Aufgabenblatt 6

Spieltheorie
6-1
Wintersemester 2009/10
Aufgabenblatt 6
Inhalt: Kapitel 5, Wiederholte Spiele
Aufgabe 6.1
Als Stufenspiel sei das Gefangenendilemma aus der Vorlesung gegeben: Zwei
Gefangene haben jeweils die Wahl ob sie ihren Komplizen verpfeifen (D), was
Ihnen eine Strafmilderung bringt, diesen aber stark belastet.
Spieler 2
Spieler 1
d
c
D
1, 1
5, 0
C
0, 5
4, 4
Betrachten Sie das zweimal hintereinander gespielte Gefangenendilemma, in
dem beide Spieler die Summe Ihrer Auszahlungen maximieren.
(a) Zeigen Sie, dass das Strategientupel (D1 , D2 D2 D2 D2 ), (d1 , d2 d2 d2 d2 ) das
einzige teilspielperfekte Gleichgewicht ist. Zeigen Sie ferner, dass sogar
in jedem Nash Gleichgewicht beide Spieler in beiden Perioden D spielen.
Betrachten Sie nun folgendes Stufenspiel, in dem das Gefangenendilemma
dadurch erweitert ist, dass jeder der Verbrecher zusätzlich noch einen gemeinsam begangenen Mord gestehen kann (M). Darauf steht für beide eine
harte Strafe. Die Normalform des Stufenspiels sei:
Spieler 2
D
C
M
D
1, 1
5, 0
−8, −10
Spieler 1 C
0, 5
4, 4
−9, −10
−10, −8
−10, −9
−10, −10
M
Auch dieses Stufenspiel werde zweimal hintereinander gespielt.
Spieltheorie
6-2
Wintersemester 2009/10
(b) Welche teilspielperfekten Gleichgewichte gibt es jetzt?
(c) Gibt es jetzt Nash-Gleichgewichte, in denen beide Spieler in der ersten
Periode kooperieren?
Aufgabe 6.2
Betrachten Sie die folgende Form des Gefangenendilemmas:
Spieler 2
Spieler 1
D
C
D
1, 1
5, 0
C
0, 5
4, 4
Gehen Sie davon aus, dass dieses unendlich oft wiederholt wird. Zeigen Sie
mit Hilfe des Einmalabweichungsprinzips, dass die folgenden Strategien als
teilspielperfektes Gleichgewicht gestützt werden können, falls δ groß genug
ist. Beide Spieler wählen die Strategie “Perfect Tit-for-tat”: “Beginne in Periode 1 mit ‘Kooperation’. Spiele in der folgenden Periode ‘Kooperation’, wenn
beide Spieler in der letzten Periode entweder kooperiert oder ‘verraten’ haben. Wenn einer der beiden Spieler kooperiert und der andere ‘verraten’ hat,
spiele ‘Verrat’.”
Aufgabe 6.3
Zwei Pharmakonzerne kennen als einzige die streng geheime Rezeptur eines
neuen Medikamentes “Ressaw Run”, das besonders arm an Nebenwirkungen ist. Die Herstellung des Medikamentes verursache keine Kosten und die
Nachfrage Q nach dem Medikament beträgt
Q = K − P,
wobei P der (niedrigere) Preis sei und K > 0 eine fixe Konstante. Die Firmen
stehen im Preiswettbewerb, d.h. die gesamte Nachfrage geht an die Firma
mit dem niedrigeren Preis. Bei identischen Preisen verteilt sich die Nachfrage
zu gleichen Teilen auf die beiden Firmen.
(a) Berechnen Sie den Monopolpreis und den Monopolgewinn im statischen
Fall.
Spieltheorie
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Wintersemester 2009/10
(b) Welche Preise setzten die Firmen im Nash Gleichgewicht bei Preiswettbewerb im statischen Fall?
(c) Betrachten Sie das unendlich oft wiederholte Spiel mit einem Diskontfaktor von 0 < δ < 1. Geben Sie vollständige teilspielperfekte (GrimmTrigger)-Gleichgewichtsstrategien an, unter denen die zwei Firmen Kollusion aufrechterhalten, d.h. im Gleichgewicht teilen sich die Firmen den
Monopolgewinn. Was ist der niedrigste Diskontfaktor δ bei dem sich perfekte Kollusion als teilspielperfektes Gleichgewicht stützen lässt?
Nehmen Sie nun an, dass die Nachfrage mit der Konjunktur schwankt. Während eines Booms (KB = 4) ist die Nachfrage
QB = 4 − P,
und während einer Rezession (KR = 2) beträgt die Nachfrage
QR = 2 − P.
In jeder Periode gibt es mit gleicher Wahrscheinlich einen Boom oder eine
Rezession und die Firmen erfahren dies, bevor sie ihre Preise setzen. (Mit
anderen Worten kommt es in jeder Periode mit 50% Wahrscheinlichkeit zu
einer Rezession oder mit 50% zu einem Boom. Die Wahrscheinlichkeiten sind
unabhängig über die Perioden verteilt. Wenn z.B. heute eine Boomperiode
ist, gibt es morgen mit gleicher Wahrscheinlichkeit einen Boom oder eine
Rezession.)
(d) Geben Sie Grimm-Trigger-Strategien an, die in dieser zufällig fluktuierenden Ökonomie beiden Firmen Kollusionsprofite (halbe Monopolgewinne)
entlang des Gleichgewichtspfades sichern.
(e) Was ist der niedrigste Wert für δ bei dem eine Trigger-Preisstrategie den
jeweiligen Monopolpreis sowohl in Rezessionen, als auch in Boomperioden als ein teilspielperfektes Gleichgewicht stützen kann?
(f) Wie sollten die Firmen die Trigger-Preisstrategien anpassen um möglichst profitable Kollusion zu stützen, wenn δ knapp unter den in der
letzten Teilaufgabe berechneten Wert fällt? Sollten die Strategien unterschiedlich für Boomzeiten und für Rezessionen angepasst werden? (Sie
sollten zunächst mit einer verbalen Diskussion beginnen und dann Ihre
Intuition mit einer Rechnung untermauern.)