Analysis 3 - Mathe

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Abiturprüfung Mathematik 2004 Baden-Württemberg (ohne CAS)
Haupttermin Wahlteil – Analysis – Aufgabe I, 3
Aufgabe I 3.1
Für jedes k > 0 ist eine Funktion fk gegeben durch
fk ( x ) =
3k ⋅ e x
e 2x + k
mit x ∈ 
Ihr Schaubild sei C k .
a) Skizzieren Sie für drei selbst gewählte Werte von k die Schaubilder C k in ein
gemeinsames Koordinatensystem.
Untersuchen Sie das Verhalten von fk für x → ±∞ .
Stellen Sie gemeinsame Eigenschaften der skizzierten Schaubilder zusammen.
(5 VP)
b) Jedes Schaubild C k hat genau einen Hochpunkt.
Berechnen Sie dessen Koordinaten.
Bestimmen Sie eine Gleichung der Ortskurve der Hochpunkte aller C k .
Ergänzen Sie die Skizze aus Teilaufgabe a) um diese Ortskurve.
(6 VP)
c) Der Term f 4 ( x ) beschreibt für x ≥ 0 die Zuwachsrate der von einer
Bakterienkultur bedeckten Fläche zum Zeitpunkt x (x in min ab
Beobachtungsbeginn, f 4 ( x ) in cm²/min).
Um wie viele Quadratzentimeter vergrößert sich die von der Kultur bedeckte
Fläche in den ersten 2 Minuten ?
(3 VP)
Aufgabe I 3.2
Hinweis: Ab der Abiturprüfung 2012 ist dies nicht mehr prüfungsrelevant
Die Ableitung der Funktion h1 mit h1( x ) =
1
; x ≠ 0 und die Produktregel werden als
x
bekannt vorausgesetzt.
Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 1
1
n
die Funktion hn mit hn ( x ) =
; x ≠ 0 die Ableitung h n ′ ( x ) = −
hat.
n
n +1
x
x
(4 VP)
1
Zuletzt aktualisiert: 06.12.2014
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Abiturprüfung Mathematik 2004 Baden-Württemberg (ohne CAS)
Haupttermin Wahlteil – Analysis – Lösung Aufgabe I, 3
Aufgabe I 3.1
a) Die skizzierten Schaubilder beziehen sich auf die Parameter k = 2, k = 1 und k = 0,5
(Schaubilder von oben nach unten betrachtet). Das Schaubild, das durch die Hochpunkte
verläuft, ist die Ortskurve der Hochpunkte (siehe b)).
Es gilt lim fk ( x ) = 0 für alle Parameter k > 0. Daraus folgt, dass die x-Achse y = 0
x →±∞
die waagrechte Asymptote ist.
Gemeinsame Eigenschaften der skizzierten Schaubilder:
1) Alle Schaubilder besitzen einen Hochpunkt.
2) Alle Schaubilder besitzen die waagrechte Asymptote y = 0.
3) Alle Schaubilder besitzen keine Nullstellen.
4) Alle Schaubilder besitzen genau zwei Wendepunkte.
5) Alle Schaubilder sind symmetrisch bzgl. einer senkrechten Geraden.
b)
Zur Berechnung der Ableitungsfunktion wird die Funktion umgeschrieben:
3k ⋅ e x
3k ⋅ e x
3k
fk (x) = 2x
= x
= x
= 3k ⋅ e x + k ⋅ e − x
−x
x
−x
e +k e ⋅ e +k⋅e
e +k⋅e
(
(
)
)
−1
b)
(
fk′ (x) = −3k ⋅ e x + k ⋅ e− x
) ⋅ (e
−2
x
)
− ke− x =
−3k
(e
x
+ ke
−x
)
2
(
⋅ e x − ke − x
)
Berechnung des Hochpunktes:
fk′ (x) = 0 ⇔ e x − ke− x = 0 ⇔ e x = ke − x ⇒ x = ln(k) − x ⇒ x =
1
⋅ ln(k)
2
Da aus der Aufgabenstellung bekannt ist, dass jedes Schaubild genau einen
Hochpunkt besitzt, muss die hinreichende Bedingung für die Existenz eines
Hochpunktes nicht mehr geprüft werden.
2
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Die Existenz des Hochpunkt bei x =
1
f ( ln k ) =
2
1
ln k
2
3k ⋅ e
1
2⋅ ln k
2
e
=
3k ⋅ e ln
e
+k
ln k
k
+k
1
ln(k) kann daher angenommen werden.
2
=
3k ⋅ k 3
=
k
k+k
2
also HP(
1
3
ln k /
k)
2
2
Ortskurve der Hochpunkte:
x=
1
ln k (1)
2
y=
und
3
k
2
(2)
3
3
e 2x = e x
2
2
3
Die Ortskurve der Hochpunkte lautet y = e x
2
Aus (1): k = e 2 x
eingesetzt in (2): y =
c) Der Bestandszuwachs ergibt sich durch Integration der Zuwachsrate:
2
Zuwachs =
∫ f 4 ( x)dx =
0
2
12e x
∫ e 2x + 4 dx = 5,06
(mit GTR)
0
Die Fläche nimmt in den ersten 2 Minuten somit um 5,06 cm² zu.
Aufgabe I 3.2
1.) Induktionsanfang:
Nachweis, dass die Aussage für n = 1 richtig ist:
Aus h1( x ) =
1
1
= x −1 folgt h1′ ( x ) = − x −2 = −
, was als bekannt in der Aufgabenstellung
x
x2
vorausgesetzt wurde.
2.) Induktionsschritt:
a) Formulierung der Induktionsvoraussetzung:
Es gibt eine natürliche Zahl n, für die die Aussage
die Funktion hn ( x ) =
′
1
n
; x ≠ 0 besitzt die Ableitung h n ( x ) = −
gültig ist.
xn
x n+1
b) Formulierung der Induktionsbehauptung:
Die Aussage gilt für n+1, das heißt die Funktion h n+1 ( x ) =
1
x
n +1
; x ≠ 0 besitzt die
n +1
′
Ableitung h n+1 ( x ) = − n+ 2
x
3
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b) Beweis des Induktionsschrittes:
′
1 1 
′
h′n+1 ( x ) =  ⋅ n  = (h1 ( x ) ⋅ h n ( x )) = h′1 ( x ) ⋅ h n ( x ) + h1 ( x ) ⋅ h′n ( x )
x
x


1 1 1 
n  − 1− n
n +1
= − 2 ⋅ n + ⋅  − n+1  = n+ 2 = − n+ 2
x  x 
x x
x
x
Damit ist die Aussage für alle natürlichen Zahlen bewiesen.
4
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