Sudoku

Modellierung von Sudoku
Modellierung von Sudoku
• Problem:
– Gegeben ein Sudoku S
– Konstruiere eine aussagenlogische Formel FS , die
folgende (noch nicht formal definierte)
Eigenschaft erfüllt:
• Eine (minimale) zu FS passende Belegung macht FS wahr
genau dann, wenn die Belegung die Lösung des
Sudokus charakterisiert.
Modellierung von Sudoku
• Variablen: {XYZ | X,Y,Z 2 {1,…,9} }
• Bedeutung von XYZ : auf der Zeile Y, Spalte Z,
liegt die Zahl X.
• Jede Zahl komm in jeder Zeile vor :
9
9
^
^
(XY 1 _ XY 2 _ : : : _ XY 9 )
X=1 Y =1
Modellierung von Sudoku
• Jede Zahl komm in jeder Spalte vor :
9
9
^
^
(X1Z _ X2Z _ : : : _ X9Z )
X=1 Z=1
• Jede Zahl kommt im ersten Quadrat vor (die Formel n
für die andere Quadrate sind analog):
9
^
X=1
Ã
3 _
3
_
Y =1 Z=1
XY Z
!
Modellierung von Sudoku
• Jedes Feld enthält höchstens eine Zahl:
9 ^
9
9
^
^
9
^
Y =1 Z=1 X=1 U = 1
U 6= X
(:XY Z _ :UY Z )
• Anfangskonfiguration: z.B.
411 Æ 915 Æ … Æ 499
Modellierung von Sudoku
• Sei FS die Formel, die aus der Konjunktion aller
vorherigen Formel besteht.
• In FS kommen 729 (93) atomare Formeln vor.
• Sei ¯ eine Belegung aller atomaren Variablen
XYZ. ¯ entspricht eine Lösung des Sudokus
genau dann, wenn [FS](¯)=1.
• Wenn der Sudoku gut formuliert ist, dann hat
FS genau eine erfüllende Belegung.
Modellierung von Sudoku
• Sei ¯s die einzige erfüllende Belegung der
Formel FS in einem gut formulierten Sudoku.
Wenn die Anfangskonfiguration den Wert von
k der 81 Felder bestimmt, dann kennen wir
schon den Wert von ¯s(XYZ) für 81k Variablen
XYZ. Es bleiben jedoch (729 - 81k) Variablen
übrig, immer noch eine große Zahl.