Blatt1

Übungen zur Quantenmechanik II
Theoretische Physik V im WS 2005/2006 — Dr. M. Kastner
Abgabe: 21. Oktober
Blatt 1
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 1: Parallele“ und senkrechte“ Hilbert Raumvektoren
”
”
(a) Seien |ui und |vi zwei zueinander proportionale ( parallele“ ) Einheitsvektoren eines komplexen
”
Hilbert Raumes.
Berechne das innere Produkt hu|vi. Was ergibt sich im Falle eines reellen Hilbert Raumes?
(b) Sei |ui ein Einheitsvektor eines zweidimensionalen komplexen Hilbert Raumes.
Wieviele zu |ui orthogonale ( senkrechte“ ) Einheitsvektoren |vi existieren in diesem Raum?
”
Was ergibt sich im Falle eines reellen Hilbert Raumes?
Aufgabe 2: Darstellungsunabhägigkeit des Erwartungswertes
Seien |ψ1 i und |ψ2 i die orthonormalen Eigenvektoren zu den niedrigsten beiden Eigenwerten eines
Hamilton-Operators H. Zeigen Sie, dass in dem von diesen beiden Vektoren aufgespannten Hilbertraum H
(a) der Operator
Uγ := (|ψ1 ihψ1 | + |ψ2 ihψ2 |) cos γ + (|ψ1 ihψ2 | + |ψ2 ihψ1 |) i sin γ
γ ∈ R,
unitär ist.
(b) die Vektoren |ψn (γ)i := Uγ |ψn i n ∈ {1, 2} für alle γ ein VONS bilden.
Berechnen Sie
(c) die Entwicklungskoeffizienten
cn (β, γ) := hψn (γ)|βi
des Vektors |βi := cos β |ψ1 i + sin β |ψ2 i β ∈ R, und die Matrixelemente
Hn,m (γ) := hψn (γ)|H|ψm (γ)i,
n, m ∈ {1, 2}
des Hamilton-Operators H im VONS {|ψ1 (γ)i, |ψ2 (γ)i}.
(d) den Ausdruck
h(β, γ) :=
X
Hn,m (γ) c∗n (β, γ) cm (β, γ)
n,m
und geben sie eine physikalische Interpretation an.
Aufgabe 3: Der Ortsoperator in Impulsdarstellung
Seien {|xi} und {|pi} eine VONS der Orts- bzw. Impulsbasis, und X der Ortsoperator. |αi und |βi
sind beliebige normale Vektoren. Beweisen Sie folgende Aussagen:
(a)
hp|X|αi = i~
(b)
Z
∂
hp|αi
∂p
∂
Φα (p)
∂p
wobei Φα (p) = hp|αi und Φβ (p) = hp|βi Darstellungen von |αi bzw. |βi im Impulsraum sind.
hβ|X|αi =
Hinweis aus der Vorlesung: Es gilt hx|pi =
√1
2π~
dp Φ∗β (p) i~
i
e ~ px
Präsenzübung: Operatoren und Darstellungen
Seien {|ai i} und {|bi i} (i = 1, ..., N < ∞) jeweils vollständige Orthonormalsysteme eines N -dimensionalen
Hilbert-Raumes.
(a) Zeigen Sie, dass ein unitärer Operator U existiert (d. h. U + U = U U + = 1), so dass |bi i = U |ai i
gilt ∀i = 1, ..., N .
(b) Die Spur Sp(C) eines Operators C ist definiert gemäß
X
hai |C|ai i.
Sp(C) =
i
Zeigen Sie explizit in bra-ket-Notation, dass die Spur unabhängig von der verwendeten Darstellung (d. h. von dem verwendeten Orthonormalsystem) ist.
(c) Beweisen Sie folgende Aussagen unter Verwendung der Regeln der bra-ket-Algebra, wobei C und
D Operatoren sind:
i. (C + )+ = C,
ii. C + ist linear, falls C linear ist,
iii. Sp(CD) = Sp(DC),
iv. (CD)+ = D+ C + ,
v. Sp(|ai ihaj |) = δij ,
vi. Sp(|bi ihaj |) = haj |bi i.
(d) Die |ai i seien die Eigenkets eines hermiteschen Operators A zu den Eigenwerten ai .
i. Drücken Sie A durch seine Eigenwerte und Eigenvektoren aus.
ii. Drücken Sie exp {if (A)} durch die Eigenwerte und Eigenvektoren von A aus (f sei eine
beliebige analytische Funktion).
iii. Zeigen Sie, dass
N
Q
(A − ai ) der Nulloperator ist.
i=1
(e) Zeigen Sie, dass der Erwartungswert eines hermiteschen Operators reell ist.
(f ) Diskutieren Sie die Hermitizitätseigenschaften der Operatoren (C+C + ), i(C+C + ) und i(C−C + ).
(g) Finden Sie den hermitesch konjugierten Operator zu
f (C) = (1 + iC + 3C 2 )(1 − 2iC − 9C 2 )/(5 + 7C).