Musterlösung zu¨Ubung 5

PC I Thermodynamik
M. Hippler / M. Quack
SoSe 2004
Musterlösung zu Übung 5
5.1 Welche anderen Geschwindigkeiten sind in der kinetischen Gastheorie noch definiert?
Wenn man die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung berücksichtigt, könnenpfolgende Geschwindigkeiten definiert werden:
pdie wahrscheinlichste Geschwindigkeit v w = 2RT /M , die
8RT /(πM ) und die Wurzel aus der mittleren quadratischen
mittlere Geschwindigkeit
hvi
=
p
p
2
Geschwindigkeit hv i > = 3RT /M mit M als molare Masse, R als Gaskonstante und T als
Temperatur. Diese Grössen werden alle noch ausführlich in der Kinetikvorlesung behandelt.
Korrektur: Die korrekte Adiabatengleichung in der Musterlösung zu Aufgabe 4.4.g.) lautet:
T1 V1 κ−1 = T2 V2 κ−1 , κ = CP /CV = (7/2) / (5/2) = 1.4
RTi
⇒
Vi =
Pi
5.2
T2
T1
κ
=
P2
P1
κ−1
"
⇒ ∆T = T1 − T2 = T1 1 −
P2
P1
#
κ−1
κ
a.) Nach
VC (r) =
1 Q1 Q2
4π0 r
(1)
mit Q1 = Q2 = 1.6021892·10−19 C, r = 10−10 m, und 0 = 8.85418782·10−12 A · s · V−1 ·m−1
ergibt sich VC (r) = 2.3071·10−18 J und für die Kraft FC (r) = −dVC (r)/dr = 2.3071·10−8 N
b.) Nach
VG (r) = −G
mp mp
r
(2)
mit mp = 1.6726485·10−27 kg, r = 10−10 m, und G = 6.672·10−11 N·m2 ·kg−2 (Gravitationskonstante) ergibt sich VG (r) = −1.8667 · 10−54 J und für die Kraft FG (r) = −dVG (r)/dr =
−1.8667 · 10−44 N.
Für einen Abstand von 0.1 nm ist das abstossende Coulombpotential bzw. die Coulombkraft
zwischen zwei Protonen um 36 Grössenordnungen stärker als das anziehende Gravitationspotential bzw. die Gravitationskraft. Letztere spielt hier deshalb keine Rolle.
c.) Für die mittlere thermische Translationsenergie E trans = 1.5 kT erhält man mit k =
1.380662 · 10−23 J·K−1 und T = 300 K den Wert Etrans = 6.212979 · 10−21 J. Verglichen mit
dem Coulombpotential ist die mittlere thermische Translationsenergie erheblich kleiner (ca.
drei Grössenordnungen). Allerdings ist E trans sehr viel grösser als das Gravitationspotential.
Die Energie des Grundzustandes des H-Atoms kann mit der Rydberg-Konstante R̃H =
1.0967758 · 107 m−1 des Wasserstoffatoms berechnet werden (siehe Präsenzübung):
En = −R̃H hc
1
= −2.1787 · 10−18 J.
n2
(3)
Hierbei ist n = 1 (Hauptquantenzahl des Grundzustandes), h = 6.626176 · 10 −34 J · s das
Plancksche Wirkungsquantum und c die Lichtgeschwindigkeit. Dieser Wert ist im Betrag
wesentlich grösser als 1.5kT bei 300 K und im Betrag ungefähr gleich der Coulombabstossung zwischen zwei Protonen im Abstand 0.1 nm, was sich daraus erklärt, dass der mittlere
Elektron-Protonabstand im Grundzustand des H-Atoms auch in dieser Grössenordnung
liegt.
1
d.) Unter Berücksichtigung der Avogadrokonstante N A = 6.022045 · 1023 mol−1 ergeben sich
folgende Werte für ein Mol (Proton-Proton Paar und Proton-Elektron Paar):
V C · NA /
F C · NA /
V G · NA /
F G · NA /
Etrans · NA /
E n · NA /
J · mol−1
N · mol−1
J · mol−1
N · mol−1
J · mol−1
J · mol−1
1.3894 · 106
1.3894 · 1016
−1.1241 · 10−30
−1.1241 · 10−20
3741.48
−1.3120 · 106
5.3 Stefan-Boltzmannkonstante
a.) [σB ] = [J4 K−4 J−3 s−3 m−2 s2 ] = [J K−4 s−1 m−2 ]
= [Energie · Temperatur−4 · Fläche−1 · Zeit−1 ]= [Leistung · Fläche−1 · Temperatur−4 ]
b.) [J K−4 s−1 m−2 ] = [W m−2 K−4 ]
c.)
σB
2 · π 5 · (1.380662 · 10−23 J · K−1 )4
15 · (6.626176 · 10−34 J · s)3 · (2.99792458 · 108 m · s−1 )2
= 5.670 · 10−8 W · K−4 · m−2
=
d.) σB = 5.670 · 10−5 erg · s−1 · K−4 · cm−2 mit 1 erg = 1g · cm2 · s−2
5.4 Wochenendausflug mit dem Auto
a.) 2C8 H18 + 25 O2 = 16 CO2 + 18 H2 O
Isooktan (2,2,4-Trimethylpentan)
CH3
CH3 H2
C
C
CH3
HC
CH3
CH3
b.) Dichte von Isooktan: 0.7 g · cm−3 (CRC Handbook of Chemistry and Physics, 60 th ed.,
CRC-Press Boca Raton 1980)
Molmassen: Isooktan (114 g · mol−1 ); CO2 (44 g · mol−1 ).
Verbraucht werden 32 l Benzin entsprechend
n=
32 · dm3 · 0.7 · g · cm−3
= 196.5 mol Isooktan.
114 · g · mol−1
Gemäss a.) entstehen daraus m = 8 · 196.5 mol · 44 g · mol −1 = 69.2 kg CO2 .
c.) Molmasse von H2 O: 18 g · mol−1 .
Es entstehen m = 9 · 196.5 mol · 18 g · mol −1 = 31.8 kg H2 O.
d.) Druck: P = 5 · 104 Pa, Temperatur: T = 260 K, Stoffmenge: n CO2 = 8 · 196.5 mol,
Allgemeine Gaskonstante: R = 8.314 J · mol −1 · K−1 .
Daraus folgt mit dem idealen Gasgesetz:
VCO2 =
nCO2 · R · T
= 68 m3 .
P
e.) Wegen x0 1 vernachlässigen wir die Änderung der gesamten vorhandenen Stoffmenge
(n) im gesuchten Volumen V .
V =
1
R·T
1
n·R·T
=
· nCO2 ·
=
· VCO2 = 2.27 · 105 m3 .
P
x0
P
x0
2