Stunde 6

Übersicht
Folgen, Konvergenz von Folgen
Mathematische Anwendersysteme
Einführung in MuPAD
Realisierung in MuPAD
Reihen, Konvergenzkriterien
Tag 6
Folgen
Konvergenzkriterien
Reihen
Potenzreihen
21.2.2005
Folgen
Potenzreihen
Exponentialfunktion, Logarithmus, Sinus,
Cosinus, Tangens
Gerd Rapin
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.1/??
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.2/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.3/??
Bemerkungen
Konvergenz von Folgen
Konvergiert eine Folge gegen , so nennt man
sie eine Nullfolge.
Folgen
Gerd Rapin
Eine reelle Zahlenfolge kurz Folge genannt, ist
eine Abbildung von in .
einer konvergenten Teilfolge
heißt Häufungspunkt.
Der Grenzwert
mit
Statt
schreibt man in Anlehnung an
die Vektornotation
.
Eine Zahlenfolge
ist konvergent gegen den
Grenzwert oder Limes
, wenn es zu jedem
ein
gibt, so dass für alle
die
Abschätzung
Eine Cauchy-Folge ist eine Folge
bei der
ein
existiert, so dass für alle
für alle
gilt:
.
In ist eine Folge konvergent, genau dann wenn
sie eine Cauchy-Folge ist (Vollständigkeit).
Natürlich kann man auch Folgen
auf
beliebigen Mengen betrachten. Aber wir
beschränken uns auf den Fall
.
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.4/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
# "
Gerd Rapin
ist definiert durch
.
*
von
) ) (
– p.5/??
% $
'
Eine -Umgebung
% $
&
Eine Teilfolge
ist eine Abb.
,
wobei
eine Menge mit unendlich vielen
Elementen ist.
Eine nicht konvergente Folge nennt man divergent.
heißen Glieder der Folge.
Die Zahlen
!
gilt. Man schreibt
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.6/??
Konvergenzkriterien
Wichtige Sätze
Gerd Rapin
konvergente Folgen, so ist
konvergent mit dem
konvergente Folgen, so ist
konvergent mit dem
– p.7/??
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Gerd Rapin
,
Sind
und
auch die Folge
Grenzwert
.
Weglassen oder Hinzufügen endlich vieler
Glieder verändert das Konvergenzverhalten
nicht.
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.8/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.9/??
Rekursive Folgen
Rekursive Folgen können durch rec erzeugt
werden. Durch solve kann eine explizite
Darstellung berechnet werden.
(Bolzano-Weierstrass) Jede beschränkte Folge
besitzt eine konvergente Teilfolge.
Jede Teilfolge einer konvergenten Folge
konvergiert gegen den Grenzwert der
ursprünglichen Folge.
(
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.10/??
Gerd Rapin
*
(
Gerd Rapin
mit
konvergiert mit
konvergente Folgen mit
. Dann gilt für eine Folge
,
, dass sie
.
und
Seien
*
>> gl:=rec(y(n+2)=2*y(n+1)-y(n)+2,y(n),
y(0)=-1, y(1)=a ):
>> solve(gl)
2
a n + n - 1
Jede konvergente Folge ist beschränkt, d.h. es
gibt ein
, so dass
gilt für alle
.
Reihen
Beispiel:
konvergieren und
und
,
>> limit(1/(n+1),n=infinity)
0
>> limit(((n+2)/(n+1))ˆ(n+1),n=infinity)
exp(1)
>> limit((-1)ˆn,n=infinity)
n
limit((-1) , n = infinity)
>> limit(2ˆn,n=infinity)
infinity
>> limit(sin(n),n=infinity)
[-1, 1]
divergieren.
Sind
und
auch die Folge
Grenzwert
Jede monotone, beschränkte Folge konvergiert.
Grenzwerte von Folgen
können mit Hilfe von
limit(a(n),n=infinity)
berechnet werden.
ist dabei ein Ausdruck.
MuPAD
Beispiele
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.11/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.12/??
Bemerkungen
Beispiele
#
)
) )
)
)
)
konvergiert gegen
.
.
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.13/??
Beispiele
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.14/??
Der Befehl sum(f,i=a..b) sucht eine
geschlossene Darstellung der Summe
.
Dabei sind , ganze Zahlen, wobei auch unendlich
(also infinity) erlaubt ist. f ist ein Ausdruck in .
>> sum(1/iˆ2,i=1..infinity)
2
PI
--6
>> sum((-1)ˆ(i+1)/i,i=1..infinity)
ln(2)
>> sum(1/i,i=1..infinity)
infinity
divergiert.
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.16/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Entsprechend gibt es keine geschlossene Form. Für
gilt jedoch
>> x:=1/2: sum(xˆi,i=0..infinity)
2
und
)
konvergiert für
.
>> sum(xˆi,i=0..infinity)
infinty
x x
- 1
-------------x - 1
.
konvergiert für
Die Reihe
divergiert für
Die Reihe
– p.15/??
Oft ist die Konvergenz einer Reihe abhängig von
bestimmten Parametern, wie z.B. bei der
geometrischen Reihe. Und je nach Parameterwert
zeigt die Reihe unterschiedliches
Konvergenzverhalten
Die alternierende harmonische Reihe
konvergiert.
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Reihen mit MuPAD
Die harmonische Reihe
Reihen mit MuPAD
Gerd Rapin
Die Reihe
Reihen sind eine spezielle Art von Folgen.
) Also divergiert die Reihe für
und
konvergiert für
mit dem Wert
.
Gerd Rapin
falls
falls
Die geometrische Reihe ist gegeben durch
. Die Partialsummen lauten
Bei Abänderung, Weglassen oder Hinzufügen
endlich vieler Glieder bleiben Konvergenz und
Divergenz unberührt. I.A. wird sich aber der
Grenzwert ändern.
der Partialsummen
.
Der Grenzwert der Folge
wird als Wert oder
Summe der Reihe bezeichnet. Man schreibt
ist definiert durch die Folge
"
Sei
eine Folge reeller Zahlen. Eine
(unendliche) Reihe mit den Gliedern , in Zeichen
)
Beginnt die Indizierung statt bei mit einer
anderen ganzen Zahl , so wird
entsprechend eingeführt.
Reihen
– p.17/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.18/??
assume
Etwas mehr MuPAD II
Mit der Funktion assume kann man Funktionen wie
expand, simplify oder solve mitteilen, dass für
gewisse Bezeichner Annahmen über ihre Bedeutung
gemacht wurden.
Beispiele:
wird auf
eingeschränkt!
wird auf
eingeschränkt!
)
Einschränken des Bereichs für
assume(x>a)
assume(x,Type::Real)
n
x x - 1
-------x - 1
> limit(s,n=infinity)
infinity
x x
- 1
--------------x - 1
>> delete x
>> s:=sum(xˆi,i=0..n)
Bestimmen des Grenzwertes der Folge der
Partialsummen
Definieren der Partialsumme
Etwas mehr MuPAD
Die ersten
Glieder der Partialsumme
>> assume(x<1), assume(x>-1,_and)
< 1, ]-1, 1[
>> limit(s,n=infinity)
1
- ----x - 1
>> s $ n=1..5
2
3
4
5
6
x - 1 x - 1 x - 1 x - 1 x - 1
------, ------, ------, ------, -----x - 1
x - 1
x - 1
x - 1
x - 1
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Möchte man für einen Bezeichner mehrere Annah-
– p.19/??
Bemerkungen
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
men machen, so hilft die Option _and (siehe oben).
Ruft man assume für einen Bezeichner auf, wird ansonsten die erste Annahme überschrieben.
– p.20/??
Beispiele zu assume
2 1/2
(x )
>> c:=2: getprop(c)
2
>> assume(c>0)
Error: wrong relation [property::setrel]
>> delete c: assume(c,Type::Integer)
Type::Integer
>> getprop(c)
Type::Integer
>> assume(x>0)
> 0
>> sqrt(xˆ2)
x
>> simplify(ln(exp(x)))
ln(exp(x))
>> assume(x>0):
>> simplify(ln(exp(x)))
x
>> assume(x,Type::Integer):
>> solve((x-1)*(x+1.5),x)
1
Durch getprop(a) können die Annahmen des
Typs ermittelt werden.
Durch den speziellen Bezeichner Global
können Annahmen für alle Bezeichner gesteuert
werden.
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.22/??
– p.21/??
>> sqrt(xˆ2)
c
Mittels unassume(a) werden Annahmen bzgl.
des Typs von a gelöscht.
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Beispiele zu assume
>> getprop(c)
Umformungen oder Vereinfachungen für
symbolische Bezeichner werden i.A. nur dann
durchgeführt, wenn sie auf der gesamten
komplexen Ebene gelten. Hier kann ein
Einschränken des Definitionsbereichs helfen.
Gerd Rapin
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.23/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.24/??
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.26/??
– p.27/??
Absolut konvergente Reihen können beliebig
umgeordnet werden.
>>
>>
>>
>>
(Leibnizsches Kriterium) Die Reihe
konvergiert, wenn die Folge
eine monoton
fallende Nullfolge ist.
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Eine Reihe
heißt absolut konvergent genau
dann wenn
konvergiert.
Eine konvergente, aber nicht absolut konvergente
Reihe heißt bedingt konvergent.
>> f:= n -> nˆ4*exp(-n*n):
>> g:=f(n+1)/f(n):
>> limit(g,n=infinity)
0
Betrachte
Betrache
Gerd Rapin
Absolute und bedingte
Konvergenz
konvergiert, wenn...
*
(
Gerd Rapin
Beispiele
(Wurzelkriterium) die Glieder positiv sind und ein
existiert, so dass für
gilt
.
Gerd Rapin
!"
#
– p.25/??
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
(Quotientenkriterium) die Glieder positiv sind und
ein
existiert, so dass für
gilt
.
Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern
dagegen eine divergente Minorante, so divergiert
sie.
(Verdichtungskriterium) Eine Reihe
mit
einer Folge nichtnegativer, monoton fallender
Glieder konvergiert genau dann, wenn die Reihe
konvergiert.
,
Grundbereich
, so nennt
eine
Besitzt eine Reihe mit nichtnegativen Gliedern
eine konvergente Majorante, so konvergiert sie.
Konvergiert eine Reihe, so bilden ihre Glieder
eine Nullfolge.
Primzahlen
Konvergenzkriterien
Die Reihe
Gilt
für alle
eine Minorante und
man
Majorante von
.
(Cauchykriterium) Eine Reihe
konvergiert genau dann, wenn es zu jedem
ein
gibt, so dass für alle
gilt
.
Erklärung
Gerd Rapin
Majorantenkriterium
Grundbereich
Type::Real
Type::Rational
Type::Integer
Type::Prime
Type::
Intervall(a,b,T)
Type::Positive
Type::NonZero
Type::NegRat
Konvergenzkriterien
Einige Grundbereiche
– p.28/??
f:= n -> 1/(n*(ln(n)ˆ2)):
g:=n-> 2ˆn*f(2ˆn):
h:=n-> 2ˆn*g(2ˆn):
limit(h(n+1)/h(n),n=infinity)
1/2
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.29/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.30/??
Bemerkungen
Potenzreihen
Für den Konvergenzradius gilt auch
.
Potenzreihen konvergieren innerhalb ihres
Konvergenzradius absolut.
Potenzreihen
)
) "
Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form
mit
. Das Konvergenzverhalten für
verschiedene wird durch den Konvergenzradius
– p.32/??
)
) ) ) .
)
)
)
)
)
) )
.
) )
.
Es gilt
)
.
) Die Umkehrfunktion auf
der
Exponentialfunktion ist die Logarithmusfunktion
. Es gilt
Die Funktion ist auf ganz definiert. Plot:
>> plotfunc2d(exp(x),-5..5)
– p.33/??
)
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
)
)
) )
)
) Es gilt
Es gilt
Wir erklären die Exponentialfunktion durch
Die Potenzreihe konvergiert für alle
Gerd Rapin
Eigenschaften der
Exponentialfunktion
Exponentialfunktion
>> f:=n ->xˆn/(n!)
>> rho:=limit(expand(f(n+1)/f(n)),
n=infinity)
0
divergiert sie.
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
Beispiele
Gerd Rapin
– p.31/??
"
) Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
konvergiert die Potenzrei-
)
he absolut und für
Gerd Rapin
Potenzreihen sind ein mächtiges Werkzeug
innerhalb der Mathematik.
) bestimmt. Für
)
)
)
)
Die Konvergenz an den Stellen
und
muss bei jeder Reihe individuell geprüft werden.
>> f:= n -> nˆs:
>> limit(expand(f(n)ˆ(1/n)),n=infinity)
1
) Die allgemeine Potenz ist durch
,
definiert.
Der Konvergenzradius ist .
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.34/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.35/??
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.36/??
Trigonometrische Funktionen
Eigenschaften
)
)
)
)
)
)
) >> plotfunc2d(arcsin(x),
arccos(x),x=-1..1)
.
>> plotfunc2d(tan(x),x=-4..4)
Gerd Rapin
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.41/??
Gerd Rapin
) ,
) Die Umkehrfunktionen von Sinus und Cosinus
werden mit
und
bezeichnet. In
MuPAD: arcsin und arccos. Plotten:
– p.40/??
– p.38/??
Man kann die Sinusfunktion und die
Cosinusfunktion auch geometrisch deuten.
Der Tangens ist definiert durch
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
) Gerd Rapin
) ) solve(cos(x)=0,x)
1/2*PI + X2*PI | X2 in Z_ }
assume(0<x<2):
solve(cos(x)=0,x)
{ PI }
{ -- }
{ 2 }
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
)
Es gilt:
Weitere Eigenschaften
Gerd Rapin
) – p.37/??
MuPAD
>>
{
>>
>>
.
Wir definieren , indem wir die kleinste positive
Nullstelle von
als
definieren.
)
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
) )
) Es gilt
Die Potenzreihen konvergieren für alle
.
Plotten:
>> plotfunc2d(sin(x),cos(x),x=0..4*PI)
Gerd Rapin
Es gelten die Additionstheoreme:
Die Sinusfunktion und die Cosinusfunktion sind
definiert durch
>> sum(xˆn/n!,n=0..infinity)
exp(x)
>> exp(ln(x))
x
>> simplify(ln(exp(x)))
ln(exp(x))
>> assume(x,Type::Real):
>> simplify(ln(exp(x)))
x
) MuPAD
.
Mathematische Anwendersysteme: Einführung in MuPAD
– p.39/??