Die Sprache der Peano-Arithmetik • Variable x 0, x1

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Die Sprache der Peano-Arithmetik
• Variable x0 , x1 , . . .
• Konstante 0, 1.
• Funktionssymbole +, ∗, ↑.
• Relationssymbol: =, ≤.
• logische Junktoren: ∨, ∧, ¬. ( ⇒, ⇔,. . . )
• logische Quantoren: ∀. ( ∃)
Terme und Formeln werden in üblicher Weise
gebildet:
• Terme: 0, x0 + x3 , 0 ∗ x1 + (x01 ∗ (1 + 1)), . . .
• Formeln: x0 = x1 , ∀x1 (x1 ≤ x3 ),
∃x1 ≤ x2 (x1 ∗ x1 = x2 ), . . .
Achtung: (1) Alle Formeln sind endlich.
(2) Man quantifiziert nur über Elemente, nie über
Teilmengen.
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Die Peano-Axiome
Die universellen Quantifizierungen der folgenden
Formeln sind unsere Axiome:
1. Logische Axiome. Axiome für =.
2. x + 0 = x,
x + (y + 1) = (x + y) + 1.
3. x ∗ 0 = 0,
x ∗ (y + 1) = (x ∗ y) + 1.
4. x0 = 1,
x(y+1) = xy ∗ x.
5. x ≤ 0 ⇔ x = 0,
x ≤ y + 1 ⇔ (x ≤ y ∨ x = y + 1)
6. Induktionsaxiome
Für jede Formel ϕ(x̄, y) (hier ist x̄ Abkürzung für
ein k-tupel x1 , . . . , xk von Variablen) ist das
zugehörige Induktionsaxiom IND ϕ als der
universelle Abschluss von
ϕ(x̄, 0) ∧ ∀z(ϕ(x̄, z) ⇒ ϕ(x̄, z + 1) ⇒ ∀z ϕ(x̄, z)
definiert. Jedes solche Induktionsaxiom ist ein
PA-Axiom.
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Definierbare Eigenschaften
• n ist gerade“
”
• k teilt n“
”
• p ist prim“
”
• p < q sind benachbarte Primzahlen“
”
• n ist von der Form 21 · 32 · 53 · 74 · 115 · · · pkk“
”
• ...
• p ist k-te Primzahl“
”
Was wir gerne hätten:
∀n : n = 0 ∨ n = 1 ∨ n = 1 + 1 ∨ · · ·
You can’t always get what you want!
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Codierung in PA
Wir können Paare (n, k) durch einzelne Zahlen
kodieren, zB mit #(n, k) := 2n ∗ (2k + 1) oder
:= 2n ∗ 3k .
Zweistellige Prädikate entsprechen dann
einstelligen, zB
Teiler(m) :⇔ m kodiert ein Paar (n, k), wobei n|k
Ebenso können wir endliche Folgen durch einzelne
Zahlen kodieren, z.B. (k1 , . . . , kn ) durch
2k1 +1 · 3k2 +1 · · · · pknn +1 .
Wir können Prädikate wie “s kodiert eine endliche
Folge der Länge n” oder “der n-te Eintrag von s
ist k” in der Sprache von PA formulieren.
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Wenn wir den Symbolen unserer Sprache Zahlen
zuordnen (zB der Variable xk die Zahl 2 ∗ k + 1,
dem +-symbol die Zahl 3, . . . , so können wir auch
Formeln (=Zeichenfolgen) durch Zahlen kodieren.
Wir erhalten Prädikate der Form
– “m kodiert eine Variable”
– “m kodiert einen Term”
– “m kodiert eine Formel”,
– “. . . mit einer freien Variable, die durch n
kodiert wird”,
– “. . . eine abgeschlossene Formel”
– “m codiert eine Formel mit genau n freien
Variablen, und die Codes dieser Variablen
sind in der der Folge, die durch k kodiert
wird, zusammengefasst“
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Schließlich können wir in unserer Sprache auch die
Prädikate für die folgenden Eigenschaften finden:
1. “m kodiert ein PA-Axiom”
2. m kodiert eine Folge von Formeln, die einen
PA-Beweis darstellt
3. m kodiert eine in PA beweisbare Formel
4. Es gibt eine(n Code für eine) in PA nicht
beweisbare Formel
Die letzte dieser Formeln nennen wir “Con(PA)”.
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Satz von Gödel: ( 2.Unvollständigkeitssatz“)
”
Con(PA) ist in PA nicht beweisbar.
0PA Con(PA)
Mit Hilfe des Gödelschen Vollständigkeitssatzes
folgt daraus:
Es gibt eine Struktur (N∗ , +, ∗, ↑, ≤), die
zwar alle PA-Axiome erfüllt, in der aber
die Formel Con(PA) falsch ist.
Anmerkung: Die natürlichen Zahlen sind echtes
Untermodell von N∗ . Elemente von N∗ \ N heißen
unendliche große Zahlen“ oder Nonstandardzahlen“.
”
”
In dieser Struktur gibt es also einen (Code für
einen) Beweis der Inkonsistenz von PA. (Die
Länge dieses Beweises ist natürlich eine unendlich
große Zahl)
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Der Gödelsche Satz ist selbst nicht in PA
beweisbar (denn jeder Satz der Form x ist in PA
”
nicht beweisbar“ impliziert ja sofort Con(PA)).
Aber: Das Gödelsche Argument läßt sich in PA
formulieren, und man kann (in PA) beweisen:
Wenn Con(PA), dann kann PA den Satz
”
Con(PA) nicht beweisen“
`PA Con(PA) ⇒ (0PA Con(PA))
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Hereditär endliche Mengen
Die Theorie ZFC minus Unendlichkeitsaxiom
”
plus Endlichkeitsaxiom“ , ZFC-U+E, ist (in
gewissem Sinne) zu PA äquivalent.
So wie die natürlichen Zahlen das kanonische
(und kleinste) Modell für PA bilden, bilden die
hereditär endlichen Mengen das kanonische und
kleinste Modell für ZFC-U+E.
Die hereditär endlichen Mengen sind unter allen
finitären“ Operationen
”
(A ∪ B, A ∩ B, A \ B, {A}, P(A)
(Potenzmengen), A × B, Bilden von
endlichen Folgen, etc
abgeschlossen.
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Man kann Modelle von PA in Modelle für
ZFC-U+E kanonisch übersetzen, und umgekehrt.
Daher kann man sich aussuchen, ob man lieber
mit PA oder mit ZFC-U+E arbeitet.
Vorteil von ZFC-U+E: keine Codierung
notwendig. Paare, Folgen können wirklich“
”
gebildet werden.
Vorteil von PA: einfache Axiome. N ist
übersichtlicher als die hereditär endlichen
Mengen.
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Die Levy-Hierarchie der Formeln
Zu jeder Formel gibt es eine logisch äquivalente
Formel in Pränexform“, d.h. in der Form
”
∀x ∃y . . . (ϕ)), wobei ϕ eine offene Formel ist.
(Offene Formeln sind Formeln ohne Quantoren.)
Σ0 -Formeln sind Formeln, in denen nur
beschränkte Quantoren vorkommen.
(Ein beschränkter Quantor ist ein Quantor der Form
∀x ≤ t oder ∃x ≤ t, wobei t ein Term ist, in dem x
nicht vorkommt.)
Σ1 -Formeln sind Formeln der Form ∃x(ϕ), wobei
ϕ Σ0 ist.
Σ2 -Formeln sind Formeln der Form ∃x ∀y (ϕ),
wobei ϕ eine Σ0 -Formel ist.
Analog werden Σn -Formeln definiert.
(Üblicherweise fasst man Σk -Formeln auch als als
Σk+1 -Formeln auf. Jedenfalls ist jede Σk -Formel zu
einer Σk+1 -Formel logisch äquivalent
[dummy-Quantoren!])
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Fragmente von PA
Intuition: Wahrheit von Σ0 -Formeln lässt sich
effektiv überprüfen.
Σ1 -Formeln, die wahr sind, lassen sich immerhin
noch effektiv verifizieren.
Mit PA5 bezeichnen wir jenes Fragment der
Peanoarithmetik, in welchem IND ϕ nur für
Σ5 -Formeln gefordert wird.
Analog PAn .
Viele“ zahlentheoretischen Sätze lassen sich
”
bereits mit PA1 beweisen.
PA1 heißt auch manchmal primitiv rekursive
”
Arithmetik“. Sätze, die in PA1 bewiesen werden
können, sind in gewissem Sinn effektiv“ beweisbar.
”
Satz: PAn ist endlich axiomatisierbar.
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Wahrheitsprädikate für Fragmente von PA.
Zwar gilt PA 0 Con(PA), aber:
PA6 ` Con(PA5 ).
Man kann nämlich für Σ5 -Formeln ein
Wahrheitsprädikat“ definieren, d.h. eine Formel
”
T5 (x) sodass gilt:
Für alle geschlossenen Σ5 -Formeln ϕ: Sei
dϕe ein Term der Form 1 + 1 + 1 + · · · + 1
dessen Wert genau der Code von ϕ ist.
Dann gilt:
PA6 ` ϕ ⇔ T5 (dϕe)
So kann man den üblichen infinitären Beweis von
Con(PA) [nämlich: es gibt ein Modell, in dem alle
PA-Axiome wahr sind, daher ist keine Widerspruch
herleitbar], in PA6 simulieren:
Man zeigt in PA6 , dass alle Induktionsaxiome
IND ϕ für Σ5 -Formeln ϕ wahr sind, daher alle
daraus hergeleiteten Formeln. Daraus erhält man
PA6 ` Con(PA5 ).
Analog: PAn+1 ` Con(PAn ).
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Satz von Ramsey, finitäre Version
6 → (3)22
Wenn man die ungeordneten Paare einer
6-elementigen Menge mit 2 Farben färbt,
so gibt es 3 Elemente, deren Paare alle
dieselbe Farbe haben.
20 → (4)22
∀k ∃N : N → (k)22
[Rfin ]
∀k ∀e ∀c ∃N : N → (k)ec
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Satz von Ramsey, infinitäre Version
ℵ0 → (ℵ0 )22
[R∞ ]
Das läßt sich in PA nicht einmal formulieren,
geschweige denn beweisen.
Äquivalent zu
∀k∃N : N → (k)22
mit Hilfe des Kompaktheitssatzes.
Das ist eine “infinitäre Methode” – wir verwenden
die Existenz einer unendlichen Menge (obwohl wir
ein Resultat anstreben, in dem nur endliche
Mengen vorkommen)
Analog sind ℵ0 → (ℵ0 )ec und
∀k∃N : N → (k)ec
mit dem Kompaktheitssatz äquivalent.
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Kombinatorische Sätze (wie der Satz von
Ramsey) oder zahlentheoretische Sätze (zB
Reziprozitätsgesetz, möglicherweise auch der
große Fermat) sind alle in PA oder sogar PA1
beweisbar.
Con(PA) ist wahr und unbeweisbar, hat aber
metamathematischen“ Charakter.
”
Wir suchen nun eine Aussage, die
1. wahr ist
2. sich in der Sprache von PA formulieren läßt
(also “finitären” Charakter hat)
3. sich aber nicht mit den PA-Axiomen beweisen
läßt,
4. die (im Gegensatz zur Aussage Con(PA)“)
”
zahlentheoretischen oder kombinatorischen
Charakter“ hat (so wie zB der finitäre Satz
”
von Ramsey).
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Ein starker Ramseysatz
Die Formel
N →∗ (k)ec
bedeutet: Wenn man die ungeordneten e-Tupel
(=die e-elementigen Teilmengen) einer
N -elementigen Grundmenge mit c Farben färbt,
dann gibt es immer eine Teilmenge T der
Grundmenge, die
1. homogen ist (ihre e-Tupel haben alle dieselbe
Farbe)
2. groß ist, soll heißen: ≥ k Elemente hat
3. RELATIV groß ist, soll heißen:
mindestens min(T ) Elemente hat.
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Ein starker Ramseysatz: (Fortsetzung)
Offensichtlich gilt
[R∗∞ ]
∀e, c : ℵ0 →∗ (ℵ0 )ec
Mit Kompaktheitssatz erhält man:
[R∗fin ]
∀e ∀c ∀k ∃N : N →∗ (k)ec
Dieser Satz ist wahr, in PA formulierbar, und hat
kombinatorischen Charakter.
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Satz von Paris-Harrington
Satz: Der starke Ramseysatz R∗fin kann nicht mit
finitären Mitteln bewiesen werden, genauer: ist in
PA (zwar formulierbar) aber: nicht beweisbar.
Noch genauer: PA ` [R∗fin ] ⇔ Con(P A).
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Beweisskizze:
1. Induktion auf auf Σ0 -Formeln reduzieren
2. Ramsey-Satz liefert indiscernibles“
”
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Die Theorie PA*
Die Sprache von PA* enthält zusätzlich noch
Konstantensymbole c0 , c1 , etc.
Die Axiome von PA bestehen aus den
arithmetischen Axiomen von PA, den
Induktionsaxiomen für Σ0 -Formeln, den Axiomen
2ci < ci+1 , und den Indiszernibilitätsaxiomen:
Für alle i1 < · · · < ik und j1 < · · · < jk , und alle
Σ0 -Formeln ϕ(x1 , . . . , xk , y), alle i < min(i1 , j1 ):
∀y < ci ϕ(ci1 , . . . , cik , y) ⇔ ϕ(cj1 , . . . , cjk , y)
x
x
ZB: ∀x < c2 : 2 |c5 · c7 ⇔ 2 |c3 · c9
oder: 22
c1
< c2 ⇔ 22
c1
< c5 .
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PA und PA*
Jeder Formel in Präfixform in PA
ϕ = ∃x ∀y · · · (. . .)
ordnen wir ihre Übersetzung
ϕ∗ = ∃x < c0 ∀y < c1 · · · (. . .)
in PA* zu.
Beachte: ϕ∗ ist ein Σ0 -Formel!
Satz: Con(PA*) ⇒ Con(PA). Dies ist sogar in
PA beweisbar!
Infinitärer Beweis: Sei N∗ ein Modell für PA*.
Betrachte N0 := {x ∈ N∗ : ∃k x ≤ ck }. Dann gilt:
1. N0 ϕ ⇔ N∗ ϕ∗ für alle ϕ
2. (Folgerung:) In N0 gelten alle
Induktionsaxiome
3. (Folgerung2 :) N0 ist ein Modell für PA.
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Indiscernibles
Wenn
1. N → (k)32 ,
2. (L, +, ∗, · · · , ≤) irgendeine Struktur ist,
3. `1 < · · · < `N Elemente von L sind
4. ϕ(x, y, z) eine Formel mit 3 freien Variablen
ist,
dann gibt es eine k-elementige Teilmenge
T ⊆ {`1 , . . . , `N }, sodass für alle r < s < t und
r0 < s0 < t0 in T gilt
ϕ(r, s, t) ⇔ ϕ(r0 , s0 , t0 )
Die Formel ϕ kann also aufsteigende Tripel voN T
nicht unterscheiden.
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SCHLUSS
— Ramseysätze liefern große Mengen von
Indiscernibles.
— Für Con(PA*) brauchen wir viele
Indiscernibles, für viele Formeln ϕ
gleichzeitig.
∗
— Der Satz [Rfin
] liefert eine genügend viele
Indiscernibles.
Daher:
∗
[Rfin
] ⇒ Con(PA∗ )
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