Kap. III. Vektorräume

Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2006)
1
Kap. III. Vektorräume
§9. Der Begriff des Vektorraumes
Zunächst wird an einige Beispiele erinnert, die in der Vorlesung behandelt worden sind.
(0.1) SATZ: Vektoren der anschaulichen Ebene E lassen sich addieren und mit
reellen Skalaren multiplizieren.
Für die Addition gelten die folgenden Regeln:
A0 )
Je zwei Vektoren ~
v und w
~ wird ein eindeutig bestimmter Vektor
~
v+w
~ zugeordnet .
A1 )
Für alle Vektoren ~
u, ~
v und w
~ gilt (~
u+~
v) + w
~ =~
u + (~
v + w)
~
(Assoziatives Gesetz)
A2 )
Für alle Vektoren ~
v und w
~ gilt ~
v+w
~ =w
~ +~
v
(Kommutatives Gesetz)
A3 )
Es existiert ein Vektor ~
o mit ~
v +~
o = ~
v
(Existenz eines Nullvektors)
A4 )
Zu jedem Vektor ~
v gibt es einen Vektor w
~ mit ~
v+w
~ =~
o
(Existenz von negativen Vektoren)
für alle Vektoren ~
v
Für die skalare Multiplikation gelten die folgenden Regeln:
SM0 )
Jedem (Skalar) r ∈ IR und jedem Vektor ~
v wird ein
eindeutig bestimmter Vektor r~
v zugeordnet .

SM1 ) r(~
v + w)
~ = r~
v + rw
~ 






SM2 ) (r + s)~
v = r~
v + s~
v 
SM3 ) r(s~
v ) = (rs)~
v
SM4 ) 1~
v=~
v








für alle ~
v, w
~ ∈E
und alle r, s ∈ IR
Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2006)
Auch die Vektoren des Anschauungsraumes A lassen sich addieren und mit Skalaren
multiplizieren, wobei die entsprechenden Rechenregeln wir in (0.1) gelten.
Auf der Menge IRn der n–Tupel reeller Zahlen lassen sich komponentenweise eine
Addition und eine skalare Multiplikation definieren, deren wichtigste Eigenschaften in
den Sätzen (3.4) und (3.7) zusammengefaßt sind:
(3.4) SATZ: Für die Addition auf IRn gelten die folgenden Regeln:
A0 )
Je zwei Elementen a und b aus IRn wird eine eindeutig bestimmte
Summe a + b ∈ IRn zugeordnet
A1 )
Für alle a, b, c ∈ IRn gilt (a + b) + c = a + (b + c)
(Assoziatives Gesetz)
A2 )
Für alle a, b ∈ IRn gilt a + b = b + a
(Kommutatives Gesetz)
A3 )
Es existiert on ∈ IRn mit a + on = a für alle a ∈ IRn
(Existenz eines Nullelementes)
A4 )
Zu jedem a ∈ IRn gibt es ein b ∈ IRn mit a + b = on
(Existenz von negativen Elementen)
(3.7) SATZ: Für die skalare Multiplikation auf IRn gelten die folgenden Regeln:
SM0 )
SM1 )
SM2 )
SM3 )
SM4 )
Jedem r ∈ IR und jedem a ∈ IRn wird ein eindeutig
bestimmtes Element ra ∈ IRn zugeordnet

r(a + b) = ra + rb 






(r + s)a = ra + sa 
für alle a, b ∈ IRn

und alle r, s ∈ IR

r(sa) = (rs)a






1a = a
2
Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2006)
Auf der Menge Mm,n (IR) der (m × n)–Matrizen reeller Zahlen lassen sich
elementweise eine Addition und eine skalare Multiplikation definieren, deren wichtigste
Eigenschaften in den Sätzen (4.3) und (4.6) zusammengefaßt sind:
(4.3) SATZ: Für die Addition auf Mm,n (IR) gelten die folgenden Regeln:
A0 )
Je zwei Elementen A und B aus Mm,n (IR) wird eine eindeutig bestimmte Summe
A + B ∈ Mm,n (IR) zugeordnet
A1 )
Für alle A, B, C ∈ Mm,n (IR) gilt (A + B) + C = A + (B + C)
(Assoziatives Gesetz)
A2 )
Für alle A, B ∈ Mm,n (IR) gilt A + B = B + A
(Kommutatives Gesetz)
A3 )
Es existiert O ∈ Mm,n (IR) mit A + O = A für alle A ∈ Mm,n (IR)
(Existenz eines Nullelementes)
A4 )
Zu jedem A ∈ Mm,n (IR) gibt es ein B ∈ Mm,n (IR) mit A + B = O
(Existenz von negativen Elementen)
(4.6) SATZ: Für die skalare Multiplikation
auf Mm,n (IR) gelten die folgenden Regeln:
SM0 )
SM1 )
SM2 )
SM3 )
SM4 )
Jedem r ∈ IR und jedem A ∈ Mm,n (IR) wird ein
eindeutig bestimmtes Element rA ∈ Mm,n (IR) zugeordnet

r(A + B) = rA + rB 





 A, B ∈ M
(r + s)A = rA + sA 
m,n (IR)

und r, s ∈ IR

r(sA) = (rs)A






1A = A
3
Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2006)
Das Gemeinsame an diesen Beispielen ist, daß jeweils eine Menge gegeben ist, auf der
zwei Rechenoperationen definiert sind, und zwar
• eine Addition und
• eine skalare Multiplikation mit reellen Zahlen.
Es gelten nun für die beiden Verknüpfungen in allen Beispielen ganz entsprechende
Rechenregeln. Wir definieren im folgenden den allgemeinen Begriff eines
Vektorraumes, unter dem sich alle angeführten Beispiele wiederfinden lassen. Dazu
abstrahieren wir zum einen von der speziellen Menge (Menge der Vektoren der Ebene
oder des Raumes, der n–Tupel, der (m × n)–Matrizen) und der speziellen Definition
der Rechenoperationen (Vektoradditon, Addition von n–Tupeln bzw. Matrizen und die
jeweiligen skalaren Multiplikationen). Wir gehen also von einer ganz beliebigen Menge
aus, über deren Elemente wir keine näheren Informationen haben, und zwei auf dieser
Menge definierten Verknüpfungen, von denen wir auch nicht wissen, wie sie definiert
sein sollen. Das Entscheidende ist aber, daß für diese beiden Rechenoperationen
Rechenregeln gelten, die denen in den Beispielen entsprechen.
Aus diesen Grund–Rechenregeln lassen sich ganz allgemein weitere Rechenregeln
herleiten, die dann auch in allen konkreten Beispielen für Vektorräume gültig sein
müssen. Dies ist natürlich eine enorme Arbeitserleichterung: Eine einmal allgemein für
Vektorräume bewiesene Rechenregel gilt in allen Fällen, in denen ein konkreter
Vektorraum vorliegt. Wir haben schon in früheren Übungsaufgaben gesehen, wie sich
für die Rechenoperationen auf IRn aus den Grundregeln weitere Rechenregeln
herleiten lassen.
Wir werden dann auch noch allgemeinere Eigenschaften beliebiger Vektorräume
untersuchen, die wir in gewissen Spezialfällen schon kennengelernt haben.
4
Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2006)
5
(9.1) DEF: Eine Menge V zusammen mit zwei Rechenoperationen + (Addition)
und ·IR (Skalarmultiplikation mit reellen Zahlen) heißt ein reeller Vektorraum
(oder Vektoraum über dem Körper der reellen Zahlen), wenn folgende
Eigenschaften erfüllt sind:
A0 )
Je zwei Elementen v und w aus V wird eine eindeutig
bestimmte Summe v + w ∈ V zugeordnet
A1 )
Für alle u, v, w ∈ V gilt (u+v)+w = u+(v +w)
(Assoziatives Gesetz)
A2 )
Für alle v, w ∈ V gilt v + w = w + v
(Kommutatives Gesetz)
A3 )
Es existiert oV ∈ V mit v + oV = v für alle v ∈ V
(Existenz eines Nullelementes)
A4 )
Zu jedem v ∈ V gibt es ein w ∈ V mit v + w = oV
(Existenz von negativen Elementen)
SM0 )
Jedem r ∈ IR und jedem v ∈ V wird ein eindeutig
bestimmtes Element rv ∈ V zugeordnet

SM1 ) r(v + w) = rv + rw 






SM2 ) (r + s)v = rv + sv 
für alle v, w ∈ V
SM3 ) r(sv) = (rs)v
SM4 ) 1 v = v








und alle r, s ∈ IR
Bezeichnungen und Bemerkungen:
Die Elemente eines Vektorraumes über IR heißen Vektoren , die Elemente aus IR
Skalare. Das Element oV ∈ V nach A3 ) ist eindeutig bestimmt und heißt
Nullvektor in V . Das zu v nach A4 ) existierende Element w ∈ V mit
v + w = oV ist eindeutig bestimmt und heißt der zu v negative Vektor . Er
wird mit −v bezeichnet. Außerdem setzt man v − w := v + (−w) für zwei
Vektoren v, w ∈ V .
Chr.Nelius : Lineare Algebra (SS 2006)
6
(9.3) SATZ: In einem reellen Vektorraum V gelten die folgenden Rechenregeln
(hierbei sind v, w ∈ V und r, s ∈ IR beliebig):
a) 0 v = oV
b) r oV = oV
c) −(r v) = (−r) v = r (−v)
d) r v = oV
=⇒
insbesondere: −v = (−1) v
(r = 0 oder v = oV )
e) r 6= 0 und r v = r w
f ) v 6= oV und r v = s v
=⇒
=⇒
v=w
r = s.