Mengen - Bildungsportal Sachsen

Mengen
Lösungen zu den Aufgaben M.1. – M.4.
Im folgenden bedeuten:
N = {0, 1, 2, . . .} - Menge der natürlichen Zahlen
R - Menge der reellen Zahlen
R2 - Menge der geordneten Zahlenpaare (x, y) mit x, y ∈ R
In den folgenden Bildern gehören Punkte auf durchgängigen Linien zu den
abgebildeten Mengen, während Punkte auf gestrichelten Linien nicht dazu gehören.
Bei Intervallen bedeutet eine eckige Klammer, dass die Zahl dazu gehört, während
eine runde Klammer bedeutet, dass die Zahl nicht dazu gehört.
Aufgabe M.1.
Gegeben seien die Mengen
A = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6}
B = {x ∈ R | x ≥ 4}
C = {x ∈ N | x ≤ 4}.
Beschreiben Sie (gegebenenfalls durch Aufzählung der Elemente oder am Zahlenstrahl) die Mengen:
A∩B
A∪B
A∩B∩C
A∪B∪C
(A ∩ B) ∪ C
A ∩ (B ∪ C)
Lösung von Aufgabe M.1.
A = {x ∈ N | 1 ≤ x ≤ 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {x ∈ R | x ≥ 4} = [4, ∞)
C = {x ∈ N | x ≤ 4} = {0, 1, 2, 3, 4}
A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ [4, ∞) = {4, 5, 6}
(A ∩ B enthält alle x−Werte, die sowohl rot als auch blau sind.)
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ [4, ∞) = {1, 2, 3} ∪ [4, ∞)
(A ∪ B enthält alle x−Werte, die rot oder blau oder beides sind.)
Lösung von Aufgabe M.1.
A ∩ B ∩ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ [4, ∞) ∩ {0, 1, 2, 3, 4} = {4}
(A ∩ B ∩ C enthält alle x−Werte, die gleichzeitig rot, blau und grün sind.)
A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∪ [4, ∞) ∪ {0, 1, 2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3} ∪ [4, ∞)
(A ∪ B ∪ C enthält alle x−Werte, die mindestens eine der Farben rot, blau und grün haben.)
Lösung von Aufgabe M.1.
(A ∩ B) ∪ C
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ [4, ∞) ∪ {0, 1, 2, 3, 4}
= {4, 5, 6} ∪ {0, 1, 2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}
((A ∩ B) ∪ C enthält alle x−Werte, die rot oder grün oder beides sind.)
A ∩ (B ∪ C)
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ [4, ∞) ∪ {0, 1, 2, 3, 4}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ∩ [4, ∞) ∪ {0, 1, 2, 3} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A
(A ∩ (B ∪ C) enthält alle x−Werte, die gleichzeitig rot und blau sind.)
Aufgabe M.2.
Gegeben seien in der (x, y)−Ebene die folgenden Mengen
K1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 4}
√
K2 = {(x, y) ∈ R2 | y = 3x}
M1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4}
√
M2 = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 3x}
K3 = {(x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 = 4}
M3 = {(x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 < 4}
(a) Ermitteln Sie
K1 ∩ K2
K1 ∩ K3
K2 ∩ K3
(b) Stellen Sie graphisch dar:
K 1 ∩ M1
K2 ∪ M2
K 3 ∩ M3
M1 ∩ M2
M1 ∩ M3
M2 ∩ M3
M1 ∩ M2 ∩ M3
M1 ∪ M3
(M1 ∩ M3 ) ∪ M2
Lösung von Aufgabe M.2. (a)
K1 ∩ K2 = {(x, y) ∈ R2 | (x2 + y 2 = 4) ∧ (y =
√
√
⇒
3x in die Gleichung x2 + y 2 = 4 ein:
√
x2 + ( 3x)2 = 4
⇒
x2 + 3x2 = 4
⇔
4x2 = 4
⇔
x2 = 1
Setzen y =
y
y
3x)}
x1,2 = ±1
√
√
3x1,2 = ± 3
y1,2 =
Damit erhalten wir zwei Schnittpunkte:
√
√
P1 (x1 , y1 ) = (−1, − 3) und P2 (x2 , y2 ) = (1, 3)
√
√
⇒ K1 ∩ K2 = {(−1, − 3), (1, 3)}
Lösung von Aufgabe M.2. (a)
K1 ∩ K3 = {(x, y) ∈ R2 | (x2 + y 2 = 4) ∧ ((x − 2)2 + y 2 = 4)}
Stellen beide Gleichungen nach 4 − y 2 um und setzen gleich:
x2 = 4 − y 2 und (x − 2)2 = 4 − y 2
⇒
x2 = (x − 2)2
⇔
x2 = x2 − 4x + 4
⇔
4x − 4 = 0
y
x1 = 1
Damit ergibt sich für y die Gleichung: 12 = 4 − y 2
⇔
y
y2 = 3
√
y1,2 = ± 3
Damit erhalten wir zwei Schnittpunkte:
√
√
P1 (x1 , y1 ) = (1, − 3) und P2 (x1 , y2 ) = (1, 3)
√
√
⇒ K1 ∩ K3 = {(1, − 3), (1, 3)}
Lösung von Aufgabe M.2. (a)
K2 ∩ K3 = {(x, y) ∈ R2 | (y =
√
3x) ∧ ((x − 2)2 + y 2 = 4)}
√
⇒
3x in die Gleichung (x − 2)2 + y 2 = 4 ein:
√
(x − 2)2 + ( 3x)2 = 4
⇒
x2 − 4x + 4 + 3x2 = 4
⇔
4x2 − 4x = 0
⇔
4x(x − 1) = 0
y
x1 = 0 und x2 = 1
√
√
√
y1 = 3x1 = 0 und y2 = 3x2 = 3
Setzen y =
y
Damit erhalten wir zwei Schnittpunkte:
P1 (x1 , y1 ) = (0, 0) und P2 (x2 , y2 ) = (1,
⇒ K2 ∩ K3 = {(0, 0), (1,
√
3)}
√
3)
Lösung von Aufgabe M.2. (b)
K1 ∩ M1
= {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 4 ∧ x2 + y 2 ≤ 4}
= {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 4} = K1
(K1 ∩ M1 enthält alle Punkte (x, y),
die gleichzeitig blau und dunkelblau sind.)
K2 ∪ M2
√
√
= {(x, y) ∈ R2 | y = 3x ∨ y ≥ 3x}
√
= {(x, y) ∈ R2 | y ≥ 3x} = M2
(K2 ∪ M2 enthält alle Punkte (x, y),
die grün oder dunkelgrün oder beides
sind.)
Lösung von Aufgabe M.2. (b)
K3 ∩ M3
= {(x, y) ∈ R2 | (x − 2)2 + y 2 = 4 ∧ (x − 2)2 + y 2 < 4} = ∅
(K3 ∩ M3 enthält alle Punkte (x, y),
die gleichzeitig rot und dunkelrot sind.)
M1 ∩ M2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4 ∧ y ≥
√
3x}
(M1 ∩ M2 enthält alle Punkte (x, y),
die gleichzeitig blau und grün sind.)
Lösung von Aufgabe M.2. (b)
M1 ∩ M3 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4 ∧ (x − 2)2 + y 2 < 4}
(M1 ∩ M3 enthält alle Punkte (x, y),
die gleichzeitig rot und blau sind.)
M2 ∩ M3 = {(x, y) ∈ R2 | y ≥
√
3x ∧ (x − 2)2 + y 2 < 4}
(M2 ∩ M3 enthält alle Punkte (x, y),
die gleichzeitig rot und grün sind.)
Lösung von Aufgabe M.2. (b)
M1 ∩ M2 ∩ M3 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4 ∧ y ≥
√
3x ∧ (x − 2)2 + y 2 < 4}
(M1 ∩ M2 ∩ M3 enthält alle Punkte
(x, y), die gleichzeitig rot, blau und
grün sind.)
M1 ∪ M3 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4 ∨ (x − 2)2 + y 2 < 4}
(M1 ∪ M3 enthält alle Punkte (x, y),
die rot oder blau oder beides sind.)
Lösung von Aufgabe M.2. (b)
√
(M1 ∩ M3 ) ∪ M2 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 4 ∧ (x − 2)2 + y 2 < 4 ∨ y ≥ 3x}
((M1 ∩M3 )∪M2 enthält alle Punkte
(x, y), die orange oder grün oder beides
sind.)
Aufgabe M.3.
Sei
A = {x ∈ R | (0 ≤ x ≤ 1) ∨ (x = 3)}
B = {y ∈ R | (1 < y ≤ 3) ∨ (y = 4) ∨ (5 ≤ y < 6)}.
Skizzieren Sie
A × B = {(x, y) | (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)}
in der (x, y)−Ebene.
Lösung von Aufgabe M.3.
A × B besteht aus allen Punkten (x, y) für deren x−Koordinate 0 ≤ x ≤ 1 oder x = 3
und für deren y−Koordinate 1 < y ≤ 3 oder y = 4 oder 5 ≤ y < 6 gilt.
A × B ist daher die Vereinigung der folgenden 6
Teilmengen:
M1 ={(x, y) ∈ R2 | (0 ≤ x ≤ 1) ∧ (1 < y ≤ 3)}
M2 ={(x, y) ∈ R2 | (0 ≤ x ≤ 1) ∧ (y = 4)}
={(x, 4) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1}
M3 ={(x, y) ∈ R2 | (0 ≤ x ≤ 1) ∧ (5 ≤ y < 6)}
M4 ={(x, y) ∈ R2 | (x = 3) ∧ (1 < y ≤ 3)}
={(3, y) ∈ R2 | 1 < y ≤ 3}
M5 ={(x, y) ∈ R2 | (x = 3) ∧ (y = 4)} = {(3, 4)}
M6 ={(x, y) ∈ R2 | (x = 3) ∧ (5 ≤ y < 6)}
={(3, y) ∈ R2 | 5 ≤ y < 6}
(Hinweis zum Bild: Die Punkte auf einer durchgängigen Linie und die gefüllten
Punkte gehören zur Menge, während die Punkte auf einer gestrichelten Linie und
die nicht gefüllten Punkte nicht dazu gehören. )
Aufgabe M.4.
Gegeben seien die Intervalle
J1 = {x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 2} = [−2, 2],
J2 = {x ∈ R | −3 < x ≤ 4} = (−3, 4],
J3 = {x ∈ R | 0 ≤ x < ∞} = [0, ∞),
J4 = {x ∈ R | 2 ≤ x < 4} = [2, 4).
Ermitteln Sie und schreiben Sie - wenn möglich - als Intervall:
J1 ∩ J2
J1 ∩ J3
J1 ∩ J4
J1 ∪ J2
J1 ∪ J3
J1 ∪ J4
Lösung von Aufgabe M.4.
J1 ∩ J2 = [−2, 2] ∩ (−3, 4] = [−2, 2] = J1
(J1 ∩ J2 enthält alle x−Werte, die gleichzeitig rot und blau sind.)
J1 ∩ J3 = [−2, 2] ∩ [0, ∞) = [0, 2]
(J1 ∩ J3 enthält alle x−Werte, die gleichzeitig blau und grün sind.)
J1 ∩ J4 = [−2, 2] ∩ [2, 4) = {2}
(J1 ∩ J4 enthält alle x−Werte, die gleichzeitig blau und orange sind.)
Lösung von Aufgabe M.4.
J1 ∪ J2 = [−2, 2] ∪ (−3, 4] = (−3, 4] = J2
(J1 ∪ J2 enthält alle x−Werte, die rot oder blau oder beides sind.)
J1 ∪ J3 = [−2, 2] ∪ [0, ∞) = [−2, ∞)
(J1 ∪ J3 enthält alle x−Werte, die blau oder grün oder beides sind.)
J1 ∪ J4 = [−2, 2] ∪ [2, 4) = [−2, 4)
(J1 ∪ J4 enthält alle x−Werte, die blau oder orange oder beides sind.)