Mathe in der Schule bis Stufe 10
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Prof. Dr. J. Böhm-Rietig [email protected] Mathematik Schul-Aufgaben FH-Köln, Gummersbach 02261/8196-120 Wiederholen Sie diese Themen aus den Schulstufe 9 und 10: Arithmetik, Termumformungen, Gleichungen (S.-G.-T. Kap. 1 und 6) Zahlen, Zahlenrechnen, Arithmetik. Potenzen mit ganzen Exponenten, Fakultät und Binomialkoeffizienten, binomische Formeln. Klammerrechnung, Faktorisieren, Kürzen von Brüchen, Rechnen mit Dimensionen. Symbolisches Rechnen. Gleichungen, Erstellen und Auflösen von Gleichungen mit einer Variable, Text- und Sachaufgaben Geometrie (Kap. 4) Elementargeometrie, Geometrische Grundbegriffe. Goniometrie: Winkel, Dreiecke, Strahlensatz. Trigonometrie: Satz des Pythagoras, Winkelfunktionen am Dreieck in Grad- und Bogenmaß, Winkelfunktionen am Einheitskreis, grafische Darstellung der Winkelfunktionen, Trigonometrische Formeln, Additionstheoreme Einstieg in die Analytische Geometrie. Allgemein zum Selbernachschlagen: Lineare Funktionen und Gleichungen mit bis zu drei Variablen; Quadratische Funktionen und Gleichungen einer Variable; Funktionenlehre; Proportionalitäten und graphische Darstellungen; Exponentialfunktion und Logarithmus; Textaufgaben umsetzen können, vor allem mit Dreisatz, linearen Beziehungen mit einer Unbekannten; Elementare Geometrie mit Kongruenz und Ähnlichkeit, Strahlensatz und Winkellehre, Orthogonalität; Geometrie des Kreises, des Vielecks mit Flächeninhalten, Umfängen, Innen-, Außenwinkel, InnenAußenkreis, einfachste ("goniometrische") Gleichungen für Winkel und trigonometrische Funktionen. Schwerpunkt, beim Kreis auch Tangente, Sekante und Sehne sowie die Sätze von Thales, Pythagoras; Geometrie des Raumes für Zylinder, Kugel, Kegel Volumen und Oberfläche, Projektionen in Ebenen. Präsentieren von Ergebnissen unter Verwendung einer angemessenen Fachsprache Aufgaben Zins- und Zinseszins Ein Kapitalbetrag von 2500 € wird zu einem Zinsfuß von 4,75 % angelegt. Wie groß ist das Guthaben nach 10 Jahren, a) bei einfacher Zinsrechnung ? b) mit Zinseszins und jährlicher Verzinsung ? Hinweis: einfache Zinsrechnung: Kn=K0*(1+n*p); Zinseszins: Kn=K0*(1+p)n . [Schul-Aufgaben.odt] S. 8 [01.10.2009] Prof. Dr. J. Böhm-Rietig [email protected] Mathematik Schul-Aufgaben FH-Köln, Gummersbach 02261/8196-120 Brüche a) 3 7 5 6 7 5 b) 8 10 4 2 10 2 c) Nutze die Binomischen Formeln: d) Kürzen, soweit wie möglich: e) Dimensionen umrechnen: 2 x 4 x2 6x2 y 3xy 12 x 23 107 g cm 2 kg m2 Wahrheitstafeln Füllen Sie diese Wahrheitstabelle richtig aus: A W W W W F F F F B W W F F W W F F C W F W F W F W F B BA AC Hinweis: XY ist nur genau dann falsch, wenn aus etwas Wahrem etwas Falsches folgt, d.h. X=“W“ und Y=“F“. Gleichungen a) Definitionsbereich und Lösungsmenge von : x 1 x 1 b) Geben Sie die Lösung an für dieses lineare Gleichungssystem (x,y,z IR) : 2x+3y4z = 4 und 2x+6yz = 11 und 4x3y+12z = 26 Quadratische Gleichungen a) Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung mit Hilfe der p,q-Formel. 7x2 11x+6=x(x+1) Hinweis: p-q-Formel: x2+px+q=0 x p 2 2 p q 2 b) Geben Sie den maximal möglichen reellen Definitionsbereich sowie die Lösungsmenge an: 1 2 3 x2 x4 [Schul-Aufgaben.odt] S. 8 [01.10.2009] Prof. Dr. J. Böhm-Rietig [email protected] Mathematik Schul-Aufgaben FH-Köln, Gummersbach 02261/8196-120 Binomischer Lehrsatz, algebraische Ausdrücke: (ganz ausklammern!) a) Berechnen Sie (2a+3b)4 . b) ((a3-b3)(a3+b3))3 c) Multipliziere folgendes Polynom und fasse zusammen: 2x(x24x+3)2x2( x4) Wurzeln Versuchen Sie alles ohne Taschenrechner zu bestimmen! Schlagen Sie evtl. das Thema „Primfaktorzerlegung“ nach! 1024 a) b) 5 c) 1024 1024 = 35 = Der Umgang mit den Ungleichungszeichen Es bezeichnen x,y und z beliebige reelle Zahlen. Machen Sie die folgenden Ausdrücke, falls möglich, durch einsetzen von „<“ oder „>“ zu zu einer wahren Aussage. a) x > 0 - x 0 b) -x > 0 x 0 c) -x > 0 1/x 0 d) x0 x2 0 e) x < 0 und y < 0 x + y 0 f) x < 0 und y < 0 xy 0 g) x > 0 und y < 0 x y 0 h) x > 0 und y < 0 x*y 0 i) x < 0 und y < 0 x + x2y 0 j) x < 0 und y < 0 (x + y)y 0 k) x < 0 und y < 0 x 2 1/y l) xy > 0 und z < 0 xyz 0 Ungleichungen Welche reellen x erfüllen die folgenden Ungleichungen? Intervall- oder Mengenschreibweise der Lösung! a) 8x + 16 12 b) –100 < -5x + 10 -10 [Schul-Aufgaben.odt] S. 8 [01.10.2009] Prof. Dr. J. Böhm-Rietig [email protected] c) 5 25 x d) 1 1 x 1 x 1 e) 1 5 x f) |42x| > 8 g) x2 > 9 h) i) Mathematik Schul-Aufgaben FH-Köln, Gummersbach 02261/8196-120 1 5 x2 (42x)2 >16 Andere Gleichungen Lösen Sie jeweils diese Gleichungen nach x auf, wobei Sie im ersten Schritt die Terme „gleichartiger“ machen! (Sie benötigen hier keinen Logarithmus) a) 42x-1 = 22x+4 . b) 5x-1 532 x 52x-1 5 x -2 Logarithmus Berechnen Sie x: a) lg x = log10 x = 4 b) log2 x = 5 c) log5 x = 1/3 Der Umgang mit Mengen a) Gegeben seien die Mengen A := { a,b,c,d }, B := {e,a,b} und C := {e,f}. Berechnen Sie die paarweisen Vereinigungs- und Schnittmengen dieser drei Mengen und A B ermitteln Sie alle möglichen Differenzmengen. b) Zeichnen Sie das zugehörige Venn-Diagramm: C [Schul-Aufgaben.odt] S. 8 [01.10.2009] Prof. Dr. J. Böhm-Rietig [email protected] Mathematik Schul-Aufgaben FH-Köln, Gummersbach 02261/8196-120 Endliche Summen, Summenzeichen n Berechnen Sie: 102+112+122+...+202 = Hinweis: i2 i 1 n n 1 2n 1 6 Textaufgaben a) Jean-Luc und Kevin sind Geschwister und momentan zusammen 24 Jahre alt. Vor 9 Jahren war Jean-Luc doppelt so alt wie Kevin. Wie alt ist dieser jetzt? b) Eine Jugendherberge mit neun 6-Bett-Zimmern ist voll belegt. Die Anzahl der männlichen Übernachtungsgäste übersteigt die Zahl der weiblichen Gäste und das Produkt dieser beiden Zahlen ist 720. Wieviele Damen/Mädchen übernachten in der Herberge? c) Falls es Ihnen nicht mehr geläufig ist: in Jugendherbergen gilt strengste Geschlechtertrennung! Versuchen Sie noch einen vereinfachte Lösungsweg für b) zu finden ! d) Ein Meinungsforscher teilt seinem Chef das Ergebnis einer Umfrage über die Beliebtheit von Bier und Wein mit: Anzahl der Befragten : 99 Biertrinker : 75 Weintrinker : 68 Bier- und Weintrinker : 42 Erhält der Mann seine Kündigung nur, weil dies ein schlechtes Bild seines Heimatlandes abgibt? e) Der indische König Schehram sollte den Erfinder des Schachspiels nach folgender Regel mit Weizenkörnern belohnen: 1 Korn für das erste Feld, 2 Körner für das zweite, 4 Körner für das dritte und so weiter immer verdoppelnd. Ein Schachbrett hat 8*8 Felder. Wieviele Stellen hat die Dezimalzahl der zu zahlenden Körnermenge? f) (Tip: Zehnerlogarithmus verwenden). Eine Sportgemeinschaft besteht aus vier Sparten (Abteilungen). Der ersten Sparte gehören 37 Sportsfreunde an, während in den drei anderen Sparten 1 1 2 der Mitglieder erfaßt sind. Wie groß ist die Anzahl der , bzw. 5 4 7 Mitglieder in der gesamten Sportgemeinschaft und in den Sparten [Schul-Aufgaben.odt] S. 8 [01.10.2009] Prof. Dr. J. Böhm-Rietig [email protected] Mathematik Schul-Aufgaben FH-Köln, Gummersbach 02261/8196-120 Funktionenlehre a) 8 Wo liegt der Scheitelpunkt dieser Parabel: f(x) = x +4x3 2 6 b) Welche Ordnung könnte diese Polynomfunktion haben: y 4 2 0 -3 -2 -1 -2 0 1 2 x 3 -4 -6 -8 c) Dieses Glas wird gleichförmig gefüllt. Wie entwickelt sich der Füllstand zwischen „leer“ und „voll“ als Zeitfunktion? Bitte in das Diagramm skizzieren! Füllstand voll leer Zeit 4 1. 3 2 2. f(x) = 22− x 2 x1 f(x) = x 2−2 2 3 x−1 1 3. f(x) = 0 -3 4. -1 1 3 -1 5. [Schul-Aufgaben.odt] S. 8 x 2−2 2 x1 2 f(x) = 22− x 2 2 x1 f(x) = 1 x −2 2 x y d) Diese Funktion wird am besten beschrieben durch folgende Funktionsvorschrift (nur eine ist richtig!): 2 [01.10.2009] Prof. Dr. J. Böhm-Rietig [email protected] Mathematik Schul-Aufgaben FH-Köln, Gummersbach 02261/8196-120 Lösungen Zins- und Zinseszins: a) 3687, 50€ b) 3976, 31€ Brüche: a) ½ b) 4000000 c) 1/(2+x) d) 2xy/(y-4) e) 23108 kg/m2. Wahrheitstafeln: B: F,F,W,W,F,F,W,W; BA: W,W,W,W,W,W,F,F; AC: W,W,W,W,W,F,W,F Gleichungen: a) D=[-1;∞[=[-1; ∞) (verschiedene Schreibweisen); L={3} b) IL ={(1;2;3) IR 3} Quadratische Gleichungen: a) x=1 b) D= IR \{-2;4} x=(3 41 )/2 besser als Menge:: IL ={(3+ 41 )/2; (3 41 )/2}. Binomischer Lehrsatz, algebraische Ausdrücke: (ganz ausklammern!): a) 16a4+96a3b+216a2b2+108ab3+81b4 b) a18-3a12b6+3a6b12-b18 c) 6x . Wurzeln: a) 32=25 b) 4=22 c) 64=43. Der Umgang mit den Ungleichungszeichen: Lös: 3*<, >, <, 3*>, <, 2*>,< j) Ungleichungen: a) x0,5: L=[0,5; ∞[ b) [4;22[ c) ]-∞;0[[1/5; ∞[ Achtung: x<0 ist eben auch möglich (Fallunterscheidung)!! d) Drei Fälle: x<-1: Aussage ist immer falsch; x>1: ebenso; -1<x<1: Aussage immer wahr! L=]-1;1[ e) ]-∞;-1/5[]1/5; ∞[ f) ]-∞;-2[]6; ∞[ Am einfachsten, Sie zeichen die Gerade y=4-2x und spiegel Sie nach oben, wo sie unterhalb der xAchse liegt. g) ]-∞;-3[]3; ∞[ Zeichnen Sie die Parabel! h) [-1/5;0[]0;1/5] i) ]-∞;0[]4; ∞[ siehe f) mit |42x| Andere Gleichungen: a) x=3 Logarithmus: a) 10000 b) 32 >4 b) x=1/2 (jede Seite mit Potenzregel zusammenfassen, dann Exponentenvergl.). c) 3 5 1,710 (wir ziehen hier die exakte symbolische Lösung vor!) Der Umgang mit Mengen: Lös. beispielhaft: A\B Endliche Summen, Summenzeichen: 20 9 i 1 i 1 = {c,d}; AB = BA = {a,b}; BC = CB = {a,b,e,f}; i 2 i 2 2585 Textaufgaben: Sie werden selber merken, ob Ihre Lösung richtig ist, wenn Sie alle Zahlen „in den Text einsetzen“. a) 11 Jahre; b) 24; c) 720/62=20=225=ab.; e) 19 ; f) =140 Funktionenlehre: a) S=(2;1); b) 5 , also a*x5+... Füllstand c) zunächst linear, dann parabelförmig degressiv: voll d) 4. Wegen geradem Pol bei x=-1 und 2 sichtbaren Nullstellen und f(x=0)>0. Ist nicht leer unbedingt Schulwissen! [Schul-Aufgaben.odt] Zeit S. 8 [01.10.2009]