- of Jan Molnar

LAAG I/II - Zusammenfassung
Jan-Cornelius Molnar, Version: 1. Oktober 2008 17:16
f (x) =
Eine binäre Operation ist eine Abbildung B : A × A → A.
Eine nichtleere Menge A zusammen mit einer binären, assoziativen Operation heißt
tiert.
Ist A Gruppe und die Operation außerdem kommutativ, heißt A abelsche Gruppe.
Eine nichtleere Menge K mit zwei binären Operationen + und · heißt Körper, falls K
Gruppe bezüglich · bildet und die Multiplikation distributiv über der Addition ist.
Ein Ring ist eine abelsche Gruppe (R, +) mit einer assoziativen, binären Operation
der Addition ist.
Sei T ⊆ V , dann ist hT i die Menge aller Linearkombinationen von T und heißt linearer
Aufspann.
Hat R ein neutrales Element bezüglich dieser Multiplikation wird er Ring mit Eins genannt. Ein Ring mit kommutativer Multiplikation wird kommutativer Ring genannt.
Ein K-Vektorraum ist eine abelsche Gruppe (V , +) mit einer kommutativen skalaren
Sei ∅ ≠ T ⊆ V , dann heißt T Erzeugendensystem von V , falls hT i = V .
h∅i = (0) à V , für alle V .
Multiplikation mit Elementen aus K, die distributiv über der Addition ist.
Zwei Unterräume U , W à V komplementär, falls
U ∩ W = (0) und U + W = V .
R × R → R, (r , s) → r · s genannt Multiplikation, die auf beiden Seiten distributiv über
Seien U, W à V , dann ist die Summe von U und W die Teilmenge
U + W = x + y : x ∈ U, y ∈ W .
bezüglich + eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 und K \ {0} eine abelsche
αi x i ,
i=0
2 Vektorräume
Gruppe, falls ein neutrales Element und zu jedem Element a ∈ A ein Inverses exis-
n
X
mit αi ∈ K. Dann nennt man f (x) Polynom.
1 Allgemeines
Sei K Körper und K[x] die Menge der formalen Ausdrücke
Eine K-Algebra ist ein K-Vektorraum A, der zugleich ein Ring mit Eins ist, sodass
Eine Teilmenge T von V heißt linear abhängig, falls es eine nichttriviale Darstellung
der 0 mit Vektoren aus T gibt, sonst linear unabhängig.
gilt
λ(ab) = (λa)b = a(λb), ∀ a, b ∈ A, λ ∈ K.
Ein minimales Erzeugendensystem von V heißt Basis von V .
Eine geordnete Basis von V ist eine Basis B zusammen mit einer vollständigen Ord-
nung.
Sei A eine K-Algebra oder Ring mit Eins, dann heißt a ∈ A invertierbar oder Einheit,
falls es ein multiplikatives Inverses zu a gibt, d.h. falls es ein Element b in A gibt, sodass
ab = ba = 1A ist. Die Menge der invertierbaren Elemente wird mit U(A) bezeichnet.
Ist V endlich erzeugt, ist die Anzahl der Elemente einer Basis eindeutig bestimmt.
Diese natürliche Zahl heißt Dimension von V und wird mit dimK V bezeichnet.
1
Seien Ui , i ∈ I ein System von K-Vektorräumen. Die direkte Summe der Ui ist definiert
Seien U, W , X à V , dann ist
als
U=
M
i∈I
U ∩ (W + (U ∩ X)) = (U ∩ W ) + (U ∩ X).
Ui = {(ui )i∈I : ui ∈ Ui , ui = 0 für fast alle i ∈ I}
Ist außerdem X ⊆ U, so gilt
Sei U à V , dann wird durch ∼ eine Äquivalenzrelation auf V definiert
U ∩ (W + X) = (U ∩ W ) + X.
v ∼ w a w − v ∈ U.
Ist v ∼ w, schreibt man auch v ≡ w mod U.
Die Äquivalenzklassen von ∼ heißen Restklassen modulo U und die Klasse, die v enhält,
ist
Ist T ≠ ∅ und U = hT i, so gilt für u, v ∈ U, λ ∈ K, dass u + v ∈ U und λu ∈ U.
Sei ∅ ≠ U ⊆ V , dann ist U genau dann Unterraum von V , falls gilt
λ ∈ K, u ∈ U ⇒ λu ∈ U .
\
U,
der kleinste Unterraum von V , der T als Teilmenge enthält.
Ist T ⊆ S ⊆ V , dann ist hT i ⊆ hSi ⊆ V .
Ist T ⊆ V , dann ist hhT ii = hT i und ist U à V , dann ist hUi = U.
Seien U , W à V , dann ist U + W à V , der kleinste Unterraum von V , der U und W
L
W , dann ist dimK V = dimK U + dimK W .
Der Faktorraum V /U ist ein Vektorraum.
Sei V = U ⊕ W und w, w 0 ∈ W , dann ist w ∼ w 0 a w = w 0 . Darüber hinaus enthält
2.2 Sätze, die das Auswahlaxiom erfordern
T ⊆UàV
Sei V = U
jede Nebenklasse v + U = v genau ein Element wv ∈ W .
Sei ∅ ≠ T ⊆ V , dann ist hT i à V und es gilt
hT i =
Sei T Erzeugendensystem von V , dann ist T Basis von V genau dann, wenn sich jeder
Vektor in V eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus T darstellen lässt.
u, v ∈ U ⇒ u − v ∈ U
T ⊆ V ist Basis von V genau dann, wenn wenn T eine maximale linear unabhängige
Teilmenge von V ist.
2.1 Sätze über unendlich dimensionale Vektorräume
Sei T ein Erzeugendensystem für V , dann ist T minimal genau dann, wenn es linear
unabhängig ist.
v = v + U = {v + u : u ∈ U} .
T ⊆ V ist genau dann Erzeugendensystem von V , falls T in keinem echten Unterraum
von V enthalten ist.
enthält und U ∩ W à V , der größte Unterraum von V , der in U und W enthalten ist.
2
Jeder Vektorraum hat eine Basis.
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
Jeder Unterraum U von V besitzt ein Komplement.
Sei U à V , dann lässt sich jede Basis von U zu einer von V ergänzen.
2.3 Sätze für endlichdimensionale Vektorräume
Sei B Erzeugendensystem und T = {x1 , . . . , xk } eine linear unabhängige Teilmenge
von V , dann gibt es eine k-elementige Teilmenge C von B, sodass (B\C)∪T den ganzen
M
f (C, B)
ist die Zuordnungsvorschrift eines Homomorphismus. Sie gibt
Eine linear unabhängige Teilmenge eines n-dimensionalen Vektorraums hat maximal
Die Menge der Homomorphismen f : V → W wird mit HomK (V , W ) bezeichnet.
Analog dazu EndK (V ), AutK (V ).
Raum V aufspannt.
Die Matrix
an, wie Elemente der Basis B auf Elemente der Basis C abgebildet werden.
n Elemente. Sie ist eine Basis genau dann, wenn sie n Elemente hat und linear abhängig,
wenn sie aus mehr als n Elementen besteht.
Die Menge der m × n Matritzen über K wird mit Mm×n (K) bezeichnet.
Seien A, B Ringe und f ∈ Hom(A, B), dann heißt f Antihomomorphismus, falls
f (ab) = f (b)f (a).
Dimensionsformel
Äquivalenzrelation
dimK (U + W ) + dimK (U ∩ W ) = dimK U + dimK W .
A ≈ B a ∃ f ∈ HomK (V , W ) : A, B ∈
dimK V = dimK U + dimK V /U.
M
f (−, −).
Sei A ∈ Mm×n , dann ist der Spaltenrang von A die Dimension des von den Spaltenvek-
toren aufgespannten Unterraums des K m . Analog ist der Zeilenrang von A definiert.
3 Homomorphismen
Seien V und W Vektorräume. Eine Abbildung f : V → W heißt Homomorphismus
Der Rang einer Matrix A wird mit rg A bezeichnet.
3.1 Sätze über Homomorphismen auf Vektorräumen unendlicher
bzw. linear, falls gilt
Dimension
f (x + y) = f (x) + f (y),
f (λx) = λf (x),
∀ x, y ∈ V ,
∀ x ∈ V , λ ∈ K.
mus.
Seien V und W Vektorräume. Ein injektiver Homomorphismus f : V → W wird Mono-
morphismus genannt. Ist f linear und surjektiv, spricht man von einem Epimorphismus
Der Kern einer Abbildung f : V → W ist die Menge
ker f = f −1 (0) = v ∈ V : f (v) = 0 .
HomK (V , W ) und Mm×n sind Vektorräume.
Ein Homomorphismus ist vollständig durch seine Werte auf einem Erzeugendensystem
bestimmt. D.h. Sind f , g : V → W , hT i = V und f (t) = g(t) ∀ t ∈ T , so gilt f = g.
Das Bild einer Abbildung f : V → W ist die Menge
Sei B Basis von V und sei für jedes b ∈ B ein wb ∈ W gegeben, dann gibt es genau
eine Abbildung T : V → W mit T (b) = wb .
im f = w ∈ W : ∃ v ∈ V f (v) = w .
Die Komposition von (Mono-, Epi-, Iso-) Homomorphismen ist (Mono-, Epi-, Iso-) Homo-
morphismus.
und ist f bijektiv, von einem Isomorphismus.
Sei f : V → W ein Isomorphismus, dann ist f −1 : W → V ebenfalls ein Isomorphis-
3
Sei f ∈ Hom(V , W ), dann ist ker f à V und im f à W .
Sei f ∈ Hom(V , W ) und B Basis von V , dann ist f (B) = im f .
Sei U à V , dann ist die Abbildung T : V → V /U : v → v ein Epimorphismus.
Sei f ∈ HomK (V , W ), dann ist f injektiv genau dann, wenn ker f = (0).
1. Isomorphiesatz
deutig über V /U .
M
V
∃ !f˜
Sei f ∈ HomK (V , W ), dann induziert f einen Monomorphismus f˜ : V / ker f → W .
Sei f ∈ HomK (V , W ) und sei X à W , dann ist f
Unterraum von V , der ker f enthält.
Ist darüber hinaus X à im f , so ist f
inklusionserhaltende Bijektion.
−1
f (C, B)
Seien M und N endlichen Mengen derselben Mächtigkeit und sei f : M → N , dann
f ist genau dann Monomorphismus, wenn f Epimorphismus ist.
Zwei Vektorräume sind isomorph genau dann, wenn sie dieselbe Dimension über K
haben.
Insbesondere gilt V / ker f › im f .
M
ist f injektiv genau dann wenn f surjektiv ist.
W
V /U
: HomK (V , W ) → Mm×n (K), f ,,
f_ (C, B) : Mm×n (K) → HomK (V , W , A → fA (C, B).
π
_ (C, B)
ein Isomorphismus mit Umkehrabbildung
Sei f ∈ HomK (V , W ) und sei U à ker f , dann faktorisiert f ein-
f
Die Abbildung
−1
(X) =
v ∈ V : f (v) ∈ X
(X)/ ker f › X und X → f
−1
Es gilt dimK Mm×n = dimK HomK (V , W ) = mn.
Es ist
Es gilt entweder
M
M
ein
f (−, −)
f (−, −)
∩
= GLm (K)
M
M
= ∅ oder
g (−, −)
f (B, A)GLn (K)
M
für jede Wahl von Basen A und B.
f (−, −)
=
M
g (−, −).
(X) definiert eine
Sind A, B ∈ Mm×n , dann ist A ≈ B genau, dann wenn X ∈ GLm (K) und Y ∈ GLn (K)
existieren, sodass B = XAY .
2. Isomorphiesatz Seien U, W à V , dann ist (U + W )/U › W /(U ∩ W ).
3. Isomorphiesatz Seien U à W à V , dann ist W /U à V /U und es gilt
Sei f ∈ HomK (C, B) und A =
dann ist im f = hs1 , . . . , sn i.
(V /U ) (W /U) › V /W .
Dimension
V , W seien endlich erzeugt mit dimK V = n und dimK W = m und f , g ∈
HomK (V , W ).
4
f (C, B).
Seien s1 , . . . , sn die Spaltenvektoren von A,
Spaltenrang und Zeilenrang stimmen überein.
Alle
Matritzen
dimK im f .
3.2 Sätze über Homomorphismen auf Vektorräumen endlicher
M
in
M
f (−, −)
M
denselben
f (−, −)
Spaltenrang
und
dieser
Ist rg f = k, so ist Em×n (k) in
Es gilt dimK im f + dimK ker f = dimK V .
Unter elementaren Operationen bleibt der Rang einer Matrix erhalten.
enthalten.
entspricht
Sei A ∈ Mm×n , dann gibt es eine Reihe von elementaren Operationen, die Em×n (k)
4.1 Sätze für Multilinearformen
Sei A ∈ Mm×n , dann ist rg A = rg At .
Sei V endlich dimensional mit dimK V = n und Basis B = {vi ∈ V : 1 ≤ i ≤ n}.
erzeugen mit k = rg A.
Die Menge M der multilinearen Abbildungen f : V1 × . . . × Vk → W ist ein K-
Vektorraum.
4 Multilineare Abbildungen
Eine Abbildung f : V1 × . . . × Vk → W heißt k-fach multilinear, wenn sie in jeder
dimK M =
Komponente K-linear ist. Ist W = K und V1 = . . . = Vn , so heißt f Multilinearform.
(a) Für i, j ∈ N×k ist δi,j =
k
Q
l=1
δil ,jl
(c) ej : V ×k → K, vi , δj,i .
Sei (w1 , . . . , wm ) Basis von W , i Multiindex und 1 ≤ j ≤ m, dann wird druch
fi,j : V1 × . . . × Vk → W , vk ,


 wj

0
Eine k-fache Linearform f : V
jedes π ∈ σk .
×k
falls i = k,
n
o
B = fi,j : i Multiindex, 1 ≤ j ≤ m ist eine Basis von M.
Sei 0 ≠ f : V ×n → K und v1 , . . . , vn ∈ V , dann ist B = (v1 , . . . , vn ) Basis von V genau
Ak (V ) ist ein K-Unterraum von M.
Sei i ∈ N×k mit 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n und seien u1 , . . . , uk ∈ V und π ∈ σk , dann ist
n
o
ej : j ∈ {1, . . . , n}×k ist Basis des Vektorraums aller k-fachen Multilinearformen
auf V .
sonst,
Sei ai =
P
π ∈σk
n
o
(sign π )eπ (i) , dann ist ai : i = (i1 , . . . , in ) ∈ N×k , 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n
Basis von Ak (V ).
→ K heißt symmetrisch, falls f (vi ) = f (vπ (i) ) für
Eine k-fache Linearform f : V ×k → K heißt alternierend, falls f (u1 , . . . , uk ) = 0 für
jedes linear abhängige Tupel (u1 , . . . , uk ).
ei (uπ (1) , . . . , uπ (k) ) = eπ −1 (i) (u1 , . . . , uk ).
eine multilineare Abbildung definiert.
dimK Vi dimK W .
i=1
dann, wenn f (B) ≠ 0 ist.
(b) Für π ∈ σk ist π (i) = (iπ (1) , . . . , iπ (k) ).
k
Y
Seien I1 = {1, . . . , n1 }, I2 = {1, . . . , n2 }, . . . , Ik = {1, . . . , nk } endliche Indexmengen,
dann wird i ∈ I1 × I2 × . . . × Ik Multiindex genannt.
Sei f multilinear, dann ist M endlichdimensional und es gilt
Die Menge der alternierenden k-fachen Linearformen auf V wird mit Ak (V ) bezeich-
n
k .
dimK Ak (V ) =
Sei f ∈ An (V ) und ui =
f (u1 , . . . , un ) =
net.
5
X
π ∈σn
Pn
j=1
λij vj für λij ∈ K, so ist
(sign π )
n
Y
i=1
λiπ (i) f (v1 , . . . , vn ) = det(λij )f (v1 , . . . , vn ).
5 Endomorphismen
5.1 Sätze für endliche Dimension
V , W seien endlich erzeugt mit dimK V = n und dimK W = m und f , g ∈
Eine lineare Abbildung f : V → V bezeichnet man als Endomorphismus. Ist f außer-
HomK (V , W ).
dem bijektiv, heißt f Automorphismus.
Die Einheitengruppe U(Mn (K)) der K-Algebra Mn (K) wird mit GLn (K) bezeichnet.
Die Determinante det A einer Matrix A ist definiert als
plikation sind K-Algebren.
det A =
X
π ∈σn
sign(π )
n
Y
EndK (V ) mit der Komposition als Multiplikation und Mn (K) mit der MatritzenmultiSind A, B Ringe und f : A → B ein Ringhomomorphismus, so ist f (U (A)) ⊆ U (B) und
die Einschränkung f |U(A) ist ein Gruppenhomomorphismus. Ist f Isomorphismus, so
auch f |U(A) .
αiπ (i) .
i=1
Transponieren ist ein Antiautomorphismus. Seine Einschränkung auf invertierbare
Matritzen ist ein Antiautomorphismus auf GLn (K) und es gilt
(At )−1 = (A−1 )t , für A ∈ GLn (K).
Die Determinante von φ ∈ EndK (V ) ist mit einer beliebigen 0 ≠ f ∈ An (V ) definiert
als
det φ =
5.2 Sätze für Endomorphismen
f (φ(v1 ), . . . , φ(vn ))
,
f (v1 , . . . , vn )
wobei B = {v1 , . . . , vn } irgendeine Basis von V ist.
Ist f ∈ EndK (V ), dann ist det f = det
M
f (B, B)
für eine beliebige Basis B.
Sei A ∈ Mn , dann ist A genau dann invertierbar, wenn rg A = n ist.
Jede invertierbare Matrix ist das Produkt von Elementarmatritzen.
Sei φ ∈ EndK (V ), dann ist det φ unabhängig von der Wahl der Basis B von V und
unabhängig von der Wahl der Form f ≠ 0 ∈ An (V ).
Die spezielle lineare Gruppe ist die Menge aller n × n Matrizen mit Determinante 1
und wird mit SLn (K) bezeichnet.
(a) det(φ) ≠ 0 a φ ∈ AutK (V ).
Zwei Matritzen heißen ähnlich, falls es eine invertierbare n × n-Matrix P mit B =
(b) det(id) = 1.
P −1 AP gibt. Man schreibt A ∼ B und sagt A und B sind konjugiert in GLn (K).
(c) det(φ ◦ ψ) = det(φ) det(ψ).
Die Adjunkte einer n × n-Matrix A = (αij ) ist die n × n-Matrix
(d) det(φ−1 ) = (det(φ))−1 für φ ∈ AutK (V ).
adj A = (−1)j+i det Aji
(e) Die Einschränkung det : AutK (V ) → K \ {0} ist Gruppenhomomorphismus.
ij
Seien φ, ψ ∈ EndK (V ), dann gilt
Analoges gilt für Matritzen A, B ∈ Mn (K)
(a) det A = det At .
Die Summe der Diagonalenelemente einer Matrix A heißt Spur tr A.
6
(b) det(AB) = det A det B.
6.1 Sätze zur Lösbarkeit von LGSn
(c) det E = 1.
Die Lösungsgesamtheit von H ist ker fA .
H besitzt genau dann nichttriviale Lösungen, wenn fA nicht injektiv ist.
Für die Lösungsgesamtheit LH des homogenen Gleichungssystems gilt LH à K n mit
(d) det(A−1 ) =
1
det A .
(e) A invertierbar a det A ≠ 0.
dimK LH = n − rg A.
(f) Hat A Nullspalte oder -zeile, gilt det A = 0.
(g) Sind zwei Spalten/Zeilen in A linear abhängig ist det A = 0.
(a) B besitzt eine Lösung,
(b) b ∈ im fA ,
(c) rg A = rg A|b.
Ist A ∼ B, so gilt det A = det B.
Laplace Entwicklung Sei k ∈ {1, . . . , n} und A = (αij ) eine n × n Matrix mit Kofaktoren Aij , dann ist
det A =
=
n
X
i+k
(−1)
i=1
n
X
αik det Aik
Entwicklung nach der k-ten Spalte
Ist x0 beliebige Lösung von B, dann ist die Gesamtheit der Lösungen x0 + ker fA .
Ist rg A = rg A|b = n, so bestitzt B eine eindeutige Lösung.
Sei A ∈ Mn (K), dann so besitzt B eine eindeutige Lösung, falls A invertierbar ist.
Sei A ∈ Mn (K), dann so besitzt B eine eindeutige Lösung, falls det A ≠ 0 ist. Diese ist
gegeben durch
(−1)k+j αkj det Akj
Entwicklung nach der k-ten Zeile
j=1
xj =
A(adj A) = det AEn .
n
1 X
βi (−1)i+j det Aij .
det A i=1
7 Eigenwerte
6 Lineare Gleichungssysteme
Für A ∈ Mm×n und B : Ax = b sind folgenden Aussagen äquivalent
Für Diagonal-, obere und untere Dreiecksmatrizen ist die Determinante das Produkt
der Diagonalelemente.
Ist m < n, so besitzt H nichttriviale Lösungen.
Sei U à V und f ∈ EndK (V ), dann heißt f U invariant, falls für alle u ∈ U gilt
f (u) ∈ U .
Ein lineares Gleichungssystem hat die Form B : Ax = b. Ist b der Nullvektor, so heißt
das System homogen, andernfalls inhomogen. Falls b ≠ 0, so heißt H : Ax = 0 das zu B
gehörende homogene System.
Ein Vektor 0 ≠ v ∈ V heißt Eigenvektor zum Eigenwert λ ∈ K, falls f (v) = λv.
Eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen λ1 , . . . , λn wird mit diag {λ1 , . . . , λn }
bezeichnet.
7
Für t beliebig, ist (−1)n det(f − lt ) ein Polynom χf (t) ∈ K[t] der Form
f ist genau dann diagonalisierbar, wenn
k
X
χf (t) = t n + βn−1 t n−1 + . . . + β0 ,
i=1
und wird als charakteristisches Polynom bezeichnet.
Die Eigenvektoren von f zum Eigenwert λ bestehen aus ker(f − lλ ) \ {0}. Der Unter-
dim Vλi (f ) = n.
Ist A eine obere Blockmatrix, gilt det A =
k
Q
det Ai , sowie χA (t) =
raum ker(f − lλ ) von V wird Eigenraum genannt und mit Vλ (f ) bezeichnet.
7.1 Sätze für endlichdimensionale Vektorräume
8 Euklidische und Unitäre Vektorräume
Sei V ein Vektorraum mit dimK V = n und f ∈ EndK (V ).
Sei B = (v1 , . . . , vn ) geordnete Basis von V , dann ist
genau dann, wenn vi EV zum EW λi ist.
M
M
i=1
λ ist genau dann Eigenwert von f , wenn det(f − lλ ) = 0.
(a) kxk ≥ 0 für alle x ∈ V und kxk = 0, wenn x = 0.
Ähnliche Matritzen haben dasselbe charakteristische Polynom.
(b) kλxk = |λ| kxk für alle x ∈ V , λ ∈ K.
Es gilt β0 = (−1)n det f und −βn−1 = tr f .
(c) x + y ≤ kxk + y für alle x, y ∈ V .
Die Abbildung tr : EndK (V ) → K ist ein Homomorphismus und für f , g ∈ EndK (V )
= λEn .
mit den Eigenschaften
gilt tr(f g) = tr(gf ).
Ein Skalarprodukt ist eine symmetrische, homogene, postiv definite Bilinearform.
Eine hermitische Form ist eine Abbildung h·, ·i : V × V → C mit den Eigenschaften
Die Eigenwerte von f sind genau die Nullstellen von χf (t).
Die Dimension des Eigenraums Vλ (f ) ist kleiner gleich der Vielfachheit von λ als
Nullstelle von χf (t).
Eine quadratische Matrix A ist genau dann zu einer Dreiecksmatrix ähnlich, wenn
χA (t) in Linearfaktoren zerfällt.
Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenräumen sind linear unabhängig.
χAi (t).
k·k : V → R,
Sei B beliebige Basis von V , dann ist
i=1
Eine Norm auf einem Vektorraum V ist eine Abbildung
f (B) = diag {λ1 , . . . , λn },
lλ
k
Q
Eine Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn V eine Basis bestehenden aus
(a)
x + y, z = hx, zi + y, z ,
(b)
λx, y = λ x, y ,
(c)
x, y = y, x .
Zwei Vektoren x, y ∈ V heißen orthogonal, falls x, y = 0 ist.
Ein orthonormales System ist eine eine nichtleere Teilmenge von V deren Elemente
verschieden vom Nullvektor und jeweils paarweise orthogonal sind. Ein orthonormales
Eigenvektoren von A besitzt.
System, das V erzeugt, heißt Orthonormalbasis (ONB).
8
Eine Abbildung f ∈ HomR (V , W ) heißt orthogonale Abbildung, falls
f (x), f (y) = x, y , ∀ x, y ∈ V .
Seien M, N à V , M und N orthogonal, so ist M ∩ N = (0). Ist M endlichdimensional,
L ⊥
M .
so ist V = M
Ist W à V endlich dimensional mit orthonormaler Basis (e1 , . . . , ek ) und ist y ∈ V ,
dann gibt es genau ein z ∈ W ⊥ mit
Eine Abbildung f ∈ HomC (V , W ) heißt unitär, falls
y=
f (x), f (y) = x, y , ∀ x, y ∈ V .
k
X
y, ei ei + z.
i=1
Ein orthogonaler Isomorphismus heißt Isometrie.
Der Vektor y1 =
Eine Matrix A heißt unitär (orthogonal), falls A−1 = A∗ (A = A−1 ).
nächsten ist, d.h.
Eine Matrix A heißt hermitsch (symmetrisch), falls A = A∗ (A = At ).
Eine Matrix A heißt normal, falls AA∗ = A∗ A.
Zwei Endomorphismen f , g ∈ EndK (V ) heißen orthogonal äquivalent, falls es einen
k P
i=1
y, ei ei ist der eindeutig bestimmte Vektor von W , der y am
y − u ≥ y − y1 , ∀ u ∈ U .
orthogonalen Automorphismus p von V mit g = p −1 ◦ f ◦ p gibt.
Ist W à V , so ist dimK V = dimK W + dimK W ⊥ .
Ist M à M, so ist (M ⊥ )⊥ = M.
t
Die zu einer Matrix A adjungierte Matrix wird mit A∗ = A bezeichnet.
Der zu f ∈ EndC (V ) adjungierte Endomorphismus ist definiert als
f ∗ (vj ) =
n
X
8.2 Sätze für endliche Dimension
αji vi .
0.
i=1
8.3 Sätze für unendlich dimensionale Vektorräume Cn
8.1 Sätze für unendlich dimensionale Vektorräume
Seien V ein Vektorraum höchstens abzählbarer Dimension, B eine geordnete Basis
(a) f ist unitären (bzw. orthogonale) Abbildung.
(b) kxk = 1 ⇒ f (x) = 1.
(c) kxk = f (x).
Ein System orthogonaler Vektoren ist linear unabhängig.
Gram-Schmidt
Für k ≤ n sei Bk = (v1 , . . . , vk ) und Uk = hBk i. Dann ist Ek =
(e1 , . . . , ek ) eine ONB von Uk und E ist eine ONB von V . Die Basiswechselmatrix
M
idV (Bk , Ek )
ist eine obere Dreiecksmatrix mit postivier Determinante.
Sei x ∈ V , dann ist x =
P
i
Sei W beliebiger Vektorraum und f ∈ HomC (V , W ), dann sind folgende Aussagen
äquivalent
von V und E die natürliche Basis.
Seien x, y ∈ V Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten λ, µ, dann gilt x t y =
(d) Ist E ein orthonormales System, dann ist f (E) ein ebensolches.
hx, ei i ei .
(e) Es gibt eine ONB B von V , sodass f (B) ein orthonormales System ist.
9
Eine unitäre Abbildung ist injektiv. Gilt darüber hinaus dim V = dim W , so ist f Iso-
metrie.
Sei f ∈ EndC (V ), dann ist f normal genau dann, wenn
Die Menge der Isometrien eines unitären Vektorraums V in sich ist eine Untergruppe
f (x), f (y) = f ∗ (x), f ∗ (y) .
der GLC (V ), die orthogonale Gruppe OC (V ).
λx. Insbesondere ist Vλ (f ) = Vλ (f ∗ ).
8.4 Sätze für endliche Dimension im Cn
n
Pn
Hauptachsentheorem Jede normale Matrix A ∈ Mn (C) ist unitär-äquivalent zu einer
Diagonalmatrix.
Sei f : V → C :
Sie A eine Matrix, dann ist die natürliche Basis von V orthonormal und fA eine unitäre
i=1
αi xi , (α1 , . . . , αn ), dann ist f Isometrie.
Sei E eine ONB von V , dann ist B genau dann eine ONB, wenn MaMidV (E, B) unitär
ist.
Sei f ∈ EndC (V ) hermitisch, dann sind alle Eigenwerte von f reell und V hat eine
Sei A eine hermitisch, dann sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten
paarweise orthogonal.
Die Spalten- bzw. Zeilenvektoren einer komplexen n × n Matrix bilden genau dann
eine orthonormale Basis von Cn , wenn
AA∗ = A∗ A = En a A−1 = A∗ .
ONB bestehend aus Eigenvektoren von f .
Abbildung genau dann, wenn A unitäre Matrix ist.
Sei f ∈ EndC (V ) normal und x sei Eigenvektor zum Eigenwert λ, dann ist f ∗ (x) =
(b) (A + B)∗ = A∗ + B ∗
8.6 Sätze für endliche Dimension im Rn
(c) (λA)∗ = λA∗
(d) (AB)∗ = B ∗ A∗
Sei f ∈ EndC (V ), dann ist f unitär genau dann, wenn
unitäre Matrix ist.
Die Menge der Isometrien eines euklidischen Vektorraums V in sich ist eine Unter-
gruppe der GLR (V ), die orthogonale Gruppe OR (V ).
(a) A∗∗ = A
Unitäre und hermitische Matritzen sind normal.
Die Determinante einer unitären (orthogonalen) Abbildung fA ist ±1.
8.5 Sätze für unendlich dimensionale Vektorräume Rn
Für A, B ∈ Mn (C) gilt
Hauptachsentheorem Jede relle symmetrische n × n Matrix ist orthogonal äquivalent
zu einer Diagonalmatrix.
M
f (B, B)
für jede ONB B
∗
Sei f ∈ EndC (V ) und seien x, y ∈ V , dann ist f (x), f (y) = x, f (y) .
Die Eigenwerte symmetrischer Matritzen sind alle reell.
Sei A eine relle symmetrische Matrix, dann besitzt Rn eine Basis aus Eigenvektoren
von A.
10
9 Körper
Sei K Körper, dann heißt F ⊆ K Unterkörper, falls F mit Addition und Multiplikation
von K eingeschränkt auf F wieder einen Körper bildet.
10 Dualraum
Sei K ein Körper. Den kleinsten Unterkörper von K nennt man Primkörper von K.
Sei K ein Körper. Die Charakteristik char(K) von K ist definiert als
(a) char(K) = p, falls p die kleinste natürliche Zahl ist mit
p
P
i=1
9.1 Sätze über Körper
Seien 0 < p, q ∈ Z und d ∈ N ihr größter gemeinsamer Teiler, dann gibt es a, b ∈ Z
ap + bq = d.
Ist K Unterkörper von F , dann ist 1F = 1K und 0F = 0K .
Sei K ein Körper, dann besitzt K einen kleinsten Unterkörper bezüglich ⊆.
Die Körper Q und Z/(p) besitzten keine echten Unterkörper.
Sei B = {vi : i ∈ I} Basis von V , dann ist die Linearform vi∗ ∈ V ∗ gegeben durch
vi∗ (vj ) = δij .
(b) char(K) = 0, falls es keine solche Zahl gibt.
Der Vektorraum HomK (V , K) wird mit V ∗ bezeichnet und der zu V duale Raum
genannt.
1K = 0K .
sodass gilt
Ist K endlicher Körper, so existiert eine Primzahl p und ein n ∈ N, sodass |K| = p n .
Sei U à V , dann ist
U ⊥ = f ∈ V ∗ : f (U ) = (0) ,
ein Unterraum von V ∗ , das duale Komplement von U in V ∗ .
10.1 Sätze für unendlich dimensional
Sei f ∈ HomK (V , U ), dann wird durch
f ∗ : U ∗ → V ∗ , h , f ∗ (h) = h ◦ f ∈ V ∗ ,
ein Homomorphismus definiert.
9.2 Sätze über endliche Kröper
10.2 Sätze für endlich dimensional
Z/(n) ist genau dann ein Kröper, wenn n eine Primzahl ist.
|GLn (Z)| =
Ist char(K) ≠ 0, so ist char(K) prim.
Ist char(K) = 0, dann ist der Primkörper von K isomorph zu Q.
Ist char(K) = p, dann ist der Primkörper von K isomorph zu Z/(p).
n−1
Q
i=0
(qn − qi ).
Sei V endlich dimensional mit dimK V = n und Basis B = {vi ∈ V : 1 ≤ i ≤ n}.
n
o
∗
B
= vi∗ ∈ V : 1 ≤ i ≤ n ist eine Basis von V ∗ , insbesondere sind V und V ∗ isomorph. Der Isomorphismus
∗
11
: V → V ∗,
n
X
i=1
λi vi ,
n
X
i=1
λi vi∗ ,
11 Bilinearformen
hängt dabei ganz wesentlich von B ab.
f (vi )vi∗ .
Sei f ∈ V ∗ , dann ist f =
∗
Ist (v1 , . . . , vk ) Basis von U, dann ist (vk+1
, . . . , vn∗ ) Basis von U ⊥ . Insbesondere gilt
P
i
Sei B = {vi ∈ V : i ∈ I} Basis von V und sei f : h·, ·i : V × V → K eine Bilinearform,
D
E
dann ist f durch die Angabe der Skalare λij = vi , vj eindeutig bestimmt. Die Matrix
(λij ) heißt Grammatrix G der Bilinearform f bezüglich der Basis B.
dimK U ⊥ = dimK V − dimK U.
Sei v ∈ V . Definiere
fv : V ∗ → K, fv (x) = x(v),
dann ist fv ∈ V ∗∗ ein Homomorphismus. Die Abbildung
ist ein Isomorphismus.
Ist b ∈ B, dann gilt b∗∗ = fb .
Sei f ∈ HomK (V , U) und f ∗ ∈ HomK (U ∗ , V ∗ ) der zugehörige Homomorphismus,
dann gilt
Sei f bilinear, dann wird durch
El : V → V ∗ , v , λv ,
λv : V → K, x , f (v, x),
der zu f assoziierte kanonische Linkshomomorphismus definiert. Analog dazu wird
∗
Er (v) = ρv mit ρv (w) = f (w, v) definiert.
⊥
= (im f ) .
(b) dimK (im f ) = dimK (im f ∗ ).
11.1 Sätze für Bilinearformen
(c) f ∗ ist surjektiv a f ist injektiv
(d) f ∗ ist injektiv a f ist surjektiv
Sei V Vektorraum und f bilinearform.
(e) Das Diagramm kommutiert
radl (f ), radr (f ) à V .
radl (f ) = ker El und radr (f ) = ker Er .
f → El und f → Er definieren Bijketionen zwischen der Menge der Bilinearformen
V
f
V∗
U
f
f ∗∗
Sei f ∈ HomK (V , U) und C = {ui : 1 ≤ i ≤ m} Basis von u. Sei A =
ist
M
f ∗ (B
∗
, C ∗ ) = At .
Sei V endlich dimensional mit dimK V = n und Basis B = {vi ∈ V : 1 ≤ i ≤ n}.
U∗
(f) Ist g ∈ HomK (U, W ), dann gilt (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ .
f
auf V und HomK (V , V ∗ ).
∗∗
∗∗
Linksradikal und Rechtsradikal einer Bilinearform f sind definiert als
radl (f ) = x ∈ V : f (x, y) = 0, ∀ y ∈ V ,
radr (f ) = x ∈ V : f (y, x) = 0, ∀ y ∈ V .
E : V → V ∗∗ , v , fv ,
(a) ker f
Sei x, y = 0, so heißt x linksorthogonal zu y und y rechtsorthogonal zu x.
M
f (C, B),
radl (f ) = ker Gf (B)t , radr (f ) = ker Gf (B).
Sei B∗ die duale Basis, dann ist
dann
12
M
Er (B
∗
, B) = Gf (B) =
M
∗
t
El (B , B)
Ist f alternierend oder symmetrisch, so ist x⊥y a y⊥x und es gilt radl (f ) =
12.1 Unendliche Dimension
radr (f ).
n
o
Seien V , W K-Vektorräume und B = {vi ∈ V : i ∈ I}, C = wj ∈ W : j ∈ J Basen.
Ist f symmetrisch, dann ist El = Er .
Ist f alternierend, dann ist El = −Er .
Existieren ι und W , so ist W eindeutig bis auf Isomorphie.
W wird von Elementen der Form {v1
N
Ist char K = 2, dann ist symmetrisch a alternierend.
f ist symmetrisch a Gf (B) ist bezüglich einer Basis B symmetrisch.
raum ist.
f ist alternierend a Gf (B) ist bezüglich einer Basis B schiefsymmetrisch (At =
Ein Spezialfall: V
Seien U, V , W K-Vektorräume, dann gilt
−A).
N
(b) (U
12 Tensorprodukt
Der freie Vektorraum F (V × W ) ist der K-Vektorraum, bestehnd aus Folgen von
Elementen von K, die mit V × W indiziert sind.
W ›W
N
V)
V.
W ›U
N
(V
N
W) › U
Wj , j ∈ J K-Vektorräumge, dann gilt

U
W.
L
. Seien I, J Indexmengen und Vi , i ∈ I und
j∈J
i,j
Ist Bi = (vi1 , . . . , vini ) Basis von Vi , so ist
B = B1
O
N
...
...
O
N
n
o
O
O
Bk = v1i1
...
vkik : 1 ≤ iν ≤ nν , 1 ≤ ν ≤ k
Vk .
Sind φν ∈ HomK (Vν , Xν ) (1 ≤ ν ≤ k), so wird durch
O
O
O
O
O
O
φ = φ1
...
φ k : V1
...
Vk → X 1
...
Xk mit
X
X
O
O
O
O
φ
λi1 ...ik vi1
...
vik =
φ1 (vi1 )
...
φk (vik ),
∃ !fˆ
f
N


O M
M O

Vi 
Wj  ›
Wj .
Vi
Basis von V1
W
V

i∈I
Ein K-Vektorraum W zusammen mit einer k-fachen linearen Abbildkung ι : V1 × . . . ×
Vk → W heißt Tensorprodukt, falls folgende universelle Eigenschaft erfüllt ist:
Ist f : V1 × . . . × Vk → U multilinear, so gibt es genau eine Abbildung fˆ ∈ HomK (W , U)
N
N
mit fˆ ◦ ι = f . Für W schreiben wir V1
. . . Vk .
N
Das Tensorprodukt ist distributiv über

ι
N
K › V.
Das Tensorprodukt ist eine assoziative, kommutative Operation auf der Klasse der
M
V1 × . . . × Vk
N
N
K-Vektorräume.
F (V × W ) = {(kvw ) : fast alle kvw = 0} .
vk = ι(v1 , . . . , vk ) : vi ∈ Vi 1 ≤ i ≤ k}
W › F (V1 × . . . × Vk )/I, wobei I der von der multilinearen Relation erzeugte Unter-
(a) V
N
erzeugt.
...
eine K-lineare Abbildung definiert.
13
12.2 Endliche Dimension
Sei Y =
Zwei Elemente x, y ∈ G heißen konjugiert, falls es ein g ∈ G gibt, sodass x = gyg −1 .
Für x ∈ G heißt die Menge gxg −1 : g ∈ G Konjugationsklasse von x.
f : V × W → K : f bilinear , dann ist die Abbildung j : V × W → Y ∗ ,
j(v, w) = αv,w mit αv,w (g) = g(v, w) bilinear.
Sei f : V × W bilinear, dann existiert genau eine Abbildung fˆ : Y ∗ → U, sodass
N
ˆ
f ◦ j = f . Es gilt also V
W › Y ∗.
Eine Partition von n ∈ N ist eine Folge (λi ) mit λi ∈ N0 , λi ≥ λi+1 und
P
i
λi = n.
Der Zykeltyp von π ist die Partition von n, die entsteht, wenn man π als Produkt von
disjunkten Zykeln schreibt und die Länge der Zykel absteigend ordnet.
13.1 Sätze . . .
13 Symmetrische Gruppen
Sei π ∈ σn und
Sei G eine Gruppe, |G| < ∞ und g ∈ G, dann gibt es ein k ∈ N, dass g k = 1G . Die
kleinste natürliche Zahl für die dies gilt heißt Ordnung g von g ∈ G.
Sei π ∈ σn und 1 ≤ i ≤ n.
Zykel. k ist die Länge der Bahn.
Ein Zykel der Länge 2 heißt Transposition. Eine Transposition der Form (k, k + 1)
π und bezeichnet sie mit l(π ).
Jedes π ∈ σn kann bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig als Produkt aus
Die Menge der Fehlstände von π ist definiert als
[i, j] : 1 ≤ i < j ≤ n und π (i) > π (j) .
Eine Permutation heißt gerade bzw. ungerade, wenn l(π ) gerade, also sign π = 1
bzw. ungerade, also sign π = −1 ist.
|π | ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Länge der Bahnen von π .
Jede Permutation π ∈ σn kann als Produkt von Transpositionen geschrieben wer-
Jede Transposition kann als Produkt von Fundamentaltranspositionen geschrieben
werden.


n(π ) + 1, falls π (k) < π (k + 1),
n(π (k, k + 1)) =

n(π ) − 1, falls π (k) > π (k + 1).
Die Anzahl der Fehlstände wird mit n(π ) bezeichnet.
Disjunkte Zykler kommutieren.
den.
Ein reduzierter Ausdruck von π ist ein Produkt von Fundamentaltranspositionen π =
ist disjunkt zerlegt in Bahnen bezüglich π .
disjunkten Zykeln geschrieben werden.
(i1 , i1 + 1) . . . (il + il + 1), sodass l minimal ist. l nennt man die Länge der Permutation
eine Äquivalenzrelation auf
Ein Zykel ist eine Permutation π mit höchstens einer Bahn der Länge l > 1.
heißt Fundamentaltransposition.
M
. Die Äquivalenzklassen sind gerade die Bahnen s [π ] unter π .
j
Es existiert eine kleinste Zahl k ∈ N für die gilt π (i) = i. Die Elemente aus B =
n
o
k
π (i) : 0 ≤ j ≤ k − 1 paarweise verschieden und B heißt Bahn von i unter π oder
= {i : 1 ≤ i ≤ n}.
s ∼ t a π k (s) = t für ein k ∈ N0 , definiert für s, t ∈
M
M
M
l(π ) = n(π ).
Kein Produkt einer geraden Anzahl von (Fundamental-)transpositionen ist gleich ei-
nem Produkt einer ungeraden Anzahl.
14
sign : σn → {−1, 1}, π , sign(π ) ist ein Gruppenhomomorphismus.
Die Relation ∼ gegeben durch x ∼ y genau dann, wenn ein g ∈ G existiert, sodass
x = gyg −1 ist eine Äquivalenzrelation.
Sei σ = (a1 , . . . , an ) ein Zykel, dann ist π σ π −1 = (π (a1 ), . . . , π (an )).
Zwei Elemente von σn sind genau dann konjugiert, wenn sie vom selben Zykeltyp
sind.
eine Basis von des von v erzeugten f -zyklischen Unterraums von V . Wir nennen B
λ-Zykel von f . Dabei heißt v Anfangs- und (f − `λ )p−1 (v) Endvektor des Zykels.
Es gibt eine Bijektion zwischen den Konjugationsklassen der σn und den Partitionen
von n. Die Bijektion bildet eine Konjugationsklasse π σn ab auf den Zykeltyp von π .
F : (0) = U0 Ú U1 Ú . . . Ú Uk−1 Ú Uk = V
von Unterräumen Ui von V . Eine Basis B = (v1 , . . . , vn ) von V heißt an F angepasst,
falls (v1 , . . . , vmi ) eine Basis von Ui ist, wobei mi = dimK Ui für i = 1, . . . , k gesetzt
wird.
14.1 Sätze für Endomorphismen
14 Jordansche Normalform
Sei V endlich dimensional und f ∈ EndK (V ).
D
E
Sei x ∈ V , dann nennt man W =
f i (x) : i ≥ 0 , den von x erzeugten f -zyklischen
Unterraum von V .
Sei p(t) ∈ K[t] ein Polynom, dann erfüllt f p(t), falls p(f ) ≡ 0.
Ein Jordanblock Jλ (k) ist eine k × k-Matrix mit 1 auf der Neben- und λ auf der Diago-
nalen. Eine Matrix ist in Jordanform, falls ihre Blöcke auf der Diagonalen Jordanblöcke
sind.
Sei f so, dass χf (t) in Linearfaktoren zerfällt. Eine Jordanbasis von f ist eine Basis
Bf von V , sodass
M
f (Bf )
Ein f -zyklischer Unterraum ist f -invariant.
Sei x ∈ V und W der von x erzeugte f -zyklische Unterraum von V mit 1 ≤ k =
Sei f k (x) = −α0 x − α1 f (x) − . . . − αk−1 f k−1 (x), dann ist χfˆ für fˆ = f |U gegeben
als χfˆ(t) = t k + αk−1 t k−1 + . . . + α0 .
Cayley-Hamilton Sei f ∈ EndK (V ), dann erfüllt f sein charakteristisches Polynom.
ker(f − lλ ) à ker(f − lλ )2 à . . . à ker(f − lλ )i à . . . ist eine aufsteigende Kette von
Sei λ ein Eigenwert von f ∈ EndK (V ), dann ist Vλ (f ) ein f -invarianter Unterraum
von V , der Vλ (f ) enthält.
i
p
Vλ (f ) = ∪∞
i=1 ker(f − `λ ) = v ∈ V : ∃ p ∈ N : (f − lλ ) (v) = 0 .
Sei B ein λ-Zykel, dann ist B Basis des vom Anfangsvektor erzeugten, (f − `λ )-
zyklischen Unterraums von W und dieser ist f -invariant. Die Einschränkung von f auf
Sei v verallgemeinerter Eigenvektor zu λ und p ∈ N, sodass (f − `λ )p (v) = 0, dann
B = ((f − `λ )p−1 (v), (f − `λ )p−2 (v), . . . , (f − `λ )(v), v)
BW = (x, f (x), f 2 (x), . . . , f k−1 (x)) ist eine Basis von W .
Unterräumen von V , die terminiert.
Der Unterraum Vλ (f ) heißt verallgemeinerter Eigenraum zum Eigenwert λ von f .
ist
in Jordanform ist.
Seine Elemente heißen verallgemeinerte Eigenvektoren.
Sei U à V f -invariant und fˆ = f |U, dann gilt χfˆ(t)|χf (t).
dimK (W ).
Eine Fahne der Länge k in V ist eine aufsteigende Kette
W besitzt genau einen eindimensionalen Eigenraum und dieser wird vom Endvektor
des Zykels B erzeugt.
Ist B Basis, dann ist B genau dann Jordanbasis von f , wenn sie eine disjunkte Verei-
nigung von Zykeln verallgemeinerter Eigenvektoren von f ist.
15
Zerfällt χf (t) in Linearfaktoren, dann ist V die direkte Summe seiner verallgemeiner-
ten Eigenräume
M
Vλ (f ),
V =
14.2 Sätze für Jordankästchen
Sei J = Jλ (k), dann ist dimK ker(J − λE)i = i, für 1 ≤ i ≤ k und dim ker(J − λE)i = k
für i > k.
λ
wobei λ die Menge der Eigenwerte von f durchläuft.
Seien λ1 , . . . , λk die verschiendenen Eigenwerte von f . Sei Bi die Basis des verallgeSk
meinerten Eigenraums Vλi , B = i=1 Bi und sei fi die Einschränkung von f auf Vi ,
Jλ (i) sind. Sei ni = dimK (ker(A − λE)i ), und ki sei die Anzahl der vorkommenden
r
P
Kästchen Ji . Sei nr −1 < nr = nr +1 , dann gilt ni − ni−1 =
kl .
dann ist
M
f (B)
= diag {A1 , . . . , Ak }, wobei Ai =
M
fi (Bi )
Sei λ Eigenwert von f . Es seien λ-Zykeln Zi alle mit derseleben Länge t gegeben
(1 ≤ i ≤ s) und es sei yi der Anfangsvektor von Zi . Ist die Menge yi : 1 ≤ i ≤ s
Ss
linear unabhängig modulo ker(f − `λ )t−1 , so ist Z = i=1 Zi linear unabhängig.
Seien die Vektoren
yi : 1 ≤ i ≤ s
l=i
ist.
Sei A eine Matrix in Blockdiagonalform, deren s Diagonalblöcke Jordankästchen Ji =
⊂ ker(f − `λ )t im Faktorraum ker(f −
15 Ringtheorie
Sei ∅ ≠ S ⊆ R. Dann ist S ein Unterring von R genau dann, wenn gilt
(a) r − s ∈ S für alle r , s ∈ S ((S, +) ist abelsche Gruppe von (R, +)).
`λ )t / ker(f − `λ )t−1 linear unabhängig, dann sind die von den yi erzeugten λ-Zykel
paarweise disjunkt.
(b) r s ∈ S für alle r , s ∈ S.
Sei Nr = Nr +1 , dann ist Nr = Nr +i für jedes i ∈ N.
Ein Unterring muss kein Einselement haben, außerdem ist 1R ≠ 1S möglich, ist aber
Sei A ∈ Mn (K) und zerfällt χA (t) in Linearfaktoren, so gibt es eine Matrix P ∈
1R ∈ S, so ist 1S = 1R das Einselement von S.
GLn (K), sodass P
−1
AP Jordanform hat.
Zerfällt χf (t) in Linearfaktoren, so besitzt V eine Jordanbasis bezüglich f .
(a) f (a + b) = f (a) + f (b), ∀ a, b ∈ R.
i
Die Unterräume ker(f −`λ ) des Vλ (f ) bilden eine Fahne. Die zugehörige Jordanbasis
(b) f (ab) = f (a)f (b), ∀ a, b ∈ R.
ist angepasst.
Sei A ∈ Mn (K) in Jordanform, dann existieren eine Diagonalmatrix D und eine nilpo-
tente Matrix N, die kommutieren, sodass
A = D + N,
Seien A, N ∈ Mn (K) ähnlich und N nilpotent (unipotent), dann ist A nilpotent (unipo-
tent).
Jordanzerlegung Sei A ∈ Mn (K) und χA (t) zerfallen in Linearfaktoren, dann gibt es
eine diagonalisierbare Matrix S und eine nilpotente Matrix N mit
A = S + N,
SN = NS.
Gilt f (1R ) = 1S , sagt man f erhält das Einselement.
ker f = r ∈ R : f (r ) = 0 heißt Kern, im f = f (r ) ∈ S : r ∈ R heißt Bild.
DN = ND.
Seien S, R Ringe und f : R → S, dann heißt f Ringhomomorphismus, falls gilt
Ein Unterring S von R heißt Linksideal bzw. Rechtsideal, falls
r s ∈ S(sr ∈ S) ∀ r ∈ R, s ∈ S.
Ist S sowohl Links- als auch Rechtsideal, heißt S Ideal und man schreibt S ô R.
Alle Ideale von R außer (0) und R selbst heißen nichttrivial bzw. echt.
Ein Ideal M heißt maximal, falls es kein größeres echtes Ideal gibt, also für alle Ideale
I gilt M ⊆ I ⊊ R ⇒ M = I.
16
Sei I ô R, dann wird durch r ∼ s a r − s ∈ I, für r , s ∈ R eine Äquivalenzrelation
Damit wird K =
R/I wird zum Ring durch
definiert. R/I bezeichnet die Menge der Äquivalenzklassen.
so dass hSi = I. S heißt dann Erzeugendensystem von I. Besteht S aus genau einem
Element, so heißt I Hauptideal. In diesem Fall ist I = sR = {sr : r ∈ R}.
a, b ∈ R heißen assoziiert, falls es eine Einheit u ∈ U (R) gibt, sodass a = bu.
Sei R Integritätsbereich und a, b ∈ R c ∈ R heißt größter gemeinsamer Teiler von a
und b ggT(a, b), falls gilt
(a) c|a und c|b
Ein Ring in dem alle Ideale endlich erzeugt sind heißt noethersch.
(b) Ist d ∈ R mit d|a und d|b, so gilt d|c.
Seien I, J ô R. Das Produkt I · J ist das Ideal von R, das von der Menge
{a · b : a ∈ I, b ∈ J} erzeugt wird.
n
P
i=0
αi x i , wobei x Unbestimmte
(a) a|c und b|c
Grad deg p(x) von p(x).
Ein Element a ∈ R heißt Nullteiler, falls es ein 0 ≠ b ∈ R gibt mit ab = 0. Besitzt R
(b) Ist d ∈ R mit a|d und b|d, so gilt c|d.
außer 0 keinen Nullteiler, so heißt R Integritätsbereich oder Nullteilerfrei.
Ein Integritätsbereich R heißt Hauptidealring, falls jedes Ideal von R ein Hauptideal
ist.
Sei R Integritätsbereich. Auf der Menge {(a, b) ∈ R × R : b ≠ 0} definieren wir eine
Äquivalenzrelation durch (a, b) ∼ (c, d) a ad = bc. Die Äquivalenzklasse von (a, b)
wird mit
a
b
Sei R Integritätsbereich und a, b ∈ R. c ∈ R heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches
von a und b kgV(a, b), falls gilt
und αi ∈ R ist. Ist p(x) Polynom mit αk ≠ 0 aber αm = 0 für m > k, so ist heißt k der
Ein Integritätsbereich R heiß euklidischer Ring, falls es eine Abbildung deg : R →
ist.
Ein Ideal I von R heißt endlich erzeugt, falls es eine endliche Teilmenge S von R gibt,
Der Polynomring R[x] besteht aus formalen Summen
ist ein Ringmonomorphismus.
(b) Für f , g ∈ R mit g ≠ 0 gibt es q, r ∈ R mit deg(r ) < deg(g), sodass f = qg + r
ein Ringhomomorphismus.
r
1
(a) Für alle r ∈ R mit r ≠ 0 gilt deg(0) < deg(r ).
Diesen Ring nennt man Faktorring. Die natürliche Projektion π : R → R/I, r , r + I ist
o
: b ≠ 0 ein Körper, der Quotientenkörper Q(R) von R.
Die Abbildung R → K, r ,
(r + I) · (s + I) = (r s) + I.
a
b
N ∪ {−1} gibt, sodass
(r + I) + (s + I) = (r + s) + I,
n
bezeichnet. Wir definieren für a, b, c, d ∈ R, b, d ≠ 0 eine Addition und eine
Multiplikation durch
Sei R kommutativer Ring mit 1.
(a) Sei P ô R, dann heißt P Primideal, falls gilt. Sind x, y ∈ R mit xy ∈ P, so ist
x ∈ P oder y ∈ P.
(b) 0 ≠ a ∈ R heißt irreduzibel, falls
a ∉ U(R) und a = xy für x, y ∈ R ⇒ x ∈ U (R) oder y ∈ U (R).
(c) 0 ≠ a ∈ R heißt Primelement, falls aR Primideal ist, d.h. a|xy ⇒ a|x oder a|y.
(d) 0 ≠ a ∈ R besitzt eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, falls a = ε
ε ∈ U(R) und πi irreduzibel.
a
c
ad + bc
+ =
,
b
d
bd
a c
ac
· =
.
b d
bd
Qr
i=1
πi , mit
a besitzt eine eindeutige Zerlegung in irreduzibel Faktoren, falls zusätzlich gilt ist
Qr
a = ε0 i=1 πi0 mit ε0 ∈ U (R) und πi0 irreduzibel, dann gibt es eine Umordnung,
sodass πi und πi0 assoziiert sind.
17
Ein Integritätsbereich heißt faktoriell oder UFD unique factorisation domain, falls
jedes Element 0 ≠ a ∈ R eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente bestizt.
15.2 Sätze für Integritätsbereiche
Sei R Integritätsbereich.
15.1 Ringtheorie Sätze
Seien a, b ∈ R, dann sind ggT(a, b) und kgV(a, b) falls sie existieren, bis auf Assozi-
iertheit eindeutig bestimmt.
Seien R, S Ringe, f : R → S Ringhomomorphismus und I, J ô R.
R ist Integritätsbereich a (0) ist Primideal von R.
P ô R ist Primideal a R/P ist Integritätsbereich.
Seien R, S Ringe, f : R → S Ringhomomorphismus, dann gilt
M ist maximales Ideal ⇒ M ist Primideal.
(a) (0), R ô R. Alle anderen Ideale heißen echt.
p ∈ R ist Primelement ⇒ p ist irreduzibel.
(b) f ist surjektiv a im f = S und f ist injektiv a ker f = (0).
Sei R UFD und p ∈ R irreduzibel, dann ist p Primelement.
(c) ker f ô R. Ist f surjektiv, so gilt im f ô S.
Die Menge der invertierbaren Elemente U(A) eines Rings mit 1 oder einer K-Algebra
A ist multiplikativ abgeschlossen und bildet mit der Multiplikation eine Gruppe.
(a) Jede aufsteigende Kette von Hauptidealen wird stationär.
(d) Der Durchschnitt von beliebig vielen Idealen von R ist Ideal von R.
(b) Jedes irreduzibel Element von R ist Primelement.
(e) Sei A ⊆ R, dann ist hAi das kleinste Ideal, das A enthält.
(f) I + J = hI ∪ Ji das eindeutig bestimmte, kleinste Ideal, das I und J enthält.
(g) Die Isomorphiesätze I - III gelten ebenfalls für Ringe.
Ist J ⊆ I, dann ist J Ideal von I.
Durch r ∼ s a r − s ∈ I, für r , s ∈ R wird eine Äquivalenzrelation definiert.
R ist UFD genau dann, wenn beiden Eigenschaften gelten
15.3 Sätze für HIR
Sei a ∈ R, dann ist aR = R genau dann, wenn a ∈ U (R).
Euklidische Ringe sind Hauptidealringe.
R/I genau dann ein Körper, wenn I ein maximales Ideal ist.
Z und K[x] sind HIRs.
Sei R ein Ring, dann sind folgenden Bedingungen äquivalent
Sind a, b ∈ R, dann gilt a|b a bR ⊆ aR.
(a) R ist noethersch.
Assoziiert sein ist eine Äquivalenzrelation.
(b) Jede aufsteigende Kette von Idealen in R wird stationär.
a, b ∈ R assoziiert a aR = bR a a|b und b|a.
(c) Jede nichtleere Menge von Idealen besitzt maximale Elemente.
Seien a, b ∈ R, dann existieren ggT(a, b) und kgV(a, b) und es gilt
I · J ⊆ I ∩ J.
(a) aR + bR = ggT(a, b)R.
{Euklidische Ringe} ⊆ {HIRs} ⊆ {UFDs}.
(b) aR ∩ bR = kgV(a, b)R.
18
16 Minimalpolynom
(c) (aR) · (bR) = (ab)R.
Jedes Primideal P ≠ (0) von R ist maximal und daher ist R/P ein Körper.
Sei f ∈ EndK (V )
15.4 Für K-Algebren
Sei R K-Algebra.
If = p(t) ∈ K[t] : p(f ) ≡ 0 ô K[t] ist das sogenannte Verschwindungsideal.
Das eindeutig bestimmte normierte Polynom kleinsten Grades in If heißt Minimalpo-
lynom von f und wird mit µf (t) bezeichnet. Analog ist µA (t) definiert.
Durch k , k · 1R wird ein Ringhomomorphismus definiert, der 1K auf 1R abbildet.
Insbesondere ist dieser Homomorphismus nicht die Nullabbildung und daher injektiv,
da K keine echten Ideale besitzt.
16.1 Minimalpolynomsätze
Jedes Ideal von R ist abgeschlossen gegenüber skalarer Multiplikation mit Elementen
aus K und deshalb automatisch ein K-Vektorraum.
Man braucht nicht zwischen Ring- und Algebraidealen zu unterscheiden.
Die Minimalpolynome ähnlicher Matritzen stimmen überein.
λ ∈ K ist genau dann Nullstelle von µf (t), wenn λ Nullstelle von χf (t) ist.
Zerfalle χf (t) in Linearfaktoren. Sei V = V1
15.5 Für Polynome K[t]
Seien h, g ∈ K[t] und sei deg g ≤ deg h, dann gibt es Polynome q, r ∈ K[t] mit
deg r < deg g, sodass h(t) = q(t)g(t) + r (t).
Sei I ô K[t] und p ∈ I ein nichttriviales Polynom minimalen Grades in I. Dann ist
I = pK[t] und wir haben I = r K[t] für ein r ∈ K[t] genau dann, wenn r = βp für
0 ≠ β ∈ K ist. Daher gibt es genau ein normiertes Polynom q ∈ I, sodass I = qK[t].
Sei p ∈ K[t] so, dass f (p) ≡ 0, dann gibt es ein q(t) ∈ K[t], sodass p(t) = q(t)µf (t).
Insbesondere gilt µf (t)|χf (t).
...
L
Vk eine Zerlegung von V in
f -invariante Unterräume Vi . Sei µi das Minimalpolynom von fi = f |Vi , dann gilt
Qk
i=1 µi (t) und µi (t)|µf (t) für 1 ≤ i ≤ k.
Qk
Sind daher die µi (t) paarweise teilerfremd, so gilt µf (t) = i=1 µi (t).
µf |
Sei A = diag {J1 , . . . , Jk } Blockdiagonalmatrix und zerfalle χA (t) in Linearfaktoren,
Qk
i=1 µJi (t), falls die µJi (t) paarweise teilerfremd sind.
Der Polynomring K[x1 , . . . , xn ] über K hat folgende universelle Eigenschaft
dann ist µA (t) =
(a) Es gibt eine Abbildung ι : {1, . . . , n} → K[x1 , . . . , xn ]. (Gegeben durch ι(i) = xi )
(b) Ist R eine kommutative K-Algebra mit 1 und f : {1, . . . , n} → R, dann gibt es
genau einen K-Algebraautomorphismus fˆ : K[x1 , . . . , xn ] → R mit fˆ(xi ) = f (i).
L
Qk
Sei χf (t) = i=1 (t − λi )ni , mit λi paarweise verschieden , dann ist
Qk
µf (t) = i=1 (t − λi )mi , wobei mi die kleinste natürliche Zahl s ist mit
ker(f − `λi )s = ker(f − `λi )s+1 . Insbesondere ist f diagonalisierbar genau dann, wenn
mi = 1, ∀ 1 ≤ i ≤ k.
19
17 Moduln
Sei U à M. Wir definieren eine Äquivalenzrelation ≡
mod U auf M durch x ≡ y
mod U a x − y ∈ U für x, y ∈ M. Auf der Menge M/U der Äquivalenzklassen ist eine
Addition und eine äußere Operation wohldefiniert, wodurch M/U zum R-Modul, dem
Sei R ein Ring mit 1 oder K-Algebra.
Faktormodul wird.
Ein R-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe (M, +), zusammen mit einer äußeren
binären Operation R × M → M, (a, m) , am, sodass gilt
Ein Modul heißt frei, falls er isomorph zu einer direkten Summe von Kopien des
regulären R-Moduls R R ist.
(a) 1R m = m ∀ m ∈ M.
Eine Teilmenge S ⊆ M heißt linear unabhängig, falls es keine nichttriviale Darstellung
rs · s = 0, ri ∈ A fast alle 0, gibt. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von
L
M heißt Basis von M. Es gilt dann N = s∈S R · s.
P
(b) a(bm) = (ab)m ∀ a, b ∈ R, m ∈ M.
s∈S
(c) (a + b)m = am + bm ∀ a, b ∈ R, m ∈ M.
(d) a(m1 + m2 ) = am1 + am2 ∀ a ∈ R, ∀ m1 , m2 ∈ M.
λi yi = 0 ∀ i ∈ I.
Ein R-Rechtsmodul wird analog definiert. Ist R kommutativer Ring bzw. kommutative
K-Algebra, dann ist M sowohl Links- als auch Rechtsmodul und wird einfach als Modul
P
Eine Teilmenge S = yi : i ∈ I ⊆ M heißt unabhängig, falls aus I λi yi = 0 folgt
Eine Folge von R-Moduln
a1
a3
a2
ai−1
ai
M1 ----→
- M2 ----→
- M3 ----→
- . . . ----------→
-- Mi ---→
- ...
bezeichnet.
mit R-Modulhomomorphismen ai : Mi → Mi+1 heißt exakt, falls ker ai+1 = im ai ist.
Seien M, N R-Moduln.
Eine exakte Folge der Form
RR
wird regulärer Modul genannt.
α
momorphismus der zugrundeliegenden abelschen Gruppe ist, der zusätzlich die R
Operation respektiert. Die Menge ker f = m ∈ M : f (m) = 0N heißt Kern, im f =
f (m) : m ∈ M heißt Bild.
Eine Teilmenge ∅ ≠ U ⊆ M heißt Untermodul, falls (U, +) abelsche Untergruppe von
(M, +) ist und r · u ∈ U ∀ r ∈ R, u ∈ U. Wir schreiben U à M.
Sei R kommutativer Ring mit 1.
Sei m ∈ M. Der Annulator von m in R ist annR (m) = {r ∈ R : r m = 0}. Für S ⊆ M
T
ist annR (S) = {r ∈ R : r m = 0 ∀ m ∈ S} = m∈S annR (m).
Sei ∅ ≠ S ⊆ M mit hSi = M, dann heißt S Erzeugendensystem von M und M heißt
Sei S ⊆ M Erzeugendensystem von M, dann ist S ein minimales Erzeugendensystem,
falls hT i Ü M für jede echte Teilmenge T von S.
Sei R noethersch, M ein R-Modul. Dann ist der Rang rg(M) definiert als Kardinalität
einer Basis von M.
endlich erzeugt (e.e.), falls es ein endliches Erzeugendensystem gibt.
heißt kurze exakte Folge (keF).
Sei S ⊆ M. Der von S erzeugte Untermoduln U = hSi ist definiert als der kleinste
Untermoduln von M, der S enthält.
β
(0) → M -→
- N →
-- E → (0),
Eine Abbildung f : M → N heißt R-Modulhomomorphismus, falls f ein Ho-
Sei m ∈ M, sodass M = Rm, dann heißt M zyklischer R-Modul.
Sei R Integritätsbereich.
m ∈ M heißt Torsionselement, falls annR (m) ≠ 0 ist. Ist 0M das einzige, so heißt M
torsionsfrei.
20
Sei T (M) ⊆ M die Menge der Torsionselemente von M, dann ist T (M) à M und heißt
Trosionsuntermodul von M. Ist T (M) = M, so heißt M Torsionsmodul.
Sei R Ring mit 1, M, N R-Moduln.
Sei R HIR und M e.e. R-Modul.
Sei p ∈ R, dann ist Mp der Untermodul
n
o
Mp = m ∈ M : p k m = 0 ∃ k ∈ N .
Die R-Untermoduln von R R sind genau die Linksideale von R.
Der Durchschnitt beliebig vieler Untermoduln von M ist Modul. Dieser ist der eindeu-
tig bestimmte größte Untermodul von M, der in allen Untermoduln der vorgegebenen
Ist 0 ≠ p ∈ R Primelement, so heißt Mp Primärkomponente.
17.3 Moduln über Ring mit 1
Menge enthalten ist.
Sei annR (M) = r R, dann wird r die Ordnung von M genannt und mit r = O(M)
Die natürliche Projektion π : M → M/U , m , m + U ist ein Epimorphismus.
Sei f : M → N R-linear, dann ist ker f à M und im f à N.
bezeichnet.
Sei f : M → N eine R-lineare Abbildung und U à M mit
U ⊆ ker f , dann gibt es ein eindeutig bestimmtes fˆ : M/U → N mit im fˆ = im f
und ker fˆ = U/ ker f à M/ ker f , sodass fˆ ◦ π = f . Ist außerdem ker f = U, so ist fˆ ein
1. Isomorphiesatz
17.1 Beispiele
(a) Der 0-Modul (0) ist R-Modul mit Operation r · 0 = 0 ∀ r ∈ R.
(b) R wird zum R-Linksmodul R R, wobei R auf R durch die gewöhnliche Linksmulti-
R-Modulisomorphismus, es gilt also M/ ker f › im f .
plikation operiert.
f
M
(c) Jedes Ideal von R ist R-Modul.
(a) Sei R = Z, dann ist Z Z torsionsfrei und Z/zZ(0 ≠ z ∈ Z) Torsionsmodul, also
π
T (Z/zZ) = Z/zZ.
N
∃ !fˆ
M/U
(b) Sei R = K[t], V K-Vektorraum, f ∈ EndK (V ), V der K[t]-Modul Vf , daann ist
O(Vf ) = µf (t) und es gilt annR (Vf ) = µf K[t] und Vf ist Torsionsmodul.
2. Isomorphiesatz Seien U , V à M, dann ist (U + V )/V › U /(U ∩ V ).
17.2 Darstellungssätze
3. Isomorphiesatz Seien U , V à M und V à, dann ist U (M/V )/(U /V ) › U /M.
Sei R Ring mit 1.
Sei M ein R-Modul, dann ist fr : M → M, m , mr ∈ End(M, +) und F : R →
End(M, +), r , fr ein Ringhomomorphismus.
der die 1 erhält, dann wird M zum R-Modul durch r m = (F (r ))(m) für r ∈ R und
m ∈ M.
λ ∈ K, m ∈ M.
Sei M abelsche Gruppe mit + und F : R → End(M, +), r , fr Ringhomomorphismus,
Ist R außerdem K-Algebra, so wird M ein K-Vektorraum durch λm = (λ · 1R )m für
M ist frei genau dann, wenn M eine R-Basis besitzt.
Sei ∅ ≠ I eine beliebige Indexmenge, dann kann der freie Modul
zu I definiert werden
n
o
als F (I) = f : I → R : f (i) = 0 für fast alle i ∈ I . Durch ei : ei (j) = δij , ∀ i ∈ I
ist eine Basis von F (I) gegeben.
21
Universelle Eigenschaft des freien R-Moduls F (I) über I Sei g : I → M, i , mi , eine
Abbildung von Mengen, dann existiert genau eine R-lineare Abbildung ĝ : F (I) → M
I
|A| = |B|.
F (I)
her einen bis auf Isomorphie eindeutigen freien R-Modul Fα vom Rang α, nämlich
Lα
Fα = i=1 R R.
M
Alle K-Moduln (das sind genau die K-Vektorräume) sind frei.
Sei f : M → N ein R-Epimorphismus. Sei S ⊆ M ein Erzeugendensystem für M, dann
R-Moduln endlich erzeugt.
Sei (0) → N -→
- M →
-- E → (0) keF von R-Moduln. Sind N und E e.e., so auch M.
β
α
Sei (0) → N -→
- M →
-- E → (0) keF von R-Moduln und sei E freier Modul, dann gibt es
L
ein U à M mit U › E, sodass M = im α U.
α
Sei M ein zyklischer R-Modul, dann wir durch f :
RR
→ M, r , r m, ein R-Modul
R/I ist genau dann zyklischer R-Modul, wenn I ô R.
Sei S = yi : 1 ≤ i ≤ m Erzeugendensystem von M, dann ist S genau dann unabLm
hängig, wenn M = i=1 Ryi .
β
α
Sei S ⊆ M, m ∈ M, dann gilt annR (m), annR (S) ô R.
Epimorphismus definiert.
wird N von f (S) erzeugt. So sind insbesondere epimorphe Bilder von endlich erzeugten
Sei R kommutativer, noetherscher Ring mit 1 und seien M, N freie R-Moduln mit
rg(M) = rg(N). Dann sind M und N isomorph. Für jede Kardinalität α gibt es da-
∃ !ĝ
g
o
n
Tk
Sei M = hm1 , . . . , mk i e.e., dann ist annR (M) = r ∈ R : r m = i=1 annR (mi ) .
Sei R kommutativer, noetherscher Ring mit 1 und sei M ein freier R-Modul. Seien
{mα : α ∈ A} und mβ : β ∈ B Basen von M mit Indexmenge A bzw. B, dann ist
mit ĝ ◦ ι = g, wobei ι : I → F (I), i , ei ist.
ι
β
Sei (0) → N -→
- M →
-- E → (0) keF von R-Moduln und sei δ : E → U ein RL
Homomorphismus mit β ◦ δ = idE , dann gilt M = im α im δ.
17.4 Moduln über Integritätsbereichen
Sei R Integritätsbereich, M ein R-Modul.
Ist M freier R-Modul, dann ist M torsionsfrei.
Sei I ô R, dann gilt:
M/T (M) ist torsionsfrei.
(a) IM à M
Epimorphe Bilder von Torsionsmoduln sind Torsionsmoduln.
(b) annR (M) à M.
Sei Mα , α ∈ A eine Menge von R-Moduln. Dann ist T
L
α∈A
L
Mα =
α∈A T (Mα ).
Sind insbesondere die Mα Torsionsmoduln (torsionsfrei), so auch ihre direkte Summe.
(c) I ⊆ annR (M/IM).
(d) Sei L ô R und sei L ⊆ annR (M). Dann wird M zum R/L-Modul durch (r + L)m =
r m, für r ∈ R, m ∈ M.
(e) M/IM ist R/I-Modul mit R-Operation gegeben durch (r + I)(m + IM) = r m + IM.
Untermoduln von Torsionsmoduln sind Torsionsmoduln und Untermoduln von torsi-
onsfreien Moduln sind torsionsfrei.
Sei (0) ≠ M = Rm torsionsfreier, zyklischer R-Modul, dann ist M › R R frei mit Basis
{m}.
22
(b) Seien y1 , . . . , yn ∈ M so, dass die yi unabhängig sind und seien die Nebenklas
senvertreter so gewählt, dass O(yi ) = O(yi ) ∀ i, dann ist auch m, y1 , . . . , yn
17.5 Moduln über HIR
unabhängig.
Sei R ein HIR und M e.e. R-Modul.
Sei F e.e., freier R-Modul vom Rang n über R mit R-Basis B = {vi : 1 ≤ i ≤ n}. Sei
M à F , dann ist M freier R-Modul vom Rang k mit k ≤ n.
sei Mν = p ν M = Rp v · m, dann gilt
(a) Mν à M und {Mν : v = 0, . . . , k} ist genau die Menge der Untermoduln von M.
Sei M torsionsfrei mit Erzeugendensystem S, |S| = k, dann ist M frei vom Rang n ≤
(b) (0) = Mk Ü Mk−1 Ü . . . Ü M1 Ü M0 = M.
k.
Sei M e.e., dann ist M = T (M)
L
(c) Mν ist zyklisch mit Erzeuger p ν m und der Ordnung O(Mν ) = p k−ν .
U , wobei U à M freier R-Modul mit rg(U) < ∞ ist
und U › M/T (M). Ist T (M) = (0), so ist M frei mir rg(M) < ∞.
(d) Sei x ∈ M, dann ist M = Rx genau dann wenn x ∉ M1 ist.
Sind 0 ≠ p, q ∈ R mit ggT(p, q) = 1, so ist Mp ∩ Mq = (0) und daher ist Mp
L
Mq .
(e) Jedes Erzeugendensystem von M enthält ein x ∉ M1 . M = Rx.
Sei M e.e. R-Torsionsmodul, dann gilt
(f) Sei S ⊆ M minimales Erzeugendensystem von M, dann ist S = {x} mit x ∈ M
aber x ∉ pM.
(a) O(M) ist bis auf Assoziiertheit eindeutig und es gilt (0) ≠ annR (M) = O(M)R.
(b) Ist O(M) = r und r =
ki
i=1 pi
Qn
die Primfaktorzerlegung von r in nicht paarweise
assoziierte Primelemente pi ∈ R, ki ∈ N, so zerlegt sich M in die direkte Summe
Ln
M = i=1 Mpi seiner eindeutig bestimmten Primärkomponenten Mpi , i = 1, . . . , n.
(c) Sei O(M) = r =
Qn
i=1
k
M ein e.e. R-Torsionsmodul der Ordnung p k für ein Primelement p ∈ R. Sei s =
{mi : 1 ≤ i ≤ n} ⊆ M ein endliches minimales Erzeugendensystem von M. Dann enthält jedes minimale Erzeugendensystem exakt n Elemente und es gibt einedeutig bestimmte natürliche Zahlen k = e1 ≥ e2 ≥ . . . ≥ en , sodass mit qi = p ei gilt
k
pi i Primfaktorzerlegung, dann ist O(Mpi ) = pi i .
M›
M ist zyklischer R-Modul genau dann, wenn M epimorphes Bild des R R ist.
Sei M = Rm zyklischer R-Torsionsmodul mit O(m) = r , dann ist M › R/r R als
R-Modul und O(M) = r .
Sei S = yi : 1 ≤ i ≤ m unabhängiges Erzeugendensystem von M und si = O(yi ),
Lm
Lm
dann ist M = i=1 Ryi › i=1 R/Rsi .
Sei M = mR zyklischer R-Modul, O(M) = p k für ein Primelement p ∈ R, für 0 ≤ ν ≤ k
O(m) = O(M) = p .
(a) Sei M = M/Rm, dann gibt es in jeder Nebenklasse x = x + Rm ∈ M einen Vektor
R/Rqi
i=1
Prototypen
Seien pi ∈ R : 1 ≤
nicht assoziierte Primelemente,
n
o i ≤ k paarweise
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
eν ∈ N : eν ≥ eν+1 , 1 ≤ ν ≤ ni und Iν = Rp eν .
(i)
(i)
Sei ei = e1 , . . . , eni und
n
i
M
R/Iν(i) .
E pi , ei =
Sei M e.e. Torsionsmodul mit O(M) = p k für p ∈ R Primelement. Sei m ∈ M mit
k
n
M
ν=1
Für α ∈ N0 sei M(p1 , e1 , . . . , pk , ek , α) =
y = x + Rm mit O(x) = O(y).
23
L
k
i=1
L L
α
E(pi , ei )
j=1 R , dann ist
M p1 , e1 , . . . , pk , ek , α : k, α ∈ N0 , pi ∈ R Primelement ,
eine vollständige Liste von paarweise nicht isomorphen, endlich erzeugten R-Moduln.
Sei r ∈ R und r = s · t mit s, t ∉ U(R) und ggT(s, t) = 1, dann ist M = R/Rr ein
L
R/Rt.
zyklischer R-Modul isomorph zu R/Rs
Sei q ∈ R und q =
R/Rq ›
k
M
i=1
Qk
i=1
e
pi i eine Primfaktorzerlegung, dann ist
e
R/Rpi i .
24