Kapitel 3 Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
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Kapitel 3
Ein adäquater Kalkül der Prädikatenlogik
Teil 1
Der Shoenfield-Kalkül für PL:
Axiome und Regeln, Korrektheit, Zulässige Regeln
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Übersicht
3.1 Shoenfields Kalkül der Prädikatenlogik: Axiome und Regeln
3.2 Korrektheit des Shoenfield-Kalküls der Prädikatenlogik
3.3 Zulässige Regeln
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3.1 Shoenfields Kalkül der Prädikatenlogik: Axiome und
Regeln
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Im Folgenden ist
L = L((Ri | i ∈ I ), (fj | j ∈ J), (ck | k ∈ K ))
eine beliebige (aber feste) Sprache der Prädikatenlogik mit Signatur
σ = ((ni | i ∈ I ), (mj | j ∈ J), K ).
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: Axiome und Regeln
Bei den Axiomen und Regeln unterscheiden wir zwischen den aussagenlogischen
und prädikatenlogischen Axiomen und Regeln:
Die aussagenlogischen Axiome und Regeln umfassen die wesentlichen
Gesetze zur Beschreibung der Bedeutung (Semantik) der (aussagenlogischen) Junktoren ¬ und ∨.
(Diese werden vom Shoenfieldkalkül der Aussagenlogik direkt übernommen.)
Die prädikatenlogischen Axiome und Regeln umfassen die wesentlichen
Gesetze zur Beschreibung der Bedeutung (Semantik) des Existenzquantors
und des Gleichheitszeichens.
Hier rufen wir den Substituierbarkeitsbegriff in Erinnerung: ϕ[t/x] ist die
Formel, die aus ϕ entsteht, wenn alle freien Vorkommen der Variablen x
durch den Term t ersetzt werden. Wir nennen hierbei t für x in ϕ
substituierbar, falls keine in t vorkommende Variable y �= x in ϕ gebunden
vorkommt.
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: aussagenlogische Axiome
und Regeln
AXIOME
¬ϕ ∨ ϕ (≡ ϕ → ϕ) “tertium non datur” (Ax)
REGELN
ψ
ϕ∨ψ
Expansion (E)
ϕ∨ϕ
ϕ
Kürzung (Kü)
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ϕ ∨ (ψ ∨ δ)
(ϕ ∨ ψ) ∨ δ
Assoziativität (A)
ϕ ∨ ψ, ¬ϕ ∨ δ
ψ∨δ
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Schnitt (S)
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: prädikatenlogische Axiome
und Regeln
SUBSTITUTIONSAXIOME
(S1)
ϕ[t/x] → ∃xϕ
falls t in ϕ für x substituierbar ist (SB = Substituierbarkeitsbedingung).
GLEICHHEITSAXIOME
(G 1)
(G 2)
(G 3)
(G 4)
x =x
x1 = y1 ∧ . . . ∧ xmj = ymj → fj (x1 , . . . , xmj ) = fj (y1 , . . . , ymj )
x1 = y1 ∧ . . . ∧ xni = yni ∧ Ri (x1 , . . . , xni ) → Ri (y1 , . . . , yni )
x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ x1 = x2 → y1 = y2
∃-EINFÜHRUNGSREGELN
(∃1)
ϕ→ψ
∃xϕ → ψ
falls x in ψ nicht frei vorkommt (VB = Variablenbedingung).
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: Beweise und Beweisbarkeit
Im Folgenden schreiben wir SPL oder kurz S für den Shoenfieldkalkül der
Prädikatenlogik und SAL für den früher eingeführten Shoenfieldkalkül der
Aussagenlogik.
Beweise und Beweisbarkeit sind wie in jedem Kalkül definiert (siehe: die
Diskussion des allgemeinen Kalkülbegriffs im Abschnitt über die Aussagenlogik).
Im Folgenden steht � für die Beweisbarkeit in SPL , d.h.
T � ϕ ⇔ ϕ ist aus T im Kalkül SPL beweisbar,
und wir schreiben wiederum
ϕ1 , . . . , ϕ n � ϕ
statt {ϕ1 , . . . , ϕn } � ϕ
�ϕ
statt ∅ � ϕ
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Der Shoenfield-Kalkül für PL: Beweise und Beweisbarkeit
Wie bereits für beliebige Kalküle gezeigt, gilt für den Beweisbarkeitsbegiff in
SPL :
�
MONOTONIELEMMA für �:
Falls T ⊆ T � und T � ϕ, so gilt auch T � � ϕ.
�
TRANSITIVITÄTSLEMMA für �:
Gelte T � ϕ und T � � ψ für alle ψ ∈ T . Dann gilt T � � ϕ.
�
ENDLICHKEITSSATZ für �:
Falls T � ϕ gilt, so gibt es eine endliche Teilmenge T0 von T mit
T0 � ϕ.
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Ziel: Adäquatsheitssatz für den Shoenfield-Kalkül für PL
Unser Ziel ist zu zeigen, dass der Kalkül SPL adäquat ist, d.h. dass
Beweisbarkeitsbegriff und Folgerungsbegriff zusammenfallen:
T �ϕ ⇔ T �ϕ
In nächsten beiden Abschnitten zeigen wir zunächst die Korrektheit (⇒) und
weisen dann zur Vorbereitung des Beweises der Vollständigkeit (⇐) die
Zulässigkeit einer Reihe von Axiomen und Regeln in SPL an.
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3.2 Korrektheit des Shoenfield-Kalküls der Prädikatenlogik
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Korrektheitssatz
KORREKTHEITSSATZ. T � ϕ ⇒ T � ϕ
Wie wir im Teil über die Aussagenlogik gezeigt haben, genügt es die Korrektheit
der Axiome und Regeln von SPL zu zeigen, d.h. nachzuweisen, dass gilt:
Jedes Axiom ϕ ist allgemeingültig, d.h. � ϕ.
Jede Regel
ϕ1 , . . . , ϕ n
ϕ
ist korrekt bzgl. Folgerungen, d.h. ϕ1 , . . . , ϕn � ϕ.
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Korrektheit der Axiome I
Die aussagenlogischen Axiome (Ax) sind Tautologien, also nach dem
Tautologielemma allgemeinültig.
Die Substitutionsaxiome (S1) sind allgemeingültig nach dem
Substitutionslemma (s. 2.5.4).
Die Allgemeingültigkeit der Gleichheitsaxiome (G1) - (G3) haben wir bereits
in Abschnitt 2.5.3 gezeigt. Die Allgemeingültigkeit von (G4) zeigen wir auf
der nächsten Folie.
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Korrektheit der Axiome II
Die Allgemeingültigkeit der Axiome
ϕ :≡ x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ x1 = x2 → y1 = y2
vom Typ (G4) zeigt man wie folgt:
Gegeben eine L-Struktur A und eine Belegung B : {x1 , x2 , y1 , y2 } → A.
Zu zeigen: WBA (ϕ) = 1.
Da WBA (ϕ) = 1 unmittelbar aus WBA (x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ x1 = x2 ) = 0
folgt, können wir o.B.d.A. WBA (x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ x1 = x2 ) = 1
annehmen.
Also: WBA (x1 = y1 ) = WBA (x2 = y2 ) = WBA (x1 = x2 ) = 1.
A
A
A
Nach Definition von WBA folgt: (x1 )A
=
(y
)
und
(x
)
=
(y
)
1
2
2
B
B
B
B un
A
(x1 )A
=
(x
)
2
B
B.
A
A
A
A
Also (y1 )A
=
(x
)
=
(x
)
=
(y
)
und
damit
W
1
2
2
B
B
B
B
B (y1 = y2 ) = 1.
Aber hieraus folgt WBA (ϕ) = 1 unmittelbar.
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Korrektheit der Regeln
Die aussagenlogischen Regeln (E), (A), (Kü) und (S) sind aussagenlogisch
korrekt, d.h. aussagenlogische Folgerungen. Nach dem Lemma über
aussagenlog. Folgerungen sind die Regeln daher auch (prädikatenlogisch)
korrekt.
Es genügt daher die Korrektheit der ∃-Einführungsregel (∃1) zu zeigen.
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Korrektheit von (∃1): Notwendigkeit von VB
(∃1)
ϕ→ψ
∃xϕ → ψ
wobei x �∈ FV (ψ) (VB)
Die Variablenbedingung x �∈ FV (ψ) ist notwendig:
Zum Beispiel ist für ϕ :≡ ψ :≡ x = y die Variablenbedingung verletzt. Hierfür gilt:
Die Formel ϕ → ψ ≡ x = y → x = y ist offensichtlich allgemeingültig.
Die Formel ∃xϕ → ψ ≡ ∃x(x = y ) → x = y gilt dagegen nur in
1-elementigen Strukturen.
Also: ϕ → ψ �� ∃xϕ → ψ
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Korrektheit von (∃1): Beweis
ANNAHME: A � ϕ → ψ
ZU ZEIGEN: A � ∃xϕ → ψ
Sei FV (∃xϕ → ψ) = {x1 , . . . , xn } und B : {x1 , . . . , xn } → A.
Dann genügt es WBA (∃xϕ → ψ) = 1 zu zeigen.
Ist WBA (ψ) = 1, so ist die Behauptung trivial. Wir können also o.B.d.A.
WBA (ψ) = 0 annehmen. Zu zeigen genügt dann: WBA (∃xϕ) = 0.
Hierzu wiederum genügt es (nach Definition von WBA ), für jede gegebene
Fortsetzung B � : {x, x1 , . . . , xn } → A von B (d.h. B � stimmt mit B auf
{x1 , . . . , xn } überein) zu zeigen: WBA� (ϕ) = 0.
Dies zeigt man wie folgt:
�
�
Aus der Annahme A � ϕ → ψ folgt: WBA� (ϕ → ψ) = 1.
Aus WBA (ψ) = 0 folgt mit dem Koinzidenzlemma (da x �∈ FV (ψ))
WBA� (ψ) = WBA (ψ) = 0.
Aus diesen beiden Fakten folgt aber WBA� (ϕ) = 0. q.e.d.
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3.3 Zulässige Regeln
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Zulässige Regeln
3.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
3.3.2 Generalisierung und Distribution
3.3.3 Ersetzung und Substitution I
3.3.4 Umbenennung gebundener Variablen
3.3.5 Substitution II
3.3.6 Gleichheit
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Aussagenlogische Vollständigkeit von SPL
In Kapitel 2.5.2 haben wir Tautologien und den aussagenlogischen Folgerungsbegriff für PL eingeführt und gezeigt, dass Tautologien allgemeingültig sind
(Tautologielemma) und aussagenlogische Folgerungen auch Folgerungen im Sinne
von PL sind (Lemma über al. Folgerungen).
Wir werden nun zeigen, dass alle Tautologien im Shoenfieldkalkül SPL beweisbar
sind und die aussagenlogischen Folgerungen zulässige Regeln sind.
Wir folgern dies aus der Vollständigkeit des Shoenfieldkalkül SAL der
Aussagenlogik, indem wir prädikatenlogischen Formeln “al. äquivalente”
aussagenlogische Formeln (und umgekehrt) zuordnen. Hierbei werden die
elementaren Teilformel einer L-Formel durch Aussagenvariablen ersetzt.
(Wir begnügen uns damit, den Beweis zu skizzieren.)
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Tautologien (Wiederholung)
Eine Formel ϕ ist elementar, falls ϕ atomar oder eine Existenzformel
ϕ ≡ ∃xψ ist.
Eine aussagenlogische Belegung B von L ist eine Abbildung
B : {ϕ : ϕ elementar} → {0, 1}.
Eine al. Belegung B lässt sich durch B(¬ϕ) := 1 − B(ϕ) und
B(ϕ1 ∨ ϕ2 ) := max(B(ϕ1 ), B(ϕ2 )) induktiv auf alle Formeln fortsetzen.
Eine Formel ϕ ist eine Tautologie (oder aussagenlogisch gültig, �AL ϕ), falls
B(ϕ) = 1 für alle al. Belegungen B gilt.
Eine Formel ϕ ist eine tautologische (oder aussagenlogische) Folgerung aus
einer Formelmenge T (T �AL ϕ), falls für alle al. Belegungen B gilt:
Falls B(ψ) = 1 für alle ψ ∈ T , dann B(ϕ) = 1.
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Al. Vollständigkeit von SPL : Tautologiesatz
TAUTOLOGIESATZ.
(i) �AL ϕ ⇒ � ϕ
(ii) ϕ1 , . . . , ϕn �AL ϕ ⇒ ϕ1 , . . . , ϕn � ϕ
Beim Beweis des Satzes greifen wir auf die Menge ETF (ϕ) der elementaren
Teilformeln von ϕ zurück, die wir zur Erinnerung nochmals (durch Ind(ϕ))
definieren:
Ist ϕ elementar, so ist ETF (ϕ) = {ϕ}.
Ist ϕ die Negationsformel ϕ ≡ ¬ψ, so ist ETF (ϕ) = ETF (ψ).
Ist ϕ die Disjunktionsformel ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 , so ist
ETF (ϕ) = ETF (ϕ1 ) ∪ ETF (ϕ2 ).
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Beweis(idee) des Tautologiesatzes: Teil (i)
Annahme: �AL ϕ. Zu zeigen: � ϕ
Ersetze die PL-Formel ϕ durch eine “al. gleichwertige” AL-Formel ϕAL durch
Ersetzen der (verschiedenen) elementaren Teilformeln � von ϕ durch
(verschiedene) Aussagenvariablen X� .
Aus �AL ϕ folgt dann, dass die AL-Formel ϕAL allgemeingültig (im Sinne
von AL) ist.
Mit dem Vollständigkeitssatz der Aussagenlogik folgt �SAL ϕAL .
D.h. es gibt einen Beweis ψ1 , . . . , ψn von ϕAL im Kalkül SAL der
Aussagenlogik. Ersetzt man die in diesen Formeln vorkommenden
Aussagenvariablen durch elementare Formeln, wobei X� durch die zugehörige
elementare Formel � ersetzt wird (also die im ersten Schritt vorgenommenen
Ersetzungen rückgängig gemacht werden), so erhält man so einen Beweis
ψ1PL , . . . , ψnPL von ϕ ≡ (ϕAL )PL im Kalkül SPL , da - modulo dieser
Ersetzungen - alle Axiome/Regeln von SAL auch Axiome/Regeln von SPL
sind.
Also: �SPL ϕ d.h. � ϕ.
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Beweis(idee) des Tautologiesatzes: Teil (ii)
Unter Verwendung des ersten Teiles des Satzes (i) �AL ϕ ⇒ � ϕ zeigen wir
(ii) ϕ1 , . . . , ϕn �AL ϕ ⇒ ϕ1 , . . . , ϕn � ϕ
Man zeigt zunächst wie in der AL, dass der Modus Ponens (MP) eine
zulässige Regel ist.
Dann kann man wie folgt argumentieren:
ϕ1 , . . . , ϕn �AL ϕ
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⇒
⇒
⇒
...
⇒
�AL ϕ1 → ϕ2 → · · · → ϕn → ϕ
� ϕ1 → ϕ2 → · · · → ϕn → ϕ
ϕ1 � ϕ2 → · · · → ϕn → ϕ
(mit (i))
(mit (MP))
ϕ1 , . . . , ϕ n � ϕ
(mit (MP))
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Zulässigkeit aussagenlogischer Schlüsse: Zusammenfassung
Aus dem Tautologiesatz ergibt sich die Zulässigkeit von
Aussagenlogische Schlüsse
(AL)
ψ1 , . . . , ψn �AL ϕ (n ≥ 0) ⇒
ψ1 , . . . , ψn
ϕ
in SPL .
Für n = 0 ist hierbei (AL) das Axiomenschema
(AL)
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ϕ
(falls �AL ϕ)
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Zulässige Regeln
3.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
3.3.2 Generalisierung und Distribution
3.3.3 Ersetzung und Substitution I
3.3.4 Umbenennung gebundener Variablen
3.3.5 Substitution II
3.3.6 Gleichheit
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∀-Einführungsregel (Hintere Generalisierung)
∀-Einführungsregel (Hintere Generalisierung):
(∀1)
ϕ→ψ
ϕ→∀x ψ
falls x �∈ FV (ϕ) (VB)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
ϕ→ψ
¬ψ → ¬ϕ
∃x¬ψ → ¬ϕ
ϕ → ¬∃x¬ψ
≡ ϕ → ∀xψ
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Voraussetzung
AL: 1
∃1: 2 (VB erfüllt: x �∈ FV (¬ϕ))
AL: 3
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Generalisierungsregel
Generalisierung:
(∀2)
ϕ
∀x ϕ
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
ϕ
¬∀xϕ → ϕ
¬∀xϕ → ∀xϕ
∀xϕ
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Voraussetzung
AL: 1
∀1: 2 (VB erfüllt: x �∈ FV (¬∀xϕ))
AL: 3
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Distributionsregeln
(D∃ )
ϕ→ψ
∃x ϕ→∃x ψ
(D∀ )
ϕ→ψ
∀x ϕ→∀x ψ
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON D∃ (D∀ analog):
1.
2.
ϕ→ψ
ψ → ∃xψ
3.
4.
ϕ → ∃xψ
∃xϕ → ∃xψ
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Voraussetzung
S1 (NB: ψ ≡ ψ[x/x]
und x ist für x substituierbar)
AL: 1,2
∃1: 4 (NB: VB erfüllt,
da x nicht frei in ∃xψ)
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Zulässige Regeln
3.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
3.3.2 Generalisierung und Distribution
3.3.3 Ersetzung und Substitution I
3.3.4 Umbenennung gebundener Variablen
3.3.5 Substitution II
3.3.6 Gleichheit
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Ersetzungsregel
Ersetzungsregel
(E )
ψ1 ↔ ψ1� , . . . , ψn ↔ ψn�
ϕ ↔ ϕ�
falls ϕ� aus ϕ durch Ersetzen einzelner (von keinen bis allen) Vorkommen
der Teilformeln ψi durch ψi� entsteht (wobei die ersetzten Teilformeln nicht
ineinander liegen).
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Man zeigt dies durch Induktion nach dem Aufbau von ϕ. Wir geben im
Folgenden 2 Fälle (ϕ Disjunktions- bzw. Existenzformel) und lassen die
anderen beiden Fälle (ϕ atomar oder Negationsformel) als Übung.
Sei hierbei Ψ := {ψ1 ↔ ψ1� , . . . , ψn ↔ ψn� }.
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Ersetzungsregel: Nachweis der Zulässigkeit (1)
Fall: ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2
Dann muss ϕ� eine der folgenden Gestalten haben:
1
ϕ� ≡ ϕ
Dann ist ϕ ↔ ϕ� ≡ ϕ ↔ ϕ eine Tautologie, also nach (AL) beweisbar.
2
ϕ� ≡ ψi� wobei ϕ ≡ ψi
Dann ist ϕ ↔ ϕ� ≡ ψi ↔ ψi� ∈ Ψ, also trivialerweise aus Ψ beweisbar.
3
ϕ� ≡ ϕ�1 ∨ ϕ�2 , wobei nach I.V. ϕ1 ↔ ϕ�1 und ϕ2 ↔ ϕ�2 aus Ψ
beweisbar sind.
Dann gilt ϕ1 ↔ ϕ�1 , ϕ2 ↔ ϕ�2 �AL ϕ ↔ ϕ� . Es folgt daher Ψ � ϕ ↔ ϕ�
mit (AL) aus der I.V.
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Ersetzungsregel: Nachweis der Zulässigkeit (2)
Fall: ϕ ≡ ∃x ϕ̂
Dann muss ϕ� eine der folgenden Gestalten haben:
1
ϕ� ≡ ϕ
Siehe den entsprechenden Fall für ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 .
2
ϕ� ≡ ψi� wobei ϕ ≡ ψi
Siehe den entsprechenden Fall für ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 .
3
ϕ� ≡ ∃x ϕ̂� , wobei nach I.V. ϕ̂ ↔ ϕ̂� aus Ψ beweisbar ist
Dann gilt ϕ ↔ ϕ� ≡ ∃x ϕ̂ ↔ ∃x ϕ̂� . Die Behauptung folgt also aus der
I.V. mit der Distributionsregel (D∃ ).
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Substitutionsregel
Substitutionsregel:
(S2)
ϕ
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
falls ti für xi substituierbar in ϕ (SB)
Hierbei bezeichnet ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] die simultane Substitution von ti
für xi in ϕ (i = 1, . . . , n).
Zum Nachweis der Zulässigkeit beweisen wir zunächst den Spezialfall
n = 1.
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Substitutionsregel: Spezialfall
Spezialfall der Substitutionsregel:
(S2spez )
ϕ
ϕ[t/x]
falls t substituierbar (SB)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
5.
ϕ
∀xϕ (≡ ¬∃x¬ϕ)
¬ϕ[t/x] → ∃x¬ϕ
¬∃x¬ϕ → ϕ[t/x]
ϕ[t/x]
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Voraussetzung
∀2: 1
S1 (SB nach Annahme erfüllt)
AL: 3 (NB: (¬ϕ)[t/x] ≡ ¬(ϕ[t/x]))
AL: 2,4
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Substitutionsregel: allgemeiner Fall
Substitutionsregel:
(S2)
ϕ
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
falls ti für xi substituierbar in ϕ (SB)
Hierbei bezeichnet ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] die simultane Substitution von ti
für xi in ϕ (i = 1, . . . , n).
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Die Idee ist die simultane Substitution durch eine sequentielle Substitution
- d.h. durch eine Folge einfacher Substitutionen - zu beschreiben und so
(S2) auf (S2spez ) zurückzuführen.
Hierzu wählen wir n neue Variablen, d.h. Variablen
y1 , . . . , yn �∈ {x1 , . . . , xn } ∪ V (ϕ) ∪ V (t1 ) ∪ · · · ∪ V (tn ).
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Substitutionsregel: Forts. d. Nachweis der Zulässigkeit
Für
ϕ̂ :≡ ϕ[y1 /x1 , . . . , yn /xn ] ≡ (. . . ((ϕ[y1 /x1 ])[y2 /x2 ]) . . . )[yn /xn ]
gilt dann
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] ≡ ϕ̂[t1 /y1 , . . . , tn /yn ] ≡ (. . . ((ϕ̂[t1 /y1 ])[t2 /y2 ]) . . . )[tn /yn ].
Hiermit ergibt sich:
1.
2.
3.
n + 1.
n + 2.
2n + 2.
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ϕ
ϕ[y1 /x1 ]
(ϕ[y1 /x1 ])[y2 /x2 ]
...
ϕ̂
ϕ̂[t1 /y1 ]
...
(. . . (ϕ̂[t1 /y1 ]) . . . )[tn /yn ]
≡ ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
Voraussetzung
S2spez : 1
S2spez : 2
S2spez : n
S2spez : n + 1
S2spez : 2n + 1
(s.o.)
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Zulässige Regeln
3.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
3.3.2 Generalisierung und Distribution
3.3.3 Ersetzung und Substitution I
3.3.4 Umbenennung gebundener Variablen
3.3.5 Substitution II
3.3.6 Gleichheit
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Umbenennung gebundener Variablen
Umbenennung gebundener Variablen:
(U)
ϕ ↔ ϕ∗
falls ϕ∗ aus ϕ durch Umbenennung gebundener Variablen ensteht. Hierbei
darf bei Ersetzung einer Teilformel ∃xψ durch ∃y ψ[y /x] die Variable y
nicht in ψ vorkommen.
Zum Nachweis der Zulässigkeit beweisen wir zunächst zwei Spezialfälle.
Mathematische Logik (WS 2012/13)
Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Umbenennung gebundener Variablen: 1. Spezialfall
1. Spezialfall der Umbenennungsregel für gebundene Variablen:
(U∗spez )
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ) und x �∈ GV (ϕ)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Wir benutzen, dass wegen y �∈ V (ϕ) gilt: (∗) (ϕ[y /x])[x/y ] ≡ ϕ
Hiermit erhält man:
1.
2.
ϕ[y /x] → ∃xϕ
∃y ϕ[y /x] → ∃xϕ
S1
∃1: 1
3.
(ϕ[y /x])[x/y ] → ∃y ϕ[y /x]
≡ ϕ → ∃y ϕ[y /x] (s. (∗))
∃xϕ → ∃y ϕ[y /x]
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x]
S1
4.
5.
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∃1: 3
AL: 2,4
(SB erfüllt, da y �∈ V (ϕ))
(VB erfüllt, da y �∈ V (ϕ)
also y �∈ FV (∃xϕ))
(SB erfüllt, da
x �∈ GV (ϕ) = GV (ϕ[y /x]))
(VB erfüllt: x �∈ FV (∃y ϕ[y /x]))
Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Umbenennung gebundener Variablen: 2. Spezialfall
In
(U∗spez )
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ) und x �∈ GV (ϕ)
ist die Forderung y �∈ V (ϕ) notwendig:
BEISPIEL: Für ϕ ≡ ∃y (y �= x) ist die Formel
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] ≡ ∃x∃y (y �= x) ↔ ∃y ∃y (y �= y )
nicht allgemeingültig, da die Seite links von ↔ in Strukturen mit mindestens zwei
Individuen gilt, die Seite rechts von ↔ dagegen unerfüllbar ist.
Auf die Forderung x �∈ GV (ϕ) in (U∗spez ) kann dagegen verzichtet werden:
2. Spezialfall der Umbenennungsregel für gebundene Variablen:
(Uspez )
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ)
Die Zulässigkeit von (Uspez ) zeigt man durch Induktion nach der Länge von ϕ.
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Umben. geb. Variablen: Zulässigkeit von (Uspez )
Nachweis der Zulässigkeit von (Uspez ) ∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x] falls y �∈ V (ϕ)
durch Induktion nach der Länge von ϕ. Es genügt die beiden folgenden Fälle zu
betrachten:
1
2
x �∈ GV (ϕ). Dann gilt Uspez wegen U∗spez .
x ∈ GV (ϕ). Dann enthält ϕ (eventuell ineinander geschachtelte) Teilformeln
∃xψi . Für neue Variablen zi �= y ist dann nach I.V. ∃xψi ↔ ∃zi ψi [zi /x]
beweisbar. Durch (eventuell iteriertes) Anwenden der Ersetzungsregel folgt,
dass es eine Formel ϕ∗ gibt mit
(∗)
� ϕ ↔ ϕ∗
und
y �∈ V (ϕ) ∪ V (ϕ∗ ) & x �∈ GV (ϕ∗ )
Hiermit zeigt man Uspez durch Rückgriff auf U∗spez wie folgt.
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Umben. geb. Variablen: Zulässigkeit von (Uspez ) (Forts.)
ANNAHME (∗): � ϕ ↔ ϕ∗
und
y �∈ V (ϕ) ∪ V (ϕ∗ ) & x �∈ GV (ϕ∗ )
ZU ZEIGEN: � ∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x]
1.
ϕ ↔ ϕ∗
Annahme
2.
∃xϕ ↔ ∃xϕ∗
AL, D∃ : 1
3.
(ϕ ↔ ϕ∗ )[y /x]
≡ ϕ[y /x] ↔ ϕ∗ [y /x]
S2spez : 1
4.
∃y ϕ[y /x] ↔ ∃y ϕ∗ [y /x]
AL, D∃ : 3
5.
∃xϕ∗ ↔ ∃y ϕ∗ [y /x]
U∗spez
6.
∃xϕ ↔ ∃y ϕ[y /x]
AL: 2, 5, 4
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SB: y �∈ V (ϕ) ∪ V (ϕ∗ )
= V (ϕ ↔ ϕ∗ )
y �∈ V (ϕ∗ ) & x �∈ GV (ϕ∗ )!
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Umbenennung geb. Variablen: allgemeiner Fall
Umbenennung gebundener Variablen:
(U)
ϕ ↔ ϕ∗
falls ϕ∗ aus ϕ durch Umbenennung gebundener Variablen ensteht. Hierbei
darf bei Ersetzung einer Teilformel ∃xψ durch ∃y ψ[y /x] die Variable y
nicht in ψ vorkommen.
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Man zeigt dies durch Induktion nach dem Formelaufbau von ϕ mit Hilfe
von Uspez unter Verwendung aussagenlogischer Schlüsse und der
Distributionsregeln:
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Umben. geb. Variablen - allgemeiner Fall: Zulässigkeit
1
2
3
4
ϕ atomar. Dann gilt ϕ∗ ≡ ϕ, weshalb ϕ ↔ ϕ∗ eine Tautologie ist.
ϕ ≡ ¬ψ. Dann gilt ϕ∗ ≡ ¬ψ ∗ , wobei ψ ↔ ψ ∗ nach I.V. beweisbar ist. Es
folgt dann aber ϕ ↔ ϕ∗ (≡ ¬ψ ↔ ¬ψ ∗ ) mit AL.
ϕ ≡ ϕ1 ∨ ϕ2 . Dann gilt ϕ∗ ≡ ϕ∗1 ∨ ϕ∗2 , wobei ϕ1 ↔ ϕ∗1 und ϕ2 ↔ ϕ∗2 nach
I.V. beweisbar sind. Die Behauptung folgt hieraus wiederum mit AL.
ϕ ≡ ∃xψ. Dann muss einer der beiden folgenden Unterfälle vorliegen:
�
ϕ∗ ≡ ∃xψ ∗ . Dann ist ψ ↔ ψ ∗ nach I.V. beweisbar. Mit AL und D∃
folgt die Behauptung.
�
ϕ∗ ≡ ∃y ψ ∗ [y /x], wobei y �∈ V (ψ ∗ ). Dann gilt:
1.
2.
3.
4.
ψ ↔ ψ∗
∃xψ ↔ ∃xψ ∗
∃xψ ∗ ↔ ∃y ψ ∗ [y /x]
∃xψ ↔ ∃y ψ ∗ [y /x] (≡ ϕ ↔ ϕ∗ )
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
I.V.
AL, D∃ : 1
Uspez ; NB: y �∈ V (ψ ∗ )
AL: 2,3
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Zulässige Regeln
3.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
3.3.2 Generalisierung und Distribution
3.3.3 Ersetzung und Substitution I
3.3.4 Umbenennung gebundener Variablen
3.3.5 Substitution II
3.3.6 Gleichheit
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Substitutionssatz: zulässige Substitutionsaxiome
(S2∃ )
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ϕ
(falls SB erfüllt)
(S2∀ )
∀ x1 . . . ∀ xn ϕ → ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
(falls SB erfüllt)
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON S2∃ :
Durch (iterierte) Anwendung der Umbennenungsregel (U) auf ϕ erhalten wir
zunächst eine Formel ϕ� mit
� ϕ ↔ ϕ� ,
in der x1 , . . . , xn nicht mehr als gebundene Variablen auftreten, sondern
durch neue (auch nicht in t1 , . . . , tn vorkommende) Variablen z1 , . . . , zn
ersetzt wurden.
Seien nun y1 , . . . , yn neue Variablen, die in ϕ, ϕ� , t1 , . . . , tn und {x1 , . . . , xn }
nicht vorkommen. Die Formel ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ] enthält die Variablen
x1 , . . . , xn dann überhaupt nicht mehr (weder in freier noch in gebundener
Form), was wir am Ende des folgenden Beweises verwenden.
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Gegeben:
ϕ� mit � ϕ ↔ ϕ� , wobei ϕ� aus ϕ durch Umbenennen der gebundenen Variablen x1 , . . . , xn in z1 , . . . , zn entsteht
und z1 , . . . , zn �∈ V (ϕ) ∪ V (t1 ) ∪ · · · ∪ V (tn ).
y1 , . . . , yn neue Variablen, die in ϕ, ϕ� , t1 , . . . , tn und {x1 , . . . , xn } nicht vorkommen. Also:
x1 , . . . , xn �∈ V (ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ])
1.
n
n
n
n
n
n.
+ 1.
+ 2.
+ 3.
+ 4.
+ 5.
n + 6.
n + 7.
ϕ → ∃xn ϕ
...
∃x2 . . . ∃xn ϕ → ∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ
ϕ → ∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ
ϕ → ∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ�
∃x1 ∃x2 . . . ∃xn ϕ� ↔ ∃y1 ∃y2 . . . ∃yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ]
ϕ → ∃y1 ∃y2 . . . ∃yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ]
(ϕ → ∃y1 ∃y2 . . . ∃yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ])[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
≡ ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ y1 . . . yn ϕ� [y1 /x1 , . . . , yn /xn ]
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ϕ�
ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ϕ
S1
S1
AL: 1, . . . , n
E: n + 1
U, da y1 , . . . , yn �∈ V (ϕ� )
AL: n + 2, n + 3
S2: n + 2
AL: n + 3, n + 5
E: n + 6
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON S2∀ :
1.
2.
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¬ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] → ∃ x1 . . . ∃ xn ¬ϕ
∀ x1 . . . ∀ xn ϕ → ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ]
Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
S2∃
AL: 1
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Allabschluss
(∀31 )
ϕ
∀ϕ
(∀32 )
∀ϕ
ϕ
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT VON (∀31 ) und (∀32 ):
Sei FV (ϕ) = {x1 , . . . , xn } und ∀ϕ ≡ ∀x1 . . . ∀xn ϕ.
(∀31 ) :
1.
2.
n.
(∀32 ) :
1.
2.
3.
ϕ
∀xn ϕ
...
∀x1 . . . ∀xn ϕ (≡ ∀ϕ)
Voraussetzung
∀2: 1
(∀ϕ ≡) ∀x1 . . . ∀xn ϕ
∀x1 . . . ∀xn ϕ → ϕ[x1 /x1 , . . . , xn /xn ]
ϕ[x1 /x1 , . . . , xn /xn ] (≡ ϕ)
Voraussetzung
S2∀
AL: 1,2
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
∀2: n
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Zulässige Regeln
3.3.1 Aussagenlogische Schlüsse
3.3.2 Generalisierung und Distribution
3.3.3 Ersetzung und Substitution I
3.3.4 Umbenennung gebundener Variablen
3.3.5 Substitution II
3.3.6 Gleichheit
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Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Weitere Gleichheitsaxiome: Symmetrie
(G5)
s=t→t=s
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
1.
2.
3.
4.
x =x
x =y ∧x =x ∧x =x →y =x
x =y →y =x
s=t→t=s
(≡ (x = y → y = x)[s/x, t/y ])
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G1
G4
AL: 1,2
S2: 3 (SB trivialerweise erfüllt)
Kap. 3: Shoenfields Kalkül der PL (Teil 1)
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Weitere Gleichheitsaxiome: Ununterscheidbarkeit
(G6)
t1 = t1� ∧ . . . ∧ tn = tn� → s = s �
falls s � aus s durch Ersetzen einiger (oder auch aller) Vorkommen der Terme ti
durch die entsprechenden Terme ti� entsteht.
(G7)
t1 = t1� ∧ . . . ∧ tn = tn� → (ϕ[t1 /x1 , . . . , tn /xn ] ↔ ϕ[t1� /x1 , . . . , tn� /xn ])
falls die Terme ti und ti� für xi in ϕ substituierbar sind.
NACHWEIS DER ZULÄSSIGKEIT:
Man zeigt dies durch Induktion nach dem Aufbau des Terms s (G6) bzw. der
Formel ϕ (G7). Wir verzichten auf die einfachen Beweise (Übung!).
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