Lineare Algebra I - Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
- 20.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Klausur: voraussichtlich Mittwoch, 14.12. 14:30 Uhr, A3 001
Determinantenform
• multilinear
• alternierend
• ≠0
V: n-dimensionaler K-Vektorraum
Bis auf skalare Multiplikation gibt es genau eine Determinantenform auf V!

dim (Altn (V, K)) = 1
Leibniz’sche Entwicklungsformel:
6.1. Alternierende Multilinearformen
alternierend,
und daher (v1 , . . .f, vab
0 für die
alle Determinante
1  i < n.
n , vund
i ) = wird
ddenn
hängtistnur
von dem Endomorphismus
von f genannt.
Für die
Richtung “)” nehme an, dass die Menge {v1 , . . . , vn } linear unabhängig ist. Sie ist
Man
schreibt
also eine Basis von V . Wäre (v1 , . . . , vn ) d
==
0, det(f
so wäre
) . nach dem Beweis von Satz 6.8 = 0,
Determinanten
vonmuss
Endomorphismen
und damit keine Determinantenform,
. Also
(v1 , . . . , vn ) 6= 0 sein.
⇤
Beweis.
Man
sieht
sehr
leicht,
dass
f
wieder eine alternierende Multilinearform ist, und
:detf}
⇤
dass
die
Abbildung
!
7
f
linear ist.der
Falls
= 0 ist,n,sound
ist fdie
erfAbbilüllt. Falls
Satz 6.10. Sei V ein K-Vektorraum
Dimension
: VGleichung
! V einetrivial
lineare
⇤
=
6
0
ist,
so
muss
nach
Satz
6.8
f
von sein. Der Umstand,
dass d nur von f
dung. Dann gibt es ein d 2 K, sodassein
fürVielfaches
alle Determinantenformen
auf V gilt
nicht aber von abhängt folgt einfach daraus, dass alle alternierenden n-Multilinearformen
0
f ⇤ (veiner
vn ) := (f (v1 ), . . . , f (vn ))solchen
= d (vForm
für alle
. . .n,(V,
vn K)
2 V irgendeine
.
1 , . . . ,nicht-verschwindenden
1, . . . , v
n ) , sei
Vielfache
sind:
2v1Alt
andere alternierende Multilinearform, dann gibt es ein l 2 K mit 0 = l . Daher
d hängt nur von dem Endomorphismus f ab und wird die Determinante von f genannt.
Man schreibt
f ⇤ 0 = f ⇤ (l ) = l f ⇤ ( ) = l (d ) = d (l ) = d 0 .
d = det(f ) .
pdetf}
Beweis. Man sieht sehr leicht, dass f ⇤ wieder eine alternierende Multilinearform ist. Falls
= 0 ist, so ist die Aussage wahr. Falls 6= 0 ist, so muss nach Satz 6.8 f ⇤ ein Vielfaches
von sein. Der Umstand, dass d nur von f nicht aber von abhängt folgt einfach daraus,
Proposition
6.11. Sein-Multilinearformen
V ein K-Vektorraum
der Dimension
n 2 N. Dann gilt solchen
dass alle alternierenden
Vielfache
einer nicht-verschwindenden
n ) det(g), für alle f, g 2 Hom(V, V )
(1) det(f
det(f
Form
sind: seig)0 =
2 Alt
(V, K) irgendeine andere alternierende Multilinearform, dann gibt es
(2)l 2det(l
f ) =0 =
ln ldet(f
), für f 2 Hom(V, V ), l 2 K
ein
K mit
. Daher
(3) det(0) = 0 und det(id
V )⇤ = 1
⇤ 0
⇤
0
f
=
f
(l
)
=
l
f
(
)
=
l
(d
)
=
d
(l
)
=
d
. wenn det(f ) 6=
(6.3)
(4) ein Endomorphismus f : V ! V ist Isomorphismus genau dann
0, und
1
dann ist det(f 1 ) = det(f
)
Beweis. Sei eine Determinantenform auf einem n-dimensionalen K-Vektorraum V .
Proposition
(1):
Es gilt 6.11. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n 2 N. Dann gilt
(1) det(f g) = det(f ) det(g), für alle f, g 2 Hom(V, V )
⇤
(2) det(l f )(f
= lng)
det(f
Hom(V,
V ),)l 2
K det(f ) g ⇤ = det(f ) det(g) .
=),gf⇤ür(ff⇤ 2) =
g ⇤ (det(f
)=
(3) det(0) = 0 und det(idV ) = 1
Alternierende
Multilinearformen
1
(4) für Isomorphismen f : V ! V ist det(f ) 6= 0 und6.1.
det(f
)= 1
(4): Sei f : V ! V ein Isomorphismus. Setze in (1) g = f
(3)
1
. Zusammen mit (3) erhält man
(1)
1 = det(idV )= det(f f ) = det(f ) det(f
Determinanten und Matrixdarstellungen
1
Also det(f ) 6= 0 und det(f 1 ) = det(f
.
)
1
).
Proposition 6.12. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n 2 N mit geordneter Basis
B = (b1 , . . . , bn ). Sei ferner f : V ! V ein Endomorphismus mit Matrixdarstellung
A = (aij )ni=1nj=1 = MatA A (f ) 2 Mat(n, n; K) , also f (bj ) =
Dann gilt
det(f ) =
X
sign( ) a
(1)1
... a
(n)n
n
X
aij bi .
i=1
.
2Sn
Beweis. Das folgt sofort aus der Leibnizschen Entwicklungsformel (6.2), denn sei
Determinantenform, so gilt
det(f ) (b1 , . . . , bn )
=
(6.2)
=
eine
(f ⇤ )(b1 , . . . , bn ) = (f (b1 ), . . . , f (bn ))
X
Hängt nicht von der
sign( ) a (1)1 . . . a (n)n (b1 , . . . , bn ) .
Wahl der Basis ab!
2Sn
6.2
7
Determinanten von Matrizen
Eigenvektoren und Eigenwerte6.1. Alternierende Multilinearformen
6.2. Determinanten von Matrizen
A 2 Mat(n, n; K)
70
Dann ist
A· : Mat(n, 1; K)
b
Man kann also definieren:
!
7 !
Mat(n, 1; K)
A·b
ein Endomorphismus.
6.2 Determinanten von Matriz
det(A) := det(A·)
Definition 6.13. Sei K Körper, n 2 N. Definiere die Determinante einer quadratisch
Matrix A 2 Mat(n, n; K) als die Determinante des Endomorphismus A· : Mat(n, 1; K)
Mat(n, 1; K) (vgl. Satz 6.10):
(A·) gerade
A selber ist
Da die Matrixdarstellung bzgl. der Standardbasis
det(A) :=von
det(A·)
.
erhält man aus
Prop.
6.12:
Manchmal schreibt man auch |A| für det(A). Da A die Matrixdarstellung
der
Abbildung
ist (siehe Beispiel 5.22) folgt aus Proposition 6.12 sofort die Formel
X
det(A) =
sign( ) a (1)1 . . . a (n)n .
(6
2Sn
Beispiel 6.14.
(1) Für n = 1 gilt det(a11 ) = a✓11 .
◆
a11 a12
6.2. Determinanten
von Matrizen
(2) Für n = 2 erhält man det
= a11 a22
a12 a21 .
70
6.2 Determinanten von Matrizen
Definition 6.13. Sei K Körper, n 2 N. Definiere die Determinante einer quadratischen
Matrix A 2 Mat(n, n; K) als die Determinante des Endomorphismus A· : Mat(n, 1; K) !
Mat(n, 1; K) (vgl. Satz 6.10):
det(A) := det(A·) .
{defi:
Manchmal schreibt man auch |A| für det(A). Da A die Matrixdarstellung der Abbildung A·
ist (siehe Beispiel 5.22) folgt aus Proposition 6.12 sofort die Formel
X
det(A) =
sign( ) a (1)1 . . . a (n)n .
(6.3) {eq:de
2Sn
Beispiel 6.14.
Für n = 1 gilt det(a11 ) = a✓11 .
6(1)Determinanten
71
◆
a11 a12
(2) Für n = 2 erhält man det
= a11 a22
a12 a21 .
a21 a22
etobd}
Bemerkung
6.15.
(3) Eine obere
Dreiecksmatrix ist eine Matrix A = (aij )ni=1nj=1 2 Mat(n, n; K), für die
> j. D.h. A hat
die die
Gestalt
(1) gilt
Die aDefinition
der iDeterminante
durch
Formel (6.3) macht in der Tat auch Sinn,
ij = 0 für alle
0 in einem Körper1sondern in einem kommutativen
wenn die Einträge der Matrix nicht
⇤ ··· ··· ⇤
Ring liegen.
.. C
..
B
.
0
. C zur Berechnung von Matrizen.
B effiziente Methode
(2) Formel (6.3) ist im allgemeinen
keine
A=B . .
C,
.
.
. . .. Adiskutieren.
@ ..zur .Berechnung
.
Später werden wir andere Methoden
0 ··· 0 ⇤
wobei
die mit
‘⇤’ gekennzeichneten
Einträgevon
beliebig
sind.
Die aus
Determinante
einer
Die
folgenden
Eigenschaften
der Determinante
Matrizen
folgen
den entsprechensolchen Matrix
sich leicht berechnen.
Da aij = 0(vgl.
für alle
i > j tauchen
den Eigenschaften
derläßt
Determinante
von Endomorphismen
Proposition
6.11): in der
Summe in Gleichung (6.3) nur Summanden auf, mit
6.2. Determinanten von Matrizen
Später werden wir andere Methoden zur Berechnung diskutieren.
Die folgenden Eigenschaften der Determinante von Matrizen folgen aus den entsprechendenden
Eigenschaften
von Endomorphismen
Aus
Eigenschaftender
vonDeterminante
Matrizen von Endomorphismen
folgt …(vgl. Proposition 6.11):
Proposition 6.16. Sei n 2 N. Dann gilt
(1) det(A · B) = det(A) det(B), für alle A, B 2 Mat(n, n; K)
n
(2) det(l
A)
=
l
det(A),
0
1 für A 2 Mat(n, n; K) und l 2 K
0 ··· 0
B
C
(3) det @ ... . . . ... A = 0, det(In ) = 1
0 ··· 0
(4) A 2 Mat(n, n; K) ist invertierbar genau dann, wenn det(A) 6= 0, und dann gilt
1
det(A 1 ) = det(A)
{b
Bemerkung 6.17. Daraus folgt insbesondere, dass
Bemerkung 6.17. Daraus folgt insbesondere
det : GLn (K) ! K \ {0}
ist Gruppenhomomorphismus!
det : GLn (K) ! K \ {0}
) ker(det) = {A 2 GLn (K) | det(A) = 1} ⇢ GLn (K)
ist Untergruppe!
ein Gruppenhomomorphismus
(in die multiplikative Gruppe von K) ist. Der Kern dieses
| {z }
Homomorphismus
nach Proposition
2.12 eine Untergruppe, sie wird spezielle lineare
=: SLn (K) ist Spezielle
Lineare Gruppe
Gruppe genannt und mit SLn (K) bezeichnet:
SLn (K) = ker(det) = {A 2 Mat(n, n; K) | det(A) = 1} ⇢ GLn (K) .
6.2. Determinanten von Matrizen{p
ein Gruppenhomomorphismus (in die multiplikative Gruppe von K) ist. Der Kern dieses
Homomorphismus ist nach Proposition 2.12 eine Untergruppe, sie wird spezielle lineare
Gruppe genannt und mit SLn (K) bezeichnet:
Verhalten unter Transposition
SLn (K) = ker(det) = {A 2 Mat(n, n; K) | det(A) = 1} ⇢ GLn (K) .
Proposition 6.18. Sei A 2 Mat(n, n; K), dann gilt
det(A) = det(At ) .
Beweis. Startpunkt für den Beweis ist Formel (6.3). Da die Multiplikation in K kommutativ
ist, kann man die Faktoren in den in der Formel auftauchenden Produkten a (1)1 . . . a (n)n
mit einer Permutation ⇡ 2 Sn vertauschen, ohne das Produkt zu ändern:
a
(1)1
... a
(n)n
=a
(⇡(1))⇡(1)
... a
(⇡(n))⇡(n)
.
6.2. Determinanten von Matrizen