Serie 6: Grundoperationen mit komplexen Zahlen

Übungen zur Quantenphysik
Serie 6: Grundoperationen mit komplexen Zahlen
1. Addition, Subtraktion und Multiplikation komplexer Zahlen
(a) Es seien z1 = 7 − 5i, z2 = 2 + i, z3 = −5 + 2i, z4 = −10 − 3i und z5 = 8i. Bestimmen Sie:
i. z1 − z3 − z5
ii. z2 − (z4 − z3 )
vi. Im(z22 z4 )
v. Re(z1 + 4z2 )
(b) Nun seien z1 = 4 − 32 i, z2 = −3 −
4
5
iv. z12 + z22
iii. z1 z3 z4
vii. z2 (z4 − z5 )
viii. iz4 − z3 z5
i und z3 = − 25 + 73 i. Berechnen Sie:
i. z2 − z3
ii. z1 z2
iii. z1 z3 + z2 z3
√
√
√
(c) Schliesslich seien z1 = 5 + 2i, z2 = 5 − 2i und z3 = 3 − 2 i:
i. z1 − z2
ii. z2 + z1 − z3
iii. z1 z3
2. Konjugiert Komplexes, Betrag und Kehrwert
Illustrierendes Beispiel: z = 12 − 5i
p
⇒ z ∗ = 12 + 5i
|z| = 122 + 52 = 13
z −1 =
1
1 z∗
5
z∗
12
= · ∗ = 2 =
+
i
z
z z
|z|
169 169
Bemerke: |z|2 = z ∗ z. Diese Idee erlaubt es bei einem Bruch zweier komplexer Zahlen den Nenner in
eine reelle Zahl umzuwandeln. Es muss jeweils mit dem konjugiert Komplexen des Nenners erweitert
werden (= “Divisions-Trick”).
Geben Sie nun von den folgenden Zahlen je z ∗ , |z| und z −1 an:
(a) z1 = 2 + i
(b) z2 = 4 − 3i
(c) z3 = −24 + 7i
3. Division komplexer Zahlen
Zur Division komplexer Zahlen verwenden wir den eben gesehenen Divisions-Trick (mit dem konjugiert
Komplexen des Nenners erweitern). Ein Beispiel:
2 − i 3 + 4i
6 + 8i − 3i − 4i2
6 + 5i + 4
10 + 5i
2 1
2−i
=
·
=
=
=
= + i
2
2
3 − 4i
3 − 4i 3 + 4i
3 +4
25
25
5 5
Berechnen Sie in dieser Weise:
(a)
5 + 3i
2 + 4i
(b)
13 − 5i
1−i
(c)
√
4 + 2i
√
2 − 4i
(d) √
4i
√
3 + 5i
4. Nichts verlernen. . .
Berechnen Sie die beiden folgenden Integrale mit geeigneten Integrationstechniken:
Z 2
Z π/2
1 x dx
x dx
(b)
(Tipp: s = 2x − 1)
cos
(a)
2
1 2x − 1
−π/2
1
5. Graphisches Verständnis der Grundoperationen
Gegeben seien die beiden komplexen Zahlen z1 = 4 + 3i und z2 = − 43 + i.
(a) Berechnen Sie z1 + z2 , z2 − z1 , z2−1 , z1∗ , z1 z2 sowie zz21 und tragen Sie die entsprechenden Punkte ins Koordinatensystem unten ein.
(b) Jede einzelne Rechenoperationen aus (a) kann graphisch interpretiert werden – will heissen: Bei
jeder Rechnung sind z1 und/oder z2 die Ausgangspunkte, aus denen auf ganz bestimmte Weise
ein neuer Punkt, z.B. z3 = z1 + z2 , “konstruiert” wird.
Fassen Sie bei jeder Operation aus (a) in Worte, wie der neue Punkt aus z1 und z2
graphisch hervorgeht (Konstruktion benennen).
Hinweis: Bei drei Operationen kennen Sie deren graphische Bedeutung zum jetzigen Zeitpunkt
allerdings noch nicht. Vielleicht wollen Sie spekulieren. . . ?
6. Der Identifikationstrick
Für die Division zweier komplexer Zahlen haben Sie nun ein sehr praktisches Verfahren erlernt:
z1
z1 z2∗
z1 z2∗
=
· ∗ =
“Erweiterung mit dem konjugiert Komplexen des Nenners”
z2
z2 z2
|z2 |2
Nun wollen wir eine Division aber noch auf eine andere Art und Weise probieren. Wir wissen ja, dass
z1
z2 selber wieder eine komplexe Zahl z3 ergibt. Das bedeutet:
z1
= z3 ⇒ z1 = z2 z3
z2
Das können wir auch mit Real- und Imaginärteilen notieren und berechnen (x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 ∈ R):
x1 + iy1 = ( x2 + iy2 )( x3 + iy3 ) = x2 x3 − y2 y3 + i(x2 y3 + x3 y2 )
| {z }
|
{z
}
{z
}
| {z } | {z }
|
=z1
=z2
=z3
=Re(z1 )
=Im(z1 )=y1
Da Re(z) und Im(z) bei einer komplexen Zahl z stets eindeutig sind, identifizieren wir:
x1 = x2 x3 − y 2 y 3
und
y 1 = x2 y 3 + x3 y 2
Aus diesen beiden linearen Gleichungen lassen sich die beiden Unbekannten x3 und y3 bestimmen.
Berechnen Sie unter Verwendung dieses Verfahrens
5+3i
.
2+4i
Hinweis: Es ergibt sich dasselbe wie in 3.(a). Sie sollen hier einfach den “Identifikationstrick” ein
erstes Mal in Anwendung sehen. Er wird uns in ähnlicher Weise noch ab und zu begegnen.
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