Analyis 1 - TUM Mathematik

Analyis 1
Prof. Dr. Simone Warzel
WS 2010/2011, TUM
Vorwort
Diese Mitschrift ersetzt kein Lehrbuch.
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Notation und einige Grundbegriffe
1.1.1 Aussagen . . . . . . . . .
1.1.2 Mengen . . . . . . . . . .
1.1.3 Abbildungen . . . . . . .
1.2 Induktionsprinzip . . . . . . . . .
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2 Reelle und komplexe Zahlen
2.1 Körper der reellen Zahlen . . .
2.1.1 Algebraische Axiome .
2.1.2 Anordnungsaxiome . .
2.1.3 Vollständigkeitsaxiom
2.2 Körper der komplexen Zahlen
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3 Folgen und Grenzwerte
3.1 Reelle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Konvergenz und Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Konvergenzkriterien und Grenzwertarithmetik . . . . . . . . .
3.1.4 Anwendung: Existenz der Wurzel . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Bestimmte Divergenz, Limes superior und Limes inferior . . .
3.2 Konsequenzen der Vollständigkeit von R . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Cauchy Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Teilfolgen, Häufungspunkte und Satz von Bolzano-Weierstraß
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5 Stetigkeit
5.1 Definitionen und Kriterien . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 -δ-Definition der Stetigkeit . . . . . . . .
5.1.2 Folgenkriterium der Stetigkeit . . . . . . .
5.2 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Häufungspunkte von Mengen . . . . . . .
5.2.2 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . .
5.2.3 Grenzwerte und Stetigkeit: . . . . . . . . .
5.2.4 Landau Symbole . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Eigenschaften stetiger reeller Funktionen . . . . .
5.3.1 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Satz vom Minimum und Maximum . . . .
5.3.3 Satz von der Umkehrfunktion . . . . . . .
5.4 Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Konvergenz von Funktionenfolgen . . . . . . . . .
5.5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
5.5.2 Anwendung auf Potenzreihen . . . . . . .
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54
6 Elementare reelle Funktionen
6.1 Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenzfunktion
6.2 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen . . . .
6.2.1 Definition von π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Eigenschaften von Sinus- und Kosinus . . . . . . . . . . .
6.2.3 Polardarstellung der komplexen Zahlen . . . . . . . . . .
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7 Differenzialrechnung in R
7.1 Die Ableitung reeller Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
60
3.3
3.2.3 Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen
3.2.4 Mächtigkeit von Teilmengen von R . . .
Folgen in metrischen Räumen . . . . . . . . . .
3.3.1 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Cauchy Folgen und Konvergenz . . . . .
3.3.3 Spezialfälle C bzw. Rn . . . . . . . . . .
4 Reihen
4.1 Komplexwertige Reihen . . . . . . . . . . .
4.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . .
4.1.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . .
4.1.4 Umordnungen von Reihen . . . . . .
4.2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Exponentialreihe und ihre Verwandten
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7.2
7.3
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Lokale Extrema, Mittelwertsatz und Konvexität
7.2.1 Lokale Extrema . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
7.2.3 Konvexe und konkave Funktionen . . .
Die Regeln von de L’Hopital . . . . . . . . . .
2
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Analysis WS 2010/2011
1 Einleitung
Die Analysis ist ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich mit Grenzprozessen beschäftigt. Beispiele solcher
Grenzprozesse sind:
1. Ableitung einer rellen Funktion als Grenzwert der Sekantensteigung,
2. Integral einer reller Funktion als Grenzwert der Summe der Rechteckflächen unter dem Funktionsgraphen.
Der Fokus der Analysis 1 liegt auf der Differenzial- und Integralrechnung einer reellen Variablen.
Zum Verständnis der Begriffe beziehungsweise der erlaubten Operationen sind präzise Definitionen nötig. Dies
soll an folgendem abschreckenden Beispiel erläutert werden.
Beispiel 1.1 (Paradox der Umordnung von unendlichen Summen). Wir werden in dieser Vorlesung die Logarithmusreihe kennenlernen:
x2 x3 x4
ln(1 + x) = x −
+
−
+ ... ,
x > −1 .
(1.1)
2
3
4
Dürfte man in einer unendlichen Summe wie in einer endlichen die Terme umsortieren, erhalten wir folgenden
Widerspruch:
5
1 1 1 1 1 1
ln(2) = 1 − + − + − + − . . . <
2 3} | 4{z 5} | 6{z 7}
6
| {z
<0
= 56
<0
1 1 1 1 1 1
1
1
5
ln(2) = 1 − + + + − + +
− −... > .
2 3} |5 {z
7 4} |9 11
6
| {z
{z 6}
>0
= 56
>0
1.1 Notation und einige Grundbegriffe
Definitionen und Aussagen werden in der Mathematik in der ihr eigenen Sprache formuliert. Die Grundbausteine
dieser Sprache sind die Aussagenlogik und die Begriffe Menge und Abbildungen.
1.1.1 Aussagen
Aussagen werden in der Mathematik häufig mit Hilfe von Quantoren abgekürzt. Wir verwenden:
∀
’für alle’,
∃ ’es existiert ein’,
∃1
’es gibt genau ein’.
Aus zwei Aussagen A, B lassen sich duch Junktoren, neue Aussagen herstellen:
1. Implikation:
A ⇒ B,
’wenn A, dann B’,
2. Äquivalenz:
A ⇔ B,
’A genau dann, wenn B’,
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A ∨ B,
3. Adjuktion:
4. Konjugation:
5. Negation:
Analysis WS 2010/2011
’A oder B’,
A ∧ B,
¬ A,
’A und B’,
’nicht A’.
1.1.2 Mengen
Eine Menge M ist eine Zusammenfassung unterschiedlicher Objekte x.
1. Wir verwenden folgende Abkürzungen:
x ∈ M.
a) ’x ist Element von M ’:
b) ’M ist Teilmenge von N ’:
’M ist echte Teilmenge von N ’:
(Sonst: x 6∈ M .)
M ⊂ N,
M ( N.
2. Die Menge ohne Elemente heißt leere Menge und man schreibt: ∅.
Es gilt: ∅ ⊂ M für jede Menge M .
3. Folgende Mengenoperationen werden als bekannt vorausgesetzt:
a) Schnittmenge:
M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N }
b) Vereinigungsmenge:
c) Differenzmenge:
M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N }
M \N := {x | x ∈ M ∧ x 6∈ N }
d) Kartesisches Produkt geordneter Paare: M × N := {(x, y) | x ∈ M und y ∈ N },
Analog: M n := {(x1 , . . . , xn ) | x1 , . . . xn ∈ M }.
1.1.3 Abbildungen
Eine Abbildung, oder Funktion, von einer Menge M in eine Menge N ordnet jedem Element in M genau ein
Element in N zu. Wir schreiben: f : M → N , x 7→ f (x), und bezeichnen mit:
1. M den Definitionsbereich, N den Bildbereich,
2. f (M ) := {y ∈ N | es gibt ein x ∈ M mit y = f (x)} das Bild, und
3. G(f ) := {(x, y) ∈ M × N | y = f (x)} der Graph von f .
Für B ⊂ N nennt man f −1 (B) := {x ∈ M | f (x) ∈ B} das Urbild von B.
Eine Abbildung f : M → N heißt
1. surjektiv oder Surjektion, wenn f (M ) = N .
2. injektiv oder Injektion, wenn ∀ y ∈ f (M ) : ∃1 x ∈ M :
3. bijektiv oder Bijektion, wenn sie surjektiv und injektiv ist.
4
y = f (x).
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Analysis WS 2010/2011
1.2 Induktionsprinzip
Ein Bespiel einer Menge sind die natürlichen Zahlen. Sie lassen sich wie folgt definieren:
Definition 1.2. Die natürlichen Zahlen N sind eine Menge mit einem ausgezeichneten Element, 1 ∈ N, auf welcher
eine Abbildung N : N → N definiert ist, die die folgenden Eigenschaften besitzt:
1. N ist injektiv,
2. 1 6∈ N (N)
3. ∀M ⊂ N:
(1 ∈ M ∧ N (M ) ⊂ M ⇒ M = N).
Jedes Element in N ausser 1 ist somit eindeutiger Nachfolger eines anderen, d.h.
N = {1, N (1), N (2), N (3), . . . } .
| {z } | {z } | {z }
=:2
=:3
=:4
Bemerkung 1.3. Obige Idee der rekursiven Definition ist auch nützlich im Zusammenhang mit:
1. Endliche Summen:
Für n, m ∈ N, ak ∈ C (Definition: später), setzt man
n+1
X
ak :=
k=m
2. Endliche Produkten:
0
P
an+1 + nk=m ak
falls n ≤ m,
sonst.
Für n, m ∈ N, ak ∈ C, setzt man
n+1
Y
ak :=
k=m
1
Q
an+1 nk=m ak
Die Fakultät ist für alle n ∈ N0 := N ∪ {0}:
Qn
k=1 k
n! :=
1
falls n ≤ m,
sonst.
falls n ∈ N,
n = 0.
Obige Definition der natürlichen Zahlen erlaubt den Beweis des Prinzips der vollständigen Induktion.
Satz 1.4. Für Aussagen A(n), n ∈ N, gilt:
1. Ist A(1) wahr, und gilt
(Induktionsanfang)
2. für alle n ∈ N:
(Induktionsschritt)
A(n) wahr ⇒ A(n + 1) wahr,
so ist A(n) wahr für alle n ∈ N.
Beweis. Betrachte M := {n ∈ N | A(n) wahr }. Dann ist 1 ∈ M und, aufgrund von 2., N (M ) ⊂ M . Somit ist
M = N.
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Das Prinzip der vollständigen Induktion ist als Beweisprinzip von großem Nutzen. Die folgende Interpretation
des Binomialkoeffizienten, welcher für alle n, k ∈ N0 durch
(
n!
k ≤ n,
n
(n−k)! k! ,
:=
k
0,
sonst,
definert ist, dient als weiteres Beipiel dieses Beweisprinzips.
Satz 1.5. Für alle n, k ∈ N0 ist die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge gleich
n
.
k
Hierbei wird vereinbart, dass die leere Menge null-elementig ist.
Beweis(durch
Induktion nach n ∈ N0 ). Als Induktionsanfang n = 0 dient die Beobachtung, dass die leere Menge
0
= 1 null-elementige Teilmengen besitzt; nämlich die leere Menge ∅ ⊂ ∅.
genau
0
Für den Induktionsschritt, n → n + 1, nehmen wir an, dass die Behauptung für alle Teilmengen einer nelementigen Menge bewiesen ist.
Im Fall k = 0 bzw. k = n ist die Behauptung evident.
Im Fall k ∈ {1, . . . , n−1} betrachten wir die k-elementige Teilmenge Ak der n+1-elemntigen Menge {a1 , . . . , an+1 }.
Dann ist entweder
i) an+1 6∈ Ak , d.h. Ak ⊂ {{a1 , . . . , an }, oder
ii) an+1 ∈ Ak , d.h. Ak = Ak−1 ∪ {an+1 } für eine k − 1-elementige Menge Ak−1 ⊂ {{a1 , . . . , an }.
In beiden Fällen lässt sich die Anzahl der k-elementigen Teilmengen mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung angeben. Die Gesamtzahl ist somit:
n+1
n
n
.
=
+
k
k−1
k
Die Gleichung ist eine Konsequenz aus dem nachfolgendem Lemma.
Der voranstehende Beweis benutzte folgenden Hilfssatz.
Lemma 1.6. Für alle n, k ∈ N gilt:
n
n−1
n−1
=
+
.
k
k−1
k
Der Beweis wird als übung überlassen.
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2 Reelle und komplexe Zahlen
In dieser Vorlesung werden wir die grundlegenden Zahlenmengen (mit Ausnahme von N) nicht präzise definieren.
Dies geschieht in Vorlesungen über den Aufbau des Zahlensystems. Ziel dieses Abschnitts ist, die grundlegenden
Eigenschaften der reellen und komplexen Zahlen zu besprechen. Als bekannt vorausgesetzt werden in diesem
Zusammenhang die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen:
p N = {1, 2, 3, . . . }
Z = {0, ±1, ±2, . . . }
Q=
p ∈ Z, q ∈ N .
q
Bereits die Pythagoräer
wussten, dass nicht alle Zahlen rational sind. Ein Beispiel für eine irrationale Zahl ist
√
die positive Lösung 2 der Gleichung x2 = 2 und damit das Verhältnis der Diagonalenlänge zur Seitenlänge eines
Einheitsquadrats. Es wird sich
√ später harausstellen, dass diese Zahl jedoch beliebig gut durch rationale Zahlen
approximiert werden kann, 2 ≈ 1, 4142586 . . ..
√
2
1
1
Abbildung 2.1: Diagonale eines Einheitsquadrats
√
Der folgende Beweis der Irrationalität von 2 illustriert das Beweisprinzip durch Widerspruch.
√
Beweis (der Irrationalität von 2). Angenommen jede Lösung der Gleichung x2 = 2 ist rational, d.h. ∃p ∈ Z, q ∈
N mit folgenden zwei Eigenschaften:
1. 1 = ggT (p, q) := größte Zahl in N mit der Eigenschaft
p
n
∈ Z und
q
n
∈ Z.
2. p2 /q 2 = 2.
Aus 2. folgt, dass 2 ein Teiler von p2 ist. Da 2 eine Primzahl ist, folgt durch Primfaktorzerlegung, dass 2 ein Teiler
von p ist, d.h. ∃k ∈ Z : p = 2k. In 2. eingesetzt, folgt q 2 = p2 /2 = 4k 2 /2 = 2k 2 , d.h. 2 ist Teiler von q 2 und somit
q. Das stellt einen Widerspruch zu 1. dar.
2.1 Körper der reellen Zahlen
In einer axiomatische Charakterisierung der Menge R der reellen Zahlen, wird diese als Obermenge von N mit den
folgenden Eigenschaften beschrieben:
1. Es gelten die Grundrechenarten/-regeln
(Algebraischen Axiome).
2. Es sind Größenvergleiche möglich
(Anordnungsaxiome).
3. Die Grenzwerte liegen in R
(Vollständigkeitsaxiom).
Historisch geht diese Charakterisierung der reellen Zahlen auf die Mathematiker Cantor (1845-1918) und Dedekind
(1831-1916) zurück.
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2.1.1 Algebraische Axiome
Auf K = R sind zwei Abbildungen definiert:
+:
K × K → K,
(x, y) 7→ x + y
(Addition)
·:
K × K → K,
(x, y) 7→ x · y .
(Multiplikation)
Die Axiome der Addition sind:
A1 ∀x, y, z ∈ K : (x + y) + z = x + (y + z)
(Assoziativgesetz).
A2 ∀x, y ∈ K : x + y = y + x (Kommutativgesetz).
A3 ∃0 ∈ K : ∀x ∈ K : x + 0 = x
(Existenz der Null).
A4 ∀x ∈ K : ∃(−x) ∈ K : x + (−x) = 0
(Existenz des Negativen).
Die Axiome der Multiplikation sind:
M1 ∀x, y, z ∈ K : (x · y) · z = x · (y · z)
(Assoziativgesetz).
M2 ∀x, y ∈ K : x · y = y · x
(Kommutativgesetz).
M3 ∃1 ∈ K\{0} : ∀x ∈ K : x · 1 = x
(Existenz der Eins).
M4 ∀x ∈ K\{0} : ∃x−1 ∈ K : x · x−1 = 1
(Existenz des Inversen).
Bemerkungen 2.1.
1. Es ist zweckmässig x + (−y) =: x − y als Differenz und x · y −1 =: x/y =:
Quotient zweier Zahlen x, y ∈ K abzukürzen.
x
y
als
2. Durch ihre Eigenschaften sind das Nullelement 0 ∈ K, das Einselement 1 ∈ K\{0}, das Negative −x ∈ K
zu x ∈ K und das Inverse x−1 ∈ K\{0} zu x ∈ K eindeutig bestimmt.
Beweis. Exemplarisch wird bewiesen, dass das Nullelement eindeutig bestimmt ist.
Aus der Annahme ∃00 ∈ K\{0} mit x + 00 = x für alle x ∈ K, folgt
0 + 00 = 0
⇒ 00 = 0,
00 + 0 = 00
im Widerspruch zur Annahme.
3. Für a, b ∈ K ist x = b − a die eindeutige Lösung der Gleichung a + x = b und für a ∈ K\{0}, b ∈ K ist
x = b/a eine eindeutige Lösung der Gleichung a · x = b.
Beweis. Exemplarisch wird gezeigt, dass x = b − a die eindeutige Lösung die Gleichung a + x = b ist.
Die Zahl x = b − a ist eine Lösung, da
a + (b − a) = a + (−a + b) = (a − a) + b = 0 + b = b + 0 = b.
A2
A1
8
A4
A2
A3
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Diese Lösung ist eindeutig, da
a+x=b
⇒
− a + (a + x) = −a + b
⇒ (−a + a) + x = 0 + x = x + 0 = x = −a + b = b − a .
A4
A2
A3
A2
Definition 2.2. Ein Tripel (K, +, ·) aus einer Menge K mit zwei Abbildungen + : K + K → K und · : K × K → K
heißt Körper, falls A1-A4 für +, M1-M4 für · und das Distributivgesetz D gilt:
D ∀x, y, z ∈ K :
Beispiele 2.3.
sind.
(x + y) · z = x · z + y · z.
1. Die Mengen Q und R (ebenso C) sind Körper, während die Mengen N und Z keine Körper
2. Den kleinsten Körper bildet F2 := {0, 1} mit folgender Addition und Multiplikation:
+
0
1
0
0
1
·
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
Aus den Körper-Axiomen lassen sich die im reellen gebräuchlichen Rechenregeln ableiten. Diese gelten für
jeden Körper K.
1. Rechenregeln der Addition und Multiplikation von x, y ∈ K:
− (−x) = x,
−1
x−1
= x,
(−x) + (−y) = − (x + y)
x−1 · y −1 = (x · y)−1 für x, y 6= 0
x·0=0
x (−y) = −x · y
x (y − z) = xy − xz.
(−x) (−y) = xy
2. Rechnen mit Brüchen für u, x ∈ K und v, y ∈ K\{0}:
xu
x u
· =
y v
yv
x/y
xv
=
u/v
uy
x u
xv + uy
+ =
.
y
v
y·v
3. Ferner gilt in jedem Körper die Nullteilerfreiheit:
x · y = 0 ⇔ x = 0 ∧ y = 0.
Der Beweis dieser Aussagen wird als Übungsaufgabe überlassen.
Definition 2.4. In jedem Körper K sind ganze Potenzen von x ∈ K rekursiv definiert:
(
1
n=0
xn :=
n−1
x·x
n ∈ N.
n
Für x ∈ K\{0}, n ∈ N setzt man x−n := x−1 .
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Es gelten die üblichen Rechenregeln:
1. xn · xm = xn+m
2. (xn )m = xnm
3. xn · y n = (xy)n
Der Beweis dieser Aussagen wird als Übungsaufgabe überlassen.
2.1.2 Anordnungsaxiome
In K = R gibt es eine Teilmenge P ⊂ R positiver Zahlen. Für diese Teilmenge, für die man auch
x > 0 :⇔ x ∈ P
schreibt, gelten die Anordnungsaxiome:
O1 K lässt sich disjunkt in drei Mengen zerlegen:
(Trichotomie)
P , {0} , und − P := {x ∈ K| − x ∈ P } .
O2 ∀x, y ∈ K : x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x + y > 0
(Abgeschlossenheit gegen +).
O3 ∀x, y ∈ K : x > 0 ∧ y > 0 ⇒ x · y > 0
(Abgeschlossenheit gegen ·).
Bemerkung 2.5. Einige nützliche Schreibweisen:
x > y :⇔ x − y > 0
x < y :⇔ y > x
x ≥ y :⇔ x > y ∨ x = y
x ≤ y :⇔ x < y ∨ x = y
Definition 2.6. Ein Körper (K, +, ·) heißt angeordnet, falls es eine Teilmenge P ⊂ K positiver Elemente gibt,
welche O1-O3 erfüllt.
Beispiel 2.7. Q und R sind angeordnete Körper, F2 (und C später) lassen sich nicht anordnen.
Satz 2.8. Sei (K, +, ·) ein angeordneter Körper. Dann gelten folgende Eigenschaften.
1. x < y ∧ y < z ⇒ x < z
(Transitivität).
2. x < y ⇒ −x > −y
(Spiegelung).
3. 0 < x < y ⇒ 0 < y −1 < x−1
(Inversion).
4. x < y ∧ w ≤ z ⇒ x + w < y + z
(Addition).
5. x < y ∧ w > 0 ⇒ x · w < y · w
(Multiplikation).
6. x 6= 0 ⇒ x2 > 0
(Positivität des Quadrats).
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Beweis (Exemplarisch für 4. Rest: Übung.). Es gilt:
(y + w) − (x + w) = y − x > 0
für w = z
>0
(y + z) − (x + w) = y − x + |z −
{z w} O2
| {z }
für w < z,
>0
>0
womit die Aussage bewiesen wurde.
Ungleichungen bzw. Abschätzungen spielen in der Analysis eine zentrale Rolle. Ein erstes Beispiel einer nützlichen Ungleichung ist die Bernoullische Ungleichung.
Satz 2.9 (Bernoullische Ungleichung). Für x ∈ R mit x ≥ −1 und n ∈ N gilt: (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Beweis (durch vollständige Induktion). Für den Induktionsanfang n = 1 überprüfen wir:
(1 + x)1 ≥ 1 + x.
Für den Induktionsschritt, n → n + 1, zeigen wir:
(1 + x)n+1 = (1 + x) · (1 + x)n ≥ (1 + x) (1 + nx) = 1 + (n + 1) x + |{z}
nx2 ≥ 1 + (n + 1) x.
IV
≥0
Damit wurde die Bernoullische Ungleichung für alle n ∈ N bewiesen.
Definition 2.10. Der (absolute) Betrag von x ∈ R wird definiert als
(
x
x≥0
|x| :=
.
−x x < 0
Satz 2.11. Der Betrag erfüllt die folgenden drei Eigenschaften: für alle x, y ∈ R:
1. |x| ≥ 0 für alle x ∈ R und |x| = 0 ⇔ x = 0.
(Positive Definitheit)
2. |xy| = |x| · |y|
(Multiplikativität).
3. |x + y| ≤ |x| + |y|
(Dreiecksungleichung).
Beweis (exemplarisch für 3. Rest: Übung.). Für alle x, y ∈ R gilt:
i) x ≤ |x| ,
y ≤ |y| ,
ii) − x ≤ |x| ,
−y ≤ |y| .
Aufgrund der Additivität folgt daraus:
i) x + y ≤ |x| + |y| ,
ii) − x − y ≤ |x| + |y| ,
wodurch die Dreiecksungleichung bewiesen wurde.
Für x, y ∈ R kann man aufgrund der Anordnungsaxiome das Maximum und das Minimum definieren:
(
(
x x≥y
x x≤y
max (x, y) :=
min (x, y) :=
.
y x<y
y x>y
Damit gilt für den Betrag einer Zahl stets |x| = max (x, −x). Analog definiert man das Maximum und Minimum
einer endlichen Menge reeller Zahlen.
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2.1.3 Vollständigkeitsaxiom
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit den Begriffen des Maximums und Minimums und ihren Verallgemeinerungen für beliebige, nicht notwendig endliche Teilmengen in angeordneten Körpern.
Definition 2.12. Eine Teilmenge X ⊂ K eines angeordneten Körpers heißt nach oben beschränkt (n.o.b.) bzw.
nach unten beschränkt (n.u.b.), falls a ∈ K existiert mit x ≤ a bzw. x ≥ a für alle x ∈ X. Jedes derartige a ∈ K
heißt obere bzw. untere Schranke. X heißt beschränkt, falls X n.o.b. und n.u.b. ist.
1. Ist a obere bzw. untere Schranke von X und gilt a ∈ X, dann heißt a das Maximum von X bzw. das Minimum
von X, und wir schreiben a = max X bzw. a = min X.
2. a heißt kleinste obere Schranke oder Supremum von X, wenn für alle oberen Schranken b ∈ K von X gilt:
a ≤ b. Wir schreiben a = sup X.
3. a heißt größte untere Schranke oder Infimum von X, wenn für alle unteren Schranken b ∈ K von X gilt:
a ≥ b. Wir schreiben a = inf X.
Bemerkung 2.13. Besitzt X ⊂ K ein Maximum, dann ist dieses eindeutig und es gilt max X = sup X. Analog
für das Minimum und Infimum. Der Beweis dieser Aussagen wird zur Übung überlassen.
Beispiele 2.14.
1. Die positiven Zahlen P ⊂ R sind n.u.b., da 0 ist untere Schranke ist. Es gilt sogar inf P = 0,
denn wäre a = inf P > 0, dann folgt aus O3 und der Additivität
a>0 ⇒ a·
1
a a
a
> 0 ⇒ a = + > > 0,
2
2 2
2
was einen Widerspruch darstellt.
Aus dem obigen folgt auch, dass P kein Minimum in R besitzt.
2. Betrachte X := x ∈ Q | x2 < 2 ⊂ Q. Dann ist X n.o.b., hat aber kein Supremum in Q, da a := sup X
die Gleichung a2 = 2 erfüllt, die in Q keine Lösung besitzt.
Obige Beispiele illustrieren, dass n.o.b. (bzw. n.u.b.) Teilmengen in allgemeinen Körpern weder ein Maximum,
noch ein Supremum (bzw. Minimum und Infimum) besitzen.
Definition 2.15. Ein angeordneter Körper (K, +, ·) heißt vollständig, falls jede nicht-leere n.o.b. Teilmenge ein
Supremum besitzt.
Man kann nun zeigen, dass es bis auf Isomorphie genau einen vollständig angeordneten Körper gibt. Diesen
nennt man den Körper der reellen Zahlen.
Definition 2.16. Der vollständig angeordnete Körper heißt Körper der reellen Zahlen (R, +, ·).
Satz 2.17 (Satz von Archimedes). Im vollständig angeordneten Körper der reellen Zahlen gilt:
1. ∀x, y > 0 : ∃n ∈ N : nx > y.
2. ∀x ∈ R : ∃1 n ∈ Z : n ≤ x < n + 1.
3. ∀ > 0 : ∃n ∈ N :
1
n
< .
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Beweis (exemplarisch für 1. Rest: Übung.). Annnahme: ∃x, y > 0 : ∀n ∈ N : nx ≤ y.
Somit ist N ⊂ R n.o.b., besitzt also ein Supremum a := sup N. Da a die kleinste obere Schranke von N ist, ist
a − 12 < a keine obere Schranke. Also existiert n0 ∈ N mit n0 > a − 21 und damit n0 + 1 > a + 12 > a, was einen
Widerspruch zu a = sup N darstellt.
Bemerkungen 2.18.
1. Der erste Teil des Satzes wird häufig in einer alternative Definition der reellen Zahlen
herangezogen und heißt dort Archimedisches Axiom.
2. Der zweite Teil garantiert zum Beispiel die Wohldefiniertheit von bxc := größte ganze Zahl n, die kleiner
oder gleich x ist und dxe := kleinste ganze Zahl n, die größer oder gleich x ist.
2.2 Körper der komplexen Zahlen
Die Menge R2 = R × R der geordneten reellen Zahlenpaare z = (x, y) wird durch
Addition + : R2 × R2 → R2
(x, y) + x0 , y 0 := x + x0 , y + y 0
Multiplikation · : R2 × R2 → R2
(x, y) · x0 , y 0 := x · x0 − y · y 0 , x · y 0 + x0 · y
zur einem Körper. Dabei ist
1. die Zahl 0 = (0, 0) das Nullelement und 1 = (1, 0) das Einselement in C.
2. die Zahl −(x, y) = (−x, −y) das negative Element zu (x, y).
3. für x, y 6= 0 die Zahl (x, y)−1 = x/(x2 + y 2 ), −y/(x2 + y 2 ) das inverse Element zu (x, y).
(Die Körper-Axiome können durch einfaches Nachrechnen überprüft werden.)
Definition 2.19. Obiger Körper heißt Körper der komplexen Zahlen (C, +, ·).
Aus der Definition der komplexen Zahlen ist abzulesen:
1. Jede reelle Zahl x ∈ R lässt sich mit der komplexen Zahl x := (x, 0) identifizieren.
2. Die imaginäre Einheit i := (0, 1) erfüllt i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1 in C. Sie löst somit die
Gleichung z 2 = −1 in C.
3. Es gilt (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) = x + iy. Somit lässt sich jede komplexe Zahl
z = (x, y) als
z = x + iy ,
x, y ∈ R
schreiben. Man nennt x =: Re z bzw. y =: Im z Real- bzw. Imaginärteil von z.
Jede komplexe Zahl z lässt sich als Vektor in der Gaußschen Zahlenebene darstellen. Die x-Achse bildet
dabei den Realteil und die y-Achse den Imaginärteil der Zahl z.
4. Der Körper (C, +, ·) lässt sich nicht anordnen. Ein Beweis dieser Aussage stützt sich auf die Tatsache, dass
in jedem Körper gilt 1 = 12 > 0, cf. Satz 2.8. Wäre (C, +, ·) angeordnet, gilt entweder i > 0 oder i < 0. In
beiden Fällen folgt:
i2 = −1 > 0,
was einen Widerspruch zu 1 > 0 darstellt.
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Im
5
4
(x + x0 ) + i(y + y 0 )
3
x + iy
2
x0 + iy 0
1
Re
0
1
2
3
4
5
6
7
Abbildung 2.2: Darstellung der Addition komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
Definition 2.20. Für z = x + iy mit x, y ∈ R heißt
1. z := x − iy komplex konjugiert zu z.
p
2. |z| := x2 + y 2 der Betrag von z.
Bemerkungen 2.21.
1. Eigenschaften der komplexen Konjugationen:
z=z
z+w =z+w
z · w = z · w.
Die komplexe Konjugation ist nützlich zur Berechnung von
i) Re z =
1
2
(z + z)
Im z =
1
2i
(z − z).
2
ii) |z| = z · z , |z| = |z|.
iii) z −1 =
z
,
|z|2
z 6= 0.
2. Eigenschaften des komplexen Betrags:
i) ∀z ∈ C : |z| ≥ 0 und |z| = 0 ⇔ z = 0.
(Positive Definitheit)
ii) ∀z, w ∈ C : |z · w| = |z| · |w|.
(Multiplikativität)
iii) ∀z, w ∈ C : |z + w| ≤ |z| + |w|
(Dreiecksungleichung).
Die Beweise dieser Eigenschaften werden als Übungsaufgabe überlassen.
Definition 2.22. Für w ∈ C und n ∈ N heißt z ∈ C eine n-te komplexe Wurzel von w, falls z n = w.
Es gibt im Allgemeinen mehr als eine komplexe Wurzel.
Beispiel 2.23. Es gibt 3 komplexe 3te Wurzeln von 1. Diese sind
√ 1
z1 =
−1 + i 3
2
z12
√ 1
= z2 =
−1 − i 3
2
14
z13 = z3 = 1
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y
2
z
1
x
0
1
2
−1
3
z
−2
Abbildung 2.3: Visualisierung der komplex konjungierten Zahl
y
1
z2
−1
z3
x
z1
0
1
−1
Abbildung 2.4: Veranschaulichung der Lösungen von z 3 = 1.
Als Ausblick in diesem Kapitel, widmen wir uns kurz der Frage, was die komplexen Zahlen so natürlich macht.
Man kann zeigen, dass jede komplexe Zahl z ∈ C\{0} genau n komplexe Wurzel hat. Insbesondere besitzt die
Gleichung z n = w für alle w ∈ C mindestens eine komplexe Lösung. Allgemeiner gilt der folgende Fundamentalsatz (ohne Beweis).
Satz 2.24 (Fundamentalsatz der Algebra). Jedes komplexe Polynom p : C → C
p (z) :=
n
X
ak · z k
ak ∈ C
k=0
besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle, d.h. ein z ∈ C mit p (z) = 0, falls p nicht konstant ist, d.h. n ∈ N und
an 6= 0.
Beispiel 2.25. Gegeben sei das Polynom p(z) = z 3 − 21z + 20. Durch Ausprobieren erhält man z1 = 1 als Lösung
der Gleichung p(z) = 0. Durch die Polynomdivision erhält man die anderen beiden Lösungen z2 = 4 und z3 = −5.
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3 Folgen und Grenzwerte
3.1 Reelle Folgen
3.1.1 Beispiele
Definition 3.1. Eine reelle Folge ist eine Abbildung mit
a:N→R
n 7→ a (n) = an .
Man schreibt auch (an )n∈N oder (an ).
Im Folgenden werden einige bekannte und häufig auftretende Folgen vorgestellt.
1. Die Folge an :=
Beispiele 3.2.
1
n
ist die Folge der Stammbrüche.
1
0
1
2
3
4
5
Abbildung 3.1: Die Folge der Stammbrüche
2. Die Folge an = xn mit x ∈ R ist die Potenzfolge, wobei die Folge für unterschiedliche x-Werte anders
aussieht.
1
5
4
3
2
1
1
0
1
2
3
−1
4
0
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
−1
(a) 0 < x < 1
(b) −1 < x < 0
5
4
3
2
1
0
1
2
(c) x > 1
3
4
−1
−2
−3
−4
0
1
2
3
4
(d) x < −1
Abbildung 3.2: Die Potenzfolge (xn )n∈N für verschiedene Werte von x.
3. Für a1 = a2 = 1 ist durch an := an−2 + an−1 die Fibonacci Folge rekursiv definiert.
4. Für x, a1 > 0 ist durch an+1 := 21 an + axn , n ∈ N, die Quadratwurzelfolge definiert.
P
5. Für eine reelle Folge (an )n∈N bildet die Folge der Partialsummen sn := nk=1 ak eine relle Folge, welche
man (unendliche) Reihe nennt.
16
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3.1.2 Konvergenz und Grenzwert
Definition 3.3. Eine reelle Folge (an ) heißt konvergent gegen a ∈ R, falls
∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : |an − a| < .
In diesem Fall nennt man a Grenzwert oder Limes und man schreibt
a = lim an .
n→∞
Falls es kein a ∈ R gibt, so dass die obige Gleichung erfüllt wird, heißt (an ) divergent.
a−
a
a+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Abbildung 3.3: Geometrische Deutung der Konvergenz
Die Konvergenz der Folge (an ) bedeutet, dass alle bis auf endlich viele an in der -Umgebung
U (a) := {x ∈ R : |x − a| < }
des Grenzwerts a liegen.
Satz 3.4 (Eindeutigkeit des Grenzwerts). Sei (an ) eine gegen a ∈ R und b ∈ R konvergente Folge. Dann gilt:
a = b.
Beweis. Annahme: a 6= b. Dann gibt es für :=
|a−b|
2
Zahlen N1 , N2 ∈ N mit
∀n ≥ N1 : |an − a| < ∀n ≥ N2 : |an − b| < .
Aus der Dreiecksungleichung folgt somit für n ≥ max (N1 , N2 )
|a − b| ≤ |an − a| + |an − b| < 2 = |a − b| ,
was ein Widerspruch darstellt.
Beispiele 3.5.
1. Die Folge an =
1
n
mit n ∈ N ist konvergent mit limn→∞
1
n
= 0.
Beweis. Sei > 0. Dann gibt es nach dem Satz von Archimedes ein N ∈ N mit
1
− 0 ≤ 1 < ,
∀n ≥ N :
n
N
1
N
< . Also gilt
womit die Aussage bewiesen wurde.
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2. Die Potenzfolge (xn ) mit n ∈ N divergiert für |x| > 1 und x = −1 und konvergiert für |x| < 1 gegen 0 und
für x = 1 gegen 1.
Beweis. Die Behauptung ist evident für x = 1. Falls x = −1 nehmen wir an, dass die Potenzfolge konvergent
ist mit limn→∞ (−1)n = a. Damit gibt es für = 1 ein N ∈ N, so dass
|(−1)n − a| < 1
∀n ≥ N :
Aus der Dreiecksungleichung folgt somit für alle n ∈ N mit n ≥ N :
2 = | (−1)n+1 − (−1)n | ≤ | (−1)n+1 − a| + | (−1)n − a| < 1 + 1 = 2,
was einen Widerspruch darstellt.
Falls |x| < 1 benutzen wir die Übungsaufgabe, wonach
∀ > 0 : ∃N ∈ N : |x|N < .
Da |x| < 1 und somit |x|n ≤ 1 für alle n ∈ N0 folgt
∀n ≥ N : |x − 0|n = |x|n−N · |x|N < 1 · = .
Damit wurde die Aussage für |x| < 1 bewiesen.
Der Beweis für |x| > 1 wird unten nachgereicht.
Die Folge der Stammbrüche n1 und die Potenzfolge (xn ) mit |x| < 1 sind Beispiele für Nullfolgen.
Definition 3.6. Gegen null konvergente Folgen heißen Nullfolgen.
3.1.3 Konvergenzkriterien und Grenzwertarithmetik
Satz 3.7 (Einschlusskriterium). Seien (an ) und (bn ) reelle Folgen und a ∈ R mit
∃N ∈ N : ∀n ≥ N : |an − a| ≤ bn ,
wobei (bn ) eine Nullfolge ist. Dann konvergiert (an ) mit limn→∞ an = a.
Beweis. Sei > 0. Da (bn ) eine Nullfolge ist, existiert N1 ∈ N mit ∀n ≥ N1 : |bn | < . Es gilt daher: ∀n ≥
max {N1 , N } : |an − a| ≤ bn < .
Die Divergenz von Folgen lässt sich häufig mit folgendem Satz aus der fehlenden Beschränkheit schließen.
Definition 3.8. Eine reelle Folge (an ) heißt n.o.b., bzw. n.u.b. bzw. beschränkt, falls ihr Bild a (N) ⊂ R diese
Eigenschaft besitzt.
Satz 3.9 (Beschränktheit von konvergenten Folgen). Jede konvergente Folge ist beschränkt.
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Beweis. Sei a = lim an für n → ∞. Dann gibt es N ∈ N mit
|an − a| < 1
∀n ≥ N,
woraus durch die Dreiecksungleichung
|an | ≤ |an − a| + |a| < |a| + 1
∀n ≥ N
folgt. Für K := max (a1 , a2 , . . . , an−1 , |a| + 1) gilt dann
|an | ≤ K
∀n ∈ N,
womit die konvergente Folge beschränkt ist.
n
Bemerkung 3.10. Die Umkehrung obigen Satzes ist falsch. Denn an = (−1) , n ∈ N, ist beispielsweise eine
beschränkte Folge, die nicht konvergiert.
Beispiele 3.11.
1. Die Potenzfolge (xn )n∈N divergiert für |x| > 1, da sie unbeschränkt ist. In der Übung wurde
gezeigt, dass für alle K ∈ N ein n ∈ N existiert mit |x|n > K.
2. Die Fibbonaccifolge (an ) divergiert, denn |an | ≥ n für alle n ∈ N, wie man durch vollständige Induktion
erkennen kann.
Definition 3.12. Eine reelle Folge (an ) heißt
1. monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, falls an ≤ an+1 bzw. an < an+1 für alle n ∈ N.
2. monoton fallend bzw. streng monoton fallend, falls an ≥ an+1 bzw. an > an+1 für alle n ∈ N.
3. monoton bzw. streng monoton, falls sie monoton wachsend oder fallend bzw. streng monoton wachsend oder
fallend ist.
Satz 3.13 (Monotoniekriterium I). Monotone beschränkte reelle Folgen konvergieren. Dabei konvergieren monoton
wachsende Folgen gegen sup a (N) und monoton fallende Folgen gegen inf a (N).
Beweis. Die Folge (an ) sei o.B.d.A. monoton wachsend und a := sup a (N). Da das Supremum eine obere Schranke ist, gilt für alle n ∈ N die Ungleichung an ≤ a. Weiterhin:
∀ > 0 : ∃N ∈ N : aN > a − ,
denn sonst gäbe es eine kleinere obere Schranke als a. Da (an ) monoton wachsend ist, folgt
an ≥ aN > a − Damit gilt: ∀n ≥ N : |an − a| < .
∀n ≥ N
1 n
Beispiel 3.14. Die reelle Folge an := 1 + n , n ∈
N ist monoton wachsend und beschränkt, konvergiert also
1 n
nach Monotoniesatz. Ihr Grenzwert limn→∞ 1 + n
=: e heißt Eulersche Zahl. Man kann zeigen, dass e ≈
2, 71828 . . . irrational ist.
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Beweis. Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt
n+1 n
n+1
n
n+1
1
·
=
· 1−
n+1
n
(n + 1)2
n+1
(n + 1)
= 1.
≥
· 1−
n
(n + 1)2
n
Weiterhin ist die Folge aufgrund der Ungleichung 1 + n1 < 3, n ∈ N, welche in der Übung behandelt wurde,
beschränkt.
an+1
=
an
n+2
n+1
Satz 3.15 (Grenzwertarithmetik). Seien (an ) und (bn ) konvergente Folgen mit a := limn→∞ an und b := limn→∞ bn .
Dann gilt:
1. Die Summenfolge (an + bn ) ist konvergent mit limn→∞ (an + bn ) = a + b.
2. Die Produktfolge (an · bn ) ist konvergent mit limn→∞ (an · bn ) = a · b.
3. Falls b 6= 0 gilt, dann gibt es ein N0 ∈ N, so dass bn 6= 0 für alle n ≥ N0 . Die Quotientenfolge (an /bn )n≥N0
konvergent mit limn→∞ (an /bn ) = a/b.
Beweis. 1. Sei > 0. Da N1 , N2 ∈ N existieren, so dass
∀n ≥ N1 : |an − a| <
2
∀n ≥ N2 : |bn − b| < ,
2
existiert ein N ∈ N mit N := max(N1 , N2 ), so dass
|an − a| <
∧ |bn − b| <
2
2
∀n ≥ N.
Mit der Dreiecksungleichung folgt somit für alle n ≥ N
|an + bn − (a + b)| ≤ |an − a| + |bn − b| <
+ = .
2 2
Damit wurde die erste Aussage bewiesen.
2. Nach dem Satz zur Beschränktheit von konvergenten Folgen, gibt es K ∈ R, so dass |an | ≤ K für alle n ∈ N.
Durch Vergrößerung von K kann man o.B.d.A. annehmen, dass |bn | ≤ K.
Sei > 0. Dann gibt es – durch ähnlicher Argumentation wie in i) – ein N ∈ N, welches groß genug ist, so dass
|an − a| <
2K
|bn − b| <
2K
∀n ≥ N.
Somit schliesst man für n ≥ N :
|an · bn − a · b| = |an bn − an b + an b − ab|
≤ |an (bn − b)| + |(an − a) b| = |an | · |bn − b| + |an − a| · |b|
<K·
+
·K =
2K
2K
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Damit wurde die zweite Aussage bewiesen.
3. Da (bn ) konvergiert, gibt es N0 ∈ N, so dass
|b|
2
∀n ≥ N0 .
|bn | ≥ |b| − |bn − b| > |b| −
|b|
|b|
=
>0
2
2
|bn − b| <
Daraus folgt
∀n ≥ N0 ,
womit der erste Teil der Aussage gezeigt wurde. Sei nun > 0. Dann gibt es
N1 ∈ N : ∀n ≥ N1 : |bn − b| <
|b|2
2
Somit gilt ∀n ≥ max {N0 , N1 }
|b|2
1
− 1 = |bn − b| < 2 = ,
bn
|b|
b |bn | · |b|
2 |b|
wodurch die Folge 1/bn für n → ∞ gegen 1/b konvergiert und die zu beweisende Aussage gilt.
Bemerkung 3.16. Argumente von Typ wie im Beweis von Aussage 1. nennt man /2-Argumente.
3.1.4 Anwendung: Existenz der Wurzel
Satz 3.17. Für w ∈ R, w ≥ 0 und k ∈ N gibt es genau ein x ≥ 0 mit xk = w.
Definition 3.18. Die eindeutige, nicht-negative Lösung x ≥ 0 der Gleichung xk = w heißt die kte Wurzel von
√
w ≥ 0 und man schreibt x = k w.
√
√
Die Quadratwurzel wird durch w := 2 w abgekürzt.
Bemerkung 3.19. Im Gegensatz zur kten komplexen Wurzel, ist die kte Wurzel eindeutig; jedoch nur für w ≥ 0
definiert.
Beweis (von Satz 3.17). Für w = 0 ist nichts zu zeigen. Sei also w > 0. Es kann höchstens ein x ≥ 0 geben, denn
für x1 , x2 ≥ 0 mit x1 > x2 folgt xk1 > xk2 .
Zum Beweis der Existenz einer Löung, konstruieren wir eine monotone Folge (an ) mit
w − akn
a1 := 1
an+1 := an · 1 +
.
k · akn
Ist w ≤ 1, dann ist für n ∈ N nach der Bernoullischen Ungleichung
k
w − akn
w − akn
k
akn+1 = akn 1 +
≥
a
1
+
=w
n
k · akn
akn
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4
3
2
f (x)
1
√
3
0
1
2
3
Abbildung 3.4: Illustration des Newton Verfahrens zur Berechnung von
√
3.
und somit an+1 ≤ an . Als monoton fallende, beschränkte Folge konvergiert (an ). Für x := limn→∞ an gilt somit:
w − akn
w − xk
x = lim an+1 = lim an 1 +
=x 1+
,
n→∞
n→∞
k · akn
k · xk
wodurch w = xk folgt.
Für den Fall w > 1 lässt sich wegen
Bemerkungen 3.20.
1
w
1
< 1 die Zahl x > 0 als x := √
k
1/w
1. Auch für w > 1 konvergiert (an ) gegen
√
k
bestimmen.
w.
2. Rekursiv definierte Folgen (an ) von obigem Typ sind Beispiele von diskreten, dynamischen Systemen.
3. Die Folge (an ) wird zur approximativen, numerischen Berechnung der kten Wurzel verwandt (Newton Verfahren). Um die Effektivität dieses numerischen Algorithmus zu diskutieren, betrachten wir den Spezialfall
k = 2 und 0 < w ≤ 1, d.h.
1
w
an+1 =
an +
=: f (an ) .
2
an
Im nten Schritt beträgt die relative Abweichung vom Grenzwert
an
n := √ − 1.
w
Aufgrund der Rekursionsformel gilt für 0 < w ≤ 1:
0 ≤ n+1 =
2n
1
≤ min n , 2n .
2 (1 + n )
2
Damit vermindert sich der relative Fehler n in jedem Schritt quadratisch. Man spricht deshalb von quadratischer Konvergenz.
4. Die Definition von an+1 ist durch folgenden Ansatz motiviert
an+1 = an (1 + n ) n klein.
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Man erwartet, dass
k 2
!
akn+1 = akn (1 + n )k = akn 1 + kn +
n + . . . + kn ≈ akn (1 + kn ) = w .
2
Dies gilt für n =
w−akn
.
k·akn
3.1.5 Bestimmte Divergenz, Limes superior und Limes inferior
Die Potenzfolge (xn ) strebt für x > 1 nach unendlich. Sie ist damit ein Beispiel für eine bestimmt divergente
Folge.
Definition 3.21. Eine reelle Folge (an ) heißt bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent gegen +∞, falls
∀k ∈ R : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : an ≥ K.
Sie heißt bestimmt divergent oder uneigentlich konvergent gegen −∞, falls (−an ) bestimmt gegen +∞ divergiert.
Man schreibt: limn→∞ an = +∞ bzw. limn→∞ an = −∞.
Bemerkung 3.22. Die Symbole ±∞ sind keine reellen Zahlen.
Definition 3.23. Die erweiterte Zahlengerade R ist definiert als R := R ∪ {−∞, +∞}.
Es ist zweckmäßig zu vereinbaren, dass sup X = +∞ bzw. inf X = −∞ für nicht n.o.b. bzw. nicht n.u.b.
Mengen X ⊂ R mit X 6= ∅.
Satz 3.24 (Monotoniekriterium II). Jede monotone, reelle Folge konvergiert, eventuell unengentlich.
Beweis. Übung.
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Abbildung 3.5: Illustration zur Definition von lim sup und lim inf:
7
8
• = (an ), × = (an ), ◦ = (an )
Jede reelle Folge (an ) ist zwischen
an : = sup {am |m ≥ n}
an : = inf {am |m ≥ n}
eingeschlossen: an ≤ an ≤ an für n ∈ N. Die Folgen (an ) und an sind stets monoton fallend bzw. wachsend.
Somit existieren die uneigentliche Grenzwerte von (an ) und an .
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Definition 3.25. Limes superior und Limes inferior einer reellen Folge (an ) sind
lim sup an := lim an
n→∞
lim inf an := lim an .
n→∞
n→∞
n→∞
Nach Konstruktion gilt:
−∞ ≤ lim inf an ≤ lim sup an ≤ ∞.
n→∞
n→∞
Satz 3.26. Eine reelle Folge konvergiert (uneigentlich) gegen a ∈ R, falls
lim inf an = lim sup an = a
n→∞
n→∞
Der Beweis wird als Übungsaufgabe überlassen.
3.2 Konsequenzen der Vollständigkeit von R
3.2.1 Cauchy Folgen
Definition 3.27. Eine reelle Folge (an ) heißt Cauchy Folge, falls
∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀n, m ≥ N : |an − am | < .
Bemerkung 3.28. Jede Cauchy Folge ist beschränkt.
Satz 3.29 (Cauchysche Konvergenzkriterium). Jede reelle Folge (an ) konvergiert genau dann, wenn sie Cauchy
Folge ist.
Beweis. ⇒:
Sei a := lim an für n → ∞ und > 0. Dann gilt
2
∀n, m ≥ N : |an − am | ≤ |an − a| + |am − a| < + = .
2 2
∃N ∈ N : ∀n ≥ N : |an − a| <
⇐:
Sei (an ) eine Cauchy Folge und a := lim supn→∞ an . Da (an ) beschränkt ist, gilt a ∈ R. Sei > 0. Wähle
N ∈ N, so dass für alle n, m ≥ N gilt |an − am | < . Damit gilt für alle m, n ≥ N
am − < an < am + ⇒
am − ≤ a ≤ am + ⇒
|am − a| ≤ .
Also gilt limm→∞ am = a.
Beispiel 3.30. Für b > 1 und eine beschränkte Folge (an ) ist die Folge der Partialsummen sn :=
Cauchy Folge, also konvergent.
24
Pn
ak
k=1 bk
eine
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N
Beweis. Sei > 0 und a := sup {|an | |n ∈ N}. Wähle N ∈ N mit 1b
< 1 − 1b a . Dann gilt für alle m ∈ N,
n≥N
n+m
m
n+m
X
X a
a 1
a X 1
a 1
a
k
≤ N
< .
|sn+m − sn | = ≤
=
≤ n
1
n
k
k
k
b
b 1− b
b 1 − 1b
b b
b
k=n+1
k=n+1
k=1
Damit ist (sn ) eine Cauchy Folge.
Bemerkung 3.31. Man kann zeigen, dass in jedem angeordneten Körper, in welchem das Archimedische Axiom
gilt, die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
1. Jede Cauchy-Folge konvergiert.
(Folgenvollständigkeit).
2. Jede nicht-leere n.o.b. Teilmenge besitzt ein Supremum.
(Anordnungsvollständigkeit).
3.2.2 Teilfolgen, Häufungspunkte und Satz von Bolzano-Weierstraß
Definition 3.32. Sei a : N → R eine Folge und k : N → N eine streng monoton wachsende Folge. Dann heißt
a ◦ k : N → R, n 7→ a (k (n)) =: akn
eine Teilfolge von a.
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
Abbildung 3.6: Illustration einer Teilfolge für k(n) = 2n:
8
• = (an ), × = (akn ).
Satz 3.33. Ist (an ) eine (uneigentlich) konvergente Folge, dann konvergiert jede Teilfolge (akn ) (uneigentlich)
gegen denselben Grenzwert.
Beweis. Sei a := limn→∞ an ∈ R. Dann folgt aus an ≤ akn ≤ akn ≤ an , n ∈ N:
a = lim inf an ≤ lim inf akn ≤ lim sup akn ≤ lim sup an = a.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
(3.1)
Somit gilt: limn→∞ akn = a.
Definition 3.34. x ∈ R heißt Häufungspunkt von (an ), falls es eine Teilfolge (akn ) gibt mit limn→∞ akn = x.
Alternativ lassen sich Häufungspunkte auch anders charakterisieren.
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Satz 3.35. x ∈ R ist genau dann Häufungspunkt von (an ), wenn
∀ > 0 :
an ∈ U (x)
für unendlich viele n ∈ N.
Beweis. ⇒:
Es gibt eine Teilfolge (akn ), so dass
∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : |akn − x| < .
⇐:
Sei (bn ) eine Nullfolge mit bn > 0. Setze
k (1) := min {j ∈ N | aj ∈ Ub1 (x)}
k (n + 1) := min j > k (n) | aj ∈ Ubn+1 (x)
Dann gilt |akn − x| < bn für alle n ∈ N, also limn→∞ akn = x mit dem Einschlusssatz.
Beispiele 3.36.
1. Die Folge an = (−1)n , n ∈ N, hat die Häufungspunkte ±1.
2. Die logistische Abbildung ist durch fr (x) = rx (1 − x) für Parameterwerte 0 < r ≤ 4 definiert. Wir
definieren rekursiv eine Folge (an ):
n ∈ N, und 0 ≤ a1 < 1 beliebig.
an+1 = fr (an ) ,
Folgende Eigenschaften lassen sich beweisen:
i) Im Fall 0 ≤ r ≤ 1 gilt limn→∞ an = 0 für beliebige 0 ≤ a1 < 1.
ii) Im Fall 1 < r ≤ 3 gilt limn→∞ an =
r−1
r
(Übung)
für beliebige 0 < a1 < 1.
iii) Im Fall r > 3 gibt es für typische Startwerte a1 mehrere Häufungspunkte
(Feigenbaumdiagram).
Satz 3.37. Die Werte lim inf n→∞ an und lim supn→∞ an sind stets Häufungspunkte einer reellen Folge (an ).
Weiterhin gilt für jeden Häufungspunkt x ∈ R von (an ):
lim inf an ≤ x ≤ lim sup an .
n→∞
n→∞
Beweis (Exemplarisch für lim sup. Rest: Übung.). Aus den Übungen wissen wir, dass für a := lim supn→∞ an
gilt:
i) ∀b > a : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : an < b, ,
ii) ∀b < a, n ∈ N : ∃n ≥ N : an > b.
Also existiert für > 0 ein N ∈ N mit an < a + für alle n > N . Nach der obigen Ungleichung gibt es aber für
jedes solches n ein m ≥ n mit am > a − . Also gilt ∀ > 0 : an ∈ U (a) für unendliche viele n ∈ N. Damit ist
a ein Häufungspunkt.
Die zweite Teil der Aussage folgt aus (3.1).
Für reelle Folgen (an ) ist lim inf n→∞ an somit der kleinste und lim supn→∞ an der größte Häufungspunkt.
Insbesondere gilt:
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Satz 3.38 (Bolzano-Weierstraß). Jede beschränkte reelle Folge besitzt mindestens einen Häufungspunkt in R.
Beweis. Da (an ) beschränkt ist, ist a = lim supn→∞ an ∈ R und mit obigen Satz ist a ein Häufungspunkt.
Bemerkung 3.39. Äquivalent lässt sich der Satz auch anders formulieren. Jede beschränkte reelle Folge besitzt eine
konvergente Teilfolge. Es sollte angemerkt werden, dass das Auffinden von Häufungspunkten bzw. konvergenten
Teilfolgen im Allgemeinen schwierig ist.
3.2.3 Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen
Sei x ∈ R und x ≥ 0. Die folgenden Definition sind dem Algorithmus des schriftlichen Dividierens entnommen:
σ0 := bxc
r0 := x − bxc =: {x} .
Damit ist σ0 der ganzzahlige Anteil und r0 der Rest von x. Weiter setzen wir:
σk := b10rk−1 c
rk := {10rk−1 } .
Jeder reelle Zahl x ≥ kann somit ein Dezimalbruch
n
X
σk
xn :=
10k
x=0
mit σk ∈ {0, 1, . . . , 9} zugeordnet werden. Für x ∈ R und x < 0 setzen wir xn := −(−x)n .
Diese Methode wird die Dezimalbruchentwicklung von x ∈ R auf n Stellen genannt und wird genutzt, um
irrationale Zahlen durch rationale zu approximieren.
√
Beispiel 3.40. Für x = 13 ist x5 = 0, 3333 und für x = 2 gilt x5 = 1, 1414.
Satz 3.41. Für x ∈ R konvergiert die Folge (xn )n∈N0 der Dezimalbruchentwicklung gegen x. Dabei ist die Dezimalbruchentwicklung genau dann nicht eindeutig, falls ∃N ∈ N : ∀k ≥ N : σk = 9.
Beweis. O.B.d.A. sei x ≥ 0. Dann gilt |x − xn | = x − xn ≤ 101n . Für > 0 gibt es ein N ∈ N mit 101N < . Also
gilt ∀n ≥ N : |x − xn | ≤ 101n ≤ 101N < .
Der Beweis für die Aussage über die Eindeutigkeit der Dezimalbruchentwicklung wird als Übungsaufgabe überlassen.
Satz 3.42. Für alle x ∈ R gibt es eine Folge rationaler Zahlen (xn ) mit lim xn = x für n → ∞. Man sagt daher,
dass Q in R dicht ist.
Bemerkungen 3.43.
1. Ein Gegenbeispiel zur Eindeutigkeit liefert 1 = 0, 99999 . . . = 1, 00000 . . .
2. Man kann zeigen, dass x ∈ R ist genau dann rational ist, wenn die Dezimalbruchentwicklung ab einer Stelle
periodisch ist, d.h. ∃p ∈ N, N ∈ N0 : ∀n ≥ N : σn+p = σn .
3. Die Verallgemeinerung auf p-adische Darstellungen wird in den Übungen behandelt.
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3.2.4 Mächtigkeit von Teilmengen von R
In den vorangegangenden Abschnitten wurden die Begriffe Endlichkeit und Unendlichkeit von Teilmengen naiv
verwendet. Diese Begriffe werden nun im Folgenden definiert.
Definition 3.44.
1. Die leere Menge hat die Mächtigkeit |∅| := 0. Für n ∈ N hat eine Menge M die Mächtigkeit
|M | = n, d.h. M hat n Elemente, wenn eine Bijektion f : {1, 2, . . . , n} → M existiert. Mengen M und N
haben die gleiche Mächtigkeit, d.h. |M | = |N |, wenn es eine Bijektion f : M → N gibt. Die Mächtigkeit
einer Menge M ist kleiner oder gleich der einer Menge N , d.h. |M | ≤ |N|, falls es eine Injektion f : M → N
gibt.
2. Eine Menge ist genau dann endlich, wenn M = ∅ oder wenn eine Bijektion f : {1, 2, . . . , n} → M für ein
n ∈ N existiert. Ansonsten ist M unendlich. Eine Menge ist genau dann abzählbar, wenn M endlich ist oder
|M | = |N| gilt. Ansonsten ist M überabzählbar.
Die folgenden Beispiele erläutern die obigen Begriffe.
Beispiele 3.45.
1. Die Potenzmenge P (M ) := {N |N ⊂ M } einer endlichen Menge M hat Mächtigkeit 2|M | .
2. Die Mächtigkeit der m-elementigen Teilmengen von M mit |M | = m beträgt
m
|{N ⊂ M | |N | = n}| =
.
n
3. Es gilt N2 = |N|, da die Abbildung f : N2 → N, (n, m) 7→
(Cauchysches Diagonalenverfahren).
(n+m−1)(n+m−2)
2
+ n eine Bijektion ist
n
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
m
Abbildung 3.7: Cauchysches Diagonalenverfahren
4. Es gilt |Q| = |N|. Diese Tatsache wird in drei Schritten gezeigt. Im ersten Schritt zeigt man |N| ≤ |Q|, da
f : N → Q, n 7→ n injektiv ist. Weiterhin gilt |Q| ≤ |Z × N|, da q : Z × N → Q, (p, q) 7→ pq surjektiv ist.
Die Aussage folgt dann aus |Z × N| = |N|
Weitere wichtige Teilmengen von R sind Intervalle.
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Definition 3.46. Für a, b ∈ R werden definiert:
falls a ≤ b: [a, b] := {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}.
1. Abgeschlossene Intervalle:
2. Offene Intervalle:
falls a < b
3. Halboffene Intervalle:
(a, b) := {x ∈ R | a < x < b}.
[a, b) := {y ∈ R | a ≤ x < b} ,
für a < b:
bzw.
(a, b] := {x ∈ R | a < x ≤ b}.
[a, ∞) := {x ∈ R | a ≤ x} bzw. (a, ∞) := {x ∈ R | a < x}
(−∞, a] := {x ∈ R | x ≤ a} bzw. (−∞, a) := {x ∈ R | x < a}
4. Uneigentliche Intervalle:
Der Beweis des folgenden Hauptsatzes zeigt insbesondere, dass schon das Einheitsintervall [0, 1] überabzählbar
viele Punkte enthält.
Satz 3.47. Die Menge R ist überabzählbar.
Beweis (mit Cantorschem Diagonalverfahren). Es genügt zu zeigen, dass [0, 1] überabzählbar ist.
Abgenommen es gäbe eine Bijektion f : N → I. Für die Darstellung von f (l) ∈ [0, 1] als Dezimalbruch gilt
f (l) = lim
n→∞
n
X
σl,k
k=1
10k
,
σl,k ∈ {0, 1, . . . , 9} .
Betrachtet wird nun die Zahl x ∈ [0, 1] mit der Dezimaldarstellung
(
n
X
5,
σk
σk :=
x = lim
k
n→∞
10
4,
k=1
σkk =
6 5
σkk = 5
Nach Annahme existiert l ∈ N : x = f (l). Da die Dezimalbruchdarstellung eindeutig ist, falls σk 6= 9 für
schließlich alle k ∈ N ist, folgt σk = σkk . Dies steht im Widerspruch zur Defininition.
3.3 Folgen in metrischen Räumen
3.3.1 Metrische Räume
Definition 3.48. Eine Menge M mit einer Abbildung d : M × M → R heißt metrischer Raum mit Metrik d, falls
für alle x, y, z ∈ M die folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
1. d (x, y) ≥ 0 und d (x, y) = 0 ⇔ x = y
(Positive Definitheit).
2. d (x, y) = d (y, x)
(Symmetrie).
3. d (x, y) ≤ d (x, z) + d (y, z)
(Dreiecksungleichung).
Man nennt d (x, y) den Abstand von x und y.
Im folgenden werden einige Beispiele metrischer Räumen diskutiert.
Beispiele 3.49.
1. Die Euklidische Metrik auf C ist durch d (z, z 0 ) = |z − z 0 | für z, z 0 ∈ C definiert.
29
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2. Der Vektorraum Rn mit der Euklidischen Norm kvk :=
qP
n
2
j=1 vj
und der dazugehörigen Metrik d (v, w) :=
Rn ,
kv − wk, v, w ∈
bilden einen metrischen Raum.
Auch die Maximumsnorm kvk∞ := max {|vk | | k ∈ {1, . . . , n}} und die dazugehörige Metrik d (v, w) :=
kv − wk∞ macht Rn zu einem metrischen Raum.
Bemerkung 3.50. Falls nicht anderweitig angegeben, ist im Rn und C stets die Euklidische Metrik gemeint.
3. Auf R wird durch d (x, y) := |f (x) − f (y)| eine Metrik definiert. Dabei ist f : R → R mit
f (x) :=


+1 ,
√ x
 1+x2

−1 ,
,
x = +∞ ,
x ∈ R,
x = −∞ .
1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
−1
Abbildung 3.8: Graph von f
Definition 3.51. Sei (M, d) ein metrischer Raum und x ∈ M . Dann heißt für > 0 die Menge U (x) :=
{y ∈ M | d (x, y) < } die -Umgebung x in M .
Beispiel 3.52. U (0) ⊂ R2 ist in der Euklidischen Metrik ein Kreis um (0, 0) mit Radius r = und in der
Maximumsmetrik ein Quadrat um (0, 0) mit Seitenlänge 2.
Abbildung 3.9: Illustration der -Umgebungen des Ursprungs in der Euklidischen bzw. Maximumsmetrik
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3.3.2 Cauchy Folgen und Konvergenz
In metrischen Räumen definiert man nun die Begriffe Folge, Cauchy-Folge und Konvergenz analog zu M = R.
Definition 3.53.
1. Jede Abbildung a : N → M wird Folge genannt. Für M = C heißt die Folge komplexwertig
und für M = Rn vektorwertig.
2. Eine Folge (an ) heißt Cauchy-Folge, falls ∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀n, m ≥ N : d (an , am ) < .
3. Eine Folge (an ) heißt konvergent gegen a ∈ M , falls ∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀n ≥ N : d (an , a) < .
Andernfalls heißt die Folge divergent.
Bemerkung 3.54. Konvergenz von (an ) gegen a in (M, d) ist gleichbedeutend zur Konvergenz von (d(an , a))
gegen 0 in R, d.h.
lim an = a
n→∞
⇔
lim d(an , a) = 0.
n→∞
Satz 3.55. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Beweis. Sei a := limn→∞ an und > 0. Wähle N ∈ N, sodass für alle n ≥ N : d (an , a) < 2 . Dann gilt für alle
n, m ≥ N : d (an , am ) ≤ (d(an , a) + d (am , a) < 2 + 2 = .
Bemerkung 3.56. Die Umkehrung des obigen Satzes ist im Allgemeinen falsch, wie man anhand M = Q mit der
Euklidischen Metrik erkennen kann.
Definition 3.57. Ein metrischer Raum heißt vollständig, falls jede Cauchy-Folge konvergiert.
Beispiel 3.58. Beispiele für vollständige metrische Räume sind R, C und Rn mit Euklidischer Metrik und R mit d
aus Bsp iv).
3.3.3 Spezialfälle C bzw. Rn
Als metrische Räume stimmen (C, d) und R2 , d mit Euklidischer Metrik d überein. Deshalb wird im Folgenden
nur (Rn , d) betrachtet.
(j)
Satz 3.59. Eine vektorwertige Folge (ak ) konvergiert genau dann, wenn ihre reellen Komponenten-Folgen ak
für alle j ∈ {1, . . . , n} konvergieren.
Beweis. ⇒:
Sei a = (a(1) , . . . , a(j) ) der Grenzwert der vektorwertigen Folge. Dann gilt für alle k ∈ N und j ∈ {1, . . . , n}
(j)
ak − a(j) ≤ kak − ak .
(j)
Da (kak − ak) mit k ∈ N eine Nullfolge ist, konvergiert ak gegen a(j) nach dem Einschlusssatz.
⇐:
(j)
Sei a(j) := limk→∞ ak für j ∈ {1, . . . , n} und > 0. Sei N ∈ N so gewählt, dass für alle k ≥ N und
j ∈ {1, . . . , n}:
(j)
(j) ak − a < √ .
n
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Dann folgt für alle k ≥ N :
v
uX
2 r 2
u n (j)
kak − ak = t
= .
ak − a(j) < n ·
n
j=1
Damit ist der obige Satz für beide Richtungen bewiesen.
Beispiel
seien z ∈ C mit |z| < 1, sowie die Folge ak = z k mit k ∈ N. Dann gilt limk→∞ ak = 0,
k 3.60. Gegeben
denn z − 0 = |z|k −→ 0. Insbesondere gilt limk→∞ Re z k = 0 und limk→∞ Im z k = 0.
Satz 3.61 (Vollständigkeit von Rn bzw. C). Die metrischen Räume Rn , n ∈ N, und C mit Euklidischer Metrik sind
vollständig.
Beweis. Exemplarisch wird die Aussage für Rn bewiesen. Sei (ak )k∈N eine vektorwertige Cauchy-Folge in Rn ,
d.h. für > 0 existiert N ∈ N, so dass für j ∈ {1, . . . , n} und k, l ≥ N gilt:
(j)
(j) ak − al ≤ kak − al k < .
(j)
Also ist ak mit k ∈ N für alle j ∈ {1, . . . , n} eine reelle Cauchy-Folge und damit konvergent. Nach obigem
Satz konvergiert damit (ak ).
Die Grenzwertarithmetik überträgt sich auf vektorwertige und komplexwertige Folgen.
Satz 3.62 (Grenzwertarithmetik).
Cauchy Folge mit
1. Für Cauchy Folgen a, b : N → Rn , n ∈ N, ist die Summenfolge eine
lim (ak + bk ) = lim ak + lim bk .
k→∞
k→∞
k→∞
2. Für Cauchy Folgen a, b : N → C ist die Summen- und Produktfolge eine Cauchy Folge mit
lim (ak + bk ) = lim ak + lim bk
k→∞
k→∞
k→∞
lim (ak · bk ) = lim ak · lim bk .
k→∞
k→∞
k→∞
Falls bk 6= 0 und limk→∞ bk 6= 0 ist die Quotientenfolge eine Cauchy Folge mit
lim ak /bk = lim ak / lim bk .
k→∞
k→∞
k→∞
Der Beweis erfolgt verbatim wie der Beweis der Grenzwertarithmetik reeller Folgen.
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4 Reihen
4.1 Komplexwertige Reihen
4.1.1 Definition
P
DefinitionP
4.1. Für eine komplexwertige Folge (an ) bezeichnet die Reihe ∞
n=1 an die Folge der Partialsummen
n
mit sn := k=1 ak , n ∈ N.
P∞
Falls
P∞ (an ) konvergiert, so bezeichnet n=1 an ebenfalls den Grenzwert limn→∞ sn und man sagt, dass die Reihe
n=1 an konvergiert. Andernfalls spricht man von einer divergenten Reihen.
Bemerkung 4.2. Reihen werden manchmal durch N0 anstatt N indiziert.
Beispiele 4.3. Im folgenden werden einige Beispiele eingeführt, um das Prinzip von Reihen zu verdeutlichen.
Pn σk
1. Die Dezimalbruchentwicklung
x
=
n
k=0 10k auf n Stellen entspricht der nten Partialsumme der DezimalP∞ σk
bruchreihe k=0 10k mit σk ∈ {0, 1, . . . , 9}. Diese konvergiert.
2. Die geometrische Reihe mit Parameter z ∈ C entspricht an = z n , n ∈ N0 . Ihre Partialsummen sind:
(
n
X
n+1
z=1
sn =
z k = 1−z n+1
z 6= 1
1−z
k=0
Im Fall |z| > 1 divergiert (sn ), da |sn+1 − sn | = z n+1 = |z|n+1 ≥ 1. Somit ist (sn ) keine Cauchy-Folge
und deshalb nicht konvergent.
Im Fall |z| < 1 kovergiert (sn ), und es gilt:
∞
X
1 − z n+1
1
=
.
n→∞ 1 − z
1−z
z k = lim
k=0
(4.1)
Die geometrische Reihe spielt beispielsweise in Zeno’s Paradoxon eine Rolle. Dabei führen Achilles (A) und
eine Schildkröte (S) ein Wettrennen. S erhält zum Zeitpunkt t = 0 einen Vorsprung v > 0 gegenüber A. A läuft
(d > 1)-mal so schnell wie S.
1. Im ersten Schritt läuft A die Distanz v und S die Distanz vd .
2. Im zweiten Schritt läuft A die Distanz
v
d
und S die Distanz
v
.
d2
...
3. Nach n Schritten hat A somit die folgende Strecke zurückgelegt:
sn =
n
X
k=1
v
dk−1
=v
n−1
X
1 n→∞
v
−→
.
k
d
1 − d1
k=0
Paradox erschien den Griechen die Tatsache, dass Achilles die Schildkröte nur nach unendlich vielen Schritten
einholt.
33
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4.1.2 Konvergenzkriterien
Als unmittelbare Folgerung aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für komplexwertige Folgen gilt das Cauchy
Kriterium für Reihen.
P∞
Satz 4.4 (Cauchy Kriterium).
k=1 ak konvergiert genau dann, wenn
n
X ∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀ n ≥ m ≥ N : ak < .
k=m
Beweis. Für n ≥ m gilt für die Partialsummen sn :=
Pn
k=1 an
sn − sm−1 =
n
X
ak .
k=m
Die Behauptung folgt damit aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für komplexe Folgen.
P
Satz 4.5. Wenn die Reihe ∞
k=1 ak konvergiert, dann ist (an ) mit n ∈ N eine Nullfolge.
Beweis. Sei > 0. Nach dem Cauchy Kriterium existiert N ∈ N, so dass für alle n ≥ N die Ungleichung |an | < erfüllt wird. Damit ist (an ) eine Nullfolge.
Bemerkung
4.6. Die Konvergenz limn→∞ an = 0 ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Konvergenz von
P∞
k=1 ak .
P
1
Beispiele 4.7.
1. Die harmonische Reihe ∞
k=1 k divigiert.
Beweis. Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass für alle n ∈ N
n
s2n
2
X
n
1
≥1+
=
k
2
k=1
woraus limn→∞ s2n = ∞ folgt.
Die Induktionsvoraussetzung, n = 1, ist evident: s2 = 1 + 12 .
Der Induktionsschritt n → n + 1, folgt aus:
s2n+1 = s2n +
n+1
2X
k=2n +1
1
n
2n
n+1
≥1+ + n
≥1+
.
k
2 2 +1
2
2. Die alternierende harmonische Reihe
P∞
k=1
(−1)k+1
k
konvergiert nach dem folgenden Leibnitz Kriterium.
Satz 4.8 (Leibnitz Kriterium). Sei (an ) eine nicht-negative, an ≥ 0, monotone Folgemit limn→∞ an = 0. Dann
konvergiert die entsprechende alternierende Reihe
∞
X
(−1)k ak .
k=1
34
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Beweis. Für die Partialsummen sn =
Pn
k
k=1 (−1)
ak gilt für alle n ∈ N die Ungleichung
s1 ≤ s3 ≤ s5 ≤ . . . ≤ s2n−1 ≤ s2n ≤ . . . ≤ s6 ≤ s4 ≤ s2 ,
denn für alle k ∈ N:
1. s2(k+1) − s2k = a2k+2 − a2k−1 ≤ 0,
2. s2k+1 − s2k−1 = −a2k+1 + a2k ≥ 0, und
3. s2n − s2n−1 = a2n ≥ 0.
Mit dem Monotoniesatz folgt daraus die Konvergenz der geraden und ungeraden Teilfolgen. Für s∗ := limn→∞ s2n
und s∗ := limn→∞ s2n−1 gilt weiter:
0 ≤ s∗ − s∗ = lim (s2n − s2n−1 ) = lim a2n = 0.
n→∞
n→∞
Also ist s∗ = s∗ =: s. Zu zeigen bleibt: s = limn→∞ sn .
Zu > 0 gibt es aber N1 , N2 ∈ N mit
∀n ≥ N1 : |s2n − s| < ∀n ≥ N2 : |s2n+1 − s| < und somit |sn − s| < für alle n ≥ max(2N1 , 2N2 − 1).
Bemerkung 4.9. Aus dem obrigen Beweis ergibt sich die explizite Fehlerabschätzung:
∞
X
(−1)k ak − sn ≤ an+1 .
k=1
4.1.3 Absolute Konvergenz
P∞
P
Definition 4.10. Die Reihe ∞
k=1 |ak | konvergiert.
k=1 ak heißt absolut konvergent, wenn
P∞
Bemerkungen 4.11.
1. Aus der absoluten Konvergenz der Reihe k=1 ak folgt ihre Konvergenz, denn für alle
n ≥ m ≥ 1 gilt
n
n
X
X
|ak | ,
ak ≤
k=m
d.h. mit
P∞
k=1 |ak |
erfüllt auch
P∞
k=1 ak
k=m
das Cauchy Konvergenzkriterium.
2. Die alternierende harmonische Reihe illustriert, dass nicht alle konvergenten Reihen absolut konvergent sind.
P
3. Nach dem Monotoniesatz konvergiert ∞
k=1 |ak | genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt
ist.
P
Satz 4.12 (Majorantenkriterium). Sei ∞
k=1 bk konvergent mit
Pbk ≥ 0 für alle k ∈ N. Falls alle bis auf endliche
viele k ∈ N die Ungleichung |ak | ≤ bk gilt, dann konvergiert ∞
k=1 ak absolut.
35
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P∞
Beweis.
Sei
>
0.
Da
k=1 bk eine Cauchy Folge
Pn
Pn
P∞ist, gibt es N ∈ N, so dass für alle n, m ≥ N die Ungleichung
k=m |ak | ≤
k=m bk < erfüllt ist. Also ist
k=1 |ak | eine Cauchy Folge.
P
(−1)k+1
absolut. Denn für k ≥ 2 und n ≥ 1 gilt die Ungleichung
Beispiel 4.13. Für k ≥ 2 konvergiert ∞
n=1
nk
2
1
1
≤ 2 ≤
.
k
n
n (n + 1)
n
Damit lässt sich sN :=
|sN | ≤
N
X
n=1
PN
k+1 n−k
n=1 (−1)
N
X
2
=2·
n (n + 1)
n=1
für alle N ∈ N durch eine konvergente Teleskopsumme abschätzen:
n
n−1
−
n+1
n
=2·
N
0
−
N +1 1
=
2N N →∞
−→ 2.
N +1
Also konvergiert (sN ) nach dem Majorantenkriterium.
Satz 4.14 (Quotientenkriterium). Sei (an ) mit an 6= 0 für alle bis auf endlich viele n ∈ N. Dann gilt:
P
|
1. Falls lim supn→∞ |a|an+1
< 1, dann konvergiert ∞
n=1 an absolut.
n|
2. Falls lim inf n→∞
|an+1 |
|an |
> 1, dann divergiert
P∞
n=1 an .
Beweis. 1. Nach Voraussetzung existiert 0 ≤ θ < 1 und N ∈ N mit
∀n ≥ N : |an+1 | ≤ θ |an | .
Durch Iteration erhält man für alle n ≥ 0 die Ungleichung |aN +n | ≤ θn |aN |. Sei nun bk definiert als
bk := θmax{k−N,0} |aN | .
P∞ k
P
Sei nun k ∈P
N. Dann konvergiert somit ∞
k=1 θ |aN |, und |ak | ≤ bk für alle k ≥ N . Also
k=1 bk = N · |aN | +
a
absolut
nach
dem
Majorantensatz.
konvergiert ∞
k=1 k
2. Nach Voraussetzung existiert θ > 1 und N ∈ N, sodass ∀ n ≥ N : |an+1 | ≥ θ |an |. Durch Iteration folgt
dann |aN +n | ≥ θn |aN | mit n ≥ 0. Also ist (an ) keine Nullfolge.
Satz 4.15 (Wurzelkriterium). Sei (an ) eine komplexwertige Folge.
p
P
1. Falls lim supn→∞ n |an | < 1, dann konvergent konvergiert ∞
n=1 an absolut.
p
P
2. Falls lim supn→∞ n |an | > 1, dann divergiert ∞
n=1 an .
Beweis. 1. Nach Voraussetzung existiert 0 < θ < 1 und N ∈ N, so dass
p
n
|an | ≤ θ
∀n ≥ N :
d.h. |an | ≤ θn für alle n ≥ N . Man betrachte die Partialsummen für n ≥ N :
sn =
n
X
k=1
|ak | =
N
−1
X
k=1
|ak | +
n
X
k=N
|ak | ≤
N
−1
X
k=1
|ak | +
n
X
k=N
36
k
θ =
N
−1
X
k=1
|ak | + θ
N
n−N
X
k=0
k
θ ≤
N
−1
X
k=1
|ak | + θN
1
.
1−θ
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Somit ist die Folge der Partialsummen (sn ) beschränkt und
P∞
k=1 |ak |
2. Nach Voraussetzung existiert θ > 1 und eine Teilfolge
q
nk
|ank |
mit lim
q
nk
k→∞
k∈N
konvergiert nach dem Monotoniesatz.
|ank | > 1.
Damit existiert θ > 1 und N ∈ N, so dass ∀ k ≥ N : |ank | ≥ (θ0 )nk . Somit (ank ) und damit (an ) keine Nullfolge.
Bemerkung 4.16. In den Grenzfällen
an+1 =1
lim sup an n→∞
an+1 =1
lim inf n→∞
an lim sup
n→∞
p
n
|an | = 1
kann keine allgemeine Aussage getroffen werden.
4.1.4 Umordnungen von Reihen
Definition 4.17. Für jede Bijektion σ : N → N heißt die Reihe
P∞
k=1 aσ(k)
Umordnung von
P∞
k=1 ak .
In Kapitel 1, Beispiel 1.1 der Vorlesung wurde gezeigt, dass Umordnungen der alternierenden harmonischen
P
(−1)k+1
Reihe ∞
nicht gegen den selben Grenzwert konvergieren. Es gilt sogar folgender Satz (ohne Beweis).
k=1
k
P
Satz 4.18 (Riemannscher Umordnungssatz). Für
konvergente reelle Reihe ∞
k=1 ak , die nicht absolut konverPjede
giert, und jedes s ∈ R gibt es eine Umordnung ∞
a
,
welche
(uneigentlich)
gegen s konvergiert.
k=1 σ(k)
Für absolut konvergente Reihe gilt hingegen:
P∞
Satz 4.19 (Umordnung von absolut konvergenten
P∞ k=1 ak absolut konvergent, so konvergiert jede
P∞ Reihen). Ist
Umordnung gegen den selben Grenzwer, d.h., k=1 aσ(k) = k=1 ak .
P
Beweis. Sei > 0. Da ∞
k=1 ak absolut konvergiert, gibt es M ∈ N mit
∞
X
|ak | −
k=1
M
X
∞
X
|ak | =
k=1
k=M +1
|ak | < .
2
Wähle N ∈ N, N ≥ M , so dass {1, . . . , M } ⊂ {σ (1) , . . . , σ (N )}. Dann folgt mit der Dreiecksungleichung:
N
∞
N
M
∞
∞
X
X
X
X
X
X
aσ(k) −
ak ≤ aσ(k) −
ak +
|ak | ≤ 2 ·
|ak | < 2 · = .
2
k=1
k=1
Satz 4.20 (Cauchy Produkt). Seien
Produkt
k=1
P∞
n=0 an
und
k=1
k=M +1
P∞
absolut konvergente Reihen. Dann definiert das Cauchy
n=0 bn
cn :=
n
X
k=M +1
ak bn−k
k=0
eine absolut konvergente Reihe mit
∞
X
n=0
cn =
∞
X
!
am
m=0
37
∞
X
l=0
!
bl
.
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Beweis. Wir betrachten die Partialsummmen:
AN :=
A∗N :=
N
X
k=0
N
X
ak
BN :=
n
X
bk
k=0
N
X
∗
BN
:=
|ak |
k=0
CN :=
N
X
ck
k=0
∗
CN
:=
|bk |
k=0
N
X
|ck | .
k=0
Sei SN := (l, m) ∈ {1, . . . , N }2 | l + m > N , dann gilt:
X
X
i) ∆N := |CN − AN · BN | ≤ am bl ≤
|am | · |bl |
(l,m)∈SN
(l,m)∈SN
X
∗
∗
ii) ∆∗N := |CN
− A∗N · BN
|=
|am | · |bl | .
(l,m)∈SN
∗ konvergiert damit C ∗ und mit A · B
Es genügt also zu zeigen, dass limN →∞ ∆∗N = 0, denn mit A∗N , BN
N
N
N
konvergiert CN gegen das Produkt der Grenzwerte, d.h. limN →∞ ∆N = 0.
∗ . Dann gilt:
Sei A∗ := limN →∞ A∗N und B ∗ := limN →∞ BN
0≤
∆∗N
X
=
X
|al | · |bm | ≤
N
2
(l,m)∈SN
N
2
P∞
l=0 |bl |
und
P∞
m=0 |am |
N
2
|al | · B +
N
2
|bm | ·
<m≤N
X
∗
<l≤N
X
|bm | +
m=0
<l≤N
X
≤
Da
|al | ·
N
X
N
X
|al |
l=0
|bm | · A∗
<m≤N
konvergieren, sind die Terme auf der rechten Seite Nullfolgen in N .
4.2 Potenzreihen
4.2.1 Definitionen
P
n
Definition 4.21. Jede Reihe der Form ∞
n=0 an (z − a) mit Koeffizienten an ∈ C, Variable z ∈ C und Entwicklungspunkt a ∈ C wird Potenzreihe genannt. Man nennt
)
(
∞
X
R := sup |z − a| z ∈ C und
an (z − a)n konvergent
n=0
den Konvergenzradius der Potenzreihe.
Bemerkung 4.22. Es gilt 0 ≤ R ≤ ∞.
P∞
n=0 z
n
hat Konvergenzradius R = 1.
P
n
Satz 4.24. Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe ∞
n=0 an (z − a) . Dann gelten folgende Eigenschaften:
Beispiel 4.23. Die geometrische Reihe
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P
n
1. Für |z − a| < R konvergiert ∞
n=0 an (z − a) absolut.
P
n
2. Für |z − a| > R divergiert ∞
n=0 an (z − a) .
Beweis. O.B.d.A. sei a = 0.
P
n
n
1. Nach der Definition von R gibt es z1 ∈ C mit |z1 | > |z|, so dass ∞
n=0 an z1 konvergiert. Somit ist bn := |an z1 |
n
n ≤ Bξ n für
mit n ∈ N0 eine beschränkte
0 }. Da |an z | = bn ξ
P∞ n Folge mit Schranke B := sup {bn |n ∈ NP
∞
n
ξ := |(z/z1 )| und n=0 ξ für |ξ| < 1 absolut konvergiert, konvergiert n=0 an z absolut nach dem Majorantenkriterum.
P
n
2. Die Reihe ∞
n=0 an z divergiert für |z| > R nach Definition von R.
P∞
Satz 4.25 (Formel von Cauchy-Hadamard). Der Konvergenzradius der Potenzreihe k=0 an (z − a)n ist R = ρ1 ,
wobei
p
ρ = lim sup n |an |
n→∞
und in diesem Zusammenhang
1
∞
:= 0 und
1
0
= ∞ vereinbart wird.
Beweis. O.B.d.A. sei ap
= 0.
P
n
Dann gilt lim supn→∞ n |an z n | = ρ |z| für alle z 6= 0. Die Reihe ∞
n=0 an z ist somit nach dem Wurzelkriterium
für |z| ρ < 1 absolut konvergent und für |z| ρ > 1 divergent. Der Konvergenzradius ist also R = ρ1 .
4.2.2 Exponentialreihe und ihre Verwandten
P
zn
Definition 4.26. Die Potenzreihe ∞
n=0 n! heißt Exponentialreihe.
Lemma 4.27. Für die Exponentialreihe gelten folgende Eigenschaften:
1. Der Konvergenzradius ist R = ∞.
P
2. Das Restglied RN +1 (z) := ∞
n=N +1 (z) ist für N ∈ N und z ∈ C mit |z| ≤
|RN +1 (z)| ≤ 2
N
2
+ 1 durch
|z|N +1
(N + 1)!
beschränkt.
Beweis. 1. Für alle z ∈ C:
n+1
z
n!
|z| n→∞
(n + 1)! z n = n + 1 −→ 0,
woraus mit Hilfe des Quotientenkriteriums R = ∞ folgt.
2. Die Aussage folgt durch Umformen:
∞
∞
X
X
|z|n
|z|N +1
|z|k
|RN +1 (z)| ≤
=
1+
Qk
n!
(N + 1)!
l=1 (N + 1 + l)
n=N +1
k=1
!
∞ k
X
|z|N +1
1
|z|N +1
≤
1+
=2
.
(N + 1)!
2
(N + 1)!
!
|z|N +1
≤
(N + 1)!
1+
∞
X
|z|k
k=1
(N + 2)k
!
k=1
39
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Definition 4.28. Die Funktion exp : C → C, z 7→
zn
n=0 n!
P∞
heißt (komplexe) Exponentialfunktion.
Satz 4.29. Die Exponentialfunktion genügt der Funktionalgleichung
exp (z + w) = exp (z) · exp (w)
Beweis. Das Cauchy Produkt von an =
cn =
n
X
ak · bn−k
k=0
zn
n!
und bn =
wn
n!
z, w ∈ C.
ist
n n
X
1
1 X n k n−k
z k wn−k
z w
=
=
=
(z + w)n
k! (n − k)!
n!
k
n!
k=0
k=0
mit der Binomischen Formel. Also folgt
exp (z) · exp (w) =
∞
X
(z + w)n
n!
n=0
= exp (z + w) .
Korollar 4.30. Für alle z ∈ C und x ∈ R gelten folgende Eigenschaften.
1. exp (z) 6= 0.
1
exp(z) .
2. exp (−z) =
3. exp (z̄) = exp (z).
4. exp (x) > 0.
5. |exp (ix)| = 1; insbesondere exp (0) = 1.
Beweis. Die Aussagen 1.-5. folgen aus:
P
00
0n
1. exp (0) = ∞
n=0 n! = 0! = 1. Aufgrund 1 = exp (0) = exp (z − z) = exp (z) · exp (−z) folgen die
Aussagen 1. und 2.
2. Für sn =
zk
k=0 k!
Pn
gilt exp (z) = limn→∞ sn = limn→∞
(z)k
k=0 k!
Pn
= exp (z). Damit folgt 3.
3. Aus 3. folgt: |exp (ix)|2 = exp (ix) · exp (ix) = exp (ix) exp (−ix) = exp (0) = 1.
P
P∞ xn
xn
4. Für x ≥ 0 gilt: exp (x) = ∞
n=0 n! = 1 +
n=0 n! ≥ 1 > 0 und für x < 0 folgt −x > 0 und somit
1
exp (x) = exp(−x) > 0. Dies beweist Aussage 4.
Satz 4.31. Es gelten folgende Eigenschaften.
1. Für z ∈ C gilt exp (z) = limn→∞ 1 +
z n
n .
2. Für n ∈ Z gilt exp (n) = en .
40
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Beweis. 1. Es gilt:
n
∞
n n!
z n X z k X n z k X z k
1−
−
exp (z) − 1 +
≤
+ |Rn+1 (z)|
=
k
k
n
k!
k!
k n
(n − k)!n k=0
k=0
k=0
n
X
n!
|z|k + |Rn+1 (z)|
≤
1−
k
k!
(n − k)!n k=0
|
{z
}
=:an,k
Aus Lemma 4.27 folgt limn→∞ |Rn+1 (z)| = 0 für alle z ∈ C. Zur Abschätzung des zweiten Terms zeigen wir für
alle k ∈ N0 , dass 0 ≤ an,k ≤ 1 und
!
k−1
Y
l
1−
lim an,k = lim 1 −
= 0.
n→∞
n→∞
n
l=0
Daraus folgt (siehe Übung)
lim
n→∞
1
exp(n)
und e−n =
∞
X
|z|k
k!
k=0
an,k = 0.
1
en
für n ∈ Z und exp (0) = e0 = 1, genügt es die Behauptung für n ∈ N
n
zu zeigen. Dies geschieht wegen exp (1) = limn→∞ 1 + n1 = e mittels vollständiger Induktion.
2. Wegen exp (−n) =
Definition 4.32. Für z ∈ C setzt man ez := exp (z).
Bemerkung 4.33. Für ϕ ∈ R\ {0} liegen die Punkte zn = einϕ und n ∈ N0 auf der Einheitskreislinie. Aufeinanderfolgende zn ’s haben gleichen Abstand, |z1 − 1| = |z2 − z1 | = . . . = |zn+1 − zn |.
Definition 4.34. Die reellen Funktionen sin, cos : R → R, welche durch
sin (x) := Im eix ,
cos (x) := Re eix ,
definiert sind, heißen Sinus- und Kosinusfunktion.
Satz 4.35 (Eigenschaften von sin und cos). Für x, y ∈ R gilt:
1. Eulersche Formel
eix = cos (x) + i sin (x) und
∞
sin x =
cos x =
X
1 ix
x2n+1
e − e−ix =
(−1)n
,
2i
(2n + 1)!
1 ix
e − e−ix =
2
n=0
∞
X
(−1)n
n=0
x2n
.
(2n)!
2. sin (−x) = − sin (x) und cos (−x) = cos (x); insbesondere sin (0) = 0 und cos (0) = 1.
3. cos2 (x) + sin2 (x) = 1.
41
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4. Additionstheoreme
sin (x + y) = sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)
cos (x + y) = cos (x) cos (y) − sin (x) sin (y) .
Beweis. 1. Exemplarisch für sin (für cos analog)
sin (x) = Im e
=
ix
1 ix
1
e − eix =
=
2i
2i
∞ n
X
i − (−i)n xn
n=0
2i
n!
=
∞
X
(−1)n
n=0
∞
X
(ix)n
n=0
x2n+1
n!
−
∞
X
(−ix)n
n=0
!
n!
(2n + 1)!
wobei wir benutzt haben, dass:
in


n = 1, 5, 9, . . .
1
− (−i)
= −1 n = 3, 7, 11, . . .

2i

0
sonst
n
2. aus 1.
2
3. cos2 (x) + sin2 (x) = eix = 1.
4. Die Behauptung ergibt sich durch Vergleich von Real- und Imaginärteilen in der folgenden Identität:
cos (x + y) + i sin (x + y) = ei(x+y) = (cos (x) + i sin (x)) (cos (y) + i sin (y))
= cos (x) cos (y) − sin (x) sin (y) + i (sin (x) cos (y) + cos (x) sin (y)) .
42
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5 Stetigkeit
Im Folgenden bezeichnen (M, dM ) und (N, dN ) metrische Räume und f : M → N eine Funktion. Wir werden
uns in diesem Semester hauptsächlich mit reell- und komplexwertigen Funktionen einer reellen oder komplexen
Variablen beschäftigen, d.h. M = N = R bzw. C.
PN
n
Beispiele 5.1.
1. Die Funktion f : R → R mit f (x) =
n=0 an x , wobei an ∈ R und N ∈ N0 , heißt
Polynomfunktion. Ihr Graph G (f ) = {(x, y) ∈ R × R | y = f (x)} besitzt keine Sprungstellen.
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
−1
0
1
2
3
4
−2
Abbildung 5.1: Graph einer Polynomfunktion
2. Die Funktion f : R → R mit
(
1
f (x) =
0
x∈Q
.
x∈
/Q
heißt Dirichletsche Sprungfunktion. Ihr Graph hat unendlich viele Sprungstellen (und lässt sich deshalb nicht
zeichnen.)
3. Die charakteristische Funktionen 1D : M → R einer Teilmenge D ⊂ M ist:
(
1 x∈D
1D (x) :=
0 x∈
/ D.
Ein Beispiel im Fall M = R findet sich in Abbildung 5.2.
4. Die komplexe Exponentialfunktion f : C → C, f (z) = exp (z). Der Graph ist eine Teilmenge von C × C.
Visualisieren lässt sich z.B. der Graph des Realteils, Re f : C → R, Re f (z) = Re exp (z), Im f : C → R,
Im f (z) = Im exp (z).
Da jede Teilmenge D ⊂ R bzw. D ⊂ C durch die Restriktion der Euklidischen Metrik zu einem metrischen
Raum wird, sind Funktionen vom Typ f : D → D0 mit D, D0 ⊂ R bzw. D, D0 ⊂ C in diesem Rahmen auch von
Interesse. Wichtige Teilmengen von R sind Intervalle, cf. Definition 3.46.
43
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1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
Abbildung 5.2: Graph einer charakteristischen Funktion von [−3, 1].
10
10
5
5
y
0
0
y
-5
-5
-10
-10
40
20
0
20
ãx cosHyL
0
-20
-20
-40
-40
10
10
5
5
0
0
-5
ãx sinHyL
-5
x
-10
x
-10
Abbildung 5.3: Graph von Real und Imaginärteil der komplexen Exponentialfunktion.
5.1 Definitionen und Kriterien
5.1.1 -δ-Definition der Stetigkeit
Definition 5.2. Eine Funktion f : M → N heißt stetig in x0 ∈ M , falls
∀ > 0 : ∃ δ > 0 : f (Uδ (x0 )) ⊂ U (f (x0 )) .
Die Funktion f : M → N heißt stetig, falls sie in allen x0 ∈ M stetig ist.
Bemerkungen 5.3.
1. Man sagt f ist unstetig (in x0 ), wenn f (in x0 ) nicht stetig ist.
2. Stetigkeit von f : M → N in x0 ∈ M explizit:
∀ > 0 : ∃δ > 0 :
Beispiele 5.4.
∀x ∈ M : dM (x, x0 ) < δ ⇒ dN (f (x) , f (x0 )) < .
1. Die Wurzelfunktionen f : [0, ∞) → R mit f (x) :=
√
n
x sind stetig für alle n ∈ N.
Beweis. Sei x0 ∈ [0, ∞) und > 0. Wähle nun δ = n . Dann gilt für x ≥ 0 mit |x − x0 | < δ:
√
√
√ p
n
|f (x) − f (x0 )| = n x − n x0 ≤ n |x0 − x| < δ = .
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f (x0 )+
f (x0 )
f (x0 )−
x0 −δ
x0
x0 +δ
Abbildung 5.4: Visualisierung der Stetigkeitsbedingung für f : R → R
2. Die Dirichletsche Sprungfunktion ist nirgends stetig. (Beweis: Übung)
3. Die Exponentialfunktion exp : C → C ist stetig.
o
n
Beweis. Sei z0 ∈ C und > 0. Wähle δ = min 1, 2|ex0 | . Für x ∈ C mit |z − z0 | < δ folgt mit der
Restgliedabschätzung aus Lemma 4.27 (mit N = 0):
|f (z) − f (z0 )| = |ez0 | ez−z0 − 1 ≤ |ez0 | · 2 · |z − z0 | < |ez0 | · 2 · δ ≤ .
5.1.2 Folgenkriterium der Stetigkeit
Satz 5.5 (Folgenkriterium). Die Funktion f : M → N ist genau dann stetig in x0 ∈ M , wenn für jede gegen x0
konvergente Folge (an ) in M auch (f (an )) in N gegen (f (x0 )) konvergiert, d.h.
lim an = x0 ⇒ lim f (an ) = f (x0 )
n→∞
n→∞
(5.1)
Bemerkung 5.6. Die Eigenschaft (5.1) heißt auch Folgenstetigkeit von f in x0 . Obiger Satz besagt, dass in metrischen Räumen die Begriffe Folgenstetigkeit und Stetigkeit identisch sind.
Beweis (von Satz 5.5). ⇒:
Sei f stetig in x0 ∈ M und > 0. Dann gibt es δ > 0, so dass für x ∈ M mit dM (x, x0 ) < δ die Ungleichung
dN (f (x) , f (x0 )) < gilt. Aus der Konvergenz limn→∞ an = x0 folgt, dass es zu δ > 0 ein N0 ∈ N gibt mit
dM (an , x0 ) < δ für alle n ≥ N0 . Also folgt dN (f (an ) , f (x0 )) < für alle n ≥ N0 .
⇐: Annahme: ∃ > 0: ∀ n ∈ N : f U 1 (x0 ) 6⊂ U (f (x0 )).
n
Dann kann eine Folge (an ) konstruiert werden mit:
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i) an ∈ U 1 (x0 ), und
n
ii) f (an ) ∈
/ U (f (x0 )).
Somit ist limn→∞ an = x0 , aber (f (an )) konvergiert nicht gegen f (x0 ). Das ist ein Widerspruch.
Definition 5.7. Die Summe von Funktionen f, g : M → Rn mit n ∈ N ist durch
f + g : M → Rn , (f + g) (x) := f (x) + g (x)
definiert. Im Fall n = 1 lässt sich auch das Produkt und der Quotient definieren:
f · g : M → R,
(f · g) (x) := f (x) · g (x) ,
f /g : D → R ,
(f /g) (x) := f (x) /g (x) ,
mit D := {x ∈ M | g (x) 6= 0}.
Analog definiert man f + g, f · g und f /g für f, g : M → C.
Aus dem Folgenkriterium, Satz 5.5, und der Grenzwertarithmetik für vektorwertige bzw. komplexwertige Folgen, Satz 3.62, folgt somit sofort der folgende Satz.
Satz 5.8 (Stetigkeit von Summe, Produkt und Quotient). Seien f, g : M → Rn stetig in x0 ∈ M . Dann ist ebenso
stetig in x0 :
i) die Summe f + g
ii) falls n = 1, das Produkt f · g und,
iii) falls n = 1 und x0 ∈ D, der Quotient f /g.
Analoges gilt für Summe, Produkt und Quotient von f, g : M → C.
Definition 5.9. Die Menge der stetigen Funktionen f : M → N wird mit C (M, N ) bezeichnet.
Bemerkung 5.10. Für N = R bzw. N = C kürzt man C (M, N ) auch als C (M ) ab. Nach obigem Satz ist C (M )
ein Vektorraum über R bzw. C.
Definition 5.11. Für f : M → N und g : L → M heißt f ◦ g : L → N , (f ◦ g) (x) := f (g (x)) die Komposition
von f und g.
Satz 5.12. Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig.
Beweis. Seien f : M → N und g : L → M stetige Funktionen. Sei weiterhin x0 ∈ L und (an ) eine Folge mit
limn→∞ an = x0 . Aus der Stetigkeit von g folgt limn→∞ g (an ) = g (x0 ) und somit aus der Stetigkeit von f :
lim f (g (an )) = f (g (x0 ))
n→∞
womit die Aussage bewiesen wurde.
Es folgen einige weitere Beispiele stetiger und unstetiger Funktionen.
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Beispiele 5.13.
1. Die konstante Funktion f : M → C mit f (x) = c und c ∈ C ist stetig. Dies folgt z.B. aus
dem Folgenkriterium, Satz 5.5.
2. Die Identität f : M → M mit f (x) = x ist stetig. Auch dies folgt aus dem Folgenkriterium, Satz 5.5.
PN
n
3. Alle Polynomfunktionen p : C → C, p (x) =
n=0 an x und an ∈ C und N ∈ N sind stetig. Diese
Aussage folgt aus den obigen Beispielen und Satz 5.8.
4. Alle rationale Funktionen f : D → C mit f (x) =
D := {x ∈ C | q (x) 6= 0}. Dies folgt aus Satz 5.8.
p(x)
q(x) ,
wobei p, q Polynomfunktionen sind, sind stetig auf
5. Die Signumfunktion sgn : R → R mit


1
sgn (x) := 0


−1
x>0
x=0
x<0
ist unstetig in x0 = 0 und stetig in allen x0 6= 0.
6. Die Sinus- und Kosinusfunktion sind stetig. (Beweis: Übung)
5.2 Grenzwerte von Funktionen
5.2.1 Häufungspunkte von Mengen
Definition 5.14. Für eine Teilmenge D ⊂ M eines metrischen Raums heißt ein Punkt x ∈ M Häufungspunkt von
D, falls es eine gegen x ∈ M konvergente Folge a : N → D\ {x} gibt. Die Menge der Häufungspunkte von D
wird mit DHP abgekürzt.
Beispiele 5.15.
1. Für {x} ⊂ M gilt {x}HP = ∅.
2. Für Q ⊂ R gilt QHP = R.
3. Für Z ⊂ R gilt ZHP = ∅.
4. Für offene Intervalle in R gilt (a, b)HP = [a, b].
5. Für abgeschlossene Intervalle in R gilt [a, b]HP = [a, b].
Satz 5.16 (Charakterisierung von Häufungspunkten). x ∈ M ist genau dann Häufungspunkt von D ⊂ M , falls
∀ > 0 : (D\ {x}) ∩ U (x) 6= ∅ .
Beweis. Übung.
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5.2.2 Grenzwerte von Funktionen
Definition 5.17. Eine Funktion f : D → N mit D ⊂ M hat in x0 ∈ DHP den Grenzwert (oder: Limes) y0 ∈ N ,
falls für jede gegen x0 konvergente Folge a : N → D\ {x0 } gilt: limn→∞ f (an ) = y0 .
Man schreibt: lim f (x) = y0 .
x→x0
Bemerkung 5.18. Das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen ergibt sich aus der Grenzwertarithmetik für
Folgen, Satz 3.62. Insbesondere gilt für f, g : D → Rn , x0 ∈ DHP , mit lim f (x) = a und lim g (x) = b:
x→x0
x→x0
i) lim (f + g) (x) = a + b, und
x→x0
ii) für n = 1:
lim (f · g) (x) = a · b, und, falls b 6= 0:
x→x0
lim
x→x0
f
a
(x) = .
g
b
Analoges gilt für komplexwertige Funktionen f, g : D → C.
Beispiel 5.19. Sei D = C\ {0} ⊂ C. Für die Funktion f : D → C mit f (x) =
exp(x)−1
x
gilt:
lim f (x) = 1 .
x→0
Beweis. Für |x| < 1 gilt:
∞
∞
∞
1 X
X
xn
|x|
xn X n
|f (x) − 1| ≤ − 1 = |x| =
.
≤
x
n!
(n + 1)! 1 − |x|
n=1
Die Behauptung folgt somit aus: limx→0
|x|
1−|x|
n=1
n=1
= 0.
Für eine Funktion einer reellen Variablen lassen sich darüberhinaus noch folgende spezielle Grenzwerte disjutieren.
Definition 5.20. Die f : D → C mit D ⊂ R besitzt:
1. einen rechtsseitigen Grenzwert y0 ∈ R bei x0 , wenn x0 ein Häufungspunkt von Dx+0 := D ∩ (x0 , ∞) ist
und für die Restriktion fˆ : Dx+0 → R gilt: limx→x0 fˆ (x) = y0 .
Man schreibt: lim f (x) = y0 .
x↓x0
2. einen linksseitigen Grenzwert y0 ∈ R bei x0 , wenn x0 ein Häufungspunkt von Dx−0 := D ∩ (x0 , ∞) ist und
für die Restriktion fˆ : Dx−0 → R gilt: limx→x0 fˆ (x) = y0 .
Man schreibt: lim f (x) = y0 .
x↑x0
3. einen Grenzwert y0 ∈ R in ∞, wenn D nicht n.o.b. ist und:
∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀x ∈ D, x > N : |f (x) − y0 | < .
Man schreibt: lim f (x) = y0 .
x→∞
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4. einen Grenzwert y0 ∈ R in −∞, wenn D nicht n.u.b. ist und
∀ > 0 : ∃N ∈ N : ∀x ∈ D, x < N : |f (x) − y0 | < .
Man schreibt: lim f (x) = y0 .
x→−∞
Beispiele 5.21.
1. Es gilt: limx↓0 sgn (x) = 1 und limx↑0 sgn (x) = −1.
2. Es gilt: limx→∞
√ 1
x2 +1
= 0.
5.2.3 Grenzwerte und Stetigkeit:
Satz 5.22. Eine Funktion f : D → N mit D ⊂ M ist genau dann stetig in x0 ∈ DHP , wenn limx→x0 f (x) =
f (x0 ).
Beweis. Übung.
Definition 5.23. Sei f : D → N mit D ⊂ M und x0 ∈ DHP mit limx→x0 f (x) = y0 . Man nennt fˆ : D ∪ {x0 } →
N mit
(
f (x) x ∈ D
fˆ (x) :=
y0
x = x0
die in x0 stetige Fortsetzung von f .
Beispiel 5.24. Sei f : R\ {0} → R mit f (x) =
sin x
x .
Dann ist f stetig und limx→0 f (x) = 1. Also ist
(
f (x) x 6= 0
fˆ (x) =
1
x=0
die stetige Forsetzung von f auf R.
Beweis. Die Funktion f ist stetig, da die Sinus- und die Indentitätsfunktion stetig sind. Weiterhin gilt für |x| < 1:
∞
∞
∞
X
X
1 X
2n+1
2n
x
x
|x|2
n
n
|f (x) − 1| = (−1)
− 1 = (−1)
|x|2n =
.
≤
x
(2n + 1)!
(2n + 1)! 1 − |x|2
n=0
n=1
n=1
Da limx→0
|x|2
1−|x|2
= 0, folgt limx→0 f (x) = 1.
5.2.4 Landau Symbole
Unsere Motivation ist der Vergleich von Abfall/Wachstum zweier Funktionen f, g : D → C mit D ⊂ M bei
a ∈ DHP .
Definition 5.25. Sei g : D → C mit D ⊂ M und a ∈ DHP .
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1. Eine Funktion f : D → C heißt bei a von Ordnung groß O von g, falls ein > 0 und C = C () > 0
existiert, so dass
∀x ∈ D ∩ U (a) :
Man schreibt: f (x) = O (g (x))
(x → a)
|f (x)| ≤ C |g(x)| .
(x → a))
(oder kurz: f = O (g)
2. Eine Funktion f : D → C heißt bei a von Ordnung klein o von g, falls
lim
x→a
Man schreibt: f (x) = o (g (x))
(x → a)
|f (x)|
= 0.
|g (x)|
(oder kurz: f = o (g)
(x → a))
3. Im Fall D = R und a = ±∞ verfährt man zur Definition von f (x) = O (g (x))
f (x) = o (g (x)) (x → ±∞) analog.
(x → ±∞) bzw.
Bemerkungen 5.26.
1. Der Ausdruck f = O (g) (x → a) bedeutet, dass |f | vergleichbar oder kleiner ist als
|g| in der Nähe von a.
2. Der Ausdruck f = o (g) (x → a) bedeutet, dass |f | verschwindend klein ist im Vergleich zu |g| in der Nähe
von a.
3. Anstatt f1 −f2 = O (g) schreibt man auch f1 = f2 +O (g) und anstatt f1 −f2 = G (g) auch f1 = f2 +o (g).
1. Es gilt: sin x = x + o (x) (x → 0), da limx→0 sin xx−x = limx→0 sinx x − 1 = 0.
2. Es gilt sin x = x + O x3
(x → 0), da für |x| ≤ 12 und
∞
∞
∞
X
2(n−1)
2n+1 X
1
4
3 X |x|
n x
3
|sin x − x| = (−1)
≤ |x|
|x|2n = |x|3
≤ |x|3
≤ x
2
(2n + 1)!
(2n + 1)!
3
1 − |x|
Beispiele 5.27.
n=1
iii) Es gilt: sin (x) = O (1)
n=1
n=0
(x → ∞), da |sin x| ≤ 1.
5.3 Eigenschaften stetiger reeller Funktionen
5.3.1 Zwischenwertsatz
Satz 5.28 (Zwischenwertsatz). Für f ∈ C ([a, b] , R) und y ∈ R mit min (f (a) , f (b)) ≤ y ≤ max (f (a) , f (b))
gibt es ein x ∈ [a, b] mit f (x) = y.
Bemerkungen 5.29.
1. Die Aussage ist falsch, wenn f nicht stetig ist, oder der Definitionsbereich kein abgeschlossenes Intervall ist.
2. Anwendungen des Zwischenwertsatzes:
i) Beweis der Existenz von Lösungen x der Gleichung f (x) = y,
ii) Definition von π
iii) Beweis des Satz zur Umkehrfunktion, Satz 5.37.
50
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Beweis (von Satz 5.28 mittels Intervallhalbierungsmethode). O.B.d.A sei y = 0 und f (a) ≤ 0 ≤ f (b).
Definiere rekursiv zwei Folgen (an ) und (bn ) in [a, b] mit a1 := a und b1 := b:
an + bn
an + bn
Falls f
≥0:
an+1 := an ,
bn+1 :=
,
3
2
an + bn
an + bn
<0:
an+1 :=
,
bn+1 := bn .
Falls f
3
2
Nach Konstruktion gilt: a = a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1 = b.
Also sind (an ) und (bn ) monoton und beschränkt. Nach Monotoniesatz, Satz 3.13, existiert x := limn→∞ an und
1
limn→∞ bn . Mit Induktion zeigt man: bn − an = 2n−1
(b − a) für alle n ∈ N, und somit: limn→∞ bn = x.
Nach Konstruktion gilt f (bn ) ≥ 0 und f (an ) ≥ 0 für alle n ∈ N, und somit aufgrund der Stetigkeit von f :
0 ≥ lim f (an ) = f (x) = lim f (bn ) ≥ 0 ,
n→∞
n→∞
also: f (x) = 0.
Korollar 5.30. Ist I ⊂ R ein Intervall und f ∈ C (I, R), so ist f (I) ein Intervall.
Beweis. Übung.
5.3.2 Satz vom Minimum und Maximum
Definition 5.31. Für f : M → R heißt m ∈ M Minimalstelle bzw. Maximalstelle und f (m) Minimum bzw.
Maximum, falls für alle x ∈ M die Ungleichung f (x) ≥ f (m) bzw. f (x) ≤ f (m) gilt. Man nennt m ∈ M eine
Extremalstelle und f (m) ein Extremum, falls m Minimal- oder Maximalstelle ist.
Satz 5.32. Für f ∈ C ([a, b] , R) nimmt f sein Minimum und Maximum an, d.h. ∃x± ∈ [a, b] mit f (x− ) =
inf f ([a, b]) und f (x+ ) = sup f ([a, b]).
Beweis (für Maximum; Minimum analog). Nach Definition des Supremums existiert eine Folge (xn ) in [a, b] mit
lim n → ∞f (xn ) = sup f ([a, b]). Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass es eine konvergente Teilfolge
(xnk ) gibt. Setze x+ := limk→∞ xnk . Dann ist x+ ∈ [a, b] und aufgrund der Stetigkeit von f :
f (x+ ) = lim f (xnk ) = sup f ([a, b]) ,
k→∞
womit die Aussage bewiesen ist.
Bemerkung 5.33. Minimum und Maximum sind in Allgemeinen nicht eindeutig. Weiterhin ist der Satz falsch für
unstetige f und nicht-abgeschlossene Intervalle, wie z.B. f (x) = x1 , x ∈ (0, 1].
5.3.3 Satz von der Umkehrfunktion
Definition 5.34. Ist f : M → N eine Bijektion, dann bezeichnet f −1 : N → M mit f −1 (y) = x für alle
y = f (x) die Umkehrfunktion.
Ist f ∈ C (M, N ) bijektiv und f −1 ∈ C (N, M ) , dann heißt f Homöomorphismus.
Bemerkung 5.35. Es gibt bijektive f ∈ C (M, N ) mit f −1 ∈
/ C (N, M ); vgl. Übung.
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Definition 5.36. Eine Funtktion f : M → N, M, N ⊂ R heißt
1. monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend, falls ∀x, x0 ∈ M, x < x0 : f (x) ≤ f (x0 ) bzw. f (x) <
f (x0 ).
2. monoton fallend bzw. streng monoton fallend, falls ∀x, x0 ∈ M, x < x0 : f (x) ≥ f (x0 ) bzw. f (x) > f (x0 ).
3. (streng) monoton, falls sie (streng) monoton wachsend oder fallend ist.
Satz 5.37 (Satz von der Umkehrfunktion). .
1. Für D ⊂ R sind streng monotone f : D → R injektiv.
2. Injektive, auf Intervallen I ⊂ R definierte f ∈ C (I, R) sind streng monoton.
3. Für bijektive f ∈ C (I, I 0 ) auf Intervallen I, I 0 ⊂ R ist die Umkehrfunktion f −1 ∈ C (I 0 , I) und im selben
Sinne streng mononton wie f .
Beweis.
1. Da f streng monoton ist, gilt f (x) 6= f (x0 ) für x 6= x0 . Damit ist die Aussage bewiesen.
2. Nach Korollar 5.30 ist f (I) = I 0 ein Intervall. Da f injektiv ist gilt f (x) 6= f (x0 ) für x 6= x0 .
Angenommen f ist nicht streng monoton.
Dann gibt es x1 < x2 < x3 ∈ I, so dass f (xj ) 6= f (xk ) für j 6= k. Weiterhin liegt eine der zwei folgenden
Anordnungen vor.
f (x1 ) > f (x2 ) ∧ f (x2 ) < f (x3 )
Fall A
f (x1 ) < f (x2 ) i ∧ f (x2 ) > f (x3 )
Fall B
Angenommen es liegt Fall A vor. Dann gibt es wiederrum zwei Möglichkeiten. Entweder ist f (x1 ) > f (x3 ),
womit nach dem Zwischenwertsatz ein ξ ∈ (x1 , x2 ) existiert mit f (3) = f (x3 ). Das ist ein Widerspruch zur
Injektivität. Oder es gilt f (x1 ) < f (x3 ). Auch hier erfolgt analog ein Widerspruch zur Injektivität. Damit
kann Fall A nicht auftreten. Fall B kann analog zu Fall A widerlegt werden.
3. Nach 2. ist f : I → I 0 streng monoton. In der Übung wurde bewiesen, dass f −1 : I 0 → I damit im selben
Sinne streng monoton ist. O.B.d.A. kann f −1 als streng monoton wachsend angenommen werden.
Sei y0 ∈ I 0 und x0 = f −1 (y0 ) und > 0. Dann gilt für |y − y0 | < δ mit f −1 (y) = x und δ = min (δ− , δ+ )
mit
(
|f (x0 ± ) − y0 | x0 ± ∈ I
δ± :=
1
sonst
−1
die Gleichung f (y) − f −1 (y0 ) = |x − x0 | < . Damit ist die Aussage bewiesen.
5.4 Gleichmäßige Stetigkeit
Die motivierende Frage ist, für welche f in der − δ-Definition der Stetigkeit δ nicht von x0 abhängt?
Definition 5.38. Eine Funktion f : M → N heißt gleichmäßig stetig, wenn
∀ > 0 : ∃δ > 0 : ∀x, y ∈ M : (dM (x, y) < δ ⇒ dN (f (x) , f (y)) < )
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Beispiele 5.39.
piele 5.4.
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1. Die Funktion f : [0, ∞) → R mit f (x) =
√
n
x für n ∈ N ist gleichmäßig stetig; vgl. Bei-
2. Die Funktion f : R → R mit f (x) = x2 ist nicht gleichmäßig stetig. Schränkt man f auf [a, b] ein, entsteht
eine gleichmäßig stetige Funktion (wie folgender Satz erläutert.)
Satz 5.40. Jede Funktion f ∈ C ([a, b] , R) ist gleichmäßig stetig.
Beweis. Angenommen ∃ > 0 : ∀n ∈ N : ∃xn , x0n ∈ [a, b] mit |xn − x0n | < n2 und |f (xn ) − f (x0n )| ≥ .
Nach Satz von Bolzano-Weierstraß
gibt es eine konvergente Teilfolge (xnk ) von (xn ) mit p := limk→∞ xnk ∈
[a, b]. Da xnk − x0nk < n1k für alle k ∈ N, gilt auch p = limk→∞ x0nk . Aus der Stetigkeit von f folgt:
lim f (xnk ) − f x0nk = |f (p) − f (p)| = 0,
k→∞
was einen Widerspruch zu |f (xn ) − f (x0n )| ≥ darstellt.
Bemerkung 5.41. Die Aussage wird im nächsten Semester verallgemeinert.
5.5 Konvergenz von Funktionenfolgen
5.5.1 Punktweise und gleichmäßige Konvergenz
Definition 5.42. Eine Folge von Funktionen fn : M → N konvergiert punktweise gegen f : M → N , falls
∀x ∈ M : lim dN (fn (x) , f (x)) = 0.
x→∞
P∞
n
Beispiele 5.43.
1. Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe f (z) =
n=0 an (z − a) , an ∈ C, und
f : M →PN , M := {z ∈ C| |z − a| < R}, N = C. Dann konvergiert die Folge fn : M → N mit
fn (z) := nk=0 ak (z − a)k punktweise gegen f .
2. Die Funktionenfolge fn : [0, 1] → [0, 1] mit fn (x) = xn konvergiert punktweise gegen f : [0, 1] → [0, 1]
mit
(
1 x=1
f (x) :=
0 sonst
Das letzte Beispiel macht deutlich, dass der punktweise Grenzwert von Folgen stetiger Funktionen i.a. nicht
stetig ist.
Definition 5.44. Die Folge von Funktionen fn : M → N konvergiert gleichmäßig gegen f : M → N , falls
lim sup {dN (f (x) , fn (x)) |x ∈ M } = 0.
n→∞
Satz 5.45. Konvergiert die Funktionsfolge fn ∈ C (M, N ) gleichmäßig gegen f : M → N , dann gilt f ∈
C (M, N ).
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Bemerkungen 5.46.
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1. Kriterium der gleichmäßigen Konvergenz explizit:
∀ > 0 : ∃N = N () ∈ N : ∀n ≥ N : ∀x ∈ M : dN (fn (x) , f (x)) < .
Es hängt N () also nicht von x ab. Demgegenüber lautet das Kriterium der punktweise Konvergenz:
∀x ∈ M : ∀ > 0 : ∃N = N (, x) ∈ N : ∀n ≥ N : dN (fn (x) , f (x)) < .
2. Aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt die punktweise Konvergenz einer Funktionenfolge. Die Umkehrung
ist falsch, wie obiges Bespiel erläutert.
Beweis (von Satz 5.45). Sei x, x0 ∈ M und n ∈ N. Dann folgt mit der Dreiecksungleichung:
dN (f (x) , f (x0 )) ≤ dN (fn (x) , fn (x0 )) + dN (fn (x) , f (x)) + dN (fn (x0 ) , f (x0 ))
≤ dN (fn (x) , fn (x0 )) +2 sup {dN (fn (ξ) , f (ξ)) |ξ ∈ M }
{z
}
|
{z
}
|
=:bn
=:an (x,x0 )
Da limn→∞ bn = 0, gibt es zu > 0 ein n ∈ N, so dass bn < 4 . Wähle nun für x0 ∈ M ein δ > 0, so dass für
dM (x, x0 ) < δ die Ungleichung an (x, x0 ) < 2 gilt. Also gilt für dM (x, x0 ) < δ:
dN (f (x) , f (x0 )) ≤ an (x, x1 ) + bn <
+ = .
2 2
Damit ist die Aussage bewiesen.
5.5.2 Anwendung auf Potenzreihen
P
k
Satz 5.47. Sei R der Konvergenzradius der Potenzreihe f (z) := ∞
k=0 ak (z − a) und ρ < R. Dann konvergiert
Pn
die Funktionenfolge fn (z) := k=0 ak (z − a)k gleichmäßig auf Mρ := {z ∈ C| |z − a| < ρ}, d.h.
lim sup {|fn (z) − f (z)| |z ∈ Mρ } = 0.
n→∞
Beweis. Es gilt:
∞
∞
∞
X
X
X
|fn (z) − f (z)| = ak (z − a)k ≤
|ak | |z − a|k ≤
|ak | ρk =: bn
k=n+1
Da
P∞
k
k=0 |an | ρ
k=n+1
k=n+1
für ρ < R konvergiert, ist (bn ) eine Nullfolge.
Satz 5.48. Jede Potenzreihe mit Konvergenzradius R ist auf D := {z ∈ C| |z − a| < R} stetig.
Beweis. Nach Satz 5.47 konvergieren die Partialsummen der Potenzreihe gleichmässig auf jeder Kreisscheibe
M% ⊂ D mit % < R. Da die Partialsummen steige Funktionen sind, ist ihr Grenzwert nach Satz 5.45 eine stetige
Funktion.
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6 Elementare reelle Funktionen
6.1 Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenzfunktion
Satz 6.1. Die reelle Exponentialfunktion exp : R → (0, ∞) ist bijektiv, stetig und streng monoton wachsend.
Beweis. Übung.
Definition 6.2. Die Umkehrfunktion zu exp : R → (0, ∞) heißt natürlicher Logarithmus:
ln : (0, ∞) → R
x 7→ ln x.
Satz 6.3. Der natürliche Logarithmus ln : (0, ∞) → R ist bijektiv, stetig und streng monoton wachsend. Es gilt
ln 1 = 0 und ln e = 1. Er erfüllt für alle x, y ∈ (0, ∞) die Funktionalgleichung
ln (x · y) = ln (x) + ln (y) .
Beweis. Übung.
Für k ∈ Z, n ∈ N und a ∈ (0, ∞) gilt somit:
1. ak = exp (k · ln a) (Beweis durch Induktion mit k ∈ N0 bzw. −k ∈ N).
n
1
2. a n = exp n1 · ln a (folgt aus exp n1 ln a
= exp (ln a) = a).
k
3. a n = exp nk ln a (folgt aus den obigen beiden Aussagen).
Dies motiviert die folgenden Definitionen.
Definition 6.4.
1. Für a ∈ (0, ∞) und r ∈ C heißt ar := exp (r · ln a) (allgemeine) r-te Potenz von a.
2. Für a ∈ (0, ∞) heißt expa : R → R mit expa (x) := ax (allgemeine) Exponentialfunktion zur Basis a.
3. Für a ∈ (0, ∞) \ {1} heißt loga : (0, ∞) → R mit loga (x) :=
ln x
ln a
Logarithmus(funktion) zur Basis a.
4. Für r ∈ R heißt pr : (0, ∞) → R mit pr (x) := xr (allgemeine) r-te Potenzfunktion.
Bemerkung 6.5. Die Definition ist im Einklang mit exp (x) = ex , vgl. Definition 4.32.
Bemerkung 6.6. Es gelten die folgenden Rechenregeln für allgemeine Potenzen, d.h. für a, b ∈ (0, ∞) und q, r ∈
C.
r
1
1
r
r+q
r q
q r
q·r
r
r
r
0
1
−r
a
=a a
(a ) = a
(a · b) = a · b
1 =1
a =1
a =a
a = r =
a
a
Beweis. Mit Hilfe der Funktionsgleichungen von exp und log. Übung.
Im Folgenden werden einige Eigenschaften von den allgemeinen Exponential-, Logarithmus- und Potenzfunktion vorgestellt.
Satz 6.7.
1. Es gilt expa ∈ C (R, R) für alle a ∈ (0, ∞). Dabei ist die Exponentialfunktion streng monoton
wachsend für a > 1, konstant für a = 1 und streng monoton fallend für 0 < a < 1.
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2. Für a ∈ (0, ∞) \ {1} ist loga die Umkehrfunktion von expa . Dabei ist loga ∈ C ((0, ∞) , R) im gleichen
Sinne streng monoton wie expa .
3. Es gilt pr ∈ C ((0, ∞) , R) für alle r ∈ R. Dabei ist die Potenzfunktion streng monoton wachsend für r > 0,
konstant für r = 0 und streng monoton fallend für r < 0. Für r 6= 0 ist p 1 die Umkehrfunktion von pr (bei
r
eingeschränktem Wertebereich).
Beweis. Übung.
6.2 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
Sinus- und Kosinusfunktion wurden bereits in Kapitel 4.2.2 definiert. Dort finden sich auch elementare Eigenschaften.
6.2.1 Definition von π
Satz 6.8. In [0, 2] ist die Kosinusfunktion streng monoton fallend und für genau ein x∗ ∈ [0, 2] gleich 0.
Definition 6.9. Die Zahl 2x∗ heißt π.
Bemerkung 6.10. Man kann zeigen, dass π irrational ist. Es gilt π = 3, 141592 . . .
Beweis (von Satz 6.8). Aus dem Additionstheorem folgt für x, y ∈ R:
x+y
x−y
cos x − cos y = − sin
sin
.
2
2
Für x ∈ [0, 2] gilt weiterhin
∞
∞
n=2
n=1
x3 X
x2n+1
x3 X x4n+1
sin (x) = x −
+
(−1)n
=x−
+
3!
(2n + 1)!
6
(4n + 1)!
x2
1−
(4n + 3) (4n + 2)
|
{z
}
(6.1)
>0
Somit gilt sin (x) ≥ x −
x3
6
> 0 für x ∈ (0, 2]. Es folgt für 0 ≤ y < x ≤ 2 die Ungleichung
x+y
x−y
cos (x) − cos (y) = − sin
sin
< 0,
2
2
(6.2)
womit die strenge Monotonie des Kosinus in [0, 2] folgt.
Die strenge Monotonie garantiert, dass cos [0, 2] → R injektiv ist. Somit gibt es höchstens eine Nullstelle in [0, 2].
Die Existenz einer Nullstelle in [0, 2] folgt aus dem Zwischenwertsatz: Es gilt nämlich cos (0) = 1 > 0 und
2
aufgrund von sin (1) ≥ 1 − 61 = 65 folgt: cos (2) = 1 − 2 sin2 (1) ≤ 1 − 2 65 < 0. Da die Kosinusfunktion stetig
ist, folgt die Existenz einer Nullstelle aus Satz 5.28.
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6.2.2 Eigenschaften von Sinus- und Kosinus
Im Folgenden werden einige spezielle Werte für n ∈ N0 von Sinus und Kosinus vorgestellt.
(2n + 0) π
2n + 12 π (2n + 1) π
x
2n + 32 π
eix
1
i
-1
-i
cos (x)
1
0
-1
0
0
1
0
-1
sin (x)
2 1
2 1 π = 1 und da 1 π < 2 ist sin (x) ≥ x − x3 für x < 2, vgl. (6.1). Somit
Beweis. Es gilt:
sin
π
=
1
−
cos
2
2
2
6
folgt sin 21 π > 0, also sin 12 π = 1. Weiterhin gilt für k ∈ Z:
π 1
1
i2
ik π2
= e
= cos π + i sin π = ik .
e
2
2
Daraus ergibt sich die erste Zeile und mit der Eulerschen Formel die Tabelle.
Satz 6.11. Sinus- und Kosinus-Funktion sind 2π−periodisch, d.h. für x ∈ R gilt:
sin (x + 2π) = sin (x)
cos (x + 2π) = cos (x) .
Die Nullstellen von Sinus und Kosinus sind
{x ∈ R| sin (x) = 0} = {kπ|k ∈ Z}
{x ∈ R| cos (x) = 0} =
k+
1
2
π|k ∈ Z .
Außerdem gilt: x ∈ R|eix = 1 = {2πk|k ∈ Z}.
Beweis. Der erste Teil des obigen Satzes kann mit der Additionstheoreme und der Tabelle bewiesen werden.
Auf Grund der Periodizität von Sinus und Kosinus, genügt es die Nullstellen in [0, 2π)zu bestimmen. Laut
Tabelle bleibt zu zeigen, dass 0 und π bzw. 21 π und 32 π die einzigen Nullstellen von Sinus und Kosinus sind. Für
Sinus beweist man dies wie folgt.
Aus Satz 6.8 und cos (x) = cos (−x) für x ∈ R folgt cos (x) > 0 für alle x ∈ − 21 π, 12 π . Somit gilt sin x =
cos 12 π − x > 0 für alle x ∈ (0, π). Wegen sin(x) = − sin(x + π) folgt sin(x) < 0 für x ∈ (π, 2π). Damit
wurde die Aussage bewiesen.
Definition 6.12. Die Funktionen Tangens und Kotangens werden definiert als
sin x
π|k ∈ Z → R, x 7→ tan x :=
cos x
cos x
cot : R\ {kπ|k ∈ Z} → R, x 7→ cot x :=
.
sin x
tan : R\
k+
1
2
Satz 6.13. Tangens und Kotangens sind stetig und π−periodisch.
Beweis. Diese Aussage kann durch die Eigenschaften von sin x und cos x bewiesen werden. Der Beweis wird dem
Studenten als Übungsaufgabe überlassen.
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Satz 6.14. Die trigonometrischen Funktionen besitzen die folgenden Eigenschaften:
1. Der Kosinus ist auf [0, π] streng monoton fallend und bildet [0, π] bijektiv auf [−1, 1] ab. Die Umkehrfunktion
arccos : [−1, 1] → [0, π] ist stetig und streng monoton fallend.
2. Der Sinus ist auf − 21 π, 12 π strengmonoton wachsend und bildet − 21 π, 12 π bijektiv auf [−1, 1] ab. Die
Umkehrfunktion arcsin : [−1, 1] → − 12 π, 12 π ist stetig und streng monoton wachsend.
3. Der Tangens ist auf − 21 π, 21 π streng monoton
wachsend und bildet − 12 π, 12 π bijektiv auf R ab. Die
Umkehrfunktion arctan : R → − 12 π, 12 π ist stetig und streng monoton wachsend.
Beweis (Exemplarisch für 1.). Nach Satz6.8 istder Kosinus in 0, 21 π ⊂ [0, 2] streng monoton fallend. Wegen
cos(x) = − cos (π − x) gilt dies auch in 12 π, π , also in ganz [0, π]. Somit ist cos : [0, π] → R injektiv und auf
cos ([0, π]) = [−1, 1] auch bijektiv. Die restliche Behauptung ergibt sich aus dem Satz von der Umkehrfunktion.
6.2.3 Polardarstellung der komplexen Zahlen
Die im folgenden Satz besprochene Darstellung z = reiϕ heißt Polardarstellung von z. Man nennt r den Betrag
und ϕ das Argument von z.
Im
z
r sin ϕ
Re
ϕ
r cos ϕ
0
Abbildung 6.1: Polardarstellung einer komplexen Zahl z
Satz 6.15. Für alle z ∈ C gibt es r ∈ [0, ∞) und ϕ ∈ [0, 2π) mit z = reiϕ . Dabei gilt stets r = |z|. Für z 6= 0
sind r und ϕ eindeutig bestimmt.
Beweis. Für z = 0 gilt z = 0 · eiϕ für alle ϕ ∈ [0, 2π). Umgekehrt folgt aus 0 = reiϕ wegen eiϕ 6= 0, die
Gleichung r = 0.
2
Für z 6= 0 setze r := |z| mit x := Re zr und y := Im zr . Dann gilt x2 + y 2 = |z|
= 1, also insbesondere
2
r
|x| ≤ 1. Somit ist α := arccos(x) ∈ [0, π] wohldefiniert und es gilt cos(α) = x. Weiterhin gilt sin2 (α) =
1 − cos2 (α) = 1 − x2 = y 2 , d.h. sin(α) ∈ {±y}. Setze
(
α
falls y = + sin α
ϕ :=
.
2π − α falls y = − sin α
Dann gilt eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ = x + iy = zr , also z = reiϕ . Damit wurde die zweite Aussage bewiesen.
0
Die Eindeutigkeit von ϕ ∈ [0, 2π) für z 6= 0 folgt indirekt. Sei ϕ 6= ϕ0 ∈ [0, 2π) mit |z| eiϕ = |z| eiϕ . Dann gilt
58
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0
ei(ϕ−ϕ ) = 1 und damit existiert k ∈ Z mit ϕ − ϕ0 = 2πk. Da ϕ, ϕ0 ∈ [0, 2π) folgt ϕ = ϕ0 , womit die letzte
Aussage bewiesen worden ist.
Die Multiplikation in C nimmt in Polardarstellung die folgende einfache Form an.
z = reiϕ
0
z 0 = r0 eiϕ
⇒
0
z · z 0 = r · r0 ei(ϕ+ϕ )
Im
z1
z1 · z2
z2
ϕ1 + ϕ2 ϕ2
ϕ1
Re
0
Abbildung 6.2: Multiplikation in der Polardarstellung
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7 Differenzialrechnung in R
7.1 Die Ableitung reeller Funktionen
Definition 7.1. Sei f : D → R, D ⊂ R und x0 ∈ DHP . Existiert der Grenzwert des Differenzenquotienten in x0 ,
d.h.
f (x) − f (x0 )
=: f 0 (x0 )
lim
x→x0
x − x0
so heißt dieser Differenzialquotient oder Ableitung von f in x0 . Man nennt dann f differenzierbar in x0 . Existiert
die Ableitung f 0 (x0 ) für alle x0 ∈ D, heißt f differenzierbar. Ist die Ableitung f 0 : D → R, x 7→ f 0 (x) eine
stetige Funktion, heißt f stetig differenzierbar.
Bemerkung 7.2. In der Definition des Differenzenquotienten wird x 6= x0 angenommen, d.h. nur konvergente
Folgen a : N → D\ {x0 } werden betrachtet.
Bemerkung 7.3. Man schreibt alternativ df , fx oder f˙ anstelle f 0 .
dx
Bemerkung 7.4. Der Differenzenquotient und der Differenzialquotient lassen sich geometrisch interpretieren. Da(x0 )
die Steigung der Sekante durch (x0 , f (x0 )) und (x, f (x)). Der Differenbei ist der Differenzenquotien f (x)−f
x−x0
0
zialquotient f (x0 ) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f in (x0 , f (x0 )).
f (x)
Tangente
Sekante
0
x
x0
x
Abbildung 7.1: Geometrischen Interpretation des Differential- und Differenzenquotienten
Satz 7.5 (Lineare Approximation). Sei f : D → R mit D ⊂ R differenzierbar in x0 ∈ D. Dann gilt
f (x + h) = f (x) + f 0 (x) · h + o (h)
(h → 0) .
Dabei ist o(h) ein Landau Symbol.
Beweis. Sei
R (x + h) :=
Dann folgt limh→0 R (x + h) = limh→0
f (x + h) − f (x) − f 0 (x) h
.
h
f (x+h)−f (x)
h
− f 0 (x) = 0. Damit wurde die Aussage bewiesen.
60
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Satz 7.6. Ist f : D → R, D ⊂ R in x ∈ D differenzierbar, dann ist f in x stetig.
Beweis. Es gilt
f (x + h) = f (x) + f 0 (x) + R (x + h) h
mit limh→0 R (x + h) = 0. Somit
lim f (x + h) = f (x) + lim f 0 (x) + R (x + h) h = f (x) .
h→0
h→0
Damit wurde die Aussage bewiesen.
Bemerkung 7.7. Es gibt stetige f , die nirgends differenzierbar sind. Beispiele dafür findet man in den Übungsaufgaben oder bei den Pfaden der Brownschen Bewegung (vgl. stochastische Prozesse).
Beispiele 7.8. Im Folgenden werden einige Beispiele eingeführt, um den Sachverhalt zu verdeutlichen.
1. Die Funktion exp : R → (0, ∞) ist stetig differenzierbar mit der Ableitung
lim
x→x0
exp (x) − exp (x0 )
= exp (x0 ) .
x − x0
Der Beweis dazu wird dem Studenten als Übungsaufgabe überlassen.
2. Die Funktionen sin : R → R und cos : R → R sind stetig differenzierbar. Es gilt
sin (x) − sin (x0 )
= cos (x0 )
x→x0
x − x0
cos (x) − cos (x0 )
= − sin (x0 )
cos0 (x0 ) = lim
x→x0
x − x0
sin0 (x0 ) = lim
Der Beweis dazu wird dem Studenten als Übungsaufgabe überlassen.
Satz 7.9. Seien f, g : D → R, D ⊂ R differenzierbar in x0 ∈ D. Dann gelten folgende Rechenregel.
1. (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ).
2. (f · g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) · g (x0 ) + f (x0 ) · g 0 (x0 )
(Produktregel).
3. Falls g (x0 ) 6= 0 gilt die Quotientenregel mit
0
f
f 0 (x0 ) g (x0 ) − f (x0 ) g 0 (x0 )
(x0 ) =
.
g
g (x0 )2
Beweis. 1. Der Beweis der ersten Aussage des obigen Satzes erfolgt mittels der Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten aus der Grenzwertarithmetik für Grenzwerte von Funktionen und wird dem Studenten als Übungsaufgabe überlassen.
2. Aus der Grenzwertarithmetik, der Differenzierbarkeit von g und f , sowie der Stetigkeit von g in x0 folgt:
(f (x) − f (x0 )) g (x) + f (x0 ) (g (x) − g (x0 ))
f (x) g (x) − f (x0 ) g (x0 )
= lim
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
g (x) − g (x0 )
f (x) − f (x0 )
= lim
· lim g (x) + f (x0 ) · lim
x→x0
x→x0
x→x0
x − x0
x − x0
0
0
= f (x0 ) · g (x0 ) + f (x0 ) · g (x0 ) .
(f · g)0 (x0 ) = lim
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Damit wurde die Aussage bewiesen
3. Da g stetig in x0 ist und g (x0 ) 6= 0, gibt es > 0, so dass g (x) 6= 0 für alle x ∈ D ∩ (x0 − , x0 + ). Somit
1
existiert h (x) := g(x)
für solche x und es gilt aufgrund der Grenzwertarithmetik und der Stetigkeit von g in x0 :
lim
x→x0
h (x) − h (x0 )
g (x0 ) − g (x)
g 0 (x0 )
= lim
=−
x→x0 g (x0 ) · g (x) (x − x0 )
x − x0
g (x0 )2
Da f /g = f · h ist, folgt die Behauptung somit aus der Produktregel.
Beispiel 7.10. Wegen
n n X
n n−k k−1 X n n−k
n n−1
(x + h)n − xn
k−1
x
h
=
x
lim h
=
x
= nxn−1
= lim
lim
h→0
h→0
h→0
h
k
k
1
k=1
k=1
ist die Ableitung von reellen Polynomfunktionen p (x) =
p0 (x) =
Pn
k=0 ak x
n
X
k
kak xk−1 .
k=1
Satz 7.11. Sei f : D → R mit D ⊂ R in x0 ∈ D differenzierbar und g : D̃ → R mit f (D) ⊂ D̃ ⊂ R in f (x0 )
differenzierbar. Dann gilt die Kettenregel mit
(g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )) · f 0 (x0 ) .
Beweis. Aus der linearen Approximierbarkeit von f und g folgt: f (x) = f (x0 ) + (f 0 (x0 ) + R (x)) · (x − x0 ),
wobei limx→x0 R (x) = 0. Ebenso ist: g (y) = g (y0 ) + (g 0 (y0 ) + Q (y)) · (y − y0 ), wobei y = f (x), y0 = f (x0 )
und limy→y0 Q (y) = 0. Somit gilt
f (x) − f (x0 )
g (f (x)) − g (f (x0 ))
= g 0 (f (x0 )) + Q (f (x)) ·
.
x − x0
x − x0
Mit der Grenzwertarithmetik und
lim Q (f (x)) = lim Q (y) = 0
x→x0
y→y0
folgt daraus die Kettenregel.
Satz 7.12. Sei f : I → R streng monoton und auf dem Intervall I differenzierbar. Dann ist die Umkehrfunktion
f −1 : f (I) → R in allen Punkten y ∈ {f (x) | x ∈ I ∧ f 0 (x) 6= 0} differenzierbar und es gilt
f −1 (y) =
1
.
f 0 (f −1 (y))
Beweis. Sei x0 ∈ I mit f 0 (x0 ) 6= 0. Aus der linearen Approximierbarkeit f (x) = f (x0 ) + (f 0 (x0 ) + R (x)) ·
(x − x0 ) mit limx→x0 R (x) = 0, folgt: ∃ > 0 ∀ 0 < |x − x0 | < 1
|f (x) − f (x0 )| ≥ f 0 (x0 ) − |R (x)| · |x − x0 | ≥ f 0 (x0 ) · |x − x0 | > 0.
2
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Somit gilt für y := f (x) und y0 := f (x0 ):
x − x0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
1
1
=
= 0
= 0 −1
.
y − y0
f (x) − f (x0 )
f (x0 ) + R (x)
f (f (y0 )) + R (f −1 (y))
Daraus folgt mit der Grenzwertarithmetik:
lim
y→y0
f −1 (y) − f −1 (y0 )
1
= 0 −1
y − y0
f (f (y0 )) + limy→y0 R (f −1 (y))
1
1
= 0 −1
= 0 −1
.
f (f (y0 )) + limx→x0 R(x)
f (f (y0 ))
Damit wurde die Aussage bewiesen.
Beispiel 7.13. Ein Anwendungsbeispiel liefert die Umkehrfunktion von exp : R → (0, ∞). Es gilt
ln0 (x) =
1
exp0 (ln x)
=
1
1
= .
exp (ln x)
x
Bemerkung 7.14. Es ist zweckmäßig die Konvention f (0) := f und f (1) := f 0 einzuführen.
Definition 7.15. Für k ∈ N mit k ≥ 2 heißt f : D → R mit D ⊂ R
1. k-mal differenzierbar in x0 ∈ D, falls > 0 existiert, so dass f : D ∩ (x0 − , x0 + ) → R (k − 1)-mal
differenzierbar in x0 ist, mit (k − 1)-facher Ableitung f (k−1) : D ∩ (x0 − , x0 + ) → R, welche in x0
differenzierbar ist.
2. k-mal differenzierbar, falls f in jedem x0 ∈ D k-mal differenzierbar ist.
3. k-mal stetig differenzierbar, falls die k-te Ableitung f (k) : D → R stetig ist.
Für k ∈ N bezeichnet C k (D, R),
oder kurz C k (D), die Menge der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen
T
f : D → R, und C ∞ (D, R) := k∈N C k (D, R), oder kurz C ∞ (D), die Menge der unendlich oft differenzierbaren
Funktionen.
Bemerkung 7.16. Alternative Schreibweisen von beispielsweise f (2) sind f 00 ,
d2 f
,
dx2
f¨ etc.
Eine Anwendung höherer Ableitungen lernen wir später im Satz von Taylor kennen. Leitidee dabei ist die Approximation von Funktionen durch Polynome.
Definition 7.17. Für f : D → R, die n-mal differenzierbar in x0 ∈ D mit n ∈ N0 sind, heißt
Tn f (x; x0 ) :=
n
X
f (k) (x0 )
k=0
k!
(x − x0 )k
Taylorpolynom der Ordnung n von f um x0 .
√1
1+x
mit x ∈ D := (−1, ∞) gegeben. Es gilt für die Ableitungen
1
1
1
3
1
0
00
f (x) = −
f (x) = −
· −
·
2 (1 + x)3/2
2
2
(1 + x)5/2
Beispiel 7.18. Sei die Funktion f (x) =
Damit gilt für T2 f (x; 0) = 1 −
x
2
+ 38 x2 .
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7.2 Lokale Extrema, Mittelwertsatz und Konvexität
7.2.1 Lokale Extrema
Definition 7.19. f : (a, b) → R hat in x0 ∈ (a, b) ein lokales Minimum bzw. ein lokales Maximum, falls
∃ > 0 : ∀x ∈ U (x0 ) : f (x0 ) ≤ f (x)
bzw.
f (x0 ) ≥ f (x) .
Gilt Gleichheit nur für x = x0 heißt f (x0 ) ein isoliertes lokales Minimum bzw. ein isoliertes lokales Maximum.
Man nennt f (x0 ) ein (isoliertes) lokales Extremum, falls f (x0 ) ein (isoliertes) lokales Minimum oder ein (isoliertes) lokales Maximum ist.
Satz 7.20. Ist f : (a, b) → R differenzierbar in x0 ∈ (a, b) und f (x0 ) ein lokales Extremum, dann gilt f 0 (x0 ) = 0.
Für den Beweis der Aussage ist die folgende Definition und Aussage nützlich.
Definition 7.21. Existiert für f : D → R und x0 ∈ D der Grenzwert
lim
x↓x0
f (x) − f (x0 )
=: f+0 (x0 )
x − x0
lim
x↑x0
f (x) − f (x0 )
=: f−0 (x0 ) ,
x − x0
heißt f rechts- bzw. linksseitig differenzierbar in x0 . f+0 (x0 ) bzw. f−0 (x0 ) heißt die rechtseitige bzw. die linksseitige Ableitung.
Satz 7.22. f : D → R ist in x0 ∈ D differenzierbar, genau dann wenn f rechts- und linksseitig in x0 differenzierbar
ist mit
f+0 (x0 ) = f−0 (x0 )
= f 0 (x0 ) .
Beweis. Der Beweis dieser Aussage wird dem Studenten als Übungsaufgabe überlassen.
Beweis (von Satz 7.20 für lokales Maximum; analog für lokales Minimum). Nach Definition des lokalen Maximums:
∃ > 0 : ∀x ∈ U (x0 ) : f (x) ≤ f (x0 )
Somit gilt für die einseitigen Ableitungen:
f+0 (x0 ) = lim
x↓x0
f (x) − f (x0 )
≤ 0,
x − x0
f−0 (x0 ) = lim
x↑x0
f (x) − f (x0 )
≥ 0.
x − x0
Daraus folgt
f 0 (x0 ) = f+0 (x0 ) = f−0 (x0 ) = 0,
womit die Aussage bewiesen wurde.
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7.2.2 Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Satz 7.23 (Satz von Rolle). Sei a < b und f : [a, b] → R stetig mit f (a) = f (b). Ist f in (a, b) differenzierbar,
gibt es x0 ∈ (a, b), so dass f 0 (x0 ) = 0.
Beweis. Im Fall f konstant, ist die Ausssage trivial. Ist f nicht konstant, gibt es eine Extremalstelle von f : [a, b] →
R in x0 ∈ (a, b). Nach dem obigem Satz gilt dann f 0 (x0 ) = 0.
Satz 7.24 (Mittelwertsatz). Sei a < b und f : [a, b] → R stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann gibt es x0 ∈ (a, b)
mit
f 0 (x0 ) =
f (b) − f (b)
.
b−a
Beweis. Der Beweis dieser Aussage wird dem Studenten als Übungsaufgabe überlassen.
f (x)
a
x0 0
b x
Abbildung 7.2: Geometrische Interpretation des Mittelwertsatzes
Es folgen drei Anwedungen des Mittelwertsatzes der Differenzialrechnung. Zunächst zur Eindeutigkeit der Lösung einer einfachen Differentialgleichung.
Satz 7.25. Sei f ∈ C ([a, b]) in (a, b) differenzierbar mit f 0 (x) = 0 für alle x ∈ (a, b). Dann ist f konstant.
Beweis. Für jedes x > a existiert nach Mittelwertsatz ein ein x0 ∈ (a, x) mit
f (x) = f (a) + f 0 (x0 ) · (x − a) = f (a)
Damit wurde die Aussage bewiesen.
Eine weitere Anwendung behandelt den Zusammenhang von des Vorzeichens der Ableitung und der Monotonie
der Funktion.
Satz 7.26. Sei f ∈ C ((a, b) , R) differenzierbar. Dann gilt
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1. f 0 ≥ 0 ⇒ f ist monoton wachsend.
2. f 0 ≤ 0 ⇒ f ist monoton fallend.
3. f 0 > 0 ⇒ f ist streng monoton wachsend.
4. f 0 < 0 ⇒ f ist streng monoton fallend.
Beweis (exemplarisch für 3.). Sei a < x < y < b. Aus Mittelwertsatz folgt
∃x0 ∈ (x, y) : f (y) − f (x) = f 0 (x0 ) · (y − x) > 0,
| {z } | {z }
>0
>0
womit die Aussage bewiesen wurde.
Eine weitere Anwendungsmöglichkeit des Mittelwertsatzes ist die Herleitung einiger Kriterien für lokale Extrema.
Satz 7.27. Sei f : (a, b) → R differenzierbar und in x ∈ (a, b) 2-mal differenzierbar mit
1. f 0 (x) = 0 und f 00 (x) > 0. Dann ist f (x) ein isoliertes lokales Minimum.
2. f 0 (x) = 0 und f ”(x) < 0. Dann ist f (x) ein isoliertes lokales Maximum.
Beweis (Fall 1. Rest analog). Da f 00 (x) > 0, gibt es > 0, so dass für 0 < |y − x| < folgende Ungleichung gilt.
0<
f 0 (y) − f 0 (x)
f 0 (y)
=
y−x
y−x
Somit gilt f 0 (y) > 0 für x < y < x + und f 0 (y) < 0 für x − < y < x. Also ist f in (x − , x) streng monoton
fallend und in (x, x + ) streng monoton wachsend. Also besitzt f in x ein isoliertes lokales Minimum.
7.2.3 Konvexe und konkave Funktionen
Definition 7.28. Sei I ⊂ R ein Intervall. Eine Funktion f : I → R heißt
1. konvex, wenn für alle x, y ∈ I und λ ∈ [0, 1]:
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) .
Gilt in der obigen Gleichung für λ ∈ (0, 1) echt kleiner, heißt f strikt konvex.
2. (strikt) konkav, falls −f (strikt) konvex ist.
Bemerkung 7.29. Ist f konvex, so liegt der Graph unter der Sehne, vgl. Abbildung 7.3.
1. Die Funktion exp : R → [0, ∞) ist strikt konvex.
√
2. Die Wurzelfunktion n · : [0, ∞) → R ist für alle n > 1 strikt konkav.
Beispiele 7.30.
Die Aussagen in obigen Beispielen lässt sich z.B. mit Hilfe des folgenden Satzes üeberprüfen.
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f (x)
Sehne:
λ → λf (x) + (1 − λ) f (y)
a
0
x
y b x
λx + (1 − λ) y
Abbildung 7.3: Für konvexe Funktionen liegt der Graph unterhalb der Sehne
Satz 7.31. Sei I ⊂ R Intervall und f : I → R 2-mal differenzierbar. Dann gilt
1. f 00 > 0 ⇒ f strikt konvex,
2. f 00 ≥ 0 ⇒ f konvex
Bemerkung 7.32. Ist f konvex, so folgt f 00 ≥ 0.
Beweis (von 2. Rest analog). Für x0 < x1 , mit x0 , x1 ∈ I und xλ := λx1 + (1 − λ) x0 mit λ ∈ (0, 1), folgt aus
dem Mittelwertsatz
∃ξ1 ∈ [x0 , xλ ] :
∃ξ2 ∈ [xλ , x1 ] :
f (xλ ) − f (x0 )
= f 0 (ξ1 )
xλ − x0
f (x0 ) − f (xλ )
= f 0 (ξ2 )
x1 − xλ
Da f 00 > 0, ist f 0 monoton wachsend und somit f 0 (ξ1 ) ≤ f 0 (ξ2 ), i.e.
f (xλ ) − f (x0 )
f (x1 ) − f (xλ )
≤
⇒ f (xλ ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x0 ) .
λ (x1 − x0 )
(1 − λ) (x1 − x0 )
Damit wurde die Aussage bewiesen.
Im Folgenden wird die wichtigste Ungleichung für konvexe Funktionen vorgestellt.
Satz 7.33 (Jensensche
Ungleichung). Sei f : I → R eine konvexe Funktion auf einem Intervall I ⊂ R und
P
λj ∈[0, 1] mit nj=1 λj = 1 und n ∈ N. Dann gilt für alle xj ∈ I, j ∈ {1, . . . , n}:

f
n
X

λj xj  ≤
j=1
n
X
j=1
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λj f (xj ) .
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Beweis. Die obige Aussage wird durch eine Induktion
nach n ∈ N gezeigt. Der Fall n = 1 ist trivial. Für den
Pn
Induktionsschritt n 7→ n + 1 setzen wir Λn := j=1 λj ∈ (0, 1]. Dann gilt

f
n+1
X
j=1



n
n
X
X
λj 
λj
xj + λn+1 · xn+1  ≤ Λn f 
xj + λn+1 f (xn+1 )
λj xj  = f Λn
λn
Λn


j=1
j=1
≤ Λn
n
X
j=1
λj
f (xj ) + λn+1 f (xn+1 ) =
Λn
n+1
X
λj f (xj ) .
j=1
Damit wurde die Aussage bewiesen.
Bemerkung 7.34. Die Jensensche Ungleichung besagt, dass die Funktion vom Mittelwert kleiner oder gleich dem
Mittelwert der Funktionswerte ist. Insbesondere gilt

2
n
n
X
X

λ j xj  ≤
λj x2j ,
j=1
j=1
d.h. Varianzen sind nicht negativ.
Eine Anwendung der Jensenschen Ungleichung ist zur Herleitung der Höldischen Ungleichung.
Satz 7.35 (Höldischen Ungleichung). Für x, y ∈ Cn mit n ∈ N und p, q ∈ (1, ∞) mit
n
X
1
p
+
1
q
= 1 gilt
|xj | · |yj | ≤ kxkp · kykq ,
j=1
wobei kxkp :=
P
n
p
j=1 |xj |
1
p
p-Norm von x ∈ Cn bezeichnet.
Bemerkung 7.36. Die obige Ungleichung bleibt auch für p = 1 und q = ∞ gültig, wobei kxk∞ = max {|xj | |j ∈ {1, . . . n}}.
Im Spezialfall p = q = 2 wird die Ungleichung auch Cauchy-Schwarz Ungleichung genannt.
Beweis. O.b.d.A sei xj , yj ≥ 0 für alle j ∈ {1, . . . , n}. Da f : [0, ∞) → R, f (x) = xp eine konvexe Funktion ist,
gilt für
yjq
λj = Pn
q
j=1 yj
=
yjq
tj =
kykq
die Ungleichung

p
n
n
X
X

λj tj  ≤
λj tpj .
j=1
j=1
68
xj
1/p
λj
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Die linke Seite der Ungleichung ist:

p 
p 
p
n
n
n
1
X
X
X
1− p1

λj tj  = 
λ j xj  = 
λjq xj  =
j=1
j=1
j=1
Pn
j=1 yj xj
kykq
!p
.
Die rechte Seite der Ungleichung lautet:
n
X
λj tpj
=
j=1
n
X
λ1−1
xpj = kxkp .
j
j=1
Zieht man die p-te Wurzel in der obigen Ungleichung, folgt die Behauptung.
7.3 Die Regeln von de L’Hopital
Die Motivation dieses Kapitels ist die Berechnung von Grenzwerten vom Typ
f (x)
x→a g (x)
lim
im Fall lim f (x) = lim g (x) ∈ {0, ∞} für x → a.
Satz 7.37.
1. Sei I ⊂ R ein Intervall mit a ∈ I und f, g ∈ C (I) auf I\ {a} differenzierbar mit g (x) 6= 0 6=
0
g (x) für alle x ∈ I\ {a} und g(a) = f (a) = 0. Existiert
f 0 (x)
=: c,
x→a g 0 (x)
lim
dann gilt
f (x)
= c.
x→a g (x)
lim
2. Sei a ∈ R mit I := (a, ∞) und f, g ∈ C (I) differenzierbar mit g (x) 6= 0 6= g 0 (x) für alle x ∈ I und
lim f (x) = lim g (x) = ∞ für x → ∞. Existiert
f 0 (x)
=: c,
x→∞ g 0 (x)
lim
dann gilt
f (x)
= c.
x→a g (x)
lim
Bemerkung 7.38. Analoges gilt für x → −∞.
Beispiel 7.39. Es gilt
lim
x→0
1
1
−
sin x x
= lim
x→0
69
x − sin x
= 0.
x sin x
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Beweis. Für g (x) = x sin x und f (x) = x − sin x gilt
g 0 (x) = sin x + x cos x
g 0 (0) = 0
g 00 (x) = 2 cos x − x sin x
g 00 (0) = 2
f 0 (x) = 1 − cos x
f 0 (0) = 0
f 00 (x) = sin x
f 00 (0) = 0
00
(x)
=
Da lim fg00 (x)
bewiesen.
0
2
0
(0)
(x)
= 0 für x → 0 ist lim fg0 (0)
= 0 und somit lim fg(x)
= 0 für x → 0. Damit wurde die Aussage
Zum Beweis des Satzes benötigen wir folgende Verallgemeinerung des Mittelwertsatzes.
Satz 7.40 (Verallgemeinerter Mittelwertsatz). Sind f, g ∈ C ([a, b]) auf (a, b) differenzierbar und gilt g 0 (x) 6= 0
für alle x ∈ (a, b), dann gibt es x0 ∈ (a, b), so dass
f 0 (x0 )
f (b) − f (a)
=
.
0
g (x0 )
g (b) − g (a)
Beweis. Man betrachte h (x) = (g (b) − g (a)) f (x) − (f (b) − f (a)) g (x) für x ∈ [a, b]. Da h auf (a, b) differenzierbar ist mit h0 (x) = (g (b) − g (a)) f 0 (x) − (f (b) − f (a)) g 0 (x) und h(a) = h(b), folgt die Behauptung
aus dem Satz von Rolle.
Beweis (von Satz 7.37). 1. Nach dem verallgemeinerten Mittelwertsatz existiert für x ∈ I\ {a} ein x0 (x) ∈
(min (x, a) , max (x, a)) mit
f (x) − f (a)
f (x)
f 0 (x0 (x))
=
=
.
0
g (x0 (x))
g (x) − g (a)
g (x)
0
(x)
(x)
= limx→a fg(x)
.
Da limx→a x0 (x) = a, folgt limx→a fg0 (x)
2. Sei > 0. Wähle R = R () > a, sodass für x > R
0
f (x)
g 0 (x) − c < , f (R) > 0 ,
und
g(R) > 0 .
e > R, sodass für x > R:
e
Weiterin gibt es R
f (x) > f (R) > 0
g (x) > g (R) > 0 .
Nach dem obigen Satz gibt es x0 (x) ∈ (R, x), sodass
f 0 (x0 (x))
f (x) − f (R)
f (x)
f 0 (x0 (x))
=
⇒
=
g 0 (x0 (x))
g (x) − g (R)
g (x)
g 0 (x0 (x))
f (R) g (x) − g (R) f (x)
1+
.
g (x) (f (x) − f (R))
Somit gilt:
0
0
f (R) − g(R) f (x)
f (x0 (x))
f (x0 ) f (x)
g(x)
.
g (x) − c ≤ g 0 (x0 (x)) − c + g 0 (x0 ) f (R) 1
−
|
{z
} | {z }
f (x) |
{z
}
<
→|c|
→0
Damit wurde die Aussage bewiesen.
70