Version ohne Beispiele und Beweise

Analysis I
Ohne Beweise und Beispiele
Prof. Kröner1
Wintersemester 2003
ܯ¨
1
Mitschrift von Inka Benthin und Raimar Sandner mit Dank an Klaus Zimmermann für die
Mithilfe
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
2
0
Einleitung
3
1
Reelle Zahlen, Folgen, Grenzwerte
5
1
Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Beweisverfahren der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . .
5
Körperaxiome und Anordung R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Anordnung der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Motivation: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Vollständigkeit der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2
3
4
5
2
3
Teilmengen von R und R
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Funktionen und Stetigkeit
18
6
Polynome und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
7
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
8
Zwischenwertsatz und Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . .
23
9
Existenz von Extremalstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Differentialrechnung für Funktionen einer Variablen
28
10
Die Ableitung: Definition und Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
11
Mittelwertsatz und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
12
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
13
Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
14
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
15
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
16
Ableitung und Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
1
Vorwort
Beim vorliegenden Text handelt es sich um eine inoffizielle Mitschrift. Als solche kann
sie selbstverständlich Fehler enthalten und ist daher für Übungsblätter und Klausuren
nicht zitierfähig.
Korrekturen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen und können an
[email protected] gerichtet werden.
Der Text wurde mit LATEX2e in Verbindung mit dem AMS-TEX-Paket für die mathematischen Formeln gesetzt.
c 2003 Raimar Sandner. Es wird die Erlaubnis gegeben, dieses Dokument unter den Bedingungen der von
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2
Kapitel 0
Einleitung
In der Mathematik betrachten wir Aussagen und Verknüpfungen von Aussagen und
müssen deren Wahrheitsgehalt analysieren.
A : Es regnet.
Bsp.: B : Die Straße ist naß.
B⇒A
f alsch
0.1 Definition (Wahrheitswerte)
a) Negation einer Aussage A, ¬A, nicht A
A ¬A
0
1
1
0
b) „UND “-Verknüpfung
A B
0 0
1 0
0 1
1 1
A∧B
0
0
0
1
A ∧ B ist wahr, gdw. A wahr ist
und B wahr ist.
c) „ODER“-Verknüpfung
A B
0 0
1 0
0 1
1 1
A∨B
0
1
1
1
A ∨ B ist wahr, wenn mind. eine
Aussage wahr ist.
d) „Aus A folgt B “
A B
0 0
1 0
0 1
1 1
A⇒B
1
0
1
1
3
0.2 Definition (Äquivalenz von Aussagen) Zwei Aussagen ϕ und ψ (z.B. ϕ : A ⇒ B, ψ :
¬B ⇒ ¬A) heißen äquivalent, wenn sich die Wahrheitstafeln gleichen.
0.3 Definition (Quantoren) Betrachte die folgende Aussage:
„Es gibt eine natürliche Zahl, die größer ist als 1000“
∃n ∈ N : n > 1000
Negation:
„Alle natürlichen Zahlen sind kleiner oder gleich 1000.“
∀n ∈ N : n ≤ 1000
0.4 Definition (Mengen) Unter einer Menge verstehen wir die Zusammenfassung von
wohl unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte bezeichnen wir als
Elemente.
Ist M eine Menge und x ein Element in M , so schreiben wir x ∈ M . Falls y kein
Element der Menge M : y 6∈ M
0.5 Definition (Teilmenge) M ⊂ N gdw. jedes Element aus M auch in N liegt.
x ∈ M impliziert x ∈ N
M = N gdw. M ⊂ N und N ⊂ M
0.6 Definition (Vereinigung, Durchschnitt)
M ∪ N := {x|x ∈ M ∨ x ∈ N }
M ∩ N := {x|x ∈ M ∧ x ∈ N }
0.7 Definition (Leere Menge)
∅ = {} = leere Menge
0.8 Definition (Komplement) Sei M , N Mengen mit N ⊂ M .
M \ N := {x|x ∈ M ∧ x 6∈ N }
Komplement von N bezüglich M.
4
Kapitel 1
Reelle Zahlen, Folgen,
Grenzwerte
Im Folgenden nehmen wir an, dass die
natürlichen Zahlen N
ganzen Zahlen Z
rationalen Zahlen Q und die
reellen Zahlen R bereits gegeben sind.
N⊂Z⊂Q⊂R
§1
Die natürlichen Zahlen
Die natürlichen Zahlen sind dadurch charakterisiert, dass gilt:
1. 1 ∈ N
2. jedes n ∈ N hat einen Nachfolger n + 1 ∈ N
Anders formuliert: Sei M ⊂ N mit den Eigenschaften
1. 1 ∈ M
2. n ∈ M ⇒ n + 1 ∈ M
Dann gilt M = N.
Beweisverfahren der vollständigen Induktion
Gegeben sei eine Folge von Aussagen A1 , A2 , ....
Es gelte:
1. A1 ist wahr
5
2. An ist wahr ⇒ An+1 ist wahr
Dann gilt: Es sind alle Aussagen A1 , A2 , ... wahr.
1.1 Satz
Für alle n ∈ N gilt:
1 + 2 + 3 + ... + n =
n
X
n(n + 1)
2
k=
k=1
1.2 Satz (Anordnung)
Die Anzahl der möglichen Anordnungen von n verschiedenen Objekten ist
1 · 2 · 3 · ... · n =: n!
1.3 Definition (Binomialkoeffizient) Für α ∈ R und k ∈ N definiere
α
α(α − 1)(α − 2) ... (α − k + 1)
:=
k
1 · 2 · 3 · ... · k
α
:= 1
0
1.4 Satz
Es sei n, k ∈ N. Es gibt genau
menten.
1.5 Satz
Es gilt
n
k−1
+
n
k
n+1
k
=
n
k
k-elementige Teilmengen einer Menge mit n Ele-
für n ∈ N und k ∈ {1, 2, ..., n}.
1.6 Definition (Dreieckschema von Pascal)
0
0
n=0
1
0
n=1
2
0
n=2
n=3
3
0
=1
1
1
2
1
=1
=1
=1
3
1
=1
2
2
=2
3
2
=3
=3
=1
3
3
=1
1.7 Satz (Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl)
Jede nichtleere Menge M ⊂ N besitzt ein kleinstes Element.
§2
Körperaxiome und Anordung R
2.1 Definition (Körper) Eine Menge K versehen mit zwei Operatoren „+“ (Addition)
und „·“ (Multiplikation) heißt Körper, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind. Jedem geordneten Paar (a, b), a, b ∈ K wird eindeutig ein Element a + b ∈ K bzw.
a · b ∈ K zugeordnet, so daß die folgenden Gesetze gelten:
6
1. a + (b + c) = (a + b) + c
2. a · (b · c) = (a · b) · c
3. a + b = b + a
4. Es gibt ein neutrales Element 0 ∈ K mit a + 0 = a für alle a ∈ K
(0 neutrales Element der Addition)
5. Es gibt eine 1 ∈ K mit a · 1 = a für alle a ∈ K
(neutrales Element der Multiplikation)
6. Zu jedem a ∈ K gibt es ein (−a) ∈ K mit (−a) + a = 0
7. Zu jedem a ∈ K, a 6= 0 existiert ein a−1 mit a−1 · a = 1
(inverses Element der Multiplikation)
8. a · (b + c) = a · b + a · c
(Distributivität)
gilt zusätzlich:
9. a · b = b · a für alle a, b ∈ K, so heißt K ein kommutativer Körper.
Anwendungen
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)n =?
2.2 Satz (Binomische Formel)
Für alle a, b ∈ R und alle n ∈ N gilt:
(a + b)n =
n X
n
k=0
k
an−k bk
2.3 Satz (Geometrische Reihe)
Für alle n ∈ N und alle q ∈ R, q 6= 1, gilt:
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
1−q
Anordnung der reellen Zahlen
2.4 Axiom (Anordnungsaxiome) (Siehe Ergänzung in Definition 3.5)
1. Für jedes a ∈ R gilt genau eine der Aussagen a < 0, a = 0, a > 0
2. a > 0, b > 0, dann ist auch a + b > 0 und a · b > 0
7
3. (Axiom des Archimedes) Zu jeder reellen Zahl ε > 0 gibt es ein n ∈ N mit
0 < n1 < ε
2.5 Folgerung
• Für a, b ∈ R gilt genau eine der Aussagen a > b, a = b, a < b
• a > b, b > c ⇒ a > c
Transitivität
• Aus a > b folgt
1
1
<
falls b > 0
a
b
a + c > b + c für alle c ∈ R
ac > bc für alle c ∈ R, c > 0
ac < bc für alle c ∈ R, c < 0
(
a+c>b+d
• a > b, c > d ⇒
ac > bd
falls c, d > 0
• Für n ∈ N gilt n > 0
2.6 Definition (Betrag) Der Betrag von a ∈ R ist definiert durch
(
a
falls a > 0
|a| :=
−a falls a < 0
2.7 Lemma (Rechenregeln für den Betrag)
a) |a + b| ≤ |a| + |b|
b) |a| − |b| ≤ |a − b|
(Dreiecksungleichung)
(umgekehrte Dreiecksungleichung)
c) |ab| = |a| · |b|
d) a ≤ |a|
2.8 Satz (Bernoulli-Ungleichung)
Für alle x ∈ R, x ≥ −1, alle n ∈ N gilt
(1 + x)n ≥ 1 + nx
2.9 Satz (Q ist dicht in R)
Seien a, b ∈ R mit a < b. Dann gibt es ein q ∈ Q mit a < q < b
√
2.10 Satz (Irrationalität von 2)
Die Gleichung x2 = 2 ist in Q nicht lösbar.
8
§3
Grenzwerte von Folgen
Motivation:
Definition der Geschwindigkeit eines beschleunigten Zuges im Punkte X.
x
x + ∆x
s(t)
s(t + ∆t)
mittlere Geschwindigkeit auf [s(t), s(t + ∆t)]
s(t + ∆t) − s(t)
∆t
Geschwindigkeit in x:
lim
∆t→0
s(t + ∆t) − s(t)
∆t
3.1 Definition (Folge) Sei M eine Menge.
Eine Abbildung N → M, n 7→ an ∈ M heißt Folge.
Kurzform: (an )n∈N , an : n-tes Folgenglied.
3.2 Definition (Konvergenz von Folgen) Die Folge (an )n∈N konvergiert für n → ∞ gegen a, falls gilt: Für alle ε > 0 gibt es ein N ∈ N, so dass gilt:
∀n > N : |an − a| < ε
a : Grenzwert, a = limn→∞ an
an −→ a
Existiert ein Grenzwert zu (an )n∈N , so heißt die Folge konvergent. andernfalls heißt
sie divergent.
Kurzform: ∀ε > 0 ∃N ∈ N∀n > N : |an − a| < ε
3.3 Definition (ε-Umgebung) Die Menge
n
o
Uε (a) = x ∈ R |x − a| < ε
heißt ε-Umgebung von a für ε > 0.
3.4 Satz (Eindeutigkeit)
Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig bestimmt.
9
3.5 Definition (Ergänzung zu Axiom 2.4) Es ist
a<0
a<b
a=b
äquivalent zu 0 > a
äquivalent zu a − b < 0
äqu. zu a − b = 0
3.6 Definition (Beschränktheit von Folgen)
Eine Folge (an )n∈N heißt nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn es ein k ∈ R
gibt, so dass folgendes ∀n ∈ N gilt:
an < k
k < an
(nach oben)
(nach unten)
Die Folge (an )n∈N heißt beschränkt, falls sie nach oben und unten beschränkt ist.
3.7 Satz (Konvergent ⇒ beschränkt)
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
3.8 Satz (Rechenregeln für Grenzwerte)
Sei (an )n∈N und (bn )n∈N Folgen mit an → a, bn → b für n → ∞. Dann gelten
folgende Regeln:
a) Für λ, µ ∈ R gilt λan + µbn → λa + µb für n → ∞
b) an bn → ab für n → ∞
c) Falls b 6= 0 gibt es ein N ∈ N, so dass bn 6= 0 für n > N . Es gilt:
an
a
→
bn
b
n → ∞, n > N
3.9 Definition (Vektorraum) % LAI.
3.10 Bemerkung
a) Die Menge der Folgen (an )n∈N , an ∈ R ist ein Vektorraum über R.
λ(an )n∈N + µ(bn )n∈N := (λan + µbn )n∈N
b) Die Nullfolgen (d.h. an → 0) bilden einen Untervektorraum.
c) Ebenso die konvergenten Folgen und
d) die beschränkten Folgen.
3.11 Satz (Grenzwerte und Ungleichungen)
Seien (an )n∈N , (bn )n∈N , an → a, bn → b. Dann gilt:
a) an ≤ bn ⇒ a ≤ b
b) c ≤ an ≤ d ⇒ c ≤ a ≤ d
10
c) Sei a = b und sei (cn )n∈N eine Folge mit an ≤ cn ≤ bn , dann konvergiert auch
(cn )n∈N mit cn → a.
d) Im Allgemeinen gilt nicht: an > bn ⇒ a > b.
3.12 Satz (Existenz der n-ten Wurzel)
Sei a > 0, n ∈ N. Dann hat die Gleichung xn = a immer eine Lösung x ∈ R, x > 0.
Wir schreiben:
√
x =: n a
3.13 Definition (uneigentliche Konvergenz)
(an )n∈N
konvergiert uneigentlich gegen unendlich (∞), falls gilt:
Für alle K > 0, K ∈ R gibt es ein N ∈ N so dass für alle n > N : an > K. Wir
schreiben dann auch:
an → ∞
lim an = ∞
n→∞
3.14 Definition (Intervalle) Sei b ≥ a
n
o
(a, b) =]a, b[:= x ∈ Ra < x < b
n
o
[a, b] = x ∈ Ra ≤ x ≤ b
n
o
(a, b] :=]a, b] := x ∈ Ra < x ≤ b
n
o
[a, b) := [a, b[:= x ∈ Ra ≤ x < b
offenes Intervall
abgeschlossenes Intervall
links offen, rechts abgeschlossen
rechts offen, links abgeschlossen
Die Intervalllänge ist definiert als:
|[a, b]| = |[a, b[| = · · · = b − a
§4
Vollständigkeit der reellen Zahlen
Problem: Kann man die Konvergenz einer Folge untersuchen, ohne ihren Grenzwert
zu kennen?
4.1 Definition (Cauchyfolge) Eine Folge (an )n∈N , an ∈ R heißt Cauchyfolge, genau
dann wenn
∀ε > 0 ∃N ∈ N : |an − am | < ε ∀n, m > N
Bemerkung: Der Nachweis einer Cauchyfolge kann mit n, m ∈ N und n < m geführt
werden
4.2 Axiom (Vollständigkeitsaxiom) Jede Cauchyfolge ist konvergent.
Bemerkung: Mit den Axiomen (KAV), d.h. Körper, Anordnungen und Vollständigkeit
11
sind die Axiome für die reellen Zahlen komplett. „Im Wesentlichen“ ist der Körper R
der einzige solche Körper1 .
4.3 Satz (Cauchyfolge gdw. konvergent)
Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchyfolge ist.
4.4 Satz (Konvergenz von Dezimalbrüchen)
Jeder unendliche Dezimalbruch konvergiert gegen eine reelle Zahl. Das heißt: sei
(kn )n∈N Folge in {0, 1, 2, . . . , 9} und k0 ∈ Z, sowie
an =
n
X
kj 10−j
j=0
dann existiert x ∈ R mit limn→∞ an = x.
Nächste Ziele: Beantwortung der Frage aus dem Zinseszinsbeispiel: Konvergiert die
Folge (1 + nx )n ?
4.5 Definition (Monotonie von Folgen) Eine Folge (an )n∈N heißt monoton wachsend,
gdw an+1 ≥ an ∀n ∈ N.
4.6 Satz (Konvergenzkriterium der Monotonie und Beschränktheit)
Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge ist eine Cauchyfolge und damit
konvergent.
4.7 Satz (Definition der Exponentialfunktion)
n
Die Folge En (x) := 1 + nx ist für jedes x ∈ R konvergent. Wir bezeichnen diesen
Grenzwert mit
x n
exp(x) := lim 1 +
n→∞
n
Die Funktion exp : R → R, x 7→ exp(x) heißt Exponentialfunktion. Der Wert
n
1
e := exp (1) = lim 1 +
n→∞
n
= 2, 71828 . . .
heißt Eulersche Zahl. Es gilt exp (x) · exp (−x) = 1 ∀x ∈ R.
4.8 Definition (Intervallschachtelung) Eine Folge (In )n∈N von abgeschlossenen Intervallen In = [an , bn ] heißt Intervallschachtelung, falls In+1 ⊂ In ∀n ∈ N und |In | =
(bn − an ) → 0 für n → ∞.
4.9 Satz (Intervallschachtelungsprinzip)
T
Sei (In )n∈N eine Intervallschachtelung, dann gibt es genau ein x ∈ n∈N In und
x = limn→∞ an , x = limn→∞ bn .
4.10 Satz (Existenz der n-ten Wurzel)
Sei a ∈ R, a > 0, n ∈ N. Dann gibt es genau ein x ∈ R, x > 0 : xn = a. Wir
1 siehe
H.-D. Ebbinghaus(Herausgeber): Zahlen, Springer-Verlag 3. Aufl. 1988
12
schreiben dann:
x =:
√
n
1
a = an
Wir betrachten die Folge:
(
n
an :=
3+
1
n
falls n gerade
sonst
4.11 Definition (Teilfolge) Sei (an )n∈N eine Folge und (nk )k∈N eine Folge natürlicher
Zahlen und echt monoton wachsend: n1 < n2 < · · · < nk < . . . , dann heißt (ank )k∈N
Teilfolge von (an )n∈N .
4.12 Definition (Häufungspunkt) a ∈ R heißt Häufungspunkt (HP) der Folge (an )n∈N ,
wenn es eine Teilfolge (ank )k∈N von (an )n∈N gibt mit:
ank → a
k→∞
4.13 Lemma
a ∈ R ist Häufungspunkt von (an )n∈N , gdw die Menge
n
o
Mε := n ∈ Nan ∈ Uε (a)
für jedes ε > 0 unendlich viele Elemente hat.
4.14 Satz (Bolzano-Weierstraß)
(xn )n∈N sei eine beschränkte Folge, dann hat (xn )n∈N eine konvergente Teilfolge, also
mindestens einen Häufungspunkt.
4.15 Definition (Limes superior) Sei (Xn )n∈N eine Folge und x∗ , x∗ ∈ R ∪ {±∞}. Es
gelte:
a) Es gibt eine Teilfolge xnk −→ x∗ k → ∞
n
o
b) ∀x > x∗ ist n ∈ Nxn > x endlich.
Dann heißt x∗ limes superior von (xn )n∈N .
x∗ =: lim sup xn
n→∞
Falls gilt:
c) Es gibt eine Teilfolge xnk −→ x∗ k → ∞
n
o
d) ∀x < x∗ ist n ∈ Nxn < x endlich
Dann ist
x∗ =: lim inf xn
n→∞
x∗ heißt Limes inferior.
13
4.16 Lemma
Sei x∗ = lim supn→∞ xn und y > x∗ . Dann ist y kein Häufungspunkt von (xn )n∈N .
4.17 Satz (Existenz des limes superior)
Sei (xn )n∈N eine Folge in R, dann gibt es genau ein x∗ ∈ R ∪ {±∞} mit
x∗ = lim sup xn
n→∞
4.18 Satz
Sei (an )n∈N eine Cauchyfolge. Dann kann man nun mit Hilfe des Satzes 4.14 zeigen:
Dann konvergiert die Folge (an )n∈N .
§5
Teilmengen von R und Rn
5.1 Definition (beschränkte Mengen) Sei M ⊂ R. M heißt
• nach oben beschränkt: ⇔ ∃k ∈ R ∀x ∈ M : x ≤ k
• nach unten beschränkt: ∃k ∈ R ∀x ∈ M : k ≤ x
Dann heißt k obere bzw. untere Schranke.
M heißt beschränkt: ⇔ ∃k ∈ R ∀x ∈ M : |x| ≤ k.
5.2 Definition (Supremum, Infimum) Sei M ⊂ R, S ∈ R. S heißt kleinste obere Schranke oder Supremum von M (bzw. größte untere Schranke oder Infimum), wenn gilt:
a) S ist obere (bzw. untere) Schranke von M , d.h. ∀x ∈ M : x ≤ s
b) Ist auch S 0 obere (bzw. untere) Schranke zu M , dann gilt: S ≤ S 0 (bzw. S 0 ≥ S)
Wir schreiben S = sup M (bzw. S = inf M ).
Ist M nicht nach oben (bzw. unten) beschränkt, dann ist sup M = ∞ (bzw. inf M =
−∞). sup ∅ := −∞, inf ∅ := ∞
5.3 Satz (Existenz des Supremums)
Sei M ⊂ R nach oben beschränkt, dann besitzt M eine kleinste obere Schranke sup M .
5.4 Folgerung Sei M ⊂ R, M 6= ∅. Dann gibt es eine Folge (xn )n∈N , xn ∈ M , so dass
xn −→ sup M
5.5 Problem Gibt es mehr rationale Zahlen als natürliche Zahlen? Gibt es mehr reelle
Zahlen als rationale Zahlen?
5.6 Definition (Gleichmächtigkeit) A, B seien Mengen. A ist gleichmächtig zu B :⇔
A ∼ B :⇔ es gibt eine bijektive Abbildung ϕ : A → B.
14
5.7 Lemma
Die Relation „∼“ ist eine Äquivalenzrelation, d.h.
a) A ∼ A
b) A ∼ B
⇒
B∼A
c) A ∼ B,
B∼C
⇒
A∼C
5.8 Definition Eine Menge M heißt
• endlich, wenn M ∼ {1, . . . , k} für ein k ∈ N.
• abzählbar unendlich, wenn M ∼ N.
• abzählbar, wenn M endlich oder abzählbar unendlich ist.
• überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist.
5.9 Lemma
Sei ϕ : N → M , ϕ surjektiv, dann ist M abzählbar.
5.10 Satz
Die Mengen Z und Q sind abzählbar.
5.11 Satz
R ist nicht abzählbar.
5.12 Definition (Euklidische Norm) Sei x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , n ∈
N. Setze
hx, yi :=
n
X
xi yi
(Skalarprodukt)hx, yi = |x| |y| cos α
i=1
||x|| := |x| =
=
n
X
p
hx, xi
! 12
Norm von x
x2i
i=1
5.13 Lemma (Eigenschaften des Skalarproduktes)
Für x, y, z ∈ Rn , α, β ∈ R gilt:
a) hx, yi = hy, xi
Symmetrie
b) hαx + βy, zi = αhx, zi + βhy, zi
Bilinearität
c) hx, xi ≥ 0
hx, xi = 0 ⇔ x = 0
Positivität
5.14 Lemma (Eigenschaften der Norm)
Für x, y ∈ Rn und α ∈ R gilt:
a) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = 0
15
b) kαxk = |α| kxk
c) kx + yk ≤ kxk + kyk
Dreiecksungleichung
5.15 Lemma (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)
Für x, y ∈ Rn gilt
hx, yi ≤ kxk kyk
hx, yi = kxk kyk ⇔
x = λy, λ ∈ R
5.16 Definition (Konvergenz im Rn ) Die Folge (xk )k∈N , xk ∈ Rn konvergiert gegen a ∈
Rn , falls gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N∀k > N : kxk − ak < ε
5.17 Definition (ε-Umgebung im Rn )
n
o
Uε := x ∈ Rn kx − ak < ε
heißt ε-Umgebung oder ε-Kugel.
5.18 Definition (beschränkte Mengen im Rn ) Eine Menge M ⊂ Rn heißt beschränkt,
falls gilt:
∃K ∈ R ∀x ∈ M : kxk ≤ K
5.19 Satz (Konvergenz im Rn )
Für eine Folge (ak )k∈N , ak ∈ Rn mit Koordinaten aik , i = 1, . . . , n gilt:
a) (ak )k∈N ist beschränkt ⇔ (aik )k∈N ist beschränkt ∀i ∈ {1, . . . , n}.
b) (ak )k∈N konvergiert gegen a ∈ Rn ⇔ aik −→ ai ∀i ∈ {1, . . . , n}.
c) (ak )k∈N ist eine Cauchyfolge ⇔ (aik )k∈N ist Cauchyfolge ∀i ∈ {1, . . . , n}.
5.20 Satz (Vollständigkeit des Rn )
Sei (xk )k∈N eine Cauchyfolge im Rn , das heißt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀k, l > N : kxk − xl k ≤ ε
Dann existiert ein x ∈ Rn mit xk −→ x für k → ∞.
5.21 Satz (Bolzano-Weierstraß)
Jede beschränkte Folge im Rn besitzt eine konvergente Teilfolge.
5.22 Definition (Häufungspunkte von Mengen im Rn ) Sei M ⊂ Rn , a ∈ Rn . a heißt
Häufungspunkt von M , wenn für alle ε > 0 die Menge M ∩ Uε (a) unendlich viele
Elemente enthält.
5.23 Lemma
a ∈ M ist Häufungspunkt gdw es eine Folge (ak )k∈N , ak ∈ M gibt mit ak −→ a.
16
5.24 Definition (offene und abgeschlossene Mengen im Rn )
a) Ω ⊂ Rn heißt offen, falls
∀x ∈ Ω ∃ε > 0 Uε (x) ⊂ Ω
b) A ⊂ Rn heißt abgeschlossen, falls
xk ∈ A, xk −→ x, x ∈ Rn
⇒
x∈A
5.25 Folgerung A ⊂ Rn ist abgeschlossen ⇔ (x HP von A ⇒ x ∈ A)
5.26 Satz
Sei M ⊂ Rn . Dann gilt M ist offen ⇔ Rn \ M abgeschlossen.
5.27 Bemerkung
a) Rn und ∅ sind offen und abgeschlossen. Dies sind auch die einzigen Mengen im
Rn mit dieser Eigenschaft.
b) Sei Mr , r ∈ R eine Familie von offenen Mengen. Dann ist auch
[
Mr
r∈R
offen.
c) Seien M1 , . . . , Mk offene Mengen. Dann ist auch
\
Mk
k∈I
offen.
17
Kapitel 2
Funktionen und Stetigkeit
§6
Polynome und komplexe Zahlen
6.1 Definition (Funktion) Sei D eine Menge und f eine Abbildung, die jedem Element
x ∈ D genau ein f (x) ∈ R zuordnet.
f : D −→ R
x 7→ f (x)
f heißt Funktion,
von f . f (D) ist der Wertebereich oder
n D ist der Definitionsbereich
o
das Bild von f . (x, f (x))x ∈ D heißt Graph von f .
6.2 Definition (Polynome) Eine Funktion p : R −→ R heißt Polynom vom Grad n ∈ N0 ,
wenn es a0 , a1 , . . . , an gibt (an 6= 0) gibt, so dass
p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
∀x ∈ R
6.3 Lemma (Abspaltung von Linearfaktoren)
Sei p ein Polynom vom Grad n mit Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an an 6= 0 und p(x0 ) = 0
für ein x0 ∈ R, dann gibt es ein Polynom q vom Grad n − 1, so dass
p(x) = (x − x0 )q(x)
∀x ∈ R
Wenn q die Darstellung
q(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + . . . + bn−1 xn−1
mit bn−1 6= 0 hat, so gilt bn−1 = an .
6.4 Lemma (Nullstellenlemma)
Sei p ein Polynom vom Grad n mit n ∈ N0 . Dann hat p höchstens n Nullstellen.
6.5 Satz (Koeffizientenvergleich)
Seien p und q Polynome vom Grad n bzw. m. Sei p(xi ) = q(xi ) für x1 , . . . , xk paar18
weise verschieden und k > max {n, m}. Dann gilt
p(x) = q(x)
∀x ∈ R
6.6 Folgerung Sei p ein reelles Polynom vom Grad n mit Nullstellen x1 , . . . , xr ∈ R.
Dann gibt es ν1 , . . . , νr ∈ N (Vielfachkeiten von xi ) mit
p(x) = (x − x1 )ν1 (x − x2 )ν2 · · · (x − xr )νr q(x)
∀x ∈ R
Dabei ist q ein Polynom vom Grad n − (ν1 + ν2 + · · · + νr ) und q(x) 6= 0 ∀x ∈ R.
Diese Darstellung ist eindeutig.
Problem Nicht alle Polynome haben reelle Nullstellen. Z.B. x2 + 1 = 0.
6.7 Definition (komplexe
auf dem Vektorraum R2 noch eine Multipli Zahlen)
Definiere
x1
x2
kation: zu z1 =
, z2 =
∈ R2
y1
y2
x1 x2 − y1 y2
z1 · z 2 =
x1 y2 + x2 y1
2
Wir nennen R , +, · die Menge der
Zahlen C. Wir
R als Teilmenge
komplexen
fassen
r
r
des R2 auf und identifizieren r mit
für alle r ∈ R. r =
0
0
x1
x1
Konjugation: zu z =
setze z̄ :=
.
y1
−y1
6.8 Lemma
C ist ein Körper.
6.9 Definition (komplexe Notation) Setze 1 = ( 10 ) und i := ( 01 ). ( 10 ) ( 01 ) bilden eine
Basis des R2 . Also gilt für alle z ∈ C:
x1
1
0
z=
= x1
+ y1
= x1 + iy1
y1
0
1
q
x
|z| = |
| = x21 + y12
y
x1
x2
hz1 , z2 i =
·
= x1 x2 + y1 y2
y1
y2
6.10 Folgerung Es gilt i2 = −1
2 0
0
0
0−1
1
= −1
i =
=
=
=−
1
1
1
0+0
0
2
Zu z = ( xy ) gilt z̄ = x − iy
x
x
z=
⇒ z̄ =
= x − iy
y
−y
19
6.11 Lemma (Rechenregeln für komplexe Zahlen)
Es gilt
a) z1 + z2 = z1 + z2 und z1 z2 = z1 · z2
b) z = z̄
⇒
z∈R
c) Sei z = x + iy. Dann ist x = 12 (z + z̄), der Realteil von z.
1
y = 2i
(z − z̄) der Imaginärteil von z
6.12 Lemma (Rechenregeln für komplexe Zahlen)
Es gilt ∀z, z1 , z2 ∈ C
a) |z|2 = z · z
b) hz1 , z2 i = <(z1 z2 )
c) |z1 z2 | = |z1 ||z2 |
d) |<(z)| ≤ |z|, =(z) ≤ |z|
6.13 Bemerkung Sei
p : C −→ C
p(z) = a0 + a1 z + . . . + an z n ,
ai ∈ C
für i = 0, . . . , n ein komplexes Polynom. Für komplexe Polynome gelten die analogen
Aussagen wie für reelle.
• Abspaltung von Linearfaktoren
• Nullstellenlemma
• Koeffizientenvergleich
Die Beweise lassen sich wortwörtlich übertragen. Der Grad, die Koeffizienten, die
Nullstellen und deren Vielfachheit sind analog definiert.
Problem Existenz von Nullstellen.
6.14 Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes Polynom in C vom Grad ≥ 1 hat mindestens eine Nullstelle z0 ∈ C.
6.15 Folgerung Sei p ein Polynom in C vom Grad n mit a0 , . . . , an ∈ C und Nullstellen
z1 , . . . , zk ∈ C. Dann gibt es ν1 , . . . , νk ∈ N0 mit
ν1 + . . . + νk = n
und
p(z) = an (z − z1 )ν1 · · · (z − zk )νk
νk : Vielfachheit der Nullstellen zk .
20
∀z ∈ C
6.16 Lemma (Faktorisierung reeller Polynome)
Sei p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn , a0 , . . . , an ∈ R ein Polynom vom Grad n mit
den reellen Nullstellen x1 , . . . , xr , r ∈ N0 . Dann besitzt p, aufgefasst als komplexes
Polynom eine Faktorisierung der Form
p(z) = an
r
Y
(z − xi )ν1
i=1
k
Y
(z − zj )µj (z − zj )µj
j=1
für alle z ∈ C und ν1 + · · · + νr + 2(µ1 + · · · + µk ) = n
§7
Stetigkeit
7.1 Definition (Stetigkeit) Sei D ⊂ Rm und f : D → Rn , x0 ∈ D. f heißt stetig in x0 ,
falls
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D
kx − x0 k < δ ⇒ kf (x) − f (x0 )k < ε
7.2 Definition (Lipschitzstetigkeit) Sei D ⊂ Rm , f : D → Rn . f heißt lipschitzstetig
mit Lipschitzkonstante L ≥ 0, falls gilt:
kf (x) − f (y)k ≤ Lkx − yk
∀x, y ∈ D
7.3 Satz (Stetigkeit mittels Folgen)
Sei D ⊂ Rm , f : D → Rn , x0 ∈ D. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
a) f ist stetig in x0
b) Sei (xn )n∈N eine Folge in D mit xn → x0 . Dann gilt f (xn ) → f (x0 ).
7.4 Satz (Kombination stetiger Funktionen)
Sei x0 ∈ D ⊂ Rm ; g, f, h : D → R seien stetig in x0 ∈ D. Dann gilt:
a) αf + βg ist stetig in x0 ∀α, β ∈ R
b) f · g, f · g(x) := f (x) · g(x) ∀x ∈ D ist stetig in x0
c)
f
h
f
h
ist stetig in x0 , falls h(x0 ) 6= 0.
: D̃ → R, D̃ := x ∈ Dh(x) 6= 0
7.5 Definition Sei f : D → Rn , D ⊂ Rm . f heißt stetig auf M ⊂ D, wenn f stetig in
x0 für alle x0 ∈ M ist.
n
o
C 0 (M, R) := f : M → Rn f stetig auf M
C 0 (M ) := C 0 (M, R)
7.6 Bemerkung C 0 (M, R) ist ein Vektorraum.
21
7.7 Satz (Komposition stetiger Abbildungen)
Sei D ⊂ Rm , E ⊂ Rn , sei f : D → Rn und g : E → Rk . Sei f (D) ⊂ E, sei f stetig
in x0 und g stetig in f (x0 ). Setze g ◦ f : D → Rk x 7→ g(f (x)). Dann ist g ◦ f stetig
in x0 .
7.8 Definition (Grenzwert von Funktionen) Sei D ⊂ R, f : D → R und x0 ein Häufungspunkt von D. Die Funktion f konvergiert gegen a für x → x0 , falls
∀ε > 0 ∃δ > 0, |x − x0 | < δ : |f (x) − a| < ε
lim f (x) := a
x→x0
7.9 Lemma (Stetigkeit und Grenzwert)
Sei x0 ∈ R Häufungspunkt von D ⊂ R und f : D ∪ {x0 } → R. Dann sind folgende
Aussagen äquivalent:
a) limx→x0 f (x) = f (x0 )
b) f ist stetig in x0
7.10 Definition (Konvergenz von Funktionen) Sei r ∈ R, f :]r, ∞[ → R. Dann ist
lim f (x) := a ∈ R
falls
x→∞
∀ε > 0 ∃R ∈ R ∀x ∈]r, ∞[ , x > R :
|f (x) − a| < ε
Analog ist limx→−∞ f (x) definiert.
7.11 Definition (uneigentlicher Grenzwert) Sei f : D → R, x0 ∈ R. Dann ist
lim f (x) = +∞
x→x0
falls
∀K ∈ R ∃δ > 0 ∀x ∈ D |x − x0 | < δ : f (x) > K
Analog ist limx→x0 f (x) = −∞ definiert.
Problem (allgemein) Wann kann man f in x0 ∈ N stetig fortsetzen? Dazu sei x0 ∈ N
mit
p(x) = (x − x0 )µ p̃(x),
q(x) = (x − x0 )ν q̃(x),
⇒
f (x) =
p(x)
p̃(x)
= (x − x0 )µ−ν
q(x)
q̃(x)
p̃(x0 ) 6= 0
q̃(x0 ) 6= 0
x∈R\N
1. Fall: µ > ν: limx→x0 f (x) = 0
2. Fall: µ = ν: limx→x0 f (x) =
p̃(x0 )
q̃(x0 )
3. Fall: µ < ν: In diesem Fall sagen wir, dass f eine Polstelle in x0 besitzt. Falls
22
p̃(x0 )
q̃(x0 )
> 0, dann gilt:

∞



∞
lim f (x) =
x→x0

∞



−∞
Falls
p̃(x0 )
q̃(x0 )
falls µ − ν
falls µ − ν
falls µ − ν
falls µ − ν
gerade und x ↓ x0
gerade und x ↑ x0
ungerade und x ↓ x0
ungerade und x ↑ x0
< 0 analog.
Untersuchung des Verhaltens x → ∞: Es gilt
1
lim f (x) = a ⇔ lim f ( ) = a
x→∞
y→0
y
und
p(x)
a0 + a1 x + · · · + am xm y= x1 a0 + a1 y −1 + a2 y −2 + · · · + am y −m
=
=
q(x)
b0 + b1 x + · · · + bn xn
b0 + b1 y −1 + b2 y −2 + · · · + bn y −n
−m
m
m−1
y
a0 y + a1 y
+ · · · + am
= −n ·
n
n−1
y
b0 y + b1 y
+ · · · + bn
m
m−1
a
y
+
a
y
+ · · · + am
0
1
= y n−m ·
n
n−1
b0 y + b 1 y
+ · · · + bn


falls n > m
0
lim f (x) = abm
falls n = m
x→∞

 n
±∞
falls n < m
f (x) =
7.12 Satz (Rechenregeln für Grenzwerte von Funktionen)
Für den Grenzwert von Funktionen gelten die folgenden Aussagen:
a) Sei f (x) → a, g(x) → b für x → x0 ∈ R ∪ {±∞}
⇒
x→x
0
αf (x) + βg(x) −−−−→
αa + βb
∀α, β ∈ R
x→x0
f (x) · g(x) −−−−→ a · b
f (x) x→x0 a
−−−−→
g(x)
b
falls b 6= 0
b) Sei f : D → R, g : E → R, f (D) ⊂ E. f (x) → a und g stetig in a. Dann gilt
x→x
0
g(f (x)) −−−−→
g(a) = g(f (x0 ))
c) f (x) → a, g(x) → b, x → x0 und f, g : D → R sowie f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ D.
Dann gilt:
a≤b
§8
Zwischenwertsatz und Umkehrfunktion
Problem Sei y ∈ [f (a), f (b)]. Gibt es zu y ein x mit f (x) = y?
23
8.1 Satz (Zwischenwertsatz)
Sei f : [a, b] → R stetig. Dann nimmt f jeden Wert zwischen f (a) und f (b) an.
8.2 Folgerung Sei I ⊂ R ein Intervall und f : I → R stetig. Dann ist auch f (I) ein
Intervall mit den Randpunkten:
α = inf f (x) und β = sup f (x)
x∈I
x∈I
8.3 Lemma (Einseitige Grenzwerte monotoner Funktionen)
Sei D ⊂ R, f : D → R monoton wachsend. Sei x0 ∈ D und es existiert eine Folge
xn ↑ x0 . Dann existiert
lim f (x).
x↑x0
Die Aussage gilt auch als uneigentlicher Grenzwert.
8.4 Satz (Monotonie und Umkehrfunktion)
Sei I =]a, b[ und f : I → R streng monoton wachsend (x < y ⇒ f (x) < f (y)) und
stetig. Dann gilt:
a) Die Umkehrfunktion g existiert: g : f (I) → R
b) g ist auch streng monoton wachsend und stetig.
c) f (I) ist ein Intervall mit Randpunkten α, β und
α := lim f (x)
x↓a
β := lim f (x)
x↑b
d) limy↓α g(y) = a und limy↑β g(y) = b
Bereits definierte Funktionen
• Polynome p(x)
• raionale Funktionen
stetig
p(x)
q(x ,
q(x) 6= 0
stetig
• Exponentialfunktion ex , exp (x)
Eigenschaften: ex e−x = 1 und
x n
En (x) := 1 +
, En (x) ≤ En+1 (x)
n
8.5 Lemma (Eigenschaften der Exponentialfunktion)
Für die Exponentialfunktion gilt:
a) ex > 0, e0 = 1
∀x ∈ R
b) ex ≥ 1 + x ∀x ∈ R
1
ex ≤ 1−x
∀x ∈ R, x < 1
24
?
∀x : −x ≤ n
c) xn → x ⇒ limn→∞ 1 +
xn n
n
= ex
8.6 Satz (Eigenschaften der Exponentialfunktion)
1. ∀x, y ∈ R gilt
exp (x + y) = exp (x) · exp (y)
ex+y = ex ey
Funktionalgleichung
2. exp R →]0, ∞[ ist streng monoton wachsend, stetig, bijektiv.
x→∞
exp(x) −−−−→ ∞
x→−∞
⇒
exp(x) −−−−−→ 0
exp(x) = exp(x + 0) = exp(x) exp(0)
exp(0) = 1
7
6
5
4
3
2
1
-2
-1
1
2
Abbildung 2.1: Die Exponentialfunktion
8.7 Bemerkung (R, +), (R+ , ·) sind Gruppen. Durch exp : R → R+ wird ein Gruppenisomorphismus zwischen (R, +) und (R, ·) definiert.
8.8 Definition (Logarithmus) Die Funktion exp : R →]0, ∞[ hat eine streng monoton
wachsende, stetige, bijektive Umkehrfunktion:
log :]0, ∞[ → R
y 7→ log x
Damit gilt:
a) log(exp x) = x für alle x ∈ R, exp(log y) = y für alle y ∈ R+
b) log 1 = 0
25
1
0.5
1
2
3
4
-0.5
-1
-1.5
Abbildung 2.2: Die Logarithmusfunktion
c) log(y1 y2 ) = log y1 + log y2
∀y1 , y2 ∈ R+
d) limy→∞ log(y) = ∞, limy→0 log y = −∞
Problem Was ist ax , ap/q
x ∈ R?
8.9 Lemma
Für a > 0, a ∈ R und r ∈ Q gilt:
ar = exp(r log a)
8.10 Definition (ax , x ∈ R) Für a > 0, x ∈ R setze
ax := exp(x log a)
8.11 Lemma (Eigenschaften der Exponentialfunktion)
Für a, b > 0 gilt:
a) ax ay = ax+y
b) (ax )y = axy
c) ( a1 )x = a−x
d) ax bx = (ab)x
8.12 Lemma (Charakterisierung von ex durch die Funktionalgleichung)
Sei f : R → R mit f (x + y) = f (x) · f (y) ∀x, y ∈ R und f sei stetig in x = 0. Dann
gilt:
f (x) = ax , a = f (1)
oder f (x) = 0 ∀x ∈ R.
26
§9
Existenz von Extremalstellen
Problem Wann haben solche Minimierungsaufgaben eine (eindeutige) Lösung?
9.1 Definition (kompakte Menge) Ein D ⊂ Rn heißt kompakt (folgenkompakt), falls
gilt: Zu jeder Folge (xn )n∈N in D existiert eine konvergente Teilfolge (xnk )k∈N und
ein x0 ∈ D mit
xnk −→ x0 für k −→ ∞.
9.2 Satz (Heine-Borel)
Sei D ⊂ Rm . Dann gilt
D kompakt ⇔ D abgeschlossen und beschränkt.
9.3 Definition (Beschränktheit von Funktionen) Sei D ⊂ Rn und f : D → Rm . f
heißt beschränkt, falls gilt:
∃K ∈ R+ ∀x ∈ D : kf (x)k ≤ K
9.4 Satz (Existenz von Extremstellen)
Sei D ⊂ Rm kompakt, D 6= ∅, f : D → R stetig. Dann ist f beschränkt und f nimmt
ein Minimum und Maximum an, d.h. es gibt x0 , x1 ∈ D mit f (x0 ) = inf x∈D f (x)
und f (x1 ) = supx∈D f (x). Man schreibt dann auch f (x0 ) = minx∈D f (x), f (x1 ) =
maxx∈D f (x).
27
Kapitel 3
Differentialrechnung für
Funktionen einer Variablen
§10
Die Ableitung: Definition und Regeln
10.1 Definition (Ableitung) Sei D ⊂ R offen und f : D → R. f heißt im Punkt x0 ∈ D
differenzierbar, falls
f (x) − f (x0 )
lim
exitiert.
x→x0
x − x0
Wir schreiben dann:
f 0 (x0 ) := lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
Ableitung von f in x0 .
x − x0
10.2 Definition (Ableitung f : D → Rm ) Sei D ⊂ R offen. f : D → Rm heißt in x0 ∈
D differenzierbar, falls
f (x) − f (x0 )
lim
existiert.
x→x0
x − x0
Wir schreiben analog zur vorherigen Definition f 0 (x0 ).
10.3 Lemma
Sei D ⊂ R offen, f : D → Rm . Dann gilt:
f in x0 ∈ D differenzierbar ⇔ alle Koordinaten f1 , . . . , fm sind diff.
10.4 Definition (Ableitungsfunktion) Sei D ⊂ R, D sei offen. f heißt auf D differenzierbar, falls f 0 (x0 ) für jedes x0 ∈ D existert.
f0 : D → R
nennen wir die Ableitungsfunktion.
28
x 7→ f 0 (x)
10.5 Lemma (Ableitung der Exponentialfunktion)
exp : R → R ist auf R differenzierbar und exp0 (x) = exp(x) ∀x ∈ R.
10.6 Lemma (differenzierbar ⇒ linear approximierbar)
Linear approximierbar bedeutet: der Fehler zwischen Funktion und Tangente ist klein
(wird umso kleiner, je dichter man sich am Berührpunkt befindet).
Sei f : D → R, D offen, x0 ∈ D. Dann gilt: f ist differenzierbar in x0 genau dann
wenn: Es gibt ein a ∈ R und r : R → R, r(h)
h → 0 für h → 0 und:
f (x) = f (x0 ) + a(x − x0 ) + r(|x − x0 |)
10.7 Lemma (differenzierbar ⇒ stetig)
Sei f : D → R differenzierbar in x0 . Dann ist f auch stetig in x0 .
10.8 Satz (Differenzierbarkeitsregeln)
Seien f, g : D → R differenzierbar in x0 ∈ D. Dann sind auch αf + βg, α, β ∈ R,
f · g und fg für g(x0 ) 6= 0 differenzierbar mit den Ableitungen
a) (αf + βg)0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 )
linearität der Ableitung
b) (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
0
0
(x0 )g 0 (x0 )
c) fg (x0 ) = f (x0 )g(xg02)−f
(x0 )
Produktregel
Quotientenregel
10.9 Satz (Kettenregel)
Betrachte die Hintereinanderschaltung
f
g
g◦f :D −
→E−
→R
x 7→ f (x) 7→ g(f (x)) =: (g ◦ f )(x)
Sei f differenzierbar in x0 ∈ D und g differenzierbar in y0 := f (x0 ) ∈ E. Dann ist
g ◦ f differenzierbar in x0 und
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 )
10.10 Satz (Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion)
Sei I = ]a, b[ , f : I → R stetig und streng monoton. Sei f in x0 ∈ I differenzierbar
und f 0 (x0 ) 6= 0. Dann existiert die Umkehrfunktion g : I ∗ := f (I) → I und g ist
differenzierbar in y0 := f (x0 ), und
g 0 (y0 ) =
1
f 0 (g(y0 ))
10.11 Bemerkung Die Bedingung für f 0 (x0 ) 6= 0 ist notwendig, denn
f (g(y0 )) = y0
f (g(y0 )) g 0 (y0 ) = 1
| {z }
0
!
6=0
29
10.12 Bemerkung
a) Kettenregel:
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x)) − f 0 (x)y = y(x) := f (x),
z = z(x) := g(y)
dy(x)
df (x)
dz
y 0 (x) =
=
, z 0 (y) =
dx
dx
dy
dz
d(z ◦ y)(x)
=
= z 0 (y(x))y 0 (x)
dx
dx
dz(y(x)) dy
dz dy
=
·
=
dy
dx
dy dx
Also
dz
dx
=
dz
dy
·
dy
dz .
b) Umkehrfunktion
Sei x = x(y) die Umkehrfunktion zu y = y(x). Dann gilt:
x0 (x) =
§11
dx
1
= 0
=
dy
y (x)
1
dy(x)
dx
=
1
dy
dx
Mittelwertsatz und Anwendungen
11.1 Definition (lokales Extremum) Die Funktion f : ]a, b[ → R hat in x0 ein lokales
Minimum, falls gilt:
∃δ > 0 ∀x ∈ Uδ (x) = ]x0 − δ, x0 + δ[ : f (x) ≥ f (x0 )
Gilt f (x) > f (x0 ) ∀x ∈ Uδ (x0 ) \ {x0 }, so heißt f (x0 ) isoliertes Minimum.
Analog: lokales Maximum.
11.2 Satz (notwendige Bedingung für Extrema)
Sei f : ]a, b[ → R differenzierbar in x0 und f habe in x0 ein lokales Extremum. Dann
gilt:
f 0 (x0 ) = 0
11.3 Bemerkung f 0 (x) = 0 ist nicht hinreichend für Extremum, denn sei f (x) = x3 ,
f 0 (x) = 3x2 , f 0 (0) = 0.
Problem Steigung der Sekanten:
f (b) − f (a)
=: s
b−a
Gibt es ein ξ ∈ ]a, b[ : f 0 (ξ) = s?
11.4 Satz (Mittelwertsatz)
Sei f : [a, b] → R stetig und f auf ]a, b[ differenzierbar. Dann existiert ein ξ ∈ ]a, b[
mit
f (b) − f (a)
f 0 (ξ) =
b−a
30
11.5 Folgerung [Monotoniekriterium] Sei f : [a, b] → R stetig und differenzierbar auf
]a, b[. Dann gilt:
(a) f 0 (x) > 0 ∀x ∈ ]a, b[ ⇒
f ist streng monoton wachsend auf [a, b].
(b) f 0 (x) < 0 ∀x ∈ ]a, b[ ⇒
f ist streng monoton fallend auf [a, b].
(c) f 0 (x) = 0 ∀x ∈ ]a, b[ ⇒
f =konstant auf [a, b]
11.6 Definition (Stammfunktion) Sei f : ]a, b[ → R und F : ]a, b[ → R differenzierbar
mit
F 0 (x) = f (x) ∀x ∈ ]a, b[ .
Dann heißt F Stammfunktion zu f .
11.7 Folgerung Seien F und G Stammfunktionen zu f : ]a, b[ → R. Dann gilt: F −
G =konstant, dies folgt aus Folgerung 11.5 (c).
11.8 Bemerkung Sei f : ]a, b[ → R. Finde ein F : ]a, b[ → R mit F 0 = f . Die Gleichung
„F 0 = f “ nennt man auch Differentialgleichung.
Weiteres Beispiel: Finde ein u : ]a, b[ → R mit u0 = u auf ]a, b[ . Eine mögliche
Lösung: u(x) = ex .
Typische Fragen: Wann sind solche Differentialgleichungen lösbar? Wie viele Lösungen existieren?
11.9 Folgerung (Schrankensatz in R) Sei f : [a, b] → R stetig und f differenzierbar auf
]a, b[. Dann gilt für alle a ≤ x1 < x2 ≤ b:
• m ≤ f 0 (x) ∀x ∈ ]a, b[ ⇒
• f 0 (x) ≤ M ∀x ∈ ]a, b[ ⇒
m≤
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
f (x2 ) − f (x1 )
≤M
x2 − x1
11.10 Bemerkung Für f : ]a, b[ → Rn differenzierbar gilt der Mittelwertsatz im allgemeinen
nicht. Beweis: Übungsaufgabe.
11.11 Folgerung (Schrankensatz im Rn ) Sei f : [a, b] → Rn und f differenzierbar auf
]a, b[ mit kf 0 (x)k ≤ M ∀x ∈ ]a, b[. Dann gilt:
f (x1 ) − f (x2 ) ≤ M ∀x1 , x2 ∈ ]a, b[ , x1 6= x2
x1 − x2
Problem
ex x→∞
−−−−→?
x
11.12 Folgerung Sei f : [a, b] → R stetig und f auf ]a, b[ differenzierbar. Sei a ≤ x1 <
x2 ≤ b und α ∈ R. Dann gilt:
f 0 ≥ αf auf ]a, b[
⇒
e−αx2 f (x2 ) ≥ e−αx1 f (x1 )
f 0 ≤ αf auf ]a, b[
⇒
e−αx2 f (x2 ) ≤ e−αx1 f (x1 )
31
11.13 Folgerung Es gelten die folgenden Aussagen für jedes s > 0:
(a) lim x−s ex = ∞
x→∞
(b) lim y −s log y = 0
y→∞
lim xs e−x = 0
x→∞
lim y s log y = 0
y↓0
11.14 Definition (k-te Ableitung) Sei D ⊂ R offen und f : D → R.
Setze f (0) := f . Sei f (k−1) schon definiert und differenzierbar. Dann sei
0
f (k) := f (k−1) die k-te Ableitung von f.
11.15 Definition (C k (D)) Sei D ⊂ R offen und k ∈ N0 . Setze
o
n
C k (D) := f : D → Rf (i) : D → R definiert und stetig für i = 0, 1, . . . , k
= R − Vektorraum der k-mal stetig diff.baren Funktionen
\
C (D) :=
C k (D)
∞
k∈N0
11.16 Folgerung (Hinreichende Bedingung für Extremwerte) Sei f : ]a, b[ → R zweimal
stetig differenzierbar in x0 ∈ ]a, b[, f 0 (x0 ) = 0 und f 00 (x0 ) > 0. Dann hat f ein
isoliertes Minimum in x0 .
Motivation TODO Grafik.
11.17 Definition (konvexe Funktion) Sei f : ]a, b[ → R mit
f (1 − t)x0 + tx1 ≤ (1 − t)f (x0 ) + tf (x1 )
für alle x0 , x1 ∈ ]a, b[ und für alle t ∈ [0, 1]. Dann heißt die Funktion f konvex.
11.18 Satz (Konvexitätskriterium)
Sei f : ]a, b[ → R differenzierbar. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(a) f 0 ist monoton wachsend.
(b) f ist konvex.
(c) f (y) ≥ f (x) + f 0 (x)(y − x) ∀x, y ∈ ]a, b[
§12
Reihen
12.1 Motivation
n
X
j=0
qj =
1 − q n+1
1−q
32
Falls |q| < 1 gilt q n+1 → 0. Damit


n
X

qj 
j=0
n→∞
−−−−→
1
1−q
n∈N
∞
X
1
Dann schreibt man:
geometrische Reihe.
qj =
1
−
q
j=0
f (x) :=
∞
X
xj =
j=0
1
1−x
|x| < 1
Pn
12.2 Definition (Reihe) Sei Sn := j=0 aj mit aj ∈ C. Dann heißt die Folge (Sn )n∈N eine Reihe. Die Reihe (Sn )n∈N heißt konvergent, falls (Sn )n∈N konvergiert. Dann schreiben wir
∞
n
X
X
ak := lim Sn = lim
ak
k=0
n→∞
n→∞
k=0
(Sn )n∈N heißt auch Folge der Partialsummen Sn .
(Sn )n∈N ∼
∞
X
ak
k=0
12.3 Lemma (Konvergenzkriterium
von Cauchy)
P∞
Eine Reihe k=0 ak konvergiert, gdw.
m
X
ak < ε
∀ε > 0 ∃N ∈ R ∀m ≥ n > N : k=n
12.4 SatzP(Nullfolgentest)
∞
Sei k=0 ak eine Reihe und (ak )k∈N sei keine Nullfolge. Dann konvergiert die Reihe
P
∞
k=0 ak nicht.
12.5 Lemma P
∞
Die Reihe k=0 ak mit ak ≥ 0 ∀k ∈ N konvergiert, gdw. (Sn )n∈N nach oben beschränkt ist.
12.6 Definition
P∞ (absolute Konvergenz) Die Reihe
falls k=0 |ak | konvergiert.
P∞
k=0
mit ak ∈ C konvergiert absolut,
12.7 SatzP(absolute Konvergenz ⇒
Konvergenz)
P∞
∞
Sei k=0 an konvergent ⇒
k=0 ak konvergiert.
12.8 SatzP(Konvergenzkriterien)
∞
Sei k=0 ak , ak ∈ C. Ist eine der folgenden Bedingungen erfüllt, so konvergiert die
Reihe absolut.
33
(a) Majorantenkriterium: ∀k ∈ N gilt:
|ak | ≤ ck ∈ [0, ∞[ und
∞
X
ck < ∞
k=0
(b) Quotientenkriterium:
ak+1 ak ≤ θ
∃k0 ∈ N ∃θ ∈ ]0, 1[ ∀k ≥ k0
(c) Wurzelkriterium:
∃k0 ∈ N ∃θ ∈ ]0, 1[ ∀k ≥ k0 :
(d) Die Reihe divergiert, falls
ak+1 ak ≥ 1 ∀k ≥ k0 ,
p
k
|ak | ≤ θ
p
k
|ak | ≥ 1 ∀k ≥ k0
12.9 Bemerkung In (b) und (c) von Satz 12.8 reicht nicht ∀k ≥ k0 aak+1
< 1 oder
k
p
k
∀k ≥ k0 |ak | < 1, denn die harmonische Reihe ist zu beidem ein Gegenbeispiel.
Denn:
ak :=
ak+1 k k
=
ak k + 1 = k + 1 < 1
r
p
1
k 1
k
|ak | =
= √
<1
k
k
k
1
k
12.10 SatzP(AdditionP
von Reihen, Multipl. von Reihen mit kompl. Zahlen)
∞
∞
Sei k=0 ak , k=0 bk konvergent, λ, µ ∈ C. Dann konvergiert auch
∞
X
(λak + µbk ) und
k=0
∞
X
(λak + µbk ) = λ
k=0
∞
X
ak + µ
k=0
∞
X
bk
k=0
12.11 Satz (Cauchyprodukt)
P∞
P∞
Die Reihe k=0 ak ,
k=0 bk seien absolut konvergent. Dann konvergiert auch die
Reihe
∞
n
X
X
X
cn mit cn :=
ak bl =
ak bn−k
n=0
absolut und
∞
X
n=0
cn =
k+l=n
∞
X
X
ak bk =
n=0 k+l=n
k=0
∞
X
k=0
ak
∞
X
bk
k=0
12.12 SatzP
(Umordnungssatz)
∞
Sei k=0 ak absolut konvergent,
P∞ und τ : N0 → N bijektiv (eine Umordnung),
P∞ dann
konvergiert auch die Reihe k=0 aτ (k) und hat denselben Grenzwert wie k=0 ak .
34
§13
Potenzreihen
13.1 Definition (Potenzreihe) Eine Reihe der Form P (z) :=
heißt Potenzreihe.
P∞
k=0
ak z k mit ak , z ∈ C
Fragen
1. Für welche z ∈ C konvergiert P (z)?
Pn
2. Die Partialsummen Pn (z) := k=0 ak z k sind Polynome, also stetig und unendlich oft differenzierbar. Gilt das auch für P (z)?
13.2 Definition (gleichmäßige Konvergenz) Sei D ⊂ Rn und (fn )n∈N eine Folge von
Funktionen
fn : D → R stetig (fn ∈ C 0 (D)).
Dann konvergiert (fn )n∈N gleichmäßig gegen f : D → R, falls gilt:
∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ≥ N :
kfn − f kD := sup |fn (z) − f (z)| < ε
z∈D
13.3 Lemma
P∞ (Abelsches Lemma)
Sei k=0 ak z k eine Potenzreihe mit ak ∈ C mit der Eigenschaft: zu r ∈ [0, ∞[ gibt es
ein M ∈ [0, ∞[, so dass ∀k ∈ N:
|ak |rk ≤ M
Dann gilt:
P∞
k=0
ak z k konvergiert absolut und gleichmäßig auf
n
o
Kρ (0) := x ∈ C|x| ≤ ρ
∀0≤ρ<r
13.4 Satz (Konvergenzradius)
P∞
Sei P (z) := k=0 ak z k mit ak , z ∈ C eine Potenzreihe. Dann existiert genau ein
R ∈ [0, ∞] mit der Eigenschaft
|z| < R
|z| > R
⇒
⇒
Reihe konvergiert absolut
Reihe divergiert
R heißt Konvergenzradius.
13.5 Satz (Stetigkeit und gleichmäßige Konvergenz)
Sei fn : D → Rp , D ⊂ Rm stetig und f : D → Rp mit
n→∞
kfn − f kD := sup kfn (x) − f (x)k −−−−→ 0.
x∈D
Dann ist f stetig auf D.
35
P∞
13.6 Folgerung Sei P (z) := k=0 ak z k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0.
Pn
Sei Pn (z) := k=0 ak z k . Dann gilt ∀ρ < R: Pn → P gleichmäßig auf Kρ (0), das
heißt
n→∞
sup |Pn (z) − P (z)| −−−−→ 0.
z∈Kρ (0)
Insbesondere: P ist stetig auf KR (0).
13.7 Satz (Koeffizientenvergleich
für Potenzreihen)
P∞
P∞
Seien P (z) := k=0 ak z k , Q(z) := k=0 bk z k zwei Potenzreihen mit Konvergenzradius R > 0. Außerdem existiere eine Folge (zi )i∈N mit zi → 0 für i → ∞ mit zi 6= 0
und P (zi ) = Q(zi ) ∀i ∈ N. Dann gilt ak = bk ∀k ∈ N, also P = Q.
Motivation
lim fn (x) = f (x)
n→∞
f 0 (x) =
0
?
lim fn (x) =
lim fn0 (x) = g(x)
n→∞
n→∞
13.8 Satz (Vertauschbarkeit von Konvergenz und Ableitung)
Sei (fn )n∈N eine Folge in C 1 (I), I = ]a, b[ und f, g : I → R mit
fn (x) → f (x) ∀x ∈ I
fn0 → g gleichmäßig auf I
Dann gilt: f ∈ C 1 (I) und f 0 = g.
13.9 Satz (Verallgemeinerung für f : I → Rd )
Satz 13.8 gilt analog für Abbildungen f : I → Rd .
13.10 Satz (Differenzierbarkeit
von Potenzreihen)
P∞
Sei P (z) := k=0 ak z k mit a∈ C eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0. Dann
gilt: Die Abbildung
P : ] − R, R[ → C
x 7→ P (x)
ist in C ∞ (] − R, R[) und die Ableitung erhält man durch gliedweise Differenzierung
der Reihe. Für alle x ∈ ] − R, R[ gilt:
P 0 (x) =
∞
X
(k + 1)ak+1 xk
k=0
13.11 Satz (Potenzreihenentwicklung von ex )
Es gilt
∞
X
xk
ex =
∀x ∈ R
k!
k=0
36
Definition Für z ∈ C definieren wir
∞
X
zk
ez :=
k=0
k!
.
13.12 Satz
Die Potenzreihen
∞
X
(−1)k
k=0
x2k
(2k)!
∞
X
und
(−1)k
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
haben Konvergenzradius R = ∞.
13.13 Definition (Sinus,Cosinus) Setze
cos x = cos(x) :=
sin x = sin(x) :=
∞
X
k=0
∞
X
(−1)k
x2k
(2k)!
(−1)k
x2k+1
(2k + 1)!
k=0
13.14 Satz (Potenzreihenentwicklung von log(1 + x))
Es gilt:
log(1 + x) =
∞
X
(−1)k−1
k=1
k
xk = x −
x2
x3
+
− ...
2
3
13.15 Lemma
Die Funktion u(z) := eλz mit z, λ ∈ C löst das Anfangswertproblem
u0 = λu
§14
und u(0) = 1.
Winkelfunktionen
14.1 Lemma
Es gilt
sin0 x = (sin x)0 = sin0 (x) = cos x
cos0 x = (cos x)0 = cos0 (x) = − sin x
14.2 Folgerung sin und cos sind die eindeutigen Lösungen der folgenden Anfangswertprobleme.
00
00
x + x = 0
x + x = 0
bzw
x(0) = 0
x(0) = 1
0
0
x (0) = 1
x (0) = 0
37
14.3 Folgerung Sei c : R → C mit c(t) := cos t + i sin t. Dann gilt:
c0 = ic
cos2 (t) + sin2 (t) = 1.
c(0) = 1
14.4 Lemma
Sei τ := sup t > 0 cos s > 0 ∀s ∈ ]0, t[ . Dann gilt:
|
{z
}
=:Q
1. cos t > 0 und sin t > 0 ∀t ∈ ]0, τ [.
2. τ ∈ ]0, ∞[ und cos τ + i sin τ = i.
14.5 Definition (π) Sei τ wie in Lemma 14.4. Setze π = 2τ .
14.6 Lemma (Eulersche Formel)
Für alle x ∈ R gilt:
eix = cos x + i sin x
14.7 Lemma (Funktionalgleichung)
Es gilt:
ei(α+β) = eiα · eiβ
14.8 Folgerung (Additionstheoreme) Es gilt
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α
14.9 Lemma
Die Funktionen
cos : [0, π] → [−1, 1]
π π
sin : [− , ] → [−1, 1]
2 2
sind streng monoton fallend bzw. wachsend.
14.10 Definition (arccos, arcsin) Nach Lemma 14.9 existiert die Umkehrfunktion zu sin
und cos:
arccos : [−1, 1] → [0, π]
π π
arcsin : [−1, 1] → [− , ]
2 2
14.11 Folgerung (Polardarstellung) TODO: Einheitskreis
Zu z = x + iy ∈ C 6= 0 gibt es eindeutig bestimmte r ∈ R+ und ϑ ∈ [0, 2π[ mit
z = reiϑ .
38
14.12 Definition (Tangens)
sin x
cos x 6= 0
cos x
1
cos2 x + sin2 x
tan0 x =
=
cos2 x
cos2 x
tan x :=
§15
Integralrechnung
15.1 Motivation TODO: Grafik der Riemannschen Summe.
15.2 Definition (Riemannsche Summe) Sei I = [a, b] und xi ∈ [a, b] für i = 0, . . . , N
mit
a = x0 ≤ x1 ≤ · · · ≤ xN = b
Ik := [xk−1 , xk ] und ξk ∈ Ik
Dann heißt {x0 , x1 , . . . , xN }, {ξ1 , . . . , ξN } eine Unterteilung oder Diskretisierung D
von I und die ξk heißen Stützstellen.
∆xk := xk − xk−1
∆(D) := max ∆xk
Feinheit der Diskretisierung
k=1,...,N
Sei f : I → R. Dann setze
SD (f ) =
N
X
f (ξk )∆xk ∈ R =: Riemannsche Summe
k=1
15.3 Definition (Riemann-Integral) Sei f : I → R und es gelte:
∃S ∈ R ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀ Diskretisierung D mit ∆(D) < δ
|SD (f ) − S| < ε
Dann heißt f Riemannintegrierbar.
Z
S : = (bestimmtes) Integral von f auf [a, b] = S(f ) =
b
Z
b
f=
a
f (x)dx
a
= lim SD (f )
∆D→0
15.4 Lemma
Sei I := [a, b] und f : I → R. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
1. f ist Riemann integrierbar, S =
Rb
a
f.
2. Für jede Folge von Diskretisierungen (Dj )j∈N mit ∆(Dj ) → 0 gilt
SDj (f ) → S
39
für j → ∞.
15.5 Satz (Linearität des Integrals)
Sei
n
o
R(I) := f : I → Rf ist Riemann integrierbar
Dann gilt:
1. R(I) ist ein R-Vektorraum.
R
2. S : R(I) → R, f 7→ S(f ) = I f ist ein lineares Funktional, das heißt es gilt
insbesondere ∀λ, µ ∈ R, ∀f, g ∈ R(I):
Z
b
Z
(λf + µg) = λ
a
b
Z
f +µ
a
b
g
a
15.6 Lemma
Sei f ∈ R(I) und f˜ : I → R. Es gebe endlich viele Punkte A := {a1 , a2 , . . . , ar } ⊂ I
mit
f (x) = f˜(x) ∀x ∈ I \ A.
Dann ist f˜ ∈ R(I) und
Z
b
Z
f=
a
b
f˜.
a
15.7 Satz
Sei f : [a, b] → R Riemann integrierbar. Dann ist f beschränkt.
15.8 Definition (Supremumsnorm) Sei f : D → R, D ⊂ Rm . Dann heißt
kf kD := sup |f (x)| Supremumsnorm.
x∈D
15.9 Definition (Norm) Sei V ein K-Vektorraum und k·k : V → R+ mit folgenden Eigenschaften:
1. kuk ≥ 0 ∀u ∈ V ;
kuk = 0 ⇔ u = 0.
2. kαuk = |α|kuk ∀u ∈ V, α ∈ K.
3. ku + vk ≤ kuk + kvk ∀u, v ∈ V .
Dann heißt k·k Norm auf V und (V, k·k) normierter K-Vektorraum.
15.10 Lemma
Sei D ⊂ Rm und
n
o
B(D) := f : D → Rf ist beschränkt .
Dann ist (B(D), k·kD ) ein normierter C-Vektorraum.
40
15.11 Lemma
Sei I = I1 ∪I2 ∪· · ·∪In eine Unterteilung von I = [a, b] in Intervalle Ik := [ak−1 , ak ].
Sei f : I → R und f sei auf jedem Teilintervall Ik integrierbar. Dann gilt
b
Z
f ∈ R(I) und
f=
a
n Z
X
ak
f.
ak−1
k=1
15.12 Definition (Treppenfunktion) Es gebe eine Unterteilung a = a0 < a1 < · · · < an =
b des Intervalls [a, b] und ci ∈ R, i = 1, . . . , n. Sei f : [a, b] → R mit f (x) = ci für
alle x ∈ ]ai−1 , ai [, i = 1, . . . , n. Dann heißt f Treppenfunktion.
15.13 Folgerung (Integral von Treppenfunktionen) Sei f eine Treppenfunktion wie in 15.12.
Dann ist f Riemann-integrierbar und
b
Z
f=
a
n
X
ci (ai − ai−1 )
i=1
Sei f beliebig. Es gebe Treppenfunktionen fk → f . Es gibt zwei Arten von Konvergenz:
• punktweise: fk (x) → f (x) k → ∞
∀x ∈ [a, b]
• gleichmäßig: sup |fk (x) − f (x)| → 0
x∈[a,b]
Im allgemeinen gilt für punktweise Konvergenz nicht:
Z
fk → f pktw. ⇒
b
Z
fk →
b
f
a
a
wie das folgende Beispiel zeigt.
15.14 Satz (Abschätzung des Integrals durch die Supremumsnorm)
Für f ∈ R(I), I = [a, b] gilt:
Z
b
a
f ≤ kf kI |b − a|
15.15 Satz (Integral und gleichmäßige Konvergenz)
Sei (fk )k∈N eine Foge in R(I), f : I → R und fk → f gleichmäßig auf I. Dann gilt:
f ∈ R(I) und
Z b
Z b
f = lim
fk
a
k→∞
a
Bemerkung
Z
b
Z
lim fk = lim
a k→∞
↑
glm.
k→∞
41
b
fk
a
15.16 Definition (gleichmäßige Stetigkeit) Sei f : I → R, I = [a, b]. Dann heißt f gleichmäßig stetig, falls gilt:
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ I, |x − y| < δ :
|f (x) − f (y)| < ε
15.17 Lemma
Sei f : [a, b] → R stetig auf I. Dann ist f auch gleichmäßig stetig.
15.18 Satz
Sei I = [a, b] und f ∈ C 0 (I). Dann gilt: f ∈ R(I).
15.19 Definition (stückweise stetig) f : [a, b] → R heißt stückweise stetig, falls es eine
Unterteilung a = a0 < a1 < · · · < aN = b gibt, so dass
(a) f ]a
ist stetig auf ]ai−1 , ai [ ∀i = 1, . . . , N .
i−1 ,ai [
(b) An den Stellen aj existieren die links- und rechtsseitigen Grenzwerte
lim f (x)
lim f (x)
j = 0, . . . , N.
x↑aj
x↓aj
15.20 Folgerung Sei f : [a, b] → R stückweise stetig. Dann ist f ∈ R(I).
15.21 Satz (Monotonie des Integrals)
Sei f, g ∈ R(I), I = [a, b], f < g. Dann gilt:
Z
b
Z
f≤
(a)
a
b
g.
a
(b) |f | ∈ R(I) falls f ∈ C 0 (I).
Z b
Z b
(c)
f≤
|f |
a
a
15.22 Folgerung (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Seien f, g : [a, b] → R stetig,
ϕ ≥ 0. Dann existiert ein ξ ∈ [a, b] mit
Z
b
Z
f ϕ = f (ξ)
a
§16
b
ϕ.
a
Ableitung und Integral
16.1 Definition Sei I := [a, b], f ∈ R(I). Dann setze
Z
a
Z
f =−
b
b
Z
f
a
a
Z
f =0
a
Z
f (x) dx =
a
42
b
b
f
a
16.2 Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Sei f : I → R stetig, I = [a, b], x0 ∈ I und F : I → R definiert durch
Z
x
F (x) :=
Z
x
f (ξ) dξ =
x0
f.
x0
Dann ist F differenzierbar und F 0 (x) = f (x) für alle x ∈ [a, b]. F heißt Stammfunktion zu f auf I.
16.3 Folgerung Sei f ∈ C 0 (I), I = [a, b], F : I → R Stammfunktion zu f auf I. Dann
gilt ∀x0 ∈ I:
Z x
f (ξ) dξ
F (x) = F (x0 ) +
x0
16.4 Folgerung (Berechnung von Integralen mittels Stammfunktion) Sei F : I → R
Stammfunktion auf I, f ∈ C 0 (I), I = [a, b]. Dann gilt:
Z
a
b
x=b
b
f (ξ) dξ = F (b) − F (a) = [F (x)]x=a = [F (x)]a
16.5 Satz (Partielle Integration)
Sei f, g ∈ C 0 (I), I = [a, b]. Dann gilt
Z
b
0
fg =
[f g]ba
Z
−
a
b
f 0 g.
a
16.6 Satz (Substitution oder Transformationsregel)
Sei I = [a, b], I ∗ = [α, β], ϕ ∈ C 1 (I ∗ ), f ∈ C 0 (I), ϕ(I ∗ ) ⊂ I. Dann gilt:
Z
ϕ(β)
Z
β
f (x) dx =
ϕ(α)
Kochrezept
Rb
a
f ϕ(s) ϕ0 (s) ds.
α
f (x) dx, x = x(y).
dx
= x0 (y) ⇒ dx = x0 (y)dy ⇒ y = x−1 (a)
dy
Z b
Z x−1 (b)=β
⇒
f (x) dx =
f (x(y))x0 (y) dy
a
x−1 (a)=α
43
Index
arccos, 38
arcsin, 38
ε-Kugel, 16
ε-Umgebung, 9
im Rn , 16
, 41
Durchschnitt, 4
Eulersche Formel, 38
Exponent
rationaler, 26
Exponentialfunktion, 12
Ableitung der, 28
Charakterisierung, 26
Eigenschaften der, 24–26
in C, 36
Extremstellen
Existenz von, 27
Extremum
lokales, 30
Extremwert
hinreichende Bedingung, 32
Abelsches Lemma, 35
Ableitung, 28
k-te, 32
im Rm , 28
Ableitungsfunktion, 28
Additionstheoreme, 38
Anordnungsaxiome, 7
Archimedes
Axiom des, 8
Bernoulli-Ungleichung, 8
Betrag, siehe Norm
in R, 8
Binomialkoeffizient, 6
Binomische Formel
allgemeine, 7
Bolzano-Weierstraß
Satz von, 13, 16
Folgen
Beschränktheit, 10
Definition, 9
Konvergenz, siehe Konvergenz
Fundamentalsatz der Algebra, 20
Funktion, 18
Funktionalgleichung, 26
Funktionen
Beschränktheit, 27
Cauchy
Konvergenzkriterium, 33
Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, 16
Cauchyfolge, 11
Cauchyprodukt, 34
Cosinus, 37
Geometrische Reihe, 7
Gleichmächtigkeit, 14
Grenzwert, 9
Eindeutigkeit des, 9
einseitiger
monotoner Funktionen, 24
Rechenregeln, 10
und Stetigkeit, 22
uneigentlicher, 22
Ungleichungen, 10
von Funktionen, 22
Rechenregeln, 23
Differentialgleichung, 31
Differenzierbarkeit, 28
der Exponentialfunktion, 28
im Rm , 28
lineare Approximation, 29
Regeln für, 29
und Stetigkeit, 29
Dreiecksungleichung, 8, 16
umgekehrte, 8
Häufungspunkt, 13
Häufungspunkte
44
im Rn , 16
Heine-Borel, Satz von, 27
infimum, 14
Integral
Linearität, 40
und gleichmäßige Konvergenz, 41
Integral
Abschätzung durch Supremumsnorm,
44
Integration
Partielle, 43
Intervalle, 11
Intervallschachtelung, 12
Körper, 6
Kettenregel, 29
Koeffizientenvergleich, 18
Komplement, 4, 17
komplexe
Notation, 19
Zahlen, 19
Rechenregeln für, 20
Konvergenz, 9
absolute, 33
gleichmäßige, 35
im Rn , 16
uneigentliche, 11
von Funktionen, 22
Konvergenzkriterien, 33
Konvergenzradius, 35
konvex, 32
Konvexitätskriterium, 32
abzählbar, 15
abzählbar unendlich, 15
endlich, 15
offene, abgeschlossene
im Rn , 17
Mittelwertsatz, 30
der Integralrechnung, 42
Monotonie
und Umkehrfunktion, 24
von Folgen, 12
Monotoniekriterium, 31
Norm, 40
Eigenschaften, 15
Euklidische, 15
Nullfolgen, 10
Nullfolgentest, 33
Nullstellenlemma, 18
Partialsummen, 33
Pascal
Dreieckschema von, 6
Polardarstellung, 38
Polynome, 18
Faktorisierung reeler, 21
komplexe, 20
Potenzreihe, 35
Quantoren, 4
Quotientenkriterium, 34
Reihe, 33
Addition von, 34
geometrische, 33
multipl. mit kompl. Zahl, 34
Riemann-Integral, 39
Riemannsche Summe, 39
Limes inferior, 13
Limes superior, 13
Linearfaktoren
Abspaltung von, 18
Logarithmus, 25
Potenzreihenentwicklung, 37
Schrankensatz, 31
im Rn , 31
Schwarzsche Ungleichung, siehe CauchySchwarzsche Ungleichung
Sinus, 37
Skalarprodukt, 15
Eigenschaften, 15
Stammfunktion, 31, 43
stetig
stückweise, 42
stetige Funktionen
Kombination von, 21
Komposition von, 22
Majorantenkriterium, 34
Menge
leere, 4
Mengen, 4
beschränkte, 14
im Rn , 16
kompakte, 27
Mächtigkeit
überabzählbar, 15
45
Stetigkeit, 21
gleichmäßige, 42
Lipschitz-, 21
mittels Folgen, 21
Substitutionsregel, 43
Supremum, 14
Supremumsnorm, 40
Tangens, 39
Teilfolge, 13
Teilmenge, 4
Transformationsregel, 43
Treppenfunktion, 41
Integral von, 41
Umkehrfunktion, 30
Differenzierbarkeit der, 29
Vektorraum, 10
Vereinigung, 4
Vielfachkeiten, 19
Vollständigkeit des Rn , 16
Vollständigkeitsaxiom, 11
Wurzel
Existenz der n-ten, 11, 12
Wurzelkriterium, 34
Zwischenwertsatz, 24
46