Endliche Körper

WS 2009/10
Diskrete Strukturen
Prof. Dr. J. Esparza
Lehrstuhl für Grundlagen der
Softwarezuverlässigkeit und theoretische
Informatik
Fakultät für Informatik
Technische Universität München
http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910
Kapitel V – Algebraische Strukturen
• Algebraische Strukturen
– Grundlagen
– Gruppen
– Endliche Körper
• Zahlenkörper
• Polynomkörper
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Definition:
Eine Algebra A  S,  ,  mit zwei zweistelligen
Operatoren  und  heißt Ring, falls
R1. S,  ist eine abelsche Gruppe
mit neutralem Element 0  S.
R2. S,  ist ein Monoid mit neutralem Element 1  S.
R3.
a  (b  c)  (a  b)  (a  c)
(b  c)  a  (b  a)  (c  a)
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a, b,c  S
a, b,c  S
Kapitel V – Algebra; Körper
• Definition:
Eine Algebra A  S ,  ,  mit zwei zweistelligen
Operatoren  und  heißt Körper, falls
K1.
S ,  ist eine abelsche Gruppe
mit neutralem Element 0  S.
K2.
S \  0  ,  ist eine abelsche Gruppe mit
neutralem Element 1  S.
K3. a  (b  c )  (a  b)  (a  c )
a, b,c  S
(Das Rechts-Distributivgesetz folgt aus den
übrigen Eigenschaften.)
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Beispiele
(wobei im weiteren Verlauf häufig
und ⊙ durch ersetzt werden)
durch +
 , , : kommutativer (in Bezug auf ) Ring
 n , n , n
n   ,n  1: kommutativer Ring
 , , ,  , , : Körper
 2 , 2 ,2 : Körper
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Beispiel:
Setzt man K = {0,1,a,b} und definiert eine
Addition und Multiplikation wie folgt:
6
0
1
a
b
⊙
0
1
a
b
0
0
1
a
b
0
0
0
0
0
1
1
0
b
a
1
0
1
a
b
a
a
b
0
1
a
0
a
b
1
b
b
a
1
0
b
0
b
1
a
so bildet K,⊕,⊙ einen Körper.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Endliche Körper sind in der Kryptographie und in
der Computer-Algebra sehr nutzlich.
• Frage: wie findet man endliche Körper?
• Wir werden eine erste Antwort durch diesen Satz
geben:
Satz: Bezeichnet man mit +n und n die Addition
bzw. Multiplikation Modulo n, so gilt:
ℤn, +n, n ist ein Körper n ist Primzahl.
• Zur Vorbereitung brauchen wir einige
Grundeigenschaften des größten gemeinsamen
Teilers zweier Zahlen.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Größter gemeinsamer Teiler
Definition:
Seien a, b ℕ. Der größte gemeinsame Teiler
von a und b ist die größte natürliche Zahl, die
sowohl a als auch b teilt, d.h.
ggT(a, b) := max{k ℕ | k|a und k|b}
wobei k|m eine Abkürzung für „k teilt m“ ist.
Sind a1,…, an ℕ, n 3, dann definieren wir
ggT(a1,…, an) := ggT(ggT(a1,…, an-1), an).
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Größter gemeinsamer Teiler
Satz: Seien x, y 2 N mit x · y :
1. Wenn y mod x = 0 dann ggT(x,y) = x
2. Wenn y mod x > 0 dann ggT(x,y) = ggT(x,y mod x)
Beweis:
1. Klar. Zu 2. : Es gilt y = (y mod x) + by/xc x. Daraus
folgt für alle z 2 N:
(z|x und z|y) gdw. (z|x und z|(y mod x)).
Damit haben (x,y) und (x, y mod x) dieselben
gemeinsamen Teiler, und so ggT(x, y) = ggT(x, y mod x).
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• Größter gemeinsamer Teiler
Der Satz führt zum Euklidischen Algorithmus zur
Berechnung vom ggT zweier Zahlen:
Procedure ggT (x, y ℕ mit x y)
if y mod x = 0 then return x
else return ggT(y mod x, x)
(Euklid von Alexandria, ca. 325–265 v. Chr.)
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• Größter gemeinsamer Teiler
Satz: Seien x, y 2 N. Es gibt a, b 2 Z mit
ggT(x,y) = a x + b y
Beweis: Durch Induktion über max{x,y}.
Basis: max{x,y}=1.
Dann x=1=y und ggT(x,y) = 1 = 1 x + 0 y.
Schritt: max{x,y} > 1.
O.b.d.A. sei x · y. Wir betrachten zwei Fälle.
Fall 1. y mod x = 0. Dann ggT(x,y) = x = 1 x + 0 y.
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• Größter gemeinsamer Teiler
Fall 2. y mod x > 0. In diesem Fall gelten x < y und
ggT(x, y) = ggT(y mod x, x). Wir haben
max{y mod x, x} = x < y · max{x,y}
und so (Induktionsannahme) gibt es a´, b´ 2 Z mit
ggT(x,y) = ggT(y mod x, x) = a´ (y mod x) + b´ x
Mit y mod x = y - by/xc x erhalten wir
ggT(x,y) = a´ (y -by/xc x) + b´ x
= (b´-by/xc a´) x + a´ y.
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• Größter gemeinsamer Teiler
Der Beweis des Satzes führt zu einem Algorithmus für
die Berechnung der Zahlen a und b, dem Erweiterten
Euklidischen Algorithmus:
Procedure ErwggT(Zahlen x,y ℕ mit x y)
if y mod x = 0 then return (1, 0)
else
(a´, b´) Ã ErwggT(y mod x, x);
(a , b) Ã (b´-by/xc a´ , a´);
return (a, b)
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• Größter gemeinsamer Teiler
Beispiel mit x= 45, y = 63.
ggT(45,63)
=
ggT(18,45)
=
ggT( 9,18)
=
9
9 = (1 – b63/45c· (-2)) · 45 + (-2) · 63
= 3 · 45 + (-2) · 63
9 = (0 – b45/18c· 1) · 18 + 1 · 45
= -2 · 18 + 1 · 45
9 = 1 · 9 + 0 · 18
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Eigenschaften von Körpern
Satz: In jedem Körper K gilt für alle a K :
a 0=0 a=0
Beweis:
Es sei a ein beliebiges Element aus K. Dann folgt
aus den Axiomen:
0 + (a 0) = a 0 = a (0 + 0) = (a 0) + (a 0).
Die Kürzungsregel ergibt 0 = a 0 □
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• Eigenschaften von Körpern
Satz: In jedem Körper K gilt für alle a,b 2 K:
a b = 0 a = 0 oder b = 0.
(Körper sind nullteilerfremd)
Beweis:
Seien a,b mit a b = 0. Falls a 0, so existiert ein
multiplikatives Inverses a−1 von a. Unter Verwendung
des Satzes auf der letzten Seite folgt damit: b = 1 b =
a−1 a b = a−1 0 = 0.
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• Eigenschaften von Körpern
Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.
Beweis:
()): Wir beweisen die Kontraposition. Sei n 2 N eine
zusammengesetzte Zahl (also keine Primzahl). Dann
gibt es Zahlen a,b, mit 1 < a · b < n und a b = n.
Insbesondere gilt a 0 b.
Aus a b = n folgt a n b = 0. Damit gilt
a 0 b und a n b = 0. Aus dem Satz auf der vorigen
Seite folgt, dass ℤn, +n, n kein Körper ist.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Eigenschaften von Körpern
Satz: ℤn, +n, n ist ein Körper , n ist Primzahl.
Beweis:
((): Sei n 2 N beliebig. ℤn, +n ist eine abelsche
Gruppe. Darüber hinaus ist n assoziativ und
kommutativ mit neutralem Element 1. Die
Distributivgesetze gelten.
Wir zeigen: Wenn n eine Primzahl ist, dann hat jedes
Element von ℤn ein inverses Element.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Eigenschaften von Körpern
Beweis (Forts.):
Sei n Primzahl. Zu zeigen ist : für jedes x ℤn gibt es
ein y ℤn mit (x n y) 1.
Sei x ℤn beliebig. Mit n Primzahl gilt ggT(x,n) = 1.
Es existieren also Zahlen a, b 2 Z mit a · x + b · n = 1
(Erweiterter Euklidischer Algorithmus).
Damit gilt (a n x) +n (b n n) ´ 1.
Aus (b n n) ´ 0 folgt (a n x) ´ 1.
Wähle y := a.
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Kapitel V – Algebraische Strukturen
• Algebraische Strukturen
– Grundlagen
– Gruppen
– Endliche Körper:
• Zahlenkörper
• Polynomkörper
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Wir untersuchen eine weitere Möglichkeit,
endliche Körper zu konstruieren.
• Die Elemente des Körpers sind nicht mehr
Zahlen, sondern Polynome.
• Wir erweitern die Begriffe Summe, Produkt,
Division, Rest, Modulo, und Primzahl auf
Polynome.
• Wir führen dann einen zweiten Satz über die
Existenz
endlicher
Körper
ein.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Definition
Sei hK, +, ¢i ein (kommutativer) Ring. Ein Polynom über
K in der Variablen x ist ein Ausdruck der Gestalt.
an ¢ xn + an-1 ¢ xn-1 +…+ a1 ¢ x + a0
wobei n ℕ0, ai K und an 0.
n heißt der Grad des Polynoms, a0,…,an seine
Koeffizienten.
K[x] bezeichnet die Menge der Polynome über dem
Ring K in der Variablen x.
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• Definition
Ein Polynom p(x) = an ¢ xn + an-1 ¢ xn-1 +…+ a1 ¢ x + a0
induziert eine Funktion fp : K ! K definiert durch
fp(b) = an ¢ bn + an-1 ¢ bn-1 +…+ a1 ¢ b + a0
für alle b 2 K.
Zwei Polynome sind gleich, wenn sie den gleichen
Grad und die gleichen Koeffizienten haben.
(Wir werden später sehen, dass verschiedene
Polynome dieselbe Funktion induzieren können.)
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• Bemerkungen
– In praktischen Anwendungen gilt K = Z oder K = ℤn .
– p(x) = 0 hat Grad 0.
– Formal kann das Polynom
p(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a1x + a0
auch mit der Folge (a0,…,an) gleichgesetzt werden.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Beispiele:
– p(x) = x2 − 2x + 1 ist ein Polynom vom Grad 2.
– Ein linearer Ausdruck p(x)=ax + b mit a 0 ist ein
Polynom vom Grad 1.
– Ein konstante Ausdruck p(x) = c ist ein Polynom vom
Grad 0.
– Auf ℤ2 ist p(x) = x + x2 ein Polynom mit
fp(1) = 1+12 = 0 = fp(0).
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Rechnen mit Polynomen
Um den Wert eines Polynoms an einer
bestimmten Stelle x0 K zu bestimmen,
verwendet man am besten das sogenannte
Hornerschema:
p(x )  an x n  an1x n1  ...  a1x  a0
 ((...(((an x  an1)x  an2 )x  ...)x  a1)x  a0
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Hat man die Koeffizienten in einem Feld a[0..n]
abgespeichert, kann man den Funktionswert
p(x0) daher wie folgt berechnen:
begin
p
a[n]
for i = n-1 downto 0 do
p p x0 + a[i]
end
end
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Die Summe a(x)+b(x) zweier Polynome
a(x) = anxn +…+ a1x + a0 und b(x) = bnxn +…+ b1x + b0
ist definiert durch
a(x)+b(x) = cnxn +…+ c1x + c0 , wobei ci = ai + bi.
Die Differenz a(x) -b(x) ist definiert durch
a(x)-b(x) = dnxn +…+ d1x + d0 , wobei di = ai + (-bi),
und -bi das inverse Element von bi bezüglich der Summe
darstellt.
Es gilt: grad(a(x) + b(x)) max{ grad(a(x)) , grad(b(x)) }
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Beispiele mit Z als Ring:
– Für a(x) = x2 − 3x + 5 und b(x) = 4x + 2 ergibt sich
a(x)+b(x) = x2 + x + 7 und a(x)-b(x) = x2 - 7x +3.
– Für a(x) = x3 + 1 und b(x) = − x3 + 5 ergibt sich
a(x)+b(x) = 6 und a(x)-b(x) = 2x3-4.
• Beispiele mit ℤ6 als Ring:
– Für a(x) = x2 − 3x + 5 und b(x) = 4x + 2 ergibt sich
a(x)+b(x) = x2 + x + 1 und a(x)-b(x) = x2 + 5x +3
– Für a(x) = x3 + 1 und b(x) = − x3 + 5 ergibt sich
a(x)+b(x) = 0 und a(x)-b(x) = 2x3 + 2.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Anmerkungen
– Die Polynomauswertung kann mit O(n = grad(p))
Multiplikationen und Additionen realisiert werden.
– Die Summe (und die Differenz) zweier Polynome
vom Grad n lässt sich in O(n) arithmetischen
Schritten berechnen.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Das Produkt zweier Polynome
a(x) = anxn +…+ a1x + a0
b(x) = bmxm +…+ b1x + b0
erhält man durch Ausmultiplizieren und
anschließendes Sortieren und Zusammenfassen der
Koeffizienten, also
(ab)(x )  a0b0  (a0b1  a1b0 )x  (a0b2  a1b1  a2b0 )x 2  ...
m n  i



    a j bi  j x k .

 j 0
i 0 
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Kapitel V – Algebra; Körper
Für den Grad des Produktpolynoms gilt
grad(a · b) = grad(a) + grad(b),
falls K nullteilerfrei ist, ansonsten
grad(a · b) grad(a) + grad(b).
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Beispiele:
Für a(x) = x2 − 3x + 5 und b(x) = 4x + 2 ergibt sich
(a b)(x) = (1 4)x3 + (1 2 +(-3) 4)x2 +
((-3) 2 + 5 4)x+ 5 2
= 4x3-10x2 +14x +10.
Das Produkt zweier Polynome vom Grad n
lässt sich mit O(n2) arithmetischen Schritten
berechnen.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Die Polynomdivision ist analog zur Division mit
Rest bei ganzen Zahlen.
– Auch hier wird fortgesetzt jeweils der höchste Anteil
des verbleibenden Polynoms eliminiert.
Für gegebene Polynome a, b mit Koeffizienten
aus einem Ring wird hierbei die Gleichung
a(x) = q(x) b(x) + r(x) gelöst,
wobei grad(r) < grad(b) oder grad(r) = 0.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Beispiel
2x 4  x3 
x  3 div x 2  x  1  2 x 2  x  3
(2 x 4  2 x 3  2 x 2 )
 x 3  2x 2 
x 3
(  x 3  x 2 
x)
3x 2 
3
(3x 2  3x  3)
 3x  6
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Für zwei Polynome a und b von Grad höchstens n kann
man die Polynome q und r wie im Beispiel bestimmen.
• Da sich der Grad des Polynoms in jeder Zeile
verringert, benötigen wir also höchstens n
Multiplikationen von Polynomen mit Konstanten und n
Subtraktionen von Polynomen vom Grad höchstens n.
• Insgesamt ergibt sich:
Die Division zweier Polynome vom Grad höchstens n
lässt sich mit O(n2) arithmetischen Schritten
berechnen.
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Kapitel V – Algebra; Körper
• Satz:
Zu je zwei Polynomen a(x) und b(x), b 0, gibt
es eindeutig bestimmte Polynome q(x) und r(x),
so dass a(x) = q(x) b(x) + r(x)
und r = 0 oder grad(r) < grad(b).
Beispiel:
Im vorhergehenden Schema war das
3
2
2
2
x 4  x
 x  3  (2
x

x

3)

(
x

x  1)
 3
x  6)

 

  (
a( x )
q( x )
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b( x )
r( x )
Kapitel V – Algebra; Körper
• Beweis:
Gilt grad(a) < grad(b), so kann man q = 0 und r = a
setzen. Sei also grad(a) grad(b).
Induktion über grad(a):
Basis: grad(a) = 0. Dann folgt aus grad(a) grad(b), dass
a und b beides konstante Funktionen sind. Also a(x) =
a0 und b(x) = b0 mit b0 0. Wir können daher q(x) =
a0/b0 und r(x) = 0 setzen.
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Beweis (Fortsetzung):
Schritt: grad(a) = n > 0. Sei grad(b) = m, m n, und
a(x) = anxn +…+ a1x + a0,
an 0
b(x) = bmxm +…+ b1x + b0,
bm 0
Wir setzen
c(x) = a(x) − (an/bm)xn−m b(x).
Dann gilt grad(c) < grad(a).
Nach Induktionsannahme gibt es daher Polynome
q´(x) und r´(x) mit c(x) = q´(x) · b(x) + r´(x), mit
r´(x) = 0 oder grad(r´) < grad(b).
39
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Beweis (Fortsetzung):
Es gilt
a(x) = (an/bm)xn−m b(x) + q´(x) b(x) + r´(x)
= ((an/bm)xn−m + q´(x)) b(x) + r´(x)
=: q(x) b(x) + r(x) .
40
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Beweis (Fortsetzung):
Um die Eindeutigkeit zu beweisen, nehmen wir an, es
gäbe für Polynome a und b zwei Darstellungen wie im
Satz angegeben.
Also q b + r = a = q´ b + r´ und somit auch
(q − q´) b = (r − r´).
Wir beweisen q=q´ durch Widerspruch. Falls q q´, ist
die linke Seite ein Polynom vom Grad mindestens
grad(b). Da die rechte Seite aus der Differenz zweier
Polynome vom Grad < grad(b) besteht, ist sie auch ein
Polynom mit Grad < b. Widerspruch.
Aus q = q´ folgt r = r´.
□
41
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Polynomringe als Erweiterung der Zahlenringe
hℤ, +i und hℤn, +ni sind abelsche Gruppen.
hℤ[x], +i und hℤn[x], +ni ist eine abelsche Gruppe. Mit
+ und +n bezeichnen wir hier die Summe von
Polynomen.
hℤ, i ist ein abelsches Monoid.
hℤ[x], i ist ein abelsches Monoid. Mit bezeichnen
wir hier das Produkt von Polynomen.
hZ, +, ¢i ist ein Ring.
hZ[x],+, ¢i ist ein Ring.
42
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Polynomringe als Erweiterung der Zahlenringe
hZ, +, ¢i und hZ[x],+, ¢i sind unendliche Ringe.
Um endliche Ringe zu bekommen, haben wir im
Zahlen-Fall die Ringe ℤn, +n, n betrachtet.
Die Ringe ℤn[x], +n, n sind jedoch immer noch
unendlich, weil ℤn[x] Polynome mit beliebigem Grad
enthält.
Z.B. ℤ2[x] = {0, 1, x, x2, x3, x4, … }
Um dieses Problem zu lösen verwenden wir
„denselben Trick“ nochmal.
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Wir erweitern die Begriffe Teilbarkeit und
Modulorechnung auf Polynome:
Wir definieren:
– a(x) teilt b(x), wenn es ein Polynom q(x) K[x] gibt,
so dass b(x) = q(x) a(x). D.h., der Rest der
Polynomdivision ist 0 is.
– a(x) ist kongruent zu b(x) modulo (x),
d.h., a(x) b(x) (mod (x)),
genau dann, wenn a(x) - b(x) durch (x) teilbar ist.
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Beispiel:
Sei K = ℤ3 und ¼(x) = x2+1.
Die möglichen Reste der Division durch ¼(x)
sind die Polynome mit Koeffizienten in ℤ3 und
Grad 0 oder 1. Es gibt genau 9 davon:
{0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2}
Es gilt z.B. x3+1 (2x+1) mod ¼(x)
45
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Die Kongruenzrelation teilt die Menge K[x] in
Äquivalenzklassen:
K[x] (x) := {f(x) | f(x) K[x], grad(f) < grad(¼)}.
• Wenn K endlich ist, dann ist K[x] (x) auch
endlich.
• Es gilt dann
f(x) + (x) g(x) := (f(x) + g(x)) mod ¼(x)
f(x) (x) g(x) := (f(x) g(x)) mod ¼ (x)
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Wir haben bewiesen
ℤn[x], +n, n ist Körper , n ist Primzahl
• Frage: Wann ist hK[x] (x) , + (x) , (x) i ein Körper?
• Antwort (ohne Beweis):
ℤn[x], +n, n ist Körper , (x) ist irreduzibel
• Definition:
Ein Polynom (x) K[x] mit (x) 0 heißt
irreduzibel (über K), falls für alle f(x), g(x) K[x]
gilt:
(x) = f(x) g(x) ) grad(f) = 0 oder grad(g) = 0.
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Beispiel:
Betrachten wir K = ℤ2 und (x) = x2+x+1.
ℤ2[x] (x) besteht aus allen Polynomen in ℤ2[x] mit
Grad 0 oder 1: ℤ2[x] (x) = {0, 1, x, x+1}
Die Multiplikationstabellen sehen wie folgt aus:
+
48
0
1
x
x+1
0
0
1
x
x+1
1
1
0
x+1
x
x
x+1
x
(x)
x+1 x+1
0
1
x
x+1
0
0
0
0
0
x
1
0
1
x
x+1
0
1
x
0
x
x+1
1
1
0
x+1
0
x+1
1
x
(x)
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Beispiel:
Betrachten wir K = ℤ2 und (x) = x2+1.
ℤ2[x] (x) besteht aus allen Polynomen in ℤ2[x] mit
Grad 0 oder 1: ℤ2[x] (x) = {0, 1, x, x+1}
Die Multiplikationstabellen sehen wie folgt aus:
+
49
0
1
x
x+1
0
0
1
x
x+1
1
1
0
x+1
x
x
x+1
x
(x)
x+1 x+1
0
1
x
x+1
0
0
0
0
0
x
1
0
1
x
x+1
0
1
x
0
x
1
x+1
1
0
x+1
0
(x)
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x+1 x+1
0
Kapitel IV – Algebra; Körper
• Der Grund, warum K = ℤ2 für 1(x) = x2+1 die
Gruppeneigenschaften nicht erfüllt, ist dass
1(x) reduzibel über K ist.
D.h., dass 1(x) als Produkt zweier Polynome vom
Grad größer gleich 1 schreiben lässt:
2+1 = (x+1) (x+1) (in ℤ )
(x)
=
x
1
2
Dies ist für x2+x+1 nicht der Fall.
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Kapitel IV – Algebra; Körper
Satz:
Ist K ein endlicher Körper und (x) ein Polynom
in K[x]. Dann gilt:
K[x] (x), + (x), (x) ist ein Körper
(x) ist irreduzibel über K[x].
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Eigenschaften von Restklassenringen
• Satz:
Sei K ein Körper mit n Elementen, und sei
g K[x], d = grad(g) 1.
Dann besitzt K[x]g genau nd Elemente.
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Satz:
Zu jeder Primzahl p und zu jeder natürlichen
Zahl n 1 gibt es einen endlichen Körper mit pn
Elementen; dieser wird mit GF(pn) bezeichnet
(GF = Galois Field, nach Evariste Galois (1811–
1832)).
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Kapitel IV – Algebra; Körper
• Beweis:
n = 1: ℤp = GF(p) ist ein Körper mit p Elementen.
n > 1: Sei K = ℤp. Sei g K[x] ein irreduzibles
Polynom vom Grad n.
Dann ist K[x]g ein Körper, und hat genau pn
Elemente (siehe Satz auf Seite 33).
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