Formale Methoden 2 - LS1 - Logik in der Informatik

Formale Methoden 2
Gaetano Geck
(Lehrstuhl I – Logik in der Informatik)
Blatt 11
Aufgabe 1
a)
Beispiellösung
[Folgerung]
WS 2014/15
3 Punkte
Zeigen Sie, dass die Formelmenge Ψ = {A1 →A2 , A2 →A3 , A3 →A1 } die Formel ψ = A3 →A2 impliziert.
b)
Zeigen Sie, dass die Formelmenge Φ =
impliziert.
A ∧ (¬B ∨ C) →D, ¬ A ∧ (¬B ∨ C) →D die Formel ϕ = D
Beispiellösung zu Aufgabe 1
a)
Wir zeigen, dass jede Belegung α, welche die Formelmenge Ψ erfüllt (also jede darin enthaltenene Formel
erfüllt), auch die Formel ψ erfüllt. Dazu nutzen wir die folgenden Abkürzungen:
ψ1
ψ2
ψ3
= A1 →A2 ,
= A2 →A3 ,
= A3 →A1 ,
sodass Ψ = {ψ1 , ψ2 , ψ3 } gilt.
Wir unterscheiden zwei Fälle in Abhängigkeit des Wertes, den eine Belegung α der Variablen A1 zuweist.1 Wir
betrachten dabei, welche Auswirkungen dies auf den Wert hat, den α den anderen Variablen zuweist, um die
Formelmenge Ψ zu erfüllen (sonstige Belegungen müssen wird nach Definition der (semantischen) Implikation
nicht betrachten). Zuletzt überprüfen wir für die resultierenden Belegungen, ob sie erfüllend für ψ sind.
1. Fall (α(A1 ) = 0):
Um Ψ zu erfüllen, muss α insbesondere ψ3 = A3 →A1 erfüllen. Wegen α(A3 ) = 0 muss dann aber
nach Definition der (syntaktischen) Implikation α(A3 ) = 0 gelten.
Um Ψ zu erfüllen, muss α ferner ψ2 = A2 →A3 erfüllen. Wegen α(A3 ) = 0 muss dann aber nach
Definition der (syntaktischen) Implikation α(A2 ) = 0 gelten.
Wir können leicht nachrechnen, dass α mit α(A1 ) = α(A2 ) = α(A3 ) = 0 die Formel ψ1 = A1 →A3
erfüllt.
Diese Belegung erfüllt also alle Formeln in Ψ und ferner die Formel ψ, sodass das Implikationskriterium für alle Ψ-erfüllenden Belegungen mit α(A1 ) = 0 erfüllt ist.
2. Fall (α(A1 ) = 1):
Um Ψ zu erfüllen, muss α insbesondere ψ1 = A1 →A2 erfüllen. Wegen α(A1 ) = 1 muss dann
α(A2 ) = 1 gelten.
Um Ψ zu erfüllen, muss α insbesondere ψ2 = A2 →A3 erfüllen. Wegen α(A2 ) = 1 muss dann
ferner α(A3 ) = 1 gelten.
Wir können leicht nachrechnen, dass α mit α(A1 ) = α(A2 ) = α(A3 ) = 1 die Formel ψ3 = A3 →A1
erfüllt.
Diese Belegung erfüllt also alle Formeln in Ψ und ferner die Formel ψ, sodass das Implikationskriterium für alle Ψ-erfüllenden Belegungen mit α(A2 ) = 1 erfüllt ist.
In bedein Fällen muss eine Ψ-erfüllende Belegung also die Formel ψ erfüllen. Offenbar gibt es keine weiteren
Fälle.
1 Für die angegebene Formelmenge, könnte die Fallunterscheidung genauso gut über die Variable A oder die Variable A geführt
2
3
werden.
Formale Methoden 2 (WS 2014/15)
Blatt 11
Erneut führen wir eine Fallunterscheidung durch, nun „weniger konkret“.2
b)
Wir kürzen ab:
ϕ1
ϕ2
=
=
[A ∧ (¬B ∨ C)]→D,
¬[A ∧ (¬B ∨ C)]→D,
sodass Φ = {ϕ1 , ϕ2 } gilt.
1. Fall ([[A ∧ (¬B ∨ C)]]α = 0):
Um Φ zu erfüllen, muss α insbesondere ϕ2 erfüllen und wegen der Voraussetzung des Falles und
der Definition der (syntaktischen) Implikation dann auch die Formel D.
2. Fall ([[A ∧ (¬B ∨ C)]]α = 1):
Um ϕ zu erfüllen, muss α insbesondere ϕ1 erfüllen und wegen der Voraussetzung des Falles und
der Definition der (syntaktischen) Implikation dann auch die Formel D.
In beiden Fällen muss eine Φ-erfüllende Belegung also die Formel ϕ erfüllen. Offenbar gibt es keine weiteren
Fälle.
2 Wir
bestimmen nicht die Werte der Belegung für alle Variablen, sondern betrachten den Wert [[ϕ]]α für größere Teilformeln.
2/4
Formale Methoden 2 (WS 2014/15)
Aufgabe 2
Blatt 11
[Modellierung]
4 Punkte
Geben Sie für jede Formel zunächst die verwendeten Variablen mit der intendierten Bedeutung an.
a)
Neujahrsvorsatz: Sie wollen sich gesund ernähren, allerdings auch nicht „zu gesund“. In Ihrem Obstkorb finden Sie einen
Apfel, eine Birne, eine Clementine und eine Dattel. Stellen Sie eine
Formel auf, die genau dann erfüllt wird, wenn gilt: Heute esse ich
genau zwei der vier Früchte.
b)
Beschreiben Sie (analog zur Folie „Modellierung (4/4): Knotenüberdeckung“), wie für einen beliebigen
Graphen G = (V, E) eine Formel konstruiert werden kann, die genau dann erfüllbar ist, wenn der Graph eine
Kantenüberdeckung der Größe 3 besitzt. Geben Sie die jeweiligen Teileigenschaften und die Teilformeln an und
wie diese Teilformeln zu einer Gesamtformel zusammengesetzt werden.
Beispiellösung zu Aufgabe 2
a)
Variablen:
•
•
•
•
A: Heute esse ich den Apfel.
B: Heute esse ich die Birne.
C: Heute esse ich die Clementine.
D: Heute esse ich die Dattel.
Formel:
• Eine Möglichkeit besteht darin, alle erlaubten Kombinationen aufzuzählen und disjunktiv miteinander zu
verknüpfen:
(A ∧ B ∧ ¬C ∧ ¬D) ∨ (A ∧ ¬B ∧ C ∧ ¬D) ∨ (¬A ∧ B ∧ C ∧ ¬D)∨
(A ∧ ¬B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬A ∧ B ∧ ¬C ∧ D) ∨ (¬A ∧ ¬B ∧ C ∧ D)
• Alternativ kann auch die Erfüllung zweier Variablen erzwungen und die Erfüllung von drei (und damit
auch von mehr) Variablen verboten werden:
(A∧B)∨(A∧C)∨(A∧D)∨(B∧C)∨(B∧D)∨(C∧D) ∧ ¬(A∧B∧C)∧¬(A∧B∧D)∧¬(B∧C∧D)∧¬(A∧C∧D)
b)
Sei G = (V, E) der ungerichtete Graph mit Knotenmenge V und Kantenrelation E.
Variablen:
• Cu,v : Kante (u, v) ist in der Überdeckung enthalten (für alle (u, v) ∈ E)
Eigenschaft: Es sind höchstens drei Kanten in der Überdeckung enthalten.
Formel:
^
ϕ=
^
^
^
(u1 ,v1 )∈E (u2 ,v2 )∈E−{(u1 ,v1 )} (u3 ,v3 )∈E−{(u1 ,v1 ),(u2 ,v2 )} (u4 ,v4 )∈E−{(u1 ,v1 ),(u2 ,v2 ),(u3 ,v3 )}
Eigenschaft: Der Knoten v wird von einer Kante überdeckt.
W
Formel: ψv = (u,v)∈E Du,v .
Eigenschaft: Der Graph besitzt eine Kantenüberdeckung der Größe 3.
V
Gesamtformel: χG = ϕ ∧ v∈V ψv .
3/4
¬(Du1 ,v1 ∧Du2 ,v2 ∧Du3 ,v3 ∧Du4 ,v4 ).
Formale Methoden 2 (WS 2014/15)
Aufgabe 3
Blatt 11
[Normalformen]
3 Punkte
Wandeln Sie die folgende Formel ϕ in eine äquivalente Formel in konjunktiver Normalform um. Nutzen Sie dazu
das Verfahren, das im Beweis zu Satz 1.33 skizziert ist. Geben Sie die in den jeweiligen Schritten entstehenden
Formeln an und ebenso die Regel (De Morgan, Doppelnegation, Ersetzung von Abkürzungen) die diesen Schritt
rechtfertigt:
h
i
ϕ = ¬ ¬A ∧ B ∨ (C → ¬D) ∧ ¬E .
Beispiellösung zu Aufgabe 3
h
i
¬ (¬A ∧ B) ∨ (C→¬D) ∧ ¬E
h
i
≡ ¬ (¬A ∧ B) ∨ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬E
≡ ¬(¬A ∧ B) ∧ ¬ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬E ≡ (¬¬A ∨ ¬B) ∧ ¬ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬E
≡ (A ∨ ¬B) ∧ ¬ (¬C ∨ ¬D) ∧ ¬E ≡ (A ∨ ¬B) ∧ ¬(¬C ∨ ¬D) ∨ ¬¬E
≡ (A ∨ ¬B) ∧ ¬(¬C ∨ ¬D) ∨ E ≡ (A ∨ ¬B) ∧ (¬¬C ∧ ¬¬D)
∨E
≡ (A ∨ ¬B) ∧ (C ∧ D) ∨ E
≡ (A ∨ ¬B) ∧ (C ∨ E) ∧ (D ∨ E)
4/4
Auflösen der Abkürzung →
De Morgan
De Morgan (links)
Doppelnegation (links)
De Morgan (rechts)
Doppelnegation (rechts)
De Morgan (rechts)
2x Doppelnegation (rechts)
Distributivität