Analysis WS 2016/2017 Agnes Radl Typische Klausuraufgaben aus
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Analysis WS 2016/2017 Agnes Radl Typische Klausuraufgaben aus dem bis einschließlich 14.12.2016 behandelten Stoff sowie Fähigkeiten, die beherrscht werden sollen: • Beweis durch vollständige Induktion; • Supremum, Infimum, Maximum und Minimum einer Menge angeben; • Test einer Funktion auf Injektivität, Surjektivität, Bijektivität; • Komposition zweier Funktionen bilden können; • Folgen auf Konvergenz/bestimmte Divergenz testen und gegebenenfalls den Grenzwert berechnen können mit Hilfe der in der Vorlesung vorgestellten Rechenregeln; • Beispiele für konvergente bzw. divergente Folgen angeben können; • Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz testen mit den in der Vorlesung vorgestellten Kriterien; insbesondere sollte man für das Majoranten- bzw. Minorantenkriterium die geometrische bzw. die harmonische Reihe kennen; • das Produkt zweier Reihen über das Cauchy-Produkt berechnen können; • Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen; • Dezimaldarstellung der reellen Zahlen (wie in Aufgabe 1 (a) von Blatt 8); • Test einer Funktion auf Stetigkeit; • Beispiele für stetige und nicht stetige Funktionen angeben können; • punktweisen Limes einer Folge von Funktionen berechnen; Test auf gleichmäßige Konvergenz; • Grenzwerte von Funktionen berechnen; • Berechnung der Ableitung einer Funktion mit Hilfe der in der Vorlesung vorgestellten Differentiationsregeln; • Beispiele parat haben für differenzierbare und nicht differenzierbare Funktionen; Desweiteren sollte der Umgang mit dem Summen- und Produktzeichen bekannt sein sowie die Fakultätsfunktion. Außerdem sollte man wichtige Eigenschaften und Rechenregeln für die in der Vorlesung vorgestellten Funktionen kennen wie zum Beispiel: Beschränktheit von sin und cos, Werte von sin und cos für 0, π/2, 3π/2 und π und Vielfache davon, Rechenregeln exp(x + y) = exp(x) exp(y) und ln(x · y) = ln(x) + ln(y). Die Gaußsche Summenformel, Bernoullische Ungleichung und Dreiecksungleichung werden ebenfalls als bekannt vorausgesetzt. Analysis WS 2016/2017 Agnes Radl Beachten Sie: Es können auch Aufgaben vorkommen, in denen man kurze Beweise mit dem in der Vorlesung behandelten Stoff führen muss. Dazu weitere wichtige Begriffe und Sätze aus dem bis einschließlich 14.12.2016 behandelten Stoff, die man verstehen bzw. anwenden können soll: • Beschränktheit von Folgen und Funktionen • Monotonie von Folgen und Funktionen • Satz von Bolzano-Weierstraß, Häufungspunkt • Cauchyfolgen, Vollständigkeit von R • Folgenkriterium und ε-δ-Kriterium für Stetigkeit • Zwischenwertsatz • Satz vom Maximum und Minimum • Zusammenhang von Differenzierbarkeit und Stetigkeit
