Pythagoräische Zahlentripel

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Pythagoräische Zahlentripel
Wir fragen uns nun, welche natürlichen Zahlen die Gleichung
x2 + y 2 = z 2
lösen.
Übung 1 Finden Sie Zahlentripel (x; y; z) 2 N3 , mit 1
Gleichung x2 + y 2 = z 2 lösen.
x; y < z; welche die
:
Übung 2 Beweisen Sie:
Lemma 3 Es gibt keine Lösung der Gleichung x2 + y 2 = z 2 mit ungeradem x
und y:
Also ist x oder y gerade (oder beide). Ohne Einschränkungen gehen wir
somit im Folgenden davon aus, x sei gerade.
Übung 4 Beweisen Sie:
Lemma 5 Mit einer Lösung (x0 ; y0 ; z0 ) ist auch jedes Vielfache (kx0 ; ky0 ; kz0 )
Lösung von x2 + y 2 = z 2 :
Somit interessieren uns nur Lösungen (x0 ; y0 ; z0 ), die keinen gemeinsamen
Teiler haben. Damit lassen sich dann durch beliebige Multiplikation weitere
Lösungen erzeugen.
Übung 6 Wir haben nun gezeigt, dass das Tripel (x0 ; y0 ; z0 ) keinen gemeinsamen Teiler hat. Überlegen Sie: Können zwei der drei Zahlen einen gemeinsamen Teiler haben ?
Übung 7 Zeigen Sie: Für Lösungen gilt stets:
1=
z
x
y z+y
x
1
Damit ist:
z+y
=
x
bzw.:
z
y
x
Bezeichnen wir nun
=
1
z y
x
1
z+y
x
z+y
=: c
x
so muss gelten:
z
y
x
Übung 8 Zeigen Sie, dass gilt :
z
x
1
c
=
= 12 (c + 1c ) und
y
x
= 12 (c
1
c)
Betrachten wir nun für c die Darstellung als gekürzten Bruch
u
c=
v
(da c =
u
v
=
z+y
x
interessieren nur Lösungen grösser 1, also u > v) so ist
z
x
=
=
1 u v
+
2 v
u
u2 + v 2
2uv
und
y
x
=
=
1 u v
2 v
u
u2 v 2
2uv
Übung 9 uv ist ja ein gekürzter Bruch. Somit ist (u; v) = 1: Beweisen Sie, dass
2
2
2
+v 2
und u uvv gekürzter Brüche sind (um den Faktor 2 kümmern
dann auch u uv
wir uns danach), also :
Lemma 10 Sei (u; v) = 1; dann ist (u2
v 2 ; u) = (u2
v 2 ; u) = 1
Somit sind obige Brüche in gekürzter Darstellung entweder
a
=
b
u2 v 2
2
uv
oder
a
u2 v 2
=
b
2uv
Welche u und v sind nun möglich?
2
Übung 11 Argumentieren Sie, kann es sein, dass
a) u und v beide gerade sind ?
b) beide ungerade sind?
Somit muss nun von u und v ein Wert gerade und einer ungerade sein. Damit
ist aber u2 v 2 ungerade und weder durch u noch durch v teilbar und der Bruch
u2 v 2
2uv
vollständig gekürzt.
Damit sind aber die Lösungen gefunden gemäß
:
x = 2uv
y = u2 v 2
z = u2 + v 2
Übung 12 Erstellen wir nun die Zahlentripel bis v < u < 5; (u; v) = 1; ein
Wert gerade ein Wert ungerade.:
Übung 13 Vervollständigen Sie die Liste für alle Werte 5 > u > v: Was
passiert ?
Übung 14 Erstellen Sie hieraus einen Pseudo-Code für Pythagoräische Primzahltripel.
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Pythagoräische Zahlentripel
Wir fragen uns nun, welche natürlichen Zahlen die Gleichung
x2 + y 2 = z 2
lösen.
Übung 1: Finden Sie Zahlentripel (x; y; z) 2 N3 , mit 1
die Gleichung x2 + y 2 = z 2 lösen.
Bsp.: (3; 4; 5); (8; 6; 10); (5; 12; 13)
x; y < z; welche
Lemma 15 Es gibt keine Lösung der Gleichung x2 + y 2 = z 2 mit ungeradem x
und y:
Beweis: Wären beide ungerade, so liefert die Division durch 8, da n(n + 1)
stets gerade ist:
x = (2n + 1)
x2 = (2n + 1)2
= 4n2 + 4n + 1
= 4n(n + 1) + 1
= 8k + 1
also einen Divisionsrest von 1. (Ebenso für y).
somit einen Divisionsrest von 2:
x2 + y 2
=
=
Insgesamt leifert x2 + y 2
8k + 1 + 8l + 1
8m + 2
Für ungerades z ist aber der Divisionsrest ebenfalls 1, für gerades z ist
a) z = 4n :
z 2 = 16n2 = 8n + 0
b) z = 4n + 2
z2
= 16n2 + 16n + 4
= 8p + 4
Somit ist dann nur eine Divisionrest von 0 oder 4 möglich.
q.e.d.
Also ist x oder y gerade (oder beide). Ohne Einschränkungen gehen wir
somit im Folgenden davon aus, x sei gerade.
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Lemma 16 Mit einer Lösung (x0 ; y0 ; z0 ) ist auch jedes Vielfache (kx0 ; ky0 ; kz0 )
Lösung von x2 + y 2 = z 2 :
Bew.: (kx0 )2 + (ky0 )2 = k 2 (x20 + y02 ) = k 2 z02 = (kz0 )2
Somit interessieren uns nur Lösungen (x0 ; y0 ; z0 ), die keinen gemeinsamen
Teiler haben. Damit lassen sich dann durch beliebige Multiplikation weitere
Lösungen erzeugen.
Weiterhin können auch x und z bzw. y und x keinen gemeinsamen Teiler
haben, da dieser dann auch Teiler der dritten Größ
e wäre, z.B. wäre zu einem
Teiler b und p Primteiler von b : x = p x0 ; z = p z0 dann ist auch
y2 = z2
x2 = p2 z02
p2 x20 = p2 (z02
x20 )
damit teilt p2 das y 2 ; und insbesondere pjy 2 ;also wegen : pjab =) pja oder
pjb
Damit muss p auch y teilen.
Es ist
x2 + y 2
x2
= z2
= z2 y2
y 2
z 2
1 =
x
x
z
y
z
y
=
+
x x
x x
z y z+y
=
x
x
Damit ist:
z
y
x
Bezeichnen wir nun
=
1
z+y
x
z+y
=: c
x
so muss gelten:
z
y
1
=
x
c
Addition der beiden Gleichungen ergibt
z+y z y
+
x
x
z
x
=
=
5
z
1
=c+
x
c
1
1
(c + )
2
c
2
und Subtraktion
z+y
x
z
y
=
x
y
x
=
y
1
=c
x
c
1
1
(c
)
2
c
2
Betrachten wir nun für c einen beliebigen gekürzten Bruch
c=
(da c =
u
v
=
z+y
x
u
v
interessieren nur Lösungen grösser 1, also u > v) so ist
z
x
=
=
1 u v
+
2 v
u
u2 + v 2
2uv
und
y
x
=
=
1 u v
2 v
u
u2 v 2
2uv
Zunächst sei bemerkt, dass ein Teiler von u (oder analog v) auch u2 teilt,
aber wegen der Teilerfremdheit von u und v nicht den Wert u2 v 2 :
Lemma 17 Sei (u; v) = 1; dann ist (u2
v 2 ; u) = (u2
v 2 ; u) = 1
Bew.: Sei a ein Teiler von u und damit ist a Teiler von u2 : Wäre a Teiler
von u2 v 2 ; so auch von u2 v 2 u2 = v 2 : Jeder Primteiler von a würde damit
u und v teilen und damit wäre (u; v) > 1:
u
v
Somit sind obige Brüche in gekürzter Darstellung entweder
a)
u2 v 2
z
= 2
x
uv
oder
b)
u2 v 2
z
=
x
2uv
Welche u und v sind nun möglich? Beide gerade scheidet aus, da der Bruch
ja gekürzt gewesen sein sollte.
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Beide ungerade bedeutet aber im Fall a) dass der Nenner ungerade wird.
Auf der linken Seite hat der gekürzte Bruch einen geraden Nenner x, welches
nicht geht.
Im Fall b) wird damit der Zähler gerade, weshalb der Bruch gar nicht gekürzt
war.
Somit muss nun von u und v ein Wert gerade und einer ungerade sein. Damit
ist aber u2 v 2 ungerade und weder durch u noch durch v teilbar und der Bruch
u2 v 2
2uv
vollständig gekürzt.
Damit sind aber die Lösungen gefunden gemäß
:
x = 2uv
y = u2 v 2
z = u2 + v 2
Für beliebige Zahlen sind dies Lösungen, da
x2 + y 2
= 4u2 v 2 + u4 2u2 v 2 + v 4
= u4 + 2u2 v 2 + v 4
= (u2 + v 2 )2 = z 2
Für die teilerfremden Fundamentallösungen berechnen wir diese unter der
zusätzlichen Bedingung:
u > v 1
(u; v) = 1
ein Wert gerade, einer ungerade
Erstellen wir
u v x
2 1 4
3 2 12
4 1 8
4 3 24
nun
y
3
5
15
7
die Zahlentripel bis umax = 4 :
z
Gleichung
5
16+9=25
13 144+25=169
17 64+225=289
25 576+49=625
Nehmen wir alle u > v, so erhalten wir weitere Lösungen (als Vielfache dort
bereits auftauchender Lösungen)
z.B.
7
u
3
4
v
1
2
x
6
16
y
8
12
z
10
20
Gleichung
36+64=100
256+144=400
Somit erhalten wir eine Zahlentripelgenerator mit Hilfe des folgenden PseudoCodes:
Sub GeneratePythTripel(nmax)
For u = 2 to nmax
For v=1 to u-1
x=2*u*v;
y= u*u - v*v;
z=u*u+v*v;
Print (x,y,z);
next v
next u
end
8