Blatt 1 - TU Graz

Uni Graz
TU Graz
M. Blatnik, H. Sanchis Alepuz
M. Holzmann, M. Rumetshofer, P. Schlosser
Funktionalanalysis und partielle DGL (für PhysikerInnen)
WS 2016/17
1. Übungsblatt
11. Oktober
Aufgabe 1
Wir betrachten den Raum Cn×n der n × n-Matrizen mit komplexen Einträgen.
(i) Zeige, dass für A = (aij )ni,j=1 , B = (bij )ni,j=1 ∈ Cn×n und λ ∈ C auch die Summe A + B
und λA in Cn×n liegen, wobei die Addition und Multiplikation hier komponentenweise zu
verstehen sind:
(A + B)ij := aij + bij
und
(λA)ij := λaij ,
i, j ∈ {1, . . . , n}.
Mit dieser Struktur wäre Cn×n ein Vektorraum.
(ii) Definiere für Matrizen A = (aij )ni,j=1 , B = (bij )ni,j=1 ∈ Cn×n die Abbildung
(A, B)F :=
n
X
aij bij .
i,j=1
Zeige, dass (·, ·)F ein Skalarprodukt auf der Menge der komplexwertigen n × n-Matrizen
definiert.
Aufgabe 2
Es sei für −∞ < a < b < ∞
C([a, b]) := {f : [a, b] → C : f stetig auf [a, b]}
der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem kompakten Intervall [a, b].1 Weiter sei die Abbildung (·, ·)2 : C([a, b]) × C([a, b]) → C definiert als
Z
(f, g)2 :=
b
f (x)g(x)dx,
f, g ∈ C([a, b]).
a
Zeige, dass (·, ·)2 ein Skalarprodukt auf C([a, b]) ist.2
Aufgabe 3
Es sei für −∞ < a < b < ∞ die Menge der absolut integrierbaren Funktionen gegeben durch
(
)
Z b
1
L ([a, b]) := f : [a, b] → C :
|f (x)|dx < ∞ .
a
(i) Zeige, dass für f, g ∈ L1 ([a, b]) und λ ∈ C auch f + g und λg in L1 ([a, b]) liegen, wobei die
Addition und Multiplikation hier punktweise zu verstehen sind:
(f + g)(x) := f (x) + g(x)
und
(λf )(x) := λf (x),
x ∈ [a, b].
Mit dieser Struktur wäre L1 ([a, b]) also ein Vektorraum.
1 Man mache sich klar, dass die Summe von zwei stetigen Funktionen sowie das Produkt einer stetigen Funktion
mit einem Skalar wieder stetige Funktionen sind. Daher ist C([a, b]) tatsächlich ein Vektorraum.
2 D.h. (C([a, b]), (·, ·) ) ist ein Prä-Hilbertraum.
2
(ii) Beweise, dass die Abbildung
Z
b
|f (x)|dx,
kf k1 :=
f ∈ L1 ([a, b]),
a
eine Norm auf L1 ([a, b]) definiert.
Aufgabe 4
Untersuche, welche der folgenden Funktionen zum Vektorraum L2 (R) gehören, und berechne ggf.
ihre L2 -Norm.
(
(
42
für |x| < 4,
ex für x < 0,
1
f3 (x) =
f1 (x) = x,
f2 (x) =
,
f4 (x) =
1
3/2
für |x| ≥ 4.
|x|
0 für x ≥ 0,
|x|3/2
Aufgabe 5
(i) Es sei (H, (·, ·)) ein Prä-Hilbertraum über R oder C mit Norm k · k :=
Parallelogrammgleichung
kx + yk2 + kx − yk2 = 2kxk2 + 2kyk2 ,
p
(·, ·). Verifiziere die
x, y ∈ H.
(ii) Wir betrachten den Raum R2 der Vektoren mit zwei Komponenten und statten ihn mit den
folgenden Normen aus:
q
kxk1 := |x1 | + |x2 |, kxk2 := x21 + x22 und kxk∞ := max{|x1 |, |x2 |},
wobei x = xx12 und | · | die Betragsfunktion für reelle Zahlen ist (es muss nicht gezeigt
werden, dass k · k1 , k · k2 und k · k∞ Normen sind).
(a) Wie sehen die Einheitskreisscheiben bzgl. der Normen k · k1 , k · k2 und k · k∞ aus? D.h.
zeichne die Mengen
B1 := {x ∈ R2 : kxk1 ≤ 1},
B2 := {x ∈ R2 : kxk2 ≤ 1}
und
2
B∞ := B1 := {x ∈ R : kxk∞ ≤ 1}.
(b) Welche der Normen k · k1 , k · k2 und k · k∞ ist von einem Skalarprodukt induziert?
Begründe die Antwort (Tipp: Punkt (i)).