Ubungsblatt 1 - Daniel Roggenkamp

Universität Mannheim
Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
Lineare Algebra IIb
07.04.2017
Übungsblatt 1
Aufgabe 1 (50 Punkte) Seien G und H zwei Gruppen.
(a) Zeigen Sie, dass die Verknüpfung
(G × H) × (G × H) → (G × H)
((g, h), (g 0 , h0 )) 7→ (g g 0 , h h0 )
eine Gruppenstruktur auf der Produktmenge G × H definiert. Man nennt diese
Gruppe das direkte Produkt von G und H.
(b) Argumentieren Sie, dass die Menge
Aut(G) := {ϕ : G → G | ϕ ist bijektiver Gruppenhomomorphismus}
mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe bildet.
(c) Sei θ : H → Aut(G) ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie, dass dann auch
die Verknüpfung
(G × H) × (G × H) → (G × H)
((g, h), (g 0 , h0 )) 7→ (g θ(h)(g 0 ), h h0 )
die Produktmenge G × H mit einer Gruppenstruktur ausstattet. Man nennt die
resultierende Gruppe ein semi-direktes Produkt von G und H und bezeichnet sie
mit G oθ H. (Hinweis: Prüfen Sie die Gruppenaxiome nach. Was ist das neutrale
Element, was sind die Inversen?)
(d) Zeigen Sie, dass
{(eG , h) ∈ G × H | h ∈ H} ⊆ G oθ H
eine Untergruppe ist, die isomorph zu H ist.
(e) Zeigen Sie, dass
{(g, eH ) ∈ G × H | g ∈ G} E G oθ H
eine normale Untergruppe ist, die isomorph zu G ist.
(f) Zeigen Sie, dass die Quotientengruppe (G oθ H)/G isomorph zu H ist. (Tipp:
betrachten Sie die Abbildung H → (G oθ H)/G, h 7→ [(eG , h)]. Ist sie ein bijektiver
Gruppenhomomorphismus?)
(g) Zeigen Sie, dass für n ∈ N und einen Körper K die Menge Mat(n, 1; K)×GLn (K)
mit der Verknüpfung
(Mat(n, 1; K) × GLn (K)) × (Mat(n, 1; K) × GLn (K)) → (Mat(n, 1; K) × GLn (K))
((x, A), (y, B)) 7→ (x + A · y, A · B)
ein semi-direktes Produkt, der additiven Gruppe (Mat(n, 1; K), +) und der Gruppe GLn (K) ist. (Was ist der Gruppenhomomorphismus θ?)
Universität Mannheim
Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
Lineare Algebra IIb
07.04.2017
Aufgabe 2 (50 Punkte) Betrachten Sie die Menge der Matrizen
1 0
1 0
t
O1,1 (R) := A ∈ Mat(2, 2; R) | A ·
·A=
.
0 −1
0 −1
(a) Zeigen Sie, dass O1,1 (R) ⊂ GL2 (R) eine Untergruppe ist.
(b) Zeigen Sie, dass für alle A ∈ O1,1 (R) gilt det(A) ∈ {±1}.
(c) Zeigen Sie, dass sich A ∈ O1,1 (R) auf eindeutige Weise schreiben läßt als
cosh(a) δ sinh(a)
cosh(a) sinh(a)
0
A = A(a, δ, ) :=
=
·
,
sinh(a) δ cosh(a)
sinh(a) cosh(a)
0 δ
wobei a ∈ R und , δ ∈ {±1}. Die Abbildung R×{±1}×{±1} → O1,1 (R), (a, , δ) 7→
A(a, , δ) ist also bijektiv. (Hinweis: Zwei Zahlen x, y ∈ R mit x2 − y 2 = 1 lassen
sich eindeutig schreiben als x = cosh(a), y = sinh(a), mit a ∈ R und ∈ {±1}.)
(d) Zeigen Sie, dass gilt
A(a, δ, ) · A(a0 , δ 0 , 0 ) = A(a + δ a0 , δ δ 0 , 0 ) .
(e) Zeigen Sie, dass für δ ∈ {±1}
θ(δ) : R → R
x 7→ δ x
einen Gruppenhomomorphismus θ : {±1} → Aut(R, +) in die Gruppe der Automorphismen der additiven Gruppe (R, +) definiert.
(f) Folgern Sie, dass O1,1 (R) isomorph ist zu der Gruppe (vgl. Aufgabe 1)
(R oθ {±1}) × {±1} .
Die Gruppe O1,1 (R) spielt eine große Rolle in der speziellen Relativitätstheorie. Sie wird
die 2-dimensionale Lorentzgruppe genannt. Die Matrix A(a, 1, 1) beschreibt, wie sich
Längen und Zeit für einen Beobachter verändern, wenn er sich mit Geschwindigkeit a
relativ zu einem anderen Beobachter bewegt. und δ beschreiben Spiegelungen der
gesamten Raumzeit, bzw. des Raumes.
Abgabe 28.04.2017*
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Lösungen bitte bis 12:00 Uhr in entspr. Kasten im Eingangsbereich des C-Teils von A5 einwerfen.