1. Was ist eine normale Matrix? Was sind ihre Besonderheiten

1. Was ist eine normale Matrix? Was sind ihre Besonderheiten?
Eine quatdratische Matrix A heißt normal, wenn sie mit ihrer komplex transponierten AH vertauschbar
ist. A · AH = AH · A.
Eine normale Matrix ist unitär ähnlich einer Diagonalmatrix. (Unitär: X-1 = XH )
2. Was ist eine (diskrete bzw. stetige) Zufallsgröße? Was ist die Verteilungsfunktion einer
Zufallsgröße?
Ist (Ω, U, P ) ein Wahrscheinlichleitsraum, so heißt eine Abbildung X : Ω → R eine Zufallsgröße, wenn
x ∈ R ⇒ {ω|ω ∈ Ω ∧ X (ω) < ω} ∈ U.
Eine Zufallsgröße heißt diskret, wenn sie höchstens abzählbar viele Werte annehmen kann, andernfalls
stetig, wenn sie Werte eines Kontinuums der Zahlengeraden annehmen kann.
3. Was sind die grundlegenden Eigenschaften der Determinante von n Vektoren des Cn
n
Die grundlegende Eigenschaft der Determinante det : (Cn ) → C sind die Multilinearität und die Schiefsymmetrie,
det (...., λ · a + µ · b, ....) = λ · det (...., a, ....) + µ · det (...., b, ....)
det (...., a, ...., b, ....) = −det (...., b, ...., a, ....)
4. Was ist die Konditionszahl einer Matrix und was ist ihre Bedeutung?
condA = kAk · kA-1 k. Es gilt für die Lösung von Ax = s und A (x + 4x) = (s + 4s) die Beziehung
k4sk
k4xk
kxk = condA · ksk
5. Wie lautet die allgemeine Lösung der linearen Gleichung Ax = s, x ∈ Cn ,s ∈ Cn ?
Ist xp ∈ Cn eine Einzellösung der inhomogenen Gleichung Ax = s und xh die allgemeine Lösung der
homogenen Gleichung Ax=0, so ist xa = xh + xp die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung. Die
allgemeine Lösung der homogenen Gleichung hat die Form xh = c1 x1 + c2 x2 + .... + cd xd mit d = def A
linear unabhängigen Lösungen der homogenen Gleichung. Der Defekt def A einer atrix ist die Maximalzahl
linear unabhängiger Spalten mit Ax = 0.
6. Wann nennt man eine quadratische Matrix diagonalisierbar?
Eine quadratische Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn eine reguläre Matrix X existiert, für welche das
Produkt D = XAX −1 eine diagonalmatrix ist.
Eine quadratische Matrix A heißt regulär, wenn detA 6= 0 gilt.
7. Man formuliere den Satz über implizite Funktionen.
Sei F (x, y) = 0 in einer Umgebung der Stelle (x0 , y0 ) definiert mit stetigen partiellen Ableitungen Fx , Fy
und F (x0 , y0 ) = 0. Gilt Fy (x0 , y0 ) 6= 0, so gibt es in einer Umgebung U (x0 ) genau eine Funktion y = f (x)
mit
• F (x, f (x)) = 0 für x ∈ U (x0 )
• y0 = f (x0 )
• die Funktion f ist differenzierbar in x0 , es gilt Fx (x0 , y0 ) + Fy (x0 , y0 ) f 0 (x0 ) = 0.
8. Welche Möglichkeiten bestehen zur Feststellung der Diagonalisierbarkeit?
Notwendig und hinreichend für Diagonalisierbarkeit ist die Bedingung, daß die algebraische Vielfachheit
jedes Eigenwertes mit seiner geometrischen Vielfachheit übereinstimmt. Ist im Besonderen eine Matrix A
normal (AAH = AH A), so ist A diagonalisierbar.
9. Sei X eine Zufallsgröße mit der Dichte fX (x), Y eine von X unabhängige Zufallsgröße mit
der Dichte fY (y). Was ist die Dichte der zweidimensionalen Zufallsgröße (X, Y ) und was ist
die Dichte der Zufallsgröße Z = X + Y ?
f(x,y)=fx (x)fy (y)
R∞
fz =
fx (z − ξ) fy (ξ) dξ
−∞
10. Sei yi = fi (x1 , x2 , ...., xn ), j = 1, 2, ...., m eine Funktion in n unabhängigen und m abhängigen
Veränderlichen, kurz y = f (x). Wann nennt man die Funktion f differenzierbar an der Stelle
x0 ?
Die Funktion y = f (x) heißt differenzierbar an der Stelle x0 , wenn eine Matrix A ∈ Rm×n existiert und
eine Funktion (h) mit limh→0 (h) = 0, sodaß gilt
f (x0 + h) = f (x0 ) + Ah + khk (h)
1
11. Was ist der Spektralradius einer quadratischen Matrix A?
Der Spektralradius sprA = max {|λ1 |, |λ2 |, ...., |λs |}, wenn λ1 , λ2 , ...., λs die (verschiedenen) Eigenwerte
von A sind.
12. Genau unter welchen Bedingungen ist ein lineares Gleichungssystem Ax = s
• für eine konkrete rechte seite lösbar?
• für jede rechte Seite lösbar?
• höchstens eindeutig lösbar?
• rgA = rg(As) (A um s erweitert)
• A ist surrjektiv: rgA = Zeilenanzahl A
• A ist injektiv : rgA = Spaltenanzahl A
13. Was ist die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung und was besagt der Grenzwertsatz
von POISSON?
Binomialverteilungsfunktion:


fürx ≤ 0
0,
P
n k
n−k
F (x) =
(1)
p
(1
−
p)
,
für0 < x ≤ n
k<x k


1,
x>n
Grenzwertsatz von Poisson:
Die Binomialverteilung mit den beiden Parametern p und n strebt für n → ∞, np → λ > 0 gegen die
Poisson Verteilung:
n k
λk −λ
n−k
e
(2)
lim
p
(1
−
p)
=
n→∞,
k!
k
np→λ
Poisson-Verteilungsfunktion:
(
0,
F (x) =
P
e−λ k<x
λk
k! ,
fürx ≤ 0
0<x
(3)
14. Was ist die empirische
was ist ihre Bedeutung?
Pn Standardabweichung
Pn und
2
1
1
2
Die Größe s2 = n−1
i=1 (xi − x) = n−1
i=1 xi − nx heißt die Stichprobenstreuung. sie ist eine
2
Pn
1
Realisierung der Stichprobenfunktion S 2 = n−1
i=1 Xi − X , die zum Studium der Abweichung der
Stichprobenwerte von ihrem Mittelwert dienlich ist. Die Größe s heißt die empirische Standardabweichung.
15. Es seinen X1 und X2 unabhängige stetige N (0, 1)-verteilte Zufallsgrößen. Wie ist die Zufallsgröße Y = X12 + X22 verteilt? Die Zufallsgröße Y ist χ2 -verteilt mit 2 Freiheitsgraden,, d.h. ihre Dichte
y
ist fY = 21 e− 2 für y > 0.
χ2 -Dichte:
fX =
(
0,
n
22
Γ-Funktion:
x
n
1
e− 2 x 2 −1 ,
Γ( n
2)
Z
Γ(x) =
fürx ≤ 0
0<x
(4)
∞
e−t tx−1 dt; fürx > 0
(5)
0
16. Es seien X,Y unabhängige stetige χ2 -verteilte Zufallsgrößen mit den Freoheitsgraden n bzw.
m. Wie ist die Zufallsgröße Z = X + Y verteilt? Man gebe die Dichte fz explizit an.
Die Zufallsgröße Z = X + Y ist χ2 -verteil mit n + m Freiheitsgraden:
(
0,
fürx ≤ 0
(6)
fZ =
1
−x
s−1
2x
, (s = m+n
2s Γ(s) e
2 )0 < x
2
17. Was ist das Minimalpolynom einer Matrix A? In welcher Beziehung steht es zum charakteristischen Polynom dieser Matrix?
Das Minimalpolynom m einer Matrix A ist das Polynom kleinsten Grades und dem führenden Koeffizienten 1, welches die Eigenschaft m (A) = 0 hat. es ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms der Matrix
A.
18. Sei (Ω, U, P ) ein Wahrscheinlichleitsraum. Wann nennt man zwei Ereignisse A, B ∈ U unabhängig und was bedeutet das?
Die Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P (AB) = P (A) P (B) bzw. P (A|B) = P (A) gilt. Das
Eintreten des Ereignisses A hat nichts mit dem Eintreten des Ereignisses B zu tun.
19. Es sei X eine stetige Zufallsgröße mit der Dicte fX (x) und Y = aX +b. Welche Dichtefunktion
hat die Zufallsgröße Y?
Die Zufallsgröße Y besitzt die Dichtefunktion
fY (y) =
y−b
1
fX (
)
|a|
a
(7)
20. Es seien X und Y unabhängige stetige Zufallsgrößen. X sei normalverteilt mit µ = 0,σ = 1.
Y sei χ2 -verteilt mit n Freiheitsgraden. Wie ist die Größe Z = √XY verteilt?
n
Die Größe Z ist t (student)-verteilt mit n Freiheitsgraden.
fZ (X) = √
1
1 Γ( n+1
2 )
2 n+1
n
x
nΠ Γ( 2 ) (1 + n ) 2
(8)
21. Wie ist Differenzierbarkeit und Ableitung einer vektorwertigen Funktion f : D → B, D ∈
Rn , B ∈ Rm , definiert?
Die Funktion f heißt differenzierbar, wenn sie sich lokal linearisieren lässt, d.h. wenn eine Matrix A (mit
m Zeilen und n spalten) existiert, sodaß
f (x + h) = f (x) + Ah + khk(h)
(9)
mit limh→0 (h) gilt. Die Matrix A wird dann ihre Ableitung genannt. f 0 (x) = A, ihre Elemente sind die
∂fi
partiellen Differentialquotienten Aij = ∂x
.
j
22. Was besagt die Tschebyscheffsche Ungleichung?
Die Wahrscheinlichkeit, daß eine diskrete Zufallsgröße X um mehr als das n-fache der Standardabweichung
σx vom Erwartungswert µx abweicht,ist nicht größer als n12 : P (|X − µx | ≥ nσx ) ≤ n12
23. Was besagt das Gesetz der großen Zahlen?
Sei A ein zufälliges Ereignis mit der Eintrittswahrscheinlichkeit P (A). Ist hn (A) die relative Häufigkeit
des Eintretens von A in den n Versuchen, so gilt µhn(A) = P (A); limn→∞ σh2 n(A) = 0.
24. Was sind Besonderheiten einer normalen Matrix?
Eine normale Matrix ist diagonalisierbar, insbesondere ist sie unitär ähnlich einer Diagonalmatrix, d.h.
es existiert eine unitäre Matrix Q, welche die Transformation auf Diagonalform leistet: QH AQ ist eine
Diagonalmatrix.
25. Was ist die Bedeutung der Binomialverteilung? Was ist der Erwartungswert und die Streuung?
Die Binomialverteilung ist grundlegend für den Fall, wenn in einer Serie von Versuchen ein gewisses Ergebnis A, dessen Eintreten eine gewisse Wahrscheinlichkeit P (A) = p haben möge, die Frage nach der
Wahrscheinlichkeit des m-maligen Eintretens des Ereignisses A gestellt wird. Hierbei können nur das
Ergebnis A oder das komplementäre Ereignis A eintreten, welche voneinander unabhängig sein müssen.
n m
P (X = k) = P (A tritt in n Versuchen m-mal ein) =
p (1 − p)n−m
(10)
m
Es ist µx = np und σx2 = np(1 − p)
3