Lösungen zu Übung 15

WVV 09
Lösungen zu Übung 15
1. Gegeben sind ein Pentomino-Brett (ein 10 × 10-Feld, in dem die Zahlen von 1 bis 100
eingetragen sind) und die Folgende Pentomino-Figur.
(a) Welche Werte kann die Summe der abgedeckten Felder annehmen?
Ich bezeichne das Feld, das in der unteren Reihe der Figur in der Mitte liegt,
mit x. Damit ist die Summe der durch die Figur abgedeckten Felder s(x) = x −
11 + x − 9 + x − 1 + x + 1 = 5x − 20. Nun kann man die Felder mit den Zahlen
{12; 13; 14; . . . ; 19 ; 22 ; 23; 24; . . . ; 29; . . . . . . ; 99} mit dem x abdecken, also die Summen {40; 45; . . . ; 75; 90; 95; 100; . . . ; 140; . . . . . . ; 475}.
(b) Wo muss die Figur liegen, damit die Summe der abgedeckten Felder 138 beträgt?
Oensichtlich sind alle möglichen Summen s(x) Vielfache von 5. Also kann man die
Figur gar nicht so legen, dass s(x) = 138 ist.
2. Gegeben sind zwei Geraden g und h durch
g : y = 2x − 1 und h : y = −x + 2
(a) Zeichne die beiden Geraden in einem Koordinatensystem ein!
(b) Gib jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen an!
Die Schnittpunkte der beiden Geraden mit der y -Achse lassen sich direkt aus der
jeweiligen Geradengleichung ablesen: Für g ist das Sg,y (0| − 1), für h entsprechend
Sh,y (0|2).
Die Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen sich wie folgt:
0 = 2x − 1 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 21 . Also ist Sg,x 12 |0 der Schnittpunkt der Geraden g
mit der x-Achse.
0 = −x + 2 ⇔ x = 2. Damit ist Sh,x (2|0) der Schnittpunkt der Geraden h mit der
x-Achse.
(c) Bestimme den Schnittpunkt der beiden Geraden!
2x − 1 = −x + 2 ⇔ 3x = 3 ⇔ x = 1. Nun ist 2 · 1 − 1 = 1. Also ist S (1|1) der
gesuchte Schnittpunkt der beiden Geraden.
1
3. Parabeln und Schnittpunkte
(a) Zeichne in einem Koordinatensystem die Graphen zu
(i) f (x) = x2 + 2x − 2
(ii) g(x) = x2 − 4x + 1
(b) Ermittle für die beiden Parabeln aus (a) die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen!
Wieder lassen sich die Schnittpunkte mit der y -Achse aus den Funktionsgleichungen
- da dise in Normalform gegeben sind - ablesen: Sf,y (0| − 2) und Sg,y (0|1).
Die Berechnung der Schnittpunkte mit der x-Achse erfolgt jeweils über die Scheitelpunktform:
x2 + 2x − 2
(x + 1)2 − 1 − 2
(x + 1)2
|x + 1|
x+1
x
=
=
=
=
=
=
0
⇔
0
⇔
3
√
3
⇔
√
⇔
± 3
√
⇔
−1 ± 3
√ Also schneidet die Parabel zu f die x-Achse in den Punkten Sf,x,1 −1 − 3|0 und
√ Sf,x,2 −1 + 3|0 .
Entsprechend ist
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
x2 − 4x + 1
(x − 2)2 − 4 + 1
(x − 2)2
|x − 2|
x−2
x
=
=
=
=
=
=
0
0
3
√
3
√
± 3
√
2± 3
Also sind die gesuchte Schnittpunkte der Parabel zu g mit der x-Achse die Punkte
√ √ Sg,x,1 2 + 3|0 und Sg,x,2 2 − 3|0 .
(c) Wo schneiden sich die beiden Parabeln?
x2 − 4x + 1 = x2 + 2x − 2
⇔
−4x + 1 = 2x − 2
⇔
−6x = −3
⇔
x = 12
2
Es ist f 12 = 21 + 2 · 21 − 2 = 14 + 1 − 2 = − 34 .
Der gesuchte Schnittpunkt ist also S 12 | − 34 .
2
4. Eine verschobene Normalparabel läuft durch die Punkte P (−1 | 3) und Q (−4 | 6).
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel!
Jede verschobene Normalparabel ist durch eine Gleichung der Form f (x) = x2 + px + q
gegeben, wobei die beiden reellen Zahlen p und q den genauen Verlauf der verschobenen
Normalparabel bestimmen. Diese beiden Zahlen sind hier gesucht.
Wir wissen:
3 = (−1)2 +p·(−1)+q und 6 = (−4)2 +p·(−4)+q . Das ergibt sich einfach durch Einsetzen.
Diese
beiden Gleichungen
lassen sich zusammenfassen zu einem Gleichungssystem:
3 = 1−p+q
6 = 16 − 4p + q
.
2 = −p + q
−10 = −4p + q
.
Daraus
ergibt sich Subtrahiert
man die zweite Gleichung von der ersten, so erhält man
12 =
3p
.
−10 = −4p + q Also
ist p = 4 und für das gesamte Gleichungssystem ergibt sich
4 = p .
6 = q f (x) = x2 + 4x + 6 ist also die gesuchte Parabelgleichung.
5. In einem rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90° sind zwei Seitenlängen gegeben. Berechne
die dritte und die Höhe hc des Dreiecks! Es gelten die Bezeichnungen wie in der Plangur.
(a) c = 8q13 cm, b = 5 cm
q
625
− (5 cm)2 =
− 225
cm2 = 203 cm = 6 23 cm.
9
9
Aus dem Höhensatz h2c = pq und den beiden Teilen des Kathetensatzes a2 = pc und
2
2
2 2
5·6 2
b2 = qc ergibt sich h2c = ac · bc = ac2b . Im konkreten Fall ist also hc = 8 13 cm = 4 cm.
a=
8 31 cm
2
3
(b) c = q
13 cm,a = 5 cm
p
b = (13 cm)2 − (5 cm)2 = (169 − 25) cm2 = 12 cm.
hc = 12·5
cm=4 138 cm.
13
3
6. Betrachte wieder die Pentomino-Figur aus Aufgabe 1! Diesmal sind die Produkte der
abgedeckten Felder einer Spalte zu addieren! Wo muss die Pentomino-Figur liegen, damit
der Wert des beschriebenen Ausdrucks 777 ist?
Der beschriebene Ausdruck ist gegeben durch (x − 11) (x − 1) + x + (x − 9) (x + 1) =
x2 − 12x + 11 + x + x2 − 8x − 9 = 2x2 − 19x + 2.
Es soll also 2x2 − 19x + 2 = 777 gelten.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
2x2 − 19x + 2
2x2 − 19x
x2 − 9 21 x
2
x − 4 34 − 361
16
3 2
x − 44
x − 4 43
x = 25
=
=
=
=
=
=
∨
777
775
387 21
387 21
6561
16
± 81
4
x = −15 21
Das mittlere Feld in der unteren Reihe der Pentomino-Figur muss also auf der 25 liegen.
4