Fehlerkorrigierende Codes, Blatt 1

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Dr. J. Koslowski
Braunschweig, 2009-04-17
Fehlerkorrigierende Codes, Blatt 1
Aufgabe 3
C sei ein (7, 4)-Code u
ber A = {0, 1} , so da jedes Wort in A7 einen Hamming-Abstand von hochstens
1 von genau einem Codewort hat. Dazu betrachten wir den BSC(10−2 ).
(a) Berechnen Sie die Coderate von C.
(b) Zeigen Sie, da die Minimaldistanz von C den Wert 3 hat.
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt in einem empfangenen Wort mehr als ein Fehler auf?
(d) Bestimmen Sie die Fehlerwahrscheinlichkeit P err eines Decoders A7
liegendes Codewort bestimmt.
D
/ C, der jeweils ein n
achst-
(e) Vergleichen Sie P err mit der Fehlerwahrscheinlichkeit, wenn keine Codierung erfolgt: bestimmen
sie dazu die Wahrscheinlichkeit von mindestens einem Bitfehler, wenn ein Wort aus A4 uncodiert
durch den BSC(10−2 ) ubetragen wird.
Lösungsvorschlag:
(a) Mit k := lg 16 = 4 ergibt sich die Coderate zu R = 4/7.
(b) Nach Voraussetzung gibt es keine Codeworter c , c 0 mit einem Hamming-Abstand von 1, daher folgt
d ≥ 2.
Unter der Annahme d = 2 existieren zwei Codeworter c , c 0 mit einem Hamming-Abstand von 2; deren Mittelpunkt hatte dann aber einen Haming-Abstand von 1 von zwei verschiedenen Codewortern,
Widerspruch. Also gilt d > 2.
Jede Hamming-Kugel vom Radius 1 um ein Element von A7 hat 8 Elemente. Wegen d > 2 sind
diese Kugeln um die 16 Codeworter paarweise diskunkt, schopfen also den gesamten 128-elementigen
Raum A2 aus.
Falls d = 4, ware fur jedes Codewort c die Hamming-Kugel vom Radius 2 disjunkt zu den

Hamming-Kugeln vom Radius 1 um jedes andere Codewort, was wegen der vorangehenden Uberlegung unmoglich ist. Damit folgt d = 3.
(c) Die entsprechende Wahrscheinlichkeit ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlchkeiten fur 2 bis
7 Fehler zu
P(>1) =
7 X
7 i
7
7 1
p (1 − p)7−i = 1 −
(1 − p)7 −
p (1 − p)6 ∼
= 2.03104 · 10−3
i
0
1
i=2
(d) Da wegen d = 3 Einzelfehler korrigiert werden konnen, stimmt P err mit dem Wert aus Teil (c)
uberein.
(e) Da die Code-Dimension den Wert k = lg 16 = 4 hat, ist es sinnvoll die die Leistung des obigen

Codierers/Decoders mit der uncodierten Ubertragung
von Wortern der Lange 4 zu vergleichen. Die
Wahrscheinlichkeit fur mindestens einen Fehler liegt dann bei
1 − (1 − p)4 = 1 − (.99)4 = 3.9404 · 10− 2
Aufgabe 4
S sei der ged
achtnislose binare Loschungskanal mit p = 0.1. Wir betrachten den binaren (4, 3, 2)-Paritats-
code und foldenden Decoder:
D (y ) =
n
c
⊥
falls y in den Komponenten aus {0, 1} mit genau einem Codewort c ∈ C ubereinstimmt
sonst
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, da D die Ausgabe ⊥ liefert.
Lösungsvorschlag: Einzelne L
oschungen konnen korrigiert werden, aber Loschungen von zwei Zeichen
nicht mehr. Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit fur die Ausgabe ⊥ zu
1 − (.9)4 − 4 · (.1)(.9)3 = 0.0523
Aufgabe 5
Wir betrachten lineare Codes C0 und C1 gleicher Lange n uber F = GF (q ) mit Generatormatrizen G0
bzw. G1 . Daraus konstruieren wir folgende neue Codes
• C2 := C0 ∪ C1
• C3 := C0 ∩ C1
• C4 := C0 + C1 = { c0 + c1 : ci ∈ Ci , i ∈ {0, 1}}
• C5 := C0 C1 = { (c0 | c1 ) : ci ∈ Ci , i ∈ {0, 1}} (Konkatenation)
Zeigen Sie. da
(a) C2 genau dann linear ist wenn C0 ⊆ C1 oder C1 ⊆ C0 gilt;
(b) die Codes C3 , C4 und C5 linear sind;
(c) d3 ≥ max{d0 , d1 } gilt;
(d)
G5 =
G0
0
0
G1
eine Generatormatrix fur C5 ist;
(e) d5 = min{d0 , d1 }.
Lösungsvorschlag:
(a) Falls keiner der Codes im anderen enthalten ist, wahle ci ∈ Ci \C1−i , i < 2. Die Annahme c0 +c1 ∈ C2
impliziert oBdA c0 + c1 ∈ C0 , und somit c1 = c0 + c1 − c0 ∈ C0 im Widerspruch zur Voraussetzung.
(b) Untervektorraume sind durch die Abgeschlossenheit unter den algebraischen Operationen (Addition
und skalare Vielfache) charakterisiert.
C3 : Diese Abgeschlossenheit vererbt sich auf Durchschnitte von Untervektorr
aumen, die damit ebenfalls Untervektorraume sind.
C4 : Falls ci , ci0 ∈ Ci , i < 2, und α ∈ F , so gilt
(c0 + c1 ) + (c00 + c10 ) = (c0 + c00 ) + (c1 + c10 ) ∈ C4
sowie
α · (c0 + c1 ) = α · c0 + α · c1 ∈ C4
C5 : Falls ci , ci0 ∈ Ci , i < 2, und α ∈ F , so gilt
(c0 | c1 ) + (c00 | c10 ) = (c0 + c00 | c1 + c10 ) ∈ C0 C1
sowie
α · (c0 | c1 ) = (α · c0 | α · c1 ) ∈ C0 C1
(c) k3 = 0 ist aquivalent zu C3 = {0 } und folglich zu d3 = n + 1, womit die Ungleichung garantiert
erfullt ist.
Falls k3 > 0 existieren von 0 verschiedene Codeworter. Deren Hamming-Gewicht wird nach unten
durch max{d0 , d1 } beschrankt, da Worter minimalen Hamming-Gewichts aus C0 \ {0 } wie auch aus
C1 \ {0 } aus dem Durchschnitt C3 herausfallen k
onnen, aber keine neuen Codeworter geringeren
Hamming-Gewichts hinzukommen konnen.
(d) Jedes x ∈ F k0 +k1 lat sich schreiben als x = (x0 | x1 ) mit xi ∈ F ki , i < 2. Daher gilt
x · G5 = (x0 · G0 | x1 · G1 ) ∈ C5
Da Ci das Bild von F ki unter der durch Gi spezizierten linearen Abbildung gi ist, i < 2, erhalten wir
C5 als Bild von F k0 +k1 unter der durch G5 spezizierten linearen Abbildung g5 . Deren Injektivit
at
folgt ebenso aus der Injektivitat von gi , i < 2.
(e) Codeworter in C5 entstehen durch Konkatenation von Codewortern aus Ci , i < 2, folglich addiert
sich ihr Hamming-Gewicht. Aber da 0 zu beiden Codes gehort, bleibt bei der Konkatenation mit
0 das Hamming-Gewicht des anderen Codeworts erhalten. Auerdem entstehen keine Codew
orter
geringeren Hamming-Gewichts als ihre konkatenierten Bestandteile.