Formelsammlung Deskriptive Statistik und Elementare

Formelsammlung
Deskriptive Statistik
und
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
Prof. Dr. Ralf Runde
Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen
Prof. Dr. Ralf Runde - Universität Siegen
I
Statistische Grundbegriffe
Harmonisches Mittel
r
P
Urliste/Stichprobe
x̄h =
(x1 , . . . , xn ) mit a1 , . . . , ar ;
(r ≤ n)
n
P
=
1
xi
i=1
i=1
r
P
i=1
Hi
=
Hi
ai
1
r
P
i=1
hi
ai
Median
Absolute Häufigkeit
r
X
Hi = H(ai );
xM ed = x0,5 = min{x ∈ R : Fn (x ) ≥ 0, 5}
Hi = n
i=1
α-Quantil oder 100α%-Quantil
Relative Häufigkeit
hi = h(ai ) =
n
xα = min{x ∈ R : Fn (x ) ≥ α};
r
X
Hi
;
n
hi = 1, 0 ≤ hi ≤ 1
0<α<1
Spannweite
i=1
r = x(n) − x(1) = max{xi } − min{xi }
Häufigkeitsverteilung
{(a1 , H1 ), . . . , (ar , Hr )} oder {(a1 , h1 ), . . . , (ar , hr )}
Quartilsabstand
Q = x0,75 − x0,25
Empirische Verteilungsfunktion
X
Fn (x) =
Mittlere absolute Abweichung vom Median
h(ai )
ai ≤x
d=
n
X
|xi −xM ed | =
m
X
r
X
|ai −xM ed |·Hi =
i=1
2
s∗ =
|ai −xM ed |·hi
i=1
1
n
n
X
(xi − x̄)2 =
1
n
n
X
i=1
Relative Klassenhäufigkeit
m
X
r
X
Empirische Varianz
Hj = n
j=1
Hj
hj = h(Kj ) =
;
n
1
n
i=1
Absolute Klassenhäufigkeit
Hj = H(Kj );
1
n
=
hj = 1, 0 ≤ hj ≤ 1
r
X
1
n
x2i − x̄2
i=1
(ai − x̄)2 · Hi =
i=1
r
X
(ai − x̄)2 · hi
i=1
j=1
Empirische Standardabweichung
Histogrammhöhe
h∗j
II
s∗ =
hj
=
mit Bj = uj − uj−1
Bj
p
s∗2
Variationskoeffizient
v=
Statistische Kennzahlen
s∗
x̄
Momente einer Beobachtungsreihe
Arithmetisches Mittel
1
x̄ =
n
n
X
1
xi =
n
i=1
r
X
Hi ai =
i=1
r
X
m̃k =
hi ai
n
X
xki
(k-tes Moment)
i=1
i=1
Gewogenes arithmetisches Mittel
1
n
mk =
1
n
n
X
(xi − x̄)k
(k-tes zentrales Moment)
i=1
x̄g =
n
X
gi xi ;
i=1
n
X
gi = 1, 0 ≤ gi ≤ 1
i=1
Geometrisches Mittel
◦
x=
√
n
1
n
g1 =
q
x1 · . . . · xn =
Empirische Schiefe
n
Hr
hr
1
1
aH
= ah
1 · . . . · ar
1 · . . . · ar
n
P
(xi − x̄)3
i=1
r
3
n
1
n
P
=
m3
s∗3
(xi − x̄)2
i=1
1
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Statistische Kennzahlen bei linearer Transformation
Preisindex nach Paasche
n
P
yi = a + bxi für alle i
P
P0t
ȳ = a + bx̄
=
P
p0 (i)qt (i)
i=1
ȳg = a + bx̄g
Mengenindex nach Laspeyres
yM ed = a + bxM ed
n
P
yα = a + bxα
QL
0t
rY = |b|rX
=
p0 (i)qt (i)
i=1
n
P
QY = |b|QX
p0 (i)q0 (i)
i=1
dY = |b|dX
2
pt (i)qt (i)
i=1
n
Mengenindex nach Paasche
2
n
P
s∗Y = b2 s∗X
s∗Y = |b|s∗X
pt (i)qt (i)
i=1
n
QP
0t =
P
pt (i)q0 (i)
i=1
III
Konzentrationsmaße
V
Zusammenhangsmaße
Lorenzkurve
i
P
vi =
Empirische Kovarianz
x(j)
j=1
n
, ui =
P
xj
i
n
s∗XY =
1
n
n
X
(xi − x̄)(yi − ȳ) =
1
n
n
X
i=1
xi yi − x̄ȳ
i=1
j=1
bzw.
vi =
Pi
a(j) Hj
Pj=1
r
a H
j=1 (j) j
Korrelationskoeffizient nach Bravais-Pearson
Pi
, ui =
j=1
Hj
n
P
n
rXY =
Gini-Koeffizient
GK = 1−
r
X
(ui −ui−1 )(vi +vi−1 ) = 1−
1
n
i=1
r
X
=1−
=
(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1
n
r
P
(xi −
x̄)2
i=1
Hi (vi +vi−1 )
i=1
r
X
s∗XY
∗
sX · s∗Y
hi (vi + vi−1 )
n
P
;
(yi −
ȳ)2
i=1
−1 ≤ rXY ≤ 1
rXY = 1 ⇔ yi = axi + b mit
a>0
rXY = −1 ⇔ yi = axi + b mit
a<0
i=1
mit GKmin = 0 (keine Konzentration)
n−1
GKmax =
(vollständige Konzentration)
n
Rangkorrelationskoeffizient nach Spearman
n
P
rS,XY =
Normierter Gini-Koeffizient
n
GK ∗ =
· GK
n−1
r
P
(R(xi ) − R̄X )2 ·
i=1
Indexzahlen
n
P
(R(yi ) − R̄Y )2
i=1
6
=1−
IV
(R(xi ) − R̄X )(R(yi ) − R̄Y )
i=1
n
n
P
(R(xi ) − R(yi ))2
i=1
(n − 1)n(n + 1)
Zusammenhangsmaße bei linearen Transformationen
vi = axi + b und wi = cyi + d
Preisindex nach Laspeyres
n
P
L
P0t
=
pt (i)q0 (i)
i=1
n
P
i=1
s∗V W = a · c · s∗XY
rV W = rXY
p0 (i)q0 (i)
rS,V W = rS,XY
2
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VI
Elementare Regression
VIII
Modell der einfachen linearen Regression
Spezielle Ereignisse
Rechenregeln für Ereignisse
Assoziativgesetze:
yi = b0 + b1 xi + ui , i = 1, . . . , n
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ B ∩ C
Regressionsgerade (KQ-Gerade)
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ B ∪ C
ŷ = b̂0 + b̂1 x
Distributivgesetze:
Regressionskoeffizienten
b̂0 = ȳ − b̂1 x̄ , b̂1 =
s∗XY
2
s∗X
= rXY ·
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
s∗Y
s∗X
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
KQ-Residuen
Regeln von de Morgan:
ûi = yi − ŷi
A∪B =A∩B
Bestimmtheitsmaß
2
R2 =
VII
Ŷ
2
s∗Y
A∩B =A∪B
2
s∗
s∗
=1−
Û
2
s∗Y
2
= b̂21 ·
s∗X
2
s∗Y
2
= rXY
IX
Wahrscheinlichkeit von Ereignissen
Elementare Zeitreihenanalyse
Axiome von Kolmogoroff
Additives Komponentenmodell
0 ≤ P(A) ≤ 1
yi = mi + ki + si + zi , i = 1, . . . , n
P(Ω) = 1
mi = T rendkomponente
P(
ki = Konjunkturkomponente
n
[
i=1
gi = mi + ki = GlatteKomponente
Ai ) =
n
X
P(Ai )
i=1
Laplace’sche Wahrscheinlichkeit
si = Saisonkomponente
P(A) =
zi = Zuf allskomponente
|A|
Anzahl der f ür A g ünstigen F älle
=
|Ω|
Anzahl aller möglichen F älle
Gleitender Durchschnitt
ỹi =
ỹi =
yi−m + yi−m+1 + . . . + yi + . . . + yi+m−1 + yi+m
bzw.
2m + 1
1
y
2 i−m
+ yi−m+1 + . . . + yi + . . . + yi+m−1 + 21 yi+m
2m
;
X
Wahrscheinlichkeit von speziellen Ereignissen
Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses
P(∅) = 0
i = m + 1, . . . , n − m
Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses
Typische Saisonbewegung
ŝj = s̄j −
1
p
p
X
P(A) = 1 − P(A)
s̄j
j=1
Wahrscheinlichkeit durch Zerlegung eines Ereignisses
Saisonbereinigte Werte
ỹi∗ = yij − ŝj
P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
Additionssatz für zwei Ereignisse
Linearer Trend
gi = b0 + b1 ti
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
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Additionssatz für drei Ereignisse
Auswahlmöglichkeiten
P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C)
Berücksichtigung
der Reihenfolge
+P(A ∩ B ∩ C)
zurück-
Wahrscheinlichkeit der Differenz zweier Ereignisse
legen
mit
mit
ohne
nk
n+k−1
k
n
k
n!
(n−k)!
ohne
P(A\B) = P(A) − P(A ∩ B)
Urnenmodelle
XI
(a)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ziehen ohne Zurücklegen
pk =
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(A|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
(b)
N −M
n−k
N
n
Ziehen mit Zurücklegen
pk =
n
X
für 0 ≤ k ≤ min(n, M ); 0 ≤ n − k ≤ N − M ; n ≤ N .
Totale Wahrscheinlichkeit
P(B) =
M
k
P(B|Ai ) · P(Ai )
n
·
k
M
N
k ·
N −M
N
n−k
für k = 0, 1, . . . , n; n beliebig.
i=1
Formel von Bayes
P(Aj |B) =
P(B|Aj ) · P(Aj )
Pn
i=1
XII
P(B|Ai ) · P(Ai )
,
j = 1, . . . , n
Unabhängigkeit von Ereignissen
Multiplikationssatz für zwei unabhängige Ereignisse
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
XIII
Kombinatorik
Anordnungsmöglichkeiten/Permutationen
(a)
n verschiedene Dinge lassen sich auf
n · (n − 1) · . . . · 2 · 1 = n!
verschiedene Arten anordnen.
(b)
n Dinge, von denen jeweils n1 , n2 , . . . , nr gleich sind
lassen sich auf
n!
n1 ! · n2 ! · . . . · nr !
verschiedene Arten anordnen.
4