¨Ubungsblatt/Exercise Sheet 5

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SS 2011
Übungsblatt/Exercise Sheet 5
Ausgabe/Handout Date: 03.05.2011
Abgabe/Return Date: Dienstag/Tuesday, 10.05.2011 bis/until 11:15
Aufgabe/Problem 19: (6 Punkte/6 points)
Sei A ⊂ R konvex und f : R → R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion./ Let A ⊂ R be convex and
f : R → R a (n + 1)-times continuously differentiable function.
Für ein a ∈ A und alle x ∈ A gilt dann die Taylor-Formel/ Then for some a ∈ A and all x ∈ A one has the Taylor
formula
f (x) = f (a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
f (n+1) (ξ)
f 0 (a)
(x − a) +
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n +
(x − a)n+1
1!
2!
n!
(n + 1)!
für ein ξ ∈ [a, x].
Hieraus läßt sich durch Abschneiden nach dem nten Term auf der rechten Seite das Taylorpolynom n-ten Grades
bestimmen:
By cutting the sum on the right hand side after the nth term, one can obtain the Taylor polynomial of degree n:
T (x) =
n
X
f (k) (a)
(x − a)k .
k!
k=0
Dieses liefert eine Approximation n-ten Grades an die Funktion f . Für n = 1 nennt man dies lineare, für n = 2
quadratische Approximation.
It provides an approximation of degree n to the function f . For n = 1 this is called a linear, for n = 2 a quadratic
approximation.
Berechnen Sie für die folgenden Fälle die Taylorpolynome von f ./ Compute for the following cases the Taylor
polynomials of f .
a) n = 1, f1 (x) := sin x, a = 0;
b) n = 2, f2 (x) := e x , a = 0;
c) n ∈ N beliebig/arbitrary, f3 (x) := e x , a = 0;
√
d) n = 3, f4 (x) := (1 + x), a = 0;
e) n = 3, f5 (x) := ln(1 + x), a = 0.
Aufgabe/Problem 20: (4 Punkte/4 points)
Sei A ⊂ RN konvex und f : A → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Man nennt dann die Polynome
T 1 , T 2 : A → R, für ein a ∈ A definiert durch
T 1 (x) :=
T 2 (x) :=
f (a) + ∇ f (a) · x
f (a) + ∇ f (a) · x + 21 x · (D2 f )(a)x,
Taylorpolynome ersten und zweiten Grades, oder lineare und quadratische Approximationen an f .
Let A ⊂ RN be convex and f : A → R be a twice continuously differentiable function. The polynomials T 1 , T 2 :
A → R, defined for some a ∈ A by
T 1 (x) :=
T 2 (x) :=
f (a) + ∇ f (a) · x
f (a) + ∇ f (a) · x + 21 x · (D2 f )(a)x
are called Taylor polynomials of degree one and two, or linear and quadratic approximations to f .
Berechnen Sie die Approximationen ersten und zweiten Grades von
Compute approximations of first and second degree of
a) f : R2 → R, f (x) := e x1 +x2 (x1 x2 − 1) um/at a = (0, 0)T ;
b) f : RN → R, N ∈ N beliebig/arbitrary, f (x) :=
N
X
j=1
x2j um/at a = (0, 0)T .
Aufgabe/Problem 21: (4 Punkte/4 points)
Sei A ⊂ R2 konvex und f : A → R eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. / Let A ⊂ R2 be convex and
f : A → R be a twice continuously differentiable function.
a) Man gebe die Determinante der Hesseschen Matrix an /compute the determinant of the Hessian
|(D2 f )(x)|;
b) berechne wie in a)/ compute as in a) |(D2 f )(x)| für f : R2 → R, f (x1 , x2 ) := 3x12 + 4x22 ;
c) man berechne die Eigenwerte von/compute the eigenvalues of (D2 f )(x). Was läßt sich daraus im Hinblick
auf Konvexität/Konkavität von f schliessen ?
Aufgabe/Problem 22: (6 Punkte/6 points)
Definitionen/Definitions:
√
(i) Bezeichne i die positive Wurzel aus −1, d.h. i := −1, woraus i 2 = −1 folgt. Eine komplexe Zahl z ist
dann ein Ausdruck der Form z = x + iy, wobei x, y reelle Zahlen sind. Dabei heißt x ∈ R Realteil und y ∈ R
Imaginärteil von z.
√
Let i be the positive root of −1, i.e., i := −1 which implies i 2 = −1. A complex number z is a term of
the form z = x + iy, where x, y ∈ R. The term x ∈ R is called real part and y ∈ R imaginary part of z.
(ii) Der Körper der komplexen Zahlen C ist als C := {x + iy : x, y ∈ R} definiert. Eine komplexe Zahl mit
Realteil gleich Null (x = 0, also z = 0 + iy = iy) wird als rein imaginär und eine komplexe Zahl mit
Imaginärteil gleich Null (y = 0, also z = x + i0 = x) als rein reell bezeichnet.
The field of complex numbers C is defined as C := {x + iy : x, y ∈ R}. A complex number with vanishing
real part (x = 0, i.e., z = 0 + iy = iy) is called purely imaginary and a complex number with vanishing
imaginary part (y = 0, also z = x + i0 = x) purely real.
(iii) Seien z1 , z2 ∈ C komplexe Zahlen mit z1 = x1 + iy1 und z2 = x2 + iy2 . Die Addition in C wird gebildet als
Let z1 , z2 ∈ C such that z1 = x1 + iy1 and z2 = x2 + iy2 . The addition in C is computed as
z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 ) = x1 + iy1 + x2 + iy2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ).
Die Multiplikation zweier Zahlen in C ist/ The multiplikation of two numbers in C is
z1 z2
=
(x1 + iy1 )(x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1 iy2 + iy1 x2 + iy1 iy2 = x1 x2 + i 2 y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 )
=
x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ).
(iv) Zu einer komplexen Zahl z := x + iy definiere die komplex konjugierte Zahl z̄ ∈ C durch z̄ := x − iy.
For a complex number z := x + iy its complex conjugate z̄ ∈ C is defined as z̄ := x − iy.
Aufgaben/Problems:
a) Berechnen Sie das Produkt z z̄ für eine komplexe Zahl z := x + iy.
Compute the product z z̄ for a complex number z := x + iy.
b) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix/ Compute the eigenvalues of the matrix A =
0
2
!
−2
.
0
c) Bestimmen Sie jeweils einen Eigenvektor (EV) zu jedem Eigenwert (EW) der Matrix A aus dem Aufgabenteil b) durch Lösung der Gleichung Av = λv, wobei λ ein EW von A ist.
Hinweis: Die Eigenvektoren zu jedem EW λ bilden einen Untervektorraum, d.h. ist v = (z1 , z2 )T ∈ C 2 ein
EV zum EW λ, so ist auch αv ein EV zu λ für jedes α ∈ C. Daher kann man bei der Berechnung eines
Eigenvektors (z1 , z2 )T die erste Komponente des gesuchten Eigenvektors auf Eins normieren; in diesem
Fall sucht man also einen EV von der Form (1 + i0, z2 )T = (1, z2 )T ∈ C 2 .
Compute an eigenvector (EV) each for every eigenvalue (EW) of the matrix A from b) by solving the
equation Av = λv where λ is an EW of A.
Hint: The eigenvectors for every EW λ constitute a subspace of a vector space, i.e., if v = (z1 , z2 )T ∈ C 2
is an EV belonging to EW λ, so is αv an EV for λ for any α ∈ C. Therefore, one can compute an (z1 , z2 )T
by normalizing the first component of the desired eigenvector to one; in this case, one looks for an EV
of the form (1 + i0, z2 )T = (1, z2 )T ∈ C 2 .