Blatt 5 - Informatik Uni Leipzig

Aufgabenblatt 5
Sommersemester 2009
Markus Lohrey
Übungen zur Vorlesung Spieltheoretische Methoden in der Logik
1. Sei K = (V, E, Π, π) eine Kripkestruktur. Sei p ∈ Π eine Proposition.
Geben Sie für jede der folgenden Mengen Ai eine monotone Funktion
fi : 2V → 2V an, so dass Ai = µfi oder Ai = νfi gilt.
• A3 = {v ∈ V | ∀u ∈ V : (v, u) ∈ E ∗ → u ∈ π(p)}, d.h. p gilt
entlang jedes bei v beginnenden Pfades.
W
V
• A4 = {v0 ∈ V | ∀v1 , v2 , . . . ∈ V : i≥0 (vi , vi+1 ) ∈ E → i≥0 vi ∈
π(p)}, d.h. auf jedem bei v0 beginnenden unendlichen Pfad gilt
irgendwann p.
• A5 = {v ∈ V | ∃n ∈ N ∃u ∈ V : (v, u) ∈ E 2n ∧ NK (u) = ∅}, d.h.
in v beginnt ein maximaler Pfad gerader Länge.
Ihre Funktionen sollen ähnlich wie die in der Vorlesung definierten
Funktionen f1 und f2 (Folie 126, 127) aussehen. D.h. sie sollen nicht
etwa f3 (U ) = A3 für alle U ∈ 2V wählen.
2. In dieser Aufgabe soll ein einfacher deterministischer Algorithmus zur
Berechnung der Gewinnmengen für endliche Paritätsspiele angegeben
werden. Die Eingabe ist ein endliches Paritätsspiel G = (V, →, ρ, χ),
die Ausgabe ist das Paar (WGEve , WGAdam ). Für U ⊆ V sei G \ U im
Folgenden das Spiel G, eingeschränkt auf V \ U .
win(G)
if V = ∅ then return(∅, ∅)
d := max{χ(v) | v ∈ V }
if d gerade then x := Eve else x := Adam endif
(UEve , UAdam ) := win(G \ AttxG (χ−1 (d)))
if Ux = ∅ then
Ux := V
else
(UEve , UAdam ) := win(G \ AttxG (Ux ))
Ux := V \ Ux
endif
return(UEve , UAdam )
Im Folgenden soll die Korrektheit dieses Algorithmus bewiesen werden.
−1
a) Sei d = max{χ(v) | v ∈ V } gerade und sei H = G\AttEve
G (χ (d)).
Adam
Adam
Zeigen Sie, dass WH
⊆ WG
gilt. Zeigen Sie außerdem, dass
Eve
Adam
WG = V , falls WH
= ∅.
b) Sei W ⊆ WGAdam und sei H = G \ AttAdam
(W ). Zeigen Sie, dass
G
dann WGAdam = WHAdam ∪ AttAdam
(W
)
und
WGEve = WHEve gilt.
G
c) Zeigen Sie, wie aus Aufgabe 1 und 2 die Korrektheit des Algorithmus win folgt.
d) Zeigen Sie, dass die Laufzeit t(n) (mit n = |V |) dieses Algorithmus der Rekursionsgleichung t(n) ≤ 2 · t(n − 1) + O(n2 ) genügt.
Hierbei können Sie benutzen, dass der Attraktor einer Menge
U ⊆ V in Zeit O(m) berechnet werden kann, wobei m die Anzahl
der Kanten in dem Spiel ist.
e) Zeigen Sie, dass aus der Rekursionsgleichung t(n) ≤ 2 · t(n − 1) +
O(n2 ) folgt: t(n) ∈ O(2n · n2 ).
Bemerkung: Aufbauend auf dem Algorithmus win wurde von Jurdziński, Paterson und Zwick kürzlich ein Algorithmus zur Berechnung
√
der Gewinnmengen in Paritätsspielen mit einer Laufzeit von nO( n)
entwickelt (A deterministic subexponential algorithm for solving parity games. In Proceedings of SODA 2006, Seite 117-123).