Gymnasium Leichlingen Abi 2009

Gymnasium Leichlingen
Abi 2009 - 13m3
Übungen zum Wiedereinstieg in die Analysis, gestellt 2009-02-10
Erste Aufgabe
In dieser Aufgabe wird der Graph der ganzrationalen Funktion f mit der Gleichung
f(x) = x3 + 3 x2 - 4 betrachtet. Der Definitionsbereich soll dabei [-3; 2] sein.
a)
Bestimme alle Schnittpunkte des Graphen mit den Achsen.
Lösung: Schnittpunkt mit der y-Achse ist der Punkt (0|f(0)), also (0|-4).
Schnittstellen mit der x-Achse sind die Nullstellen von f, also die Lösungen der Gleichung x3 + 3 x2 - 4 = 0.
Ganzzahlige Nullstellen müssen hier Teiler von 4 sein, also zu den Zahlen 1, 2, 4
und ihren Gegenzahlen gehören. Probieren zeigt, dass 1 eine Nullstelle ist.
Polynomdivision von f(x) durch x-1 ergibt x2 + 4x + 4, also (x+2)2.
Die einzige weitere Nullstelle außer 1 ist also -2.
Ergebnis: Schnittpunkt mit der y-Achse ist S1(0|-4), Schnittpunkte mit der x-Achse sind die
Punkte S2(-2|0) und S3(1|0).
b)
Berechne f‘(x) und f‘‘(x).
Lösung: f‘(x) = 3x2 + 6x = 3x(x + 2)
f‘‘(x) = 6x + 6 .
c)
Ermittle die Nullstellenmengen Of‘ und Of‘‘, also die Mengen der Nullstellen von f‘
und von f‘‘.
Lösung: Beide Nullstellenmengen sind aus den Darstellungen in der Lösung zu Aufgabenteil b
unmittelbar abzulesen: Of‘ = { - 2; 0}, Of‘‘ = {-1}.
d)
Fertige eine Vorzeichentabelle für f, f‘ und f‘‘ an.
Lösung:
x
-3
f(x)
<0
f‘(x)
>0
f‘‘(x)
-2
-1
0
1
<0
<0
<0
2
>0
>0
>0
e)
Berechne für die kritischen Punkte des Graphen von f die Steigungen und die y- Koordinaten.
Lösung:
Die Ergebnisse werden wieder in einer Tabelle dargestellt:
x
-3
-2
-1
0
1
2
f(x)
-4
0
-2
-4
0
16
f‘(x)
9
0
-3
0
9
24
f)
Fertige eine Beschreibung des Verlaufs an (Vorzeichenverhalten, Monotoniever- halten,
Krümmungsverhalten).
Lösung: Der Graph beginnt im absoluten Tiefpunkt T1(-3|4), verläuft bis zur Stelle -2 steigend
und rechtsdrehend unterhalb der x-Achse, berührt bei -2 die x-Achse im relativen Hochpunkt H1(-2|0), fällt dann wieder bis zum Wendepunkt W(-1|-2), wo er in eine Linksdrehung übergeht, fällt weiter bis zum absoluten Tiefpunkt T2(0|-4), steigt dann linksdrehend zum zweiten Nullpunkt N(1|0) und steigt oberhalb der x-Achse dann linksdrehend
zum absoluten Hochpunkt H2(2|16).
Bemerkung: Anstelle einer zusammenfassenden Betrachtung des Kurvenverlaufs von links nach
rechts können alternativ auch Vorzeichenverhalten, das Monotonieverhalten und das Krümmungsverhalten jeweils für sich beim Verlauf von links nach rechts, hier also von x = - 3 bis x = 2
beschrieben werden.
g)
Bestätige die erzielten Ergebnisse, indem du den Graphen von f durch ein geeignetes Programm zeichnen lässt (Kurvenprofi, Geogebra,...) .
Lösung:
Zur Darstellung des Graphen von f wird das lizenzfreie Programm Geogebra verwendet.
Zweite Aufgabe
Es wird wieder die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = x3 + 3 x2 - 4 zugrunde gelegt,
diesmal aber soll der Graph nicht nur auf einem Intervall, sondern auf ganz R betrachtet werden.
a)
Im Punkte P(-1|f(-1)) wird die Tangente an den Graphen von f angelegt.
Bestimme die Gleichung dieser Tangente.
Lösung: Wegen f(-1) = -2 und f‘(x) = 3x2 + 6x, f‘(-1) = 3 - 6 = -3 hat die Tangente die Gleichung
g(x) = - 2 - 3(x + 1), also g(x) = - 3x - 5 .
b)
Zeige, dass diese Tangente mit der Kurve außer P keinen Punkt gemeinsam hat.
Lösung: Gleichsetzen der Funktionsterme von f und g liefert
x3 + 3 x2 - 4 = - 3x - 5,
also x3 + 3 x2 + 3x + 1 = 0.
Nach dem binomischen Satz (vgl. Zahlen im Pascalschen Dreieck) ist das äquivalent zu (x + 1)3 = 0, also x = -1.
Somit ist -1 die einzige Lösung der Gleichung, außer P gibt es keinen gemeinsamen Punkt von Tangente und Graph(f).
c)
Die Koordinatenachsen, die Tangente und der Graph von f beranden zwei kleine dreiecksförmige Stücke, wobei jedes dieser Dreiecke von der Tangente, einer der Achsen und
dem Graphen von f eingeschlossen wird.
Bestimme näherungsweise die Flächeninhalte dieser beiden Dreiecke, indem die von der
Kurve gebildete Dreiecksseite durch eine Sekante ersetzt wird.
Lösung: Die Tangente schneidet die xAchse bei x = -5/3, da an dieser
Stelle - 3x - 5 = 0 gilt.
Die zu betrachtenden Dreiecks
sind in der Skizze rechts mit APB
und PQR beizeichnet.
Im Dreieck APB gehört zur Grundseite AB der Länge -5/3 - (-2) = 1/3
die Höhe |f(-1)| = 2.
Dreieck APB hat also den Inhalt 1/3 .
Bei Dreieck PQR gehört zur Grundseite QR der Länge 1 die Höhe |xP| = 1.
Sein Flächeninhalt beträgt somit 0,5.
Ergebnis: Die betrachteten von Kurve,
Tangente und Achsen gebildeten Dreiecke haben näherungsweise die Flächeninhalte 0,333 bzw. 0,5 .
d)
Bestimme mit Hilfe der Integralrechnung die Flächeninhalte der beiden dreieckartigen
Flächen.
Lösung: Der Inhalt F1 der ersten (in der
Skizze links blauen) Fläche wird erhalten, indem man den Inhalt des Dreiecks
BPC mit C=(-1|0) vom Inhalt der Fläche
abzieht, die von Kurve und x-Achse über
[-2; -1] eingeschlossen wird.
Der Inhalt F2 der zweiten Fläche ergibt
sich als Differenz der Integrale von f (als
oberer Funktion) und g über dem Intervall
[-1; 0].
Da im Dreieck BPC zur Grundseite BC
der Länge 2/3 die Höhe 2 gehört, beträgt
sein Flächeninhalt 2/3.
Somit ergeben sich folgende Ansätze:
Ergebnis: Die betrachtete Flächen haben die Inhalte 1/12 und 1/4.