Inhalt - Informatik, TU Wien

Inhalt
PROLOG-1A: Mathematik?
PROLOG-1B: Aussagen
PROLOG-2: Mengen, Funktionen, Zahlenmengen, Induktion
PROLOG-3A: Mathematik in Semestern 1+2
PROLOG-3B: Ungleichungen
Mengen
Mengen
I
Wir kennen schon Grundaussagen der Form x = y .
Mengen
I
Wir kennen schon Grundaussagen der Form x = y .
I
Auch Teil der mathematischen Sprache: Mengen.
Mengen
I
Menge: ,,gedankliche Zusammenfassung unterscheidbarer
Objekte.”
Mengen
I
Menge: ,,gedankliche Zusammenfassung unterscheidbarer
Objekte.”
I
Grundaussage über Mengen:
I
x ∈ M bedeutet ,,x ist in der Menge M enthalten.”
Bekannte Mengen
I
Die folgenden Mengen kennen Sie aus der Schule:
I
I
I
I
I
I
I
Die leere Menge ∅ = {},
die natürlichen Zahlen N = {0, 1, 2, 3, . . .},
die ganzen Zahlen Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .},
die rationalen Zahlen Q (Brüche mn ),
die reellen Zahlen R (die ,,Zahlengerade”),
und die komplexen Zahlen C (die ,,Gauß’sche Zahlenebene”).
Für diese Mengen werden Ihre Schulkenntnisse vorausgesetzt.
Mengen
I
Bildung von Mengen mittels Aussagen:
I
{x | A(x)} — Menge der Objekte x, sodass Aussage A(x)
wahr ist.
Mengen
I
Bildung von Mengen mittels Aussagen:
I
{x | A(x)} — Menge der Objekte x, sodass Aussage A(x)
wahr ist.
Beispiele:
I
I
{x | x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3}
Mengen
I
Bildung von Mengen mittels Aussagen:
I
{x | A(x)} — Menge der Objekte x, sodass Aussage A(x)
wahr ist.
Beispiele:
I
I
{x | x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3} = {1, 2, 3}, also ,,die Menge, die
genau die Zahlen 1, 2, und 3 enthält”.
Mengen
I
Bildung von Mengen mittels Aussagen:
I
{x | A(x)} — Menge der Objekte x, sodass Aussage A(x)
wahr ist.
Beispiele:
I
I
I
{x | x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3}
{x | x > 5} — ,,die Menge aller Zahlen, die grösser als 5 sind”.
Mengen & Quantoren
I
Jetzt können wir präzise Aussagen über ,,Objekte” treffen:
I
Quantoren ∀, ∃.
Mengen & Quantoren
I
Jetzt können wir präzise Aussagen über ,,Objekte” treffen:
I
Quantoren ∀, ∃.
I
,,∀x ∈ M : A(x)” ist wahr falls A(x) für alle x ∈ M gilt.
Mengen & Quantoren
I
Jetzt können wir präzise Aussagen über ,,Objekte” treffen:
I
Quantoren ∀, ∃.
I
,,∀x ∈ M : A(x)” ist wahr falls A(x) für alle x ∈ M gilt.
I
,,∃x ∈ M : A(x)” ist wahr falls A(x) für mindestens ein x ∈ M
gilt.
Mengen & Quantoren
I
Beispiele:
I
∀x ∈ R : x ≥ 0 ∨ x < 0,
Mengen & Quantoren
I
Beispiele:
I
∀x ∈ R : x ≥ 0 ∨ x < 0,
I
∀n ∈ N ∃m ∈ N : n = 2m ∨ n = 2m + 1.
Mengen & Quantoren
I
Beispiele:
I
∀x ∈ R : x ≥ 0 ∨ x < 0,
I
∀n ∈ N ∃m ∈ N : n = 2m ∨ n = 2m + 1.
I
Sei M = {x | x ∈ R ∧ x > 5}. Dann gilt ∀x ∈ M : x > 0.
Mindestens ein/Genau ein
I
∃x ∈ M : A(x): es gibt mindestens ein x ∈ M mit A(x).
I
Was heisst: Es gibt genau ein x ∈ M mit A(x)?
Mindestens ein/Genau ein
I
∃x ∈ M : A(x): es gibt mindestens ein x ∈ M mit A(x).
I
Was heisst: Es gibt genau ein x ∈ M mit A(x)?
I
∃x ∈ M : (A(x) ∧ ∀y ∈ M : (A(y ) ⇒ x = y )).
Negation von Quantoren
I
Wichtig:
I
(¬∀x ∈ M : A(x)) ⇔ (∃x ∈ M : ¬A(x)).
I
(¬∃x ∈ M : A(x)) ⇔ (∀x ∈ M : ¬A(x)).
Weitere Schreibweisen
A⊆B
A 6⊆ B
A⊂B
∅
A=B
|M|
Mengen konstruieren
I
Neue Mengen aus gegebenen Mengen konstruieren:
A∪B
A∩B A\B
A0 (in M) P(A) A × B
Zusammenfassung
I
Methode der Mathematik:
I
präzise Aussagen über Zusammenhang der Dinge.
Zusammenfassung
I
Methode der Mathematik:
I
präzise Aussagen über Zusammenhang der Dinge.
I
Grundsätzliche Aussage ist: 2 Objekte x, y sind gleich: x = y .
Zusammenfassung
I
Methode der Mathematik:
I
präzise Aussagen über Zusammenhang der Dinge.
I
Grundsätzliche Aussage ist: 2 Objekte x, y sind gleich: x = y .
I
Objekte können in Mengen zusammengefasst werden.
I
Quantoren: über welche Objekte sprechen wir genau?
Zusammenfassung
I
Methode der Mathematik:
I
präzise Aussagen über Zusammenhang der Dinge.
I
Grundsätzliche Aussage ist: 2 Objekte x, y sind gleich: x = y .
I
Objekte können in Mengen zusammengefasst werden.
I
Quantoren: über welche Objekte sprechen wir genau?
I
Kompliziertere Zusammenhänge z.B. mittels ⇒.
Zusammenfassung
I
Methode der Mathematik:
I
präzise Aussagen über Zusammenhang der Dinge.
I
Grundsätzliche Aussage ist: 2 Objekte x, y sind gleich: x = y .
I
Objekte können in Mengen zusammengefasst werden.
I
Quantoren: über welche Objekte sprechen wir genau?
I
Kompliziertere Zusammenhänge z.B. mittels ⇒.
I
Beweis erklärt die Wahrheit einer Aussage.
Fourier Reihen
Theorem
Sei M = {. . .} und f eine Funktion aus M. Dann existieren
a0 , b0 , a1 , b1 , . . . ∈ R sodass
f (x) =
∞
X
n=0
für alle x ∈ [−π, π].
(an cos(nx) + bn sin(nx))
Funktionen
Funktionen
I
Mengen: Zusammenfassungen von Elementen.
I
Wie können wir Elemente von Mengen miteinander verbinden?
Funktionen
I
Mengen: Zusammenfassungen von Elementen.
I
Wie können wir Elemente von Mengen miteinander verbinden?
I
Funktionen
Funktionen
I
Mengen: Zusammenfassungen von Elementen.
I
Wie können wir Elemente von Mengen miteinander verbinden?
I
I
Funktionen
Sie kennen aus der Schule: sin(x), cos(x), e x , log(x), . . .
Funktionen
Definition
Eine Funktion f von D in B ist eine Vorschrift, welche jedem
Element der Menge D ein eindeutig bestimmtes Element der
Menge B zuordnet. Wir schreiben auch f : D → B : x 7→ . . .
Funktionen
Definition
Eine Funktion f von D in B ist eine Vorschrift, welche jedem
Element der Menge D ein eindeutig bestimmtes Element der
Menge B zuordnet. Wir schreiben auch f : D → B : x 7→ . . .
Funktionen
Definition
Eine Funktion f von D in B ist eine Vorschrift, welche jedem
Element der Menge D ein eindeutig bestimmtes Element der
Menge B zuordnet. Wir schreiben auch f : D → B : x 7→ . . .
Funktionen
I
Beispiele:
I
sin(x), cos(x), . . . Funktionen von R in R.
Funktionen
I
Beispiele:
I
sin(x), cos(x), . . . Funktionen von R in R.
I
M . . . Menge der Menschen.
I
Abbildungsvorschrift für m ∈ M: m 7→ Mutter von m.
Ist eine Funktion von M in M:
I
Funktionen
I
Beispiele:
I
sin(x), cos(x), . . . Funktionen von R in R.
I
M . . . Menge der Menschen.
I
Abbildungsvorschrift für m ∈ M: m 7→ Mutter von m.
Ist eine Funktion von M in M:
I
1. Jeder Mensch hat genau eine Mutter, und
2. jede Mutter ist ein Mensch.