WHB11 - Mathematik Bernoulli-Ketten – Tabelle Binomialverteilung

WHB11 - Mathematik
Bernoulli-Ketten – Tabelle Binomialverteilung
(Wahrscheinlichkeiten p > 0,5)
Datum:
26.01.2016
Binomialtabellen mit p > 0,5
Bei Bernoulli-Ketten kann man aufgrund der Symmetrie die Tabellen sozusagen doppelt
benutzen. Im unteren Beispiel geht es darum die Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte
Anzahl von Treffern abzulesen.
Für die Zufallsvariable X: Anzahl richtiger Antworten gilt X ~ B (15 , 1/3) und P(X=10) = 0,0067
Untersucht man nun die Zufallsvariable Y: Anzahl falscher Antworten gilt Y ~ B (15 , 2/3) und
P (Y = 5) = 0,0067, denn genau 10 richtige Antworten bei 15 Fragen heißt ja auch genau 5
falsche Antworten zu haben.
In der Tabelle verwendet man nun also die blauen Spalten rechts für n und k und die blaue
Zeile unten für p.
Aufgabe 1
Beim dem Spiel „Quizduell“ muss man Fragen zu bestimmten Themen beantworten. Man
kann die richtige Antwort aus vier möglichen Antworten auswählen. Ein Spieler hat von
keinem Thema eine Ahnung und rät bei 20 Fragen, welches die richtige Antwortmöglichkeit
ist.
a) Geben Sie die Verteilung der Zufallsvariable Y „Anzahl falscher Antworten“ an. (2P.)
Y~
(
,
)
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
b) Der Spieler hat genau 7 falsche Antworten.
P(
c) Der Spieler hat genau 9 falsche Antworten.
P(
d) Der Spieler hat höchstens eine falsche Antwort.
P(
e) Der Spieler hat genau 16 falsche Antworten.
P(
f) Der Spieler hat mindestens 2 falsche Antworten.
P(
g) Der Spieler hat mehr als 6 aber weniger als 9 falsche Antworten.
P(
≤Y≤
)=
h) Der Spieler hat alle Antworten falsch.
P(
i) Der Spieler hat höchstens 18 falsche Antworten
P(
E-Mail: [email protected]
)=
)=
)=
)=
)=
)=
)=
Homepage: http://www.mathekannjeder.de
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Bernoulli-Ketten – Tabelle Binomialverteilung
(Wahrscheinlichkeiten p > 0,5)
Datum:
26.01.2016
Frage:
Was macht man, wenn die Kombination aus n und p nicht in den Tabellen zu finden sind?
Antwort:
Man verwendet die Formel von Bernoulli: für eine Zufallsvariable X ~ (n ; p) gilt
n
P( X = k ) =   ⋅ p k ⋅ (1 − p ) n− k
k 
n
• Dabei steht   für die Anzahl der Pfade im Baumdiagramm, die man gehen kann,
k 
um genau k Treffer zu haben.
• p k weil man entlang von jedem der Pfade k - mal nach „oben“ zu einem Treffer
gehen muss und k - mal die Trefferwahrscheinlichkeit p mit sich selbst multiplizieren
muss.
• (1 − p ) n − k weil man entlang von jedem der Pfade n − k - mal nach „unten“ zu „keinem
Treffer“ gehen muss und n − k - mal die Nicht-Trefferwahrscheinlichkeit (1 − p ) mit
sich selbst multiplizieren muss.
Beispiel: Man würfelt 28-mal mit einem normalen
Wahrscheinlichkeit würfelt man 10 bzw. 5 Sechsen?
Zufallsgröße X: Anzahl der Sechsen
Würfel.
Mit
welcher
X ~ B (28 , 1/6)
Da n=28 nicht in den Tabellen steht, verwendet man die Formel, also:
10
•
•
18
 28   1   5 
P( X = 10) =   ⋅   ⋅   = 0,0082
 10   6   6 
5
23
 28   1   5 
P( X = 5) =   ⋅   ⋅   = 0,1908
 5  6 6
Übung: Buch Seite 108, Beispiel 3 (Anwendung der Formel von Bernoulli)
Übung:
Seite 112, Nr. 3a
Seite 112, Nr. 6
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