Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen

Wahrscheinlichkeitstheorie
Kapitel XIII - Funktion und Transformation
Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Georg Bol
[email protected]
Markus Höchstötter
[email protected]
Auswertung mehrerer Beobachtungen (z.B. bei einer Stichprobe mit Zurücklegen)
Beobachtungen x1, . . . , xn - zur Verfügung stehende Information über eine
unbekannte Größe (z.B. Messwerte, Zustand gut (0)/schlecht (1) bei
Stichprobeneinheit)
Auswertung: Anwendung einer Rechenvorschrift (Funktion g)
Auswertungsergebnis: Funktionswert g(x1, . . . , xn)
z.B. arithmetisches Mittel, Spannweite, Median, Gini-Koeffizient, . . .
x1, . . . , xn zufällig ⇒ g(x1, . . . , xn) zufällig
Zufälligkeit erfasst man durch Zufallsvariablen X1, . . . Xn und deren Verteilungen.
x1, . . . , xn sind Realisationen von X1, . . . , Xn.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
2
Frage:
Wie kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Auswertungsergebnisses, also von
g(X1, . . . , Xn) aus den Verteilungen von X1, . . . , Xn berechnet werden?
Beispiel:
Messwerte x1, . . . , xn sind Realisationen von X1, . . . , Xn, unabhängig und
normalverteilt mit µ und σ 2.
Pn
1
Wie ist die Verteilung
des arithmetischen Mittels X̄ = n i=1 Xi und der
P
Stichprobenvarianz n1 (Xi − X̄)2 ?
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
3
Gegeben: Zufallsvariablen X1, . . . , Xn und Funktion g(X1, . . . , Xn)
Gesucht: Verteilungsfunktion von g(X1, . . . , Xn) = g(X)
F (α)=P (g(X1, . . . , Xn) ≤ α)
=P ((X1, . . . , Xn)) ∈ {(x1, . . . , xn)|g(x1, . . . , xn) ≤ α}
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
4
X = (X1, . . . , Xn) diskret mit Werten x(r) ∈ Rn, r = 1, 2, 3, . . .
X
P (g(x) ≤ α) = F (α) =
P (X = x(r))
r:g(x(r) )≤α
Summation über die Wahrscheinlichkeiten der Punkte (Werte X (r)), die im
Bereich g(x) ≤ α liegen.
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5
Beispiel: Roulette
Einsatz von 10 e fünfmal hintereinander auf das mittlere Drittel.
Wie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Auszahlung insgesamt, also der
Summe der Auszahlungen?
Zufälliges Ergebnis bei einmaligem Durchlauf
X

0



1
=
2



3
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Zahl 0
1. Drittel
2. Drittel
3. Drittel
6
Beispiel: Roulette
(y1, . . . y5)
Ergebnisse bei den 5 Versuchen
(Y1, . . . Y5)
zugehöriger Zufallsvektor
Indikatorfunktion des zweiten Drittels:
1zweites Drittel(z) =
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1 z=2
0 sonst
7
Pro “zweites Drittel”: Auszahlung = 30e. Auszahlung bei (y1, . . . , y5):
g(y1, . . . , y5) =
5
P
i=1
30 · 1zweites Drittel (yi)
Werte von g(y1, . . . , y5) : 0, 30, 60, 90, 120, 150
Wahrscheinlichkeitsverteilung von g(Y1, . . . , Y5), also der Auszahlung:
P (g(Y1, . . . , Y5) = 150)
= P ((Y1, . . . Y5) = (2, 2, 2, 2, 2)) =
12 5
37
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= 0.3245 = 0.0036
8
P (g(Y1, . . . , Y5) = 120) :
(Y1, . . . , Y5) =
(0,2,2,2,2)
(1,2,2,2,2)
(3,2,2,2,2)
(2,0,2,2,2)
(2,1,2,2,2)
(2,3,2,2,2)
(2,2,0,2,2)
(2,2,1,2,2)
Wahrscheinlichkeit
12 4 1
37 · 37
12 5
37 12 5
37
12 4 1
37 · 37
12 5
37
12 5
37
12 4 1
37 · 37
12 5
(Y1, . . . , Y5) =
(2,2,3,2,2)
(2,2,2,0,2)
(2,2,2,1,2)
(2,2,2,3,2)
(2,2,2,2,0)
(2,2,2,2,1)
(2,2,2,2,3)
37
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Wahrscheinlichkeit
12 5
37
12 4 1
37 · 37
12 5
37 12 5
37
12 4 1
37 · 37
12 5
37 12 5
37
9
Damit
P (g(Y1, Y2, Y3, Y4, Y5) = 120)
4
5
1 12
12
= 5·
+ 10 ·
37 37
37
4 12
1
12
+2·
= 5·
37
37
37
4 12
12
1−
= 5·
37
37
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
10
Analog ergibt sich
P (g(Y1, Y2, Y3, Y4, Y5) = 90) =
P (g(Y1, Y2, Y3, Y4, Y5) = 60) =
P (g(Y1, Y2, Y3, Y4, Y5) = 30) =
P (g(Y1, Y2, Y3, Y4, Y5) = 0) =
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
3 2
5
12
12
1−
2
37
37
3
2 12
5
12
1−
37
37
3
4
12
12
1−
5·
37
37
5
12
.
1−
37
11
X = (X1, . . . , Xn) stetig mit Dichte
F (α) =
Z
···
Z
fX (x1, . . . , xn)
fX (x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn
g(x)≤α
Integration über den Teilbereich g(x) ≤ α.
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12
Bemerkung:
Falls die Berechnung der Verteilung zu aufwendig oder zu schwierig ist, kann die
Berechnung von Kennzahlen von g(X1, . . . , Xn) versucht werden.
z.B. gilt:
+∞
+∞
Z
Z
g(x1, . . . , xn)fX (x1, . . . , xn)dx1 . . . dxn
...
E(g(x1, . . . , xn)) =
−∞
−∞
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13
Beispiele von Funktionen X1, . . . , Xn:
1. Summe :
n
P
Xi und arithmetisches Mittel :
i=1
1
n
n
P
Xi
i=1
2. Maximum : max{X1, . . . , Xn}
3. Minimum : min{X1, . . . , Xn}
4. Spannweite (Range): R(X1, . . . , Xn) = max{X1, . . . , Xn}−min{X1, . . . , Xn}
5. Produkt : X1 · · · · · Xn =
n
Y
Xi
i=1
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14
Spezielle Funktionen
1. Summe und arithmetisches Mittel
n
g(x1, . . . , xn) = x1 + . . . + xn
bzw.
1X
g(x1, . . . , xn) =
xi
n i=1
Sukzessive Bestimmung der Verteilung von g(Y1, . . . , Yn) = Y1 + . . . + Yn :
1. Y1 + Y2
2. (Y1 + Y2) + Y3
..
⇒ Es genügt, den Fall n = 2 zu betrachten.
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15
Beispiel 1 - diskret
Beim Würfeln mit zwei Würfeln sei Y1(Y2) die Augenzahl beim ersten (zweiten)
Würfel:
X
P (Y1 + Y2 = k) =
P (Y1 = i, Y2 = j)
i,j:i+j=k
i,j∈{1,...,6}
k
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
P (Y1 + Y2 = k)
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
16
Y = (Y1, Y2) stetig mit Dichte fY und den Randdichten f1 und f2:
FY1+Y2 (α) =
ZZ
f (y1, y2)dy1 dy2 =
y1 +y2 ≤α
=
ZZ
ZZ
f (y1, y2)dy1dy2
z≤α
y1 +y2 =z
f (y1, z − y1)dy1 dy2
z≤α
=
Z
+∞
Z
f (y1, z − y1)dy1 dz
z≤α −∞
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
17
⇒ Dichte von Y1 + Y2:
+∞
+∞
Z
Z
f (z − y2, y2)dy2
f (y1, z − y1)dy1 =
fY1+Y2 (z) =
−∞
−∞
”Faltungsintegral”
Speziell:
Y1, Y2 unabhängig mit Randdichten f1, f2 :
⇒ f (y1, y2) = f1(y1)f2(y2)
+∞
Z
f1(y1)f2(z − y1)dy1
fY1+Y2 (z) =
−∞
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18
Beispiel 2
Y1 und Y2 seien unabhängig und standardnormalverteilt.
Dichte der Normalverteilung:
(x−µ)2
1
−
f (x) = √
e 2σ2
2πσ
2
µ = 0, σ = 1 :
2
1
− x2
√ e
2π
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
19
fY1+Y2 (z) =
+∞
+∞
Z
Z
1 − 1 y12 1 − 1 (z−y1)2
√ e 2 √ e 2
fY1 (y1)fY2 (z − y1)dy1 =
dy1
2π
2π
−∞
−∞
=
+∞
Z
1 − 1 y12− 1 (z2−2zy1+y12)
2
e 2
dy1 =
2π
+∞
Z
1
e
2π
2
2
−y12 +zy1 − z4 − z4
−∞
=
1 −y12+zy1− z2
2 dy
e
1
2π
−∞
−∞
=
+∞
Z
e
1
dy1 = √ √ e
2 2π
2
− z4
+∞ √
Z
(y1 − z
)2
2
2 − 2· 1
2
√ e
dy1
2π
−∞
z2
1
− 2·2
√ √ e
2π 2
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
20
Als Ergebnis erhält man damit die Dichte einer Normalverteilung mit
µ = 0, σ 2 = 2, also N (0, 2).
Y1 + Y2 ist demnach normalverteilt mit Mittelwert 0 und Varianz 2.
Verallgemeinerung
Y1
Y2
N (µ1, σ12)
N (µ2, σ22)
⇒ Y1 + Y2
− verteilt
− verteilt
unabhängig
N (µ1 + µ2, σ12 + σ22) − verteilt
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
21
Folgerung
Yi N (µi, σi2)- verteilt für i = 1, . . . , n und unabhängig
n
X
⇒
⇒
Yi
N
1
n
Yi
µi,
N
i=1
n
X
n
X
1
1
µi, 2
n i=1
n
Daraus folgt:
σ12
µ1 = . . . = µn = µ,
= ... =
n
P
2
⇒ n1
Yi N µ, σn -verteilt.
σi2
i=1
i=1
i=1
n
X
n
X
σn2
2
=σ :
!
n
X
i=1
n
P
i=1
- verteilt
σi2
!
- verteilt
Yi ist N nµ, nσ
2
-verteilt
i=1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
22
Beispiel 3
Y1, Y2 exponentialverteilt mit Parameter λ und unabhängig.
z > 0:
fY1+Y2 (z) =
+∞
Z
f1(y1)f2(z − y1)dy1
−∞
=
Zz
λe−λy1 λe−λ(z−y1)dy1 =
λ2e−λy1 e−λz eλ(y1)dy1
0
0
= λ2e−λz
Zz
Zz
dy1 = λ2ze−λz = 0 für z > 0
0
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
23
Folgerung:
Y1 + Y2 nicht exponentialverteilt.
Übungsaufgabe:
Y1, . . . , Yn unabhängig, λ - exponentialverteilt
Wie lautet die Dichte von Y1 + . . . + Yn ?
Hinweis: Ausrechnen für n = 3, 4, 5 und mit vollständiger Induktion fortführen.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
24
Kenngrößen einer Summe von Zufallsvariablen
Y = (Y1, . . . , Yn)
E(Y1 + . . . + Yn) =?
V ar(Y1 + . . . + Yn) =?
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
25
Im diskreten Fall (für g(Y1, . . . , Yn)):
E(g(Y1, . . . , Yn)) =
X
g(y (r)) P (Y = y (r))
Werte y (r)
Im stetigen Fall:
⊛ E(g(Y1, . . . , Yn)) =
Z
+∞Z
···
g(y1, . . . , yn)f (y1, . . . , yn)dy1 . . . dyn
−∞
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26
Folgerung 1 aus ⊛ :
⊚ Erwartungswert einer Summe = Summe der Erwartungswerte
E(Y1 + . . . + Yn)
=
Z
+∞Z
···
(y1 + . . . + yn)f (y1, . . . , yn)dy1 . . . dyn
−∞
+∞
+∞
Z
n Z
X
=
yi... fY (y1, . . . , yn)dy1 . . . dyndyi
i=1−∞
−∞
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27


+∞
Z +∞Z
n Z
X



=
yi  · · · f (y1, . . . , yn)dy1 . . . dyn
 dyi
i=1−∞
|
−∞
{z
Randdichte von Yi : fi(yi)
+∞
n Z
X
=
yifi(yi)dyi
}
i=1−∞
=
n
X
E(Yi)
i=1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
28
Folgerung 2 aus ⊛ : Kovarianz von (Y1, Y2)
Sei:
g(y1, y2) = (y1 − E(Y1))(y2 − E(Y2))
E(g(Y1, Y2)) = E[(Y1 − E(Y1))(Y2 − E(Y2))]
=
Z+∞
Z
(y1 − E(Y1))(y2 − E(Y2))f (y1, y2)dy1 dy2
−∞
= Cov(Y1, Y2)
Diskret: analog
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
29
Folgerung aus ⊚ : Kovarianz ist additiv
Y1 = X1 + X2
Cov(X1 + X2, Y )
= E [(X1 + X2 − E(X1 + X2))(Y − E(Y ))]
= E [(X1 − E(X1) + X2 − E(X2))(Y − E(Y ))]
= E [(X1 − E(X1))(Y − E(Y ) + (X2 − E(X2))(Y − E(Y )]
= E [(X1 − EX1)(Y − E(Y )] + E ((X2 − EX2)(Y − E(Y )))
= Cov(X1, Y ) + Cov(X2, Y )
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
30
Daraus folgt
V ar(X + Y )
= Cov(X + Y, X + Y )
= Cov(X, X) + 2Cov(X, Y ) + Cov(Y, Y )
= V ar(X) + 2Cov(X, Y ) + V ar(Y )
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
31
Allgemein:
Y1 = X1 + . . . + Xn
Cov(X1 + . . . + Xn, Y2)
= E [(X1 + . . . + Xn − E(X1 + . . . + Xn))(Y2 − E(Y2))]
= E [(X1 − E(X1))(Y2 − E(Y2)) + (X2 − E(X2))(Y2 − E(Y2)) . . .
+(Xn − E(Xn))(Y2 − E(Y2)]
= E [(X1 − E(X1))(Y2 − E(Y2)] + . . . + E [(Xn − E(Xn))(Y2 − E(Y2)]
= Cov(X1, Y2) + . . . + Cov(Xn, Y2)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
32
Daraus folgt mit V ar(X) = Cov(X, X)
V ar(X1 + . . . + Xn)
= Cov(X1 + . . . + Xn, X1 + . . . + Xn)
= Cov(X1, X1) + . . . + Cov(Xn, Xn) +
X
Cov(Xi, Xj )
i6=j
= V ar(X1) + . . . + V ar(Xn) + 2
X
Cov(Xi, Xj )
i<j
Im allgemeinen gilt nicht:
Varianz einer Summe gleich Summe der Varianzen
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
33
Aber: Cov(Xi, Xj ) = 0 für alle i 6= j, also
”X1, . . . , Xn sind paarweise unkorreliert”
⇒ V ar(X1 + . . . + Xn) = V ar(X1) + . . . + V ar(Xn)
Wichtiger Spezialfall: X1, . . . , Xn unabhängig (⇒ unkorreliert)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
34
Wichtig für schließende Statistik
Folgerung für eine Stichprobe vom Umfang n mit Zurücklegen zu einer
Zufallsvariablen X:
Y1, . . . , Yn
unabhängig und identisch verteilt wie X
Dann gilt für das arithmetische Mittel:
E
V ar
Yi
!
1
Yi
n i=1
!
n
1X
n i=1
n
X
n
=
1X
E(Yi) = E(X)
n i=1
n
=
1 X
1
V ar(Yi) = V ar(X)
n2 i=1
n
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
35
Folgerung aus ⊚ X, Y Zufallsvariable mit P (X ≤ Y ) = 1
sicher”)
⇒ E(X) ≤ E(Y )
(”X ≤ Y fast
Beweis: Z = Y − X
P (Z < 0) = 0
⇒ E(Z) ≥ 0
E(Z) = E(Y ) − E(X) ≥ 0 ⇒ E(Y ) ≥ E(X)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
36
Spezielle Funktionen
2. Maximum von Y1, . . . , Yn :
g(y1, . . . , yn) = max yi
i=1,...,n
(yi angenommene Werte der Yi)
⇒ Fmax Yi (α)= P (max Yi ≤ α)
= P (Yi ≤ α für i = 1, . . . , n)
= FY1,...,Yn (α, . . . , α)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
37
Spezialfälle für Maximum
1. Y1, . . . , Yn unabhängig:
Fmax Yi (α) = FY1 (α) . . . FYn (α)
2. Y1, . . . , Yn unabhängig und identisch verteilt wie X:
Fmax Yi (α) = FX (α) . . . FX (α) = (FX (α))n
(X stetig: fmax Yi (α) = nFX (α)n−1fX (α))
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
38
Beispiel (“Parallelschaltung”)
Ein Flugzeug ist mit zwei Triebwerken ausgestattet
T1, T2 Zeitdauer vom Anlassen des Motors bis zum ersten ”Störfall”
(”Lebensdauer”)
Ein Triebwerk genügt für Flug und Landung. Die Triebwerke arbeiten unabhängig.
Ein Störfall ist nicht im Flug behebbar.
Überlebenswahrscheinlichkeit bei t Stunden Flugdauer:
P (T1 > t oder T2 > t) = 1 − P (T1 ≤ t, T2 ≤ t)
= 1 − P (max{T1, T2} ≤ t)
= 1 − FT1 (t)FT2 (t)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
40
T1, T2 λ-exponentialverteilt
= 1 − (1 − e−λt)(1 − e−λt)
= e−λt(2 − e−λt)
sei
λ=
1
24
(E(T1) = E(T2) = 24), t = 12
12
− 24
=e
− 12
24
2−e
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
= 0.845
41
Spezielle Funktionen
3. Minimum von Y1, . . . , Yn: g(y1, . . . , yn) = min yi
i=1,...,n
Fmin Yi (α) = P (min Yi ≤ α) = 1 − P (min Yi > α)
= 1 − P (Yi > α für i = 1, . . . , n)
= 1 − P (Y1 > α, Y2 > α, . . . , Yn > α)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
42
Spezialfälle für Minimum
1. Y1, . . . , Yn unabhängig:
Fmin Yi (α) = 1 −
n
Y
i=1
P (Yi > α) = 1 −
n
Y
i=1
(1 − FYi (α)).
2. Y1, . . . , Yn unabhängig, identisch verteilt wie X:
Fmin Yi (α) = 1 − (1 − FX (α))n
(X stetig:
fmin Yi (α) = n(1 − FX (α))n−1 · fX (α)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
)
43
Anwendungsbeispiel: Anlage mit n Komponenten.
Anlage fällt aus, wenn eine der Komponenten ausfällt.
Ti Lebensdauer von Komponente i, exponentialverteilt mit Parameter λi
FTi (α) → min Ti Lebensdauer der Anlage
Fmin Ti (α) = 1 − P (T1 > t, T2 > α, . . . , Tn > α) “Überlebenswahrscheinlichkeit”
für einen Zeitpunkt t:
P (min Ti > t) = P (Ti > t für i = 1, . . . , 5)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
44
Ausfallverhalten der Komponenten unabhängig (⇒ T1, . . . , Tn unabhängig):
Fmin Ti (α) = 1 −
= 1−
n
Y
(1 − FTi (α)) = 1 −
i=1
n
Y
−λi α
e
i=1
Also: min Ti exponentialverteilt mit
=1−e
n
P
i=1
Pλα
n
−
n
Y
i=1
(1 − (1 − e−λiα))
i
λi. (nicht notwendig identisch)
i=1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
45
Spezielle Aspekte im Beispiel
1. Unabhängigkeit:
=
n
Y
P (Ti > t) =
i=1
n
Y
(1 − FTi (t))
i=1
2. unabhängig und identisch verteilt
= (1 − F (t))n
Fmin Ti (t) = 1 − (1 − F (t))n
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
46
3. unabhängig, identisch und λ−exponentialverteilt:
F (t)
= 1 − e−λt
1 − F (t)
= e−λt
P (min Ti > t)
= (e−λt)n = e−nλt
Fmin Ti (t) = P (min Ti ≤ t)= 1 − e−nλt
⇒ Lebensdauer der Anlage exponentialverteilt mit Parameter nλ.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
47
Z.B.:
λ
= 0.1 (E(Ti) = 10),
t=8:
P (min Ti > 8)= e−5·0.1·8 = e−4 ≈ 0.02
λ
= 0.05 (E(Ti) = 20),
t=8:
P (min Ti > 8)= e−5·0.05·8 = e−2 ≈ 0.135
Übungsaufgabe:
Wie groß muss die mittlere Lebensdauer der Komponenten sein, damit in 8
Stunden mit Wahrscheinlichkeit 0.99 kein Störfall eintritt?
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
48
Spezielle Funktionen
4. Spannweite:
R(x1, . . . , xn) = max{x1, . . . , xn} − min{x1, . . . , xn}.
Berechnung der Verteilung in zwei Schritten:
a) gemeinsame Verteilung von max Yi und min Yi
b) Verteilung von X − Y = X + (−Y ) Dann hat R(Y1, . . . , Yn) zu einer ndimensionalen Zufallsvariablen
Y = (Y1, . . . , Yn) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen Z1 − Z2 mit
Z1 = max Yi und Z2 = min Yi.
i=1,...,n
i=1,...,n
Es ist also die Verteilungsfunktion der Differenz zweier Zufallsvariablen zu
bestimmen.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
49
Dafür gilt im diskreten Fall
X
P (Z1 − Z2 = z) =
P (Z1 = xi, Z2 = yj )
xi ,yj
xi −yj =z
=
X
xi
P (Z1 = xi, Z2 = xi − z)
und im stetigen Fall (analog Faltungsintegral )
+∞
Z
fZ1,Z2 (z1, z1 − α)dz1.
fZ1−Z2 (α) =
−∞
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
50
Gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. Dichte von max Yi und min Yi:
Diskreter Fall:
P (max Yi ≤ x, min Yi ≤ y)
= P (max Yi ≤ x) − P (max Yi ≤ x, min Yi > y)
= P (Yi ≤ x für i = 1, . . . , n) − P (y < Yi ≤ x für i = 1, . . . , n)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
51
Fall 1: y < x
Bei Unabhängigkeit gilt:
(y < Yi ≤ x für i = 1, . . . , n) =
=
n
Y
i=1
n
Y
i=1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
P (y ≤ Yi ≤ x)
(FYi (x) − FYi (y))
52
Fall 2: x ≤ y
P (y < Yi ≤ x für i = 1, . . . , n) = 0
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
53
Damit
P (max Yi ≤ x, min Yi ≤ y)
P (Yi ≤ x für i = 1, . . . , n
x≤y
=
P (Yi ≤ für i = 1, . . . , n) − P (y ≤ Yi ≤ x für i = 1, . . . , n) y < x
bei Unabhängigkeit
=




n
Q
i=1
FYi (x)
für x ≤ y
n
n
Q
Q


(FYi (x) − FYi (y)) für x > y
FYi (x) −

i=1
i=1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
54
Beispiele
1. Beim Werfen mit zwei Würfeln erhält man für das Maximum (Minimum) der
Augenzahlen die Verteilung :
z
1
2
3
4
5
6
P (max{Y1, Y2} = z)
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
1
36
1
9
1
4
4
9
25
36
1
11
36
9
36
7
36
5
36
3
36
1
36
11
36
5
9
3
4
8
9
35
36
1
P (max{Y1, Y2} ≤ z)
P (min{Y1, Y2} = z)
P (min{Y1, Y2} ≤ z)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
55
max{Y1, Y2} =
min{Y1, Y2} =
1
2
1
2
4
5
6
1
36
1
36
1
36
3
4
5
3
0
6
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
1
36
2
36
1
36
1
36
56
Die gemeinsame Verteilung ist:
P (max Yi ≤ x, min Yi ≤ y)
max{Y1, Y2} ≤
min{Y1, Y2} ≤
1
1
2
3
4
5
6
1
36
3
36
5
36
7
36
9
36
11
36
1
9
2
9
3
9
4
9
5
9
1
4
5
12
7
12
3
4
4
9
2
3
8
9
25
36
35
36
25
36
1
2
3
4
5
6
1
36
1
9
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
1
4
4
9
57
Damit erhält man als Verteilung der Spannweite R
P (R = k) =
6
X
i=k+1
P (max{Y1, Y2} = i, min{Y1, Y2} = i − k)
k
0
1
2 3 4
5
P (R = k)
1
6
5
18
2
9
1
18
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
1
6
1
9
58
2. Gleichverteilung auf [0, 1]
Dichte von X
0
1
für
für
x∈
/ [0, 1]
x ∈ [0, 1]

 0
x
F (x) =

1
für
für
für
x≤0
0≤x≤1
1≤x
f (x) =
Verteilungsfunktion von X
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
59
Y = (Y1, . . . , Yn) Stichprobe mit Zurücklegen zu X.
Gemeinsame Dichte von max Yi und min Yi:


0
n(n − 1)(x − y)n−2
f (x, y) =

0
für
für
sonst
x≤y
0≤y<x≤1
(Ansatz: Über Verteilungsfunktion von max Yi und min Yi)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
60
Dichte der Spannweite:
fR(z) =
+∞
Z
f (x, x − z)dx
−∞

0
für
z≤0


 R1
=
n(n − 1)(x − (x − z))n−2dx
für
0<z<1


 z
0
für
1≤z

0
für
z≤0

n(n − 1)z n−2(1 − z)
für
0<z<1
=

0
für
1≤z
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
61
Erwartungswert von R:
E(R) =
Z1
0
zn(n − 1)z n−2(1 − z)dz
= n(n − 1)
Z1
0
(z n−1 − z n)dz
n
1
n+1
z
z
= n(n − 1) ( −
)
n
n+1 0
n(n − 1) n2 − 1 − n2 + n n − 1
=
=
= n−1−
n+1
n+1
n+1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
61
4. Produkt von Y1, . . . , Yn
g(y1, . . . , yn) = y1y2 . . . yn =
n
Q
yi
i=1
n
Q
Q
xi ≤ α})
F Y (α) = P ((Y1, . . . , Yn) ∈ {(x1, . . . , xn)|
i
i=1
Y = (Y1, . . . , Yn) diskret:
(j)
(j)
Wertekombinationen y (j) ∈ Rn, y (j) = y1 , . . . , yn ,
P
F Yi (α) =
P (Y = y (j))
(j)
n
y (j) mit
i=1 yi ≤α
Q
Q
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
62
4. Produkt von Y1, . . . , Yn
Y = (Y1, . . . , Yn) stetig mit Dichte f :
Q Y (α) =
F
i
Z
···
Z
f (y1, . . . , yn)dy1 . . . dyn
y1 ,...,yn : y1 ·...·yn ≤α
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
63
diskrete Zufallsvariable
z 6= 0:
P (X · Y = z)
=
P
xi 6=0
P (X = xi, Y =
z
xi )
z=0:
P (X · Y = 0)
= 1 − P (X · Y 6= 0)
= 1 − P (X 6= 0, Y 6= 0)
X, Y unabhängig
= 1 − P (X 6= 0)P (Y 6= 0)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
64
X, Y stetige Zufallsvariable:
FX·Y (α) =
ZZ
f (x, y)dxdy
x·y≤α
=
Z∞
0



Z
x·y≤α


f (x, y)dx dy +
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Z0
−∞



Z
x·y≤α


f (x, y)dx dy
65
α
y
y>0:
xy ≤ α ⇔ x ≤
(y = 0 :
xy ≤ α ⇔ α ≥ 0
y<0:
xy ≤ α ⇔ x ≥
=
Z∞
ohne Bedeutung, da P (Y = 0) = 0)
α
y
α
y
Z
0 −∞
f (x, y)dxdy +
Z0 Z∞
f (x, y)dxdy
−∞ α
y
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
66
Substitution:
z = x · y, x = yz , dx = y1 dz
Integrationsgrenzen:
α
y>0:x≤
α
y
y<0:x≥
α
y
⇔
z
y
⇔
z
y
≤
α
y
≥
α
y
⇔z≤α ⇒y>0:
⇔z≤α ⇒y<0:
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
Ry
f (x, y)dx =
Rα
−∞
−∞
R∞
Rα
α
y
f (x, y)dx =
−∞
1
dz
f ( yz , y) |y|
1
f ( yz , y) |y|
dz
67
FXY (α) =
Z∞ Zα
f
0 −∞
=
Zα Z∞
−∞ −∞
f
z
1
,y
dzdy +
y
|y|
Z0 Zα
−∞ −∞
z
1
f ( , y) dzdy
y
|y|
z
1
,y
dydz
y
|y|
fXY (α) =
Z∞
−∞
f
α
1
,y
dy
y
|y|
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
68
X, Y unabhängig:
fXY (α) =
Z∞
−∞
1
α
fY (y) dy
fX
y
|y|
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
69
Beispiel: Materialdisposition
Aufgabe: Beschaffung des notwendigen Produktionsmaterials (Rohstoffe,
Bauteile, Betriebstoffe)
Ziel: Hohe Versorgungssicherheit bei niedrigen Kosten.
Bestellpunktverfahren: Bei Unterschreiten des Lagerbestands s wird eine
Bestellung ausgelöst, die nach Ablauf der Lieferfrist verfügbar ist.
Problem: Lieferzeit und Bedarf während der Lieferzeit nicht determiniert.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
70
Beispiel: Materialdisposition
Vorgabe: 95% Versorgungssicherheit
Aufgabe: Festlegung von s
Y : täglicher Bedarf
Z: Dauer der Lieferzeit
Gesamtbedarf während der Lieferzeit:
X =Y ·Z
Gesucht s mit :
P (Y · Z ≤ s) = 0.95
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
71
Y, Z stetig und unabhängig: Dichtefunktion von X = Y Z
fX (x) =
Z∞
f
Z∞
x 1
fY (Y )fZ
dy
y |y|
−∞
=
−∞
x
y,
y
1
dy
|y|
P (Y · Z ≤ s) = P (X ≤ s)
=
Zs
fX (x)dx
“Liefersicherheit”
−∞
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
72
Beispiele:
Bedarf Y gleichverteilt auf [8, 12]
Dauer Z gleichverteilt auf [3, 5]
fY (y) =



1
4
8 ≤ y ≤ 12
fZ (z) =
0 sonst
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen



1
2
3≤z≤5
0 sonst
73
Beispiele:
Somit:
fX (x) =
Z∞
−∞
x
y
6= 0 für y ∈ [8, 12] und
x
y
∈ [3, 5]
⇔
3≤
x
y
∈ [3, 5]
≤5
min{ x
3 ,12}
=
Z
x 1
dy
fY (y)fZ
y |y|
max{ x
5 ,8}
⇔
x
5
≤y≤
x
3
1 1
1
,12}
min{ x
· dy = [ln(y)]max{3x ,8}
5
8 y
8
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
74
Beispiele:
x < 24 :
x
3
24 ≤ x < 36
12 >
36 ≤ x ≤ 40
x
3
≥ 12, max{ x5 , 8} = 8
40 < x ≤ 60
x
3
≥ 12, max{ x5 , 8} =
x > 60 :
x
5
> 12
< 8 = max{ x5 , 8}
x
3
⇒ fX (x) = 0
⇒ fX (x) = 18 ln x3 − 18 ln 8
≥ 8 = max{ x5 , 8}
x
5
⇒ fX (x) = 18 ln 12 − 81 ln 8
≤ 12
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
⇒ fX (x) = 81 ln 12 − 81 ln x5
⇒ fX (x) = 0
75
Beispiele:
Also:


0




1
x


(ln

3 − ln 8)
 8
1
(ln 12 − ln 8)
fX (x) =
8



x
1

(ln
12
−
ln

2
5)



 0
x ≤ 24
24 ≤ x ≤ 36
36 ≤ x ≤ 40
40 ≤ x ≤ 60
60 ≤ x
In der folgenden Abbildung ist die Dichtefunktion des Bedarfs X während der
Lieferzeit dargestellt.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
76
Beispiele:
Dichtefunktion des Bedarfs während der Lieferzeit
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
77
Beispiele:
Als Verteilungsfunktion erhält man nach einiger
ln x ist x · ln(x) − x)


0




s
s


(ln

24 − 1) + 3
 8
s
ln 1.5 − 1.5
FX (x) =
8



60
s

(ln

8
s + 1) − 6.5



 1
Rechnung (Stammfunktion von
s ≤ 24
24 ≤ s ≤ 36
36 ≤ s ≤ 40
40 ≤ s ≤ 60
60 ≤ s
Wie aus Abbildung 13.2 ersichtlich, ist bei einer vorgegebenen Liefersicheheit von
0.95 also bei einem Lagerbestand von s ≈ 53 eine Bestellung auszulösen.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
78
Liefersicherheit P (X ≤ s) in Abhängigkeit von s.
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
79
Beispiel
Jetzt: Y und Z anders verteilt
Y gleichverteilt auf [7, 10]
1
3 7 ≤ y ≤ 10
fY (y) =
0 sonst
Z ”Dreieck” - verteilt
1 − 12 (z − 1) 1 ≤ z ≤ 3
fZ (z) =
0
sonst
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
80
fX (x) =
R∞
−∞
1
dz
fZ (z)fY ( xz ) |z|
mit
fZ (z) ≥ 0 für 1 ≤ z ≤ 3
fY ( xz ) ≥ 0 für 7 ≤
min{3, x
7}
R
=
x}
max{1, 10
x
z
≤ 10 oder
x
10
≤z≤
x
7
(1 − 21 (z − 1)) 13 · z1 dz
R
= ( 13 · z1 − 61 + 16 · z1 )dz
1
min{3, x7 }
1
= ( 2 ln z − 6 z) max{1, x }
10
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
81
Beispiel

0







1
x
x
1

ln
−
+

2
7
42
6





 1 x
x
x
x
x
ln 7 − 42
− 21 ln 10
+ 60
= 12 ln 10
− 140
2
7
=



1
1
x
x
1

ln
3
−
−
ln
+

2
2
2
10
60







0



x<7
7 ≤ x ≤ 10
10 ≤ x ≤ 21
21 ≤ x ≤ 30
30 < x
Verteilungsfunktion ausrechnen und F (s) = 0, 95 setzen ergibt s. (Quantil)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
82
Erwartungswert des Produkts
E(g(X, Y )) =
Z Z
E(X · Y ) =
g(X, Y )f(X,Y )(x, y)dxdy
Z+∞
Z
xyf(X,Y )(x, y)dxdy
−∞
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
83
Erwartungswert des Produkts
Bei Unabhängigkeit:
=
Z∞Z
−∞
f(X,Y ) (x,y)
Z∞
Z∞
}|
{
z
xfX (x)dx dy
yfY (y)
yx fX (x)fY (y) dxdy =
−∞
= E(X)
Z∞
−∞
|
yfY (y)dy
{z
E(Y )
= E(X) · E(Y )
−∞
|
{z
E(X)
}
}
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
83
Erwartungswert des Produkts
Folgerung:
Cov(X, Y ) = E((X − E(X))(Y − E(Y )))
= E(XY − E(X) · Y − X · E(Y ) + E(X) · E(Y ))
= E(XY ) − E(E(X)Y ) − E(X · E(Y )) + E(E(X) · E(Y ))
= E(XY ) − E(X) · E(Y ) − E(X)E(Y ) + E(X) · E(Y )
= E(XY ) − E(X)E(Y )
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
83
Erwartungswert des Produkts
Also:
Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X) · E(Y ) bzw. E(X · Y ) = E(X) · E(Y ) + Cov(X, Y )
Damit:
Cov(X, Y ) = 0
⇔ E(XY ) = E(X) · E(Y )
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
84
Transformationen
Sei X = (X1, . . . , Xn)
Zufallsvariable
g : Rn → Rn Transformation, d.h. es gibt eine inverse Funktion g −1 zu g.
Bemerkung:
Nimmt X nur Werte in einem Bereich D an, muss g auch nur für Punkte in D
definiert sein.
• X diskret
Zu jedem Wert y von g(X1, . . . , Xn) gibt es genau ein x mit g(x) = y und es
gilt
P (g(X1, . . . , Xn) = y = g(x)) = P (X = x)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
85
Transformationen
• X stetig
gesucht: Dichtefunktion von g(X)
Wiederholung: X - eindimensional g : R → R
1
fg(X)(y) = fX (g −1(y)) |g′(g−1
(y))|
benutzt Ableitung von g
Ableitung von g : Rn → Rn
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
86
Transformationen
g : Rn → Rn
g(x1, x2, . . . , xn) = (g1(x1, . . . , xn), . . . , gn(x1, . . . , xn) ∈ Rn)
Ableitung von Komponente gi(x1 . . . , xn nach Variable xj
∂gi (x1 ,...,xn )
∂xj
”partielle Ableitung”
i, j = 1, . . . , n
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
87
Transformationen
Anordnung aller partiellen Ableitungen aller Komponenten in einer Matrix:




g ′(x) = 


∂g1 (x)
∂x1
···
···
∂g1 (x)
∂xn
∂gn (x)
∂x1
···
···
∂gn (x)
∂xn
..
..
”Jakobi - Matrix”
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
..
..







88
Transformation von (Y1, . . . , Yn) = Y
g : Rn → Rn bzw. g : D → W, wobei D, W ⊂ Rn
hier: g umkehrbar eindeutig, d.h. es existiert g −1 mit
g −1(g(x)) = x bzw. y = g(g −1(y)) für alle x ∈ Rn bzw. y ∈ Rn
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
89
Transformation von (Y1, . . . , Yn) = Y
Y stetig:
Verteilungsfunkton von g(Y ) an der Stelle α = (α1, . . . , αn)
Fg(Y )(α1, . . . , αn) =
Zαn
...
−∞
=
Zα1
fg(Y )(y)dy1 . . . dyn
−∞
Z
···
Z
fY (t1, . . . , tn)dt1 . . . dtn
t:g(t)≤α=(α1 ,...,αn )
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
90
Nach Transformationsregel für Integrale:
=
Zαn
−∞
...
Zα1
fY (g −1(y))
−∞
1
dy1 . . . dyn
′
−1
|det(g (g (Y )))|
{z
}
|
Determinante der Jakobi-Matrix an der Stelle g −1(y)
Daraus Dichtefunktion von g(Y ):
fg(Y )(y) = fY (g
−1
1
(y))
|det(g ′(g −1(y)))|
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
y∈W
91
Zusammenfassung:
Sei Y = (Y1, . . . , Yn) eine stetige n-dimensionale
Zufallsvariable mit Dichte fY . D, W ⊆ Rn mit P (Y ∈ D) = 1 und g : D → W
umkehrbar mit Umkehrfunktion g −1 : W → D, derart dass g und g −1 auf D bzw.
W differenzierbar sind. Dann ist:
fg(Y )(y) =
fY (g −1(y)) |det(g′(g1−1(y)))|
0
für
für
y∈W
y∈
/W
Dichtefunkton der transformierten Zufallsvariablen g(Y ).
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
92
Beispiele für Anwendung bei Funktionen
1. Dichte eines Produktes wobei X1, X2 stetige Zufallsvariable
Gesucht Verteilung von X1 · X2
Transformation
g(X1, X2) = (X1 · X2, X2)
g ist invertierbar x1 · x2 = y1 → x1 =
g
−1
(y1, y2)
g ′(x1, x2)
=
=
y1
y2 , y2
x2 x1
0 1
y1
x2
=
y1
y2
für y2 6= 0
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
93
Beispiele für Anwendung bei Funktionen
′
g (g
−1
(y1, y2))
=
y1
y2
y2
0 1
det(g ′(g −1(y1, y2))) = y2
Dichte von g(X1, X2) :
fg(X1,X2)(y1, y2) = f(X1,X2)(g −1(y1, y2)) |y12| ,
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
y2 6= 0
94
Beispiele für Anwendung bei Funktionen
Randdichte der 1. Komponente (g(X1, X2) = (X1 · X2, X2))
fX1·X2 (z) =
Z∞
fg(X1,X2)(z, y2)dy2
Z∞
f(X1,X2)(g −1(z, y2))
Z∞
−∞
=
−∞
=
−∞
f(X1,X2)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
z
, y2
y2
1
dy2
|y2|
1
dy2
|y2|
95
Beispiel
2. Dichte eines Quotienten (X1, X2 stetige Zufallsvariable)
y2 = x2 x1 = xy12 = yy21 , y1 6= 0 man setze
x2
für x1 6= 0
x1
h(x1, x2) =
0 sonst
y1 =
x2
x1
Setze g(x1, x2) = ( xx12 , x2) für x1 6= 0, und
dass (y1, y2) = ( xx12 , x2)
g(0, x2) = (0, x2) , so
g invertierbar (y1 6= 0 bzw. x2 6= 0) für x1 6= 0 (s.o.)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
96
Beispiel
g −1(y1, y2)
g ′(x1, x2)
′
g (g
−1
′
det(g (g
− xx22
1
=
(y1, y2))
−1
= ( yy12 , y2) für y1 6= 0
(y1, y2)))
0
−
0
=
=
y12
y2
1
x1
1
y1
y2
1
!
!
y12
− y2
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
97
Beispiel
fg (Y1, Y2)(y1, y2) = f(Y1,Y2)(g −1(y1, y2)) |yy22| = f(Y1,Y2)( yy21 , y2) |yy22|
1
1
Dichte des Quotienten ist Randdichte der 1. Komponente:
f Y2 (z) =
Y1
Z∞
fg(Y1,Y2)(z, y2)dy2
−∞
=
Z∞
−∞
fY
|y |
2
, y2
dy2
2
z
z
y
2
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
98
Beispiel
Substitution y2 = zx,
f Y2 (z) =
Y1
x=
y2
z,
dy2 = zdx
Z∞
fY (x, zx)
Z∞
fY (x, zx)|x|dx
|zx|
zdx
2
z
−∞
=
−∞
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
99
Anwendung - Störanfällige Komponente
Lebensdauer T = Zeit vom Einschalten bis zum Eintritt einer Störung
zufällig: Beschreibbar durch Zufallsvariable
T exponentialverteilt mit Parameter λ
”kalte Reserve”: Zweite Einheit steht bereit, um die erste zu ersetzen
T1 Lebensdauer 1.Einheit
T1 + T2 Gesamtlebensdauer.
T2 Lebensdauer 2.Einheit
Frage: Welchen Anteil an der Gesamtdauer hat die 1. Einheit ?
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
100
2. Störanfällige Komponente
T1 und T2 sind Zufallsvariable
T1
T1 +T2
= Anteil von T1 an T1 + T2
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich für
T1
T1 +T2 ?
• 1. Berechnungsmöglichkeit
W-verteilung von
W-verteilung von
W-verteilung von
T1 + T2
1
T1 +T2
1
T1 · T1+T
2
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
101
2. Störanfällige Komponente
• 2. Berechnungsmöglichkeit
Transformation g(X1, X2) =
Daraus:
X1
X1 +X2 , X2
1.Dichte von g(T1, T2)
2.Randdichte von Komponente 1 von g(T1, T2)
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
102
T1, T2 unabhängig und λ exponentialverteilt
Transformation:
1
, x2)
(Y1, Y2) = g(x1, x2) = ( x1x+x
2
x1, x2 > 0
angewandt auf (T1, T2)
Inverse Abbildung:
y1 ·y2
, y2 )
(X1, X2) = g −1(y1, y2) = ( 1−y
1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
0 < y1 < 1; 0 < y2
103
Jakobi - Matrix:
g ′(x1, x2) =
|det g ′(x1, x2)| =
x2
(x1 +x2 )2
0
x1
− (x +x
2
1
2)
1
|x2 |
(x1 +x2 )2
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
104
2.Möglichkeit
mit (x1, x2) = g −1(y1, y2) = (
|det(g
−1
y1 y2
, y2 ) :
1 − y1
(1 − y1)2
|y2|
|y2|
(y1, y2))| = y1y2
= y1y2+y2−y1y2 2 =
2
( 1−y1 + y2)
|y2|
)
(
1−y1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
105
Gemeinsame Dichte von T1, T2 (T1, T2 unabhängig):
fT1,T2 (x1, x2)
= λ2e−λ(x1+x2)
y y
fg(T1,T2)(y1, y2) =
1 2 +y )
2 −λ( 1−y
2
1
λ e
y
=
2
2 −λ· 1−y
1
λ e
x1, x2 > 0
y2
(1 − y1)2
0 < y1 < 1; 0 < y2
y2
(1 − y1)2
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
106
Randverteilung der 1. Komponente
f
T1
T1 +T2
(y1) =
+∞
R
y
2
2 −λ· 1−y1
λ e
0
=
=
λ
(1−y1 )
+∞
R
y2
dy2,
(1−y1 )2
−∞
λ
1−y1 E(Y
0 < y1 < 1
y2
λ
−λ 1−y
1
e
|1 − y1{z
}
Dichte einer ZV Y exponentialverteilt mit
)=
λ
1−y1
·
1
λ
1−y1
y2dy2
λ
1−y1
=1
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
107
=1
1 (y1 )
Also: f T T+T
1
für 0 < y1 < 1
2
Der Anteil ist gleichverteilt auf [0, 1].
Kapitel XIII - Funktion und Transformation Mehrdimensionaler Zufallsvariablen
108