Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen Gleichungen der Form: ax² + bx + c = 0 wobei a,b,c, relle Zahlen sind (window: standard) Was kann das alles sein? Wir schauen uns das grafisch am TR an, zeichne die Skizzen, siehe 1. Beispiel…. Die Lösungen sind die x‐WERTE der Schnittpunkte mit der x‐Achse (=Nullstellen), Schreibe die Lösungen dazu, es kommen die folgenden Fälle vor: keine Lösung, 1 Lösung, 2 Lösungen! ‐2x² +3= 0 ( a = ‐2, b = 0, c = 3) 2x² + 3x = 0 ( a = 2, b = 3, c = 0) 2x² +3= 0 ( a = 2, b= 0,c=+3) x1= x2= x1= x2= x1= … x2=… keine! keine Lösung, schneidet x‐Achse nicht ‐2x² ‐3x = 0 (a = ‐2, b = ‐3, c = 0) 2x² + 3x – 6 = 0 (a=2, b=3, c=‐6) x1= x2= x1= x2= ‐2x² ‐3x ‐6 = 0(a =‐2, b=‐3, c=‐6) x1= x2= 1. Sonderform: Rein quadratisch b = 0 ax² + c = 0 Mit Wurzel lösbar: 2x² ‐ 8 = 0 |: 2 x² ‐ 4 = 0| + 4 x² = 4| Wurzelziehen x1 = 2 und x2 = ‐2 ….. 2 reelle Lösungen 2x² + 8 = 0 |: 2 x² + 4 = 0| + 4 x² = ‐4| Wurzelziehen Die Wurzel aus einer negativen Zahl ist nicht reell! Man kann keine Zahl mit sich selbst multiplizieren (= quadrieren) und das Ergebnis ist negativ!!! ERFINDUNG – etwas, was es nicht gibt (Imagination!): i = √ 1 und i² = ‐1…imaginäre Einheit Unsere Gleichung hat dann auch 2 Lösungen, allerdings keine reellen sondern 2 imaginäre: x1 = 2i und x2 = ‐2i Die rein quadratische Gleichung hat immer 2 Lösungen, die man über Wurzelziehen erhält. die Lösungen sind entweder beide reell oder beide imaginär. Grafisch: 2 reelle Lösungen  2 Schnittpunkte mit der x‐Achse 2 imaginäre Lösungen keine Schnittpunkte HÜ: http://wessenberg.heim.at/hw‐amst/hw2/quadgl/QuadratischeFunktionen.pdf 2. Sonderform: gemischt quadratisch mit c = 0 2x² ‐ 8x = 0, x‐herausheben, x  (2x‐8) = 0, NULLPRODUKT Überlegung: eine Multiplikation wird nie = 0, außer, wenn einer der beiden ODER beide Faktoren = 0 ist / sind. Daher kann entweder x = 0 eine Lösung ergeben oder (2x‐8) = 0! Die 2. Gleichung kann man auflösen und bekommt 2x = 8  x= 4 Wir haben 2 Lösungen x1 = 0 und x2 = 4 Überprüfe grafisch: Die gemischt quadratische Gleichung mit c = 0 hat immer 2 reelle Lösungen, wobei immer x1 = 0. 3. Die allgemeine Form, a,b,c, nicht 0 ax² + bx + c = 0 a,b,c, Є R Hier kann man weder Wurzelziehen noch herausheben! aber mit einem Trick so umformen, dass das Wurzelziehen möglich ist. Das führt auf eine Formel, die man sich merken kann: Bsp: 2x² ‐8x +4 = 0 , a = 2, b = ‐8, c = 4 Die Grafik zeigt 2 reelle Lösungen. wie bekommt man sie rechnerisch: 2nd CALC intersect mit y=0 oder 2nd CALC ZERO oder mit Solver. Oder durch Umformen: 2x² ‐8x +4 = 0 div durch 2 x² ‐ 4x + 2 = 0 sieht fast wie ein Binom aus! x² ‐ 4x = ‐2 wir ergänzen zu einem Binom – beide Seiten der Gleichung + 4 x² ‐ 4x + 4 = ‐2 + 4 (x‐2)² = 2 jetzt kann man Wurzelziehen: x‐2 = 1,42 und ‐1,42 …2 Lösungen! Auflösen: x1 = 3,42, x2 = 0,59 siehe Grafik! weil man diese Tricks nicht jedes Mal neu anwenden möchte, deshalb entwickelt man eine allgemein gültige Formel. Man führt die gleiche Rechnung einmal aus mit a.b.c. und dann kann man in das Ergebnis in Zukunft einfach einsetzen. Wer will, kann die Ableitung nachvollziehen, wer nicht will, muss sich die Formel merken. Die Lösungsfälle: 2 reelle: Grafik hat 2 Schnittpunkte mit der x‐Achse 2x² ‐8x +4 = 0  Zahl unter der Wurzel (DISKRIMINANTE) positiv
8  64  4  2  4 8  32
x1,2 

 3,41und 0,59 2 2
4
keine reelle aber 2 komplexe: Grafik hat keine Schnittpunkte mit der x‐Achse eine komplexe Zahl (Menge C) ist eine Summe aus eine reellen und einer imaginären Zahl zB 2 – 3i oder 0,5 + 4i usw. 2x² ‐ 8x + 20 = 0  Zahl unter der Wurzel (DISKRIMINANTE) negativ 8  64  4  2  20 8  96
x1,2 

 2  2,45i und 2  2,45i 2 2
4
1 reelle Lösung Grafik berührt die x‐Achse 2x² ‐ 8x + 8= 0  Zahl unter der Wurzel = 0 8  64  4  2  8 8
 2 x 
2 2
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