GEGENSEITIGER EINFLUSS VON TRAGFLÄCHE UND RUMPF

J.
LENNERTZ
(Aachen - Germania)
GEGENSEITIGER EINFLUSS VON TRAGFLÄCHE UND RUMPF
Rumpf und Tragfläche eines Flugzeuges beeinflussen sich gegenseitig in Bezug
auf die Luftkräfte, die an ihnen auftreten. Die exakte theoretische Behandlung
dieses gegenseitigen Einflusses ist ausserordentMch schwierig, und die numerische
Rechnung wird nur durch eine Reihe von vereinfachenden Annahmen ermögMcht.
Wir beschränken uns auf den FaM stationärer Strömung und gehen aus von
der Prandtl'schen Tragflügeltheorie.
BekanntMch ergeben sich bei stationärer Bewegung einer Tragfläche in einer
idealen Flüssigkeit Auftrieb und Widerstand, wenn man eine Zirkulationsbewegung
um die Tragfläche sowie eine Ablösung von Wirbeln an der Hinterkante der
Tragfläche annimmt. Die Prandtl'sche Theorie setzt nun eine Grundströmung
voraus, gegen deren Geschwindigkeit sämtliche Zusatzgeschwindigkeiten klein
sind. Daher machen wir die Annahme, dass die an der Hinterkante der Tragfläche abgehenden freien Wirbel von der Grundströmung geradlinig mitgeführt
werden. Es ergibt sich demnach hinter der Tragfläche ein Wirbelband, das
eben angenommen wird. Ausserdem wird vorausgesetzt, dass die Tiefe der Tragfläche im Verhältnis zur Breite klein ist, sodass wir die Tragfläche durch eine
tragende Linie ersetzen können. Diese tragende Linie ist der Träger der gebundenen Wirbel, welche die Zirkulationsbewegung der Strömung um die Tragfläche
erzeugen. Die Flüssigkeitsbewegung ist dann ausserhalb der Tragfläche und des
freien Wirbelbandes eine Potentialströmung. Das freie Wirbelband bMdet eine
Unstetigkeitsfläche für das Potential, und zwar ist der Potentialsprung längs
einer WirbeMinie gleich der Zirkulation um das Tragflächenelement, von dem
diese WirbeMinie ausgeht.
Die von der Tragfläche herrührende Wirbelbewegung ruft am Rumpf eine
Geschwindigkeit hervor, deren Komponente normal zur Rumpfoberfläche im aMgemeinen nicht verschwindet. Es ist also noch die Ueberlagerung einer Zusatzströmung erforderMch, welche die NormaMsomponente der Geschwindigkeit am
Rumpf aufhebt, in unendMcher Entfernung vom Rumpf jedoch keinen Einfluss
ausübt. Diese Zusatzströmung besitzt ausserhalb des Rumpfes ein Geschwindigkeitspotential. Die Ermittlung ist jedoch für die gebräuchlichen Rumpfformen
recht kompMziert. Meinen Untersuchungen ist daher eine stark ideaMsierte Rumpf-
298
COMUNICAZIONI
form zugrunde gelegt, nämMch ein ZyMnder, der sich beiderseits ins UnendMche
erstreckt und dessen Längsachse in die Bewegungsrichtung des Flugzeuges fäMt.
Die auf den Rumpf wirkende Luftkraft ergibt sich durch Benutzung der BernouMi'schen Beziehung. Mit unserer Annahme eines zyMndrischen Rumpfes erhalten
wir am Rumpf ledigMch einen Auftrieb. Der Einfluss des Rumpfes auf die
Tragfläche ergibt sich dadurch, dass die durch den Rumpf bedingte Zusatzströmung
im aMgemeinen eine Abwärtsgeschwindigkeit an der Tragfläche hervorruft. Dadurch
wird der Rumpf eine Aenderung des effektiven AnsteMwinkels sowie einen zusätzMchen Widerstand an der Tragfläche hervorbringen.
Im folgenden legen wir ein kartesisches Koordinatensystem derart fest :
Die #-Achse faMe in die Längsachse des Rumpfes und zwar positiv in die
Bewegungsrichtung des Flugzeuges. Die y-Achse verlaufe in die Richtung der
Breite und die £-Achse gehe senkrecht zu beiden nach oben, also in Richtung
des Auftriebes.
In einfacher Weise ergibt sich nun die Verteilung des Auftriebes über die
Flugzeugbreite sowie der Gesamtauftrieb durch Anwendung des Impuls-und
Energiesatzes. In einer Ebene, die hinreichend weit hinter der Tragfläche Megt,
erzeugen die freien Wirbel eine Flüssigkeitsbewegung um den Rumpfquer schnitt.
«Der sekundMche Impuls dieser Strömung ist entgegengesetzt gleich dem Auftrieb
und die sekundMche Energie dieser Strömung ist gleich der Leistung der Luftkräfte. Wir erhalten also den Aufrieb:
(la)
A = -Qvffd-£dydz
und den Widerstand:
Hierin ist o die Dichte, V die Geschwindigkeit der Grundströmung und cp die
Potentialfunktion in einer unendlich weit hinter der Tragfläche hegenden Ebene.
Die Integration ist über die ganze Ebene ausserhalb des Rumpfquerschnittes
und des Wirbelbandschnittes zu erstrecken.
Für den FaM einer gleichmässigen Auftriebsverteilung über die Tragfläche
lösen sich nur an den Enden der Tragfläche freie Wirbelfäden ab. Die Strömung
um den ZyMnderrumpf in unendlicher Entfernung hinter der Tragfläche lässt
sich dann erzeugen durch Spiegelung der freien Wirbel an der Rumpfoberfläche.
Der Auftrieb am gesamten Flugzeug ist :
(2)
A=evr-2ß(l-j^-J).
Hierin ist F die Zirkulation um die Tragfläche, B die halbe Spannweite und e
der Abstand der tragenden Linie von der Rumpfachse. Die AuftriebsverteMung
über die Rumpfbreite zeigt eine Abnahme zur Rumpfmitte hin. Bei den praktisch
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LENNERTZ
: Gegenseitiger
Einfluss
von Tragfläche
und Rumpf
299
vorkommenden Abmessungen eines Flugzeuges ist der Einfluss der Höhenlage
der Tragfläche auf den Auftrieb gering. Ersetzt man den Rumpf durch Tragflächenstücke, die den Auftrieb des Rumpfes hervorbringen, so ergibt sich die
wirksame Breite für den gesamten Auftrieb dadurch, dass die Spannweite um
die Breite zwischen den Spiegelpunkten der am Rumpf gespiegelten Tragflächenenden vermindert wird.
Die Frage nach dem gesamten Widerstand erhält bei gleichmässiger Zirkulationsverteilung keine befriedigende Lösung. Nach dem Energiesatz müsste
nämMch der Widerstand unendlich gross werden, da die Geschwindigkeit am
konzentrierten Wirbelfaden unendlich gross wird. Es lässt sich jedoch wohl die
Aenderung des Tragflächenwiderstands sowie die Aenderung des AnsteMwinkels
infolge des Rumpfes errechnen. Die zur Längsachse paraMelen Wirbeläste im
Rumpfinnern erzeugen nämlich eine Strömung, die an der Tragfläche eine vertikale
Geschwindigkeitskomponente besitzt. Diese Vertikalgeschwindigkeit ergibt sich
nach dem Biot-Savart'schen Gesetz zu :
,„*. + ,
(3)
W
B
*=-^
2JT
ti?
< ^ 2 V - , , + ^ , - , * . + ,,
<» + • * , . , + „ _ , * + ^ + j . + i ,
R*
w
i
jp
/
i24
u
Der effektive AnsteMwinkel der Tragfläche wird infolge des Rumpfes verringert
um £ = — ^ . Da nun an einem Element der Tragfläche dW=edA ist, folgt der
Tragflächenwiderstand infolge des Rumpfes durch Integration über die Tragflächenbreite. Wenn die Tragfläche oberhalb bezw. unterhalb des Rumpfes angebracht
ist, so bewirkt der Rumpf eine geringe Verminderung des Tragflächenwiderstandes ;
in diesem FaMe wird nämMch eine Aufwärtsgeschwindigkeit in der Mitte der
Tragfläche durch die Wirbel im Rumpfinnern und mithin eine Vergrösserung
des AnsteMwinkels in der Mitte der Tragfläche bewirkt. Der grösste Widerstand
infolge des Rumpfes ist vorhanden, wenn die Tragfläche in der Mitte des Rumpfes
befestigt ist, also für e=0. Dieser Widerstand hat den Betrag:
W=^lK(B2
(4)
4JT
+
R)i
(B + R2)2 '
Nun stehen wir für den FaM, dass Tragflächenachse und Rumpfachse sich
schneiden, die Frage nach der ZirkulationsverteMung über die Tragfläche, die
bei gegebenem Auftrieb den geringsten Widerstand ergibt. Wandelt man mit
Hilfe des Stokes'schen Integralsatzes die Flächenintegrale (la) und (lô) in
Randintegrale um, so ergibt sich mit Berücksichtigung von (2) der Auftrieb zu:
B
(5a)
B
A=29v(r(y)dy=2ßvfr(y)(l+
A«
R
f^dy
300
COMUNICAZIONI
und der Widerstand zu;
(56)
W=-Qfr(y)ò£dy.
Hierin ist q? die PotentiaMiunktion und n die nach oben weisende Normale zum
Wirbelband, und es ist W — \ = T ( y ) .
Der kleinste Widerstand für beMebigen Auftrieb ergibt sich dann, wenn bei
Variation der Zirkulation dW— XoA=0 wird, also für
b*K)
bcp
bn —
(6)
(
^
Die Strömung, die dieser Bedingung entspricht,
können wir in folgender Weise erzeugen: Wir bestimmen eine Bewegung, die das Wirbelband und
den Rumpf umströmt und im Unendlichen eine
konstante Geschwindigkeit c nach oben hat. Sodann
überlagern wir eine Strömung um den Rumpf, die
im Unendlichen die Geschwindigkeit c nach unten
besitzt. Eine derartige Bewegung ergibt bei beMebigen Rumpfquerschnitten den kleinsten Widerstand. Die Zirkulationsverteilung über die Tragfläche, die sich bei zyMndrischem Rumpf mit der
Bedingung (6) ergibt, ist in Abbildung 1 aufgetragen.
Es ergibt sich noch der induzierte Widerstand in
Abhängigkeit vom Auftrieb:
b~6
Ä=2
(7)
W=
1
A2
' 2 QV2üZ
B2
(B2 —
R2)2'
U- Rümpf breite 2R-A
-Spannweite 28-
Das Verhältnis des auf den Rumpf entfaMenden
Auftriebes zum gesamten Auftrieb ist in folgender
Fig. 1.
ZusammensteMung für verschiedene Werte
b=angegeben. Die eingeklammerten Zahlen geben dasselbe Verhältnis bei gleichmassiger Zirkulationsverteilung an
)ßAmm
b=
Ar^
A
2
0,371
(0,333)
4
0,228
(0,200)
6
0,168
(0,143)
8
0,133
(0,111)
10
0,110
(0,091).
Neben den gesamten Luftkräften und ihrer Verteilung über die Spannweite ist
noch die Auftriebsverteilung über die Längsrichtung des Rumpfes von Bedeutung.
Zur Ermittlung dieser Auftriebsverteilung ist eine Betrachtung der Strömungsvorgänge in der Nähe der Tragfläche erforderMch.
Das Wirbelsystem, bestehend aus des gebundenen Wirbein, den von der
Tragfläche abgehenden freien Wirbeln sowie den im Rumpfinnern befindlichen
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LENNERTZ
: Gegenseitiger
Einfluss
von Tragfläche
und Rumpf
301
gespiegelten Wirbeln, ruft normal zur Oberfläche des Rumpfes eine Geschwindig.
keitskomponente hervor. Setzt man y=rcosê
und z=r sin#, so lässt sich diese
Geschwindigkeitskomponente ausdrücken in der Form:
=
^
(8)
£ S 4(a) sin M.
Die fjc sind ungerade Funktionen von x. Wir bestimmen nun ein Geschwindigkeitsfeld u so, dass in unendMcher Entfernung vom Rumpfe w = 0 und an der
Oberfläche des Rumpfes die Randbedingung
unjtwn=0
erfüMt wird. Die Potentialfunktion <pL für das Geschwindigkeitsfeld u ergibt sich
in der Form :
œ
< ^ = 2 ^ 2 9k(r, x) sin kê.
k=i
Die Auftriebsverteilung in der Längsrichtung des Rumpfes folgt nun aus der
BernouMi'schen Beziehung zu:
(9)
wenn hL = -z-*
A'=
QV^-[fL{x)-h,{x)\,
271
J1
r=k
00
_
und wx' = 2TI
^ ~ 2 J 4(#) sin k& die Geschwindigkeitskomponente
der gebundenen Wirbel in der ^-Richtung an der Rumpfoberfläche ist. Mit Hilfe
der exakten Potentialtheorie gelingt es uns nicht, den vom Geschwindigkeitsfeld u
herrührenden Anteil an der Auftriebs Verteilung numerisch zu errechnen. Es zeigt
sich jedoch, dass nur das erste GMed in der Reihe für <pi einen Beitrag Mefert.
Von dieser Tatsache machen wir Gebrauch und nehmen an Stehe des Geschwindigkeitsfeldes u einen DoppelqueMfaden längs der Rumpfachse an. Dieser DoppelqueMfaden gestattet es nämMch, an der Rumpfoberfläche die Randbedingung
un + wn=0 für das erste harmonische GMed zu erfüMen. Wir erhalten dadurch
für die Intensität q(x) des DoppelqueMfadens die Bedingungsgleichung:
00
(io)
m « [g® 2 -<*-*>*
Hierin ist der Radius des Zylinderrumpfes R=l
Doppelquellfadens lautet :
(11)
ft'^rà^
dl
gesetzt. Die Potentialfunktion des
q {
^
Ist also g(S) bekannt, so folgt die Auftriebsverteilung längs des Rumpfes aus (9) zu :
(12)
A'=QV%
'/itt-e/rfö.[ ( .«- ö-» 0+*il*_
302
COMUNICAZIONI
Die Errechnung von g(|) aus der Integralgleichung (10) geschieht dadurch, dass
wir in kleinen IntervaMen q konstant annehmen. An Stehe der Integralgleichung
erhalten wir dann ein System von unendlich vielen Mnearen Gleichungen von
der Form:
.... + a2qic-3 + a>iqk~2 + « o ^ - i + a^qk + a_2qk+l + .... = ôfc-i
.... + a2qk_2 + alqk_l + a0qk+a^iqk+i
+ a„2qk+2 + .... = bk
.... + a2gfc-i + aLqk+a0qk+i + «-1^+2 + a_2qk+B + .... = bk+i.
Mit einer komplexen Variabein £ lässt sich dieses Gleichungssystem darsteMen
in der Form:
Es ergeben sich demnach die Unbekannten qk aus der Division zweier Laurent'scher
Reihen.
Auf diese Weise wurde die Auftriebsverteilung längs des Rumpfes errechnet
für unendlich breite Tragfläche sowie für das Breitenverhältnis 6 = 10 mit kons-
\
\
\
\ \
Oß
OA
\
0.2
N
S
ó3
3
-2
4
Fig. 2.
tanter ZirkulationsVerteilung über die Tragfläche, ferner für b=2 mit der Zirkulationsverteilung, die sich aus der Bedingung kleinsten Widerstandes ergibt. Das
Ergebnis ist in Abbildung 2 dargestellt. Für ô = o o und ô = 10 ergibt sich kein
nennenswerter Unterschied.
Die ausführMche Herleitung dieser Ergebnisse ist veröffentMcht in der Zeitschrift
für angewandte Mathematik und Mechanik, Band 7 (1927) Seite 249, sowie in
den Abhandlungen aus dem Aerodynamischen Institut in Aachen, Heft 8.