Streumaße und Lösungen zum Buch-Statistik - s

Statistik
Klasse 10 - Crashkurs
Streumaße (Arbeitsblatt)
Körpergrößen von 12 Personen (in m)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
1,68
1,53
1,73
1,66
1,75
1,63
1,58
1,78
1,74
1,83
1,66
1,71
Berechne den Mittelwert
:
m
1. Berechne die Abweichung der Körpergröße vom Mittelwert:
2.
a)
b)
c)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
1,68
1,53
1,73
1,66
1,75
1,63
1,58
1,78
1,74
1,83
1,66
1,71
Berechne
die Quadratische Abweichung vom Mittelwert.
die mittlere quadratische Abweichung s².
die Standardabweichung s.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
1,68
1,53
1,73
1,66
1,75
1,63
1,58
1,78
1,74
1,83
1,66
1,71
zu b)
s=
Berechne die mittlere quadratische Abweichung s² (Varianz): V = s² =
.
Ziehe die Quadratwurzel aus s² und du erhältst die Standabweichung s.
Standardabweichung s =
m
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Statistik
Klasse 10 - Crashkurs
Streumaße (Arbeitsblatt)
Lehrer Hempel hat die schriftlichen Durchschnittszensuren seiner Schüler berechnet:
Mädchen
Nr.
Zensur
1
3,2
2
3,5
3
2,9
4
3,3
5
3,4
6
2,5
7
2,7
8
2,8
9
3,1
10
2,6
SW
Jungen
Nr.
Zensur
1
1,0
2
1,0
3
2,0
4
2,5
5
3,2
6
2,8
7
3,5
8
2,0
9
6,0
10
6,0
SW
Aufgaben:
1. Berechne jeweils das arithmetische Mittel, den Median und die Spannweite SW.
2. Stelle die Notenverteilung der beiden Schülergruppengruppen in je einem
Säulendiagramm dar und zeichne für den Mittelwert und den Median jeweils eine
waagerechte Linie ein.
Was stellst du fest? - Ergebnis:
Bei den Mädchen liegen die Zensuren
Sie streuen
um den Mittelwert.
Bei den Jungen streuen die Zensuren
um den Mittelwert.
Streumaße
Streumaße charakterisieren das Abweichverhalten, z.B. die Abweichungen von
Mittelwert und Median.
Hierzu gehören u.a.
€ die Spannweite
Spannweite = größter Beobachtungswert – kleinster Beobachtungswert
€ die mittlere lineare Abweichung vom Mittelwert
Abweichung vom Mittelwert = Beobachtungswert – Mittelwert
= Summe der Abweichungen vom Mittelwert : Anzahl der Daten
€ die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert (Varianz) s²
quadratische Abweichung vom Mittelwert = (Beobachtungswert – Mittelwert)²
Varianz s² = arithmetisches Mittel der Quadrate der Abweichungen vom
Mittelwert
€ die Standardabweichung s =
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Klasse 10 - Crashkurs
Berechne die Varianz und die Standardabweichung
Mädchen
Nr.
x
1 3,2
2 3,5
3 2,9
4 3,3
5 3,4
6 2,5
7 2,7
8 2,8
9 3,1
10 2,6
= 3,0
Summe:
=
lineare Abweichung
(x -
)
quadr. Abweichung
(x -
)²
mittlere lineare Abweichung
mittlere quadratische Abweichung (Varianz)
Standardabweichung (gerundet)
s² =
s=
Jungen
Nr.
x
1 1,0
2 1,0
3 2,0
4 2,5
5 3,2
6 2,8
7 3,5
8 2,0
9 6,0
10 6,0
= 3,0
Summe:
=
lineare Abweichung
(x -
)
quadr. Abweichung
(x -
s² =
s=
)²
mittlere lineare Abweichung
mittlere quadratische Abweichung (Varianz)
Standardabweichung (gerundet)
Merke:
Je
die mittlere quadratische Abweichung und damit
auch die Standardabweichung ist, desto
liegen die
Einzelwerte um das arithmetische Mittel dieser Einzelwerte herum.
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Statistik
Klasse 10 - Crashkurs
LÖSUNGEN bis Seite 168
zu S. 163;2
Verkehrsmittel – Strichliste
absolute Häufigkeit
Strichliste
in Zahlen
relative Häufigkeit
in %
45
20,5%
38
17,3%
112
50,9%
Verkehrsmittel
zu Fuß
Fahrrad
Bus/Bahn
Moped/Roller/Motorrad
PKW
Summe
15
6,8%
10
220
4,5%
100,0%
Die relative Häufigkeit kann als Bruch, Dezimalbruch und in Prozent angegeben werden.
zu S. 164; 3
Schulweglänge von Lehrern
Urliste
12,7
0,6
15,7
18,4
5,9
4,6
11,9
12,8
17,6
17,2
20
5,2
7,9
11,5
14
17,5
6,3
5,9
3,8
29,4
6,5
25,8
7,5
7,3
2,7 1,9 0,7
31,5 13,8 14,8
4,9 23,7 16,3
26,1 9,6 6,7
12,7 13,6 3,8
11,6
bis km
4
8
12
16
20
24
28
32
Summe
H
6
11
4
8
6
1
2
2
40
Säulendiagramm (Häufigkeiten):
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Seite 8
Statistik
Klasse 10 - Crashkurs
Mittelwerte (arithmetisches Mittel) – Median – Spannweite - Stichprobenumfang
zu S.165;2
Körpergröße der Jungen (Urliste)
175
169
157
176
159
173
157
182
168
190
160
183
176
Median
173
166
167
Median
168
Mittel
171
Spannweite
33
Mittel
167
Spannweite
25
Stichprobenumfang: 13
Körpergröße der Mädchen (Urliste)
169
173
163
172
156
161
178
171
162
155
171
180
Stichprobenumfang: 14
zu Seite 166; 7 arithmetisches Mittel
a) Hefteintrag Aufgabe 7
b) Berechnung (Kindertabelle) (Mittelwert: 1,975)
zu Seite 166; 9 Verkehrszählung
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
3
4
5
2
1
1
H
24
16
3
6
1
50
1
1
1
2
3
2
1
4
2
Mittelwert
1,88 €
1
4
1
1
1
1
2
1
1
3
2
2
4
2
3
5
2
4
1
1
2
1
1
2
2
4
4
1
1
1
2 Personen
Quelle: Westermann, Mathematik 10 Erweiterungskurs, Druck 2008
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Seite 9
Statistik
Klasse 10 - Crashkurs
zu Seite 166; 7 arithmetisches Mittel
a) Hefteintrag Aufgabe 7
b) Berechnung (Kindertabelle) (Mittelwert: 1,975)
zu S.167; 1
Geordnete Urliste:
0
479 485 486 495
a) arithmetisches Mittel:
= 389
= 485
b) Median:
c) Der Zentralwert beschreibt Steffis Leistungen besser, da 0 ein sogenannter
„Ausreißer“ ist.
MERKE:
Bei stark abweichenden Werten (Ausreißern) ist es sinnvoll, als Mittelwert nicht das
arithmetische Mittel, sondern den Zentralwert (Median)
zu S. 167;2
a) geordnete Urliste:
0
zu bestimmen.
0 422 432 438 453 455
arithmetisches Mittel
314,29
Zentralwert
b) geordnete Urliste:
432
0 453 464 466 472 482
arithmetisches Mittel
Zentralwert
zu S. 167;3 (Lebensalter)
geordnete Urliste:
13 13 13
389,5
465
14 14 14 15 15 15 15 16 43
Zentralwert
14,5
arithmetische Mittel
:
16,7
zu S. 167;4 (Geschwindigkeitsmessungen)
geordnete Urliste:
43 56 61 73
77 87 89 89 90 95 98 99 102 105
106 109 112 116 123 126 132 178 189 198
Zentralwert
100,5
arithmetische Mitte
106,4
Drei Ausreißer(fast 200), aber 12 Werte unter 100.
zu S. 168;1
a) Median: 20 min.
b) Mittelwert: 21,6 min.
c) Sinnvoller ist der Median, aufgrund des Ausreißers wegen der Reifenpanne.
zu S. 168;3
a) Median: 1225,8 m
b)
---
Mittelwert: 1174,56 m
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Seite 10
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Klasse 10 - Crashkurs
Streumaße - LÖSUNGEN
Körpergrößen von 12 Personen (in m)
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
1,68
1,53
1,73
1,66
1,75
1,63
1,58
1,78
1,74
1,83
1,66
1,71
MW
1,69
Berechne den MittelWert
: 1,69 m
1. Berechne die Abweichung der Körpergröße vom Mittelwert:
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
1,68
1,53
1,73
1,66
1,75
1,63
1,58
1,78
1,74
1,83
1,66
1,71
-0,01 -0,16
2.
a)
b)
c)
0,06 -0,06 -0,11
0,09
0,05
0,14 -0,03
0,02
Berechne
die Quadratische Abweichung vom Mittelwert.
die mittlere quadratische Abweichung s².
die Standardabweichung s.
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
1,68
1,53
1,73
1,66
1,75
1,63
1,58
1,78
1,74
1,83
1,66
1,71
-0,01 -0,16
zu b)
0,04 -0,03
MW
1,69
0,04 -0,03
0,06 -0,06 -0,11
0,09
0,05
0,14 -0,03
MW
1,69
0,02
0,0001 0,0256 0,0016 0,0009 0,0036 0,0036 0,0121 0,0081 0,0025 0,0196 0,0009 0,0004 0,0066
0,081
Mittlere quadratische Abweichung s² (Varianz): V = s² = 0,0066
Standardabweichung s = 0,081 m
Wir wissen:
Die Personen sind im Mittel 1,69 m groß.
Die typischen Körpergrößen weichen aber um 0,081 m (ca. 8 cm) vom
Mittelwert ab, manche mehr, manche weniger.
Die Körpergröße im Mittel beträgt somit 1,69 m 0,081 m.
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Klasse 10 - Crashkurs
Streumaße (Arbeitsblatt - Lösung)
Lehrer Hempel hat die schriftlichen Durchschnittszensuren seiner Schüler berechnet:
Mädchen
Nr.
Zensur
1
3,2
2
3,5
3
2,9
4
3,3
5
3,4
6
2,5
7
2,7
8
2,8
9
3,1
10
2,6
Jungen
Nr.
Zensur
1
1,0
2
1,0
3
2,0
4
2,5
5
3,2
6
2,8
7
3,5
8
2,0
9
6,0
10
6,0
3,0
3,0
Aufgaben:
1. Berechne jeweils das arithmetische Mittel, den Median und die Spannweite SW.
2. Stelle die Notenverteilung der beiden Schülergruppengruppen in je einem
Säulendiagramm dar und zeichne für den Mittelwert und den Median jeweils eine
waagerechte Linie ein.
Notenverteilung Mädchen:
Notenverteilung Jungen:
Was stellst du fest? - Ergebnis:
Bei den Mädchen liegen die Zensuren alle sehr nahe beim Mittelwert und dem Median.
Sie streuen wenig
um den Mittelwert.
Bei den Jungen streuen die Zensuren stark
um den Mittelwert.
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3,0
SW
1,0
2,7
SW
5,0
Statistik
Klasse 10 - Crashkurs
Berechne die Varianz und die Standardabweichung
Mädchen
Nr.
x
1 3,2
2 3,5
3 2,9
4 3,3
5 3,4
6 2,5
7 2,7
8 2,8
9 3,1
10 2,6
= 3,0
Summe:
=
lineare Abweichung
(x - )
0,2
0,5
-0,1
0,3
0,4
-0,5
-0,3
-0,2
0,1
-0,4
quadr. Abweichung
(x - )²
0,04
0,25
0,01
0,09
0,16
0,25
0,09
0,04
0,01
0,16
0,0
0
1,10
s² =
s=
Jungen
Nr.
x
1 1,0
2 1,0
3 2,0
4 2,5
5 3,2
6 2,8
7 3,5
8 2,0
9 6,0
10 6,0
= 3,0
Summe:
=
0,11
0,33166
lineare Abweichung
(x - )
-2,0
-2,0
-1,0
-0,5
0,2
-0,2
0,5
-1,0
3,0
3,0
quadr. Abweichung
(x - )²
4,00
4,00
1,00
0,25
0,04
0,04
0,25
1,00
9,00
9,00
0,0
0
28,58
s² =
s=
2,858
1,6906
mittlere lineare Abweichung
mittlere quadratische Abweichung (Varianz)
Standardabweichung (gerundet)
mittlere lineare Abweichung
mittlere quadratische Abweichung (Varianz)
Standardabweichung (gerundet)
Merke:
Je kleiner die mittlere quadratische Abweichung und damit auch die
Standardabweichung ist, desto enger liegen die Einzelwerte um das
arithmetische Mittel dieser Einzelwerte herum.
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