Mathematische Kontinuumsmechanik. Relativität

1
Technische Universität München 2014
Mathematische
Kontinuumsmechanik.
Relativität
Prof. Dr. H.W. Alt
Version: 20140714
©
Copyright 2012-2014
Letzte Änderung: 20.04.2014
Prof. Dr. H.W. Alt
Dieses Skript wird parallel zu der Vorlesung erstellt. Diese aktuelle Version
ist für Studenten der Vorlesung gedacht.
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
2
To my parents
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
Inhalt
I
Beobachtertransformationen
1
Gruppeneigenschaft . . . . . .
2
Galilei Transformationen . . . .
3
Lorentz Transformationen . . .
4
Theorem on second derivatives
5
Übungen . . . . . . . . . . . . .
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6
7
10
16
24
26
II Massenerhaltung
27
1
Skalare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Massenpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
III Elektrodynamik
35
1
Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3
INHALT
4
Einführung
Die Naturwissenschaft braucht der Mensch
zum Erkennen, den Glauben zum Handeln.
Max Planck (1858-1947)
Die mathematische Modellierung physikalischer Phänomene führt zu Erhaltungsgleichungen, die von allen Beobachtern gleich formuliert werden
müssen. Dieser Satz erhält schon die Relativität aller physikalischen Theorien. Aus diesem Grunde haben wir in [1] folgende Prinzipien für die Kontinuumsmechanik aufgestellt:
ˆ Formulierung mit Erhaltungssätzen
ˆ Objektivität bzw. Beobachterunabhängigkeit
ˆ Gültigkeit des Entropieprinzips
Dabei ist die Formulierung von Erhaltungssätzen der Kontinuumsmechanik
geschuldet. Diese enthalten physikalische Größen, deren Definition durch
die Objektivität gegeben ist. Das heißt, physikalische Größen sind relativ
definiert in einer wohlbedachten Weise, und zwar hängen sie von dem Satz
von Beobachtertransformationen ab, die der Theorie zugrunde liegt. Wir
hatten schon in [1] verschiedene Klassen von Transformationen kennengelernt, die Newton-Transformationen und die Lorentz-Transformationen.
Wir werden diese Transformationen auf eine gemeinsame Grundlage stellen,
um so klarzumachen, wie die “relativistische Physik” mit der “klassischen
Physik” zusammenhängt. Unabhängig davon gilt das letzte Prinzip, das “Entropieprinzip”. Es drückt aus, dass die Zeit nur in einer Richtung laufen
kann. Es drückt weiter aus, dass es verschiedene Phänomene gibt, die (fast)
keine Entropieproduktion erzeugen. Und wenn sie eine (auch nur sehr kleine)
Entropieproduktion besitzen, muss diese eine Vorzeichen haben.
Die Grundlage für die Relativitätstheorie ist die endliche Ausbreitung des
Lichts. Die Geschwindigkeit des Lichtes wurde mit
c = 2.99792458 · 108
author: H.W. Alt
title: Relativity
m
s
(0.1)
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INHALT
5
gemessen (c lat.: celeritas), d.h. dies ist der Wert im “Vakuum”, d.h. ohne
die Störung von irgendeiner Materie. Sie liegt also bei ca. 300000 Kilometer
pro Sekunde. Die Lichtgeschwindigkeit in einem Medium ist kleiner. Das
mag man sich mit der Partikelvorstellung am besten klarmachen. Photonen
stoßen in einem Medium mit den vorhandenen Partikeln zusammen und
werden so gebremst. Die Messergebnisse sagen, dass in bodennaher Luft die
km
Lichtgeschwindigkeit ca. 299710 km
s beträgt, in Wasser ca. 225000 s und in
Gläsern mit hoher optischer Dichte ca. 160000 km
s .
[Wikipedia: Lichtgeschwindigkeit]: Seit 1983 wird das Meter über
diejenige Entfernung definiert, die Licht im 299792458-ten Bruchteil einer Sekunde zurücklegt. Präzise Entfernungsmessungen werden heute direkt
auf die Lichtgeschwindigkeit bezogen, z.B. bei Laserentfernungsmessern oder
beim GPS (Global Positioning System).
Das Licht braucht also ca. 8 Minuten von der Sonne zur Erde, denn die
Entfernung der Erde zur Sonne ist ca. 149,6 Millionen Kilometer, genauer
zwischen 147,1 Mkm und 152,1 Mkm [Wikipedia: Sonne]. Desweiteren wurde
festgestellt, “dass die Geschwindigkeit von Licht im Vakuum unabhängig ist
von der Geschwindigkeit des zum Nachweis verwendeten Empfängers und
von der Geschwindigkeit der Lichtquelle.” [Wikipedia: Michelson-MorleyExperiment] Bei einer Entfernung der Erde von durchschnittlich 149,6 Mkm
von der Sonne ist die Geschwindigkeit der Erde (bei in Ruhe befindlicher
Sonne) etwa
2π · 149, 6 M km
2π · 149, 6 · 106 km
km
km
=
= 29, 79
≈ 30
.
365, 25 dies
365, 25 · 86400 s
s
s
Das ergibt einmal eine Bewegung von einer Lichtquelle weg und nach
einem halben Jahr auf die Lichtquelle zu, also insgesamt 0,02% der
Lichtgeschwindigkeit. Es wurde aber immer dieselbe Lichtgeschwindigkeit
gemessen.
Tests der speziellen Relativitätstheorie werden bis heute durchgeführt. Sie
waren für die Entwicklung und Akzeptanz der Theorie von entscheidender
Bedeutung, wobei moderne Experimente in Übereinstimmung mit der Theorie sind.
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I Beobachtertransformationen
In der Relativitätstheorie ist es besonders wichtig, das Prinzip der Objektivität zu betrachten, d.h. den Transfer von Daten zwischen verschiedenen
Beobachtern.
Abbildung 1: Physikalische Raumzeit
6
I.1 Gruppeneigenschaft
1
7
Gruppeneigenschaft
Wir betrachten allgemein einen Beobachter mit Koordinaten (es ist n = 3)
y = (y0 , y1 , . . . , yn ) ∈ Rn+1
und einer ausgezeichneten Matrix
G : Rn+1 → R(n+1)×(n+1) .
Ein anderer Beobachter habe die Koordinaten y ∗ und eine Matrix G∗ . Eine
Beobachtertransformation für diese beiden Beobachter ist gegeben durch
eine Funktion oder Abbildung Y , also
y = Y (y ∗ ) ,
wenn die folgende Transformationsformel
1
G◦Y = DY G∗ (DY )T
(I1.1)
gilt, was in Koordinaten für alle Indices k, l = 0, 1, . . . , n heißt
Gkl ◦Y =
n
P
Yk 0 k̄ Yl 0 l̄ G∗k̄l̄ .
(I1.2)
k̄,l̄=0
Wir gehen davon aus, dass DY in jedem Punkte invertierbar ist. Im Falle,
dass G invertierbar ist (und nur dann (!)) gilt
1.1 Lemma. Ist die Matrix G (oder G∗ ) invertierbar, so gilt
G∗−1 = (DY )T (G−1 ◦Y )DY .
Beweis. Taking the inverse in (I1.1) one gets
G−1 ◦Y = DY G∗ (DY )T
−1
= (DY )−T G∗−1 (DY )−1 .
Multiplying this equation from the left by (DY )T and from the right by DY
the assertion follows.
Die fundamentale Bedeutung der Gleichung (I1.1) wird durch das Folgende
verdeutlicht.
1.2 Zugehörige Geometrie. Sei Y eine Beobachtertransformation wie
oben beschrieben. Ist die Matrix G (oder G∗ ) invertierbar, so gilt
n
P
(G(y)−1 )ij yi 0 s yj 0 s =
i,j=0
1
n
P
(G∗ (y ∗ )−1 )ij yi∗0 s yj∗ 0 s
i,j=0
Mit DY ist immer die gesamte Ableitung Dy∗ Y gemeint.
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I.1 Gruppeneigenschaft
8
für jede lokale Kurve s 7→ y ∗ (s) ∈ Rn , y(s) = Y (y ∗ (s)). Dies kann auch
geschrieben werden als
y 0 s • G(y)−1 y 0 s = y ∗0 s • G∗ (y ∗ )−1 y ∗0 s .
Bedeutung: Dies definiert ein lokales Skalarprodukt, das unabhängig vom
Beobachter ist, d.h. wenn die Punkte gemäß y(s) = Y (y ∗ (s)) gewählt werden.
Hinweis: In der Literatur wird dies geschrieben als
n
P
(G(y)−1 )AB dyA dyB =
A,B=0
n
P
∗
∗
(G∗ (y ∗ )−1 )CD dyC
dyD
C,D=0
wenn
(G(y)−1 )AB =
∗ ∂y ∗
n
P
∂yC
D
(G∗ (y ∗ )−1 )CD .
C,D=0 ∂yA ∂yB
Beweis Hinweis. In unserer Notation ist die letzte Gleichung die Identität
in 1.1.
Beweis. From y(s) = Y (y ∗ (s)) we compute y 0 s (s) = DY (y ∗ (s))y ∗0 s (s), and
therefore, with the result in 1.1,
y ∗0 s • G∗ (y ∗ )−1 y ∗0 s = y ∗0 s • DY (y ∗ )T G(y)−1 DY (y ∗ ) y ∗0 s
= DY (y ∗ )y ∗0 s • G(y)−1 DY (y ∗ )y ∗0 s = y 0 s • G(y)−1 y 0 s .
Bei G handelt es sich um eine Matrix, die in der Formulierung von physikalischen Gesetzen eines Beobachters auftreten kann, sie ist ja eine Größe für den
Beobachter. Also ist G eine physikalische Größe, ihr Transformationsverhalten ist in (I1.1) gegeben. Diese Transformationsformel, also (I1.1), gibt
gleichzeitig Bedingungen an die Gestalt der Transformation Y , in der klassischen Physik ist das die Tatsache der Drehung im Raume (siehe Abschnitt
2). Es werden natürlich Bedingungen an die Klasse der Matrizen G gestellt.
Wenn darauf verzichtet wird, kann man G durch die Gleichung (I1.1) als
Definition auffassen, wenn G∗ und Y gegeben sind. Das wird in Abschnitt
?? von Bedeutung sein. Unabhängig davon gilt die Gruppeneigenschaft.
1.3 Gruppeneigenschaft. Die Menge der Beobachtertransformationen
bildet mit der Hintereinanderschaltung eine “Gruppe” mit Y = Id als Einheit. Das heißt, wenn y 2 = Y21 (y 1 ) eine Transformation von den Koordinaten
y 1 mit Matrix y 1 7→ G1 (y 1 ) in die Koordinaten y 2 mit Matrix y 2 7→ G2 (y 2 )
ist und y 3 = Y32 (y 2 ) eine Transformation von den Koordinaten y 2 mit der
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I.1 Gruppeneigenschaft
9
Matrix y 2 7→ G2 (y 2 ) in die Koordinaten y 3 mit Matrix y 3 7→ G3 (y 3 ), so
ist y 3 = Y32 ◦ Y21 (y 1 ) eine Transformation von den Koordinaten y 1 in die
Koordinaten y 3 .
Beweis. Sind Beobachter mit Koordinaten y α und Matrizen Gα für α =
1, 2, 3 gegeben, und sind y 2 = Y21 (y 1 ) und y 3 = Y32 (y 2 ) zwei Transformationen mit
G2 ◦Y21 = DY21 G1 DY21T und G3 ◦Y32 = DY32 G2 DY32T ,
so folgt
G3 ◦(Y32 ◦Y21 ) = (G3 ◦Y32 )◦Y21 = (DY32 G2 DY32T )◦Y21
= ((DY32 )◦Y21 )DY21 G1 DY21T ((DY32 )◦Y21 )T
= D(Y32 ◦Y21 )G1 D(Y32 ◦Y21 )T ,
d.h. Y32 ◦Y21 ist eine Beobachtertransformation von Beobachter 1 nach Be−1
)=
obachter 3. Außerdem folgt aus G2 ◦Y21 = DY21 G1 DY21T wegen D(Y21
−1
(DY21 )◦Y21 die Gleichung
−1 T
−1
) ◦Y21 ,
)G2 (DY21
G1 = (DY21 )−1 (G2 ◦Y21 ) (DY21 )−T = D(Y21
−1
ist eine Beobachtertransformation von Beobachter 2 nach Beobd.h. Y21
achter 1. Die Aussage für die Einheit folgt analog.
Eine spezielle Matrix ist gegeben durch


0 0 ··· 0
0 1
0
0


G∞ := 
=
..

0
.
0
0 0
1
sie ist relevant für die
Transformationen sind durch
ist die Matrix
 1
−
0
 c2

1
Gc :=  0
 0
0
0
0
Id
,
klassische Physik, die linearen Galileisie definiert (siehe 2.2). Ein weiteres Beispiel
···
..
.

0
"
1

− 2
0
=

c

0
#
0
,
Id
c > 0.
1
Die Matrizen G∞ und Gc sind konstant. Wir werden sehen, dass die linearen
Transformationen, welche (I1.1) mit der konstanten Matrix Gc erfüllen, gerade die Lorentz-Transformationen sind (siehe 3.2). Lineare Transformationen haben die Gestalt
∗ ∗
t
t
t0
t − t∗0
= Y
:=
+M
(I1.3)
x
x∗
x0
x∗ − x∗0
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I.2 Galilei Transformationen
10
mit einer Matrix M und mit zwei gegebenen Punkten (t0 , x0 ) und (t∗0 , x∗0 ).
Es gilt
1.4 Lemma. Die linearen Transformationen bilden eine Untergruppe der
Gruppe aller Transformationen.
Weiter gilt
1.5 Lemma. Konvergiert eine Folge von linearen Transformationen von
(I1.1) mit G = Gc = G∗ für c → ∞, so konvergiert sie gegen eine Lösung Y
von
(I1.4)
G∞ = DY G∞ (DY )T mit Y0 0 0 = 1 .
Damit haben die klassischen Galilei-Lösungen, wenn sie als Limes von
Lorentz-Lösungen definiert sind, die Eigenschaften (I1.4). Außerdem gilt
1.6 Bemerkung. Wenn relativistisch Situationen betrachtet werden, bei
denen Terme mit 1c vernachlässigt werden können, sind wir zurück in der
klassischen Physik.
2
Galilei Transformationen
Die in diesem Abschnitt relevante Matrix ist


0 0 ··· 0
0 1
0
0


G∞ := 
=
..

0
.
0
0 0
1
0
.
Id
Sie steht im Zusammenhang mit den Galilei Transformationen
∗ ∗
t
t
t0
t − t∗0
=Y
:=
+
G(V,
Q)
,
x
x∗
x0
x∗ − x∗0
(I2.1)
mit einer Galilei’schen Matrix
1
G(V, Q) :=
V
0
.
Q
(I2.2)
Hier ist V ∈ Rn die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Beobachtern, und Q ist eine orthonormale Transformation des Rn mit Determinante
1, d.h. eine Transformation mit QT Q = Id und det Q = 1.
The following is well known concerning the matrix Q.
2.1 Lemma. 2 Let N ∈ N and a transformation Q : RN → RN be given. The map Q is
called orthonormal transformation, if
(Qz1 )•(Qz2 ) = z1 •z2 for all z1 , z2 ∈ RN .
2
Dies wurde schon in [1, Lemma I.1.1] gezeigt.
author: H.W. Alt
title: Relativity
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I.2 Galilei Transformationen
11
(1) Q is an orthonormal transformation if and only if QT Q = Id. Then Q−1 = QT , and
in addition Q QT = Id.
(2) If Q QT = Id, then QT Q = Id. Hence the transformation Q is orthonormal and
Q−1 = QT .
Beweis (1). If QT Q = Id, then
(Qz1 )•(Qz2 ) = (Qz1 )T Qz2 = z1T QT Qz2 = z1T z2 = z1 •z2 ,
(I2.3)
that is Q is orthonormal. It follows also from QT Q = Id, that Q is injective. Hence Q
is surjective, and since (Q QT )Q = Q(QT Q) = QId = Q, the surjectivity of Q implies
Q QT = Id. Then QT = Q−1 .
Beweis (2). If Q QT = Id, then QT is injective, hence also Q. Further Q(QT Q) =
(Q QT )Q = IdQ = Q, and the injectivity of Q implies QT Q = Id. Therefore Q is an
orthonormal matrix, see proof of (1), and finally QT = Q−1 .
We now show, that Galilei transformations are the transformations which
satisfy equation (I1.4).
2.2 Theorem. The following sets of matrices are the same.
(1) The set of all matrices
M = G(V, Q)
with a vector V ∈ Rn and an orthonormal transformation Q : Rn → Rn
satisfying det Q > 0.
(2) The set of all matrices M satisfying
G∞ = M G∞ M T mit M00 = 1
(I2.4)
and det M > 0.
Remark: For the determinant one gets det M = det G(V, Q) = det Q = 1.
Beweis of Remark. We use (1) and obtain det G(V, Q) = det Q = 1, since it
is assumed that det Q > 0, and QT Q = Id implies (det Q)2 = 1.
Beweis (1)⇒(2). As an orthonormal matrix Q satisfies QT Q = Id, hence by
the lemma 2.1 also Q QT = Id, which is equivalent to
1 0
0 0
1 VT
0 0
=
.
V Q
0 Id
0 QT
0 Id
author: H.W. Alt
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I.2 Galilei Transformationen
12
Beweis (2)⇒(1). Let us assume that a matrix
λ `T
M=
m R
satisfies equation
λ `T
m R
0
0
0
Id
λ `T
m R
in the assertion. This is equivalent to
T
0
` ` (R`)T
=
T
0
R` R R
0
=
0
0
Id
0
,
Id
that is
` = 0,
R RT = Id.
Hence it follows from 2.1(2), that R is an orthonormal transformation. Since
λ = M00 = 1 by the assertion, it follows that M = G(m, R). And since
0 ≤ det M = det R and R is an orthonormal transformation it follows that
det R = 1.
Because of equation (I2.4) it is easy to see that Galilei transformations have
the following property.
2.3 Lemma. The Galilei transformations Y (that is transformations Y satisfying (I2.1)) are a subgroup of the group of all transformations satisfying
(I1.1). The inverse of G(V, Q) is
G(V, Q)−1 = G(− QT V, QT ) .
Beweis. Use 2.2(2) and apply 1.3. Show G(V, Q)G(− QT V, QT ) = Id and
G(− QT V, QT )G(V, Q) = Id.
Beweis direkt. Sind G(V12 , Q12 ) und G(V23 , Q23 ) zwei Matrizen, so ist die
Matrixmultiplikation gegeben durch
1
0
G(V12 , Q12 )G(V23 , Q23 ) =
= G(V13 , Q13 ) ,
V12 + Q12 V23 Q12 Q23
wenn
V13 := V12 + Q12 V23 und Q13 := Q12 Q23 .
Es ist Q13 eine Matrix, welche ebenfalls eine orthogonale Transformation
mit Determinante 1 ist. Setzen wir speziell G(V13 , Q13 ) = G(0, Id) = Id,
also V12 + Q12 V23 = V13 = 0 und Q12 Q23 = Q13 = Id, so gilt
V23 = − Q12T V12
und
Q23 = Q12T ,
also ist G(− Q12T V12 , Q12T ) die Rechtsinverse von G(V12 , Q12 ). Ebenso folgt
dass G(− Q23T V23 , Q23T ) die Linksinverse von G(V23 , Q23 ) ist. Das führt nun
zur Gruppeneigenschaft für die Galilei Transformationen.
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I.2 Galilei Transformationen
13
Wir betrachten nun nichtlineare Transformationen, die auch beschleunigte
Bewegungen und Drehungen zulassen: Es sind die Newton Transformationen. These are observer transformations Y of the form
∗ t∗ + a
T (t∗ )
t
t
,
(I2.5)
=
=
=Y
Q(t∗ )x∗ + b(t∗ )
X(t∗ , x∗ )
x∗
x
where a ∈ R and b : R → Rn and Q : R → Rn×n , where Q(t∗ ) is an orthonormal matrix, that is Q(t∗ )T Q(t∗ ) = Id, and det Q(t∗ ) = 1. Die Ableitung
einer Newton-Transformation Y ist
1 0
D(t∗ ,x∗ ) Y = (Yk 0 l )k,l=0,...,n =
,
Ẋ Q
wobei Ẋ die Zeitableitung
Ẋ(t∗ , x∗ ) :=
∂
X(t∗ , x∗ ) = Q̇(t∗ )x∗ + ḃ(t∗ )
∂t∗
ist, und Q̇ und ḃ bezeichnen ebenfalls die Zeitableitung. Also this class of
transformations satisfies the axioms of a group, as we will show now.
2.4 Lemma. The Newton transformations Y (that is transformations Y
satisfying (I2.5)) fulfill the axioms of a group. The inverse of
∗ t + a∗
t
t∗ + a
t
=
=
is
x
Q(t∗ )x∗ + b(t∗ )
x∗
Q∗ (t)x + b∗ (t)
where
a∗ = −a ,
Q∗ (t) = Q(t − a)T ,
b∗ (t) = − Q(t − a)T b(t − a).
The Galilei transformations are a subgroup. The linear approximation of a
Newton transformation is a Galilei’an transformation.
Beweis. If
t2
t3 + a23
t1
t2 + a12
=
and
=
,
x2
Q23 (t3 )x3 + b23 (t3 )
x1
Q12 (t2 )x2 + b12 (t2 )
then
t1
x1
t3 + a23 + a12
=
Q12 (t2 )(Q23 (t3 )x3 + b23 (t3 )) + b12 (t3 + a23 )
t3 + a13
=
Q13 (t3 )x3 + b13 (t3 )
if we define
a13 := a23 + a12
Q13 (t3 ) := Q12 (t3 + a23 )Q23 (t3 )
b13 (t3 ) := Q12 (t3 + a23 )b23 (t3 ) + b12 (t3 + a23 ).
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I.2 Galilei Transformationen
14
This shows that the convolution is again a Newton transformation. Now
t2 + a12
t1
=
Q12 (t2 )x2 + b12 (t2 )
x1
is equivalent to
t2
x2
t1 − a12
=
−1
Q12 (t1 − a12 ) (x1 − b12 (t1 − a12 ))
which also is again a Newton transformation. This proves the assertion.
This statement can be derived also from the general group property, if we
show that Newton’s transformation can be understood as those nonlinear
transformations, whose Fréchet derivative at every point is a Galilei matrix.
We now prove this theorem.
2.5 Theorem. Consider the class of observer transformations Y , whose
derivative DY (t0 , x0 ) at every spacetime point (t0 , x0 ) is a Galilei’an matrix. Then this class is the group of Newton’ian transformations.
Hinweis: This class is a subgroup of the group of all transformations satisfying (I1.1). We mention that this class of nonlinear Newton transformations
satisfy the property (I1.1) with one matrix G∞ .
Beweis. We consider transformations Y : R × Rn → R × Rn , whose derivative
is given by
DY (t∗ , x∗ ) = G(V (t∗ , x∗ ), Q(t∗ , x∗ )).
(I2.6)
If we write
T (t∗ , x∗ )
Y (t , x ) =
,
X(t∗ , x∗ )
∗
we see that (I2.6) means
T 00
X 00
∗
DT
DX
1
=
V
0
,
Q
that is
T 0 0 = 1,
X 0 0 = V,
DT = 0,
(I2.7)
DX = Q.
Here Q is an orthonormal transformation with QT Q = Id, that is
P
Qik Qil = δkl for k, l = 1, . . . , n.
i≥1
It follows, that
Amkl :=
P
Xi 0 km Xi 0 l
for k, l, m = 1, . . . , n
i≥1
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I.2 Galilei Transformationen
15
satisfies
P
Amkl + Amlk =
Xi 0 km Xi 0 l +
i≥1
P
!
=
P
!
Xi 0 k Xi 0 l
i≥1
Xi 0 k Xi 0 lm
i≥1
P
=
Qik Qil
i≥1
0m
= (δkl ) 0 m = 0 ,
0m
that is, Amkl is antisymmetric in k and l. Since Amkl is symmetric in m and
k, it follows from a known lemma (see Lemma 2.6 below), that the matrix
C = (Akji )i,j,k=1,...,n is zero. Hence, since also Q QT = Id by 2.1, that is
P
Qil Qjl = δij
for i, j = 1, . . . , n,
l≥1
we derive
0=
P
Amkl Qjl =
l
PP
l
Xi 0 km Qil Qjl = Xj 0 km ,
i
that is D2 X = 0. Therefore (t∗ , x∗ ) 7→ X(t∗ , x∗ ) is (affin) linear in x∗ , that
is
X(t∗ , x∗ ) = b̄(t∗ ) + Q̄(t∗ )x∗
with a vector b̄(t∗ ) and a matrix Q̄(t∗ ). Then (I2.7) says Q(t∗ , x∗ ) =
DX(t∗ , x∗ ) = Q̄(t∗ ) is an orthonormal matrix, and (I2.7) also says that
T (t∗ , x∗ ) = t∗ + ā with a constant ā. This results in
t∗ + ā
∗ ∗
Y (t , x ) =
,
b̄(t∗ ) + Q̄(t∗ )x∗
from which the result follows.
2.6 Fundamental lemma. Suppose C = (Cijk )i,j,k=1,...,N is a 3-matrix
in RN with N ≥ 1, which is antisymmetric in the first two indices, and
symmetric in the last two indices. Then C = 0.
Beweis. It is
Clkj
= −Cklj = −Ckjl = Cjkl ,
Clkj
= Cljk = −Cjlk = −Cjkl .
Hence Cjkl = 0.
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I.3 Lorentz Transformationen
3
16
Lorentz Transformationen
In this section we deal with observer transformations for which the matrix

 1
− 2 0 ··· 0
"
#
1

 c
 0

− 2 0
1
0
Gc := 
=
c
..

 0
0
Id
.
0
0
1
for c > 0 is essential. These observer transformations are the Lorentz transformations, which are induced by the following matrices: If V ∈ Rn is a
vector with |V | < c the Lorentz matrix is defined by


γ T
γ
V
Q
c2

,
Lc (V, Q) := 

γ2
T
γV
Id + 2
Q
VV
c (γ + 1)
(I3.1)
1
γ := q
> 1.
2
1 − |Vc2|
Here Q ∈ Rn×n is an orthonormal transformation with positive determinant,
that is QT Q = Id and det Q = 1. The matrix has the decomposition
1 0
Lc (V, Q) = Lc (V, Id)Lc (0, Q) = Lc (V, Id)
0 Q
into a velocity part and a rotation. Written with the components of the
velocity the Lorentz matrix is


γ
γ
γ
γ
V
V
V
1
2
3
c2
c2
c2


2
2
2


γ
γ
γ
2
 γV1 1 +
V1
V1 V2
V1 V3 
2
2
2


c (γ + 1)
c (γ + 1)
c (γ + 1)


2
2
2
Lc (V, Id) = 

γ
γ
γ
2
 γV2

V
V
1
+
V
V
V
1
2
2
3
2


c2 (γ + 1)
c2 (γ + 1)
c2 (γ + 1)


2
2
2


γ
γ
γ
2
γV3
V
V
V
V
1
+
V
1
3
2
3
3
c2 (γ + 1)
c2 (γ + 1)
c2 (γ + 1)
and we can also write


γ T
V
Q
γ
c2


Lc (V, Q) = 

V VT
γV
Id + (γ − 1)
Q
2
|V |
for
0 < |V | < c.
(I3.2)
This is because
γ−1
γ2 − 1
γ2
=
=
.
|V |2
(γ + 1)|V |2
c2 (γ + 1)
There are also different forms of a Lorentz matrix, which are valid for every
vector Ve ∈ Rn , similarly for V̄ ∈ Rn .
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17
3.1 Remark. For V ∈ Rn with |V | < c we used
1
γ := q
1−
|V |2
c2
> 1.
(I3.3)
Then Ve ∈ Rn runs over all of Rn defined by
1
Ve := q
2 V = γV.
1 − Vc Also V̄ ∈ Rn runs over all of Rn defined by
1
γ
V̄ := Ve = V.
c
c
(1) With the definition of Ve ∈ Rn it is
1e
e
2 V = γ V ,
e
1 + Vc V =r
1
v
2
u
Ve u
t
γ = 1+ c
and it follows, that for all orthonormal Q ∈ Rn×n


1 eT
γ
V
Q
e

c2

e c (Ve , Q) := Lc r V
L
,
Q
=

.
T
2
1
e Ve
e
Ve V
Q
V
Id
+
1+c
c2 (γ + 1)
(2) With the definition of V̄ ∈ Rn it is
c
c
V =p
V̄ = V̄ ,
γ
1 + |V̄ |2
γ :=
q
1 + |V̄ |2
and it follows, that for all orthonormal Q ∈ Rn×n


1 T
γ
V̄ Q
cV̄

c

Lc p
,Q
=

1
T
2
1 + |V̄ |
cV̄
Id +
V̄ V̄
Q
γ+1
1 0
= I 1 L(V̄ )Ic
,
c
0 Q
"
#
T
γ̄
V̄
1
L(V̄ ) :=
T ,
V̄ Id +
V̄ V̄
γ̄ + 1
q
a 0
Ia :=
, γ̄ = 1 + |V̄ |2 = γ.
0 Id
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18
Beweis (1). With Ve = γV we compute


γ T
γ
V
Q
c2


Lc (V, Q) = 

V VT
Q
γV
Id + (γ − 1)
|V |2


1 eT
V
Q
γ


c2
T!

= 
e

Ve Ve
V
Id + (γ − 1)
Q
|Ve |2
and
1
|Ve |2
γ−1
= 2
since γ 2 = 1 + 2 .
c (γ + 1)
c
|Ve |2
Beweis (2). With V̄ = γc V we compute


γ T
γ
V Q
2
c


Lc (V, Q) = 

V VT
Q
γV
Id + (γ − 1)
|V |2


1 T
V̄ Q
γ

c
! 

T
= 
V̄ V̄


Id + (γ − 1)
cV̄
Q
2
|V̄ |
and
1
γ−1
=
since γ 2 = 1 + |V̄ |2 .
2
γ+1
|V̄ |
The class of Lorentz matrices give rise to linear observer transformations Y .
Such a mapping is called Lorentz transformation
∗ ∗
t
t
t0
t − t∗0
=Y
:=
+ Lc (V, Q) ∗
,
(I3.4)
x
x∗
x0
x − x∗0
where V ∈ Rn with |V | < c and Q is an orthonormal transformation of Rn
with determinant 1, i.e. QT Q = Id with det Q = 1, and (t0 , x0 ) and (t∗0 , x∗0 )
are two arbitrary spacetime points. The analog to 2.2 is
3.2 Theorem. Let c ∈ R, c > 0. Then the following sets of matrices are the
same.
(1) The set of all matrices M satisfying
Gc = M Gc M T
with the normalization, that M00 ≥ 0 and det M > 0.
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I.3 Lorentz Transformationen
19
(2) The set of all matrices
M = Lc (V, Q)
with V ∈ Rn , |V | < c, and Q an orthonormal matrix with determinant 1.
Remark: For the determinant one gets det M = det Lc (V, Q) = 1.
Beweis Remark. Because Lc (V, Q) = Lc (V, Id)Lc (0, Q) one has to show
det Lc (V, Id) = 1. Since
1
γ
1
= e0 ,
,
=
Lc (V, Id)
0
γV
0
"
1#
0
0
0
γ−
Lc (V, Id)
=
= |V | b ,
γ ,
V
V
V
γV
0
0
Lc (V, Id)
=
,
for e•V = 0,
e
e
with respect to the first two directions Lc (V, Id) has the representation


γ
γ|V |
 1
.
1
γ−
γ
|V |
γ
Die Determinante dieser 2 × 2-Matrix ist gleich 1.
Beweis (2)⇒(1). We take a Lorentz matrix Lc (V, Q) with 0 < |V | < c and
its transposed


γ
γVT
V VT ,
Lc (V, Q)T =  γ T
T
Q
V
Q
Id
+
(γ
−
1)
c2
|V | |V |
s
2
1
|V |
= 1−
,
γ
c
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I.3 Lorentz Transformationen
20
T
and compute with B = Id + (γ − 1) |VV | V|V | , which is a symmetric matrix,
Lc (V, Q)Gc Lc (V, Q)T
#"
#
"
γ T #" 1
γ
γVT
γ
V
Q
−
0
γ T
=
c2
c2
Q V QT B
γV
BQ
0
Id
2
c

#
γ
γ T "
V Q
− 2
γ
γVT
2
c
 γ T
=  γc
Q V QT B
BQ
− 2V
2
c

 c2
γ
γ2 T
γ2 T
γ T
T
T
 − 2 + 4 V Q Q V − c2 V + c2 V Q Q B 
=  c2 c

γ
γ2
γ
− 2 V V T + BQ QT B
− 2 V + 2 BQ QT V
c
c
 2c

1
γ T
γ
T
2
−1
+
|V
|
V
(−γId
+
B)
 2

c2
c2
=c
 = Gc ,
γ
γ2
T
2
(−γId + B)V
− 2V V +B
c2
c
since Q QT = Id and
γ2
c2
|V |2
−1 + 2
c
=−
1
,
c2
(−γId + B)V = −γV + (V + (γ − 1)V ) = 0 ,
B 2 = Id + 2(γ − 1) + (γ − 1)2
since
V V T
γ2
=
Id
+
V VT ,
|V |2
c2
2(γ − 1) + (γ − 1)2 =
γ 2 |V |2
.
c2
The statements about the determinants are a consequence of the following
proof.
Beweis (1)⇒(2). We write


L00 L01 · · · L0n
 L10 L11 · · · L1n 
λ


L =  ..
..
..  =
m
.
.
.
Ln0 Ln1 · · · Lnn





L01
L10
L11
.. 
.. 
..



`=
, m=
, M=
.
.
.
L0n
Ln0
Ln1
`T
,
M
···

L1n
.. 
.
.
···
Lnn
The equation LGc LT = Gc is equivalent to
n
P
1
Lki Lli
= Gc ,
− 2 Lk0 Ll0 +
c
i=1
kl
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I.3 Lorentz Transformationen
21
and is equivalent to the following (noting that (1) comes from k, l = 0, and
from k = 0, l ≥ 1 we get (2), and (3) comes from k, l ≥ 1)
(1) − c12 λ2 + `T ` = − c12 ,
(2) − c12 λm + M ` = 0 ,
(3) − c12 m mT + M M T = Id .
Equation (1) is identical to
λ2 = 1 + c2 |`|2 ≥ 1 ,
(I3.5)
Since λ 6= 0 we get from (2)
m=
c2
M` .
λ
(I3.6)
Inserting this in equation (3) we obtain
c2 T
M Id − 2 ` ` M T = Id ,
λ
which we also can write as
2 c
M B − 2 , ` M T = Id ,
λ
B(d, `) := Id + d ` `T .
if
Define a matrix (this is an arbitrary matrix Q)
Q := M B−1 ,
B := B (a, `) ,
b :=
c2
,
λ2
a|`|2 > −1
(I3.7)
to ensure that B−1 exists. Then using that B is symmetric and M = QB,
Id = M B (−b, `) M T
= QB (a, `) B (−b, `) B (a, `) QT
= QB (d, `) QT = Q QT ,
provided
2a − b + (a2 − 2ab)|`|2 − a2 b|`|4 = d = 0.
(I3.8)
Thus we have shown that
Q QT = Id,
and it follows from lemma 2.1(2), that Q is an orthonormal matrix (this
is assuming that a in the definition of Q is chosen with (I3.8)). Now the
equation (I3.8) is equivalent to
(2a + a2 |`|2 )(1 − b|`|2 ) − b = 0 ,
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I.3 Lorentz Transformationen
22
Since we know from (I3.5) that
b|`|2 =
λ2 − 1
c2 |`|2
=
< 1,
λ2
λ2
this is
a2 |`|2 + 2a =
b
,
1 − b|`|2
or, if we multiply by |`|2 ,
(a|`|2 + 1)2 =
1
b|`|2
+1=
.
2
1 − b|`|
1 − b|`|2
Since a|`|2 > −1 by (I3.7), we get
1
1
a|`|2 + 1 = p
=r
2 .
2
1 − b|`|
1 − c|`|
λ
Altogether we have shown that
" λ
λ `
= c2
L=
m M
QB`
λ
`
#
"
λ
`
B`
B
c2
= Lc (0, Q)
QB
(I3.9)
λ
#
where we have used (I3.6) and (I3.7) and where have to use (I3.9) in order
to compute B = B (a, `). We define
V :=
c2
`
λ
V
c`
=
.
c
λ
hence
From (I3.5) we have
2
2
λ − (c|`|) = 1
therefore
1
=
λ
s
1−
c|`|
λ
1−
hence
s
2
=
1−
c|`|
λ
|V |
c
2
=
2
=
1
,
λ2
1
,
γ
that is, λ = γ. Moreover,
c2
c2
c2
B` = B(a, `)` = (1 + a|`|2 )`
λ
λ
λ
2
c
2
= r
2 ` = c ` = γV ,
λ 1 − c|`|
λ
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title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
I.3 Lorentz Transformationen
hence
"
λ
23
`
#
"
γ
= Lc (0, Q)
γV
c2
B` B
λ
= Lc (0, Q)Lc (V, Id) = Lc (QV, Q) ,
L = Lc (0, Q)
γ #
V
c2
B
since, if ` 6= 0,
B = Id + a` `T = Id + a|`|2
= Id + (γ − 1)
` `T
|`| |`|
V VT
,
|V | |V |
since a|`|2 + 1 = γ.
The linear coordinate transformations given by Lorentz transformations converge towards Galilei transformations, if c tends to infinity.
3.3 Lemma. For every V , Ve , and Q it holds
Lc (V, Q) → G(V, Q)
e c (Ve , Q) → G(Ve , Q)
L
as c → ∞,
as c → ∞.
Beweis. This follows immediately.
Therefore, every Galilei’an matrix is the limit of Lorentz matrices as c → ∞.
Thus in certain equations the smallness of 1c can be replaced by 0, and we
obtain the usual classical version. There are also cases, where a Lorentz
matrix coincides with a Galilei matrix, this is the case when only a fixed
rotation is applied:
1 0
Lc (0, Q) =
= G(0, Q) .
0 Q
Den Definitionen könnte man entnehmen, dass die Lorentz-Transformationen das Analogon der Galilei-Transformationen darstellen, also wenn wir
von der Matrix G∞ zu Gc übergehen, sozusagen das lineare Analogon sind.
Dem ist aber nicht so, denn die Lorentz-Transformationen generieren keine
nichtlineare Transformation, wie wir in 4.1 zeigen werden. Das heißt, ist Y
eine beliebige Transformation, deren Ableitung Dy∗ Y (y ∗ ) für alle y ∗ ∈ Rn+1
eine Lorentz Transformation ist, so ist Y eine lineare Transformation, und
deshalb selbst eine Lorentz Transformation. Da es aber offensichtlich nichtlineare Transformationen geben muss (man denke nur an zeitabhängige
Drehungen), muss es noch andere lineare Transformationen geben, welche
die relativistische Physik begründen.
author: H.W. Alt
title: Relativity
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I.4 Theorem on second derivatives
4
24
Theorem on second derivatives
The difference between G∞ and Gc is that the latter is invertible, whereas
the classical matrix G∞ is not. This difference determines all properties,
which makes a difference between classical physics and relativistic physics.
In this section we deal with general matrices G, and we consider observer
transformations Y which satisfy the identity
G◦Y = DY G∗ (DY )T ,
(I4.1)
which is the same as (I1.1), and in this section we suppose that G is invertible. (If the matrix G is invertible for one observer, is it invertible for all
observers.) Therefore, if G and/or G∗ is invertible, we have the equivalent
property (see the statement in Theorem 1.1) that
G∗−1 = DY T (G−1 ◦Y )DY ,
or written in components of the matrix
P
G∗−1 kl =
Yp 0 k Yq 0 l G−1 pq ◦Y
(I4.2)
for k, l ≥ 0 .
p,q≥0
(I4.3)
We ask for a non-classical version of 2.5, which characterized the nonlinear
transformations in the classical sense. Unfortunetly there are no nonlinear
transformations generated by Lorentz transformations. This is the consequence of the following theorem.
4.1 Lemma. Let G be invertible for all observers. If G = const is constant
for one observer and also G∗ = const for the other observer, then a parameter
transformation with respect to these two observers has the property
D2y∗ Y = 0 ,
that is, is linear in spacetime.
Conclusion: Therefore, if the observer transformation Y is not linear in y,
then G or G∗ has to be non-constant.
Obviously, turning your head (rotating it) is a nonlinear transformation. If
you don’t like this example, think about a (almost) rigid small body blowing
in the atmosphere, which you probably would like to describe in a frame
which sits on the body.
Beweis. Define, where G is a constant matrix,
P
Aklm := p≥0,q≥0 Yp 0 kG−1 pq Yq 0 lm .
author: H.W. Alt
title: Relativity
(I4.4)
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I.4 Theorem on second derivatives
25
Since G is symmetric we compute
P Aklm + Alkm =
Yp 0 kG−1 pq Yq 0 lm + Yp 0 lG−1 pq Yq 0 km
p≥0,q≥0
P
=
Yp 0 kG−1 pq Yq 0 lm + Yp 0 kmG−1 qp Yq 0 l
Yp 0 kG−1 pq Yq 0 lm + Yp 0 kmG−1 pq Yq 0 l
Yp 0 kG−1 pq Yq 0 l
p≥0,q≥0
P
=
p≥0,q≥0
P
=
p≥0,q≥0
0m
= G∗−1 kl
0m
=0,
since Y satifies (I4.2), and since G∗ is also constant for the other observer.
That is, (Aklm )k,l,m=0,...,n is antisymmetric in the first two parameters. Since,
by definition, it is symmetric in the last two parameters, it follows from 2.6
that Aklm = 0 for all k, l, m = 0, . . . , n. Hence also for all s, l, m = 0, . . . , n
P
0=
Ys 0 r G∗rk Aklm
r≥0,k≥0
P
=
Ys 0 r G∗rk
=
p≥0,q≥0
P
=
Yp 0 kG−1 pq Yq 0 lm
p≥0,q≥0
r≥0,k≥0
P
P
Ys 0 r G∗rk Yp 0 k G−1 pq Yq 0 lm
P
r≥0,k≥0
GspG−1 pq Yq 0 lm =
P
δs,q Yq 0 lm = Ys 0 lm ,
q≥0
p≥0,q≥0
that is we obtain Ys 0 lm = 0. Here we have used (I4.1) again.
This proof is, as one easily verifies, a generalization of the proof of 2.5. Also
the proof of the next theorem is a generalization of this proof, and it says,
that knowing G and G∗ one is able to compute the nonlinear part of Y . This
includes the time behaviour of the transformation.
4.2 Theorem. Let G be invertible for all observers. For a general observer
change Y the second order derivatives of Y with respect to y ∗ are given by
P
Y 0 lm =
arlm Y 0 r ,
r≥0
arlm =
P
G∗rk Aklm ,
k≥0
2Aklm = Cklm − Clmk + Cmkl ,
P Cklm = G∗−1 kl 0 m −
Yp 0 k (G−1 pq ◦Y ) 0 m Yq 0 l .
p≥0,q≥0
That is, the vector Y 0 lm of second order derivatives can be written as the
span of {Y 0 r ; r ≥ 0} and the form of the coefficients arlm is so, that they
depend, besides on G−1 and G∗−1 , on first order derivatives of Y .
author: H.W. Alt
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I.5 Übungen
26
Beweis. As in the previous proof let
P
Aklm := p≥0,q≥0 Yp 0 k (G−1 pq ◦Y )Yq 0 lm .
(I4.5)
Then, analog to the previous proof,
P Aklm + Alkm =
Yp 0 kG−1 pq ◦Y Yq 0 lm + Yp 0 lG−1 pq ◦Y Yq 0 km
p≥0,q≥0
P
=
Yp 0 kG−1 pq ◦Y Yq 0 lm + Yp 0 kmG−1 pq ◦Y Yq 0 l
Yp 0 kG−1 pq ◦Y Yq 0 l
p≥0,q≥0
P
=
p≥0,q≥0
= G
∗−1
kl
0m
P
−
0m
−
p≥0,q≥0
−1
Yp 0 k (G
Yp 0 k (G−1 pq ◦Y ) 0 m Yq 0 l
P
pq ◦Y
) 0 m Yq 0 l ,
p≥0,q≥0
hence Aklm + Alkm = Cklm , if
Cklm := G∗−1 kl 0 m −
P
Yp 0 k (G−1 pq ◦Y ) 0 m Yq 0 l .
p≥0,q≥0
For the Aklm we compute, keeping 2.6 in mind,
Aklm = −Alkm + Cklm = −Almk + Cklm
= Amlk + Cklm − Clmk = Amkl + Cklm − Clmk
= −Akml + Cklm − Clmk + Cmkl = −Aklm + Cklm − Clmk + Cmkl ,
hence
2Aklm = Cklm − Clmk + Cmkl .
As in the previous proof we obtain
P
P
Ys 0 r G∗rk Aklm =
Ys 0 r G∗rk
r≥0,k≥0
=
p≥0,q≥0
=
P
Yp 0 kG−1 pq ◦Y Yq 0 lm
p≥0,q≥0
r≥0,k≥0
P
P
P
Ys 0 r G∗rk Yp 0 k G−1 pq ◦Y Yq 0 lm
r≥0,k≥0
Gsp ◦Y G−1 pq ◦Y Yq 0 lm =
p≥0,q≥0
P
δs,q Yq 0 lm = Ys 0 lm ,
q≥0
where (I4.1) has been used. Putting things together, one derives the assertion.
5
Übungen
5.1 Boost. The Lorentz matrix Lc (V, Id) has a so-called “boost” in the direction of the
“velocity” V , that is
# "
"
γ
1#
|V |2
γ−
0
2
Lc (V, Id)
=
=
(I5.1)
c
γ .
V
(1 + (γ − 1))V
γV
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
II Massenerhaltung
Das einfachste Differentialgleichungsbeispiel für das Prinzip der Objektivität
sind skalare Gleichungen (siehe Abschnitt 1), bei denen sich die Testfunktionen wie objektive Skalare verhalten.
1
Skalare Gleichungen
We give the simplest example of conservations laws, which is a single equation
n
P
∂ k qk = r
(II1.1)
k=0
Rn+1 ,
in a domain U ⊂
where we use coordinates y = (y0 , . . . , yn ) ∈ Rn+1 .
Let us write down the distributional version
Z
n
P
∂k η · qk + ηr dLn+1 = 0
(II1.2)
U
k=0
for test functions η ∈ D(U).
1.1 Scalar equation (Definition). The equation (II1.1) is called an objective scalar equation, if its distributional form (II1.2) obeys for observer
transformations y = Y (y ∗ ) the transformation rule
η◦Y = η ∗ .
By a general theorem (see [1, Equ. (5.8)]) this is true, if the quantities q and
r satisfy the transformation rule
q◦Y = DY q ∗ ,
r◦Y = r∗ ,
which written in components read
qk ◦Y =
n
P
l=0
∗
r◦Y = r ,
Yk 0 l ql∗ ,
q is an objective 4-vector field,
r is an objective scalar.
27
(II1.3)
II.1 Skalare Gleichungen
28
Special scalar equations are the conservation of mass (see Section 2) and
the gravity equation, which we treat here. Before we do so we introduce the
following notation.
1.2 Spacetime operators. We denote the 4-divergence operator of a 4vector q by
n
P
∂k qk ,
div q :=
k=0
and the 4-gradient of a scalar function u by
∇u := (∂k u)k=0,...,n
We compute
1.3 Example. Let u be an objective scalar. Then
(1) q := ∇u is a covariant vector, that is,
q ∗ = (DY )T q◦Y
i.e.
qk̄∗ =
P
Yk 0 k̄ qk ◦Y .
k
(2) q := G∇u is a contravariant vector, that is,
P
q◦Y = DY q ∗ i.e. qk ◦Y = Yk 0 k̄ qk̄∗ .
k̄
Beweis (1). It is u◦Y = u∗ , therefore by the chain rule
∂k̄ u∗ =
n
P
(∂k u)◦Y · Yk 0 k̄ ,
k=0
that is ∇u∗ = DY T (∇u◦Y ), a covariant vector.
Beweis (2). We have G◦Y = DY G∗ DY T for every observer transformation.
Hence using (1) we see that
(G∇u)◦Y = (G◦Y )(∇u◦Y ) = DY G∗ DY T (∇u◦Y ) = DY (G∗ ∇u∗ ) ,
that is G∇u is an objective 4-vector, which is contravariant.
Thus if q satisfies a scalar equation it must be a contravariant vector, which
is a 4-objective vector. And with the notation in 1.2 equation (II1.1) becomes
div q = r .
(II1.4)
Of this form is the
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
II.1 Skalare Gleichungen
29
1.4 Gravity equation. Let φ be the gravity potential, which is an objective
scalar. The gravitational equation is the scalar equation as in 1.1
φ) = % ,
div (−G∇φ
where % is the total mass density (per unit volume per unit time), which
also is an objective scalar.
Reminder: This equation ist invariant under all observer transformations.
Wie zeigen, dass die Lösungen im relativistischen Fall Wellenlösungen sind.
1.5 The Lorentz case. If y = (t, x) and G = Gc the gravity equation
becomes
1 2
(II1.5)
φ = %,
∂ φ − ∆φ
c2 t
and φ (t, x) → 0 if |x| → ∞, if % has compact support. If n = 3 the solution
is
Z
dy
1
|y|
φ (t, x) =
% t−
,x − y
.
(II1.6)
4π R3
c
|y|
Hinweis: Für %, was nicht von t abhängt, ist φ zeitunabhängig und Lösung
φ = %.
von −∆φ
Beweis. It is div = (∂t , div ) and
"
#
#
" 1
1
φ
∂
−
∂
φ
−
0
t
t
φ=
Gc ∇φ
=
.
c2
c2
φ
∇φ
φ
0
Id
∇φ
Thus the gravity equation for φ is the wave equation, that is
1 2
φ = div (−Gc ∇φ
φ) = % .
∂ φ − ∆φ
c2 t
The fundamental solution for (II1.5) is, for n = 3, the distribution
c
F =
(L1 ⊗H2 ) ∂Kc , Kc := {(t, x) ; |x| < ct} ,
4π|x|
1
x
that is
Z
h ζ , F iD =
Z
∞
=
Z0 ∞
=
Z0
=
R3
1
c2 t
Z
0
∞Z
∂Bct(0)
c
ζ(t, x) dH2 (x) dL1 (t)
4π|x|
ζ(t, ctξ) dH2 (ξ) dt
x = ctξ
4π S2
Z
r
r
ζ , rξ dH2 (ξ) dr ct = r
4π S2 c
1
|y| 3
ζ
, y dL (y) y = rξ .
4π|y|
c
For n = 1 the function F (t, x) =
c
2
for (t, x) ∈ Kc , and F (t, x) =
c
2π
√
1
(ct)2 −|x|2
for
(t, x) ∈ Kc for n = 2, and elsewhere F (t, x) = 0.
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
II.1 Skalare Gleichungen
30
Hence
φ (t, x) = (F ∗ %)(t, x) = % (t, x) − • , F D
Z
|y|
1
% t−
, x − y dL3 (y) .
=
c
R3 4π|y|
Referenz: Siehe [Welt der Pysik→Gebiet→Astro→Kosmologie→Gravitation]
und das aktuelle Projekt LISA SuW 2014 [3].
Die energiereichsten Vorgänge im Kosmos
Gravitationswellen werden zwar von allen beschleunigt bewegten Körpern
ausgesandt, aber die Chance, sie nachzuweisen, besteht nur bei den energiereichsten Vorgängen im Kosmos. Voraussichtlich lassen sich folgende Objekte
beobachten.
Supernovae Typ II: Wenn ein massereicher Stern seinen Brennstoff
verbraucht hat, bricht sein Kernbereich zu einem Neutronenstern zusammen,
während er seine äußere Hülle mit großer Geschwindigkeit ins All abstößt.
Hierbei werden auch Gravitationswellen abgestrahlt. Die Forscher hoffen,
Ereignisse empfangen zu können, die bis zu etwa siebzig Millionen Lichtjahre
entfernt sind. Dann wäre auch der Virgo-Galaxienhaufen noch im “Blickfeld”,
in dem sich mehrere Supernovae pro Jahr ereignen sollten.
Enge Doppelsysteme, bestehend aus Neutronensternen und/oder
Schwarzen Löchern: Die von diesen Systemen abgestrahlten Gravitationswellen sollten Frequenzen zwischen etwa zehn und hundert Hertz besitzen
und ebenfalls nachweisbar sein. Besonders spektakulär müsste das Signal von
zwei verschmelzenden kompakten Objekten sein. Deren Häufigkeit ist aber
noch unsicher.
Schnell rotierende Neutronensterne: Auch diese Körper senden Gravitationswellen aus, sofern sie nicht vollkommen symmetrische Kugelform
besitzen. Die typischen Frequenzen liegen hier zwischen zehn und tausend
Hertz.
Der Urknall: Die Entstehung des Universums im Urknall war der heftigste
Vorgang in der Geschichte des Kosmos. Nach heutigen Theorien sollten
damals auch Gravitationswellen entstanden sein, die heute das Universum
als allgegenwärtiges Rauschen durchziehen. Die heutige Generation erdgebundener Empfänger kann dieses Signal nicht nachweisen. Vielleicht wird
dies mit dem geplanten Weltraum-Interferometer LISA oder einer späteren
Generation von Gravitationswellen-Observatorien möglich sein.
Mit der Messung von Gravitationswellen, energiereichen Gammastrahlen und
Neutrinos öffnen Astrophysiker neue “Fenster zum All”, die ihnen Einblicke in
bislang unerforschte Gebiete gewähren. Am Ende stehen vielleicht Antworten
auf die modernen Fragen nach der Natur der Dunklen Materie und Dunklen
Energie, letztlich also nach der Entstehung und Entwicklung des Universums.
(von: Welt der Physik)
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
II.1 Skalare Gleichungen
31
The following examples are important for the gravitational field of objects
in astrophysics. It shows that the effect of gravitational waves is of short
time, if the change happenes at a certain moment (this is an idealization).
1.6 Examples. Let the assumptions of 1.5 be true. We suppose that % has
compact support in x, and that the potentials converge to zero as |x| → ∞.
(1) If %(t, x) = %0 (x) then φ (t, x) = φ 0 (x), where φ 0 is the classical solution
φ0 = %0 , and this is
of −∆φ
Z
1
%0 (x − y) dy
φ (t, x) = φ 0 (x) =
.
4π R3
|y|
(2) Let
(
%(t, x) :=
%0 (x) if t < 0
%1 (x) if t > 0
then φ (t, x) = φ 0 (x) if t < 0 and
Z
1
(%0 (x − y) − %1 (x − y)) dy
φ (t, x) = φ 1 (x) +
4π {y ; |y|>ct}
|y|
for t > 0,
φ0 = %0 and −∆φ
φ 1 = %1 .
and φ (t, x) → φ 1 (x) as t → ∞. Here −∆φ
(3) If in (2) the masses are concentrated in BR (0), then
φ (t, x) = φ 1 (x)
for t ≥
|x| + R
.
c
Beweis (1). Follows with the formula (II1.6).
Beweis (2). For t > 0
Z dy
|y|
1
φ (t, x) − φ 1 (x) =
% t−
, x − y − %1 (x − y)
4π R3
c
|y|
Z
dy
1
=
(%0 (x − y) − %1 (x − y))
.
4π {y ; t− |y| <0}
|y|
c
Beweis (3). If φ (t, x) 6= φ 1 (x) then by (2) there exists a vector y, such that
|y| > ct and %0 (x − y) − %1 (x − y) 6= 0, hence |x − y| ≤ R. So
R ≥ |x − y| ≥ |y| − |x| > ct − |x|
and therefore ct < R + |x|.
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
II.1 Skalare Gleichungen
32
Als weiteres Beispiel betrachten wir einen Doppelstern, der permanent eine
Gravitationswelle erzeugt. Klassisch seien zwei Himmelskörper mit Positionen t 7→ (t, ξ (1) (t)) und t 7→ (t, ξ (2) (t)) und mit gleicher Masse M > 0
gegeben (das ist eine Annahme), die eine Kreisbahn um den gemeinsamen
Schwerpunkt, der auf 0 normiert sei, durchlaufen. Wir betrachten diese
Körper nun im relativistischen Fall.
1.7 Doppelstern. Betrachte die Massendichte von zwei Himmelskörpern.
Relativistisch seien die Voraussetzungem in 1.5 erfüllt. Die Dichte %(t, x)
der beiden Körper sei periodisch in der Zeit t und mit Massendichte
|%(t, x)| ≤ C · M R−3 für |x| ≤ R
und ansonsten %(t, x) = 0. Hierbei ist BR (0) der Bereich in dem die beiden
Körper umeinander rotieren. Zeige:
(1) Das von ihnen erzeugte Gravitationspotential ist
Z
1
|x − y| dy
φ (t, x) =
% t−
,y
.
4π R3
c
|x − y|
(2) Für Punkte x außerhalb B2R (0) ist
φ(t, x)| ≤
|φ
CM
.
|x|
(3) Sei % = %(1) + %(2) , wobei %(k) (t, •) → Mk δξ(k) (t) im Distributionssinne
mit den Massen M1 und M2 der Himmelskörper. Ist dann φ 0 das Gravitationspotential eines Körpers der Masse M1 + M2 im Ursprung, so gilt
φ(t, x) − φ 0 (x)| ≤
|φ
CM R
|x|2
für x ∈
/ B2R (0).
Remark: Es ist das Gravitationswellenpotential φ (t, x) eine Störung des
Gravitationspotentials φ 0 (x).
Beweis (1). Nach 1.5 ist das Gravitationspotential
Z
dy
1
|y|
φ (t, x) =
% t−
,x − y
4π R3
c
|y|
Z
1
|x − y|
dy
=
% t−
,y
4π BR(0)
c
|x − y|
für x ∈
/ B2R (0).
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
II.1 Skalare Gleichungen
33
Beweis (3). Es ist (der Träger von φ 0 ist auch in BR (0)) für x ∈
/ B2R (0)
Z
|x − y| dy
1
% t−
φ (t, x) =
,y
4π BR(0)
c
|x − y|
→
M2
M1
+
(1)
4π|x − ξ (t1 )| 4π|x − ξ (2) (t2 )|
mit t = tk + 1c |x − ξ (k) (tk )| für k = 1, 2. Da
φ 0 (x) =
ist also
φ(t, x) − φ 0 (x)| →
|φ
≤
M1 + M2
4π|x|
P Mk
k 4π
1
1 −
|x − ξ (k) (t )| |x| k
P Mk |ξ (k) (tk )|
CM R
≤
,
2
4π|x|
|x|2
k
was zu beweisen war.
Einige Fragen: Für die Masse eines solchen Doppelsterns und die große Entfernung von der Sonne ist das Signal recht schwach. Wie schwach? Wie ist
die Gravitation bei einem gleichförmig bewegten Körper? Wie verhält sich
die Situation bei einem beschleunigten Himmelskörper?
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
II.2 Massenpunkt
2
34
Massenpunkt
The mass equations in a domain U ⊂ Rn+1 are examples of equations of
scalar form
Pn
div q = r or
(II2.1)
k=0 ∂k qk = r
defined in 1.1, where y = (y0 , y1 , . . . , yn ) and q = (q0 , q1 , . . . , qn ). A scalar
equation means, that the distributional version
Z
n
P
∂k η · qk + ηr dLn+1 = 0
U
k=0
for test functions η ∈ D(U) transforms via a transformation rule η◦Y = η ∗ ,
see definition 1.1. Here y = Y (y ∗ ) is the observer transformation.
...................................
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
III Elektrodynamik
1
Elektrodynamik
Wir verwenden wieder eine beliebige Gruppe von Beobachtertransformationen T , welche die Lorentz-Transformationen enthalten, und benutzen
im Allgemeinen die Koordinaten y ∈ R4 . Also haben wir es mit der 4dimensionalen Divergenz div y zu tun. Wenn wir Gleichungen im Lorentzsystem hinschreiben, benutzen wir Koordinaten y = (t, x) und wir schreiben
dann div y = (∂t , div x ).
Referenzen: [Wikipedia: Maxwell-Gleichungen] und die englische Seite
[Wikipedia: Maxwell’s equations], sowie [Wikipedia: Electromagnetism].
Die Maxwell-Gleichungen sind im Allgemeinen gegeben durch eine
einzige Erhaltungsgleichung, das “Durchflutungsgesetz” (engl. “Ampére’s
circuital law”). Es wird durch eine konstitutive Annahme vervollständigt,
für die das “Induktionsgesetz” (engl. “Faraday’s law of induction”) gilt. Die
Erhaltungsgleichung ist
Durchflutungsgesetz (Ampére’s circuital law):
div y H = j ,
4
H : R → R4 schiefsymmetrisch,
————————————————————————
mit ζ ∗ = DY T ζ ◦Y für Testfunktionen ζ,
d.h. für Testfunktionen y →
7 ζ(y) ∈ R4 ist
Z P
P
∂l ζk Hkl + ζk jk dL4 = 0 .
R4
kl
(III1.1)
(III1.2)
k
Die Schiefsymmetrie von H hat folgende Konsequenz:
1.1 Lemma. Es folgt
div y j = 0
und diese Gleichung ist eine skalare Gleichung wie in Abschnitt ??, d.h. es
gilt
Z
P
∂yk η · jk dL4 = 0
R4 k
35
III.1 Elektrodynamik
36
für Testfunktionen η, welche sich gemäß η ∗ = η◦Y transformieren.
Beweis. Wir setzen ζk = ∂k η mit einer skalaren Funktion η (aus η ∗ = η ◦Y
folgt dann die an ζ geforderte Transformation). Dann ist
Z P
P
∂lk η Hkl + ∂k η jk dL4 = 0 .
R4
k
kl
Da Hkl in (k, l) schiefsymmetrisch und ∂lk η symmetrisch ist, verschwindet
der erste Summand. Wir haben also
Z P
∂k η jk dL4 = 0 ,
R4
k
die Behauptung.
Es gilt in (III1.1) für Testfunktionen ζ die Transformationsformel ζ ∗ = ZT ζ◦
Y mit Z = DY , also ist (III1.1) objektiv falls nach (??) die folgenden
Formeln gelten:
1P
Hkl ◦Y =
Y 0 Y 0 H∗ ,
(III1.3)
J k̄l̄ k k̄ l l̄ k̄l̄
P
1P
jk ◦Y =
Yk 0 pq H∗pq + Yk 0 l j∗l ,
J pq
l
und da Yk 0 pq symmetrisch in p und q ist, verschwindet dieser Term, also ist
jk ◦Y =
1P
Y 0 j∗ .
J l k k̄ k̄
(III1.4)
Die Bedeutung von H und j wird klar, wenn man die Gleichungen im Lorentzfall hinschreibt.
1.2 Speziell. Ist y = (t, x) ∈ R4 und

0
D1
D2
 −D1
0
H
3
H=
 −D2 −H3
0
−D3 H2 −H1

D3
−H2 
,
H1 
0


n
 j1 

j=
 j2  ,
j3
so ist die Differentialgleichung in (III1.1) äquivalent zu
div x D = n ,
−∂t D + rot H = j
————————————————————————
H magnetische Feldstärke,
D elektrische Flussdichte,
j elektrische Stromdichte
n Ladungsdichte
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
III.1 Elektrodynamik
37
(Diese Gleichungen werden in der Literatur, z.B. [?, §30], auch als die zweite
Gruppe der Maxwell-Gleichungen bezeichnet.) Aus diesen Gleichungen folgt
(siehe 1.1)
∂t n + div x j = 0 .
Beweis. Es ist


0
D1
D2
D3
 −D1
0
H3 −H2 

div y H = div y 
 −D2 −H3
0
H1 
−D3 H2 −H1
0


∂x1 D1 + ∂x2 D2 + ∂x3 D3
 −∂t D1 + ∂x2 H3 − ∂x3 H2 
div
D
x

=
 −∂t D2 − ∂x1 H3 + ∂x3 H1  = −∂t D + rot x H
−∂t D3 + ∂x1 H2 − ∂x2 H1
und div y j = ∂t n + div x j. Man kann die letzte Gleichung natürlich auch aus
den Differentialgleichungen in (t, x) herleiten. Es ist
∂t n = ∂t div x D = div x (∂t D)
= div x (rot x H − j) = −div x j ,
da div x rot x H = 0.
Die Differentialgleichung (III1.1) gilt im Allgemeinen natürlich im Distributionssinn, d.h. für H und j in D 0 (R4 ) gilt
div y H = j in D 0 (R4 ) .
(III1.5)
Wir geben einige wichtige Beispiele an, und zwar betrachten wir die Situation in 1.2. Wir behandeln das elektrische Feld D bei einer Punktladung
und das magnetische Feld H um einen elektrischen Leiter.
1.3 Beispiel. Wir betrachten jetzt distributionelle Lösungen von 1.2, und
zwar zunächst den stationären Fall. Es sei also D in L1loc (R3 ), H = 0 und n
in D 0 (R3 ) Lösung von
div x [D] = n in D 0 (R3 ).
(III1.6)
Es sei eine Punktladung mit Ladung Q ∈ R gegeben. Dann ist
n := Qδδ 0 ,
author: H.W. Alt
D(x) :=
title: Relativity
Q x
4π |x|3
time: 2014 Jul 14/18:46
III.1 Elektrodynamik
38
eine Distributionslösung von (III1.6).
Zusatz: Auch das Faraday’sche Induktionsgesetz ist erfüllt (ohne Magnetisierung und Polarization).
Bemerkung: Da wir es hier mit einer Punktladung an einem festen Ort zu
tun haben, ist dieses Beispiel nur für einen Beobachter gedacht.
Beweis. Es sei
ϕ(x) := −
Q
,
4π|x|
so dass also
[D] = ∇x [ϕ]
und damit
div x [D] = div x ∇x [ϕ] = ∆[ϕ] = Qδδ 0 .
Beweis des Zusatzes. Es ist [D] = ∇x ([ϕ]) und damit ist E, mit D = ε0 E,
ein Gradient (siehe 1.10). Alle anderen Größen sind 0.
Es gilt hier das Gesetz der Superposition (engl. superposition principle). Sind Ladungen Q(xα ) an den Punkten xα gegeben, so ist die stationäre
Lösung gegeben durch
X Q(xα ) x − xα
X
D(x) =
,
n
=
Q(xα )δδ xα .
4π |x − xα |3
α
α
Beachte, dass D nur in L1loc (R3 ) liegt. Bei einer kontinuierlichen
Ladungsverteilung über Λ ⊂ R3 erhält man
Z
Q(x0 ) x − x0
D(x) =
dλ(x0 ) ,
0 3
Λ 4π |x − x |
n = Qλ .
Es ist
Z
[D] = ∇x [ϕ],
ϕ(x) := −
Λ
Q(x0 )
dλ(x0 ) .
4π|x − x0 |
1.4 Beispiel. Wir betrachten wieder distributionelle Lösungen von 1.2, und
zwar zunächst nur den stationären Fall. Es sei also H in L1loc (R3 ), D = 0
und j in D 0 (R3 ) Lösung von
rot x [H] = j in D 0 (R3 ).
Ein Beispiel für eine solche Distribution tritt dann auf, wenn wir einen elektrischen Leiter als eindimensionales Objekt Γ im R3 auffassen. Ist dieser
Leiter eine Gerade so ist
Γ := {se ; s ∈ R} ,
e ∈ R3 ,
|e| = 1 ,
x
µ Γ = H1 Γ .
author: H.W. Alt
title: Relativity
time: 2014 Jul 14/18:46
III.1 Elektrodynamik
39
Ist dann I ∈ R ein konstanter “Strom” in Richtung e, also
µΓ ,
j = Ieµ
H(x) =
I x2 e 1 − x1 e 2
,
2π x21 + x22
(e, e1 , e2 ) ein orient. Orthonormalsystem, x1 = x•e1 , x2 = x•e2 ,
so ist dies eine Lösung von rot x [H] = j. Es gilt auch div x j = 0.
Zusatz: Auch das Faraday’sche Induktionsgesetz ist erfüllt (ohne Magnetisierung und Polarization).
Abbildung 1: Aus Wikipedia
Beweis. Es sei I = 1. Wir nehmen an, dass wir das Standardsystem benutzen
können, d.h. es ist e1 = e1 , e2 = e2 , e = e3 . Dann ist also
j = e3µ Γ ,
H(x) =
(x2 , −x1 , 0)
,
2π(x21 + x22 )
somit ist
H(x) = (−∂2 ϕ(x1 , x2 ), +∂1 ϕ(x1 , x2 ), 0) ,
wobei
ϕ(x1 , x2 ) :=
1
1
log p 2
.
2π
x1 + x22
Nun ist ϕ die zweidimensionale Fundamentallösung des negativen Laplaceoperators, d.h. es gilt
−∆[ϕ] = δ 0 in D0 (R2 ) .
Also ist in D0 (R3 )
[H] = −∂2 [ϕ] e1 + ∂1 [ϕ] e2 ,
rot x [H] = (∂1 [H2 ] − ∂2 [H1 ])e3 = ∆[ϕ]e3 = e3µ Γ = j .
Beweis des Zusatzes. Es ist
[H] = −∂2 [ϕ] e1 + ∂1 [ϕ] e2 = rot x (−[ϕ]e3 ) ,
und damit, mit B = µ0 H, ist B eine Rotation (siehe 1.10). Alle anderen
Größen sind 0.
Für H gelten die folgenden konstitutiven Gleichungen, welche die Einführung
der elektrischen Größen E und der magnetischen Größen M erfordert,
Hkl =
1 P
G G E − Mk̄l̄ ,
µ0 k̄l̄ kk̄ ll̄ k̄l̄
author: H.W. Alt
E, M schiefsymmetrisch,
title: Relativity
(III1.7)
time: 2014 Jul 14/18:46
III.1 Elektrodynamik
40
in Matrixschreibweise
H=
1
G E GT − M .
µ0
Die Transformationsformeln (III1.3) schreiben sich wie folgt um.
1.5 Lemma. Ist (III1.7) erfüllt mit
E∗ = DY T E◦Y DY
(III1.8)
und
1
(III1.9)
DY M∗ DY T
J
sowie für die Permeabilität µ0 ◦Y = Jµ∗0 , so gilt für H die Transformationsformel (III1.3).
Bemerkung: Betrachtet man Transformationen mit Determinante 1, also
J = 1, so ist
E∗ = DY T E◦Y DY ,
M◦Y =
M◦Y = DY M∗ DY T ,
(III1.10)
µ0 ◦Y = µ∗0 .
Beweis. Es ist E eingeführt durch H + M =
(H + M)◦Y =
T
1
µ0 GE G ,
also
1
G◦Y E◦Y G◦Y T
µ0 ◦Y
1
T
∗T
T
DY G∗ DY
E◦Y
|
{z DY} G DY
µ0 ◦Y
= E∗
1 1
1
=
DY G∗ E∗ G∗T DY T = DY (H∗ + M∗ ) DY T ,
∗
J µ0
J
=
wegen (III1.9) heißt das (III1.3).
Die Bedeutung von E und M wird wiederum klar, wenn man die Gleichungen
im Lorentzfall hinschreibt.
1.6 Speziell. Sei G = Gc und y = (t, x) ∈ R4 . Falls dann



0 −E1 −E2 −E3
0 −P1 −P2
 E1

 P1
0
B
−B
0
M3
3
2
, M = 
E=
 E2 −B3
 P2 −M3
0
B1 
0
E3 B2 −B1
0
P3 M2 −M1
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title: Relativity

−P3
−M2 

M1 
0
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III.1 Elektrodynamik
41
und H wie in 1.2, so ist die Darstellung (III1.7) äquivalent zu
D = ε0 E + P ,
1
B−M
H=
µ0
————————————————————————
E elektrische Feldstärke
B magnetische Flussdichte
µ0 = const Permeabilität (in Vakuum)
1
Permitivität (in Vakuum)
ε0 :=
µ0 c2
P elektrische Polarisation
M Magnetisierung
Beweis. Mit

0
R(q) :=  −q3
q2
q3
0
−q1

−q2
q1 
0
ist
1
DT
0 − PT
+
=H+M=
Gc E GcT
R(H)
P R(M )
µ0

#
#
"
" 1
1
T
0
1 −
1
0 −E
− 2 0
0

=
=
c2
c
E R(B)
µ0
µ0 − 1 E
0
Id
0
Id
c2
also folgt die Behauptung.
0
−D
1 T
E
c2
,
R(B)
Die Maxwell-Gleichungen werden komplettiert durch das “Induktionsgesetz”
(engl. “Faraday’s law of induction”). (Die Gleichungen dieses Gesetzes werden in der Literatur, z.B. [?, §26 (26,5)], als die erste Gruppe der MaxwellGleichungen bezeichnet.) Es ist
Induktionsgesetz (Faraday’s law of induction):
Eik 0 l + Ekl 0 i + Eli 0 k = 0 für i, k, l = 0, . . . , 3
————————————————————————
(da E schiefsymmetrisch, nur für
(III1.11)
verschiedene Indizes nichttrivial)
1.7 Theorem. Ein Feld F : R4 → R4×4 erfülle
Fik 0 l + Fkl 0 i + Fli 0 k = 0 für i, k, l = 0, . . . , 3,
Fkl + Flk = 0 für k, l = 0, . . . , 3.
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(III1.12)
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III.1 Elektrodynamik
42
Wenn es das Transformationsverhalten
P
Yk 0 i Yl 0 j Fkl ◦Y
Fij∗ =
kl
hat, dann ist (III1.12) is objektiv.
Beweis.
∗
∗
∗
Fik
0 l + Fkl 0 i + Fli 0 k
P
P
Yk̄ 0 k Yl̄ 0 l Fk̄l̄ ◦Y 0
=
Yī 0 i Yk̄ 0 k Fīk̄ ◦Y 0 +
l
īk̄
k̄l̄
P
+
Yl̄ 0 l Yī 0 i Fl̄ī ◦Y 0
l̄ī
i
k
P
P
= (Yī 0 i Yk̄ 0 k ) 0 l Fīk̄ ◦Y + (Yk̄ 0 k Yl̄ 0 l ) 0 i Fk̄l̄ ◦Y
k̄l̄
īk̄
+
P
(Yl̄ 0 l Yī 0 i ) 0 k Fl̄ī ◦Y
l̄ī
+
P
Yī 0 i Yk̄ 0 k Yl̄ 0 l Fīk̄ 0 l̄ ◦Y +
īk̄l̄
P
Yk̄ 0 l Yl̄ 0 l Yī 0 i Fk̄l̄ 0 ī ◦Y
k̄l̄ī
+
P
Yl̄ 0 i Yī 0 i Yk̄ 0 k Fl̄ī 0 k̄ ◦Y
l̄īk̄
=
P
+
P
(Yī 0 i Yk̄ 0 k ) 0 l + (Yī 0 k Yk̄ 0 l ) 0 i + (Yī 0 l Yk̄ 0 i ) 0 k Fīk̄ ◦Y
īk̄
Yī 0 i Yk̄ 0 k Yl̄ 0 l Fīk̄ 0 l̄ + Fk̄l̄ 0 ī + Fl̄ī 0 k̄ ◦Y = 0 ,
{z
}
|
īk̄l̄
=0
da F antisymmetrisch ist und
(Yī 0 i Yk̄ 0 k ) 0 l + (Yī 0 k Yk̄ 0 l ) 0 i + (Yī 0 l Yk̄ 0 i ) 0 k
= Yī 0 il Yk̄ 0 k + Yī 0 i Yk̄ 0 kl + Yī 0 ki Yk̄ 0 l + Yī 0 k Yk̄ 0 li + Yī 0 lk Yk̄ 0 i + Yī 0 l Yk̄ 0 ik
symmetrisch in ī und k̄.
1.8 Speziell. In der speziellen Situation 1.6 ist das Induktionsgesetz
(III1.11) äquivalent zu
div x B = 0 ,
∂t B + rot x E = 0
————————————————————————
E elektrische Feldstärke,
B magnetische Flussdichte.
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III.1 Elektrodynamik
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Beweis. Es sind nur vier Gleichungen des Induktionsgesetzes nichttrivial
und unabhängig voneinander, und zwar für (i, k, l) gleich (0, 1, 2), (0, 1, 3),
(0, 2, 3), (1, 2, 3). Wir erhalten
(0, 1, 2) :
−E1 0 2 + B3 0 0 + E2 0 1 = 0 ,
(0, 1, 3) :
−E1 0 3 − B2 0 0 + E3 0 1 = 0 ,
(0, 2, 3) :
−E2 0 3 + B1 0 0 + E3 0 2 = 0 ,
(1, 2, 3) :
B3 0 3 + B1 0 1 + B2 0 2 = 0 .
Es gibt eine Methode, das Faraday’sche Induktionsgesetz zu erfüllen, und
dies ist die Voraussetzung, E durch Ableitungen auszudrücken. Dieses Vorgehen wird auch schon durch die Transformationsformel (III1.8) begründet.
1.9 Theorem. Eine wichtige Annahme zur Verifizierung von 1.8 ist
Eik = Ak 0 i − Ai 0 k für i, k = 0, . . . , 3
mit A : R4 → R4 , wobei A die Transformationsformel A∗ = DY T A◦Y erfüllt.
Beweis. Es ist E antisymmetrisch und es gilt
Eik 0 l + Ekl 0 i + Eli 0 k
= Ak 0 il − Ai 0 kl + Al 0 ki − Ak 0 li + Ai 0 lk − Al 0 ik = 0 .
Weiter folgt aus der Transformationsformel
P
Yk̄ 0 k Ak̄ ◦Y
A∗k =
k̄
für A, indem wir Ableitungen bilden,
P
P
P
Yk̄ 0 k Yī 0 i Ak̄ 0 ī ◦Y + Yk̄ 0 ki Ak̄ ◦Y .
A∗k 0 i =
k̄
ī
k̄
Da Yk̄ 0 ki symmetrisch in k und i ist, folgt
P
A∗k 0 i − A∗i 0 k = Yk̄ 0 k Yī 0 i (Ak̄ 0 ī − Aī 0 k̄ )◦Y ,
k̄,ī
was die Transformationsformel für E ist.
1.10 Speziell. In der Situation 1.6 gilt
Ei = ∂xi A0 − ∂t Ai für i = 1, 2, 3,
B = rot x A wobei A = (A1 , A2 , A3 ) .
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1.11 Eichinvarianz. Ist f eine skalare Funktion und wird in 1.10 der Vektor
(A0 , A) durch
A00 := A0 + ∂t f und A0 := A + ∇f
ersetzt, so ändern sich dadurch E und B nicht.
Insgesamt sind die Maxwell-Gleichungen im Lorentzfall gleich
Maxwell-Gleichungen (im Lorentzfall):
div x D = n ,
−∂t D + rot H = j ,
∂t n + div x j = 0 ,
D = ε0 E + P ,
1
H=
B−M
µ0
div x B = 0 ,
(III1.13)
∂t B + rot x E = 0
————————————————————————
.
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Literaturverzeichnis
[1] Hans Wilhelm Alt: Mathematische Kontinuumsmechanik. Technical
University Munich TUM 2013 4, 10, 27
[2] G. Duvaut, J.L. Lions: Inequalities in Mechanics and Physics.
Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer 1976
[3] Hans-Georg Grothues, Jens Reiche: LISA Pathfinder. Schritt für Schritt
zum Nachweis von Gravitationswellen im Weltraum. Sterne und Weltraum. July 2014 30
[4] Ingo Müller: Thermodynamics. Interaction of mechanics and mathematics series. Pitman 1985
[5] J. Schmitt: Magnetohydrodynamik in der Astrophysik. 1. April 2010
[6] Kip S. Thorne: Chapter 18. Magnetohydrodynamics. 2. March 2005
[7] Abraham A. Ungar: The Relativistic Composition Paradox and the
Thomas Rotation. Foundations of Physics, Vol. 19, pp. 1385-1396. 1989
[Ungar-fulltext.pdf]
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