ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE 7. April 2014 1. Lineare Algebra Sei

ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
JONATHAN BOWDEN
Zusammenfassung. In dieser Vorlesung werden wir die de Rham Kohomologie sowie die
dazugehörigen Konzepte aus der Differentialtopologie behandeln. Als Anwendung werden
wir charakterische Klassen von Vektorbündeln definieren und unterschiedliche Anwendungen
erläutern.
7. April 2014
1. Lineare Algebra
Sei V ein endlichdimensionaler reeler Vektorraum. Wir betrachten den Raum der alternierenden k-Formen:
Λk V ∗ := {α : |V × ·{z
· · × V} → R | multilinear und alternierend} ,→ (V ⊗ · · · ⊗ V )∗ .
k−mal
Zur Erinnerung: multilinear heißt linear in jedem Argument und alternierend heißt
α(v1 , . . . , vk ) = sgn(σ)α(vσ(1) , . . . , vσ(k) )
für alle Permutationen σ ∈ Symk . Oder äquivalent dazu:
α(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = −α(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk )
für alle Paare vi 6= vj .
Bemerkung 1.1. Sei (e1 , . . . , en ) eine Basis von V . Beachte:
α = β ⇐⇒ α(ei1 , . . . , eik ) = β(ei1 , . . . , eik ) für alle i1 < . . . < ik .
Beispiel 1.2. Betrachte Vol ∈ Λn (Rn )∗ , wobei
Vol(v1 , . . . , vn ) = det(v1 | . . . |vn ) = Volumen ({λ1 v1 + . . . + λn vn | 0 ≤ λi ≤ 1}) .
Dann dim Λn (Rn )∗ = 1 und (Vol) ist eine Basis.
Allgemeiner gilt:
Lemma 1.3. Sei (e1 , . . . , en ) eine Basis von V . Seien I = (i1 , . . . , ik ), J = (j1 , . . . , jk ) jeweils
Multi-Indices 1 ≤ i1 < . . . < ik ≤ n bzw. 1 ≤ j1 < . . . < jk ≤ n und definiere v I als die
eindeutige k-Form, so dass
eI (ej1 , . . . , ejk ) = δJI .
Dann bildet eI eine Basis von Λk V ∗ und insbesondere gilt
n
k ∗
dim Λ V =
.
k
Date: 10. Juli 2014.
1
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JONATHAN BOWDEN
Proof. Sei α ∈ Λk V ∗ und setze
λI = λi1 ,...,ik = α(ei1 , . . . , eik ) wobei i1 < . . . < ik .
Dann gilt
α=
X
λI eI ,
I
wie man sieht durch Auswertung auf (vp1 , . . . , vpk ), p1 < . . . < pk . Weiterhin ist diese
Darstellung eindeutig.
Definition 1.4 (Induzierte Abbildungen). Ist f : W −→ V eine lineare Abbildung so definiert man die induzierte Abbildung oder Pullback:
f∗
Λk W ∗ ←− Λk V ∗ , f ∗ α(w1 , . . . , wk ) = α(f (w1 ), . . . , f (wk )).
Manchmal wenn man die Potenz k betonen möchte, bezeichnet man die induzierte Abbildung Λk f ∗ .
Bemerkung 1.5. Es gilt (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ und Id∗V = IdΛk V ∗ . Somit liefert die Entsprechung
einen kontravarianten Funktor auf der Kategorie der Vektorräume mit linearen Abildungen.
Die direkte Summe
M
k≥0
1 ∗
n ∗
Λk V ∗ = |Λ0{z
V }∗ ⊕ Λ
V}⊕··· ⊕ Λ
| {z
| {zV }
R
V∗
R
ist ein graduierter Vektorraum. Wir möchten diesen Vektorraum mit der Struktur einer
graduierten Algebra ausstatten.
Definition 1.6 (Dachprodukt). Seien α ∈ Λk V ∗ , β ∈ Λl V ∗ . Dann ist das Dachprodukt
∧
Λk V ∗ × Λl V ∗ −→ Λk+l V ∗ wie folgt definiert:
X
1
sgn(σ)α(vσ(1) , . . . , vσ(k) )β(vσ(k+1) , . . . , vσ(k+l) ).
α ∧ β(v1 , . . . , vk+l ) =
k!l! σ∈Sym
k+l
Lemma 1.7. Seien α ∈ Λk V ∗ , β ∈ Λl V ∗ , γ ∈ Λm V ∗ . Dann gilt:
(a) Das Dachprodukt ist bilinear
(b) (Assoziativität): (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ)
(c) (graduiert-Kommutativität): α ∧ β = (−1)kl (β ∧ α)
(d) (Naturalität): Sei f : V → W linear. Dann ist f ∗ (α ∧ β) = f ∗ β ∧ f ∗ α.
Proof. (a) und (d) sind offensichtlich und (c) ist eine Übung. Für (b) genügt es angesichts
der Bilinearität zu zeigen, dass
(eI ∧ eJ ) ∧ eK = eI ∧ (eJ ∧ eK )
für Basisformen. Hierfür zeigen wir eI ∧ eJ = 0, falls I ∩ J 6= ∅ oder, falls I ∩ J = ∅, dann
eI ∧ eJ = eIJ , wobei eIJ die eindeutige (k + l)-Form ist, so dass
eIJ (ei1 , . . . , eik , ej1 , . . . , ejl ) = 1 und eIJ (ep1 , . . . , epk+l ) = 0, falls I ∪ J 6= {p1 , . . . pk+l }.
Erster Fall I ∩ J 6= ∅:
Falls I ∩ J 6= ∅, dann verschwindet jede Summand in der Definition des Dachproduktes
X
1
eI ∧ eJ (e1 , . . . , ek+l ) =
sgn(σ) eI (eσ(1) , . . . , eσ(k) ) eJ (vσ(k+1) , . . . , eσ(k+l) ) = 0
k!l! σ∈Sym
|
{z
}|
{z
}
k+l
=0
oder =0
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und somit ist eI ∧ eJ = 0 und wir definieren eIJ = 0 in diesem Fall.
Zweiter Fall I ∩ J = ∅: Es gilt eI ∧ eJ (ep1 , . . . , epk+l ) = 0, falls {p1 , . . . , pk+l } =
6 I ∪ J.
Andererseits berechnet man
X
1
eI ∧ eJ (ei1 , . . . , eik , ej1 , . . . , ejl ) =
sgn(σ)eI (eσ(i1 ) , . . . , eσ(ik ) )eJ (eσ(j1 ) , . . . , eσ(jl ) )
k!l! σ∈Sym
k+l
1
=
k!l!
=
1
k!l!
X
sgn(τ1 )sgn(τ2 )eI (eτ1 (i1 ) , . . . , eτ1 (ik ) )eJ (eτ2 (j1 ) , . . . , eτ2 (jl ) )
(τ1 ,τ2 )∈Symk ×Syml
X
(τ1 ,τ2 )∈Symk ×Syml
1=
1
|Symk × Syml | = 1.
k!l!
(Diese Eigenschaften sollen an das Cup-Produkt erinnern). Nach Lemma 1.7 kann man
die Basis k-Formen wie folgt schreiben:
eI = ei1 ∧ . . . ∧ eik ∈ Λk V ∗ .
Weiterhin ist es leicht folgendes zu zeigen:
Lemma 1.8. Seien α1 , . . . , αk ∈ Λ1 V ∗ = V ∗ . Dann gilt
α1 ∧ . . . ∧ αk (v1 , . . . , vk ) = det(αi (vj )).
Das obige Lemma besagt intuitiv, dass k-Formen das Volumen von k-dimensionalen Spaten
misst.
10. April 2014
2. de Rham Kohomologie im Rn
Sei U ⊆ Rn offen, wobei Rn mit der üblichen Topologie versehen wird. Es bezeichne C ∞ (U )
die Algebra der glatten (also unedlich oft differenzierbaren) reellwertigen Funktionen auf U .
Wir betrachten den Raum der Differential-k-Formen auf U :
Ωk (U ) = C ∞ (U ) ⊗ Λk (Rn )∗ .
Betrachte nun die 1-Formen (dx1 , . . . , dxn ), also die duale Standardbasis von (Rn )∗ . Diese
Notation ist so zu verstehen, dass xj die j-te Koordinatenfunktion ist und dxj die 1 × n
Jacobi-Matrix, die man als Zeilenvektor zusammenfasst, also:
dxj = (0 . . . 0 1 0 . . . 0).
k
Ein typisches Element ω ∈ Ω (U ) hat folgende Gestalt:
X
X
ω=
gi1 ,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik =
gI dxI , wobei gI (x1 , . . . , xn ) ∈ C ∞ (U ).
I=(i1 ,...,ik )
I
Für einen Punkt x ∈ U schreibt man den Wert von ω im Punkt x als ωx statt ω(x).
Beispiel 2.1. Seien (x, y) die Standardkoordinaten auf R2 .
• 0-Formen: {glatte Funktionen f (x, y) : R2 → R}
• 1-Formen: {gdx + hdy}
• 2-Formen: {ϕdx ∧ dy}
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Die Koeffinzienten im obigen Ausdruck sind eindeutig bestimmt. Dies erlaubt uns ein
Dachprodukt für Differentialformen sowie eine Art Ableitung für Formen zu definieren:
Definition 2.2 (Dachprodukt von Differentialformen). Seien ω ∈ Ωm (U ), η ∈ Ωl (U ). Dann
ist
X
X
X
X
ω∧η =(
gI dxI ) ∧ (
hJ dxJ ) :=
gI hJ dxI ∧ dxJ =
fK dxK .
I
J
I,J
K=(k1 <...<km+l )
Alle Eigenschaften des Dachproduktes für k-Formen (siehe Lemma 1.7) gelten auch für
das Produkt auf Differentialformen.
Definition 2.3 (Das äußere Differential). Sei ω ∈ Ωk (U ). Dann das äußere Differential
d : Ωk (U ) → Ωk+1 (U ) ist wie folgt definiert:
!
n
X
X X
∂gI
dω =
(dgI ) ∧ dxI =
dxj ∧ dxI .
∂x
j
j=1
I
I
Bemerkung 2.4. Für 0-Formen f ∈ Ω0 (U ) = C ∞ (U ) ist das Differential df die übliche
Jacobi-Matrix oder Gradient:
n
X
∂f
∂f
∂f
∂f
dxj =
,...,
,...,
df =
∂x
∂x
∂x
∂xn
j
1
j
j=1
Beispiel 2.5. Seien (x, y) die Standardkoordinaten auf R2 . Wir berechnen das äußere Differential einer 1-Form:
dη = d(gdx + hdy) = (−
∂g ∂h
+
)dx ∧ dy.
∂y ∂x
Das äußere Differential ist offenbar linear und außerdem erfüllt folgende Eigenschaften,
analog zum Korandoperator in der singulären Kohomologie.
Lemma 2.6. Seien ω ∈ Ωk (U ), η ∈ Ωl (U ). Dann gilt:
(a) d ◦ d = 0
(b) d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη.
Proof. (a) Wegen Linearität genügt es die Aussage für Formen α = f dxI zu zeigen, dass
d(d(f dxI )) = 0.
Hierzu berechnen wir:
n
X
∂f
d
dxj ∧ dxI
∂x
j
j=1
!
n
X
∂ 2f
dxi ∧ dxj ∧ dxI
∂x
∂x
i
j
i,j=1
X ∂ 2f
∂ 2f
=
−
dxi ∧ dxj ∧ dxI = 0.
∂xi ∂xj
∂xj ∂xi
i<j |
{z
}
=
=0
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
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(b) Weiderum wegen Linearität genügt es zu zeigen, dass die Formel für Formen ω =
f dxI , η = g dxJ gilt:
n
X
∂(f g)
d(ω ∧ η) = d(f g dxI ∧ dxJ ) =
dxj ∧ dxI ∧ dxJ
∂x
j
j=1
n
X ∂f
∂g
=
g+f
dxj ∧ dxI ∧ dxJ
∂xj
∂xj
j=1
n n
X
X
∂f
∂g
k
=
dxj ∧ dxI ∧ (gdxJ ) + (−1)
f dxI ∧
dxj ∧ dxJ
∂xj
∂xj
j=1
j=1
= dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη.
Somit bildet
d
d
· · · −→ Ωk (U ) −→ Ωk+1 (U ) −→ Ωk+2 (U ) −→ · · ·
ein graduiert-kommutativ differenzieller Komplex genannt de Rham Komplex, den wir als
Summe zusammenfassen
M
Ωk (U ), d).
(Ω∗ (U ) =
k≥0
2
Da d = 0, können wir die dazugehörige Kohomologie definieren.
Definition 2.7 (de Rham Kohomologie). Die k-te de Rham Kohomologie von U ⊆ Rn
ist definiert als
Ker(d : Ωk (U ) → Ωk+1 (U ))
k
.
HdR
(U ) =
Im(d : Ωk−1 (U ) → Ωk (U ))
Elemente im Ker(d) heißen geschlossen und Elemente in Im(d) heißen exakt.
∗
Beispiel 2.8. Wir berechnen HdR
(R). Sei f ∈ Ω0 (R) = C ∞ (R). Dann ist
df
0
df = dt = 0 ⇐⇒ f = const =⇒ HdR
(R) ∼
= R.
dt
Da Ωk (R) = 0, k ≥ 2 ist Ker(d : Ω1 (R) → Ω2 (R)) = Ω1 (R). Sei nun g(t)dt eine beliebige
1-Form. Definiere die ‘Stammfunktion’
Z t
f (t) =
g(u)du.
0
Dann nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt
1
df = g(t)dt =⇒ Im(d : Ω0 (R) −→ Ω1 (R)) = Ω1 (R) =⇒ HdR
(R) = 0.
k
Letztens ist HdR
(R) = 0 für alle k ≥ 2, da der Raum der k-Formen in diesen Dimensionen
bereits verschwindet.
Dachprodukt auf Kohomologie. Mittels Lemma 2.6 (Übung) liefert das Dachprodukt
∗
eine wohldefinierte Operation auf HdR
(U ):
k+l
k
l
HdR
(U ) × HdR
(U ) −→ HdR
(U ) ([ω], [η]) 7−→ [ω ∧ η]
∗
und somit bildet (HdR
(U ), ∧) eine graduiert-kommutative Algebra (d.h. ab = (−1)|a|b| ba).
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14. April 2014
Induzierte Abbildungen. Sei ϕ : U → V eine glatte Abbildung zwischen offenen Mengen
U ⊆ Rn und V ⊆ Rm . Genau wie für lineare k-Formen kann man den Rückzug einer
Differentialform definieren. Hierzu beachte, dass für glatte Funktionen (also 0-Formen) die
natürliche Definition der zurückgezogen Form einfach durch Komposition gegeben ist:
ϕ∗ f = f ◦ ϕ.
Wir schreiben nun ϕ komponentenweise ϕ(x1 , . . . , xn ) = (ϕ1 (x), . . . , ϕm (x)) = (y1 , . . . , ym ).
Definition 2.9. Sei ϕ : U → V eine glatte Abbildung zwischen offenen Mengen des Rn .
Dann ϕ induziert eine Rückzug- oder Pullback-Abbildung
ϕ∗
Ωk (U ) ←− Ωk (V ),
wobei
!
ϕ∗ ω = ϕ∗
X
gI dyi1 ∧ . . . ∧ dyik
I
=
X
(gI ◦ ϕ)dϕi1 ∧ . . . ∧ dϕik .
I
Beispiel 2.10. Um die Definition etwas zu veranschaulichen, betrachten wir einige Beispiele:
(1) Betrachte die (glatte) Abbildung f : R2 −→ R2 , wobei
f (x, y) = (x2 , y 2 ) = (z, w).
Sei ω = zdw − wdz. Dann ist
f ∗ ω = (2x2 y)dy − (2xy 2 )dx.
(2) (Polarkoordinaten): Betrachte die Abbildung g : R2 \ {0} −→ R2 \ {0}, wobei
g(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ))
und setze η = dx ∧ dy. Dann ist
g ∗ η = g ∗ (dx ∧ dy) = r2 dr ∧ dθ.
Beachte r2 = det(Jg), wobei Jg die Jacobi-Matrix von g bezeichnet. Allgemeiner
haben wir:
(3) (n-Formen) Sei ϕ : U ⊆ Rn −→ V ⊆ Rn glatt mit Koordinaten (x1 , . . . , xn ) bzw.
(y1 , . . . , yn ). Dann ist
ϕ∗ (dy1 ∧ · · · ∧ dyn ) = det(Jϕ)dx1 ∧ · · · ∧ dxn .
Die Pullback-Abbildungen ϕ∗ sind automatisch linear und verträglich mit Dachprodukten.
Weiterhin sind sie Kettenabbildungen auf dem Niveau des de Rham Komplexes.
Lemma 2.11. Sei ϕ : U −→ V eine glatte Abbildung zwischen offenen Mengen U ⊆ Rn
bzw. V ⊆ Rm .
(1) Es gilt dϕ∗ = ϕ∗ d. Mit anderen Worten das folgende Diagram kommutiert:
Ωk+1 (U ) o
ϕ∗
O
O
d
Ωk (U ) o
Ωk+1 (V )
d
ϕ∗
Ωk (V ).
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
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(2) (Naturalität) Sei ψ : V → W ebenfalls glatt. Dann ist (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ .
Somit definiert Ω∗ einen kontravarianten Funktor:
offen
{U ⊆ Rn , glatte Abbildungen}
Ω∗
/
{differential graded Algebras}.
Proof. Wegen Linearität und Verträglichkeit mit Dachprodukten genügt es zu zeigen, dass
die Aussagen für 1-Formen ω = f dyl gelten.
(1) Wir betrachten Koordinaten (x1 , . . . xn ) auf U und (y1 , . . . ym ) auf V . Es ist
dϕ∗ ω = dϕ∗ (f dyl ) = d (f ◦ ϕ) dϕl
n
X
X ∂f
∂ϕi
∂(f ◦ ϕ)
= d(f ◦ ϕ) ∧ dϕl =
dxj ∧ dϕl =
◦ϕ
dxj ∧ dϕl .
∂x
∂y
∂x
j
i
j
j,i
j=1
Andererseits
!
m
m X
X
∂f
∂f
∗
∗
ϕ dω = ϕ
dyj ∧ dyl =
◦ ϕ dϕj ∧ dϕl
∂y
∂y
j
j
j=1
j=1
!
n
m
X ∂ϕj
X ∂f
◦ϕ
dxj ∧ dϕl
=
∂yj
∂xi
i=1
j=1
X ∂f
∂ϕi
=
◦ϕ
dxi ∧ dϕl .
∂y
∂x
j
i
j,i
(2) Wir betrachten Koordinaten (x1 , . . . xn ) auf U , (y1 , . . . ym ) auf V und (z1 , . . . , zp ) auf W .
Wir berechnen für ω = f dzl :
(ψ ◦ ϕ)∗ ω = (ψ ◦ ϕ)∗ (f dzl ) = f ◦ (ψ ◦ ϕ)d(ψl ◦ ϕ)
!
X ∂ψl
∂ϕj
= f ◦ (ψ ◦ ϕ) ∧
◦ϕ
dxi
∂yj
∂xi
j,i
Es ist aber
(ϕ∗ ◦ ψ ∗ ) ω = ϕ∗ (f dψl ) = ϕ∗
f ◦ψ∧
n
X
∂ψl
j=1
= f ◦ (ψ ◦ ϕ) ∧
n X
∂ψl
j=1
= f ◦ (ψ ◦ ϕ) ∧
∂yj
dyj
!
◦ ϕ dϕj
!
∂ϕj
◦ϕ
dxi
∂yj
∂xi
X ∂ψl
j,i
∂yj
!!
Die natürliche Äquivalenzrelation zwischen offenen Mengen, wenn man glatte Abbildungen
betrachtet, ist die des Diffeomorphismus.
Definition 2.12. Eine Abbildung ϕ : U → V heißt Diffeomorphismus, falls ϕ zuerst ein
Homömorphismus und ϕ−1 ebenfalls glatt ist. In diesem Fall heißen U und V diffeomorph
und man schreibt U ∼
= V.
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JONATHAN BOWDEN
Beispiel 2.13. Die offene Scheibe D2 ⊆ R2 und der offene Würfel (−1, 1)2 ⊆ R2 sind Diffeomorph. Beide sind diffeomorph zum R2 .
Korollar 2.14. Die de Rham Kohomologie ist eine Diffeomorphismus-Invariante von offenen Mengen in Rn . Genauer: Ein Diffeomorphismus ϕ : U → V induziert Isomorphismen
∗
(U ) o
HdR
∼
=
∗
(V ) .
HdR
In der Tat sind Ω∗ (U ) und Ω∗ (V ) isomorph als Diffentialkomplexe. Wir werden später
∗
sehen, dass die de Rham Kohomologie auch eine Homotopieinvariante ist, also dass HdR
auch eine Homotopiefunktor ist.
Kompaktgetragene de Rham Kohomologie.
Definition 2.15. Sei f : U → R eine Funktion. Dann
supp(f ) = {x | f (x) 6= 0}
heißt der Träger von f . Es bezeichne Cc∞ (U ) die Algebra der glatten Funktionen auf U
mit kompakten Trägern. Allgemeiner sei Ωkc (U ) der Raum der Differential k-Formen mit
kompakten Trägern, also ω ∈ Ωkc (U ) genau dann wenn
supp(ω) = {x | ωx 6= 0}
kompakt ist.
Offensichtlich bilden die kompakt getragenen Formen
M
(Ω∗c (U ) =
Ωkc (U ), d)
k≥0
∗
ein Unterkomplex von (Ω (U ), d), der unter Dachprodukt ebenfalls geschlossen ist.
Definition 2.16 (de Rham Kohomologie). Die k-te kompakt getragene de Rham Kohomologie von U ⊆ Rn ist definiert als
k
Hc,dR
(U ) =
(U ))
Ker(d : Ωkc (U ) → Ωk+1
c
.
Im(d : Ωk−1
(U ) → Ωkc (U ))
c
k
k
Im Allgemeinen sind Hc,dR
(U ) und HdR
(U ) unterschiedliche Gruppen.
0
1
Beispiel 2.17. Hc,dR
(R) = 0 und Hc,dR
(R) = R (Übung)
Falls U ⊆ V ⊆ Rn dann induziert die Inklusion ι eine Pushforward-Abbildung
ι
∗
Ωkc (U ) −→
Ωkc (V )
in dem man ι∗ ω als die Null-Form auf V \ U setzt. Da ω kompakten Träger hat, ist ι∗ ω
ebenfalls eine glatte Differentialform mit kompaktem Träger (es gilt supp(ω) = supp(ι∗ ω)).
Somit definiert Ω∗c einen kovarianten Funktor:
offen
Ω∗c
ι
n
/ {differential graded Algebras}.
U ⊆ R , Inklusionen U ,→ V
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24. April 2014
3. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
3.1. Glatte Strukturen und Atlanten. Unser Ziel ist Techniken und Sätze aus der Analysis mehrerer Veränderlichen auf Mannigfaltigkeiten zu erweitern. Hierzu müssen wir den
Begriff einer glatten Funktion einführen. Dies wird mittels glatter Atlanten gemacht:
Definition 3.1. Ein Hausdorffscher topologischer Raum mit abzählbarer Basis M heißt topologische Mannigfaltigkeit der Dimension n, falls es für jeden Punkt p ∈ M eine offene
Umgebung U und einen Homöomorphismus ϕ : U → ϕ(U ) ⊆ Rn gibt, so dass ϕ(U ) offen
ist.
Das Paar (U, ϕ) heißt Karte um p und eine Kollektion von Karten U = {(Uα , ϕα )}α∈I
heißt Atlas von M , falls ∪α Uα = M .
Ein Atlas heißt glatte Struktur, falls alle Kartenwechsel (auch Übergangsfunktionen genannt)
ϕαβ = ϕα ◦ ϕ−1
β : ϕβ (Uα ∩ Uβ ) −→ ϕα (Uα ∩ Uβ )
zusätzlich Diffeomorphismen für alle α, β mit Uα ∩ Uβ 6= 0 sind. In diesem Fall heißt M eine
glatte Mannigfaltigkeit.
Für eine Karte und p ∈ U nennt man
ϕ(p) = (ϕ1 (p), . . . , ϕn (p)) = (x1 , . . . , xn )
die Koordinaten von p in der Karte (U, ϕ).
Bemerkung 3.2.
(1) Nach der Invarianz des Gebietes (siehe Teil I der Vorlesung) ist die
Dimension einer (topologischen) Mannigfaltigkeit wohldefiniert. Für glatte Mannigfaltigkeiten folgt dies bereits aus der Kettenregel (Übung).
(2) Aus den Kartenwechseln kann man eine Mannigfaltigkeit durch verkleben von offenen
Mengen im Rn basteln: Setze Vα = ϕα (Uα ) und betrachte den Quotienten
!
G
G
Vα −→
Vα / ∼ := M
α∈I
α∈I
wobei Vα 3 y ∼ x ∈ Vβ , falls ϕαβ (x) = y.
Beispiel 3.3.
(1) Das Produkt zweier Mannigfaltigkeiten M × N ist eine glatte Mannigfaltigkeit mit dem Produkt Atlas: Seien ϕ : U → Rn , ψ : V → Rk Karten von M
bzw. von N , dann ist
ϕ × ψ : U × V −→ ϕ(U ) × ψ(V ) ⊆ Rn × Rk ∼
= Rn+k
eine Karte von M × N .
(2) Eine offene Menge U ⊆ Rn ist eine Mannigfaltigkeit mit einer Karte (viz. U ,→ Rn ).
Insbesondere ist GL(n, R) ⊆ Mat(n, R) ∼
= Rn×n eine Mannigfaltigkeit. Allgemeiner
jede offene Teilmenge einer glatten Mannigfaltigkeit U ⊆ M ist wiederum eine glatte
Mannigfaltigkeit.
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(3) Die n-Sphäre: Sei
S n = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 | ||x|| = 1}.
Seien weiterhin N = (0, 0, . . . , 1) der Nordpol und S = (0, 0, . . . , −1) der Südpol.
Betrachte die Karten gegeben durch die stereographischen Projektion:
(x1 , . . . , xn )
ϕ− : U− = S n \ {N } −→ Rn , ϕ− (x) =
1 − xn+1
(x1 , . . . , xn )
ϕ+ : U+ = S n \ {S} −→ Rn , ϕ+ (x) =
.
1 + xn+1
Dann ist der Kartenwechsel glatt:
(y1 , . . . , yn )
.
ϕ+ ◦ ϕ−1
− (y1 , . . . yn ) = 2
y1 + . . . + yn2
(4) RP n = {Geraden in Rn+1 } = {[x0 , . . . , xn+1 ]} homogene Koordinaten:
[x0 , . . . , xn+1 ] = [x00 , . . . , x0n+1 ] ⇐⇒ (x0 , . . . , xn+1 ) = λ · (x00 , . . . , x0n+1 ) (6= 0).
Betrachte die Überdeckung
Ui = {[x0 , . . . , xn+1 ] | xi 6= 0}
und Karten
n
ϕi : Ui −→ R , [x0 , . . . , xn+1 ] 7−→
x0
xi−1 xi+1
xn
,...,
,
,...,
xi
xi
xi
xi
.
Dann ist U = {(Ui , ϕi )} ein glatter Atlas für RP n .
(5) Glatte Flächen:
[
Σg = S 2 \ 2g offene Scheiben
{g Henkeln}.
Betrachte eine Überdeckung, die aus der 2g-punktierten Sphäre und g (offene) Zylinder (∼
= S 1 × (0, 1)).
Zwei glatte Atlanten U, V von M sind kompatibel falls U ∪ V wiederum ein glatter Atlas
ist. Dies definiert eine Äquivalenz Relation auf Atlanten und nach dem Zornschen Lemma
enthält jede Äquivalenzklasse einen (eindeutigen) maximalen Atlas. Insbesondere, wenn man
Einschränkungen von Karten zu einem Atlas hinzufügt erhält man (offensichtlich) kompatible Atlanten, also wir dürfen immer Karten beliebig verkleinern. Damit können wir immer
annehmen, dass das Bild eine Karte ein Ball BR (0) ⊆ Rn ist.
Anhand der Karten können wir den Begriff einer glatten Abbildung nun definieren.
Definition 3.4. Seien M, N glatte Mannigfaltigkeiten und seien ϕ : U → Rn , ψ : V → Rk
Karten von M um einen Punkt p bzw. von N um f (p), so dass f (U ) ⊂ V (Dies kann immer
durch Einschränkung angennomen werden). Eine Abbildung f : M → N ist glatt in p, falls
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 glatt in p ist:
f
MO
/
ϕ−1
ϕ(U )
/
N
ψ
ψ(V ).
ψ◦f ◦ϕ−1
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
11
Die Abbildung heißt glatt, falls sie in jedem Punkt glatt ist.
Eine glatte Abbildung heißt Diffeomorphismus, falls sie eine glatte Inverse hat und in
diesem Fall schreiben wir M ∼
= N.
Bemerkung 3.5. Die Definition einer glatten Abbildung hängt nicht von der Wahl der Karten
ab.
Beispiel 3.6. 1-Mannigfaltigkeiten: Eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Dimension
1 ist diffeomorph entweder zu S 1 oder zu dem Interval (0, 1).
Bemerkung 3.7. Es gibt wesentliche Unterschiede zwischen glatten und topologischen Mannigfaltigkeiten:
(1) In 1956 zeigte John Milnor, dass es eine 7-dimensionale Mannigfaltigkeit Σ7 gibt,
die zwar homomorph aber nicht diffeomorph zu S 7 ⊆ R8 ist, also dass es Exotische
Spären gibt. Ziel dieser Vorlesung ist seine Beispiele zu besprechen.
(2) In 1982 zeigte Simon Donaldson mit der Hilfe von Arbeiten von Mike Freedman, dass
es topologische 4-Mannigfaltigkeiten gibt, die gar keine glatte Strukturen zulassen.
Insbesondere, gibt es exotische Mannigfaltigkeiten, die homömorph zu R4 sind!
Für Ihre Resultate erhielten alle drei Fields-Medallien.
3.2. Untermannigfaltigkeiten.
Definition 3.8. Sei M eine glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n. Ein Teilraum N ⊆ M
heißt Untermannigfaltigkeit der Dimension k, falls es für jden Punkt p ∈ N eine Karte
ϕ : U → Rn von M um p gibt, so dass
ϕ(U ∩ N ) = Rk × {0} ∩ ϕ(U ) ⊆ Rn .
Die obige Definition heißt, dass N lokal wie Rk × {0} ⊆ Rn in M liegt.
Ein gutes Mittel Untermannigfaltigkeiten, und dadurch glatte Mannigfaltigkeiten, herzustellen ist als Urbilder regulärer Werte. Der folgender Satz folgt unmittelbar aus dem Satz
von der impliziten Funktion.
Proposition 3.9. Sei f : Rn → Rm glatt. Sei q ein regulärer Wert (d.h. Dfp surjektiv
∀p ∈ f −1 (q)). Dann ist f −1 (q) ⊂ Rn eine Untermannigfaltigkeit der Dimension n − m.
Proof. Nach Annahme hat die Jacobimatrix Df Rang m in p ∈ f −1 (q). Daraus folgt, das
eine m × m-Minor Rang k hat. Nach Umbenennung der Variablen können wir annehmen,
dass dieser Minor oben links liegt. Mit anderen Worten hat die Teilmatrix
∂fi
∂xj 1≤i,j≤m
Determinante ungleich 0 in p. Wir betrachten die Abbildung Φ : Rn −→ Rn
(x1 , . . . , xn ) 7−→ (x1 , . . . , xn−m , f1 (x) − q1 , . . . , fm (x) − qm ),
wobei q = f (p) = (q1 , . . . , qm ). Dann ist
Dp Φ =
Idn−m
∗
0
Dp f
12
JONATHAN BOWDEN
und nach dem Satz von der Umkehrabbildung hat Φ eine glatte Inverse Ψ = Φ−1 in eine
Umgebung U von f (p). Das Paar (U, Ψ) ist dann die gesuchte Karte um p, da
Ψ(U ∩ f −1 (q)) = Rn−m × {0} ∩ Ψ(U ) ⊆ Rn .
Zum Beispiel S n = f −1 (1) ⊆ Rn+1 , wobei f (x) = ||x||2 .
28. April 2014
Satz 3.10 (Whitneysche Einbettungssatz). Jede n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit M ,
lässt sich in R2n+1 einbetten: Es gibt eine glatte Einbettung ι : M ,→ R2n+1 , deren Bild eine
glatte Untermannigfaltigkeit ist.
3.3. Vektorbündel und das Tangentialbündel. Intuitiv oder physikalisch entspricht ein
Tangentialvektor die Bestimmung eines Punktes und einer infinitesimalen Richtung. Im Rn
hat jede glatte Kurve γ : (−, ) −→ Rn durch einen Punkt p = γ(0) eine Tangente γ 0 (0) ∈ Rn
in p. Um dies auf Mannigfaltigkeiten zu überführen werden wir Tangentialvektoren mit den
Kurven identifizieren:
Definition 3.11. Seien ηp , γp : (−, ) −→ M glatte Kurven in einer Mannigfaltigkeit M ,
so dass γp (0) = p. Wir führen folgende Äquivalenzrelation ein: Zwei Kurven γp , ηp sind
äquivalent, falls
d
d
(f ◦ γp ) |t=0 =
(f ◦ ηp ) |t=0
dt
dt
für alle glatte Funktionen, die auf einer Umgebung U um p definiert sind. Eine Tangentialvektor in einem Punkt p ist eine Äquivalenzklasse von solchen Kurven [γp ]. Die Menge der
Äquivalenzklassen heißt Tangentialraum in p und wird als Tp M bezeichnet.
Aus dieser Sicht wirken Kurven auf Funktionen durch Ableiten und Kurven sind infinitesimal gleich in einem Punkt, falls die jeweiligen Wirkungen gleich sind. Jede glatte Abbildung
f : M → N induziert eine Pushforward-Abbildung oder totale Ableitung:
Tp f : Tp M → Tf (p) N, [γp ] 7−→ [f ◦ γp ].
Man überlegt sich, dass diese Abbildung wohldefiniert ist. Man verwendet für die induzierte
Abbildung auch die Notation f∗ oder Dp f . Wir werden vorab
∂fi
Dp f =
(p)
∂xj
für die k × n Jacobimatrix einer glatten Abbildung f : Rn → Rk verwenden.
Offensichtlich gilt die Kettenregel:
Tp (g ◦ f ) = Tf (p) g ◦ Tp f.
Insbesondere, falls ϕ : U → Rn eine Karte ist, liefert Tp ϕ eine Bijektion
∼
=
Tp M ←→ Tϕ(p) Rn −→ Rn ,
wobei die letzte Identifikation ist durch die Ableitung in t = 0 gegeben ist:
d
ϕ ◦ γp 7−→
(ϕ ◦ γp ) |t=0 ∈ Rn .
dt
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
13
Somit erbt Tp M eine lineare Struktur:
λ · [γp ] + µ · [ηp ] = Tϕ(p) ϕ−1 (λ · Tp ϕ[γp ] + µ · Tp ϕ[ηp ])
bezüglich welcher die Abbildung Tp f linear ist.
Lemma 3.12. Die lineare Struktur auf Tp M ist wohl definiert, d.h. die hängt nicht von der
Wahl der Karte ab.
Sei f : Rn → Rm glatt mit f (x) = y und seien (x1 , . . . , xn ) Koordinaten bzgl. einer Karte
ϕ und (y1 , . . . , ym ) bzgl. einer anderen Karte ψ. Die Tangentialräume Tx Rn bzw. Ty Rk haben
Standardbasen
∂
∂
∂
∂
,...,
bzw.
,...,
.
∂x1
∂xn
∂y1
∂ym
Bezüglich dieser Basen ist die darstellende Matrix von Tx f genau die Jabobimatrix Dx f .
Kurzum: Die induzierte Abbildung ist in Koordinaten nicht anderes als die übliche Jabobimatrix.
Wir fassen alle Tangentialräume nun als ein Bündel zusammen:
[
π
TM =
Tp M −→ M.
p∈M
Dieses Objekt heißt das Tangentialbündel von M und die Abbildung π, die einen Tangentialvektor auf seinen Fußpunkt abbildet, heißt Projektion. Sei U = {(Uα , ϕα )}α∈I ein Atlas von
M . Dann induziert U einen ‘Atlas’ T U = {(π −1 Uα , T ϕα )}α∈I auf T M . Damit diese Aussage
sinnvoll wird, müssen wir T M mit einer Topologie ausstatten. Diese geschieht indem wir
T M als Verklebung der Mengen T ϕα (Uα ) ∼
= ϕα (Uα ) × Rn ⊆ Rn × Rn ∼
= R2n basteln:
G
T ϕα (Uα )/ ∼
TM =
α∈I
hier werden Xp ∈ Tp ϕβ (Uβ ) mit Yq ∈ Tq ϕα (Uα ) indentifiziert, falls Tp ϕαβ (Xp ) = Yq . Somit
wird T U = {(π −1 Uα , T ϕα )} zu einem glatten Atlas, da die Übergangsfunktionen
T ϕαβ : T ϕβ (Uα ∩ Uβ ) ∼
= ϕβ (Uα ∩ Uβ ) × Rn −→ T ϕα (Uα ) ∼
= ϕα (Uα ∩ Uβ ) × Rn
(x, v) 7−→ (ϕαβ (x), Dx ϕαβ · v)
glatt sind und die Abbildung π offensichtlich auch. Man beachte, dass eine glatte Abbildung
f : M → N eine Tangentialabbildung T f induziert, die faserweise linear ist:
TM
Tf
M
/
TN
/
f
N.
Das Tangentialbündel ist ein wichtiges Beispiel eines Vektorbündels:
π
Definition 3.13. Ein topologischer Raum E −→ B heißt Vektorbündel, falls jede Faser
π −1 (p) ein Vektorraum der Dimension n ist und es eine Überdeckung gibt, so dass es eine
14
JONATHAN BOWDEN
lokale Trivialisierung
/
Φ
∼
=
π −1 U
π
"
U × Rn
prU
{
U
die Faser auf Faser linear abbildet: d.h. das Diagram kommutiert und ist ein linearer Isomorphismus auf π −1 (p). Der Raum E heißt Totalraum und B der Basisraum des Vektorbündels.
Falls E, B glatte Mannigfaltigkeiten sind und π und alle lokale Trivialisierungen glatte
Abbildungen sind, heißt E ein glattes Vektorbündel über B.
Wenn man zwei Trivialisierungen Φi , Φj über Ui bzw. Uj betrachtet, ist die Übergangsfunktion
Uj × Rn
7
Φj
π −1 (Ui ∩ Uj )
Φi ◦Φ−1
j
'
Φi
Ui × Rn
wobei Φi ◦ Φ−1
j (p, v) = (p, gij (p) · v) und gij : Ui ∩ Uj → GL(n, R). Falls E glatt ist, sind diese
Übergangsfunktionen auch glatt. In die Gegenrichtung sei {Ui }i∈I eine Überdeckung von
einer glatten Mannigfaltigkeit und sei gij : Ui ∩ Uj → GL(n, R) eine Kollektion von glatten
Abbildungen, die die folgende Kozykelbedingung zusätzlich erfüllen:
gij (p)gjk (p) = gik (p) auf Ui ∩ Uj ∩ Uk
dann kann man ein Vektorbündel durch Verklebung der lokaler Trivialisierungen konstruieren
G
(Ui × Rn ) / ∼ , wobei (p, v) ∼ (p, gij · v) mit p ∈ Ui ∩ Uj .
E=
i∈I
Beachte, dass die Kozykelbedingung stellt sicher, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation
ist. Wir nennen das Paar (U, (gij )) Strukturkozykel des Vektorbündels bzgl. der Überdeckung
U = {Ui }i∈I .
5. Mai 2014
π
Definition 3.14. Sei E −→ B ein (glattes) Vektorbündel. Eine (glatte) Abbildung s : B → E
heißt Schnitt, falls π ◦ s = idB :
BE
s
π
B
Ein glatter Schnitt des Tangentialbündels heißt ein Vektorfeld und wird oft mit X bezeichnet. Es bezeichne Γ(E) den Raum der Schnitte von E, der mit punktweiser Addition und
Skalarmultiplikation versehen wird.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
15
Eine lokale Trivialisierung eines Vektorbündels ist gegeben durch n lokale Schnitte s1 , . . . , sn ,
die in jedem Punkt linear unabängig sind
(p, (v1 , . . . , vn )) 7−→
n
X
vi · si (p).
i=1
Die Kollektion {si } heißt ein (lokaler) Rahmen. Falls ein Vektorbündel E einen globalen
Rahmen besitzt, heißt E trivial. Mit anderen Worten gibt es (globale) Schnitte s1 , . . . , sn ,
so dass (s1 (p), . . . , sn (p)) für jeden p ∈ B eine Basis der Faser ist.
Zum Beispiel nach Wahl einer Karte hat ein Vektorfeld folgende Gestalt (lokal)
n
X
X=
fi (x)
i=1
∂
∂xi
wobei fi glatte Funktionen sind. Jedes Vektorbündel hat einen kanonischen Schnitt, den
Nullschnitt
s0 : B −→ E, s0 (p) = 0 ∈ Ep = π −1 (p).
3.4. Konstruktionen mit Vektorbündeln. Es gibt etliche Operationen auf Vektorräume,
die bzgl. linearer Abbildungen funktoriell sind. Diese lassen sich auf Vektorbündel genauso
übertragen. Hier genügt es die Strukturkozykel bzgl. einer überdeckung zu bescreiben und
dieser Sichtweise wird die ganze Diskussion etwas erleichtern.
π
Sei nun E −→ B ein (glattes) Vektorbündel. Die Faser π −1 (p) über einen Punkt p ∈ B
bezeichnen wir Ep .
Pullback. Sei f : B 0 −→ B eine glatte Abbildung. Dann das Pullbackbündel ist das Faserprodukt
f ∗ E := {(p0 , v) ∈ B 0 × E | f (p0 ) = π(v)} ⊂ B 0 × E,
dessen Projektion durch Einschränkung der Abbildung B 0 × E −→ B 0 gegeben ist. Weiterhin
induziert die andere Projektion B 0 × E −→ E eine Abbildung f¯, so dass folgendes Diagram
kommutiert:
E0
π0
f¯
B0
/
/
f
E
π
B.
Falls {Ui }i∈I eine Überdeckung von Trivialisierungen von B ist mit entsprechenden Übergangsfunktionen (gij ) ist f ∗ E durch den Kozykel (f ∗ gij ) bzgl. {f −1 Ui }i∈I gegeben.
Falls ι : U ,→ B eine Inklusion ist, schreiben wir E|U anstattι∗ E um die Einschränkungzu
bezeichnen.
π0
π
Whitney-Summe. Es seien E −→ B und E 0 −→ B (glatte) Vektorbündel über den gleichen Basisraum B. Die Whitney-Summe zweier Vektorbündel enspricht der faserweise direkten Summe:
G
E ⊕ E 0 :=
Ep ⊕ Ep0 −→ B.
p∈B
16
JONATHAN BOWDEN
Um diesen Raum zu topologisieren betrachten wir die Übergangsfunktionen (gij ) und (gij0 )
von E bzw. E 0 bzgl. der selben Überdeckung {Ui }i∈I . Wir verkleben dann mittels des Kozykels (gij ⊕ gij0 ), wobei
gij ⊕ gij0 : B −→ GL(n, R) × GL(k, R) → GL(n + k, R).
Falls E, E 0 glatt sind, ist deren Whitney-Summe ebenfalls glatt.
Alternativ kann man die Whitney-Summe mittels einer Pullback-Konstruktion definieren.
Wir betrachten zuerst das Produkt der Bündel, E × E 0 −→ B × B als Vektorbündel mit
Faser Ep × Ep0 = Ep ⊕ Ep0 über einen Punkt (p, p0 ) ∈ B × B. Die Whitney-Summe kann danna
als das das Pullback E ⊕ E 0 = ∆∗ (E × E 0 ) definiert werden, wobei
∆ : B −→ B × B , p 7−→ (p, p)
die Diagonalabildung ist.
Tensorprodukt. Seien E, E 0 mit Übergangsfunktionen (gij ) und (gij0 ) bzgl. einer Überdeckung {Ui }i∈I . Dann die faserweise Tensorprodukt
G
Ep ⊗ Ep0 −→ B
E ⊗ E 0 :=
p∈B
ist gegeben durch den Kozykel (gij ⊗ gij0 ).
Dualisieren. Wir definieren das duale Bündel
G
Ep∗ −→ B
E ∗ :=
p∈B
das durch das Strukturkozykel (U, (gij∗ ) = (U, [gij−1 ]T ) gegeben ist. Um dies zu sehen betrachten wir das duale zum folgenden Diagram
Uj × Rn
Φj
7
π −1 (Ui ∩ Uj )
Φi ◦Φ−1
j
Φi
'
Ui × Rn
nämlich
Uj × (Rn )∗
Φ∗j
w
π −1 (Ui ∩ Uj )
(Φ∗i )−1 ◦Φ∗j
g
Φ∗i
Ui . × (Rn )∗
−1 T
−1 ∗
∗
Es gilt dann (Φ∗i )−1 ◦ Φ∗j = [(Φi ◦ Φ−1
j ) ] und somit ist (gij ) = ([gij ] ).
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
17
Äußeres Produkt. Das faserweise äußeres Produkt
G
Λk E ∗ :=
Λk Ep∗ −→ B
p∈B
hat Strukturkozykel (Λk gij∗ ).
Zwei weitere Konzepte, die wir später brauchen, sind Unterbündel und Bündelmorphismen.
Unterbündel. Eine Teilemenge F ⊆ E heißt Unterbündel von E des Rangs k, falls es
um jeden Punkt p ∈ B eine lokale Trivialisierung Φ : π −1 (U ) −→ U × Rn , so dass
Φ(F ∩ π −1 (U )) = U × (Rk × {0}) ⊆ U × Rn .
Die Einschränkungen dieser Trivialisierung sind dann lokale Trivialisierungen von F .
π0
π
Bündelmorphismen. Es seien E −→ B und sei E 0 −→ B 0 (glatte) Vektorbündel und
f : B → B 0 eine glatte Abbildung. Dann heißt f¯: E −→ E 0 ein Bündelmorphismus über
f falls folgendes Diagramm kommutiert:
E
π0
f¯
B
/
/
f
E0
π
B0.
und f |Ep : Ep → Ef (p) für alle p ∈ B linear ist.
Differential k-Formen. Ein glatter Schnitt α im Kotangentialbündel T ∗ M heißt differential 1-Form. Allgemeiner ein glatter Schnitt ω im k-fachen äußeren Produkt Λk T ∗ M heißt
differential k-Form und der Raum der glatten Schnitte von Λk T ∗ M → M wird Ωk (M )
bezeichnet. Dieser Raum ist ein Modul über C ∞ (M ) unter punktweiser Addition und Multiplikation. In lokalen Koordinaten ist eine glatte k-Form nichts anderes als eine differential
k-Form auf U ⊆ Rn :
X
X
ω|U =
gi1 ,...,ik dxi1 ∧ . . . ∧ dxik =
gI dxI .
I
I=(i1 < ... <ik )
Um genau zu sein, werden die konstanten Schnitte
dxi1 ∧ . . . ∧ dxik (x) = dxi1 ∧ . . . ∧ dxik = dxI
durch die Karte zu einem lokalen Rahmen {(ϕ−1 )∗ dxI } von Λk T ∗ M |U . Der Wert einer k-Form
ω in einem Punkt p wird ωp bezeichnet.
Wir definieren nun das äußere Differential, sowie der Pullback oder Rückzug einer Differentialform.
Definition 3.15 (das äußere Differential). Sei ω ∈ Ωk (M ). Schreibe in lokalen Koordinaten
X
gI dxI .
ω|U =
I
Dann definiere dω ∈ Ω
k+1
(M ), so dass
(dω)|U := d(ω|U ) =
X
I
n
X X
∂gI
dxj
(dgI ) ∧ dxI =
∂xj
j=1
I
!
∧ dxI .
18
JONATHAN BOWDEN
Da ϕ∗αβ d = d ϕ∗αβ für alle Kartenwechsel, hängt diese Definition von der Wahl der Karte
nicht ab.
Definition 3.16. Sei f : M −→ N eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Dann f induziert eine Rückzug- oder Pullback-Abbildung
f∗
Ωk (M ) ←− Ωk (N ),
wobei
(f ∗ ω)p = (T fp )∗ ωf (p) .
In lokalen Koordinaten stimmt diese Definition mit der oben gegebenen Definition 2.9
überein. Das faserweise Dachprodukt ergibt ein Dachproduckt auf der de Rham Algebra
M
Ω∗ (M ) =
Ωk (M )
k≥0
Angesichts der vorigen Bemerkung gelten alle Eigenschaften, die bereits auf offenen Teimengen im Rn galten. Wir fassen im folgenden Lemmata zusammen:
Lemma 3.17. Seien α ∈ Ωk (M ), β ∈ Ωl (M ), γ ∈ Ωm (M ). Dann gilt:
(a) Das Dachprodukt ist bilinear
(b) (Assoziativität): (α ∧ β) ∧ γ = α ∧ (β ∧ γ)
(c) (graduiert- Kommutativität): α ∧ β = (−1)kl (β ∧ α)
(d) (Naturalität): Sei f : M −→ N eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten. Dann gilt f ∗ (α ∧ β) = f ∗ β ∧ f ∗ α.
Lemma 3.18. Seien ω ∈ Ωk (M ), η ∈ Ωl (M ). Dann gilt:
(a) d ◦ d = 0
(b) d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)k ω ∧ dη.
Lemma 3.19. Sei f : M −→ N eine glatte Abbildung zwischen glatten Mannigfaltigkeiten.
(1) Es gilt df ∗ = f ∗ d. Mit anderen Worten das folgende Diagram kommutiert:
Ωk+1 (M ) o
f∗
O
Ωk+1 (N )
O
d
Ωk (M ) o
d
f∗
Ωk (N ).
(2) (Naturalität) Sei g : N −→ P ebenfalls glatt. Dann ist (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ .
Somit definiert Ω∗ einen kontravarianten Funktor:
{glatte Mannigfaltigkeiten, glatte Abbildungen}
Ω∗
/
{differential graded Algebras}.
Wir können nun die de Rham Kohomologie einer Mannigfaltigkeit defininieren
Definition 3.20 (de Rham Kohomologie). Die k-te de Rham Kohomologie von einer
glatten Mannigfaltigkeit M ist definiert als
k
HdR
(M ) =
Ker(d : Ωk (M ) → Ωk+1 (M ))
.
Im(d : Ωk−1 (M ) → Ωk (M ))
Mittels des Dachproduktes wird (H ∗ (M ), ∧) zu einer graduiert-kommutativen Algebra.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
19
Die de Rham Kohomologie ist offensichtlich eine Diffeomorphismus-Invariante einer glatten Mannigfaltigkeit. Wir werden später zeigen, dass die de Rham Kohomologie sogar eine
Homotopieinvariante einer glatten Mannigfaltigkeit ist.
Letztlich kann man analog die de Rham Kohomologie mit kompakten Trägern definieren.
Hierzu definiert man
Ωkc (M ) = {α | supp(α) kompakt } ⊆ Ωk (M ).
Definition 3.21 (de Rham Kohomologie mit kompakten Trägern). Die k-te de Rham
Kohomologie von einer glatten Mannigfaltigkeit M ist definiert als
k
(M ) =
Hc,dR
Ker(d : Ωkc (M ) → Ωk+1
(M ))
c
.
k−1
k
Im(d : Ωc (M ) → Ωc (M ))
∗
Mittels des Dachproduktes wird (Hc,dR
(M ), ∧) zu einer graduiert-kommutativen Algebra.
8. Mai 2014
4. Teilung der eins, Integration und der Satz von Stokes
4.1. Teilung der Eins.
Definition 4.1. Sei {Ui }i∈I eine offene Überdeckung einer glatten Mannigfaltigkeit M . Dann
eine Kollektion von glatten Funktionen (ρα )α∈J , wobei
ρα : M −→ [0, 1]
heißt eine der Überdeckung untergeordnete Teilung der Eins, falls
(1) supp(ρα ) ⊆ Uiα für ein Element aus der Überdeckung
(2) Für jeden Punkt p ∈ X gibt es eine Umgebung Up , so dass Up ∩ supp(ρα ) 6= ∅ für nur
endlich viele α.
(3) Die Summe dieser Funktionen ergibt 1:
X
ρα = 1.
α∈J
Beachte, dass der Punkt (3) sinnvoll ist nach der Annahme, dass ρα (p) 6= 0 für endlich
viele α ∈ J ist.
Um eine Teilung der Eins zu konstruieren, benötigen wir eine Buckelfunktion. Definiere
( 1
e x2 −1 if |x| < 1
φ(x) =
0
if |x| ≥ 1.
Diese Funktionen hat folgende Eigenschaften
• φ ist glatt
• supp(φ) = [−1, 1]
• 0 < φ(x) ≤ 1 auf (−1, 1).
Sei nun BR (0) ⊆ Rn ein R-Ball. Wir definieren eine Buckelfunktion durch fR = φ(R−1 ||x||),
so dass fR > 0 auf BR (0) und supp(fR ) = B R (0). Wir zeigen nun, dass glatte Mannigfaltigkeiten immer eine Teilung der Eins zulassen.
20
JONATHAN BOWDEN
Lemma 4.2. Sei M eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit. Dann gibt es eine Ausschöpfung
von M durch kompakte Mengen Kn , so dass
K0 ⊆ int(K1 ) ⊆ K1 ⊆ int(K2 ) ⊆ K2 · · · .
Proof. Betrachte eine Überdeckung durch Karten Ux um jeden Punkt x ∈ M , so dass
ϕx (Ux ) = B0 (3). Wir schränken diese Karten dann ein, so dass ϕx (Ux0 ) = B0 (1) ⊆ B0 (3). Somit haben Ux0 kompakte Abschlüsse in M . Wegen Abzählbarkeit, können wir eine abzählbare
0
Teilüberdeckung {Un0 }n∈N finden. Wir setzen K1 = U 1 . Dann definieren wir Kn+1 indem wir
0
eine endliche Teilüberdeckung Un0 k von Kn nehmen, die Un+1
enthält, und setzen
[
[ 0
U nk ⊇ int(Kn+1 ) =
Un0 k ⊇ Kn . Kn+1 =
Proposition 4.3. Sei {Ui }i∈I eine offene Überdeckung einer glatten Mannigfaltigkeit M .
Dann gibt es eine dieser Überdeckung untergeordnete Teilung der Eins. Weiterhin gilt
supp(ρα ) ⊆ Uα
für eine Karte ϕα : Uα −→ B0 (3) ⊆ Rn .
Proof. Betrachte die Ausschöpfung, die durch Lemma 4.2 gegeben ist. Dann ist
Vn = int(Kn ) \ Kn−3
eine offene Überdeckung von M und Wn = Kn−1 \ int(Kn−2 ) ist ebenfalls eine Überdeckung
durch kompakte Mengen mit Wn ⊆ Vn . Beachte Vn , Wn und Vm , Wm sind disjunkt sobald
|n − m| ≥ 3. Sei nun Ux eine Karte um x, so dass ϕx : Ux −→ B0 (3) ⊆ Rn und so dass
Ux sowohl in einer der Vn als auch in einer der Ui enthalten ist. Setze Ux0 = ϕ−1
x (B0 (1)).
Die Ux0 überdecken Wn und haben eine endliche Teilüberdeckung Ux0 1 , . . . , Ux0 k . Sei f eine
Buckelfunktion auf B3 (0) mit supp(f ) ⊆ B2 (0) und f (B1 (0)) > 0. Setze fi = f ◦ ϕxi . Sei fk
eine Anordnung der Gesamtheit dieser Funktionen über alle Wn und setze
fk (p)
ρk (p) = P
.
j fj (p)
Dann liefert (ρk ) die gewünschte Teilung der Eins.
Lemma 4.4 (Glatte Urysohn). Sei K ⊂ M kompakt und sei U eine offene Umgebung von
K. Dann gibt es eine glatte Abbildung φK : M → [0, 1], mit supp(φK ) ⊆ U und φK (K) = 1.
Proof. Betrachte eine Teilung der Eins (ρα ), die der Überdeckung {U, M \ K} untergeordnet
ist. Seien ρ1 , . . . , ρn die Funktionen mit supp(ρi ) ∩ K 6= ∅ und setze
n
X
φK (p) =
ρi (p). i=1
4.2. Integration und Orientierungen.
Definition 4.5. Eine glatte Mannigfaltigkeit heißt orientierbar, falls es einen Atlas A gibt,
so dass für alle Kartenwechsel
det Dϕαβ > 0.
Ein Atlas mit dieser Eigenschaft heißt orientierer Atlas. Ein Diffeomorphismus
f : W ⊆ Rn −→ W 0 ⊆ Rn
heißt orientierungserhaltend, falls det Df > 0.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
21
Zwei orientierer Atlanten A1 , A2 bestimmen die gleiche Orientierung, falls A1 ∪ A2 wieder
ein orientierer Atlas. Eine Mannigfaltigkeit mit der Wahl einer orientieren Atlas heißt einfach
orientierte Mannigfaltigkeit.
Beispiel 4.6. Das Möbiusband ist nicht orientierbar. Die n-Sphäre ist jedoch orientierbar.
Lemma 4.7. Eine glatte Mannigfaltigkeit ist orientierbar, genau dann wenn es eine n-Form
Ω gibt, die nirgendwo verschwindet.
Bemerkung 4.8. Falls M zusammenhängend ist, gibt es genau zwei Orientierungen, die den
positiven bzw. negativen n-Formen entsprechen. Wenn man mit Atlanten arbeitet, entsprechen die Orientierungen den zwei maximalen orienterten Atlanten.
Wir können nun das Integral einer n-Form auf einer orientierten Mannigfaltigkeit.
Definition 4.9. Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit. Sei Ω eine n-form mit kompaktem Träger. Sei weiterhin (Un , ϕn )1≤n≤N eine endliche Überdeckung von supp(Ω) = K durch
Karten und (ρn )n∈N eine Teilung der Eins, die der Überdeckung {U1 , . . . , UN , M \ K} untergeordnet ist, so dass supp(ρn ) ⊆ Un . Dann
Z
N Z
N Z
X
X
−1 ∗
(ϕn ) (ρn Ω) =
fn dx1 . . . dxn ,
Ω :=
M
n=1
ϕn (Un )
n=1
ϕn (Un )
wobei das Integral auf der rechten Seite das übliche Riemannsches Integral bezeichnet und
fn ∈ Cc∞ (ϕn (Un )).
Lemma 4.10 (Transformationsformel). Sei ω eine n-Form mit kompaktem Träger und seien
(U, ϕ) und (V, ψ), so dass supp(ω) ⊆ U ∩ V . Falls γ = ψ ◦ ϕ−1 orientierungserhaltend ist,
dann gilt
Z
Z
−1 ∗
(ϕ ) ω =
(ψ −1 )∗ ω
ϕ(U ∩V )
ψ(U ∩V )
Proof. Seien (x1 , . . . , xn ) die Koordinaten in der Karte U und (y1 , . . . , yn ) die Koordinaten
in der Karte V . Dann nach der Transformationsformel für das Integral gilt
Z
Z
−1 ∗
(ψ ) ω =
f dy1 . . . dyn
ψ(U ∩V )
ψ(U ∩V )
Z
=
(f ◦ γ)| det(D γ)|dx1 . . . dxn
γ −1( ψ(U ∩V ))
Z
Z
=
(f ◦ γ) det(D γ)dx1 ∧ . . . ∧ dxn =
γ ∗ (f dy1 . . . dyn )
ϕ(U ∩V )
ϕ(U ∩V )
Z
Z
=
γ ∗ (ψ −1 )∗ ω =
(ϕ−1 )∗ ω.
ϕ(U ∩V )
ϕ(U ∩V )
Proposition 4.11. Das Integral definiert eine wohldefinierte lineare Abbildung
I : Ωnc (M ) → R.
Proof. Linearität ist klar, sobald wir die Wohldefiniertheit nachgeprüft haben. Sei (Vm )1≤m≤M
eine andere Überdeckung von supp(Ω) durch Karten (Vm , ψm ) und σm eine Teilung der Eins,
22
JONATHAN BOWDEN
so dass supp(σm ) ⊆ Vm . Es gilt
N Z
N Z
X
X
−1 ∗
(ψn ) (ρn Ω) =
n=1
ϕn (Un )
n=1
∗
(ϕ−1
n )
∗
(ϕ−1
n ) (ρn σm Ω)
ϕn (Un ∩Vm )
X Z
n=1,m=1
=
M
X
m=1
−1 ∗
) (ρn σm Ω) =
(ψm
ψm (Vm )
Z
σm Ω
=
X Z
n=1,m=1
m=1
X Z
=
n=1,m=1
N,M
=
N,M
! !
∗
(ϕ−1
n ) (ρn σm Ω)
ϕn (Un )
N,M
X Z
n=1,m=1
ρn
ϕn (Un )
N,M
=
M
X
M Z
X
m=1
−1 ∗
(ψm
) (ρn σm Ω)
nach Lemma 4.10
ψm (Un ∩Vm )
−1 ∗
)
(ψm
ψm (Vm )
N
X
!
−1 ∗
) (σm Ω)
ρn (ψm
n=1
−1 ∗
(ψm
) (σm Ω)
ψm (Vm )
12. Mai 2014
4.3. Mannigfaltigkeiten mit Rand. Wir bezeichnen den unteren Halbraum
Hn− = {(x1 , . . . , xn ) | x1 ≤ 0} ⊆ Rn
und
∂Hn− = {(x1 , . . . , xn ) | x1 = 0} ∼
= Rn−1 ⊆ Rn .
Eine reelle Funktion f : U ⊆ Hn+ → R ist glatt, falls es eine glatte Fortsetzung
f˜: Ũ ⊆ Rn −→ R
mit Ũ eine offene Teilmenge in Rn gibt.
Definition 4.12. Ein Hausdorffscher topologischer Raum mit abzählbarer Basis M heißt
topologische Mannigfaltigkeit der Dimension n mit Rand, falls es für jeden Punkt
p ∈ M eine offene Umgebung U und einen Homöomorphismus ϕ : U −→ ϕ(U ) ⊆ Hn+ gibt,
so dass ϕ(U ) offen ist.
Das Paar (U, ϕ) heißt Karte um p und eine Kollektion von Karten U = {(Uα , ϕα )}α∈I ,
so dass die Uα den Raum M überdecken heißt Atlas von M .
Ein Atlas heißt glatte Struktur, falls alle Kartenwechsel
ϕαβ = ϕα ◦ ϕ−1
β : ϕβ (Uα ∩ Uβ ) −→ ϕα (Uα ∩ Uβ )
für alle α, β mit Uα ∩ Uβ 6= 0 zusätzlich ein Diffeomorphismus ist. In diesem Fall heißt M
eine glatte Mannigfaltigkeit mit Rand.
Die Punkte, so dass ϕ(p) ∈ ∂Hn+ heißen Randpunkten und die Gesamtheit dieser Punkte
∂M heißt Rand von M .
Bemerkung 4.13. Der Rand einer (glatten) Mannigfaltigkeit (falls nicht leer) ist auf kanonischer Art und Weise eine (glatte) Mannigfaltigkeit der Dimension n − 1.
Beispiel 4.14.
(1) M = B 1 (0) ⊆ Rn . Dann ist ∂M = S n−1
(2) M eine Mannigfaltigkeit ohne Rand und V = ϕ−1 B1 (0) ⊂ M für eine Karte
ϕ : U −→ B3 (0) ⊆ Rn
dann ist M \ V eine Mannigfaltigkeit mit Rand.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
23
(3) Sei M eine Mannigfaltigkeit mit Rand und N eine Mannigfaltigkeit ohne Rand. Dann
ist das Produkt eine Mannigfaltigkeit mit Rand ∂(M × N ) = ∂M × N .
Genau wie im Falle ∂M = ∅, heißt M orientiert, falls alle Kartenwechsel orienierungserhaltend sind. Wir haben folgendes Lemma über die Orientierbarkeit des Randes einer Mannigfaltigkeit.
Lemma 4.15. Falls M orientierbar ist, ist der Rand auch eine orientierbare Mannigfaltigkeit
und jede Orientierung auf M induziert eine Orientierung auf ∂M .
Proof. Sei A+ eine orientierter Atlas von M und sei A∂M der induzierter Atlas auf ∂M , der
durch Einschänkung gegeben ist. Sei ϕαβ ein Kartenwechsel und p ∈ ∂M . Dann erhält ϕαβ
die Hyperebene 0 × Rn−1 ⊆ Rn . Somit hat die Jacobi-Matrix von ϕαβ folgende Gestalt:
∂ϕαβ
0
∂x1
Dp ϕαβ =
∗
Dp ϕαβ |Rn−1
Da ϕαβ die untere Halbebene erhält, gilt auch
∂ϕαβ
∂x1
> 0. Somit ist
∂ϕαβ
det(Dp ϕαβ |Rn−1 ) > 0 ⇐⇒ det(Dp ϕαβ |Rn−1 ) > 0
∂x1
ist schließlich ein orientierter Atlas von ∂M.
det(Dp ϕαβ ) =
und A∂M
Man sagt, dass die Orientierung des Randes durch einen nach außen gerichtete Normale
gegeben wird. Somit induziert die rechtshändige Orientierung auf R2 die Orientierung gegen
den Urzeigersinn auf S 1 = ∂D1 (0).
Satz 4.16 (Satz von Stokes). Es sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit mit orientiertem
(M ). Dann gilt
Rand ∂M . Sei weiterhin ω ∈ Ωn−1
c
Z
Z
dω =
ω.
M
∂M
Proof. Durch eine Teilung der Eins, genügt die Aussage für Formen mit Träger in einer Karte
zu zeigen. Weiterhin nehmen wir an, dass
supp(ω) ⊆ B = [a1 , b1 ] × . . . × [an , bn ] ⊆ Hn− .
Wir schreiben
n
X
ci ∧ . . . ∧ dxn .
ω=
(−1)i−1 fi dx1 ∧ . . . ∧ dx
i=1
Dann gilt
dω =
n
X
∂fi
dx1 ∧ . . . ∧ dxi ∧ . . . ∧ dxn .
∂x
i
i=1
Also
Z
Z
dω =
M
Rn
n
X
∂fi
∂xi
I=1
!
dx1 . . . dxn .
Nach dem Satz von Fubini gilt dann
Z 0
Z
Z
Z
∂f1
∂f1
dx1 . . . dxn =
dx1 dx2 . . . dxn =
f1 (0, x2 , . . . , xn )dx2 . . . dxn
Rn ∂x1
Rn−1
−∞ ∂x1
Rn−1
24
JONATHAN BOWDEN
und für i ≥ 2
Z
Rn
∂fi
dx1 . . . dxn =
∂xi
Z
∞
Z
(−∞,0]×Rn−2
−∞
∂fi
ci . . . dxn = 0,
dxi dx1 . . . dx
∂xi
da fi kompakten Träger hat. Somit gilt
Z
Z
Z
dω =
fi (0, x2 , . . . , xn )dx2 . . . dxn =
0×Rn−1
M
Z
fi (t1 , . . . , tn−1 )dt1 . . . dtn−1 =
Rn−1
ω. ∂M
Als Korollar folgt, dass Integration eine Abbildung auf Kohomologie induziert.
Korollar 4.17. Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit ohne Rand. Die Integrationsabbiln
(M ) −→ R ist wohldefiniert:
dung Hc,dR
Z
[ω] 7−→
ω.
M
5. de Rham Kohomologie: Eigenschaften und Berechnungen
5.1. Poincaré Lemmata. Wir möchten nun die de Rham Kohomologie von Rn berechnen.
Lemma 5.1 (Poincarésches Lemma). Die Projektion Rn × R −→ Rn , (x, t) 7−→ x induziert
einen Isomorphismus
∗
∗
HdR
(Rn−1 ) ∼
(Rn ),
= HdR
dessen Inverse durch den Schnitt s : Rn → Rn × R, s(x) = (x, 0) induziert wird.
Proof. Es ist π ◦ s = Id und somit gilt s∗ ◦ π ∗ = Id. Wir müssen nun zeigen, dass π ∗ ◦ s∗ = Id
auf Kohomologie. Wir definieren eine Kettenhomotopie K : Ωk (Rn × R) → Ωk−1 (Rn × R), so
dass
dK − Kd = (−1)k−1 (Id − π ∗ ◦ s∗ ).
Jede k-Form lässt sich als lineare Kombination von Formen folgender Gestalt schreiben,
wobei φ ∈ Ωk (Rn ):
(π ∗ φ) f (x, t)
und
(π ∗ φ) f (x, t)dt.
Dann definieren wir
K
(π ∗ φ) f (x, t) 7−→ 0
und
Z
t
K
(π ∗ φ) f (x, t)dt 7−→ π ∗ φ
f (x, τ )dτ
0
und setzen K durch Linearität fort. Wir berechnen
"
!
#
n
X
∂f
∂f
k
∗
Kd (π φ) f (x, t) = K (π dφ) f (x, t) + (−1) (π φ)
dxi + (−1) (π φ)
dt
∂xi
∂t
i=1
Z t
∂f
k ∗
= (−1) π φ
(x, τ )dτ = (−1)k (π ∗ φ) f (x, t) − (−1)k (π ∗ φ) f (x, 0)
∂τ
0
k
= (−1) (Id − π ∗ ◦ s∗ ) (π ∗ φ) f (x, t)
∗
∗
k
∗
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
25
Weil K((π ∗ φ)) = 0, folgt Gleichheit in diesem Fall. Weiterhin berechnen wir:
"
!
#
n
X
∂f
∗
∗
k−1
∗
Kd (π φ) f (x, t)dt = K (π dφ) f (x, t)dt + (−1)
(π φ)
dxi ∧ dt
∂xi
i=1
!
Z t
n Z t
X
∂f
= π ∗ dφ
f (x, τ )dτ + (−1)k−1 (π ∗ (φ ∧ dxi ))
(x, τ )dτ
∂xi
0
i=1 0
und
∗
t
Z
∗
f (x, τ )dτ
dK (π φ) f (x, t)dt = d π φ
0
= π ∗ dφ
Z
t
f (x, τ )dτ + (−1)k−1 π ∗ (φ ∧ dxi )
0
k−1
+ (−1)
n Z
X
i=1
0
t
∂f
(x, τ )dτ
∂xi
!
∗
(π φ) f (x, t)dt
Somit gilt
dK − Kd = (Id − π ∗ ◦ s∗ ).
und folglich gilt auch Id − π ∗ ◦ s∗ auf Kohomologie: Sei ω geschlossen, dann
(Id − π ∗ ◦ s∗ )ω = dK(ω) − Kdω = dK(ω)
k
⇐⇒ [ω] = [ω + dK(ω)] = π ∗ ◦ s∗ [ω] in HdR
(Rn × R).
15. Mai 2014
π
Der gleiche Beweis zeigt, dass die Abbildung M × R −→ M, (p, t) 7−→ p für eine beliebige
glatte Mannigfaltigkeit einen Isomorphismus auf Kohomologie induziert.
Lemma 5.2. Die Projektion M × R −→ M, (p, t) 7−→ p induziert einen Isomorphismus
H ∗ (M ) ∼
= H ∗ (M × R),
dR
dR
dessen Inverse durch den Schnitt s : M → M × R, s(x) = (x, 0) induziert wird.
Merfache Anwendung dieses Lemmas ergibt folgendes:
Korollar 5.3. Es gilt
(
R falls k = 0
k
k
HdR
(Rn ) ∼
(pt) =
= HdR
0 falls k ≥ 1.
Aus Lemma 5.2 folgt auch die Homotopieinvarianz der de Rham Kohomologie.
Definition 5.4. Zwei glatte Abbildungen f0 , f1 : M → N sind homotop als glatte Abbildungen, falls es eine glatte Abbildung F : M × R −→ N so dass
F |M ×{i} = fi .
Man schreibt in diesem Fall f0 ' f1 . Zwei Mannigfaltigkeiten sind homotopieäquivalent
falls es glatte Abbildungen f : M −→ N und g : N −→ M , so dass
g ◦ f ' IdM und f ◦ g ' IdN .
26
JONATHAN BOWDEN
Ein wichtiger Spezialfall einer Homotopieäquivalenz ist der einer Deformationsretraktion:
ι
M ,→ N , so dass es eine r : N −→ M gibt, mit r|M = IdM und r ◦ ι ' IdM . Zum Beispiel
ι
0 ,→ Rn . Falls M ' pt dann heißt M zusammenziehbar.
Korollar 5.5. Seien f0 , f1 : M −→ N glatt. Falls f0 ' f1 , dann gilt f0∗ = f1∗ . Insbesondere,
falls f eine Homotopieäuivalenz ist, ist f ∗ ein Isomorphismus.
Proof. Sei F : M × R −→ N eine Homotopie. Weiterhin seien ι0 , ι1 : M −→ M × R die
Abbildungen p 7−→ (p, 0) bzw. p 7−→ (p, 1). Dann betrachten wir folgendes Digramm:
M
ι0
M×
O R
$
π
/
;M
ι1
M
Es folgt π ◦ ι0 = IdM = π ◦ ι0 =⇒ (π ∗ )−1 = ι∗0 = ι∗1 . Aber dann gilt
f0 = F ◦ ι0 und f1 = F ◦ ι1 =⇒ f0∗ = ι∗0 ◦ F ∗ = ι∗1 ◦ F ∗ = f1∗ . Lemma 5.6 (Poincarésches Lemma mit kompakten Trägern). Es gibt einen Isomorphismus
H ∗ (M ) ∼
= H ∗ (M × R).
c,dR
c,dR
Proof. Jede k-Form lässt sich als lineare Kombination von Formen folgender Gestalt schreiben:
(π ∗ φ) f (x, t) und (π ∗ φ) f (x, t)dt,
wobei φ ∈ Ωkc (M ), f (x, t) ∈ Cc∞ (M × R).
Dann definieren wir die Pushforward-Abbildung π∗ : Ωkc (M × R) −→ Ωk−1
(M )
c
π
∗
(π ∗ φ) f (x, t) 7−→
0
und
π∗
∗
Z
∞
(π φ) f (x, t)dt 7−→ φ
f (x, τ )dτ
−∞
und setzen π∗ durch Linearität fort. Die Inverse (auf Kohomologie) zur π∗ ist gegeben durch
e∗ : Ωk−1
(M ) −→ Ωkc (M × R)
c
Z
∗
1
e∗ (φ) = π (φ ∧ e), wobei e ∈ Ωc (R) und
e = 1.
R
Man überprüft, dass sowohl π∗ als auch e∗ Kettenabbildungen sind, d.h. π∗ d = dπ∗ sowie
e∗ d = de∗ gelten. Es gilt auch π∗ ◦ e∗ = Id auf Ωkc (M ). Es bleibt dann zu zeigen, dass
e∗ ◦ π∗ = Id.
Definiere nun eine Kettenhomotopie K : Ωkc (M × R) → Ωck−1 (M × R)
K((π ∗ φ) f (x, t)) = 0
∗
Z
t
Z
∞
f (x, τ )dτ − A(t)φ
und K((π φ) f (x, t)dt) = φ
−∞
Z
t
f (x, τ )dτ, wobei A(t) =
−∞
e.
−∞
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
27
Eine Rechnung zeigt, dass
dK − Kd = (−1)k−1 (Id − e∗ ◦ π∗ )
und somit sind π∗ und e∗ Isomorphismen. Hierzu siehe [Bott-Tu], pp. 38–39.
Mehrfache Anwendung zeigt:
Korollar 5.7. Es gilt
(
R
k
(Rn ) =
Hc,dR
0
falls k = n
falls k =
6 n.
Ein Erzeuger ist durch eine Buckelform
η = ρ(x1 )dx1 ∧ ρ(x2 )dx2 ∧ . . . ∧ ρ(xn )dxn ,
wobei ρ ∈
Cc∞ (R)
und
R
R
ρ(t)dt = 1.
5.2. Die Mayer-Vietoris Sequenz. Wir wiederholen zwei wichtige Tatsachen aus der homologische Algebra.
Lemma 5.8 (Fünferlemma). Betrachte ein kommutierendes Diagramm von Vektorräumen
(oder R-Moduln, R kommutativ mit 1), so dass alle Zeilen exakt sind:
/
A1
α1
α2
/
B1
/
A2
α3
/
B2
/
A3
/
B3
/
A4
α4
/
B4
A5
α5
B5 .
Falls α1 , α2 , α4 , α5 Isomorphismen sind, ist auch α3 .
Es bezeichne A∗ = (⊕An , d) ein Kettenkomplex (von Vektorräumen oder R-Moduln)
d
d
d
d
. . . −→ An−1 −→ An −→ An+1 −→ . . . ,
so dass d2 = 0. Eine Kettenabbildung zwischen α : A∗ → B ∗ ist durch eine Familie von
Abbildungen αn : An −→ Bn gegeben, so dass dαn−1 = αn d.
j
i
Lemma 5.9 (Zig-Zag Lemma). Sei 0 −→ A∗ −→ B ∗ −→ C ∗ −→ 0 eine kurze exakte
Sequenzen von Kettenkomplexen. Dann induziert diese eine lange exakte Sequenz in Kohomologie:
d∗
d∗
j
i
· · · −→ H n−1 (C ∗ ) −→ H n (A∗ ) −→ H n (B ∗ ) −→ H n (C ∗ ) −→ H n+1 (A∗ ) −→ · · · .
Sei M = U ∪ V , wobei U, V offene Mengen sind und betrachte die Inklusionen:
U; ∪ Vc
i
j
Uc
;
k
V
l
U ∩V
Dann betrachten wir
i∗ ⊕j ∗
k∗ −l∗
0 −→ Ω∗ (M ) −→ Ω∗ (U ) ⊕ Ω∗ (V ) −→ Ω∗ (U ∩ V ) −→ 0.
Diese Sequenz ist exakt:
28
JONATHAN BOWDEN
• Da ω = 0 ⇐⇒ ω|U = 0 und ω|V = 0, ist die erste Abbildung injektiv.
• Es gilt (k ∗ − l∗ )(ω, ω 0 ) = 0 ⇐⇒ ω|U ∩V = ω 0 |U ∩V . Dann definiere ω̃, so dass ω̃|U = ω
und ω̃|V = ω 0 . Es gilt dann (i∗ ⊕ j ∗ )ω̃ = (ω, ω 0 ) und somit ist die Sequenz an der
zweiten Stelle exakt.
• Sei nun ω ∈ Ωk (U ∩ V ) und sei ρU , ρV glatte Funktionen auf M mit ρU + ρV = 1 und
supp(ρU ) ⊆ U und supp(ρV ) ⊆ V . Dann
k∗ −l∗
(ρV ω, −ρU ω) 7−→ ω
und die letzte Abbildung ist surjektiv. Hier ρV ω bezeichnet die Form, die auf U ∩ V
durch ρV ω gegeben ist und als 0 fortgesetzt wurde und ρU ω wird analog definiert.
Somit induziert sie eine lange exakte Sequenz in de Rham Kohomologie genannt MayerVietoris Sequenz.
Lemma 5.10 (Mayer-Vietoris Sequenz). Sei M = U ∪ V mit U, V ⊆ M offen. Dann gibt es
eine lange exakte Sequenz
i∗ ⊕j ∗
d∗
k∗ −l∗
d∗
n−1
n+1
n
n
n
n
· · · −→ HdR
(U ∩V ) −→ HdR
(M ) −→ HdR
(U )⊕HdR
(V ) −→ HdR
(U ∩V ) −→ HdR
(M ) −→ · · · .
n−1
Wir beschreiben nun den verbindenden Homorphismus d∗ nun explizit: Sei [ω] ∈ HdR
(U ∩
∗
∗
k −l
V ). Dann mit ρU und ρV wie oben (ρV ω, −ρU ω) 7−→ ω. Weil ω geschlossen ist, gilt dann
(d(ρV ω), −d(ρU ω)) ∈ Ker(k ∗ − l∗ ) und nach Exaktheit gibt es η ∈ Ωn (M ), so dass
i∗ ⊕j ∗
η 7−→ (d(ρV ω), −d(ρU ω)).
Dieses Element ist dann Representant der Klasse d∗ [ω] = [η].
∗
Beispiel 5.11. HdR
(S n ): Wir berechnen induktiv mittels der Mayer-Vietoris-Sequenz. Beachte
(
R2 falls k = 0
∗
HdR
(S 0 ) =
0
falls k ≥ 1.
0
und HdR
(S n ) ∼
= R, n ≥ 0. Betrachte die Überdeckung gegeben durch Karten U = S n \{N } ∼
=
n
n
n
∼
R und V = S \ {S} = R , wobei S, N der Süd- bzw. Nordpol ist. Dann
U ∩V ∼
= Rn \ {0} ∼
= S n−1 × (0, ∞) ' S n−1 .
Aus der Mayer-Vietoris-Sequenz folgt für k ≥ 1
∼
=
k+1
k+1
k+1
k
k
(Rn ) ⊕ HdR
(Rn ) .
H k (Rn ) ⊕ HdR
(Rn ) −→ HdR
(S n−1 ) −→ HdR
(S n ) −→ HdR
| dR
{z
}
|
{z
}
=0
=0
Falls k = 0 erhalten folgende Sequenz
0
0
1
0 −→ HdR
(S n ) −→ R2 −→ HdR
(S n−1 ) −→ HdR
(S n ) −→ 0.
| {z }
| {z }
=R
Falls n = 1, folgt
1
HdR
(S 1 )
=R2
1
∼
(S n ) ∼
= R und falls n ≥ 2, dann HdR
= 0. Es folgt für n ≥ 1:
(
R falls k = 0, n
∗
HdR
(S n ) =
0 sonst.
∗
Beispiel 5.12. HdR
(CP n ): Betrachte H = {[z0 ; z1 ; · · · ; zn ] | zn = 0} ∼
= CP n−1 ⊆ CP n . Setzte
U = CP n \ H ∼
= Cn und V = CP n \ {H ⊥ }, wobei H ⊥ = [0; 0; . . . ; 0; 1]. Dann gilt
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
29
• U ∩ V = Cn \ {0} ' S 2n−1
• V 'H∼
= CP n−1 , wobei eine Retraktion durch die Projektion Cn+1 → Cn induziert
wird.
Beachte CP 1 ∼
= S 2 und im obigen Beispiel wurde die Kohomologie dieses Raumes berechnet.
Für n ≥ 2 erhalten wir
k
k
k
k
H k−1 (Cn \ {0}) −→ HdR
(Cn ) ⊕HdR
(Cn \ {0}) .
(CP n ) −→ HdR
(CP n−1 ) −→ HdR
| {z }
|
{z
}
| dR {z
}
=0
k (S 2n−1 )
=HdR
k (S 2n−1 )
=HdR
2n−1
k
k
Es gilt dann HdR
(CP n ) ∼
(CP n−1 ), falls k ≤ 2n − 2. Für k = 2n − 1 ist HdR
(CP n ) ∼
= HdR
=0
2n−1
2n
n ∼
2n−1
und HdR (CP ) = HdR (S
) = R.
Also
(
R falls k = 0, 2, 4, . . . , 2n
k
(CP n ) =
HdR
0 sonst.
19. Mai 2014
Man hat auch folgende Version der Mayer-Vietoris-Sequenz für Kohomologie mit kompakten Trägern:
Lemma 5.13 (Mayer-Vietoris Sequenz mit kompakten Trägern). Sei M = U ∪V mit U, V ⊆
M offen. Dann gibt es eine lange exakte Sequenz
d
−i∗ ⊕j∗
k +l
d
∗
∗
∗
∗
Hcn (M ) −→
Hcn+1 (U ∩V ) −→ · · · .
· · · −→ Hcn−1 (M ) −→
Hcn (U ∩V ) −→ Hcn (U )⊕Hcn (V ) −→
5.3. Gute Überdeckungen und Endlichdimensionalität.
Definition 5.14. Eine endliche Überdeckung {Ui }i∈I einer glatten Mannigfaltigkeit heißt
gut, falls alle Ui diffeomorph zu Rn sind und jeder endlicher Schnitt
Ui1 ∩ . . . ∩ Uik ∼
= Rn ,
falls nicht leer.
Satz 5.15. Jede glatte Mannigfaltigkeit hat eine (lokal endliche) gute Überdeckung.
Beweisskizze. Falls M ⊆ Rn offen, dann können wir eine (nur lokal endliche) Überdeckung
von offenen konvexen Mengen nehmen. Im Allgemeinen, nimmt mann geodätisch konvexe
Mengen bezüglich einer Riemannschen Metrik.
Falls M kompakt ist, hat M eine endliche gute Überdeckung.
Lemma 5.16. Sei M = tα∈I Mα . Dann gilt
∗
HdR
(M ) ∼
=
Y
∗
HdR
(Mα ).
α∈I
Andereseits für kompaktgetragene Kohomologie gilt:
M
∗
∗
(M ) ∼
Hc,dR
(Mαi ).
Hc,dR
=
i∈I
30
JONATHAN BOWDEN
Proof. Die Abbildung ω 7−→ (ι∗α ω)α∈I induziert ein Isomorphismen von DGA’s:
Y
Ω∗ (M ) −→
Ω∗ (Mα ).
α∈I
und
Ω∗c (M ) −→
M
Ω∗c (Mα ). α∈I
Satz 5.17. Sei M eine Mannigfaltigkeit, die eine endliche gute Überdeckung zulässt. Dann
k
k
sind HdR
(M ) und Hc,dR
(M ) endlichdimensional. Insbesondere, falls M kompakt ist, sind die
k
Vektorräume HdR (M ) endlichdimensional.
Proof. Sei U1 , . . . , Un eine gute Überdeckung. Wir führen jetzt Induktion nach n durch. Falls,
n = 1 folgt die Aussage aus den Poincareschén Lemmata. Für den Induktionsschritt setzen
wir
n−1
[
U=
Ui , und V = Un .
i=1
Dann folgt die Aussage nach der Induktionsannahme, dem Poincareschén Lemma und der
Mayer-Vietoris-Sequenz.
5.4. Poincaré-Dualität. Sei M eine orientierte Mannigfaltigkeit. Wir betrachten die bilineare Paarung:
Z
k
n−k
h , i : H (M ) ⊗ Hc (M ) −→ R, hω, ηi =
ω ∧ η.
M
Eine Paarung ist nicht entartet, falls ∀ ω ∃ η, so dass hω, ηi 6= 0. Falls die Vektorräume
endlichdimensional sind, dann induziert ω 7−→ hω, ·i einen Isomorphismus
∗
H k (M ) ∼
= H n−k (M ) .
c
Aus den Poincaré Lemmata folgt sofort:
Lemma 5.18. Die Poincaré-Paarung
H ∗ (Rn ) ⊗ Hc∗−k (Rn ) −→ R
ist nicht entartet.
Satz 5.19 (Poincaré Dualität). Sei M eine orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension
n, die eine endliche gute Überdeckung zulässt. Dann ist die Poincaré Paarung nicht entartet
und somit
H k (M ) ∼
= (Hcn−k (M ))∗ .
Insbesondere, falls M geschlossen ist (kompakt ohne Rand), folgt dann
H k (M ) ∼
= (H n−k (M ))∗ ∼
= H n−k (M ).
c
Proof. Siehe [Bott-Tu], pp. 45-46.
22. Mai 2014
Beachte dass der erste Isomorphismus nicht natürlich ist. Der Satz besagt nur, dass die
Vektorräume isomorph sind.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
31
Bemerkung 5.20. Poincaré-Dualität gilt auch für nicht kompakte Mannigfaltigkeiten, die nur
lokal endliche gute Überdeckungen zulässen.
k
(M ) heißt k-te Bettizahl von M .
Definition 5.21. Die Dimension bk (M ) = dimR HdR
Mittels Bettizahlen ist Poincaré-Dualität die Aussage bk (M ) = bn−k (M ), falls M orientierbar
und geschlossen ist.
Definition 5.22. Die Euler-Charakteristik von M ist durch die alternierende Summe der
Bettizahlen definiert:
n
X
χ(M ) =
(−1)i bi (M ).
i=0
Weil de Rham Kohomologie eine Homotopieinvariante ist, folgt unmittelbar dass χ(M ) =
χ(N ), falls M ' N .
Korollar 5.23. Sei M geschlossen, orientierbar und von Dimension n = 2m + 1. Dann gilt
χ(M ) = 0.
Korollar 5.24. Sei M geschlossen, orientierbar und zusammenhängend. Dann ist H n (M ) ∼
=
H0 (M ) = R.
Definition 5.25.R Seien M, N geschlossen, orientiertert und zusammenhängend und sei ω ∈
H n (N ), so dass N ω = 1. Sei f : M −→ N eine glatte Abbildung.
Dann die Abbildungsgrad ist wie folgt definiert:
Z
deg(f ) =
f ∗ ω.
M
Der Abbildungsgrad hat folgende Eigenschaften
• f ' g =⇒ deg(f ) = deg(g)
• deg(f ◦ g) = deg(f )deg(g)
• Falls f nicht surjektiv ist, gilt deg(f ) = 0
• deg(f ) ∈ Z.
f
d
Beispiel 5.26. Die Abbildung S 1 −→
S 1 , z 7−→ z d hat Abbildungsgrad d.
5.5. Hodge-Theorie und Poincaré-Dualität. Um die duale Abbildung etwas zu veranschaulichen, werden wir nun die Hodge-Theorie kurz beschreiben. Hierzu wählt eine Metrik
g auf T M . Diese Metrik induziert
∼
=
T M −→ T ∗ M, Xp 7−→ gp ( · , Xp ).
Somit trägt die Metrik gegeben durch diese Identifikation (die von g abhängt !!!). Diese
Metrik hat die Eigenschaft, dass die duale Basis (e1 , . . . , en ) zu einer othonormalen Basis
(ONB) (e1 , . . . , en ) von Tp M wieder orthonormal ist. Die Metrik auf T ∗ M ergibt Metriken
auf Λk T ∗ M , so dass
(ei1 ∧ . . . eik )1≤i1 <...<ik ≤n
eine ONB von Λk Tp∗ M ist, falls (e1 , . . . , en ) eine ONB von Tp∗ M ist.
32
JONATHAN BOWDEN
∗
Definition 5.27 (Hodge-Operator). Definiere Λk Tp∗ M −→ Λn−k Tp∗ M , so dass ∀ ω ∈ Λn−k Tp∗ M
ω ∧ ∗η = hω, ηidV olg .
Hier dV olg ist das von g definierte Volumenform:
q
dV olg (X1 , . . . , Xn ) = det(g(Xi , Xj )).
Beispiel 5.28. Betrachte R4 mit der euklidischen Skalarprodukt und sei e1 , e2 , e3 , e4 die Standardbasis. Dann
∗ e1 ∧ e2 = e3 ∧ e4 , ∗ e1 ∧ e3 = −e2 ∧ e4 , ∗ e1 ∧ e4 = e2 ∧ e3
∗ e2 ∧ e3 = e1 ∧ e4 , ∗ e2 ∧ e4 = −e1 ∧ e3 , ∗ e3 ∧ e4 = e1 ∧ e2
Der ∗-Operator erfüllt ∗∗ = (−1)k(n−k) .
Definition 5.29 (L2 -Produkt). Sei M geschlossen und orientier. Wir betrachten die L2 Produkt
Z
Z
ω ∧ ∗η.
hω, ηidV olg =
hω, ηiL2 =
M
∗
k
Sei nun d : Ω (M ) −→ Ω
k−1
M
(M ) der Adjungierte Operator zu d. In Formeln
d∗ = (−1)n(k+1)+1 ∗ d ∗ .
Man rechnet nach, dass (d∗ )2 = 0.
Definition 5.30 (Laplace-Operator). Der Laplace-Operator ist dann definiert als
∆g = dd∗ + d∗ d.
Es gilt ∆g ω = 0 ⇐⇒ dω = 0 und d∗ ω = 0. Definiere
Hk (M, g) = {ω | ∆g ω = 0}
Satz 5.31 (Hodge-Theorem für de Rham Kohomologie). Sei M orientierbar und geschlossen.
Dann gilt
∼
=
k
Hk (M, g) −→ HdR
(M ).
Man prüft leicht nach, dass der ∗-Operator eine Abbildung induziert:
Hk (M, g) −→ Hn−k (M, g).
Weiterhin gilt ∗∗ = (−1)k(n−k) und es folgt:
Satz 5.32 (Poincaré-Dualität für harmonische Formen). Sei M orientierbar und geschlossen.
Dann induziert der ∗-Operator
∼
=
H k (M ) ∼
= Hk (M, g) −→ Hn−k (M, g) ∼
= H n−k (M ).
dR
dR
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
33
26. Mai 2014
5.6. Glatte Ketten und der Satz von de Rham. Betrachte den Standardsimplex
∆n = {(x1 , . . . , xn ) | 0 ≤
n
X
xi ≤ 1 und 0 ≤ xi ≤ 1} ⊆ Rn .
i=1
Beachte: ∆n ist die konvexe Hülle von {e0 = 0, e1 , . . . , en }. Die i-te Facette ∆in von ∆n ist die
konvexe Hülle von {e0 , e1 , . . . , ebi , . . . en }. Dieser Simplex kann mit ∆n−1 indentifiziert werden:
ek −
7 → ek , k < i
ek 7−→ ek+1 , k > i.
Jede Facette erbt eine Orientierung als Teilmenge eine Hyperebene im Rn . Betrachte die
affine Abbildung, die durch folgende Komposition von Permutationen gegeben ist:
τ
{e0 , e1 , . . . , ebi , . . . en , ei } 7−→ {e0 , e1 , . . . , en } 7−→ {e0 , e2 , . . . , en , e1 }
Diese Abbildung schickt ∆in auf ∆n ∩ ∂H+ . Darüber hinaus ist die erste Abbildung orientierungserhaltend genau dann wenn τ eine gerade Permutation ist, also falls n−i gerade ist und
die zweite, falls n − 1 gerade ist. Unsere Orientierungskonvention ist aber durch die untere
Halbebene gegeben, also wir müssen noch mit der Spiegelung R(x1 , . . . , xn ) = (−x1 , . . . , xn )
verknüpfen. Die Abbildung, die wir letztendlich erhalten, ist dann orientierungserhaltend,
falls i gerade ist. Fazit: Wenn wir ∆n mit der Standardorientierung versehen, dann ist der
orientierte topologische Rand
n
[
∂top ∆n =
(−1)i ∆in .
i=0
Ein glatter Simplex ist ein glatte Abbildung
s : ∆n −→ M.
In dieser Situation ist eine Abbildung glatt, falls es eine Erweiterung zu einer glatten Abbildung auf einer Umgebung von ∆n gibt. Es bezeichnet
Sk∞ (M ) = {s | s : ∆n −→ M glatt}
die Menge aller glatten k-Simplizes.
Definition 5.33. Es sei
Ck∞ (M ) =
nX
o
λi si | si ∈ Sk∞ (M ), λi ∈ R
der von Sk∞ (M ) erzeugtem reellen Vektorraum. Ein Element c ∈ Ck∞ (M ) heißt glatte kKette.
Definition 5.34. Die Randabbildung ist die eindeutige lineare Abbildung
∂:
Ck∞ (M )
−→
∞
Ck−1
(M ),
so dass ∂s =
n
X
(−1)i s|∆in .
i=0
Es gilt ∂ 2 = 0 und wir können dann die dazugehörige Homologie definieren:
34
JONATHAN BOWDEN
Definition 5.35 (Glatte singuläre Homologie).
Hk∞ (M ) :=
∞
Ker(∂ : Ck∞ (M ) → Ck−1
(M ))
.
∞
∞
Im(∂ : Ck+1 (M ) → Ck (M ))
Wir betrachten dann den dualen Komplex:
∂∗
∂∗
∂∗
∂∗
∞
· · · −→ (Ck−1
(M ))∗ −→ (Ck∞ (M ))∗ −→ (Ck∞ (M ))∗ −→ · · · .
k
Weil ∂ 2 = 0, gilt δ 2 = (∂ ∗ )2 = 0. Wir nennen C∞
(M ) die glatten k-Koketten von M . Wir
können dann die dazugehörige Kohomologie definieren:
Definition 5.36 (Glatte singuläre Kohomologie).
k
H∞
(M ) :=
k+1
k
(M ))
(M ) → C∞
Ker(δ : C∞
.
k−1
k
Im(δ : C∞ (M ) → C∞ (M ))
Offenbar induzieren glatte Abbildungen, lineare Abbildungen f∗ auf Ck∞ (M ):
!
X
X
λi (f ◦ si ).
f∗
λi s i =
i
Diese Abbildungen kommutieren mit dem Randoperator ∂ und induzieren somit Kettenabk
bildung f ∗ auf C∞
(M ). Wir fassen einige Eigenschaften der glatten singulären Kohomologie
(ohne Beweis) zusammen:
k
(M ) ist eine Homotopieinvariante, genauer gilt f ' g =⇒ f ∗ = g ∗ : Prismoperator
(1) H∞
(2) Es gibt eine Mayer-Vietoris-Sequenz, falls M = U ∪ V : Hierzu braucht man baryzentrische Unterteilung: Jede glatte Kette c mit ∂c = 0 ist homolog zu cU + cV mit
Im(cU ) ⊆ U und Im(c(V ) ⊆ V .
R falls k = 0
k
k
(3) H∞
(Rn ) ∼
(pt) =
= H∞
0 falls k ≥ 1.
(4) Falls M eine disjunkte Vereinigung ist, dann gilt
!
Y
G
Hk
Mα ∼
H ∞ (Mα ).
=
∞
k
α∈I
α∈I
k
(5) H∞
(M ) ∼
= (Hk∞ (M ))∗ : Universelles Koeffiziententheorem (R = R).
Satz 5.37 (Stokes für Simplizes). Sei s ein glatter k-Simplex. Dann für ω ∈ Ωk (M ) gilt
Z
Z
∗
s dω =
s∗ ω.
∆k
∂∆k
Proof. Betrachte eine offene Überdeckung U ∪ V von ∆k , wobei V eine -Umgebung von
k
[
∂top ∆ik
i=0
und U = ∆k \ V 2 . Dann weil ∂top ∆ik Kodimension 2 ist in Rk hat, gilt V ol(V ) ≤ C 2 . Sei
ρU , ρV eine Teilung der Eins mit supp(ρU ) ⊆ U und supp(ρV ) ⊆ V . Es gibt eine Konstante,
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
35
so dass kdρV ksup ≤ C 0 −1 . Dann gilt nach Stokes für glatte Mannigfaltigkeiten
Z
Z
Z
Z
Z
∗
∗
∗
∗
s dω =
ds (ρU ω) +
s d (ρV ω) =
s (ρU ω) +
s∗ d (ρV ω) .
∆k
U
U ∩∂top ∆k
V
V
Nun
Z
Z
∗
s (ρU ω) −→
U ∩∂top ∆k
s∗ ω
∂∆k
und
Z
Z
Z
∗
∗
s d (ρV ω) ≤
ks dρV ∧ ωksup +
ks∗ ρV dωksup
V
V
V
≤ C · V ol(V )kdρV ksup kωksup + C 0 · V ol(V ) ks∗ ρV ksup kdωksup
≤ C · 2 −1 + C 0 · 2 −→ 0.
Somit gilt
Z
Z
∗
s∗ ω. s dω =
∆k
P
Definition 5.38. Sei c =
i
∂∆k
λi si ∈ Ck∞ (M ) und ω ∈ Ωk (M ). Dann definiere
Z
X Z
ω=
λi
s∗i ω.
c
∆k
i
Korollar 5.39. Es gilt
Z
Z
ω.
dω =
∂c
c
2. Juni 2014
Somit ist I eine Kettenabbildung und induziert somit eine Abbildung
k
k
I∗ : HdR
(M ) → H∞
(M ).
Lemma 5.40. Falls M ⊆ Rn offen ist, ist I∗ ein Isomorphismus
Proof. Schritt 1: M hat eine endliche Überdeckung von Bällen Ui = Bi (pi ), 1 ≤ i ≤ m,
die insbesondere eine gute Überdeckung ist: Dann führen wir eine Induktion nach m durch,
wobei m die Anzahl der Mengen einer guten Überdeckung von M zu verstehen ist. Der
∗
∗
Fall m = 1 ist klar, da HdR
(Rn ) ∼
(Rn ) und das Integral in Grad 0 der Auswertung
= H∞
entspricht.
Im Allgemeinen setze U = U1 ∪. . .∪Um−1 und V = Um . Wir erhalten folgendes Diagramm,
wo die Zeilen Teile der Mayer-Vietoris-Sequenz sind und die markierte Pfeile Isomorphismen
sind nach Induktionsannahme:
/
k−1
k−1
HdR
(U ) ⊕ HdR
(V )
∼
=
k−1
k−1
H∞
(U ) ⊕ H∞
(V )
/
k−1
HdR
(U ∩ V )
d∗
/
∼
=
k
HdR
(M )
k−1
H∞
(U ∩ V )
δ∗
/
k
H∞
(M )
/
/
/
k
k
HdR
(U ) ⊕ HdR
(V )
∼
=
k
k
H∞
(U ) ⊕ H∞
(V )
/
k
HdR
(U ∩ V )
∼
=
k
H∞
(U ∩ V ).
36
JONATHAN BOWDEN
Alle Kästen kommutieren. Dies ist klar ausser in der zweiten Box. Aber hier gilt
Z
Z
Z
Z
∗
I(d ω)(c) = d(ρV ω) =
d(ρV ω) =
ρV ω −
ρU ω
c
cU +cV
∂cU
∂cV
Z
Z
Z
=
ω+
ω=
ω = I(ω)(∂∗ c) = [δ ∗ I(ω)](c).
∂∗c
−∂cV
∂cU
k
Hier haben wir die Indentifikation H∞
(M ) ∼
= (Hk∞ (M ))∗ benutzt Es folgt nach dem Fünferlemma, dass der mittlere Pfeil auch ein Isomorphismus ist.
Schritt 2: M ist beliebig: Betrachte eine Ausschöpfung von M (cf. Lemma 4.2):
K0 ⊆ int(K1 ) ⊆ K1 ⊆ int(K2 ) ⊆ K2
mit Ki kompakt. Setze
G
G
G
G
W =
(K2j \ int(K2j−1 )) =
Wj , Q =
(K2j+1 \ int(K2j )) =
Qj .
j∈N
j∈N
j∈N
j∈N
Die kompakten Mengen Wj , sowie Qj sind paarweiser disjunkt. Betrachte paarweiser disjunkte Umgebungen
Wj ⊆ Uj ⊆ Int(K2j+1 ) \ K2j−2 , Qj ⊆ Vj ⊆ Int(K2j+2 ) \ K2j .
Durch
sind diese Umgebungen endliche Vereinigungen von Bällen. Setzte
F
Fgeeignete Wahlen,
U = j∈N Uj , V = j∈N Vj . Dann nach Schritt 1 gilt:
Y
Y
G
∼
=
k
k
k
k
k
H∞
(Uj ) = H∞
(U ).
HdR
(Uj ) −→
(U ) = HdR
( Uj ) =
HdR
j∈N
j∈N
j∈N
F
F
Das gleiche gilt für V und U ∩ V = j∈N (Uj ∩ Vj ) t j∈N (Uj+1 ∩ Vj ) und die Mengen haben
gute Überdeckungen. Nach Anwendung der Mayer-Vietoris-Sequence mit U, V wie oben, der
allgemeine Fall folgt wiederum mithilfe des Fünferlemmas.
k
Satz 5.41 (Satz von de Rham). Die Abbildung I : Ωk (M ) −→ C∞
(M ), die durch Integration
gegeben ist:
Z
ω∈R
I(ω)(c) =
c
∗
∗
induziert einen Isomorphismus HdR
(M ) ∼
(M ).
= H∞
Proof. Schritt 1: M hat eine endliche Überdeckung durch Karten U1 , . . . Um ,wobei Ui ∼
=
n
R : Dann führen wir eine Induktion nach m durch. Der Fall folgt aus Lemma 5.40. Im
Allgemeinen setze U = U1 ∪ . . . ∪ Um−1 und V = Um . Wir erhalten folgendes Diagramm,
wo die Zeilen Teile der Mayer-Vietoris-Sequenz sind und die markierte Pfeile Isomorphismen
sind nach Induktionsannahme:
/
k
k
HdR
(U ) ⊕ HdR
(V )
∼
=
k
k
H∞
(U ) ⊕ H∞
(V )
/
k−1
HdR
(U ∩ V )
d∗
/
∼
=
k
HdR
(M )
k−1
H∞
(U ∩ V )
δ∗
/
k
H∞
(M )
/
/
/
k
k
HdR
(U ) ⊕ HdR
(V )
∼
=
k
k
H∞
(U ) ⊕ H∞
(V )
/
k
HdR
(U ∩ V )
∼
=
k
H∞
(U ∩ V ).
Alle Kasten kommutieren. Dies ist eine Konsequenz der Naturalität des Zig-Zag-Lemmas.
Es folgt nach dem Fünferlemma, dass der mittlere Pfeil auch ein Isomorphismus ist.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
37
Schritt 2: M ist beliebig: Betrachte eine Ausschöpfung von M (cf. Lemma 4.2):
K0 ⊆ int(K1 ) ⊆ K1 ⊆ int(K2 ) ⊆ K2
mit Ki kompakt. Setze
G
G
G
G
U=
(int(K2j ) \ K2j−1 ) =
Uj , V =
(int(K2j+1 ) \ K2j ) =
Vj .
j∈N
j∈N
j∈N
j∈N
Wir können weiterhin annehmen, dass Uj sowie Vj eine endliche Überdeckung durch Karten
hat und das weiterer Argument ist dann identisch zum Schritt 2 in Lemma 5.40.
Man kann auch die übliche singuläre Kohomologie auf M betrachten: C k (M ) = Ck (M )∗
wobei
nX
o
Ck (M ) =
λi si | si : ∆k → M stetig , λi ∈ R
der Raum der singulären Ketten ist. Der Randoperator ∂ und dessen Duale ist wie oben
k
definiert und somit ist C∞
(M ) ein Unterkomplex.
Satz 5.42. Die Inklusion C ∞ (M ) ,→ C sing (M ) induziert Isomorphismen H ∗ (M ) ∼
= H ∗ (M ).
∗
∗
∞
sing
Proof. Man argumentiert wie im Beweis des Satzes von de Rham: Beide Kohomologien
erfüllen eine Mayer-Vietoris-Sequenz, sie stimmen auf Rn überein und haben das selber
Verhalten auf disjunkte Vereinigungen.
Somit folgt:
∗
∗
Satz 5.43. Es gilt HdR
(M ) ∼
(M ).
= Hsing
∗
Korollar 5.44. Falls zwei glatte Mannigfaltigkeiten homöomorph sind, dann gilt HdR
(M ) ∼
=
∗
HdR (N ).
Die Kohomologien haben jeweils die Struktur eines Rings. Unser Beweis berücksichtigt
diese Ringstruktur nicht. Aber der Satz von de Rham gilt auch für diese Ringstrukturen.
5. Juni 2014
6. Charakterische Klassen
6.1. Die erste Chernklasse eines komplexen Vektorbündels vom Rang 1.
π
Definition 6.1. Ein komplexes Vektorbündel ist ein (glattes) Vektorbündel E −→ B, so
dass jede Faser Ep ein komplexer Vektoraum ist und alle Trivialisierungen komplex-lineare
Abbildungen sind.
π
Falls E −→ B komplex ist und U = (Ui )i∈I eine Überdeckung, dann gilt für alle Übergangsfunktionen
gij : Ui ∩ Uj −→ GL(n, C).
π
Definition 6.2. Sei E −→ B in komplexes Vektorbündel ist ein (glattes) Vektorbündel. Dann
heißt h(·, ·) eine Hermitesche Metrik auf E, falls für alle p hp eine Hermitesche Metrik auf
Ep ist und für lokale Rahmen s1 , . . . sn auf U ,
h(si , sj ) ∈ C ∞ (U ).
so dass alle Trivialisierungen komplex-lineare Abbildungen sind.
38
JONATHAN BOWDEN
Lemma 6.3. Jedes Vektorbündel trägt eine Hermitesche Metrik.
Proof. Teilung der Eins.
Sei nun E komplex vom Rang n = 1 und wähle eine Hermitesche Metrik auf E. Sei s ein
lokaler Rahmen, bestehend aus einem lokalen Schnitt über Ui . Dann wir setzen
si
sˆi =
.
||si ||h
Bezüglich dieser Rahmung sind die Übergangsfunktionen sogar in
gij : Ui ∩ Uj −→ U (1) ⊆ GL(1, C), gij = eiθji .
Nun durch die Metrik h können wir Polarkoordinaten (ri , θi ) auf Ep \ {0} mit p ∈ Ui betrachten. Die radiale Koordinate ist auf E \ {0-Schnitt} sogar wohl definiert. Der Winkel
aber nicht.
Eine globale Winkelform ψ ∈ Ω1 (E0 ) ist eine 1-Form, so dass
(1) ι∗p ψ = dθ, wobei ιp : (E0 )p ,→ E0
(2) (Invarianz unter Skalarmultiplikation) Setze Rz0 : E0 → E0 , wobei Rz0 (e) = z0 · e,
dann gilt Rz∗0 ψ = ψ für alle z0 6= 0.
Wegen dieser zwei Eigenschaften gilt
2
dψ = −π ∗ e, wobei e ∈ HdR
(B).
1
[e].
2π
Definition 6.4 (Erste Chernklasse). Definiere c1 (E, h) =
Bemerkung 6.5. Die Kohomologieklasse c1 (E, h) hängt nicht von der Wahl von ψ ab, da für
ein anderes ψ gilt ψ − ψ 0 = π ∗ β wobei β ∈ Ω1 (B).
Lemma 6.6. Die Klasse c1 (E) = c1 (E, h) hängt nicht von der Wahl der Metrik ab.
Proof. Seien h0 , h1 Metriken auf E. Betrachte das Pullback p∗ E unter die Projektion
p : B × [0, 1] −→ B
und seien ι0 , ι1 die Inklusionen B × {i} ,→ B × I:
ῑ0
E
π
/ p∗ E o
π̄
B × {0}
ι0
/
ῑ1
B×I o
E
ι1
π
B × {1}.
Dann definieren wir die Metrik h(x,t) = (1 − t)h0 (x) + th1 (x) auf p∗ E und sei ψh eine Winkelform für p∗ E. Dann gilt
dψh = −π̄ ∗ eh =⇒ −π ∗ (ι∗0 eh ) = −ῑ∗0 π̄ ∗ eh = ῑ∗0 dψh = dῑ∗0 ψh = dψh0
und somit gilt c1 (E, h0 ) = ι∗0 c1 (p∗ E, h) und eine ähnliche Rechnung zeigt
c1 (E, h1 ) = ι∗1 c1 (p∗ E, h)
∗
aber ι∗0 = ι∗1 auf HdR
(B) und somit folgt c1 (E, h0 ) = c1 (E, h1 ).
Lemma 6.7. Falls ein Geradenbündel E −→ B einen Schnitt s, der nirgendwo verschwindet,
hat, dann gilt c1 (E) = 0.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
39
Proof. Die Tatsache, dass E einen Schnitt, der nirgends verschwindet hat, ist äquivalent
dazu, dass E ∼
= B × C das triviale Bündel ist. Aber dann kann man dθ auf E durch Rückzug
B × C −→ C definieren, wobei man die Metrik auf E, die durch diesen Rückzug gegeben ist
betrachtet. Somit gilt mit ψ = ρ∗ dθ:
dψ = 0 =⇒ c1 (E) = 0. Sei nun (Ui )i∈I eine Überdeckung und wähle Trivialiserungen, die normiert sind und sei (ρk )
eine dieser Überdeckung untergeordnete Teilung der Eins. Dann bezeichne gij = eiϕij ∈ U (1).
Es gilt folgende Formel auf Ui
1 X
(1)
c1 (E) = −
d(ρk d log(gki )).
2πi k∈I
Hierfür definieren wir ψ, wobei
!
ψ|Ui = dθi − π ∗
X
ρk d log(gki )
= dθi − π ∗ ξi .
k∈I
Dann folgt aus der Kozykelbedingung dθij = dθik − dθjk , dass
ψ|Ui = ψ|Uj auf Ui ∩ Uj
und somit ergibt ψ eine wohldefinierte Winkelform.
Beispiel 6.8 (Tautologisches Bündel über CP n ). Betrachte
` = {(L, z) | z ∈ L} ⊆ CP n × Cn+1 −→ CP n .
Im Falle n = 1 hat CP 1 eine Überdeckung durch die affine Karten U0 , U1 ∼
= C. Dann
berechnet mann
1
g01 (z) = .
z
Wenn man dann normiert gilt
−1
z
ĝ01 =
.
|z|
Dann die obige Formal beinhaltet auf U1 ∼
= C:
1
d(ρ0 d log(g01 ))
c1 (E) = −
2πi
und es gilt
−1 !
Z
Z
1
z
c1 (E) = −
d ρ0 d log
2πi C
|z|
CP 1
Z
Z
1
z
1
z
=
ρ0 d log
+ lim
ρ0 d log
|{z}
→0 2πi −∂D
2πi ∂DR
|z|
|z|
Stokes
Z
Z
1
z
1
1
= − lim
d log
=−
d log(z) = −
2πi = −1.
→0 2πi ∂D
|z|
2πi ∂D1
2πi
Hier nutzen wir die Tatsache, dass ρ0 eine Buckelfunktion ist mit ρ0 ≡ 1 auf D und ρ0 ≡ 0
auf DR ist, wobei R 0.
40
JONATHAN BOWDEN
12. Juni 2014
Lemma 6.9 (Naturalität). Sei f : B 0 −→ B glatt und sei E −→ B ein komplexes Geradenbündel (d.h. vom Rang n = 1). Dann gilt
f ∗ c1 (E) = c1 (f ∗ E).
Proof. Sei h eine Hermitsche Metrik auf E und betrachte die zurückgezogene Metrik f ∗ h auf
f ∗ E:
f ∗E
π0
f¯
B0
/
/
f
E
π
B.
Sei ψh eine Winkelform auf E bzgl. h. Dann ist f¯∗ ψh eine Winkelform auf p∗ E bzgl. f ∗ h und
dψf ∗ h = df¯∗ ψh = f¯∗ dψh = −f¯∗ π ∗ eh = −π̄ ∗ f ∗ eh
1 ∗
1
[f eh ] = f ∗ [eh ] = f ∗ c1 (E). 2π
2π
n
Nun die Kohomologie-Ring von CP ist
=⇒ c1 (f ∗ E) =
H ∗ (CP n ) = R[ω]/(ω n+1 = 0)
und die Inklusion ι : CP 1 ,→ CP n induziert H 2 (CP n ) ∼
= H 2 (CP 1 ) und wir wählen den
Erzeuger ω ∈ H 2 (CP n ), so dass
Z
ι∗ ω = 1.
CP 1
Es folgt, dass für das tautologische Bündel C −→ `n −→ CP n
ι∗ c1 (`n ) = c1 (ι∗ `n ) = c1 (`1 ) = −ι∗ ω ∈ H 2 (CP 1 )
und somit gilt c1 (`n ) = −ω.
Lemma 6.10 (Tensorprodukte). Seien E1 , E2 −→ B komplexe Geradenbündel. Dann gilt
c1 (E1 ⊗ E2 ) = c1 (E1 ) + c1 (E2 ).
Proof. Sei h1 eine Hermitesche Metrik auf E1 und h2 eine Hermitesche Metrik auf E2 . Dann
definiert h1 ⊗ h2 = h1 · h2 eine Metrik auf E1 ⊗ E2 . Falls s1 , s2 normierte Schnitte auf Ui sind,
dann ist s1 ⊗ s2 = h1 · h2 und somit ist
(1)
(2)
(1)
(2)
gij ⊗ gij = gij · gij ∈ U (1).
Sei nun (Ui )i∈I eine Überdeckung von Trivilisierungen. Die Formel (1) ergibt dann folgendes
auf Ui
1 X
(1)
(2)
d(ρk d log(gki · gki ))
c1 (E1 ⊗ E2 ) = −
2πi k∈I
1 X
1 X
(1)
(2)
=−
d(ρk d log(gki )) + −
d(ρk d log(gki )) = c1 (E1 ) + c1 (E2 ).
2πi k∈I
2πi k∈I
Und somit folgt c1 (E1 ⊗ E2 ) = c1 (E1 ) + c1 (E2 ).
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
41
Lemma 6.11 (Dualisieren). Seien E −→ B win komplexes Geradenbündel. Dann gilt
c1 (E ∗ ) = −c1 (E).
Proof. Das Bündel E ∗ ⊗ E = End(E, E) hat einen Schnitt, der nirgends verschwindet:
s(p) = IdEp .
Somit ist E ∗ ⊗ E trivial, also
0 = c1 (E ∗ ⊗ E) = c1 (E ∗ ) + c1 (E) ⇐⇒ c1 (E ∗ ) = −c1 (E). Bemerkung 6.12. Die Isomorphismusklassen von Geradenbündel bilden eine Gruppe unter
Tensorprodukt [E1 ]⊗[E2 ] = [E1 ×E2 ], wobei 1 = [C] das triviale Bündel ist und [E]−1 = [E ∗ ].
Die Chernklasse definiert einen Gruppenhomorphismus
c
1
2
(B) , [E] 7−→ c1 (E),
{Geradenbündel}/Iso −→
HdR
der injektiv ist.
6.2. Der Satz von Leray-Hirsch, das Spaltungsprinzip und Chernklassen.
π
Definition 6.13. Eine glatte Mannigfaltigkeit F −→ E −→ B heißt Faserbündel mit Faser
F , falls es eine Überdeckung von lokalen Trivialisierungen gibt
/
Φ
∼
=
π −1 U
π
"
U
U ×F
prU
{
die Faser auf Faser abbildet: d.h. das Diagram kommutiert.
Beispiel 6.14.
(1) Vektorbündel
(2) B × F −→ B
(3) Hopffaserung: S 1 −→ S 3 −→ S 2 = S 3 /S 1 .
Sei f : B 0 → B eine glatte Abblidung. Man kann Faserungen immer zurückziehen, in dem
mann f ∗ E als Faserprodukt definiert:
f ∗ E := {(p0 , e) ∈ B 0 × E | f (p0 ) = π(e)} ⊂ B 0 × E,
Dies passt in folgendes Diagram hinein:
f ∗E
π0
f¯
B0
/
/
f
E
π
B.
Wir möchten die Kohomologie des Totalraumes E eines Faserbündels berechnen mittels der
Kohomologien von B und F .
π
Satz 6.15 (Satz von Leray-Hirsch). Sei F −→ E −→ B ein Faserbündel mit B zusammenhängend und bezeichne ι die Inklusion einer Faser. Man nehme an, dass es Klassen
∗
∗
e1 , . . . , er ∈ HdR
(E) gibt, so dass ι∗ ei eine Basis der Kohomologie HdR
(F ) ist und, dass B
42
JONATHAN BOWDEN
∗
∗
(B) mit
(E) ein freier Modul über HdR
eine endliche gute Überdeckung hat. Dann ist HdR
Basis {e1 , . . . er }:
∗
∗
∗
∗
HdR
(E) ∼
(B) ⊗ R{e1 , . . . , er } ∼
(B) ⊗ HdR
(F ) , ω ⊗ ei 7−→ π ∗ ω ∧ ei .
= HdR
= HdR
Proof. [Bott-Tu], pp. 48–50.
π
Korollar 6.16. Sei F −→ E −→ B ein Faserbündel, das die Eigenschaften im Satz von
∗
∗
(E) injektiv.
(B) −→ HdR
Leray-Hirsch hat. Dann ist die Abbildung π ∗ : HdR
Als Spezialfall erhalten wir
Satz 6.17 (Künneth-Formel). Sei E = M × N ein Produkt von zwei Mannigfaltigkeiten und
bezeiche πM , πN die Projektionen auf M bzw. N . Falls, M eine endliche gute Überdeckung
hat und N kompakt ist, dann gilt
∗
∗
∗
∗
∗
HdR
(M × N ) ∼
(M ) ⊗ HdR
(N ) , ω ⊗ η 7→ πM
ω ∧ πN
η.
= HdR
∗
Proof. Sei f1 , . . . , fr eine Basis der Kohomologie von N . Dann setze ei = πN
fi und wende
den Satz von Leray-Hirsch an.
π
Sei nun E −→ B ein beliebiges komplexes Vektorbündel. Wir betrachten die Projektiπ
visierung P(E) −→ B von E. Dies ist das Faserbündel, dessen Faser der projektive Raum
P(Ep ): eine Trivialisierung von E über U induziert eine Trivialisierung von P(E) durch Projektifizierung:
Φ : π −1 (U ) −→ U × Cn
/
P(Φ) : π −1 (U ) −→ U × P(Cn ) ∼
= U × CP n .
Weitherhin trägt das Faserbündel ein tautologisches Geradenbündel:
`(E) −→ P(E) , `(E) = {(Lp , vp ) ∈ P(E)p × Ep | vp ∈ Lp } ⊂ P(E) × E.
Die erste Chern-Klasse des Dualen x = c1 (`∗ (E) schränkt zu einem Erzeuger von P(E)p weil
ιp : P(E)p ,→ P(E) induziert
ι∗p c1 (`∗ (E)) = c1 (ι∗p `∗ (E)) = c1 (`∗n−1 ).
∗
∗
Dann nach dem Satz von Leray-Hirsch ist HdR
(P(E)) ein freier Modul über HdR
(B) mit
2
n−1
Basis {1, x, x , . . . , , x }. Es folgt
xn + π ∗ c1 (E)xn−1 + · · · + π ∗ cn−1 (E)x + π ∗ cn (E) = 0 , ci (E) ∈ H 2i (B),
wobei die Kooefizienten eindeutig sind.
π
Definition 6.18. Sei E −→ B ein komplexes Vektorbündel vom Rang n. Dann ist ci (E) ∈
H 2i (B) die i-te Chern-Klasse von E. Die Total-Chernklasse ist dann
∗
c(E) = 1 + c1 (E) + · · · + cn (E) ∈ HdR
(B).
Bemerkung 6.19. Falls E ein Geradenbündel ist, ist P(E) = B und `∗ (E) = E ∗ , somit
stimmen beide Definitionen überein.
16. Juni 2014
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
43
π
Satz 6.20 (Spaltungsprinzip). Sei E −→ B ein komplexes Vektorbündel vom Rang n. Dann
gibt es einen Raum und eine Abbildung f : B −→ B, so dass
f ∗E ∼
= L1 ⊕ · · · ⊕ Ln
∗
∗
(B)
(B) −→ HdR
eine Summe von Geradenbündel ist und die induzierte Abbildung f ∗ : HdR
injektiv ist.
Proof. [Bott-Tu], pp. 273-75.
Das Spaltungsprinzip besagt, dass es genügt, Identitäten für die Chern-Klassen für Summen von Vektorbündeln zu zeigen.
Proposition 6.21. Die Chern-Klassen erfüllen folgende Eigenschaften:
(1) (Naturalität) Sei f : B 0 −→ B, dann gilt c(f ∗ E) = f ∗ c(E).
∗
(2) (Whitney-Summen-Formel) c(E ⊕ E 0 ) = c(E)c(E 0 ), wobei das Produkt in HdR
(B) zu
verstehen ist.
(3) (cn (E) als Hindernis) Falls E vom Rang n ist und einen nirgendwo verschwinden
Schnitt hat, dann gilt cn (E) = 0.
(4) (Dualisieren) Es gilt ci (E ∗ ) = (−1)i ci (E).
Proof. [Bott-Tu], pp. 271-72 und pp. 275–77.
23. Juni 2014
Beispiel 6.22. Wir berechnen die Chern-Klassen von T CP n . Da die Kartenwechsel
w1
wj−1 1 wj+1
wn
ϕij (w1 , . . . , wn ) =
,...,
, ,
,...,
wi
wi wi wi
wi
von CP n komplex differenzierbar sind (i.e. Dϕij ∈ GL(n, C)), ist T CP n ein komplexes
Vektorbündel. Es bezeichne Cn das triviale Bündel vom Rang n. Es ist
T CP n ⊕ C = T CP n ∼
= End(`, `⊥ ) = `∗ ⊗ `⊥ .
Aber dann gilt
· · ⊕ `}∗ .
T CP n ⊕ (`∗ ⊗ `) ∼
= (`∗ ⊗ `⊥ ) ⊕ (`∗ ⊗ `) = `∗ ⊗ Cn = `|∗ ⊕ ·{z
(n+1)-mal
Nach der Whitney-Summen-Formel gilt dann
c(T CP n ) = c(T CP n ⊕ C) = c(`|∗ ⊕ ·{z
· · ⊕ `}∗ ) = c(`∗ ) = (1 + ω)n+1 .
(n+1)-mal
6.3. Klassifizierender Raum und universelle Geradenbündel. Wir möchten ein universelles Geradenbündel definieren C −→ Euniv −→ Buniv , so dass jedes Geradenbündel
E −→ B als Rückzug realisiert werden kann: Es gibt f : B −→ Buniv , so dass
f ∗ Euniv ∼
= E.
Wir sammeln zuerst ein paar allgemeine Tatsachen über Bündel und Pullbacks
44
JONATHAN BOWDEN
Lemma 6.23. Betrachte einen Bündelmorphismus zwischen zwei Vektorbündel:
f¯
E0
π0
/
/
B0
f
E
π
B.
Falls f¯ ein Isomorphismus aus jeder Faser ist, dann gilt
E0 ∼
= f ∗ E.
Lemma 6.24. Seien f0 , f1 : B 0 −→ B zwei Abbildungen und sei E −→ B ein Vektorbündel
über B. Falls, f0 ' f1 homotop sind, dann gilt
f ∗E ∼
= f ∗E
0
1
Proof. [Bott-Tu], pp. 57-58.
Wir betrachten nun die taulologischen Geradenbündel
`N −→ CP N
und definiere
∞
[
`∞ =
`n
CP ∞ =
,
Dann ist `∞ −→ CP
Trivialisierungen
CP N
N =1
π
N =1
∞
∞
[
das gesuchte Bündel: Sei E −→ B ein beliebiges Vektorbündel mit
Φi : π −1 Ui −→ Ui × C.
Nehme zuerst an, dass die Überdeckung U1 , . . . , UN +1 endlich ist und sei ρi eine Teilung der
Eins, die dieser Überdeckung untergeordnet ist. Wir definieren eine Abbildung
h : E −→ CN +1 , ep ∈ Ep 7−→ (ρ1 (p)Φ1 (ep ), . . . , ρN +1 (p)ΦN +1 (ep )).
Diese Abbildung definiert dann
f¯: E → `N ⊆ CP N × CN +1 , ep ∈ Ep 7−→ (h(Ep ), h(ep )).
Des Weiteren induziert f¯ eine Abbildung f , so dass folgendes Diagram kommutiert:
f¯
E
π
/ `N
f
πN
/ CP N .
B
Nach Lemma 6.23 ist E ∼
= f ∗ `N . Weiterhin erhalten wir folgendes kommutatives Diagram
E
π
B
f¯
f
/ `∞
/
/ `N
πN
CP N
/
π∞
CP ∞ .
also E ∼
= f ∗ `∞ . Falls B keine endliche Überdeckung hat, dann kann man eine Abbildung
mittels einer Teilung der Eins (ρi )i∈I konstruieren. Da ρi |U 6= 0 für nur endlich viele i ∈ I,
kann mann die Abbildung h genau so konstruieren wie oben.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
45
Definition 6.25. Seien B, X topologische Räume. Dann bezeichne [B, X] die Menge der
Homotopieklassen von Abbildungen f : B −→ X.
Nach Anwendung von Lemma 6.24 erhalten wir:
Satz 6.26. Es gibt eine Bijektion
{Geradenbündel über B bis auf Isomorphie} ←→ [B, CP ∞ ].
Insbesondere enstprechen Charakteristische Klassen von Geradenbündel Elemente in
H ∗ (CP ∞ ) = R[ω] = R[c1 ].
26. Juni 2014
Bemerkung 6.27. Für allgemeine Bündel vom Rang k kann man das universelle Bündel als
das tautologische Bündel τ∞ = ∪∞
N =k τN über das Grassmansche
Gr(k, ∞) =
∞
[
Gr(k, N ),
N =1
wobei Gr(k, N ) = {V ⊂ CN | dim(V ) = k} und τN = {(V, v) | v ∈ V } ⊆ Gr(k, N ) × CN .
Als Korollar vom Satz 6.26 folgt es, dass die Chern-Klassen ganzahlig sind.
k
Definition 6.28. Eine Kohomologieklasse α ∈ HdR
(M ) ist ganzzahlig, falls für alle z ∈
sing
Hk (M, Z)
Z
α ∈ Z.
z
Es bezeichne
k
HdR
(M, Z)
die Untergruppe der ganzzahligen Klassen.
Für M = CP ∞ ist c1 ganzzahlig, da
Z
Z
c1 (`∞ ) =
CP 1
c1 (`1 ) = −1.
CP 1
Mit dieser Bemerkung folgt
Korollar 6.29. Sei E −→ B ein komplexes Bündel. Dann sind alle ci (E) ganzzahlig.
Proof. Man führt Induktion nach n an. Für n = 1 folgt dies aus Theorem 6.26 und die
Natürlicheit der ganzzahligen Klassen. Im Allgemeinen gilt
π ∗ cn (E) = −(xn + π ∗ c1 (E)xn−1 + π ∗ cn−1 (E)x),
wobei π : P(E) −→ B. Somit ist nach Induktionsannahme π ∗ cn (E) auch ganzzahlig und
cn (E) auch, da π ∗ injektiv und somit
Hksing (P(E), Z) −→ Hksing (B, Z)
(modulo Torsion) surjektiv ist.
46
JONATHAN BOWDEN
6.4. Pontrjagin-Klassen. Wir möchten nun zu jeder Mannigfaltigkeit eine Familie von charakteristische Klassen definieren. Hierfür bemerken wir, dass zu jedem reellen Vektorbündel
ein komplexes Vektorbündel assoziert werden kann, nämlich die Komplexifizierung:
EC = E ⊗ C.
Beachte dass
(EC )∗ = E ∗ ⊗ C ∼
= E ⊗ C = EC
und somit gilt
c2k+1 (EC ) = c2k+1 (EC∗ ) = −c2k+1 (EC ) ⇐⇒ c2k+1 (EC ) = 0
für die ungeraden Chernklassen der Komplexifizierung.
Definition 6.30 (Pontrjagin-Klassen). Sei Rn −→ E −→ B ein reelles Vektorbündel.
Dann definiere die i-te Pontrjagin-Klasse
4i
pi (E) = c2i (E ⊗ C) ∈ HdR
(B)
Die totale Pontrjagin-Klasse ist defineirt als
p(E) = 1 + p1 (E) + . . . + . . . p[ n2 ] (E).
Letztlich sind Pontrjagin-Klassen einer Mannigfaltigkeit M die Pontrjagin-Klassen von T M :
4i
pi (M ) := pi (T M ) ∈ HdR
(M ).
Bemerkung 6.31. Warnung: Es gibt verschiedene Konventionen bei der Definition der
Pontrjagin-Klassen. Zum Beispiel werden die Pontrjagin-Klassen in [Mil-Sta] als pi (M ) =
(−1)i c2i (EC ) definiert.
Beispiel 6.32. p(S n ) = 1, da T S n ⊕ R ∼
= Rn+1 , wobei man R mit dem Normalenbündel
identifiziert:
(T S n )⊥ = {(x, v) | v = λ · x, λ ∈ R} ⊆ S n × Rn+1 .
Analog zu den Eigenschaften der Chern-Klassen gilt
Proposition 6.33. Die Pontrjagin-Klassen erfüllen folgende Eigenschaften:
(1) (Naturalität) Sei f : B 0 −→ B, dann gilt p(f ∗ E) = f ∗ p(E).
∗
(2) (Whitney-Summen-Formel) p(E ⊕ E 0 ) = p(E)p(E 0 ), wobei das Produkt in HdR
(B) zu
verstehen ist.
(3) Falls E komplex ist, dann gilt p(E) = c(E)c(E ∗ ) = c(E)c(E).
Die Pontrjagin-Klassen liefern Hindernisse zu gewissen Einbettungsproblemen:
Beispiel 6.34. Die CP 4 lässt sich nicht in R10 einbetten. Sei ι : CP 4 −→ R10 eine Einbettung
und sei ν = T R10 |ι(CP 4 ) /T CP 4 das Normalenbündel zu ι(CP 4 ). Dann gilt
1 = p(T R10 ) = p(T CP 4 ⊕ ν) = p(T CP 4 )p(ν) = (1 − ω)5 (1 + ω)5 p(ν) = (1 − ω 2 )4 p(ν).
Also
1 = (1 + p1 (ν))(1 − 5ω 2 + 10ω 4 ) =⇒ p1 (ν) = 5ω 2 .
Aber dann gilt
(1 + 5ω 2 )(1 − 5ω 2 + 10ω 4 ) = 1 − 15ω 4 6= 0
ein Widerspruch.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
47
∗
(HP n ):
Beispiel 6.35. Die Ringstruktur von HdR
Betrachte H = {[q0 ; q1 ; · · · ; qn ] | qn = 0} ∼
= HP n−1 ⊆ HP n . Setzte U = HP n \ H ∼
= Hn und
n
⊥
⊥
V = HP \ {H }, wobei H = [0; 0; . . . ; 0; 1]. Dann gilt
• U ∩ V = Hn \ {0} ' S 4n−1
• V 'H∼
= HP n−1 , wobei eine Retraktion durch die Projektion Hn+1 → Hn induziert
wird.
Beachte HP 1 ∼
= S 4 und im obigen Beispiel wurde die Kohomologie dieses Raumes berechnet.
Für n ≥ 4 erhalten wir
k−1
k
k
k
k
HdR
(Hn \ {0}) −→ HdR
(HP n ) −→ HdR
(Hn ) ⊕HdR
(HP n−1 ) −→ HdR
(Hn \ {0}) .
{z
}
| {z }
|
|
{z
}
=0
k (S 4n−1 )
=HdR
k (S 4n−1 )
=HdR
4n−1
k
k
Es gilt dann HdR
(HP n ) ∼
(HP n−1 ), falls k ≤ 4n−2. Für k = 4n−1 ist HdR
(HP n ) ∼
= HdR
=0
4n−1
n ∼
4n
4n−1
und HdR (HP ) = HdR (S
) = R.
Also
(
R falls k = 0, 2, 4, . . . , 4n
k
HdR
(HP n ) =
0 sonst.
Des Weiteren induziert die Inklusion ι : HP n−1 ,→ HP n einen Isomorphismus auf Kohomo4
logie für k ≤ 4n − 4. Nun sei u ∈ HdR
(HP n ), so dass
Z
u = 1.
HP 1
Wir zeigen induktiv, dass
u0 = λu, mit
∗
HdR
(HP n )
Z
∼
= R[u]/(un+1 = 0). Nach Poincaré-Dualität gibt es
u ∧ u0 6= 0 =⇒ u2 6= 0.
HP 2
n−1
∗
Also nach Induktion nehme an, u
6= 0 ∈ HdR
(HP n−1 ). Sei û, so dass ι∗ û = u. Dann gilt
n−1
n−1
û
6= 0 und nach Poincaré-Dualität û
∧ û 6= 0 und somit gilt
H ∗ (HP n ) ∼
= R[u]/(un+1 = 0).
dR
Beispiel 6.36. Die Pontrjagin-Klassen von HP n :
π
Betrachte die Faserung CP 1 −→ CP 2n+1 −→ HP n . Es folgt
p(CP 2n+1 ) = π ∗ p(HP n )p(Ker π∗ ).
Weiterhin gilt Ker π∗ |CP 1 ∼
= T CP 1 also
c1 (Ker π∗ |CP 1 ) = 2ω ∈ H ∗ (CP 1 ) =⇒ c1 (Ker π∗ ) = 2ω ∈ H ∗ (CP 2n+1 ).
Folglich ist p(Ker π∗ ) = (1 − 4ω 2 ). Nach Leray-Hirsch gilt ω 2 = π ∗ u und somit
π ∗ p(HP n ) = π ∗ (1 − ω 2 )2n+2 (1 − 4ω 2 )−1 =⇒ p(HP n ) = (1 − u)2n+2 (1 − 4u)−1 .
48
JONATHAN BOWDEN
30. Juni 2014
7. Orientierter Bordismus und Pontrjagin Zahlen
Wir betrachten eine natürlich Relation auf Mannigfaltigkeiten, nämlich die des Bordismus:
Definition 7.1. Eine geschlossene, orientierte Mannigfaltigkeit M n heißt nullbordant,
falls es eine kompakte, orientierte Mannigfaltigkeit W n+1 mit Rand gibt, so dass
M = ∂W
Zwei geschlossene, orientierte Mannigfaltigkeiten der selben Dimension sind bordant, falls
−M0 t M1 nullbordant ist, wobei −M0 die Mannigfaltigkeit mit umgekehrter Orientierung
bedeutet.
Lemma 7.2. Die Bordismus-Relation ist eine Äquivalenzrelation.
Wir bezeichnen
Ωn = {geschlossene, orientierte Mannigfaltigkeiten}/Bordismus.
Man überlegt sich leicht, dass mit der Operation der disjunkten Vereinigung zu einer Gruppe
wird (Übung). Es bezeichne nun
M
Ωn
Ω∗ =
n∈N
Da das Produkt zweier orientierter Mannigfaltigkeiten M0 , M1 der Dimension n0 , n1 wiederum eine orientierte Mannigfaltigkeit der Dimension n0 + n1 ist, können wir (Ω∗ , t, ×) als
(graduierten) Ring auffassen.
Beispiel 7.3. Es ist Ω1 = Ω2 = 0. In Dimension 1 gibt es nur M = S 1 = ∂D2 und in
Dimension 2 ist M = Σg = ∂Hg , wobei Hg den Henkelkörper vom Geschlecht g bezeichnet.
Es gilt auch Ω3 = 0, aber dies ist eine nicht-triviale Aussage.
Dass die Bordismus Gruppen Ω1 , Ω2 , Ω3 alle verschwinden, ist kein Zufall und wir haben
folgende wichtige Tatsache, die wir ohne Beweis zitieren (cf. [Mil-Sta])
Satz 7.4 (Thom). Der rationale Bordismus-Ring Ω∗ ⊗ Q ist ein Polynom-Ring mit einem
Erzeuger CP 2n in jeder Dimension k ≡ 0 mod 4:
Ω∗ ⊗ Q ∼
= Q[CP 2 , CP 4 , . . .].
Insbesondere, ist Ωn eine Torsionsgruppe, falls n 6≡ 0 mod 4.
Definition 7.5. Sei M eine orientierte, geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension 4k
und seien i1 , . . . ik ∈ N ∪ {0}, so dass
i1 + 2i2 + . . . kik = k.
Dann definiere die Pontragin-Zahl zu I = i1 . . . ik :
Z
pI (M ) = pi1 ...ik (M ) =
pi11 (M ) ∧ · · · ∧ pikk (M ).
M
Lemma 7.6. Seien M, N geschlossen, orientiert der Dimension 4n bzw. 4m. Es gelten
folgende Eigenschaften der Pontragin-Zahlen:
(1) (Orientierungen) pI (−M ) = −pI (M ).
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
49
(2) (Addiditivität) pI (M t N ) = pI (M ) + pI (N ), falls m = n.
(3) (Bordismus-Invarianz) pI (M ) = 0, falls M nullbordant ist. Insbesondere, falls M und
N bordant sind, gilt
pI (M ) = pI (N ).
(4) (Integralität) Für alle Pontrjagin-Zahlen gilt pI (M ) ∈ Z.
Beispiel 7.7.
(1) CP 2 : Es gilt (1 + c1 (CP 2 ) + c2 (CP 2 )) = (1 + ω)3 = (1 + 3ω + 3ω 2 ).
Nach der Formel für die Pontrjagin Klassen eines komplexen Bündels folgt dann
p1 (M ) = 2c2 (CP 2 ) − c21 (CP 2 ) = −3ω 2 und
Z
p1 (CP 2 ) = −3.
CP 2
(2) CP 2 × CP 2 : Das (komplexe) Tangentialbündel erfüllt
T CP 2 × CP 2 = T CP 2 × T CP 2 ,
wobei das äussere Produkt von Bündeln gemeint ist: Seien E −→ M, F −→ N
Bündel, dann definiere
∗
∗
E × F −→ M × N := πM
E ⊕ πN
F.
Dann Mittels der Whitney-Summen-Formel gilt
p(CP 2 × CP 2 ) = p(CP 2 )p(CP 2 ) = (1 − 3ω12 )(1 − 3ω22 ) = (1 − (3ω12 + 3ω22 ) + 9ω12 ω22 ).
Dann sind die Pontragin-Zahlen p20 = 18, p01 = 9.
(3) CP 4 : Hier gilt
p(CP 4 ) = (1 + ω)5 (1 − ω)5 = (1 − ω 2 )5 = (1 − 5ω 2 + 10ω 4 )
und somit p20 = 25 und p01 = 10.
Wir wiederholen die Definition der Signatur einer Mannigfaltigkeit.
Definition 7.8. Sei M eine orientierte, geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension 4k.
Dann definiert
Z
ω∧η
(ω, η) 7−→
M
2k
eine nicht ausgeartete Bilinearform h , i auf HdR
(M ). Seien E± die positiven/negativen
Eigenräume von der Bilinearform (bzgl. einer festen Basis) sind. Die Signatur von M
definiert als
σ(M ) = dim(E+ ) − dim(E− ).
Lemma 7.9. Die Signatur Erfüllt folgende Eigenschaften:
(1) (Orientierungen) σ(−M ) = −σ(M ).
(2) (Addiditivtät) σ(M t N ) = σ(M ) + σ(N ), falls m = n.
(3) (Multiplikativität) σ(M × N ) = σ(M )σ(N ).
(4) (Bordismus-Invarianz) σ(M ) = 0, falls M nullbordant ist. Insbesondere, falls M und
N bordant sind, gilt
σ(M ) = σ(N ).
Proof. Übung (siehe [Mil-Sta]).
50
JONATHAN BOWDEN
Satz 7.10 (Hirzebruchscher Signatursatz). Sei M eine geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension 4k. Dann für jede Dimension 4k gibt es ein rationales Polynom Lk (p1 (M ), ..., pk (M ))
in den Pontrjagin-Klassen von M , so dass
Z
σ(M ) =
Lk (p1 (M ), ..., pk (M )).
M
Die ersten 3 Polynome sind unten gelistet:
1
L1 = − p1
3
1
L2 = (7p2 − p21 )
45
1
L3 = −
(62p3 − 13p21 p2 + 2p31 )
945
Proof. Nach dem Satz von Thom und Lemmas 7.6 und 7.9, genügt es, die Aussage für
Produkte von CP 2n zu zeigen. Nach Beispiel 7.7 gilt die Aussage für k = 1, 2. Wir verweisen
auf [Mil-Sta] für den allgemeinen Beweis.
Bemerkung 7.11. Nach Konstruktion ist das L-Polynom multiplikativ
Lk (M × N ) = Lm (M )Ln (N ),
wobei dim(M ) = m, dim(N ) = n (siehe [Mil-Sta]). Also im obigen Beweis genügt es, Gleichheit nur für CP 2n nachzuprüfen.
3. Juli 2014
8. Morse-Theorie
Wir machen einen kleinen Excursus in die Morse-Theorie:
Definition 8.1. Sei f : M −→ R eine glatte Funktion. Ein punkt p ∈ M heißt kritischer
Punkt, falls dfp = 0. Es bezeichne crit(f ) die Menge der kritischen Punkten.
Definition 8.2. Ein kritischer Punkt heißt nicht entartet, falls die Hesse-Matrix (bzgl.
Koordinaten (x1 , . . . , xn ))
2
∂ f
Hp =
(p)
xi xj
nicht entartet ist, d.h. det Hp 6= 0. Falls alle Kritische Punkte von f nicht entartet sind,
heißt f eine Morsefunktion.
Die Hesse-Matrix induziert eine Bilinearform auf Tp M , dass heißt die Hesse-Matrix transformiert sich, wie die darstellende Matrix einer Bilinearform (Übung). Nach dem Trägheitssatz von Sylvester kann man die Hesse-Matrix diagonalisieren. Und die Anzahl der negativen bzw. positiven Eigenwerte ist eine Invariante. Die Anzahl der negativen Eigenwerte
wird indp (f ) bezeichnet und heißt Index von f in p. Zum Beispiel für ein Maximum ist
indp (f ) = dimM und bei ein Minimum ist indp (f ) = 0.
Beispiel 8.3. Der Punkt (x, y) = 0 ist kritischer Punkt folgender Funktionen:
f (x, y) = x2 − y 2 , g(x, y) = x3 − y 2 .
Bei g ist 0 entartet aber bei f nicht und ind0 (f ) = 1.
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
51
Beispiel 8.4. Die Hoḧenfunktionen auf S 2 , T 2 .
Definition 8.5 (Gradienten-Vektorfeld). Sei f : M −→ R eine glatte Funktion und g eine
Metrik auf M . Dann ist das Gradienten-Vektorfeld ∇f von f das eindeutige Vektorfeld, so
dass ∀ Yp ∈ Tp M
dfp (Yp ) = g((∇f )p , Yp ).
Bemerkung 8.6. Beachte: (∇f )p = 0 ⇐⇒ p ∈ crit(f ).
Lemma 8.7 (Morse-Lemma). Sei p ein nicht entarteter kritischer Punkt von f : M −→ R
vom Index indp (f ) = i− . Dann gibt es Koordinaten (x1 , . . . , xn ) um p so dass
f (x1 , . . . , xn ) = −
i−
X
x2j
+
j=1
n
X
x2j .
j=i− +1
Satz 8.8 (Satz von Reeb). Sei M eine geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension n und
sei f eine Morse-Funktion mit genau zwei kritischen Punkten. Dann ist M homöomorph
zu S n .
Proof. Da jede stetige Funktion auf einem Kompaktum sowohl ein Minimum als auch ein
Maximum annehmen muss, ist eine der zwei kritischen Punkte x− ein Minimum und der
andere ein Maximum x+ . Ohne Einschränkung ist x± = ±1. Nach dem Morse-Lemma gibt
es Koordinaten um x± , so dass
f (x1 , . . . , xn ) = ∓
n
X
x2j , bei x+ bzw. x− .
j=1
Es folgt, dass für δ hinreichend klein, f −1 (±1 ∓ δ) ∼
= ∂Bn ∼
= S n−1 . Sei nun Φ der Fluss
entlang des Vektorfeldes
∇f
X=
.
||∇f ||2
Beachte
∇f
df (X) = g(∇f, X) = g ∇f,
= 1,
||∇f ||2
wobei g eine fest gewählte Metrik ist. Es folgt f −1 [−1 + δ, 1 − δ] ∼
= [−1 + δ, 1 − δ] × S n−1
und somit
M∼
= B n ∪ [−1 + δ, 1 − δ] × S n−1 ∪ B n ∼
= B n ∪∂B n =∂B n B n ≈ S n .
0
0
1
1
Für den letzen Homöomorphismus benutzt man die Tatsache, dass jeder Homöomorphismus
auf ∂B n = S n−1 zu einem Homöomorphismus auf B n durch Abkegeln fortsetzten lässt. 7. Juli 2014
9. Exotische Sphären
Eine glatte Mannigfaltigkeit Σ heißt topologische n-Sphäre, falls Σ homömorph zu S n
als topologische Raum ist, also Σ ≈ S n . Das offensichtliche Beispiel ist die Standard Sphäre,
die wir als S n bezeichnen, mit dem Atlas, der durch Stereographische Projektion gegeben
ist.
52
JONATHAN BOWDEN
Definition 9.1. Eine topologische Sphäre Σ heißt exotisch, falls Σ nicht diffeomorph zu
S n ist, also Σ 6∼
= S n.
Satz 9.2 (Milnor, 1956). Es gibt exotische 7-Sphären.
Sei nun Σ eine topologische n-Sphäre. Nach dem Satz von de Rham ist die de-Rham
Kohomologie eine topologische Invariante ist, und somit gilt
(
R falls k = 0, n
∗
∗
(S n ) =
(Σ) = HdR
HdR
0 sonst.
Sei W ein Nullbordismus von Σ. Wir haben folgendes Lemma:
Lemma 9.3. Die natürliche Abbildung
4
4
Hc,dR
(W ) −→ HdR
(W )
4
4
(W ) = Hc,dR
(int(W )) zu verstehen ist. Insbesondere, ist
ist ein Isomorpismus, wobei Hc,dR
4
die Poincaré-Paarung nicht entartet auf Hc,dR (W ).
4
Proof. Sei α Representant einer Klasse in HdR
(W ) und sei V ∼
= Σ × [0, 1) ein Kragen von Σ
in W . Die Einschränkung von α auf V ' Σ ist exakt, da Σ ein topolgische Sphäre ist. Sei γ,
so dass
α|V = dγ
und sei ρ eine Abschneidefunktion mit supp(ρ) ⊆ V und ρ(Σ × [0, 21 )) = 1. Setze dann
α̃ = α − d(ργ) ∈ Hc4 (W ).
4
Somit folgt Surjektivität. Zur Injektivität: Sei α ∈ Hc,dR
(W ). Es gilt
α = dγ, γ ∈ Ω3 (W ) =⇒ dγ|V = 0 =⇒ γ|V = dβ.
wobei V klein gewählt wird. Dann gilt
α = d(γ − d(ρβ)), wobei supp(γ − d(ρβ)) ⊆ int(W )
4
und somit 0 = α ∈ Hc,dR
(W )
Die letzte Aussage folgt aus der Poincaré-Dualität.
Definition 9.4. Sei W ein orientierter Nullbordismus von Σ. Dann ist die Signatur von
W die Signatur der Poincaré-Paarung:
Z
4
4
Hc,dR (W ) × Hc,dR (W ) −→ R, (ω, η) 7−→
ω ∧ η.
W
Sei nun C = W0 ∪Σ −W1 , wobei W0 , W1 orientierte Nullbordismen von Σ sind und das
Minus die umgekehrte Orientierung bezeichent. Beachte C ist geschlossen und orientiert.
Lemma 9.5. Es gilt
Z
σ(C) = σ(W0 ) + σ(−W1 ) = σ(W0 ) − σ(W1 ) und
C
wobei p1 (Wi ) ∈
4
Hc,dR
(Wi )
zu verstehen sind.
p21 (C)
Z
=
W0
p21 (W0 )
Z
−
W1
p21 (W1 ),
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
53
Proof. Betrachte die Dekomposition C = N (W0 )∪N (W1 ) wobei N (Wi ) jeweils Umgebungen
von den Wi sind, mit N (Wi ) ' Wi . Anwendung von Mayer-Vietoris und Lemma 9.3 ergibt
H 4 (C) ∼
= H 4 (W0 ) ⊕ H 4 (W1 ),
dR
c,dR
dR
wobei die Summenzerlegung für das Dachprodukt auch gilt. Die erste Gleichung folgt sofort
und die zweite aus der Natürlität der Pontrjagin-Klassen.
Definition 9.6. Sei W ein orientierter Nullbordism einer topologischen Sphäre Σ. Die λInvariante von Σ ist definiert als die Restklasse
Z
p21 (W ) − σ(W ) mod(7).
λ(Σ) ≡ 2
W
Bemerkung 9.7. Die λ-Invariante ist eine Invariante von orientierten topologische Sphären
und λ(−Σ) = −λ(Σ).
Lemma 9.8. Die λ-Invariante ist wohl definiert.
Proof. Seien W0 , W1 zwei Nullbordismen. Man betrachte
C = W0 ∪Σ −W1 ,
Nach dem Hirzebruchschen Signatursatz, gilt
Z
Z
Z
Z
2
2
45σ(C) =
7p2 (C) −
p1 (C) ≡ − p1 (C) mod(7) =⇒ 2 p21 (C) − σ(C) ≡ 0 mod(7)
C
C
C
C
und die Aussage folgt aus Lemma 9.5.
Korollar 9.9. Falls λ(Σ) 6= 0, dann lässt Σ keinen orientierungsumkehrenden Diffeomorphismus zu.
10. Juli 2014
9.1. Die Konstruktion. Wir betrachten gewisse S 3 -Faserbündel Mh,j über S 4 . Hierfür betrachten wir S 3 ⊆ H. Ein solches Bündel, wird durch ihre Übergangsfunktion
ϕk : R4 \ {0} × S 3 −→ R4 \ {0} × S 3 ⊆ H × H
festgelegt:
(2)
(u, v) 7−→
u
, ûh · v · ûj
2
||u||
wobei quaternionische Multiplikation zu verstehen ist und û = ||u||−1 u. Wir betrachten nun
das Bündel Mk , wobei k ungerade ist und
h + j = 1, h − j = k
Beachte, jedes Mk berandet das dazugehörige Scheibenbündel Bk und B1 ist das Einheitsscheibenbündel des Normalenbündels
νHP 1 ⊆ T HP 2 |HP 1 −→ HP 1 ,
analog zum Normalenbündel des CP 1 ⊆ CP 2 .
Lemma 9.10. Falls k 6= 0, dann ist Mk eine topologische Sphäre.
54
JONATHAN BOWDEN
Proof. Zuerst beachte, dass die Übergangsfunktionen, folgende Form haben:
u
u
uh · v · uj
h
j
(u, v) 7−→
= (u0 , v 0 ).
, û · v · û =
,
||u||2
||u||2
||u||
Definiere eine Funktion f : Mk −→ R, so dass in Koordinaten
Re(v)
Re(u00 )
f (x) = p
=p
1 + ||u||2
1 + ||u00 ||2
wobei (u00 , v 0 ) = (u0 (v 0 )−1 , v 0 ). Um dies zu sehen, bunutzt man die Konjugations Invarianz des
reellen Anteils eines Quarternion Re(v). Man sieht leicht, dass f nur zwei kritische Punkte
hat (u, v) = (0, ±1), die beide nicht entartet sind und das Lemma folgt nach dem Satz von
Reeb.
Lemma 9.11. Es gilt
λ(Mk ) = 2p21 (Bk ) − σ(Bk ) ≡ k 2 − 1 mod(7).
Proof. Zuerst wurde oben bemerkt, dass B1 ∼
= B 1 (νHP 1 ) ⊂ νHP 1 . Weiterhin gilt
T HP 2 |HP 1 = T S 4 ⊕ νHP 1 =⇒ p1 (T HP 2 |HP 1 ) = p1 (νHP 1 ).
Es gilt
∗
HdR
(HP 2 )
3
= R[ω]/(ω − 1), wobei ω ∈
4
HdR
(HP 2 )
Z
und
ω = 1.
HP 1
Es wurde darüber hinaus berechnet, dass
p(HP 2 ) = (1 − ω)6 (1 − 4ω)−1 =⇒ p1 (HP 2 ) = −2ω.
Wir setzen ξh,j für das Vektorbündel, definiert durch (2). Falls h−j = k schreiben wir einfach
ξk . Nun im Allgemeinen ist p1 (Bh,j ) linear in h und j und
p1 (ξh,0 ) = −p1 (ξ0,h ).
Somit gilt
p1 (ξh,j ) = (h − j)p1 (ξ1,0 ) = ±2(h − j)ω.
4
∼
Wie oben gilt mit s0 = S der Nullschnitt:
Z
Z
4
T Bk |s0 = T S ⊕ ξk =⇒ p1 (T Bk |s0 ) = 2kω, wobei
ω = 1 und
s0
ω ∧ ω = ±1.
Bk
Nach geeigneter Wahl der Orientierung gilt auch σ(Bk ) = 1 und wir erhalten
Z
2p21 (Bk ) − σ(Bk ) = 8k 2 − 1 ≡ k 2 − 1 mod(7). Bk
Der Satz von Milnor folgt unmittelbar. Genauer sehen wir, dass M3 , M5 paarweise verschiedene exotische Sphären sind.
Im Allgemeinen bilden die Diffeomorphismus-Klassen der orientierten, topologischen Sphären
von Dimension n eine Gruppe Θn unter Zusammenhängendensummen. Es wurde folgendes
grossartige Theorem von Milnor und Kervaire bewiesen.
Satz 9.12 (Kervaire-Milnor). Die Gruppe Θn ist endlich, falls n ≥ 5, und die Gruppe der
7- Sphären ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 28: Θ7 ∼
= Z28 .
ALGEBRAISCHE TOPOLOGIE
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Literatur
[Bott-Tu] R. Bott and L. Tu, Differential Form in Algebraic Topology, GTM, 82 Springer, 1982.
[Hat] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
[Ker-Mil] M. Kervaire and J. Milnor, Groups of homotopy spheres I, Ann. of Math. (2) 77 1963 504–537.
[Mil] J. Milnor, On manifolds homeomorphic to the 7-sphere, Ann. of Math. (2) 64 (1956), 399–405.
[Mil-Sta] J. Milnor and J. Stasheff, Chacteristic Classes, Princeton University Press, Princeton, 1974.