Kubische Gleichungen als Brutkasten komplexer Zahlen

Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Kubische Gleichungen
als Brutkasten komplexer Zahlen
Benjamin Klopsch
Mathematisches Institut
Heinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf
Tag der Forschung
◦
November 2006
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
„Mathematik macht das Denkbare möglich.“
Phantasien werden gedanklich geordnet
ein Stück menschliche Wirklichkeit.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
„Mathematik macht das Denkbare möglich.“
Phantasien werden gedanklich geordnet
ein Stück menschliche Wirklichkeit.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
Von linearen Gleichungen zur Cardanischen Formel
Den Wald vor lauter Bäumen sehen
Italienische Zauberkunst
Probe aufs Exempel und kurze Rückbesinnung
Wie schlägt sich die Cardanische Formel?
Zahlbereiche und quadratische Ergänzung
Komplexe Welten und Symmetrien
Von der Zahlenebene zur Steckdose
Gleichungen höheren Grades
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
Von linearen Gleichungen zur Cardanischen Formel
Den Wald vor lauter Bäumen sehen
Italienische Zauberkunst
Probe aufs Exempel und kurze Rückbesinnung
Wie schlägt sich die Cardanische Formel?
Zahlbereiche und quadratische Ergänzung
Komplexe Welten und Symmetrien
Von der Zahlenebene zur Steckdose
Gleichungen höheren Grades
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
Von linearen Gleichungen zur Cardanischen Formel
Den Wald vor lauter Bäumen sehen
Italienische Zauberkunst
Probe aufs Exempel und kurze Rückbesinnung
Wie schlägt sich die Cardanische Formel?
Zahlbereiche und quadratische Ergänzung
Komplexe Welten und Symmetrien
Von der Zahlenebene zur Steckdose
Gleichungen höheren Grades
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
„Der Katechismus der Familie Musgrave“
Sherlock Holmes am Anfang
seiner Karriere als
Meisterdetektiv: Der Butler der
Familie Musgrave interessiert
sich plötzlich für die privaten
Unterlagen seiner Herrschaft.
Kurz darauf verschwindet er
spurlos – wie auch das
Dienstmädchen. Jetzt ist
Sherlock Holmes gefragt, den
mysteriösen Fall aufzuklären.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
„Fragen und Antworten“
Holmes: Er händigte mir dies Blatt ein, das du hier vor dir siehst,
Watson. Die sonderbaren Fragen und Antworten, die jeder Musgrave
hersagen mußte, sobald er volljährig war, lauteten:
play
stop
„Wem gehörte sie?“ – „Dem, der nicht mehr ist.“
„Wer soll sie haben?“ – „Der, welcher kommt.“
„Welcher Monat war es?“ – „Der sechste vom ersten.“
„Wo war die Sonne?“ – „Über der Eiche.“
„Wo war der Schatten? – „Unter der Ulme.“
„Wie maß man ihn aus?“ – „Nach Norden zehn und zehn, . . . “
„Was sollen wir dafür geben? – „All unser Gut.“
„Weshalb geben wir es hin?“ – „Weil uns das Pfand vertraut ward.“
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Von Eichen und Ulmen
Holmes: Dies war mir eine willkommene Nachricht, Watson, ein
Beweis, daß ich den rechten Weg gefunden hatte. . . . Mit dem
Schatten der Ulme müßte das äußerste Ende des Schattens
gemeint sein, sonst hätte man den Stamm zur Richtschnur
genommen. Es galt demnach, herauszufinden, bis wohin der
Schatten fallen würde, sobald die Sonne die Eiche berührte.
play
Watson: Das muß recht
schwierig gewesen sein,
Holmes, die Ulme war ja nicht
mehr da.
play
stop
stop
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Von Eichen und Ulmen
Holmes: Dies war mir eine willkommene Nachricht, Watson, ein
Beweis, daß ich den rechten Weg gefunden hatte. . . . Mit dem
Schatten der Ulme müßte das äußerste Ende des Schattens
gemeint sein, sonst hätte man den Stamm zur Richtschnur
genommen. Es galt demnach, herauszufinden, bis wohin der
Schatten fallen würde, sobald die Sonne die Eiche berührte.
play
Watson: Das muß recht
schwierig gewesen sein,
Holmes, die Ulme war ja nicht
mehr da.
play
stop
stop
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Einen Schritt weiter
Holmes: Natürlich ließ sich die Rechnung jetzt leicht machen.
Wenn eine Rute von 6 Fuß einen 9 Fuß langen Schatten warf,
so mußte ein 64 Fuß hoher Baum einen 96 Fuß langen
Schatten werfen, und die Richtung beider konnte nur die
gleiche sein. Ich maß die Strecke aus, kam dabei fast bis an die
Mauer des Hauses und steckte meinen Holzpflock dort fest.
play
stop
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Einen Schritt weiter
Holmes: Natürlich ließ sich die Rechnung jetzt leicht machen.
Wenn eine Rute von 6 Fuß einen 9 Fuß langen Schatten warf,
so mußte ein 64 Fuß hoher Baum einen 96 Fuß langen
Schatten werfen, und die Richtung beider konnte nur die
gleiche sein. Ich maß die Strecke aus, kam dabei fast bis an die
Mauer des Hauses und steckte meinen Holzpflock dort fest.
play
stop
In anderen Worten, Sherlock Holmes wendet den Dreisatz an
und löst eine lineare Gleichung:
9
x
=
6
64
⇔
x = 96.
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratische Gleichungen
Schon vor 4000 Jahren waren die Babylonier in
der Lage, simultane Gleichungen zu lösen, z. B.
2x + 3y = −7
und
xy = 1.
Durch Elimination von y (mittels y = 1/x) lassen sich die
beiden Gleichungen in eine einzige Gleichung
2x 2 + 7x + 3 = 0
überführen. Das Lösen solcher quadratischer Gleichungen
lernen heutzutage Kinder im Schulunterricht:
r
r
7
7
−7 ± 5
49 3
25
x1,2 = − ±
− =− ±
=
.
4
16 2
4
16
4
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratische Gleichungen
Schon vor 4000 Jahren waren die Babylonier in
der Lage, simultane Gleichungen zu lösen, z. B.
2x + 3y = −7
und
xy = 1.
Durch Elimination von y (mittels y = 1/x) lassen sich die
beiden Gleichungen in eine einzige Gleichung
2x 2 + 7x + 3 = 0
überführen. Das Lösen solcher quadratischer Gleichungen
lernen heutzutage Kinder im Schulunterricht:
r
r
7
7
−7 ± 5
49 3
25
x1,2 = − ±
− =− ±
=
.
4
16 2
4
16
4
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratische Gleichungen
Schon vor 4000 Jahren waren die Babylonier in
der Lage, simultane Gleichungen zu lösen, z. B.
2x + 3y = −7
und
xy = 1.
Durch Elimination von y (mittels y = 1/x) lassen sich die
beiden Gleichungen in eine einzige Gleichung
2x 2 + 7x + 3 = 0
überführen. Das Lösen solcher quadratischer Gleichungen
lernen heutzutage Kinder im Schulunterricht:
r
r
7
7
−7 ± 5
49 3
25
x1,2 = − ±
− =− ±
=
.
4
16 2
4
16
4
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Die Cardanische Formel
Bis ins 19. Jahrhundert hinein bestand das ebenso grundlegende wie
schwierige Problem, eine entsprechende Lösungstheorie für
Gleichungen höheren Grades zu entwickeln.
Den italienischen Mathematikern des 16. Jahrhunderts gelang
ein wichtiger Teilerfolg. Die sognannte Cardanische Formel
liefert die Lösungen einer allgemeinen kubischen Gleichung.
Konkret hat die vereinfachte Gleichung
x 3 = px + q
die Lösungen
s
x1,2,3 =
3
q
+
2
r
q2
4
−
p3
27
s
+
3
q
−
2
r
q2
p3
−
.
4
27
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Die Cardanische Formel
Bis ins 19. Jahrhundert hinein bestand das ebenso grundlegende wie
schwierige Problem, eine entsprechende Lösungstheorie für
Gleichungen höheren Grades zu entwickeln.
Den italienischen Mathematikern des 16. Jahrhunderts gelang
ein wichtiger Teilerfolg. Die sognannte Cardanische Formel
liefert die Lösungen einer allgemeinen kubischen Gleichung.
Konkret hat die vereinfachte Gleichung
x 3 = px + q
die Lösungen
s
x1,2,3 =
3
q
+
2
r
q2
4
−
p3
27
s
+
3
q
−
2
r
q2
p3
−
.
4
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Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Die Cardanische Formel
Bis ins 19. Jahrhundert hinein bestand das ebenso grundlegende wie
schwierige Problem, eine entsprechende Lösungstheorie für
Gleichungen höheren Grades zu entwickeln.
Den italienischen Mathematikern des 16. Jahrhunderts gelang
ein wichtiger Teilerfolg. Die sognannte Cardanische Formel
liefert die Lösungen einer allgemeinen kubischen Gleichung.
Konkret hat die vereinfachte Gleichung
x 3 = px + q
die Lösungen
s
x1,2,3 =
3
q
+
2
r
q2
4
−
p3
27
s
+
3
q
−
2
r
q2
p3
−
.
4
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Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Die Cardanische Formel
Bis ins 19. Jahrhundert hinein bestand das ebenso grundlegende wie
schwierige Problem, eine entsprechende Lösungstheorie für
Gleichungen höheren Grades zu entwickeln.
Den italienischen Mathematikern des 16. Jahrhunderts gelang
ein wichtiger Teilerfolg. Die sognannte Cardanische Formel
liefert die Lösungen einer allgemeinen kubischen Gleichung.
Konkret hat die vereinfachte Gleichung
x 3 = px + q
die Lösungen
s
x1,2,3 =
3
q
+
2
r
q2
4
−
p3
27
s
+
3
q
−
2
r
q2
p3
−
.
4
27
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Was liefert die Formel in der Praxis?
Anwendung der Cardanischen Formel
s
s
r
r
3
2
3 q
3 q
p
p3
q
q2
x1,2,3 =
+
−
+
−
−
2
4
27
2
4
27
auf x 3 = 15x + 4, das heißt für p = 15 und q = 4, liefert:
√
3
2 + 4 − 125 + 2 − 4 − 125
q
q
√
√
3
3
= 2 + 11 −1 + 2 − 11 −1.
q
x1,2,3 =
3
√
q
√
Aber was ist −1, geschweige denn die dritte Wurzel aus dem
jeweiligen Gesamtausdruck? – Ist die Gleichung unlösbar?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Was liefert die Formel in der Praxis?
Anwendung der Cardanischen Formel
s
s
r
r
3
2
3 q
3 q
p
p3
q
q2
x1,2,3 =
+
−
+
−
−
2
4
27
2
4
27
auf x 3 = 15x + 4, das heißt für p = 15 und q = 4, liefert:
√
3
2 + 4 − 125 + 2 − 4 − 125
q
q
√
√
3
3
= 2 + 11 −1 + 2 − 11 −1.
q
x1,2,3 =
3
√
q
√
Aber was ist −1, geschweige denn die dritte Wurzel aus dem
jeweiligen Gesamtausdruck? – Ist die Gleichung unlösbar?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Was liefert die Formel in der Praxis?
Anwendung der Cardanischen Formel
s
s
r
r
3
2
3 q
3 q
p
p3
q
q2
x1,2,3 =
+
−
+
−
−
2
4
27
2
4
27
auf x 3 = 15x + 4, das heißt für p = 15 und q = 4, liefert:
√
3
2 + 4 − 125 + 2 − 4 − 125
q
q
√
√
3
3
= 2 + 11 −1 + 2 − 11 −1.
q
x1,2,3 =
3
√
q
√
Aber was ist −1, geschweige denn die dritte Wurzel aus dem
jeweiligen Gesamtausdruck? – Ist die Gleichung unlösbar?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Was liefert die Formel in der Praxis?
Anwendung der Cardanischen Formel
s
s
r
r
3
2
3 q
3 q
p
p3
q
q2
x1,2,3 =
+
−
+
−
−
2
4
27
2
4
27
auf x 3 = 15x + 4, das heißt für p = 15 und q = 4, liefert:
√
3
2 + 4 − 125 + 2 − 4 − 125
q
q
√
√
3
3
= 2 + 11 −1 + 2 − 11 −1.
q
x1,2,3 =
3
√
q
√
Aber was ist −1, geschweige denn die dritte Wurzel aus dem
jeweiligen Gesamtausdruck? – Ist die Gleichung unlösbar?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Was liefert die Formel in der Praxis?
Anwendung der Cardanischen Formel
s
s
r
r
3
2
3 q
3 q
p
p3
q
q2
x1,2,3 =
+
−
+
−
−
2
4
27
2
4
27
auf x 3 = 15x + 4, das heißt für p = 15 und q = 4, liefert:
√
3
2 + 4 − 125 + 2 − 4 − 125
q
q
√
√
3
3
= 2 + 11 −1 + 2 − 11 −1.
q
x1,2,3 =
3
√
q
√
Aber was ist −1, geschweige denn die dritte Wurzel aus dem
jeweiligen Gesamtausdruck? – Ist die Gleichung unlösbar?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
Was ist x1,2,3 =
p
p
√
√
3
3
2 + 11 −1 + 2 − 11 −1?
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Wer wagt . . .
Formales Rechnen mit dem Ausdruck
(2 +
√
−1 ergibt
p
√
√
−1)3 = (2 + −1)2 · (2 + −1)
√
√
√
= (4 + 2 −1 + 2 −1 + (−1)) · (2 + −1)
√
√
= (3 + 4 −1)(2 + −1)
√
√
= 6 + 3 −1 + 8 −1 + 4(−1)
p
= 2 + 11 −1.
√
√
Ähnlich erhalten wir (2 − −1)3 = 2 − 11 −1. Setzen wir dies
probeweise in unsere Formel ein!
x1 = (2 +
√
−1) + (2 −
√
−1) = 4.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
. . . gewinnt!
Neben x1 = 4 berechnet man nun
leicht die beiden
übrigen Lösungen
√
√
x2 = −2 + 3 und x3 = −2 − 3 der
Ausgangsgleichung
x 3 = 15x + 4.
Fazit: Die Cardanische Formel beschert uns ein kleines
Wunder. – Obschon die betrachtete Gleichung drei
„ordentliche“ Zahlen als Lösungen hat, treten bei deren
Berechnung komplizierte Wurzelterme auf, deren eigentliche
Bedeutung zunächst äußerst unklar bleibt. √
Insbesondere sind
wir darauf angewiesen, mit dem Ausdruck −1 zu rechnen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
. . . gewinnt!
Neben x1 = 4 berechnet man nun
leicht die beiden
übrigen Lösungen
√
√
x2 = −2 + 3 und x3 = −2 − 3 der
Ausgangsgleichung
x 3 = 15x + 4.
Fazit: Die Cardanische Formel beschert uns ein kleines
Wunder. – Obschon die betrachtete Gleichung drei
„ordentliche“ Zahlen als Lösungen hat, treten bei deren
Berechnung komplizierte Wurzelterme auf, deren eigentliche
Bedeutung zunächst äußerst unklar bleibt. √
Insbesondere sind
wir darauf angewiesen, mit dem Ausdruck −1 zu rechnen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
. . . gewinnt!
Neben x1 = 4 berechnet man nun
leicht die beiden
übrigen Lösungen
√
√
x2 = −2 + 3 und x3 = −2 − 3 der
Ausgangsgleichung
x 3 = 15x + 4.
Fazit: Die Cardanische Formel beschert uns ein kleines
Wunder. – Obschon die betrachtete Gleichung drei
„ordentliche“ Zahlen als Lösungen hat, treten bei deren
Berechnung komplizierte Wurzelterme auf, deren eigentliche
Bedeutung zunächst äußerst unklar bleibt. √
Insbesondere sind
wir darauf angewiesen, mit dem Ausdruck −1 zu rechnen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Vertraute Zahlbereiche
Der dem Menschen naheliegendste Zahlbereich ist die Menge
der sogenannten natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Das Bedürfnis, gewisse Grundrechenarten, nämlich
Addition + , Subtraktion − , Multiplikation · , Division /
unbeschränkt auszuführen, bewegt uns, zu dem erweiterten
Zahlbereich der sogenannten rationalen Zahlen Q
überzugehen. Dieser besteht aus allen mit einem Vorzeichen
279
.
versehenen Brüchen natürlicher Zahlen, wie z.B. − 311
Aber die rationalen Zahlen erweisen sich in einer neuen
Hinsicht als unvollständig!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Vertraute Zahlbereiche
Der dem Menschen naheliegendste Zahlbereich ist die Menge
der sogenannten natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Das Bedürfnis, gewisse Grundrechenarten, nämlich
Addition + , Subtraktion − , Multiplikation · , Division /
unbeschränkt auszuführen, bewegt uns, zu dem erweiterten
Zahlbereich der sogenannten rationalen Zahlen Q
überzugehen. Dieser besteht aus allen mit einem Vorzeichen
279
.
versehenen Brüchen natürlicher Zahlen, wie z.B. − 311
Aber die rationalen Zahlen erweisen sich in einer neuen
Hinsicht als unvollständig!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Vertraute Zahlbereiche
Der dem Menschen naheliegendste Zahlbereich ist die Menge
der sogenannten natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Das Bedürfnis, gewisse Grundrechenarten, nämlich
Addition + , Subtraktion − , Multiplikation · , Division /
unbeschränkt auszuführen, bewegt uns, zu dem erweiterten
Zahlbereich der sogenannten rationalen Zahlen Q
überzugehen. Dieser besteht aus allen mit einem Vorzeichen
279
.
versehenen Brüchen natürlicher Zahlen, wie z.B. − 311
Aber die rationalen Zahlen erweisen sich in einer neuen
Hinsicht als unvollständig!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Vertraute Zahlbereiche
Der dem Menschen naheliegendste Zahlbereich ist die Menge
der sogenannten natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, 4, . . .}.
Das Bedürfnis, gewisse Grundrechenarten, nämlich
Addition + , Subtraktion − , Multiplikation · , Division /
unbeschränkt auszuführen, bewegt uns, zu dem erweiterten
Zahlbereich der sogenannten rationalen Zahlen Q
überzugehen. Dieser besteht aus allen mit einem Vorzeichen
279
.
versehenen Brüchen natürlicher Zahlen, wie z.B. − 311
Aber die rationalen Zahlen erweisen sich in einer neuen
Hinsicht als unvollständig!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Trauma-Stunde der Griechen
Satz (Irrationalität von
√
2)
Es gibt keine rationale Zahl, deren
Quadrat gleich 2 ist.
Beweis.
Angenommen, x 2 = 2 für x ∈ Q.
• Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch.
• Dann ist a2 = 2b 2 eine gerade Zahl.
• Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist,
muß schon a gerade sein: a = 2a0 .
• Einsetzen liefert 4a02 = a2 = 2b 2 , also 2a02 = b 2 .
• Somit ist auch b gerade. Widerspruch!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Trauma-Stunde der Griechen
Satz (Irrationalität von
√
2)
Es gibt keine rationale Zahl, deren
Quadrat gleich 2 ist.
Beweis.
Angenommen, x 2 = 2 für x ∈ Q.
• Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch.
• Dann ist a2 = 2b 2 eine gerade Zahl.
• Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist,
muß schon a gerade sein: a = 2a0 .
• Einsetzen liefert 4a02 = a2 = 2b 2 , also 2a02 = b 2 .
• Somit ist auch b gerade. Widerspruch!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Trauma-Stunde der Griechen
Satz (Irrationalität von
√
2)
Es gibt keine rationale Zahl, deren
Quadrat gleich 2 ist.
Beweis.
Angenommen, x 2 = 2 für x ∈ Q.
• Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch.
• Dann ist a2 = 2b 2 eine gerade Zahl.
• Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist,
muß schon a gerade sein: a = 2a0 .
• Einsetzen liefert 4a02 = a2 = 2b 2 , also 2a02 = b 2 .
• Somit ist auch b gerade. Widerspruch!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Trauma-Stunde der Griechen
Satz (Irrationalität von
√
2)
Es gibt keine rationale Zahl, deren
Quadrat gleich 2 ist.
Beweis.
Angenommen, x 2 = 2 für x ∈ Q.
• Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch.
• Dann ist a2 = 2b 2 eine gerade Zahl.
• Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist,
muß schon a gerade sein: a = 2a0 .
• Einsetzen liefert 4a02 = a2 = 2b 2 , also 2a02 = b 2 .
• Somit ist auch b gerade. Widerspruch!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Trauma-Stunde der Griechen
Satz (Irrationalität von
√
2)
Es gibt keine rationale Zahl, deren
Quadrat gleich 2 ist.
Beweis.
Angenommen, x 2 = 2 für x ∈ Q.
• Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch.
• Dann ist a2 = 2b 2 eine gerade Zahl.
• Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist,
muß schon a gerade sein: a = 2a0 .
• Einsetzen liefert 4a02 = a2 = 2b 2 , also 2a02 = b 2 .
• Somit ist auch b gerade. Widerspruch!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Trauma-Stunde der Griechen
Satz (Irrationalität von
√
2)
Es gibt keine rationale Zahl, deren
Quadrat gleich 2 ist.
Beweis.
Angenommen, x 2 = 2 für x ∈ Q.
• Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch.
• Dann ist a2 = 2b 2 eine gerade Zahl.
• Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist,
muß schon a gerade sein: a = 2a0 .
• Einsetzen liefert 4a02 = a2 = 2b 2 , also 2a02 = b 2 .
• Somit ist auch b gerade. Widerspruch!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Trauma-Stunde der Griechen
Satz (Irrationalität von
√
2)
Es gibt keine rationale Zahl, deren
Quadrat gleich 2 ist.
Beweis.
Angenommen, x 2 = 2 für x ∈ Q.
• Schreibe x = a/b als gekürzten Bruch.
• Dann ist a2 = 2b 2 eine gerade Zahl.
• Da das Quadrat einer ungeraden Zahl stets ungerade ist,
muß schon a gerade sein: a = 2a0 .
• Einsetzen liefert 4a02 = a2 = 2b 2 , also 2a02 = b 2 .
• Somit ist auch b gerade. Widerspruch!
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Das Kontinuum
Unserer natürlichen Zeit- und Raumerfahrung entspricht ein
kontinuierliches Zahlenspektrum. Dieses ist durch die
sogenannten reellen Zahlen gegeben, also durch
Fließkommazahlen wie zum Beispiel
√
2 = 1.41421356 . . . oder π = 3.14159265 . . .
Die reellen Zahlen R stellen wir uns
geometrisch als eine in beide Richtungen
endlose Zahlengerade vor.
Neben den vier Grundrechenarten, die auf R uneingeschränkt
ausführbar sind, können wir Wurzeln ziehen, beispielsweise
Quadratwurzeln aus allen nicht-negativen reellen Zahlen und
Kubikwurzeln aus beliebigen reellen Zahlen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Das Kontinuum
Unserer natürlichen Zeit- und Raumerfahrung entspricht ein
kontinuierliches Zahlenspektrum. Dieses ist durch die
sogenannten reellen Zahlen gegeben, also durch
Fließkommazahlen wie zum Beispiel
√
2 = 1.41421356 . . . oder π = 3.14159265 . . .
Die reellen Zahlen R stellen wir uns
geometrisch als eine in beide Richtungen
endlose Zahlengerade vor.
Neben den vier Grundrechenarten, die auf R uneingeschränkt
ausführbar sind, können wir Wurzeln ziehen, beispielsweise
Quadratwurzeln aus allen nicht-negativen reellen Zahlen und
Kubikwurzeln aus beliebigen reellen Zahlen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Das Kontinuum
Unserer natürlichen Zeit- und Raumerfahrung entspricht ein
kontinuierliches Zahlenspektrum. Dieses ist durch die
sogenannten reellen Zahlen gegeben, also durch
Fließkommazahlen wie zum Beispiel
√
2 = 1.41421356 . . . oder π = 3.14159265 . . .
Die reellen Zahlen R stellen wir uns
geometrisch als eine in beide Richtungen
endlose Zahlengerade vor.
Neben den vier Grundrechenarten, die auf R uneingeschränkt
ausführbar sind, können wir Wurzeln ziehen, beispielsweise
Quadratwurzeln aus allen nicht-negativen reellen Zahlen und
Kubikwurzeln aus beliebigen reellen Zahlen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Das Kontinuum
Unserer natürlichen Zeit- und Raumerfahrung entspricht ein
kontinuierliches Zahlenspektrum. Dieses ist durch die
sogenannten reellen Zahlen gegeben, also durch
Fließkommazahlen wie zum Beispiel
√
2 = 1.41421356 . . . oder π = 3.14159265 . . .
Die reellen Zahlen R stellen wir uns
geometrisch als eine in beide Richtungen
endlose Zahlengerade vor.
Neben den vier Grundrechenarten, die auf R uneingeschränkt
ausführbar sind, können wir Wurzeln ziehen, beispielsweise
Quadratwurzeln aus allen nicht-negativen reellen Zahlen und
Kubikwurzeln aus beliebigen reellen Zahlen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratische Ergänzung
Eine Lösungsformel für die quadratische Gleichung
x 2 + px + q = 0
erhält man durch quadratische Ergänzung:
x+
p 2
p2
= x 2 + px +
+ (q − q)
2
4
p2
p2
= (x 2 + px + q) +
−q =
−q
4
4
und somit
x1,2
p
=− ±
2
r
p2
− q.
4
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratische Ergänzung
Eine Lösungsformel für die quadratische Gleichung
x 2 + px + q = 0
erhält man durch quadratische Ergänzung:
x+
p 2
p2
= x 2 + px +
+ (q − q)
2
4
p2
p2
= (x 2 + px + q) +
−q =
−q
4
4
und somit
x1,2
p
=− ±
2
r
p2
− q.
4
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratische Ergänzung
Eine Lösungsformel für die quadratische Gleichung
x 2 + px + q = 0
erhält man durch quadratische Ergänzung:
x+
p 2
p2
= x 2 + px +
+ (q − q)
2
4
p2
p2
= (x 2 + px + q) +
−q =
−q
4
4
und somit
x1,2
p
=− ±
2
r
p2
− q.
4
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratische Ergänzung
Eine Lösungsformel für die quadratische Gleichung
x 2 + px + q = 0
erhält man durch quadratische Ergänzung:
x+
p 2
p2
= x 2 + px +
+ (q − q)
2
4
p2
p2
= (x 2 + px + q) +
−q =
−q
4
4
und somit
x1,2
p
=− ±
2
r
p2
− q.
4
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen?
Bei der Anwendung der Formel
x1,2 = −
p √
± D
2
mit
D=
p2
−q
4
für gegebene reelle Parameter p, q treten in
Abhängigkeit von D = D(p, q) im
wesentlichen drei Fälle auf.
• Ist D > 0, so gibt es zwei reelle Lösungen x1 6= x2 .
• Ist D = 0, so fallen x1 und x2 zu einer einzigen reellen
Lösung zusammen.
• Ist D < 0, so gibt es keine reellen Lösungen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen?
Bei der Anwendung der Formel
x1,2 = −
p √
± D
2
mit
D=
p2
−q
4
für gegebene reelle Parameter p, q treten in
Abhängigkeit von D = D(p, q) im
wesentlichen drei Fälle auf.
• Ist D > 0, so gibt es zwei reelle Lösungen x1 6= x2 .
• Ist D = 0, so fallen x1 und x2 zu einer einzigen reellen
Lösung zusammen.
• Ist D < 0, so gibt es keine reellen Lösungen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen?
Bei der Anwendung der Formel
x1,2 = −
p √
± D
2
mit
D=
p2
−q
4
für gegebene reelle Parameter p, q treten in
Abhängigkeit von D = D(p, q) im
wesentlichen drei Fälle auf.
• Ist D > 0, so gibt es zwei reelle Lösungen x1 6= x2 .
• Ist D = 0, so fallen x1 und x2 zu einer einzigen reellen
Lösung zusammen.
• Ist D < 0, so gibt es keine reellen Lösungen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen?
Bei der Anwendung der Formel
x1,2 = −
p √
± D
2
mit
D=
p2
−q
4
für gegebene reelle Parameter p, q treten in
Abhängigkeit von D = D(p, q) im
wesentlichen drei Fälle auf.
• Ist D > 0, so gibt es zwei reelle Lösungen x1 6= x2 .
• Ist D = 0, so fallen x1 und x2 zu einer einzigen reellen
Lösung zusammen.
• Ist D < 0, so gibt es keine reellen Lösungen.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Die Gaußsche Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßt sich zur sogenannten
Gaußschen Zahlenebene C erweitern. Sie besteht
aus allen formalen Ausdrücken x + yi mit x, y ∈ R,
den sogenannten komplexen Zahlen.
Das
√ Symbol i heißt imaginäre Einheit und wird als
−1 interpretiert:
imaginäre Achse
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Mit komplexen Zahlen läßt sich
unter Beachtung der Regel
i 2 = −1 wunderbar rechnen:
Die vier Grundrechenarten
setzen sich von R auf C fort
und erlauben eine
geometrische Beschreibung.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Die Gaußsche Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßt sich zur sogenannten
Gaußschen Zahlenebene C erweitern. Sie besteht
aus allen formalen Ausdrücken x + yi mit x, y ∈ R,
den sogenannten komplexen Zahlen.
Das
√ Symbol i heißt imaginäre Einheit und wird als
−1 interpretiert:
imaginäre Achse
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Mit komplexen Zahlen läßt sich
unter Beachtung der Regel
i 2 = −1 wunderbar rechnen:
Die vier Grundrechenarten
setzen sich von R auf C fort
und erlauben eine
geometrische Beschreibung.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Die Gaußsche Zahlenebene
Die reelle Zahlengerade R läßt sich zur sogenannten
Gaußschen Zahlenebene C erweitern. Sie besteht
aus allen formalen Ausdrücken x + yi mit x, y ∈ R,
den sogenannten komplexen Zahlen.
Das
√ Symbol i heißt imaginäre Einheit und wird als
−1 interpretiert:
imaginäre Achse
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Mit komplexen Zahlen läßt sich
unter Beachtung der Regel
i 2 = −1 wunderbar rechnen:
Die vier Grundrechenarten
setzen sich von R auf C fort
und erlauben eine
geometrische Beschreibung.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Komplexe Zahlen aus der Steckdose
Elektrischer Wechselstrom läßt sich
vorteilhaft unter Verwendung komplexer
Zahlen beschreiben.
Die gemessene Spannung entspricht dabei dem Realteil der
komplexen Spannungszahl, Phasenverschiebungen
entsprechen Winkeldifferenzen der zugehörigen komplexen
Größen etc.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
Jeder komplexen Zahl z sind
eine Länge lz und eine
Winkelrichtung ϕz zugeordnet,
die wiederum z eindeutig
bestimmen. Die Länge lz ist
eine nicht-negative reelle Zahl;
die Winkelrichtung ϕz kann z. B. in Grad gemessen werden
und erfüllt dann 0 ≤ ϕz < 360.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ergibt sich, indem man
ihre Längen multipliziert und ihre Winkelrichtungen addiert.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
i
~ 53 Grad
−1
1
2
3
−1
1
2
3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
z w = 3.5 + 0.75 i
~ 3.6
−1
1
2
3
−1
1
w = 1 − 0.5 i
−i
2
3
~ 1.3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
6
w = 24
Ist z 6= 0 eine komplexe Zahl, so gibt es für
jedes n ∈ N somit genau n komplexe Zahlen
w1 , . . . , wn , die die Gleichung w n = z lösen.
w3
w2
i
w1
w4
−1
2
1
−i
w5
w6
reelle Achse
3
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
Jeder komplexen Zahl z sind
eine Länge lz und eine
Winkelrichtung ϕz zugeordnet,
die wiederum z eindeutig
bestimmen. Die Länge lz ist
eine nicht-negative reelle Zahl;
die Winkelrichtung ϕz kann z. B. in Grad gemessen werden
und erfüllt dann 0 ≤ ϕz < 360.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ergibt sich, indem man
ihre Längen multipliziert und ihre Winkelrichtungen addiert.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
i
~ 53 Grad
−1
1
2
3
−1
1
2
3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
z w = 3.5 + 0.75 i
~ 3.6
−1
1
2
3
−1
1
w = 1 − 0.5 i
−i
2
3
~ 1.3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
6
w = 24
Ist z 6= 0 eine komplexe Zahl, so gibt es für
jedes n ∈ N somit genau n komplexe Zahlen
w1 , . . . , wn , die die Gleichung w n = z lösen.
w3
w2
i
w1
w4
−1
2
1
−i
w5
w6
reelle Achse
3
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
Jeder komplexen Zahl z sind
eine Länge lz und eine
Winkelrichtung ϕz zugeordnet,
die wiederum z eindeutig
bestimmen. Die Länge lz ist
eine nicht-negative reelle Zahl;
die Winkelrichtung ϕz kann z. B. in Grad gemessen werden
und erfüllt dann 0 ≤ ϕz < 360.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ergibt sich, indem man
ihre Längen multipliziert und ihre Winkelrichtungen addiert.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
i
~ 53 Grad
−1
1
2
3
−1
1
2
3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
z w = 3.5 + 0.75 i
~ 3.6
−1
1
2
3
−1
1
w = 1 − 0.5 i
−i
2
3
~ 1.3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
6
w = 24
Ist z 6= 0 eine komplexe Zahl, so gibt es für
jedes n ∈ N somit genau n komplexe Zahlen
w1 , . . . , wn , die die Gleichung w n = z lösen.
w3
w2
i
w1
w4
−1
2
1
−i
w5
w6
reelle Achse
3
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
Jeder komplexen Zahl z sind
eine Länge lz und eine
Winkelrichtung ϕz zugeordnet,
die wiederum z eindeutig
bestimmen. Die Länge lz ist
eine nicht-negative reelle Zahl;
die Winkelrichtung ϕz kann z. B. in Grad gemessen werden
und erfüllt dann 0 ≤ ϕz < 360.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen ergibt sich, indem man
ihre Längen multipliziert und ihre Winkelrichtungen addiert.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
i
~ 53 Grad
−1
1
2
3
−1
1
2
3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
z w = 3.5 + 0.75 i
~ 3.6
−1
1
2
3
−1
1
w = 1 − 0.5 i
−i
2
3
~ 1.3
reelle Achse
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
6
w = 24
Ist z 6= 0 eine komplexe Zahl, so gibt es für
jedes n ∈ N somit genau n komplexe Zahlen
w1 , . . . , wn , die die Gleichung w n = z lösen.
w3
w2
i
w1
w4
−1
2
1
−i
w5
w6
reelle Achse
3
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Reductio ad absurdum
Lagrange analysiert 1771 die bekannten
Lösungsverfahren und resümiert, es sei „sehr
zweifelhaft, daß die [. . . ] Methoden eine vollständige
Auflösung der Gleichungen fünften Grades geben
können, um so weniger höheren Grades“.
Gauß schreibt 1801, im Zusammenhang mit der Konstruktion
regelmäßiger Vielecke: „. . . es bleibt kaum zweifelhaft, daß
dieses Problem nicht sowohl die Kräfte der heutigen Analysis
übersteigt, als vielmehr etwas Unmögliches erreichen will.“
Satz (Niels Henrik Abel 1824)
Es ist unmöglich die allgemeine Gleichung
fünften Grades durch Wurzelausdrücke zu
lösen.
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Reductio ad absurdum
Lagrange analysiert 1771 die bekannten
Lösungsverfahren und resümiert, es sei „sehr
zweifelhaft, daß die [. . . ] Methoden eine vollständige
Auflösung der Gleichungen fünften Grades geben
können, um so weniger höheren Grades“.
Gauß schreibt 1801, im Zusammenhang mit der Konstruktion
regelmäßiger Vielecke: „. . . es bleibt kaum zweifelhaft, daß
dieses Problem nicht sowohl die Kräfte der heutigen Analysis
übersteigt, als vielmehr etwas Unmögliches erreichen will.“
Satz (Niels Henrik Abel 1824)
Es ist unmöglich die allgemeine Gleichung
fünften Grades durch Wurzelausdrücke zu
lösen.
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Reductio ad absurdum
Lagrange analysiert 1771 die bekannten
Lösungsverfahren und resümiert, es sei „sehr
zweifelhaft, daß die [. . . ] Methoden eine vollständige
Auflösung der Gleichungen fünften Grades geben
können, um so weniger höheren Grades“.
Gauß schreibt 1801, im Zusammenhang mit der Konstruktion
regelmäßiger Vielecke: „. . . es bleibt kaum zweifelhaft, daß
dieses Problem nicht sowohl die Kräfte der heutigen Analysis
übersteigt, als vielmehr etwas Unmögliches erreichen will.“
Satz (Niels Henrik Abel 1824)
Es ist unmöglich die allgemeine Gleichung
fünften Grades durch Wurzelausdrücke zu
lösen.
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Auf die Vertauschungen kommt es an . . .
Wie entscheiden wir nun, ob eine spezielle Gleichung sich
durch Wurzelausdrücke lösen läßt?
Die Koeffizienten a1 , . . . , an einer Gleichung
x n + a1 x n−1 + . . . + an−1 x + an
=
0
lassen sich als symmetrische Polynome in
den gesuchten Lösungen darstellen.
Um umgekehrt diese Lösungen x1 , . . . , xn mit Hilfe von
a1 , . . . , an zu bestimmen, bedarf es einer Methode, um
Symmetrien zu brechen. Dies kann zum Beispiel durch das
Ziehen von Wurzeln geschehen.
Lagrange erkannte, daß es dabei vorteilhaft ist, gewisse
Vertauschungen der gesuchten Lösungen zu betrachten.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Auf die Vertauschungen kommt es an . . .
Wie entscheiden wir nun, ob eine spezielle Gleichung sich
durch Wurzelausdrücke lösen läßt?
Die Koeffizienten a1 , . . . , an einer Gleichung
x n + a1 x n−1 + . . . + an−1 x + an
=
0
lassen sich als symmetrische Polynome in
den gesuchten Lösungen darstellen.
Um umgekehrt diese Lösungen x1 , . . . , xn mit Hilfe von
a1 , . . . , an zu bestimmen, bedarf es einer Methode, um
Symmetrien zu brechen. Dies kann zum Beispiel durch das
Ziehen von Wurzeln geschehen.
Lagrange erkannte, daß es dabei vorteilhaft ist, gewisse
Vertauschungen der gesuchten Lösungen zu betrachten.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Auf die Vertauschungen kommt es an . . .
Wie entscheiden wir nun, ob eine spezielle Gleichung sich
durch Wurzelausdrücke lösen läßt?
Die Koeffizienten a1 , . . . , an einer Gleichung
x n + a1 x n−1 + . . . + an−1 x + an
=
0
lassen sich als symmetrische Polynome in
den gesuchten Lösungen darstellen.
Um umgekehrt diese Lösungen x1 , . . . , xn mit Hilfe von
a1 , . . . , an zu bestimmen, bedarf es einer Methode, um
Symmetrien zu brechen. Dies kann zum Beispiel durch das
Ziehen von Wurzeln geschehen.
Lagrange erkannte, daß es dabei vorteilhaft ist, gewisse
Vertauschungen der gesuchten Lösungen zu betrachten.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Auf die Vertauschungen kommt es an . . .
Wie entscheiden wir nun, ob eine spezielle Gleichung sich
durch Wurzelausdrücke lösen läßt?
Die Koeffizienten a1 , . . . , an einer Gleichung
x n + a1 x n−1 + . . . + an−1 x + an
=
0
lassen sich als symmetrische Polynome in
den gesuchten Lösungen darstellen.
Um umgekehrt diese Lösungen x1 , . . . , xn mit Hilfe von
a1 , . . . , an zu bestimmen, bedarf es einer Methode, um
Symmetrien zu brechen. Dies kann zum Beispiel durch das
Ziehen von Wurzeln geschehen.
Lagrange erkannte, daß es dabei vorteilhaft ist, gewisse
Vertauschungen der gesuchten Lösungen zu betrachten.
Ende
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Mit Symmetrien rechnen
Évariste Galois (1811–32) entdeckte, daß jede
vorgegebene Gleichung unter allen möglichen
Permutationen der gesuchten Lösungen eine
gewisse endliche Gruppe von
Vertauschungsabbildungen auszeichnet.
Mit Vertauschungen kann man wie mit Zahlen rechnen. Diese
Form der Multiplikation gibt der ausgezeichneten Gruppe die
entscheidende Struktur: An ihr läßt sich ablesen, ob die
Anfangsgleichung durch Wurzelausdrücke gelöst werden kann.
Ein erstaunlicher Erfolg der jüngeren Mathematikgeschichte
besteht in der vollständigen Klassifikation aller endlichen
Gruppen, die sich nicht in kleinere Bestandteile zerlegen.
nochmals Holmes . . .
play
stop
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Mit Symmetrien rechnen
Évariste Galois (1811–32) entdeckte, daß jede
vorgegebene Gleichung unter allen möglichen
Permutationen der gesuchten Lösungen eine
gewisse endliche Gruppe von
Vertauschungsabbildungen auszeichnet.
Mit Vertauschungen kann man wie mit Zahlen rechnen. Diese
Form der Multiplikation gibt der ausgezeichneten Gruppe die
entscheidende Struktur: An ihr läßt sich ablesen, ob die
Anfangsgleichung durch Wurzelausdrücke gelöst werden kann.
Ein erstaunlicher Erfolg der jüngeren Mathematikgeschichte
besteht in der vollständigen Klassifikation aller endlichen
Gruppen, die sich nicht in kleinere Bestandteile zerlegen.
nochmals Holmes . . .
play
stop
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Mit Symmetrien rechnen
Évariste Galois (1811–32) entdeckte, daß jede
vorgegebene Gleichung unter allen möglichen
Permutationen der gesuchten Lösungen eine
gewisse endliche Gruppe von
Vertauschungsabbildungen auszeichnet.
Mit Vertauschungen kann man wie mit Zahlen rechnen. Diese
Form der Multiplikation gibt der ausgezeichneten Gruppe die
entscheidende Struktur: An ihr läßt sich ablesen, ob die
Anfangsgleichung durch Wurzelausdrücke gelöst werden kann.
Ein erstaunlicher Erfolg der jüngeren Mathematikgeschichte
besteht in der vollständigen Klassifikation aller endlichen
Gruppen, die sich nicht in kleinere Bestandteile zerlegen.
nochmals Holmes . . .
play
stop
Cardanische Formel
Probe aufs Exempel
Komplexe Welten
Ende
Vielen Dank
für Ihre Aufmerksamkeit
Die Präsentationsfolien werde ich bereitstellen unter
http://www.math.uni-duesseldorf.de/∼klopsch/
mathematics/publications.html
Ende
Anhang mit Bildern und Graphiken
Einen Schritt weiter
Quadratische Gleichungen
. . . gewinnt!
Trauma-Stunde der Griechen
√
2 = 1.414
Das Kontinuum
Quadratwurzeln aus negativen Zahlen?
Die Gaußsche Zahlenebene
imaginäre Achse
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
−i
Die Gaußsche Zahlenebene
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Die Gaußsche Zahlenebene
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
w = 1 − 0.5 i
−i
Die Gaußsche Zahlenebene
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
~ 53 Grad
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
−i
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
w = 1 − 0.5 i
−i
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
~ 3.2
i
z w = 3.5 + 0.75 i
~ 3.6
−1
1
~ 1.3
w = 1 − 0.5 i
−i
2
3
reelle Achse
ungen addiert.
Multiplikation und Wurzelziehen
imaginäre Achse
6
w = 24
w3
w2
i
w1
w4
−1
2
1
−i
w5
w6
reelle Achse
3