Skript-Teil-4_Teilbarkeit im PD_18-11-09_Vers2-1

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3.6 Teilbarkeit im Pascalschen Dreieck
3.6.1 Primfaktorzerlegung der
Binomialkoeffizieten
Im dritten Teil haben wir uns mit dem Pascalschen Dreieck und
einigen Besonderheiten beschäftigt. Dabei haben wir die vorhandenen
Zahlen als Binomialkoeffizienten kennen gelernt. Nun wollen wir
diese als Primfaktoren schreiben.
Eine natürliche Zahl n ist entweder eine Primzahl und damit selbst ihr
einziger Primfaktor oder sie wird als Produkt von Primzahlen
dargestellt. Das nennen wir Primfaktorzerlegung. Eine Ausnahme
bildet die 1, sie ist keine Primzahl und hat daher auch keinen
Primfaktor. Ihre Primfaktorzerlegung betrachten wir als „leeres
Produkt“. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren
eindeutig. Treten Primfaktoren mehrfach auf, können sie mit der
Exponentenschreibweise zusammen gefasst werden. Bei aufsteigend
geordneten
Primfaktoren
spricht
man
von
„kanonischer
Primfaktorzerlegung“. Die Exponenten der Primfaktoren erhalten wir
aus einer Formel aus der Zahlentheorie, die auf Legendre zurück geht.
Es gibt zu einer positiven ganzen Zahl m somit Primzahlen p1, p2, ...,
pk und Exponenten e(pi), i=1,...,k, für eine eindeutige Darstellung der
Form:
e p
m = Pi ⋅ pi ( i )
3.6.2 Teilbarkeiten durch Primfaktoren
Nun sollen die Zahlen des Pascalschen Dreiecks in Primfaktoren
zerlegt werden.
Um zu erkennen, welche Zahl durch eine bestimmte andere teilbar ist,
benötigen wir die Teilbarkeitsregeln. In unserem Fall – für das
Zerlegen in Primfaktoren – reichen die Regeln für die Primzahlen aus.
Jede Zahl ist durch 1 und sich selbst teilbar, jede gerade Zahl durch 2.
Bei der Teilbarkeit durch 3 benötigen wir die Quersumme und durch 5
ist jede Zahl teilbar, die als Einer eine 5 oder 0 hat. Das ist allen
bekannt. Aber wer kennt eine Regel für das Teilen durch 7?
2
Abbildung:
Pascalsches Dreieck bis zur Symmetrieachse mit Primfaktorzerlegung
3.6.3 Teilbarkeit durch 7
Von einer Zahl x multipliziert man die letzte Ziffer mit 2. Das
Ergebnis wird von der Zahl x ohne die letzte Stelle subtrahiert. Wenn
das Ergebnis durch 7 teilbar ist, dann ist es die ursprüngliche Zahl x
auch.
3
Beispiel:
364 ist durch 7 teilbar, denn:
Die letzte Ziffer ist 4, diese mit 2 multipliziert ergibt 8. Durch
Subtraktion von 36 – 8 = 28 erhält man eine Zahl, die bekanntermaßen
durch 7 teilbar ist.
Diesen Test kann man mehrmals nacheinander durchführen, solange
bis man bei einer Zahl endet, von der man weiß, dass sie durch 7
teilbar ist.
Ist 16562 durch 7 teilbar?
1656 – 2, 2 x 2=4, 1656-4=1652
165 – 2, 2x2=4, 165-4=161
16 – 1, 2x1=2, 16-2=14
14 ist durch 7 teilbar, also auch 16562.
3.6.4 Muster im Pascalschen Dreieck
Wenn man einmal alle geraden Zahlen (2, 4, 6, 8 usw.) im
Pascalschen Dreieck markiert, entsteht ein Muster. Dabei wird in dem
Dreieck ein auf dem Kopf stehendes kleineres Dreiecke sichtbar, das
sozusagen eingerahmt wird von einzelnen geraden Zahlen. Erweitert
man das Dreieck, wird auch das Muster immer eindrucksvoller und es
entstehen immer mehr kleinere Dreiecke. Es ist sicher interessant zu
untersuchen, ob die Dreiecksgrößen eine Rolle spielen.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
12
13
14
45
66
120
220
495
792
210
924
120
792
45
495
1
10
55
220
715
2002
1
9
165
1287
3003
1
8
36
330
1716
3432
1
7
28
84
462
1716
3003
56
252
1
6
21
126
462
1287
2002
70
210
1
5
15
35
126
330
715
1001
20
56
1
4
10
35
84
165
286
364
15
28
1
3
6
10
21
36
55
78
91
8
10
5
7
9
4
6
1
2
3
66
286
1001
1
11
1
12
78
364
1
13
91
1
14
Abbildung Pascalsches Dreieck „Markierung der geraden Zahlen“
1
4
Gerade Zahlen lassen sich ja glatt durch 2 teilen. Entstehen denn auch
Muster, wenn man im Dreieck diejenigen Zahlen markiert, die durch
andere Zahlen, wie z.B. die 3, teilbar sind? Man kann das mit jeder
Zahl versuchen, und tatsächlich entstehen für jede Zahl eigene
besondere Muster! Es ist ein wenig mühsam, das Pascalsche Dreieck
für jedes neue Muster aufzuzeichnen. Dafür kann man eine Tabelle in
Excel anlegen oder ein Programm aus dem Internet benutzen:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/pascalmod.htm
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