es ergibt sich damit für den Strom durch inelastisches Kotunneln:
I
4.4.2
∝ ΓLR
cot
− ΓRL
cot
∝V
G
GQ
2 kB T
Ec
2
(4.58)
Elastisches Kotunneln
Im Fall von inelastischem Kotunneln hatten wir einen Prozess mit zwei Elektronen und zwei Löchern
betrachtet. Der gleiche Prozess könnte auch elastisch vor sich gehen, wenn das gleiche Elektron gleich
Seite 58
4.4. KOTUNNELN
weitertunnelt. Hierbei müssen wir allerdings beachten, dass die Energieseparation auf der Insel δs sehr
klein ist. Ein Elektron besetzt einen solchen Zustand. Die Wahrscheinlichkeit, dass das gleiche Elektron
weitertunnelt, muss also mit Eδsc unterdrückt sein:
Γse →
GEc δs
e2 Ec
Damit können wir auch die Rate für diesen Prozess abschätzen:
V
V G L G R δs
Γel,cot ≈ Gel =
e
e
GQ Ec
(4.59)
(4.60)
Durch Vergleich von 4.60 und 4.56 sehen wir, dass elastisches Kotunneln effizienter ist, wenn kB T, eV ≤
√
δs Ec gilt.
4.4.3
Quantifizierung
Um die verschiedenen Prozesse zu quantifizieren betrachten wir wieder die Einzelelektronenbox wie in
4.2. Hierbei wissen wir, dass bei endlichem Tunneln die Anzahl der Elektronen auf der Insel keine gute
Quantenzahl mehr ist. Vielmehr benutzt man neben dem Grundzustand g noch weitere angeregte Zustände
n. Die Amplitude der Beimischung des nten Zustands zum Zustand mit angeschlatetem Tunneln lässt sich
hierbei ermitteln als:
Ψn =
hHT i
∑ En − Eg
(4.61)
n6=g
Hierbei gilt hHT i = hg|HT |ni und En − Eg > 0. Der Tunnelhamiltonian ist wie in 3.16 gegeben durch:
∗ +
HT = ∑ (γk,k0 Lk+ Rk0 + γkk
0 Rk0 Lk )
(4.62)
k,k0
Man nehme nun an, dass g ≡ N = 0 sei und somit n = N ± 1 und wir ferner bei kB T = 0 seien. Dann gilt:
p1=n = ∑ |Ψn=r,i |2
(4.63)
r,i
Hierbei läuft die Summe über verschiedene Zustände in L (Index r) und auf der Insel i. Wir können nun
meist γkk0 = γ setzen, da ohnehin nur Zustände nah der Fermikante tunneln für die sich der Tunnelparameter
nicht ändern sollte. Damit gilt:
p1=n = ∑
r,i
|γ|2 f (Er ) [1 − f (Ei )]
,
(E (+) + Ei − Er )2
Seite 59
(4.64)
4.4. KOTUNNELN
mit E (+) = Eel (1) − Eel (0).
Man benutze nun 4.35 in Form von Γ(∆E) =
G
e2
R
dE f (E) [1 − f (E − ∆E)] und schreibe um:
h̄
Γ(∆E) = ∑ |γ|2 f (EL ) [1 − f (ER )] δ (EL − ER + ∆E)
2π
L,R
(4.65)
Damit gilt:
h̄
p1 =
2π
Z ∞
0
Γ(−ξ )
G
dξ (+)
=
2
2πGQ
(E + ξ )
Z ∞
dξ
0
ξ
(E (+) + ξ )2
(4.66)
Hierbei haben wir 4.33 verwendet, was besagt: Γ(∆E) = −∆Eθ (−∆E) eG2 . Das Integral ist divergent, da wir
bei Substitution von x = E (+) + ξ erhalten:
Z
dx
x + E (+)
∝
x2
Z
1
dx
x
(4.67)
Folglich ist das Integral ultraviolett-divergent. dies ist aber von keiner besonderen Bedeutung, da es besser
ist, den Unterschied zwischen der Besetzung zweier Niveaus zu betrachten:
δ hNi = p1 − p−1
G
ln
2π 2 GQ
=
(4.68)
1
2
1
2
+
−
q
e
q
e
!
(4.69)
Wir sehen damit aber, dass das Integral zusätzlich divergent ist bei q = ± 2e . Die QM-Verschmierung der
Coulomb-Treppe wird damit bei den Stüfchen divergent (siehe Abbildung 4.13).
Wir haben damit ein infrarotdivergentes δ hNi. Zur Behebung dieses Problems muss man andere Methoden
verwenden.
4.4.4
Kotunneln
Betrachten wir abschließend die Korrekturen resultierend aus dem Kotunneln. Aus Fermis goldener Regel
wissen wir Γcot ∝ |Mi f |2 , wobei i und f für initial und final stehen. Mi f bezeichnet die Übergangsamplitude
für 2-Teilchen Prozesse.
Zum Kotunneln benötigt man einen virtuellen Zustand v:
Mi f = ∑
v
hHT,iv HT,v f i
Ei − Ev
Seite 60
(4.70)
4.4. KOTUNNELN
an der Stufe divergent
hNi
VG
Abbildung 4.13: Divergenz der Korrekturen zur Coulombtreppe
Hierbei sind die virtuellen Zustände das Elektron und das Loch auf der Insel: i1 (e− ) + i2 (h). Betrachten wir
also die Energiedifferenz beim Tunneln von links auf die Insel:
Ev+ − Ei = Eel (N + 1) − Eel (N) + Ei1 − EL − eVL
= E (+) + Ei1 − EL
(4.71)
(4.72)
Zusätzlich betrachten wir auch das Tunneln von dem virtuellen Loch aus nach rechts:
Ev− − Ei = Eel (N − 1) − Eel (N) + ER − Ei2 + eVR
= E (−) + ER − Ei2
(4.73)
(4.74)
Damit erhalten wir die Übergangsamplitude:
Mi f |i1 i2 = γL γR∗
1
1
+ (−)
(+)
E + Ei1 − EL E + ER − Ei2
(4.75)
Damit erhalten wir auch die Rate für inelastisches Kotunneln:
Γinel,cot =
∑
|Mi f |i1 i2 |2 δ (ER − EL + Ei1 − Ei2 − eV ) f (EL ) [1 − f (ER )] f (Ei2 ) [1 − f (Ei1 )]
L,R,i1 ,i2
Seite 61
(4.76)
4.4. KOTUNNELN
Hierbei wird angenommen, dass die Energieniveauaufspaltung δs auf der Insel viel kleiner als die Ladungsenergie Ec ist. Der Faktor f (EL ) [1 − f (ER )] f (Ei2 ) [1 − f (Ei1 )] kann auch als quantenfeldtheoretischer Phasenraumfaktor analog zur allgemeinen Goldenen Regel interpretiert werden.
Man setze nun ξL = Ei1 − EL , ξR = ER − Ei2 und man benutze 4.65:
Γinel,cot
2
Z
h̄
1
1
=
+
dξL dξR ΓL (−ξL )ΓR (−ξR )δ (ξR + ξL − eV )
2π Raute
E (+) + ξL E (−) + ξR
(4.77)
Das Integral ist hierbei als Integral über die Coulomb-Raute gemeint. Hierbei gilt


h̄
Γ(−∆E) = ∑ |γ|2 f (EL ) 1 − f ( ER ) δ (EL − ER + ∆E).
|{z}
2π
L,R
(4.78)
i1 ,i2
Für eV kB T gilt ΓL,R (−ξ ) ≈
nachlässigen. Man erhält so
Γinel,cot = eΓLR
inel,cot
=
h̄GR GL
V
2πe2
"
GL,R
ξ
e2
und man kann den Faktor ΓRL im inelastischen Kotunneln ver-
(4.79)
! #
2
E (+) E (−)
eV
eV
1+
ln
1
+
1
+
− 2 . (4.80)
eV E (+) + E (−) + eV
E (+)
E (−)
Dieses Verhalten ist graphisch in Abbildung 4.14 gezeigt. Hierbei wird jeweils der verlauf des Stromes
entlang der jeweiligen Pfade in der Coulomb-Raute gezeigt. Wie man sieht divergiert der Strom. Bei den
Divergenzen ist die Störungstheorie nicht mehr anwendbar.
IeGQ
G2 Ec
2Ec
e
N=0
− 2e
e
2
q
eV
Ec
G = GL = GR
Abbildung 4.14: Verhalten des Stromes durch inelastisches Kotunneln innerhalb der Coulomb-Raute
Betrachten wir nun auch den Fall eV ≈ kB T Ec . Nun kann man die ξL,R -Abhängigkeit der Faktoren
1
1
vernachlässigen und kann mit E (±)
rechnen. Man erhält so für die Rate des inelastischen KotunE (+) +ξ
L,R
Seite 62
4.4. KOTUNNELN
nelns:
ΓLR
inel,cot
h̄
=
2π
1
1
2 Z
dξL ΓL (−ξL )ΓR (ξL − eV )
+
E (+) E (−)
eV (eV )2 + (2πkB T )2
h̄GL GR
1
1
=
+
− eV
12πe4 E (+) E (−)
e kB T
LR
ΓRL
inel,cot (V ) = Γinel,cot (−V )
(4.81)
(4.82)
(4.83)
⇒ I(V ) = e(ΓLR − ΓRL )
2
1
1
h̄GL GR
2
2
+
V
(eV
)
+
(2πk
T
)
=
B
12πe2 E (+) E (−)
(4.84)
(4.85)
Die beiden Abhängigkeiten in 4.85 von Spannung und Temperatur kennt man hierbei bereits aus 4.55 und
4.56.
4.4.5
Experiment
1989 wurde zuerst von Wilkins (PRL 63, 801 (1989)) die Strom-Spannungscharakteristik eines IndiumKlumpens auf einer Siliziumoberfläche mit einem STM gemessen (siehe Abbildung 4.15). Bei dem Experiment wurde ein nichtlineares Verhalten festgestellt und die Coulombblockade gefunden.
STM
10nm
In
Indium-Klumpen
Si
Abbildung 4.15: Indium-Klumpen auf Siliziumoberfläche
Fulton und Dolan (PRL 59, 109 (1987)) haben erstmals den Einzelelektronentransistor experimentell realisiert. Ein ähnliches Experiment wurde von Lafarge et al. (Zeitschrift für Physik B 85, 327 (1991)) durchgeführt. Weitere interessante experimentelle Ergebnisse gibt es zur Coulombblockade in metallischen Einzelelektronentransistoren, halbleitende SETs, Kohlenstoffnanoröhrchen SETs und supraleitenden SETs.
Auch Quantenpunktkontakte wurden bereits experimentell realisiert. Zu nennen sind hierbei insbesondere
die Arbeiten von Goldhaber-Gordon et al. (Nature 1998) und Cronenvett et al. (Science, 1998).
Seite 63
4.5. ANDERSON-MODELL UND KONDO-EFFEKT IN QUANTENPUNKTEN
4.5
Anderson-Modell und Kondo-Effekt in Quantenpunkten
Bis jetzt betrachteten wir einen SET bei δs Ec bis δs ≤ Ec . Wird dagegen die Niveauaufspaltung groß
δs ≥ Ec bis δs Ec beobachten wir einen Quantenpunkt mit wenigen leitenden Niveaus (siehe Abbildung
4.16).
E0 + Ec
δs
E0
E00
Abbildung 4.16: Anderson-Modell des Quantenpunktkontakts
Hierbei eerfolgt auf den Skalen kB T, eV ≤ δs der Transport durch das System nur durch ein Niveau E0 . Die
Beschreibung dieses Systems erfolgt mit dem Anderson-Modell.
HA =
∑
E0 dσ+ dσ
Z
+
+
dx(h̄vF ) R+
(x)∂
R
(x)
+
L
(x)∂
L
(x)
x
σ
x
σ
σ
σ
↑,↓
+
+
+
+δ (x) γR R+
σ (x)dσ + dσ Rσ (x) + γL Lσ (x)dσ + dσ Lσ (x)
+Ud↑+ d↑ d↓+ d↓
(4.86)
Hierbei spielt U die Rolle der Ladungsenergie Ec . Die ersten beiden Terme kann man mit dem resonanten
Tunneln aus 3.41 vergleichen.
Wir suchen nun zunächst einen effektiven Transmissionskoeffizienten, sodass man schreiben kann:
I≈
Z
dω(nL − nR )T (ω)
(4.87)
Die Berechnung des Transmissionskoeffizienten kann hierbei mit Bewegungsgleichungen erfolgen:
ih̄∂t dσ = [dσ , HA ]
(4.88)
Die Gleichung ist hierbei linear in dσ ohne die Wechselwirkung. Mit der Wechselwirkung gilt aber:
h
i
+
+
d↑ ,Ud↑ d↑ d↓ d↓ = Ud↑+ d↓+ d↓
(4.89)
Das Verhalten wird also nicht-linear. Man bräuchte eine Bewegungsgleichung für den Operator d↑+ d↓+ d↓
aber auch diese wäre nicht geschlossen. Insgesamt bilden die Bewegungsgleichungen damit kein geschlosSeite 64
4.5. ANDERSON-MODELL UND KONDO-EFFEKT IN QUANTENPUNKTEN
senes System. Eine brauchbare Näherung bildet in vielen Fällen die Molekularfeldnäherung (mean field,
MFT, MFA):
1
1
Ud↑+ d↑ d↓+ d↓ ≈ Ud↑+ d↑ hd↓+ d↓ i + U hd↑+ d↑ i d↓+ d↓
2
| {z } 2 | {z }
n↓
(4.90)
n↑
Man erhält damit eine Renormierung der Einzelenergien Eσ :
1
1
E↑ = E0 + Un↓ , E↓ = E0 + Un↑
2
2
(4.91)
Hierbei stammen n↑,↓ aus einer Selbstkonsistenz-Beziehung:
n↑ = hd↑+ d↑ i, n↓ = hd↓+ d↓ i
(4.92)
Es ergeben sich damit die Bewegungsgleichungen (siehe auch 3.44-3.46):
ih̄(∂t − vF ∂x )Rσ (x) = γR δ (x)dσ
ih̄(∂t − vF ∂x )Lσ (x) = γL δ (x)d fσ
1
ih̄∂t − E0 − Un−σ dσ = γR Rσ (0) + γL Lσ (0)
2
(4.93)
(4.94)
(4.95)
In der chiralen Darstellung können wir wieder zwei Operatoren für x > 0 und x < 0 einführen. Für die linke
Seite bezeichnen wir sie mit ak und bk und für die rechte Seite mit ck und fk . Damit können wir die Lösung
für Lσ notieren, wobei wir uns einfach an Formel 3.52 orientieren müssen:
Lσ (x) =
bkσ
(
akσ , x < 0
bkσ , x > 0
h̄vF k − E0 − 21 Un−σ + i(ΓR − ΓL )
= akσ
h̄vF k − E0 − 12 Un−σ + i(ΓR + ΓL )
√
2 ΓL ΓR
−i fkσ
h̄vF k − E0 − 21 Un−σ + i(ΓR + ΓL )
Z
dk −ikx+ivF h̄kt
e
2π
Seite 65
(4.96)
(4.97)
4.5. ANDERSON-MODELL UND KONDO-EFFEKT IN QUANTENPUNKTEN
Wir erhalten nun dkσ aus 4.94:




ih̄vF Lσ (0+ ) − Lσ (0− ) = γL dσ
| {z } | {z }
(4.98)
akσ
bkσ
dkσ = i
= i
h̄vF
(bkσ − akσ ) =
γL
(
ΓL = ΓR = Γ
γL = γR = γ
)
i2Γ
h̄vF
(akσ − fkσ )
γL ω − E0 − 12 Un−σ + 2iΓ
(4.99)
(4.100)
Es bildet sich also ein Zustand über den Quantenpunkt hinweg aus, der ein endliches k besitzt.
nσ = hdσ+ dσ i
Z
dk h̄vF 2
4Γ2
+
=
h(akσ − fkσ )(a+
− fkσ
)i
kσ
2
1
2π
γ
ω − E0 − 2 Un−σ + 4Γ2
(4.101)
(4.102)
dk ikx
Der Mittelwert ist hierbei als Integral 2π
e zu verstehen.
Wir können nun den Mittelwert berechnen, da akσ und fkσ nichts voneinander wissen können:
R
Z
nσ =
dk
2π
h̄vF
γ
2
4Γ2
ω − E0 − 12 Un−σ
= {eV = 0, µL = µR = kB T = 0}
!
E0 + 21 Un−σ
1 1
=
− arctan
2 π
2Γ
2
+ 4Γ2
(nL + nR )
(4.103)
(4.104)
(4.105)
Diese Beschreibung wurde 1961 von Anderson gefunden. Die Formel liefert in jedem Fall die richtigen
Grenzfälle. Für E0 → −∞ erhalten wir nσ = 1 und für E0 → ∞ erhalten wir nσ = 0 (siehe Abbildung 4.17).
µL
µL
µR
µR
E0
E00
Abbildung 4.17: Grenzfälle für die Besetzung des Quantenpunkts
Wir können uns eine graphische Lösung der transzendenten Gleichungen überlegen (siehe Abbildung 4.18).
Seite 66
4.5. ANDERSON-MODELL UND KONDO-EFFEKT IN QUANTENPUNKTEN
n↓
1
E0 = 0, eine Lösung
E0 6= 0, 3 Lösungen
n↑
1
Abbildung 4.18: Graphische Lösung des mean-field Anderson-Modells
Seite 67
4.5. ANDERSON-MODELL UND KONDO-EFFEKT IN QUANTENPUNKTEN
Wir sehen, dass für E0 = 0 eine Lösung existiert und für E0 6= 0 3 Lösungen existieren. Insbesondere sehen wir damit, dass eine endliche Magnetisierung der Störstelle möglich ist und der Zustand ohne
ausgezeichnete Spinrichtung instabil werden kann. Der Transmissionskoeffizient muss in diesem Fall zwei
Beiträge von den jeweiligen Spinniveaus haben:
1
D(ω) ≈
2
"
Γ2
ω − E0 − 21 Un0
2
+
+ Γ2
#
Γ2
ω − E0 + 12 Un0
2
+ Γ2
(4.106)
Betrachten wir diese Situation noch einmal graphisch (Abbildung 4.19).
E0 + 12 Un0
E0
E0
E0 − 21 Un0
E0 + 12 Un0 nur kombinierter Prozess möglich
E0 − 12 Un0
Abbildung 4.19: Transmissionskoeffizient im Anderson-Modell
Wir sehen hierbei, dass bei sehr großem U nur noch kombinierte Prozesse erlauibt sind:
• sequentielles Tunneln für |E0 |, U alle anderen Energien nicht möglich
• korreliertes Hinein- und Hinaustunneln erlaubt! Dies ist aber ein inelastischer Prozess.
Dieser korrelierte Effekt ist der sogenannte Kondo-Effekt und kann mit einem effektiven Hamilton-Operator
Seite 68
4.5. ANDERSON-MODELL UND KONDO-EFFEKT IN QUANTENPUNKTEN
beschrieben werden:
HKondo = H0 Lσ =↑,↓ , Rσ + J~S~s(x = 0)
1
(Lσ+ + R+
σσ σ 0 (Lσ+0 + R+
s(~x) =
∑
σ )~
σ0)
2 σ ,σ 0 =↑,↓
(4.107)
(4.108)
Hierbei ist ~S der Spin 1/2-Operator für die Störstelle und ~σ repräsentiert den Vektor der Pauli-Matrizen.
Der Kondo-Effekt ist sichtbar für Temperaturen T < TK . Die Kondo-Temperatur kann man abschätzen als:
1
− 2ρJ
TK ≈ εc e
(4.109)
εc ist hierbei die Bandbreite und ρ die Zustandsdichte. Die Funktion ist nicht-analytisch in J und entzieht
sich damit einer störungstheoretischen Behandlung. Man kann die Übergangstemperatur im AndersonModell mit dem Bethe-Ansatz auch exakt berechnen und erhält:
√
2UΓ πE0 (E0 +U)
TK =
e 2UΓ
(4.110)
π
Die Kondo-Resonanz gibt hierbei einen Peak in der Zustandsdichte direkt an der Fermikante. Dieser erlaubt
(fast) perfekte Transmission (siehe Abbildung 4.20).
T > TK
E0 + 12 Un0
TK
E0 − 12 Un0
Abbildung 4.20: Kondo-Resonanz in der Zustandsdichte
Die Kondo-Resonanz wurde auch bereits experimentell beobachtet, z.B. in der Arbeit von Liang et al.
(Nature 417, 725 (2002)).
Seite 69
4.6. ZUSAMMENFASSUNG
4.6
Zusammenfassung
Wir können das Verhalten des Leitwerts in Abbildung 4.21 noch einmal für die verschiedenen Temperaturregime betrachten.
2 G = GQ 1 − TTK
GQ
G ≈ GQ
3π 2
16 ln2 TT
K
exp. Zerfall
G∞
2
∝
TK
δs
Tinel,cot
T
Ec
Tel,cot
Ec
T
Abbildung 4.21: Zusammenfassung des Verhaltens des Leitwerts
Man kann hierbei den Kondo-Effekt benutzen um Moleküle perfekt an Elektroden anzukoppeln.
Seite 70
Kapitel 5
Quantendrähte
5.1
Was ist ein Quantendraht?
Wir hatten bereits in 2.12-2.14 einen Wellenleiter betrachtet. Betrachten wir nun die typischen Energieabstände zwischen Niveaus in einem Wellenleiter wie in Abbildung 5.1.
En
ny = 1, nz = 0
ny = 0, nz = 0
δE
kx
Abbildung 5.1: Abstände von Energieniveaus in einem Quantendraht
Für einen Draht mit einer Kantenlänge a = 1nm ergibt sich δkBE ≈ 4000K. Man kann also bei Zimmertemperatur niemals in ein anderes Subband anregen. Betrachtet man nun zwei Elektronen, die sich durch den
Quantendraht bewegen, so müssen diese aufgrund der Symmetrie einen Drehimpuls haben und damit mindestens in einem p-Zustand sein (Abbildung 5.2).
Eine solche Bewegung ist aber verboten, da wir nur ein Subband haben. Damit bedeutet dies, dass Quantendrähte effektiv eindimensional sind. Wir können ihn daher auch definieren als einen Wellenleiter mit nur
einem Subband.
71
5.2. WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE IN 1D
Abbildung 5.2: Zwei Elektronen im Quantendraht
5.2
Wechselwirkungseffekte in 1D
Notieren wir zunächst den Hamiltonian:
Z
H=
H0 [Ψ]
+
| {z }
nicht WW Systeme
dx dyρ(x)U(x − y)ρ(y)
(5.1)
1
. Es entspricht dem WechselwirkungsHierbei hat U(x − y) die Form eines Coulombpotentials, also ∝ |x−y|
potential und ρ(x), ρ(y) entsprechen den Teilchendichten. In verschiedenen Dimensionen verhält sich dieses System sehr unterschiedlich:
• in 3D: Für nicht-singuläre Potentiale ist die Störungstheorie konvergent. Man kann daher ein effektives Modell mit H0 [Ψ] mit renormierten Parametern me → m∗e und vF → v∗F finden. Dies entspricht
der Fermi-Flüssigkeitstheorie von Landau (1957)
• in 2D: Hier hängt alles vom System ab und man beobachtet nicht-universelles Verhalten, etc..
• in 1D: Hier divergiert die Störungstheorie in U(x, y).
Der letzte Punkt weist darauf hin, dass in 1D der Grundzustand des Systems anders ist. Mein beobachtet
eine neue Universalitätsklasse (unabhängig von den Details von U(x, y)). Ein generisches Modell ist das
von Tomonaga (1952) und Luttinger (1964) mit U(x − y) = Uδ (x − y). Man beobachtet hier statt einer
Fermi-Flüssigkeit eine Luttinger-Flüssigkeit.
5.2.1
Fundamentaler Unterschied zwischen 1D und 2D/3D
Betrachten wir die Dispersionsrelation eines Teilchens in 1D (Abbildung 5.3):
Seite 72
5.2. WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE IN 1D
ε(k)
k
k0
kF k1
Abbildung 5.3: Dispersionsrelation in 1D
Absorbiert das Elektron ein Photon mit Impuls ∆k, so gilt:
h̄2 2
h̄2
(k1 − k02 ) =
(k1 − k0 )(k1 + k0 )
2me
2me
0 ≤ k0 < kF , k1 > kF
∆ε =
(5.2)
(5.3)
k1 + k0 = ∆k + 2k0 ≤ ∆k + 2kF
(5.4)
k1 + k0 = −∆k + 2k1 > −∆k + 2kF
(5.5)
⇒ −∆k(∆k − 2kF ) < ∆ε(∆k) ≤ ∆k(∆k + 2kF )
(5.6)
Betrachten wir die erlaubten Anregungen in Abbildung 5.4.
∆ε
erlaubt
∆k
0
2kF
Abbildung 5.4: Erlaubte Anregungen in eindimensionalen Systemen
Wir sehen, dass für kleine Energien nur Anregungen bei k = 0 und k = 2kF möglich sind.
In 2 Dimensionen sind die Energieabstände durch die k’s nicht festgelegt, was man in Abbildung 5.5 sieht.
Dies erklärt das unterschiedliche Verhalten der Systeme.
Seite 73
5.2. WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE IN 1D
k1
k1
k1
k0
Abbildung 5.5: Dispersionsrelation in 2 Dimensionen
5.2.2
Besondere Eigenschaften
Die erste besondere Eigenschaften sind die Anregungen im System, die aus Plasmonen (Holon) und Magnonen (Spinon) bestehen. Graphisch sind diese in Abbildung 5.6 dargestellt. Man sieht hierbei das Holon
und Spinon getrennt werden (Spin-Ladungstrennung) und unterschiedliche Geschwindigkeiten aufweisen
können (vs 6= vc ). Die Spin-Ladungstrennung wurde auch bereits experimentell nachgewiesen.
~vc
~vs
Holon
Spinon
Abbildung 5.6: Spin-Ladungstrennung
Die unterschiedlichen Geschwindigkeiten sind hierbei
vF
, vS = vF
g
1
g= q
U
1 + π h̄v
F
vc =
Der Faktor g ist hierbei dimensionslos. Es gilt:
• g = 1 für nicht-wechselwirkende Systeme
Seite 74
(5.7)
(5.8)
5.2. WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE IN 1D
• 0 < g < 1 für abstoßende Wechselwirkung
• g > 1 für attraktive Wechselwirkung
Die zweite interessante Eigenschaft ist die singuläre Zustandsdichte (DOS). Betrachten wir die Zustände
im reziproken Gitter, so gibt es in einem Ring der Breite dk eine bestimmte Anzahl von Zuständen (siehe
Abbildung 5.7).
ky
kF
kx
Abbildung 5.7: Zustände im reziproken Gitter
Die Ableitung der Anzahl von Zuständen nach der Wellenzahl bezeichnet man als die Zustandsdichte:
dN2D
ν2D =
=
dk
L
2π
2
2s 2πk
(5.9)
L
2π δ n
Zustände enthalten sind. Betrachten wir
1
1
dN2D ∝ kdk ∝ d(k2 ) ∝ dE
2
2
(5.10)
Es gilt also für die Wellenzahl, dass in einem Intervall δ k =
2 2
nun auch die Energie E = h̄2mke , so gilt:
Damit gilt:
ν2D (E) = 2s
2me
h̄2
L
2π
2
3
dN3D
L
ν3D (k) =
=2
4πk2
dk
2π
3 2me 2 L 3 √
ν3D (E) =
E
2π
h̄2
r
L
2me 1
√
ν1D (E) =
2π
h̄2 E
Seite 75
(5.11)
(5.12)
(5.13)
(5.14)
5.2. WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE IN 1D
Das Verhalten der Zustandsdichte in 1D bezeichnet man auch als van-Hove Singularität. Sie ist in Abbildung
(5.8) gezeigt. In realen Systemen beobachtet man allerdings Wechselwirkungseffekte und die sogenannte
zero bias anomaly (ZBA), die ebenfalls gestrichelt eingezeichnet ist. Sie besteht an der Fermikante mit einer
Breite, die etwa der Temperatur entspricht.
ν(E)
∝T
ungefähr konstant
ZBA
EF
E
Abbildung 5.8: Zustandsdichte eindimensionaler Systeme
In wechselwirkenden 1D Systemen (Luttinger-Flüssigkeiten) beobachtet man:
dN1D
= b|E − EF |α , b = const.
dE
1
1
1
g+
−1
α = αE = − 1, α = αB =
g
2
g
νLF (E) =
(5.15)
(5.16)
Die verschiedenen Exponenten beobachtet man im Bulk und an der Kante des Samples (siehe Abbildung
5.9). Dies beantwortet allerdings noch nicht die Frage nach der Herkunft der Zero Bias Anomaly.
αB (Bulk)
αE (Edge)
Abbildung 5.9: Exponenten der Zustandsdichte in eindimensionalen Systemen
Wir betrachten nun zwei Experimente:
• Experiment 1:
Wir betrachten das Tunneln zwischen einer Luttinger-Flüssigkeit und einer Fermi-Flüssigkeit (siehe
Abbildung 5.10).
Der Strom durch das System ist proportional zur Besetzung mal der Zustandsdichte über die Energie
integriert (siehe 4.35). Daher können wir mit den Fermi- und Luttinger-Flüssigkeitszustandsdichten
Seite 76
5.2. WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE IN 1D
Luttinger
Flüssigkeit
Fermi-Flüssigkeit
Γ
µLF = 0
eV
µFF
Abbildung 5.10: Tunneln zwischen Fermi- und Luttinger-Flüssigkeit
ansetzen:
Z
I(V )
∝
T =0
dEnF (E)(1 − NF (E + eV ))νFF νLF (E)
Z 0
=
−eV
⇒G
=
dEνFF νLF (E) = (eV )αE +1 νF Fb
dI(V )
|V →0 → (eV )αE νFF b
dV
(5.17)
(5.18)
(5.19)
Man beobachtet daher in der Tunnelrate gerade die Zustandsdichte der Zero Bias Anomaly. Dies bedeutet, dass man viel Energie braucht, um ein Teilchen in die Luttinger-Flüssigkeit hineinzubringen,
da man aufgrund der Wechselwirkung den Zustand des ganzen Systems ändern muss.
• Experiment 2:
Wir betrachten eine Störstelle in einer Luttinger-Flüssigkeit (siehe Abbildung 5.11).
δ (x)-Streuer mit Stärke λ
Abbildung 5.11: δ -förmige Störstelle in einer Luttinger-Flüssigkeit
Wir betrachten wieder den Leitwert und man erhält für schwache Streuer (λ → 0):
G(T ) =
divergent für T →0
}|
i{
2 2(g−1)
4
g − const.
+ O(λ )
| {z } abh. von bλ T
z
2e2 h
h
| {z }
GQ
Seite 77
(5.20)
5.2. WECHSELWIRKUNGSEFFEKTE IN 1D
Für T = 0 erhält man:
I(V ) =
i
2e2 h
g − const.λ 2 (eV )2(g−1) + O(λ 4 )
h
(5.21)
Wir sehen damit, dass ein Streuer das System effektiv trennt. Die Divergenzen von 5.20 und 5.21
für min (T,V ) → 0 und 0 < g < 1 deuten nämlich auf einen falschen Grundzustand hin. Die nichtperturbative Lösung stammt von Kane und Fisher (1992). Sie fanden heraus, dass der Grundzustand
zwei an der Störstelle getrennte halb-unendliche Luttinger-Flüssigkeiten sind.
Zu eindimensionalen Systemen wurden verschiedene Experimente durchgeführt. Unter anderem wurden
von Mark Reed et al. Goldelektroden untersucht, die so lange gezogen wurden, bis sich quasi eindimensionale Systeme ergeben (Mark A. Reed, Nature Material 3, 286-287 (2004)). Ebenso wurden KohlenstoffNanoröhrchen untersucht. Diese können sowohl in der armchair, als auch in der zig-zag Konfiguration
auftreten, wobei nur armchair Konfiguration metallisch ist. Sie wurden von Bockrath et al. kontaktiert und
so der Wechselwirkungsparameter gemessen (M. Bockrath et al. Nature 397, 598 (1999)). Auch wurde das
Verhalten bei eingebauten Störstellen von Postma et al. untersucht, wobei zwei Störstellen im Abstand von
25nm bestanden, sodass nur ein Zustand zwischen den beiden Luttinger-Flüssigkeiten verblieb (Postma et
al. Science 293, 76-79 (2001)).
Seite 78
Kapitel 6
Quanten-Hall-Effekt
Wir wollen uns in diesem Kapitel den verschiedenen Eigenschaften und Charakteristika von Systemen mit
dem Quanten-Hall-Effekt widmen. Wir betrachten zunächst den klassischen Hall-Effekt.
6.1
Klassisches Bild
Der Hall-Effekt wurde 1878 gefunden und die Ausprägung eines transversalen Stroms durch ein Magnetfeld
(siehe Abbildung 6.1).
~B
z
+ + + + + + ++
Jx
−−−−−−−−−
y
x
Ey
Abbildung 6.1: Klassischer Hall-Effekt
Die elektrischen Felder können geschrieben werden als:
Ex
Ey
!
=
ρxx ρxy
ρyx ρyy
!
Jx
Jy
!
(6.1)
Es gilt für den Strom in x-Richtung:
Jx = ene vx
me vx
∆p
= Fe = eEx =
∆t
τ
79
(6.2)
(6.3)
6.1. KLASSISCHES BILD
Hierbei stammt die letzte Gleichung aus der Drude-Theorie. Es gilt damit
Jx =
e2 ne τ
1
Ex ⇒ Ex =
Jx ,
me
ene µ
(6.4)
wobei µ = meτe die Mobilität der Ladungsträger ist (Materialkonstante). Es gilt damit für den longitudinalen
Widerstand:
ρxx = ρyy = σ −1 =
1
ene µ
(6.5)
Dieser Widerstand ist damit magnetfeldunabhängig. Entlang der y-Achse treten zwei Kräfte (Magnetfeld
wirkt auf fließende elektrische Ladung) auf:
Fm = eBvx = Fe = eEy ⇒ Ey = Bvx =
⇒ ρxy = −ρyx =
B
ene
B
Jx
ene
(6.6)
(6.7)
Der transversale Widerstand ist damit linear in B.
Man sieht allerdings Abweichungen von diesem Verhalten in speziellen Systemen. Klaus von Klitzing beobachtete den Hall-Effekt in einem System mit den Charakteristika
• ungeordnetes 2DEG (Silizium MOSFET)
• starkes B (≈ 10T )
• T ≤ 1 − 2K
Hier beobachtete er Stufen in ρxy (siehe Abbildung 6.2).
Man beobachtet also eine Quantisierung von ρxy bzw. den Integer Quantum Hall Effect (Klaus von Klitzing
et al. (1980)).
Der fraktionierte Quanten-Hall-Effekt wurde erst 1982 von Störmer und Tsui entdeckt (fractional quantum
hall effect). Hierzu benötigt man:
• sehr saubere 2DEGs (AlGaAs-GaAs Heterostrukturen)
• sehr starke Magnetfelder (≥ 10T )
• sehr tiefe Temperaturen ( 1K)
Hier beobachtet man weitere Stufen, die nicht bei Leitwerten von ganzen Zahlen dividiert durch das Leitwertsquantum liegen.
Seite 80
6.2. 2DEG IM MAGNETFELD
ρ
1
GQ
ρxy ρxy
lokales Maximum
1
3GQ
1
2GQ
ρxx
B
∝ 5 − 10T
Zustandsdichte 0
Abbildung 6.2: Longitudinaler und transversaler Widerstand in Quanten-Hall Systemen
6.2
2DEG im Magnetfeld
Wir notieren zunächst die Schrödinger-Gleichung:
"
#
(ih̄∇ + e~A)2
Es +
+U(y) Ψ(x, y) = EΨ(x, y)
2me
(6.8)
Das System ist auch anschaulich in Abbildung 6.3 gezeigt.
~B
W
y
U(y)
Einschnürung
x
L
Abbildung 6.3: 2DEG mit einem Einschnürungspotential
Wir eichen nun ~A so, dass Ax = By, Ay = 0 (Landau Eichung). Dann gilt:
"
#
p2y
(px + eBy)2
Es +
+
+U(y) Ψ(x, y) = EΨ(x, y)
2me
2me
Seite 81
(6.9)
6.2. 2DEG IM MAGNETFELD
Wir können als Ansatz zur Lösung verwenden:
1
Ψ(x, y) = √ eikx x χ(y)
L
#
"
p2y
(h̄kx + eBy)2
+
+U(y) χ(y) = Eχ(y)
⇒
Es +
2me
2me
(6.10)
(6.11)
Wir betrachten nun zwei Fälle:
• U 6= 0, B = 0
Für U = 21 me ω02 y2 gilt:
h̄2 kx2
1
E(n, kx ) = Es +
+ h̄ω0 n +
,
2me
2
(6.12)
mit n = 0, 1, 2, · · · . Die Eigenfunktionen sind hierbei χn,kx (y) = un (q) mit q =
q
mω0
h̄ y (dimensionslose
q2
Länge) und den Funktionen un (q) = e− 2 Hn (q) mit den Hermite-Polynomen Hn (q).
Wir können diese Lösungen auch im Energieraum zeichnen (Abbildung 6.4).
E(n, kx )
n=2
n=1
n=0
kx
Abbildung 6.4: Energieniveaus im ersten Fall für das 2DEG
Für die Geschwindigkeit gilt hierbei:
1 ∂ E(n, kx )
h̄ ∂ kx
h̄kx
=
me
v(n, kx ) =
Hierbei zählt n die transversalen Moden.
• U = 0, B 6= 0
Seite 82
(6.13)
(6.14)
6.2. 2DEG IM MAGNETFELD
Auch hier betrachten wir die Schrödinger-Gleichung
"
#
p2y
1
+
(eBy + h̄kx )2 χ(y) = Eχ(y)
Es +
2me 2me
Wir können nun ykx =
πkx
eB
und ωc =
eB
me
(6.15)
einführen und erhalten:
"
#
p2y
1
Es +
+ me ωc2 (y + ykx )2 χ(y) = Eχ(y)
2me 2
(6.16)
Hierbei repräsentieren die ykx die verschobenen Zentren der Einschnürung. Wir erhalten also auch in
diesem Fall ein parabolisches Potential, aber mit verschobenem Ursprung y0 = −ykx und damit auch
wieder die Energieniveaus:
1
E(n, kx ) = Es + h̄ωc n +
2
(6.17)
In diesem Fall gilt v(n, kx ) = 0. Die Elektronen fliegen also irgendwo hin, aber es gibt immer eine
geschlossene Trajektorie im Magnetfeld. Die Energieniveaus haben damit im k-Raum die Form in
Abbildung 6.5.
E(n, kx )
n=2
n=1
n=0
kx
Abbildung 6.5: Energieniveaus im zweiten Fall für das 2DEG
Betrachten wir nun die typischen Abmessungen einer Elektronenwolke. Hierzu gibt es zwei Wege:
q2
• Wir können die Eigenfunktionen betrachten un (q) ∝ e− 2 Hn (q). Die Hn (q) sind nur Polynome, also
kann man die Gaussglocke als ungefähre Form annehmen und erhältq
aufgrund der Standardabweih̄
chung 1 die Ausdehnung λ für q ≈ 1. Es gilt dann y ∝ me ωc , weil q = meh̄ωc y.
• Man kann auch die klassische Abschätzung des Radius der Bahn vornehmen (siehe Landau-Lifshitz
Band III, § 111-112).
Seite 83
6.3. TRANSPORT IN QHE-SYSTEMEN
Es verbleibt die Frage nach der Entartung der Landau-Niveaus. Für verschiedene k erhält man verschiedene
yk . Betrachten wir nochmals das Sample aus Abbildung 6.3. Hierbei haben wir die Quantisierung ∆k = 2π
L in
h
h̄k
h̄
x-Richtung. Damit gilt ∆yk = eB ∆k = eBL in x-Richtung mit yk = eB . Da W die Ausdehnung in y-Richtung
ist, gilt damit für die Entartung:
ζ =2
W
eB
=2
∆yk
h
(6.18)
S
|{z}
Fläche=W ·L
Auch den Füllfaktor können wir hiermit unmittelbar berechnen:
ns S B= ΦS ns 2e
Ne
Ne
=
ν=
Φ= Φ =
ζ
S h
NΦ
Φ
(6.19)
0
Hierbei steht NΦ für die Anzahl der Flussquanta durch das System. Wir können die Veränderung der Zustandsdichte auch in Abbildung 6.6 betrachten.
B 6= 0
B=0
EF
Breite durch Streuung
h̄ωc
lokales Maximum in ρxy
Entartung ν
Es
Abbildung 6.6: Änderung der Zustandsdichte durch Anlegen eines Magnetfelds
Es ist auch wieder der Punkt der Zustandsdichte 0 aus Grafik 6.2 eingezeichnet. Hier beobachten wir also
keine Zustandsdichte, aber eine dissipationsfreie Leitung (ρxx = 0), obwohl wir einen isolierenden Zustand
erwarten würden.
6.3
Transport in QHE-Systemen
Der Transport ist nur entlang der Ränder möglich. Um dies näher zu untersuchen betrachten wir zunächst
q2
wieder die Wellenfunktionen ohne Einschnürung ui (q) = e− 2 Hn (q). Wir wollen nun eine Einschnürung
als ungefähre Parabel annehmen (siehe Abbildung 6.7) und die Änderung der Eigenenergien untersuchen.
Die Eigenenergien mit Einschnürung in erster Ordnung Störungstheorie haben die Form:
1
E(n, k) = Es + h̄ωc n +
+ hnk|U(y)|nki
2
Seite 84
(6.20)
6.3. TRANSPORT IN QHE-SYSTEMEN
y
y
Näherung Parabel
U(y)
x
Abbildung 6.7: 2DEG mit einer genäherten Parabel als Einschnürung an der Rändern
q2
Die |nki sind hierbei gegeben als ui (q) = e− 2 Hn (q). Dies ist möglich, falls die typischen Abmessungen
des Zustandes deutlich kleiner als die typischen Längenskalen von U(y) sind.
Die Korrekturen folgen nun etwa U(y), sodass sich im k-Raum folgendes Bild für die Eigenenergien ergibt
(Abbildung 6.8).
µR
n = 0 n = 1n = 2
k
µL
E(n, k)
nur diese Zustände
tragen zum Strom bei
L
R
Abbildung 6.8: Eigenenergien und Zustände in Quanten-Hall-Systemen mit Einschnürung
Wir sehen hierbei, dass die Zustände mit ±k bei ±yk liegen, sodass Rechts- und Linksläufer räumlich
getrennt werden. Die Rückstreuung wird dadurch schwierig bis unmöglich, sodass ρxx = 0 gelten muss
(eine Rückstreuung würde einen Rechts- zu einem Linksläufer machen und umgekehrt). Wir können dieses
Seite 85
6.3. TRANSPORT IN QHE-SYSTEMEN
Verhalten auch in der Geschwindigkeit beobachten:
1 ∂ E(n, k) 1 ∂U(yk )
=
h̄ ∂ k
h̄ ∂ k
1 ∂U(y)
=
eB ∂ y
v(n, k) =
(6.21)
(6.22)
Die Geschwindigkeit hat an den Rändern verschiedene Vorzeichen.
Man kann in diesen Rechnungen auch den Spin minehmen. In GaAs ist die Kopplungskonstante allerdings
relativ klein (g-Faktor 0,025) und man beobachtet nur eine geringe Zeemann-Aufspaltung. In Si-Samples
ist es schwieriger, da der g-Faktor sehr groß ist.
Betrachten wir nun ein solches 2D System kontaktiert mit zwei dreidimensionalen Elektroden in Abbildung
6.9.
3D
2D
µL
µR
L
W
R
L
I
Abbildung 6.9: 2DEG kontaktiert mit dreidimensionalen Elektroden
Es gilt hierbei für den Strom (wir imitieren einfach die Formel I = evn):
I = 2e ∑
n
Z µL
dk
µR 2π
Z µL
v(n, k) = 2e ∑
n
Z µL
1 ∂ E(n, k)
µR
2e
2e
dE = (µL − µR )M
∑
h n µR
h
= GQV M
=
2π h̄
∂k
dk
(6.23)
(6.24)
(6.25)
Hierbei bezeichnet M die Anzahl der Niveaus zwischen µL und µR und wir erhalten eine Landauer-Formel.
Damit haben wir die 4-Kontaktspannung gemessen und erhalten:
σxy = GQ M
1
ρxy =
GQ M
Seite 86
(6.26)
(6.27)
6.4. TOPOLOGISCHE ISOLATOREN
Man erhält ein lokales Maximum, wenn man in einem Landau-Niveau ist.
Bildlich können wir uns die Leitung längs des Randes vorstellen wie in Abbildung 6.10 angedeutet. Die
Elektronen können sich nur längs des Randes fortbewegen und im Bulk werden sie an den Störstellen
lokalisiert.
lokalisierte Elektronen
Abbildung 6.10: Teilchenwanderung längs des Randes und lokalisierte Elektronen
Die Leitfähigkeit wird daher topologisch geschützt.
6.3.1
Fraktionierter QHE
Hier beobachtet man zusätzliche Plateaus in ρxy bei M = 13 , 15 , 25 , 12 , · · · . Sie würden Füllfaktoren ν = 13 , 15 , · · ·
entsprechen. Man könnte sich vorstellen, dass pro Elektron 3, 5, 7, · · · Flussquanta existieren. Zusätzlich
gibt es aber auch im nicht-klassischen fraktionierten QHE weitere Niveaus bei z.B. M = 25 . Die Lösung des
Systems gestaltet sich bis heute genauso wie eine echte Erklärung schwierig.
6.4
Topologische Isolatoren
Es gibt verschiedene Isolatoren wie etwa den Bandisolator Diamant (siehe Abbildung 6.11).
Leitungsband
EF → Isolator
Valenzband
Abbildung 6.11: Bändermodell des Bandisolators
Andere Isolatoren sind etwa der Peierls-Isolator in 1D, bei dem die Elektronen dimerisieren und so die
Leitung unterdrückt wird. In Abbildung 6.12 sind hierbei zusätzlich die verschiedenen Tunnelmatrixelemente angegeben.
Seite 87
6.4. TOPOLOGISCHE ISOLATOREN
t
t0
Abbildung 6.12: Peierls Isolator in 1D
Die Dimerisierung sorgt hierbei für ein Aufbrechen der Energiebänder, sodass sich eine Bandlücke ausbildet (siehe Abbildung 6.13.
Dimerisierung
k
Bandlücke
π
a
− πa
Abbildung 6.13: Bandlücke bei Dimerisierung
Typische Materialien sind hier z.B. Polyacetylene.
Weitere Isolatoren sind z.B. der Anderson-Isolator etc.. Beim QHE haben wir einen Isolator im Bulk, er
wird als topologischer Isolator bezeichnet. Ein topologischer Isolator ist ein Band-Isolator charakterisiert
durch topologische Quantenzahlen. Er weist masselose Anregungen an seinen Rändern auf (die beschriebene perfekte Leitung). Masselos bedeutet in diesem Zusammenhang keine Bandlücke. Dies ist in Abbildung
6.14 veranschaulicht.
E(k)
Bandlücke
gefüllte Zustände
Abbildung 6.14: Topologischer Isolator als Bandisolator
Seite 88
6.5. SPIN-HALL-EFFEKT
6.5
Spin-Hall-Effekt
Nachdem wir nun gesehen haben, dass Elektronen sich in Links- und Rechtsläufer an den Rändern teilen
lassen, sollten wir uns fragen, ob dies auch für den Spinfreiheitsgrad möglich ist. Wir wollen also eine Teilung der Spinkomponenten wie sie in Abbildung 6.15 schematisch gezeigt ist.
skew-scattering
Abbildung 6.15: Schematische Darstellung des Spin-Hall-Effekts
Eine Möglichkeit zur Realisierung besteht in der Ausnutzung von spin-anisotroper Streuung (skew scattering). Man kann hiermit tatsächlich durch Einschalten eines Magnetfelds und bei sehr genauer Verteilung
der Störstellen den extrinisischen Spin-Hall-Effekt sehen. Er wurde 1969 vorhergesagt und erst 2004/2005
experimentell gefunden.
Die nächste Frage ist, ob dieser Effekt auch ohne Magnetfeld, also intrinisch, erreicht werden kann. Man
versucht hierbei die Spin-Bahn-Kopplung λ~L~S auszunutzen, um ein System in der Art von Abbildung 6.16
zu erreichen.
Abbildung 6.16: Räumlich getrennte Spinflüsse beim intrinsischen Spin-Hall-Effekt
Normalerweise ist die Spin-Bahn-Kopplung klein, da sie ein relativistischer Effekt ist. In Festkörpern gilt
allerdings εk = h̄vF k, sodass kF bzw. vF die Rolle der Lichtgeschwindigkeit spielen. Eine große Spin-Bahn
Kopplung beobachtet man in HgTe (Quecksilbertellurat), was sich auch in der Bandinversion des Halbleiters äußert. Ein typisches Setup ist in Abbildung 6.17 gezeigt. Im intrinsischen Spin-Hall-Effekt beobachtet
man ν = 0, 1 (Spin komplett in dieser Richtung oder Spin überhaupt nicht in dieser Richtung) auch für
B = 0 (siehe Abbildung 6.18). Die Theorie zum intrinsischen Spin-Hall Effekt wurde von Barnevig und
Zhang 2006 erarbeitet und 2007 von König experimentell verifiziert.
Heute gibt es viele Systeme mit intrinsischem Spin-Hall Effekt wie z.B. die 3D Z2 topologischen Isolatoren
Seite 89
6.5. SPIN-HALL-EFFEKT
CdTe
HgTe
Abbildung 6.17: In HgTe beobachtet man eine Bandinversion und den intrinsischen Spin-Hall-Effekt
Isolator
Abbildung 6.18: Spin-Hall-Effekt und topologischer Isolator
wie Bi1−x Sbx . Hier wurde die Theorie 2006/2007 erarbeitet und das Experiment bereits 2008 durchgeführt.
Andere Systeme sind z.B. die B-Phase in He3.
Eine periodische Tabelle der topologischen Isolatoren wurde von Schnyder et al. 2008 und von Kitaev 2009
entwickelt. Zirnbauer fand 1996 10 Klassen von Isolatoren. Die topologischen Isolatoren in 1D, 2D und 3D
lassen sich damit in 5 Klassen einteilen.
Seite 90
Kapitel 7
Transport in ungeordneten Systemen
Wir betrachten nun im letzten Kapitel den Transport in ungeordneten Systemen.
7.1
Wie reproduziert man das Ohmsche Gesetz?
Wir gehen dieser Frage nun nach, indem wir zunächst die Phasenkohärenzzeit τφ τm annehmen und
damit τφ = 0 setzen können. Betrachten wir nun einen typischen Streuprozess mit zwei Streuern und verschiedenen Transmissionskoeffizienten in Abbildung 7.1.
T1
T2
Abbildung 7.1: Zwei Streuer mit unterschiedlichen Transmissionen
Wir wissen, dass der totale Transmissionskoeffizient T12 = T1 T2 ist. Daraus würde für ein ungeordnetes
−L
System der Länge L folgen: T (L) ∝ e L0 . Dies muss falsch sein, da dann nichts mehr durch das System
kommen dürfte.
Aus 2.85 wissen wir:
T12 = T1 T2 + T1 R1 R2 T2 + · · ·
T1 T2
=
1 − R1 R2
(7.1)
(7.2)
Wir brauchen nun eine additive Größe, da der Widerstand in makroskopischen Systemen immer additiv ist.
Wir können uns diese wie folgt definieren:
1 − T12 1 − T1 1 − T2
=
+
T12
T1
T2
91
(7.3)
7.1. WIE REPRODUZIERT MAN DAS OHMSCHE GESETZ?
Für N Streuer haben wir:
1 − T (N)
1−T
T
=N
⇒ T (N) =
T (N)
T
N(1 − T ) + T
(7.4)
Definieren wir die Konzentration der Streuer als ν = VL , so erhalten wir:
T (N) =
T
L0
=
, (1D),
νL(1 − T ) + T
L + L0
(7.5)
T
mit L0 = ν(1−T
) . Nun sollte L0 ∝ Lm (der mittleren freien Weglänge) sein. Dies folgt unmittelbar aus der
Definition von Lm , denn:
(1 − T )νLm ≈ 1 ⇒ Lm ≈
1
L0
=
⇒ L0 ∝ Lm
(1 − T )ν
T
(7.6)
Der Faktor T sollte zwischen 0,1 und 0,9 liegen. Wir erhalten damit für den Widerstand:
ρ∝
1 − T (L)
L
=
T (L)
L0
(7.7)
Dies ist gerade das Ohmsche Gesetz.
Es bleibt noch die Frage, woher überhaupt der Widerstand kommt, denn bisher hatten wir nur ballistische
Leitung angenommen. Betrachten wir hierzu den Widerstand aus der Landauer-Formel:


ρ ∝ G−1 =
1 1
1 
1
=
 +
GQ MT
GQ  M

1−T


M}

|T{z
eigentlicher Widerstand
(7.8)
Wir sehen damit, dass es sich bei dem Widerstand um den Kontaktwiderstand an den Elektroden handelt
(siehe Abbildung 7.2).
Kontaktwiderstand
Abbildung 7.2: Kontaktwiderstand an den Elektroden
Seite 92
7.2. INTERFERENZEFFEKTE UND LOKALISIERUNG
7.2
Interferenzeffekte und Lokalisierung
Um Lokalisierungseffekte zu beobachten betrachten wir den Fall τφ 6= 0 und in gewissem Sinne groß. Wir
benutzen nun 2.86 und erhalten:
T=
T1 T2
√
1 − 2 R1 R2 cos θ + R1 R2
Wir mitteln nun die additive Größe und erhalten den Widerstand:
√
Z
1 − T12
dθ 1 − 2 R1 R2 cos θ + R1 R2
ρ12 =
=
T12
2π
T1 T2
1 + R1 R2 − T1 T2
=
T1 T2
Ferner definieren wir: ρ1,2 =
1−T1,2
T1,2
(7.9)
(7.10)
(7.11)
und erhalten damit:
ρ12 = ρ1 + ρ2 + 2ρ1 ρ2
(7.12)
Betrachten wir nun einen Leiter der Länge L und einen infinitesimalen Abschnitt der Länge ∆L so gibt uns
die Formel:
∆L
, (GQ = 1)
L0
∆L
ρ(L + ∆L) = ρ(L) + (1 + 2ρ(L))
L0
ρ(L + ∆L) − ρ(L) 1 + 2ρ
dρ
⇒
=
=
dL
∆L
L0
ρ1 = ρ(L), ρ2 =
(7.13)
(7.14)
(7.15)
Die Lösung lautet (Landauer 1970):
1 L2L
ρ(L) =
e 0 −1
2
Die obige Lösung ist für M = 1 Kanäle. Für M 1 gilt die Formel ebenfalls, aber erst ab ρtot ≈
für L ≥ ML0 . Wir bezeichnen daher auch
Lc = ML0
(7.16)
1
GQ
oder
(7.17)
als die Lokalisierungslänge. Ab Lc beobachtet man einen exponentiellen Anstieh des Widerstands, wobei
Lc ≈ Lφ gilt. Wir können uns vorstellen, dass die Ladungsträger in phasenkohärenten Blöcken gefangen
sind (siehe Abbildung 7.3).
Wir beobachten daher insgesamt folgendes Verhalten:
Seite 93
7.2. INTERFERENZEFFEKTE UND LOKALISIERUNG
Lm
Lφ
L
Abbildung 7.3: Starke Lokalisierung von Elektronen
• starke Lokalisierung für L ≈ Lc und Lφ ≥ Lc ; dann gilt 7.16
• schwache Lokalisierung für L Lc
Dann entwickelt man 7.16:
2
L
L
= ρkl + ∆ρ
ρ(L) ∝ +
Lc
Lc
(7.18)
Hierbei ist ∆ρ die quantenmechanische Korrektur des Widerstands. Für die Leitfähigkeit folgt damit:
∆G
1
∆ρ
⇒
=∆
= − 2 = −1
GQ
ρ
ρ
(7.19)
Wir beobachten also eine große Korrektur zur Leitfähigkeit.
Betrachten wir abschließend eine Abschätzung für einen Cu-Draht. Hier gilt A ≈ 200nm · 200nm ⇒ M ≈
106 . Es gilt Lm ≈ 1nm ⇒ Lc ≈ 1mm, Lφ Lc . Man beobachtet also keine starke Lokalisierung.
Gehen wir nun der Frage nach, warum der Mittelwert des quantenmechanischen Leitwerts kleiner als der
klassische Leitwert ist (für L Lm ). Es gilt:
G = GQ MT = GQ M(1 − R)
L0
L
, R=
⇒T =
L + L0
L + L0
Seite 94
(7.20)
(7.21)
7.2. INTERFERENZEFFEKTE UND LOKALISIERUNG
Die Streuung R(m → n) in einen anderen Kanal ist damit R(m → n) =
1 L
M L+L0 .
Quantenmechanisch gilt:
1 L
für m 6= n
M L + L0
2 L
=
für m = n
M L + L0
R(m → n) =
hRi =
(7.22)
(7.23)
L
1
L
∑hR(m → n)i = L + L0 + M L + L0
(7.24)
n
1 L
1
≈ Tkl − fürL L0
M L + L0
M
2
2e
hGQM i ≈ Gkl −
h
hTQM i = Tkl −
⇒
(7.25)
(7.26)
Wir sehen damit, dass der zusätzliche Widerstand aus den Pfaden mit m = n kommt. Wir beobachten die
sogenannte verstärkte Rückstreuung.
Wir können dies quantenmechanisch verstehen, indem wir uns die verschiedenen Prozesse anschauen, die
zur Rückstreuung beitragen (siehe Abbildung 7.4):
R(m → n) = |A1 (m → n) + A2 (m → n) + · · · |2
(7.27)
m
n
Abbildung 7.4: Möglicher Prozess der Rückstreuung
Gemittelt ergibt sich:
∞
hR(m → n)i = ∑ |Ai (m → n)|2
i=1
Es gibt aber die erwähnten Prozesse wie:
m → m1 → m2 → · · · → mN → m
m → mN → mN−1 → · · · → m1 → m
Seite 95
(7.28)
7.2. INTERFERENZEFFEKTE UND LOKALISIERUNG
Für solche Prozesse gilt
R(m → n) = |(A1 + A2 + · · · ) + (AR1 + AR2 + · · · )|2
= |A + AR |2 = 4|A|2 ,
(7.29)
(7.30)
wenn A = AR (gleicher Hin- und Rückweg) gilt. Wir beobachten also eine Verstärkung durch die Kohärenz
der Rückstreuung, während wir klassisch nur eine inkohärente Rückstreuuung erwarten würden (R(m →
n) = 2|A|2 ). Man benötigt für die QM-Korrektur aber eine Zeitumkehrinvarianz. Durch ein angelegtes
Magnetfeld wird diese gebrochen und man beobachtet auch experimentell ein Verschwinden der QMKorrektur.
Numerische Experimente zur Leitfähigkeit finden sich z.B. in Cahay, McLennan und S. Datta PRB, 37,
10125 (1988).
Seite 96

Zugehörige Unterlagen

Wir haben drei Abbildungen für Wahrheitswerte wahr (w) und falsch

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