12 Punkte - AIA RWTH

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(Name, Matr.-Nr, Unterschrift)
Klausur Strömungsmechanik II
07. 08. 2015
1. Aufgabe
(12 Punkte)
a) Eine ebene Platte der Länge L wird parallel zur Oberfläche angeströmt (Geschwindigkeit
u∞ , Dichte ρ∞ , Viskosität η). Zeigen Sie, dass geeignete Skalierungsgrößen für die Normalkoordinate y und die normale Geschwindigkeitskomponente v für die sich ausbildende
Grenzschichtströmung durch
s
r
ηL
u∞ η
und vR =
yR =
ρ∞ u∞
ρ∞ L
gegeben sind.
b) Bei verschwindendem Druckgradienten lautet die Energiegleichung für zweidimensionale, stationäre Strömungen mit konstanten Stoffgrößen (λ, η, cp )
2
∂T
∂ 2T
∂T
∂ T
+v
+
=λ
ρcp u
∂x
∂y
∂x2
∂y 2
" 2
2 #
2 2
∂u
2 ∂u ∂v
∂v
∂v ∂u
+η 2
.
+2
+
−
+
+
∂x
∂y
∂x ∂y
3 ∂x ∂y
Schreiben Sie die Energiegleichung in dimensionsloser Form. Wählen Sie unter Beachtung der Ergebnisses unter a) geeignete Referenzgrößen für Grenzschichtströmungen.
c) Bestimmen Sie mit der Methode der Differentialgleichungen alle relevanten Kennzahlen
des Problems und drücken Sie die erhaltene(n) Kennzahl(en) durch eine oder mehrere in
der Strömungsmechanik häufig verwendete Kennzahl(en) aus.
d) Vereinfachen Sie die dimensionslose Energiegleichung unter Berücksichtigung der Grenzschichtannahme für eine kompressible Luftströmung.
Gegeben: Alle notwendigen Referenzgrößen
2. Aufgabe
(8 Punkte)
g
pa
y
ρ, η
h(x)
h0
x
Über eine große horizontale Platte der Tiefe B fließt ein Flüssigkeitsfilm. Die Strömung wird
durch Zufuhr eines Volumenstroms V̇ weit stromauf der Plattenkante x0 = 0 entfernt aufrecht
erhalten. An der Plattenkante x0 = 0 strömt die Flüssigkeit ab. Die ausgebildete schleichende Strömung im Flüssigkeitsfilm in ausreichender Entfernung zur Zuströmung wird durch die
Differentialgleichungen
∂p
∂ 2u
= η 2
∂x
∂y
∂p
= −ρg
∂y
beschrieben.
Bestimmen Sie den Verlauf der Filmdicke h(x).
Gegeben:
V̇ , ρ, η, g, h0 , B
Hinweise:
• Die Filmströmung kann als zweidimensional, laminar und voll ausgebildet angesehen
werden, Effekte nahe der Vorderkante sind zu vernachlässigen.
• Die Reibung zwischen der umgebenden Luft und der Filmoberfläche kann vernachlässigt
werden.
• Es kann angenommen werden, dass an der Plattenvorderkante h(x0 = 0) = h0 gilt.
3. Aufgabe
(12 Punkte)
Die ebene Umströmung der abgebildeten Tennishalle soll mit Hilfe der Potentialtheorie beschrieben werden.
8
u
y
x
a) Stellen Sie die komplexe Potentialfunktion F (z) auf, die das Problem potentialtheoretisch
beschreibt.
b) Bestimmen Sie unter Berücksichtigung der konjugiert komplexen Geschwindigkeit w̄ die
kartesischen Geschwindigkeitskomponenten u(x, y) und v(x, y) der Strömung.
c) Ermitteln Sie die Position der Staupunkte und die Gleichung der Konturstromlinie.
Gegeben: alle notwendigen Parameter
Hinweis:
Gegeben sind die folgenden komplexen Potentialfunktionen:
• F (z) = (u∞ − iv∞ )z
• F (z) =
±E
2π
• F (z) =
M
2πz
• F (z) =
−iΓ
2π
ln z
• F (z) = αz 2
Parallelströmung
Quelle/Senke
Dipol
ln z
Potentialwirbel
Staupunktströmung
4. Aufgabe
(11 Punkte)
In einer Plattengrenzschicht werden Geschwindigkeitsprofile und Druckverlauf vermessen. Der
auf der Platte gemessene Druckverlauf wird durch die Beziehung
x 2
p(x)
=1−k
mit
p0
l
und die Geschwindigkeitsprofile werden durch
u(x, y)
=
ua (x)
y
δ0
21
0 < k = konst < 1
ua (x = 0) = u∞
wiedergegeben, wobei die Grenzschichtdicke δ0 in Strömungsrichtung konstant ist.
a) Bestimmen Sie die Verdrängungsdicke δ1 und die Impulsverlustdicke δ2 .
b) Bestimmen Sie die Außengeschwindigkeit ua (x).
c) Zeigen Sie, dass die Wandschubspannung τw (x) für x > 0 linear mit x ansteigt.
d) Kann diese Grenzschicht ablösen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Gegeben: p0 , k, δ0 , l, u∞ , ρ
Hinweis:
Die Integralbeziehung nach von Kármán lautet:
τw (x)
dδ2 (2δ2 (x) + δ1 (x)) dua (x)
+
− 2
=0
dx
ua (x)
dx
ρua (x)
Die Grenzschichtgleichung (x-Impuls):
u
∂u
∂u
1 ∂p
∂ 2u
+v
=−
+ν 2
∂x
∂y
ρ ∂x
∂y
5. Aufgabe
(12 Punkte)
a) Leiten Sie einen Ausdruck für das Verhältnis von kritischer Temperatur T ⋆ zu Ruhetemperatur T0 für den Fall einer kompressiblen, isentropen Strömung her.
Das Kissen eines Airbags wird beim Überschreiten einer bestimmten Beschleunigung des Fahrzeugs durch einen pyrotechnischen Gasgenerator innerhalb kurzer Zeit mit Luft gefüllt. Die
Temperatur TG (t) des in dem Gasgenerator erzeugten Gases nimmt mit der Zeit t ab. Die Dichte
ρG bleibt konstant. Das Gas strömt zunächst im divergenten Düsenteil supersonisch und isentrop mit einem Massenstrom von ṁ durch vier Düsen in das Kissen. In dem Kissen ist stets der
konstante Umgebungsdruck pa .
pyrotechnischer
Gasgenerator
Airbagkissen
Me
ρG
T G (t)
.
m
pa
γ, R
AD
b) Wie groß ist der engste Querschnitt AD einer Düse?
c) An den Düsenaustritten liegt die Machzahl Me vor. Bestimmen Sie die Dauer ∆t, für die
das Kissen befüllt werden kann, bis sich an den Düsenaustritten jeweils ein senkrechter
Verdichtungsstoß einstellt.
Gegeben:
γ,
R,
TG (t) = TG,0 − kt,
k,
ρG ,
ṁ,
pa ,
Hinweise:
• Die Luft wird als ideales Gas betrachtet.
• Die Luft ist in dem Gasgenerator in Ruhe.
• Isentropenbeziehung:
T0
=
T
p0
p
(γ−1)/γ
=
ρ0
ρ
(γ−1)
• Rankine-Hugoniot-Beziehung:
2γ
p2
(M 2 − 1)
=1+
p1
γ+1 1
• cp =
γR
γ−1
Me .
6. Aufgabe
(5 Punkte)
a) Weshalb kann man bei demselben physikalischen Problem mit dem Buckinghamschen
Π-Theorem auf eine andere Anzahl von Kennzahlen kommen als mit der Methode der
Differentialgleichungen?
b) Unter welcher Bedingung gilt eine Strömung als schleichende Strömung?
Geben Sie ein Beispiel an, bei dem schleichende Strömung auftritt.
c) Zeigen Sie, dass eine Couette-Strömung mit den Geschwindigkeitskomponenten
y
u(x, y) = U und v(x, y) = 0 keine Potentialströmung sein kann. U sei die Relativgeh
schwindigkeit zweier Platten und h sei deren Abstand.